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Explorando el álgebra geométrica 3 – Antecedentes – Los cuaterniones (I)

En las dos entradas anteriores de esta serie sobre álgebra geométrica, esta y esta otra, se ha hablado del conjunto mathbb{C} de los números complejos, cuyo origen está en la necesidad dar sentido a la extracción de raíces cuadradas de números negativos. En los complejos no sólo es posible sacar raíces cuadradas (o de cualquier otro orden) de cualquier número, sino incluso logaritmos. Por lo que respecta a eso, ya no hacía falta crear ningún nuevo conjunto numérico…

Sin embargo, tanto la representación en el plano de los números complejos como el modo en que el producto de complejos unitarios representaba el grupo de rotaciones en el plano hizo inevitable que los matemáticos se preguntaran si sería posible generalizar aún más los números complejos, de forma que se obtuviera un sistema de números hipercomplejos que pudiera tener una representación en el espacio tridimensional y donde se pudiera encontrar algún tipo de números que representaran las rotaciones en el espacio tridimensional. De hecho, Caspar Wessel, como ya os mencioné en la segunda entrada dedicada a los complejos, el primer matemático que encontró la interpretación gráfica de dichos números complejos, hizo un primer intento fracasado en su publicación sobre los números complejos de 1799. Pero quien conseguiría encontrarlo fue Sir William Rowan Hamilton (1806-1865), protagonista de la entrada de hoy.

Hamilton había sido niño prodigio[1] y había hecho importantes contribuciones a los campos de la física y la astronomía. En 1843, Hamilton llevaba un buen tiempo[2] intentando generalizar los números complejos a tres dimensiones.

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  1. A los trece años Hamilton conocía tantas lenguas como años tenía: no sólo lenguas europeas modernas, sino también latín, griego clásico, árabe, sánscrito o persa, pero ya a los 8 años, tras ser derrotado por otro niño prodigio americano en una competición de cálculos matemáticos, había decidido dedicar más tiempo a las matemáticas que a las lenguas, que pasaron a ser desde entonces para él una actividad secundaria, para “relajarse” y desconectar de sus actividades serias… []

  2. Ya hacia 1830 había ensayado una generalización de los complejos a tres dimensiones, en la que los complejos generalizados se representaban en coordenadas esféricas, y el módulo del producto era el producto de módulos,  el ángulo polar (o colatitud) del producto era la suma de ángulos polares, y el ángulo azimutal (o longitud) era la suma de ángulos azimutales: un producto que ni siquiera era distributivo respecto a la suma… []

Lo que se preguntan sus alumnos de 3º de la ESO – XXIX: ¿Por qué escribimos sobre una hoja en blanco y no sobre una hoja de color azul?

Después de una larga temporada sin vida aparente de la serieLo que se preguntan sus alumnos de 3º de la ESO”, aparece hoy una nueva entrega que corresponde a la inquietud de uno de los estudiantes del profesor de Física y Química Lorenzo Hernández Villalobos, plasmada en la siguiente pregunta: “¿Por qué escribimos sobre una hoja en blanco y no sobre una hoja de color azul?”

Interpreto que en la comparación la duda se extiende a cualquier tipo de hoja de color distinto al blanco, es decir: ¿Por qué escribimos la mayoría de las veces sobre un papel blanco?

Rellenando una carta de… seguramente… amor. El escribano sí debía saber de papeles (Imagen extraída de la red, fair use)

La respuesta es del tipo… porque así se ha hecho siempre y además es más barato. Es evidente que prácticamente sobre cualquier fondo de color, eligiendo la tinta adecuada, se puede cumplir con el objetivo de la escritura, que es ni más ni menos que el transmitir sobre una base material, en ese caso papel, un determinado mensaje que pueda ser posteriormente leído por una segunda persona. Incluso sobre negro se puede escribir en blanco o con cualquier tinta que produzca el contraste necesario. Es decir, que utilizar papel blanco en vez de uno coloreado no se corresponde estrictamente con la eficiencia de la transmisión del mensaje. Lo cual nos lleva otra vez a la simpleza de más arriba… “porque así se ha hecho siempre y además es más barato“.

