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Historia de un ignorante, ma non troppo… Sinfonía nº 6, de Anton Bruckner

Hace nueve años que vengo escribiendo a mi manera en esta ignorante serie sobre música clásica, y de pronto me he dado cuenta de que no he dedicado aún ningún artículo al gran Antón Bruckner… y el gran compositor austriaco lo merece, vaya que si lo merece, así que hoy pongo remedio a esa situación.

Y lo haré con la que es, para mí, su mejor sinfonía: la Sexta, en la mayor, por mucho que los críticos y entendidos digan que no, que esta sexta sinfonía es su “patito feo”, de peor calidad que prácticamente todas las otras suyas, como la inacabada Novena o la monumental Octava o la Quinta, denominada “Católica”, por ejemplo. Pero qué se le va a hacer, para el ignorante de mí ésta de hoy, compuesta entre 1879 y 1881, es posiblemente la mejor de todas… en otra vida procuraré aprender música desde chiquitito; en ésta eso no tiene ya remedio.

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Explorando el álgebra geométrica 4 – Antecedentes – Los cuaterniones (II)

En la entrada anterior de esta serie introduje el primer sistema de números hipercomplejos: los cuaterniones. En el artículo de hoy seguiremos analizaremos el producto de dos vectores (o como diría Hamilton, dos cuaterniones puros, o sea, sin parte escalar). También mencionaré otra creación de Hamilton, el operador nabla \mathbf{\nabla}, un objeto de carácter “híbrido” (es una especie de vector, pero sus componentes, en vez de ser números reales, son operadores de derivación), esencial en el estudio de campos escalares y vectoriales. Por último, ilustraré la invertibilidad del producto cuaterniónico de vectores.

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Lo que se preguntan sus alumnos de 3º de la ESO – XXX: ¿Por qué bebemos agua dulce en vez de salada?

Con esta entrada damos un paso más en la lista de preguntas que los estudiantes de 3º de la ESO le planteaban a su profe Lorenzo. Los asiduos a El Cedazo ya saben que las respuestas que ofrecemos conforman una ya larga serie monográfica. Hoy nos toca zambullirnos en el agua, pero no como quien lo hace tras una carrera en la playa o un salto a la poza del río, sino desde el punto de vista fisiológico. No en vano la pregunta de hoy va de “¿Por qué bebemos agua dulce en vez de salada?

Portada del periódico colombiano El Espectador relatando la aventura del marinero Velasco. Diez días a la deriva sin comer ni beber. Y además los tiburones (Imagen: Hemeroteca El Espectador, fair use)

Todos sabemos de la importancia del agua para el buen funcionamiento de nuestro cuerpo. Y es que somos agua en un 60% de nuestro peso. Nuestras células son herederas de aquellas primigenias que nacieron en el mar y que incorporaron en sus membranas una química diluida en agua “salina”.[1] Las células de nuestro organismo pluricelular están bañadas por el líquido intersticial, también salino, que se mantiene en equilibrio con el líquido de dentro de las células. Además, fuera de las células tenemos también el torrente circulatorio repleto de plasma y el cerebro con su líquido cefalorraquídeo. Cuando he hablado de “salino” me estaba refiriendo a que todos estos líquidos corporales son una disolución de diversos iones,[2] entre los que sobresalen por su abundancia el sodio, el cloro, el potasio o el magnesio.[3] La gestión continua del equilibrio de iones a un lado y otro de la membrana de las células es parte fundamental de nuestra fisiología vital. Sigue leyendo ›

  1. Podéis profundizar en el tema leyendo la entrada número 05 de la serie ”La Biografía de la Vida“, publicada en El Cedazo hace ya tiempo. []
  2. Los iones son los elementos químicos que han perdido o ganado electrones. []
  3. No resulta curiosa esta distribución, ya que en el agua de mar reinan el cloro y el sodio. Entre los dos, un 86% de los iones marinos. []

Explorando el álgebra geométrica 3 – Antecedentes – Los cuaterniones (I)

