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Explorando el álgebra geométrica

Esta serie pretende dar a conocer el álgebra geométrica, una fascinante y poderosa herramienta matemática creada por el matemático alemán Hermann Günther Graßmann (1809-1877) y por el matemático inglés William Kingdon Clifford (1845-1879), con el propósito de realizar la idea de Leibniz (1646-1716) de un cálculo cuyos símbolos representaran objetos geométricos (como puntos, líneas, superficies o volúmenes) y se pudieran manipular algebraicamente de forma independiente de las coordenadas.

Mi primer contacto con el álgebra geométrica fue un libro en francés, engañosamente titulado L’algèbre vectorielle, escrito por Gaston Casanova, y que cayó en mis manos poco antes de que comenzara a estudiar la carrera. Era un libro de bolsillo, publicado en la colección Que sais-je? de Presses Universitaires de France. En sus 128 páginas, el autor introducía el álgebra de Clifford (el autor no utilizaba la expresión “álgebra geométrica”, e incluso no tenía inconveniente alguno en utilizar representaciones matriciales) y mostraba diferentes aplicaciones a la Física. A pesar de su brevedad, el libro era muy denso, una cosa ultraconcentrada, demasiado para un pipiolo como yo en aquella época: en la página 33 ya dejaba atrás el álgebra del espacio tridimensional e iniciaba el tratamiento del álgebra de Dirac del espacio-tiempo de la relatividad especial, para pasar a hablar de espinores en el capítulo siguiente y, después del estudio de la teoría de Dirac (la versión relativista de la ecuación de ondas de la mecánica cuántica) y del estudio del átomo de hidrógeno, trataba en sus últimos capítulos temas a los que el autor había dedicado sus investigaciones, como una ecuación relativista del nucleón y estimaciones de las diferencias de masa entre multipletes de hadrones…

En fin, se trataba de un libro para especialistas con interés en introducirse en el campo. Sin embargo, a pesar de los defectos del libro, me dejó fascinado la elegancia con que se trataban las rotaciones en tres dimensiones con cuaterniones y cómo aquella álgebra era mucho más poderosa que el álgebra vectorial convencional, la que se enseña en educación secundaria y primeros años de universidad. En aquella época todavía no había acceso a Internet en los hogares y no volví a encontrarme con el álgebra geométrica hasta cuarto curso de carrera, en la figura del profesor de Mecánica Clásica, entusiasta propagandista del álgebra geométrica y con fama de ser el outsider de la facultad. Todavía recuerdo cómo en aquellas clases el álgebra geométrica se utilizaba en el tema de los ángulos de Euler. Ahí se renovó mi interés por este tema, que ha durado desde entonces.

El álgebra geométrica fue olvidada tras la prematura muerte de Clifford, y el que habría de haber sido su lugar en los planes de estudio fue ocupado (y así sigue siendo hasta la fecha) por el álgebra vectorial de Josiah Willard Gibbs (1839-1903). El álgebra vectorial de Gibbs presta sus buenos servicios en física e ingeniería, pero tiene limitaciones: si bien el producto escalar de vectores existe en cualquier dimensión, el producto vectorial de Gibbs es exclusivo del espacio tridimensional.  El álgebra geométrica de Graßman y de Clifford, en cambio, no está limitada por el número de dimensiones del espacio en que se trabaje. Por otro lado, en el álgebra de Gibbs sólo hay escalares y vectores, mientras que en el álgebra geométrica hay además bivectores, trivectores, cuadrivectores… ((Por si eres físico, lo que en álgebra geométrica se llama trivector y cuadrivector no es lo mismo que aparece con esas denominaciones en los libros sobre relatividad.)) lo que haga falta, hasta la dimensión del espacio vectorial sobre el que se trabaje. También, por ejemplo, proporciona el álgebra geométrica rotores, con los que podemos realizar la rotación de cualquier multivector (y de hecho, como tendremos ocasión de ver en el caso tridimensional,  con ventaja sobre el empleo de matrices).

El álgebra geométrica fue rescatada (bajo la denominación de álgebra de Clifford) por P. A. M. Dirac (1902-1984) para su ecuación relativista del electrón. Pero también es una álgebra de Clifford la llamada álgebra de Pauli, unas matrices utilizadas en mecánica cuántica en el contexto del espín. Sin embargo, la sofisticadas y abstractas representaciones matriciales empleadas por Pauli y Dirac, que naturalmente, también encontré en otras asignaturas de la carrera, dejaban oculta la transparente interpretación geométrica de la formulación original de Graßmann y Clifford. No ha sido sino hasta hace relativamente poco tiempo que David Hestenes (1933-), el principal defensor e impulsor del redescubrimiento del álgebra geométrica de Graßmann y Clifford, ha venido destacando su papel como lenguaje unificado para las matemáticas y la física.

Esta serie trata de una herramienta matemática todavía no muy conocida, pero que no sólo atrae cada vez más líneas y grupos de investigadores, sino que ofrece además un enorme interés desde el punto de vista pedagógico.

Y es que, aunque ciertamente el álgebra geométrica es más compleja que el álgebra vectorial de Gibbs, su formidable riqueza le permite hacer una larga exploración de diferentes temas de matemáticas (como la teoría de determinantes, o la geometría proyectiva), de aplicaciones en Física (mecánica clásica, electromagnetismo y relatividad, mecánica cuántica), o aplicaciones a la ingeniería y robótica. Dada mi formación como físico, tras comenzar por una introducción a los antecedentes del álgebra geométrica, me limitaré a exponer temas de Física (mecánica clásica, electromagnetismo y relatividad), o de matemática con aplicabilidad más directa a la Física, para ir introduciendo los conceptos más relevantes.

Los artículos publicados hasta la fecha son:

Introducción

1- Antecedentes. Los números complejos (I)

2- Antecedentes. Los números complejos (II)

3- Antecedentes. Los cuaterniones (I)

4- Antecedentes. Los cuaterniones (II)

5- Antecedentes. De los cuaterniones al álgebra vectorial de Heaviside-Gibbs

6- Los creadores del álgebra geométrica, Graßmann y Clifford

7- Los axiomas del álgebra geométrica

8- El producto interior de vectores y su interpretación geométrica

9- El producto exterior de vectores y su interpretación geométrica

10- Bases ortonormales de vectores, base canónica del álgebra

11- Involuciones: Involución de grado y reversión. Versores