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Historia de un ignorante, ma non troppo… Sinfonía nº 8, “de los Mil”, de Gustav Mahler

He dudado mucho a lo largo del tiempo si incluir la Octava Sinfonía de Gustav Mahler en esta ignorante serie musical. Sí, he tenido mucha reticencia a escribir este artículo sobre la, posiblemente, obra más compleja y gigantesca del repertorio, “gigantesca” desde el punto de vista del número de músicos precisos para poder ejecutarla en condiciones.[1] Y si he dudado tanto es, simple y llanamente, porque ninguna grabación de ningún tipo de esta magna obra que se reproduzca en cualquier tipo de stereo, por supercalifragilístico que éste sea, le llega ni a la suela de los zapatos a lo que cualquier espectador puede oír y sentir al escucharla en directo.

Pero, en fin, dado que se trata de una de las grandísimas obras de todos los tiempos y que es, además, la única de las sinfonías del gran Gustav Mahler que, dirigida por el mismo compositor, tuvo un éxito arrollador en su estreno,[2] he abandonado mis reticencias y voy a traer a colación por fin la sublime Octava Sinfonía, apodada (correctamente, en mi opinión) “de los Mil”, por más que el compositor no aprobara este título, debido a que en su estreno el número de músicos involucrados se aproximaba a esa cifra. Esto ya puede daros una idea de lo que viene… porque, con tal cantidad de personas tocando a la vez, la posibilidad de que es resultado sea un batiburrillo incomprensible es bastante alta. Pero, claro, es que estamos hablando de Gustav Mahler, para mi gusto el compositor más inspirado y técnicamente preparado del Siglo XX.[3]

Y, por decirlo todo, el impulso último para que me arriesgue a traer esta barbaridad a colación en estas páginas es que la versión que enlazo fue grabada en directo en el Auditorio Nacional de Madrid, dirigida por un inspiradísimo Josep Pons, a la sazón director titular de la Orquesta y Coro Nacionales de España, y que me tuvo a mí, entre otros miles de arrobados oyentes, como espectador. Desde luego, siendo en Madrid, mi ciudad, no me perdí este representación de primeros de junio de 2012 por nada del mundo. La grabación es realmente fantástica, pero yo os aseguro que escuchar aquella maravilla en directo fue una de las experiencias más alucinantes que he vivido en mis muchas veladas musicales. Sigue leyendo ›

  1. Hay obras, muy pocas, que necesitan aún más músicos para ejecutarse, como el Gurre Lieder de Schönberg, pero no se programan casi nunca. Y si se programaran… conmigo que no cuenten para escuchar nada de Schönberg, lo siento. []
  2. Más de veinte minutos de aplausos tras su ejecución dan cuenta de dicho éxito. []
  3. Y, casi, casi, de toda la historia de la música, por más que algunos me linchéis, seguramente con razón, por decir tal cosa. []

Explorando el álgebra geométrica 2 – Antecedentes – Los números complejos (II)

Continúo dedicando esta entrada a los números complejos, todavía dentro de la parte de introducción de la serie dedicada al álgebra geométrica. Si en la anterior entrada habíamos tratado los números complejos desde un punto de vista puramente  aritmético, ahora veremos cómo los números complejos se representan como puntos en un plano y cómo se visualiza en el plano complejo la suma y el producto de complejos. El producto de complejos  será especialmente importante, ya que los rotores (los operadores de rotación) del álgebra geométrica del plano \mathcal{G}_2 se pueden identificar con complejos de módulo 1.

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Biografía del Universo 32: Epílogo.

FIN DE LA SERIE

(Revisión 2025) (pdf)

“Desde este lejano punto de vista, la Tierra puede no parecer muy interesante. Pero para nosotros es diferente. Considera de nuevo ese punto. Eso es aquí. Eso es nuestra casa. Eso somos nosotros. Todas las personas que has amado, conocido, de las que alguna vez oíste hablar, todos los seres humanos que han existido han vivido en él. La suma de todas nuestras alegrías y sufrimientos, miles de ideologías, doctrinas económicas y religiones seguras de sí mismas, cada cazador y recolector, cada héroe y cobarde, cada creador y destructor de civilizaciones, cada rey y campesino, cada joven pareja enamorada, cada madre y padre, cada niño esperanzado, cada inventor y explorador, cada profesor de moral, cada político corrupto, cada “superestrella”, cada “líder supremo”, cada santo y pecador en la historia de nuestra especie ha vivido ahí —en una mota de polvo suspendida en un rayo de sol.”