En las dos entradas anteriores de esta serie sobre álgebra geométrica, esta y esta otra, se ha hablado del conjunto mathbb{C} de los números complejos, cuyo origen está en la necesidad dar sentido a la extracción de raíces cuadradas de números negativos. En los complejos no sólo es posible sacar raíces cuadradas (o de cualquier otro orden) de cualquier número, sino incluso logaritmos. Por lo que respecta a eso, ya no hacía falta crear ningún nuevo conjunto numérico…

Sin embargo, tanto la representación en el plano de los números complejos como el modo en que el producto de complejos unitarios representaba el grupo de rotaciones en el plano hizo inevitable que los matemáticos se preguntaran si sería posible generalizar aún más los números complejos, de forma que se obtuviera un sistema de números hipercomplejos que pudiera tener una representación en el espacio tridimensional y donde se pudiera encontrar algún tipo de números que representaran las rotaciones en el espacio tridimensional. De hecho, Caspar Wessel, como ya os mencioné en la segunda entrada dedicada a los complejos, el primer matemático que encontró la interpretación gráfica de dichos números complejos, hizo un primer intento fracasado en su publicación sobre los números complejos de 1799. Pero quien conseguiría encontrarlo fue Sir William Rowan Hamilton (1806-1865), protagonista de la entrada de hoy.

Hamilton había sido niño prodigio[1] y había hecho importantes contribuciones a los campos de la física y la astronomía. En 1843, Hamilton llevaba un buen tiempo[2] intentando generalizar los números complejos a tres dimensiones.

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  1. A los trece años Hamilton conocía tantas lenguas como años tenía: no sólo lenguas europeas modernas, sino también latín, griego clásico, árabe, sánscrito o persa, pero ya a los 8 años, tras ser derrotado por otro niño prodigio americano en una competición de cálculos matemáticos, había decidido dedicar más tiempo a las matemáticas que a las lenguas, que pasaron a ser desde entonces para él una actividad secundaria, para “relajarse” y desconectar de sus actividades serias… []
  2. Ya hacia 1830 había ensayado una generalización de los complejos a tres dimensiones, en la que los complejos generalizados se representaban en coordenadas esféricas, y el módulo del producto era el producto de módulos,  el ángulo polar (o colatitud) del producto era la suma de ángulos polares, y el ángulo azimutal (o longitud) era la suma de ángulos azimutales: un producto que ni siquiera era distributivo respecto a la suma… []

Biografía del Universo 33: El pdf

Bueno, amigos, llegó la verdadera despedida de esta serie que ya va durando unos buenos meses.

Como en otras ocasiones, he considerado un buen colofón el recopilar todas las entradas y editarlas en forma de pdf. Lo tenéis en el enlace de más abajo, que os llevará a la plataforma editorial ISSUU en donde también tengo colgados los pdf’s correspondiente a “La biografía de la Vida“, “Biografía de lo humano” y ” Los sistemas receptores“, series que han ido apareciendo en nuestro querido blog, al menos para mí, “El Cedazo“.

La aventura de escribir la historia de cómo piensan nuestros más expertos cosmólogos y astrofísicos que se formó el Cosmos ha sido más que una experiencia… ha sido una auténtica “gozada”. Mientras lo hacía iba consolidando mis conocimientos anteriores, lo cual ha sido muy enriquecedor. Espero que a los que la hayáis seguido, más que información os haya sembrado curiosidad y ganas de profundizar en tan asombroso escenario del que participamos vitalmente. Somos lo que somos gracias al Universo y su historia. Somos más que polvo de estrellas, tal como ya habréis oído repetidas veces… somos Universo. Y con eso no creáis que soy un creyente de la Conciencia universal en donde todos nos fundimos e identificamos. Cada uno tenemos una íntima sensación de que somos únicos y especiales, de que somos los agentes de nuestra historia.. aunque no puedo olvidarme que todos somos resultado de aquel Big Bang inicial. Y eso sí nos funde e identifica con todo lo que participa de la Existencia.

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Lo que se preguntan sus alumnos de 3º de la ESO – XXIX: ¿Por qué escribimos sobre una hoja en blanco y no sobre una hoja de color azul?

Después de una larga temporada sin vida aparente de la serieLo que se preguntan sus alumnos de 3º de la ESO”, aparece hoy una nueva entrega que corresponde a la inquietud de uno de los estudiantes del profesor de Física y Química Lorenzo Hernández Villalobos, plasmada en la siguiente pregunta: “¿Por qué escribimos sobre una hoja en blanco y no sobre una hoja de color azul?”

