Explorando el álgebra geométrica 3 – Antecedentes – Los cuaterniones (I)
En las dos entradas anteriores de esta serie sobre álgebra geométrica, esta y esta otra, se ha hablado del conjunto de los números complejos, cuyo origen está en la necesidad dar sentido a la extracción de raíces cuadradas de números negativos. En los complejos no sólo es posible sacar raíces cuadradas (o de cualquier otro orden) de cualquier número, sino incluso logaritmos. Por lo que respecta a eso, ya no hacía falta crear ningún nuevo conjunto numérico…
Sin embargo, tanto la representación en el plano de los números complejos como el modo en que el producto de complejos unitarios representaba el grupo de rotaciones en el plano hizo inevitable que los matemáticos se preguntaran si sería posible generalizar aún más los números complejos, de forma que se obtuviera un sistema de números hipercomplejos que pudiera tener una representación en el espacio tridimensional y donde se pudiera encontrar algún tipo de números que representaran las rotaciones en el espacio tridimensional. De hecho, Caspar Wessel, como ya os mencioné en la segunda entrada dedicada a los complejos, el primer matemático que encontró la interpretación gráfica de dichos números complejos, hizo un primer intento fracasado en su publicación sobre los números complejos de 1799. Pero quien conseguiría encontrarlo fue Sir William Rowan Hamilton (1806-1865), protagonista de la entrada de hoy.
Hamilton había sido niño prodigio[1] y había hecho importantes contribuciones a los campos de la física y la astronomía. En 1843, Hamilton llevaba un buen tiempo[2] intentando generalizar los números complejos a tres dimensiones.
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A los trece años Hamilton conocía tantas lenguas como años tenía: no sólo lenguas europeas modernas, sino también latín, griego clásico, árabe, sánscrito o persa, pero ya a los 8 años, tras ser derrotado por otro niño prodigio americano en una competición de cálculos matemáticos, había decidido dedicar más tiempo a las matemáticas que a las lenguas, que pasaron a ser desde entonces para él una actividad secundaria, para “relajarse” y desconectar de sus actividades serias… [↩]
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Ya hacia 1830 había ensayado una generalización de los complejos a tres dimensiones, en la que los complejos generalizados se representaban en coordenadas esféricas, y el módulo del producto era el producto de módulos, el ángulo polar (o colatitud) del producto era la suma de ángulos polares, y el ángulo azimutal (o longitud) era la suma de ángulos azimutales: un producto que ni siquiera era distributivo respecto a la suma… [↩]