Carl Sagan, en su libro “Un punto azul pálido: una visión del futuro humano en el espacio“.[1]

Esta es la fotografía “Pale Blue Dot” de la Tierra, el pequeñísimo punto blanco apuntado por la flecha, casualmente en el centro de uno de los rayos de luz dispersos como resultado de tomar la imagen tan cerca del Sol. Tomada por la nave espacial Voyager 1 el 6 de julio de 1990 desde una distancia de más de 4 mil millones de millas. Como nos dijo el gran Carl Sagan, aquí ha pasado todo lo que le ha sucedido a la humanidad, desde lo más pequeño a lo más grande… un insignificante lugar en un inabarcable océano. A pesar de la nimiedad, grandes hombres nos han ayudado a abrir los ojos. No nos queda más que decirles ¡GRACIAS! (NASA, dominio público)

Queridos amigos, llegó el momento de despedirnos de nuestro Universo. Se trata de nuestra realidad más auténtica, en donde cohabitan y se interrelacionan nuestras ciudades cósmicas, nuestros barrios y casas del Universo. Con qué familiaridad hablamos de la Vía Láctea, del Sistema Solar y de la querida Tierra. La última entrada, “La estructura del Universo II”, fue realmente la última de la serie “Biografía del Universo”. Desde aquel día de la publicación de la primera entrada en nuestro querido blog de El Cedazo, el 18 de febrero de 2017, hemos podido tener la oportunidad de entrar en contacto e intercambiar opiniones a través de 30 entradas más. Sigue leyendo ›

  1. En este enlace podéis leer los párrafos complementarios de Carl Sagan. No tienen desperdicio. []

Explorando el álgebra geométrica 1 – Antecedentes – Los números complejos (I)

Las álgebras de Clifford, a cuyo estudio se dedica esta serie dedicada al álgebra geométrica,  se pueden considerar matemáticamente como una familia de sistemas de números hipercomplejos, es decir, se pueden ver como extensiones o generalizaciones de los números complejos, un concepto desarrollado con anterioridad. Por ello, lo que sepamos sobre números complejos nos será útil: más de un concepto utilizado en los números complejos (como el de norma o el de conjugación)  se generaliza a los multivectores de una álgebra geométrica. Cuando más adelante veamos, por ejemplo, el álgebra geométrica \mathcal{G}_2 asociada al plano bidimensional veremos que su  subálgebra par se comporta igual[1] que los números complejos.

En esta entrada, primera de la serie tras la introducción, haré una introducción básica a qué es un número complejo, y cómo se suman y multiplican los complejos expresados en sus componentes real e imaginaria (restar y dividir es, simplemente, sumar el opuesto y multiplicar por el inverso, respectivamente). También aprovecharé para explicar un poco la historia de los números complejos, y de cómo los matemáticos fueron aceptándolos poco a poco.  La representación de los complejos en el plano, donde se ve más directamente su relación con la geometría, la dejaré para la siguiente entrada.

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  1. En la jerga matemática se dice que es isomorfa. []

Eso que llamamos Lógica. El libro.

Hace eones que publiqué aquí una serie sobre Eso que llamamos Lógica, concretamente entre octubre de 2011 y junio de 2012. La serie se basaba en mis viejos y amarillentos apuntes de la asignatura “Metodología” de segundo curso de Informática, cuando yo era joven y la disciplina se iba construyendo cada día… ¡qué tiempos! Esos apuntes que conservo como oro en paño reflejan cómo nos contó la asignatura D. José Cuena Bartolomé, uno de los mejores profesores que he tenido en mi vida, en aquellos turbulentos años de mediados de los setenta del siglo pasado, cuando Franco se estaba muriendo y nadie sabía qué iba a pasar con nuestras vidas, con nuestra sociedad, con nuestro país… Y sí, la asignatura se llamaba “Metodología”, pero lo que contenía era Lógica formal. Cosas que pasaban entonces, cuando los temarios de las asignaturas se iban construyendo sobre la marcha.

A lo largo de la serie se desgranaban los esquemas lógicos que luego me fueron muy útiles a lo largo de mi vida profesional como informático de pro, hoy felizmente jubilado, y me pareció interesante compartir esos apuntes, esa forma un tanto peculiar de explicar la Lógica, a los lectores de El Cedazo. Los comentarios recibidos, muchos de ellos muy intensos, me convencieron de que efectivamente era un tema que tenía cierto interés para los lectores, así que la serie fue publicándose plácidamente hasta su finalización, contando incluso con dos interesantes colaboraciones en forma de anexos que escribió nuestro amigo Javier “J” Sedano.