Interpreto que en la comparación la duda se extiende a cualquier tipo de hoja de color distinto al blanco, es decir: ¿Por qué escribimos la mayoría de las veces sobre un papel blanco?

Rellenando una carta de… seguramente… amor. El escribano sí debía saber de papeles (Imagen extraída de la red, fair use)

La respuesta es del tipo… porque así se ha hecho siempre y además es más barato. Es evidente que prácticamente sobre cualquier fondo de color, eligiendo la tinta adecuada, se puede cumplir con el objetivo de la escritura, que es ni más ni menos que el transmitir sobre una base material, en ese caso papel, un determinado mensaje que pueda ser posteriormente leído por una segunda persona. Incluso sobre negro se puede escribir en blanco o con cualquier tinta que produzca el contraste necesario. Es decir, que utilizar papel blanco en vez de uno coloreado no se corresponde estrictamente con la eficiencia de la transmisión del mensaje. Lo cual nos lleva otra vez a la simpleza de más arriba… “porque así se ha hecho siempre y además es más barato“.

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Historia de un ignorante, ma non troppo… Sinfonía nº 8, “de los Mil”, de Gustav Mahler

He dudado mucho a lo largo del tiempo si incluir la Octava Sinfonía de Gustav Mahler en esta ignorante serie musical. Sí, he tenido mucha reticencia a escribir este artículo sobre la, posiblemente, obra más compleja y gigantesca del repertorio, “gigantesca” desde el punto de vista del número de músicos precisos para poder ejecutarla en condiciones.[1] Y si he dudado tanto es, simple y llanamente, porque ninguna grabación de ningún tipo de esta magna obra que se reproduzca en cualquier tipo de stereo, por supercalifragilístico que éste sea, le llega ni a la suela de los zapatos a lo que cualquier espectador puede oír y sentir al escucharla en directo.

Pero, en fin, dado que se trata de una de las grandísimas obras de todos los tiempos y que es, además, la única de las sinfonías del gran Gustav Mahler que, dirigida por el mismo compositor, tuvo un éxito arrollador en su estreno,[2] he abandonado mis reticencias y voy a traer a colación por fin la sublime Octava Sinfonía, apodada (correctamente, en mi opinión) “de los Mil”, por más que el compositor no aprobara este título, debido a que en su estreno el número de músicos involucrados se aproximaba a esa cifra. Esto ya puede daros una idea de lo que viene… porque, con tal cantidad de personas tocando a la vez, la posibilidad de que es resultado sea un batiburrillo incomprensible es bastante alta. Pero, claro, es que estamos hablando de Gustav Mahler, para mi gusto el compositor más inspirado y técnicamente preparado del Siglo XX.[3]

Y, por decirlo todo, el impulso último para que me arriesgue a traer esta barbaridad a colación en estas páginas es que la versión que enlazo fue grabada en directo en el Auditorio Nacional de Madrid, dirigida por un inspiradísimo Josep Pons, a la sazón director titular de la Orquesta y Coro Nacionales de España, y que me tuvo a mí, entre otros miles de arrobados oyentes, como espectador. Desde luego, siendo en Madrid, mi ciudad, no me perdí este representación de primeros de junio de 2012 por nada del mundo. La grabación es realmente fantástica, pero yo os aseguro que escuchar aquella maravilla en directo fue una de las experiencias más alucinantes que he vivido en mis muchas veladas musicales. Sigue leyendo ›

  1. Hay obras, muy pocas, que necesitan aún más músicos para ejecutarse, como el Gurre Lieder de Schönberg, pero no se programan casi nunca. Y si se programaran… conmigo que no cuenten para escuchar nada de Schönberg, lo siento. []
  2. Más de veinte minutos de aplausos tras su ejecución dan cuenta de dicho éxito. []
  3. Y, casi, casi, de toda la historia de la música, por más que algunos me linchéis, seguramente con razón, por decir tal cosa. []

Explorando el álgebra geométrica 2 – Antecedentes – Los números complejos (II)

Continúo dedicando esta entrada a los números complejos, todavía dentro de la parte de introducción de la serie dedicada al álgebra geométrica. Si en la anterior entrada habíamos tratado los números complejos desde un punto de vista puramente  aritmético, ahora veremos cómo los números complejos se representan como puntos en un plano y cómo se visualiza en el plano complejo la suma y el producto de complejos. El producto de complejos  será especialmente importante, ya que los rotores (los operadores de rotación) del álgebra geométrica del plano \mathcal{G}_2 se pueden identificar con complejos de módulo 1.