Cuando la serie terminó recopilé los artículos en formato PDF y los puse a disposición de los lectores que los quisieran, tanto en formato A4 como en A5. Y ahí quedó la cosa. Pero el caso es que años después publiqué una novela de gran éxito,[1] BEGIN, en papel en la plataforma lulu.com y también en formato electrónico (epub en lulu y kindle en Amazon), y después, visto el éxito y, sobre todo, lo bien editados que están (lulu lo hace de maravilla) y lo bien que quedan en la biblioteca de casa, publiqué también la versión en papel de mis Memorias de un Viejo Informático, esa dicharachera serie que tanto dio que hablar hace casi diez años, y también las correspondientes versiones electrónicas, en formato epub o kindle.

Eso que llamamos Lógica. Portada.

Ambos libros quedan, como dije, preciosos en mi estantería y me alegran la vista cada vez que los veo, por lo que poco a poco me he ido convenciendo para hacer lo mismo con la serie sobre Lógica. Así serán tres los libros que adornan mi biblioteca personal, en vez de dos.

Y dicho y hecho, me he arremangado nuevamente para lidiar con formatos, páginas pares e impares distintas, números de página que van y vienen y todas estas fruslerías necesarias para publicar de forma digna, en la plataforma lulu.com, el libro en papel sobre Eso que llamamos Lógica. Lo que os cuento hoy por si a alguno de vosotros, queridos lectores de El Cedazo, le parece interesante tener en papel las elucubraciones lógicas de un informático viejo.

Aquí tenéis una foto del libro, con la portada que, sinceramente, no me he currado mucho, pero que sin embargo, una vez que tienes el libro en tu mano, queda bastante resultona para mi gusto: los colores contrastan, el título se lee bien y la imagen se adecua razonablemente al contenido.

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  1. Unos 150 ejemplares vendidos para una novela en autopublicación no está nada mal. []

Explorando el álgebra geométrica – Introducción

Éste es el primer artículo de una serie que pretende dar a conocer el álgebra geométrica, una fascinante y poderosa herramienta matemática creada por el matemático alemán Hermann Günther Graßmann (1809-1877) y por el matemático inglés William Kingdon Clifford (1845-1879), con el propósito de realizar la idea de Leibniz (1646-1716) de un cálculo cuyos símbolos representaran objetos geométricos (como puntos, líneas, superficies o volúmenes) y se pudieran manipular algebraicamente de forma independiente de las coordenadas. Sigue leyendo ›

Biografía del Universo 31: La estructura del Universo II

(Revisión 2025) (pdf)

En la entrada anterior de esta serie sobre la “Biografía del Universo” hicimos un fin de etapa, ya que la escritura iba ya resultando farragosa por su longitud. Hoy toca continuar engarzando al último personaje que allí apareció, que era, ni más ni menos, la “bestialidad” estructural de Laniakea.

Laniakea no es tan “bestial” como jocosamente apunta el texto, simplemente es una mota perdida en la inmensidad del Universo observable. La cuestión de que esté en el centro no tiene nada que ver con una visión antropocéntrica… es que realmente, por definición, estamos en el centro del Universo observable (Wikimedia: imagen de J.A. Galán Baho, CC BY-SA 4.0)

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Los sistemas receptores. Anexo III: El pdf

Bueno, amigos, como he repetido al final de otras series, llegó la verdadera despedida de ésta sobre Los Sistemas Receptores que ya va durando unos meses.

Lo mismo que en otras ocasiones, he considerado un buen colofón el recopilar todas las entradas y editarlas en forma de pdf. Lo tenéis en el enlace de más abajo, que os llevará a la plataforma editorial ISSUU, en donde también tengo colgados los pdf’s correspondiente a “La biografía de la Vida“, “Biografía de lo humano” y “Biografía del Universo“, series que han ido apareciendo en nuestro querido blog, al menos para mí, “El Cedazo“.

En este libro encontraréis una exposición de lo que llamo “Los sistemas receptores“. Los primeros capítulos introducen conceptos básicos anatómicos y fisiológicos, necesarios para entender mejor lo que va a continuar. Que no es, ni más ni menos, que seguir uno a uno todos los sentidos que proporcionan información del exterior o del interior del cuerpo a nuestro cerebro. Seguir la información desde el punto de entrada, donde algún sensor corporal se da por aludido, hasta las regiones finales del sistema nervioso a donde llega la información sensorial. Ya es harina de otro costal el saber qué es lo que hace el cerebro con todo ello.

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