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Biografía del Universo 32: Epílogo.

FIN DE LA SERIE

“Desde este lejano punto de vista, la Tierra puede no parecer muy interesante. Pero para nosotros es diferente. Considera de nuevo ese punto. Eso es aquí. Eso es nuestra casa. Eso somos nosotros. Todas las personas que has amado, conocido, de las que alguna vez oíste hablar, todos los seres humanos que han existido han vivido en él. La suma de todas nuestras alegrías y sufrimientos, miles de ideologías, doctrinas económicas y religiones seguras de sí mismas, cada cazador y recolector, cada héroe y cobarde, cada creador y destructor de civilizaciones, cada rey y campesino, cada joven pareja enamorada, cada madre y padre, cada niño esperanzado, cada inventor y explorador, cada profesor de moral, cada político corrupto, cada “superestrella”, cada “líder supremo”, cada santo y pecador en la historia de nuestra especie ha vivido ahí —en una mota de polvo suspendida en un rayo de sol.”

Carl Sagan, en su libro “Un punto azul pálido: una visión del futuro humano en el espacio“.[1]

Esta es la fotografía “Pale Blue Dot” de la Tierra, el pequeñísimo punto blanco apuntado por la flecha, casualmente en el centro de uno de los rayos de luz dispersos como resultado de tomar la imagen tan cerca del Sol. Tomada por la nave espacial Voyager 1 el 6 de julio de 1990 desde una distancia de más de 4 mil millones de millas. Como nos dijo el gran Carl Sagan, aquí ha pasado todo lo que le ha sucedido a la humanidad, desde lo más pequeño a lo más grande… un insignificante lugar en un inabarcable océano. A pesar de la nimiedad, grandes hombres nos han ayudado a abrir los ojos. No nos queda más que decirles ¡GRACIAS! (NASA, dominio público)

Queridos amigos, llegó el momento de despedirnos de nuestro Universo. Se trata de nuestra realidad más auténtica, en donde cohabitan y se interrelacionan nuestras ciudades cósmicas, nuestros barrios y casas del Universo. Con qué familiaridad hablamos de la Vía Láctea, del Sistema Solar y de la querida Tierra. La última entrada, “La estructura del Universo II”, fue realmente la última de la serie “Biografía del Universo”. Desde aquel día de la publicación de la primera entrada en nuestro querido blog de El Cedazo, el 18 de febrero de 2017, hemos podido tener la oportunidad de entrar en contacto e intercambiar opiniones a través de 30 entradas más. Sigue leyendo ›

  1. En este enlace podéis leer los párrafos complementarios de Carl Sagan. No tienen desperdicio. []

Explorando el álgebra geométrica 1 – Antecedentes – Los números complejos (I)

Las álgebras de Clifford, a cuyo estudio se dedica esta serie dedicada al álgebra geométrica,  se pueden considerar matemáticamente como una familia de sistemas de números hipercomplejos, es decir, se pueden ver como extensiones o generalizaciones de los números complejos, un concepto desarrollado con anterioridad. Por ello, lo que sepamos sobre números complejos nos será útil: más de un concepto utilizado en los números complejos (como el de norma o el de conjugación)  se generaliza a los multivectores de una álgebra geométrica. Cuando más adelante veamos, por ejemplo, el álgebra geométrica \mathcal{G}_2 asociada al plano bidimensional veremos que su  subálgebra par se comporta igual[1] que los números complejos.

En esta entrada, primera de la serie tras la introducción, haré una introducción básica a qué es un número complejo, y cómo se suman y multiplican los complejos expresados en sus componentes real e imaginaria (restar y dividir es, simplemente, sumar el opuesto y multiplicar por el inverso, respectivamente). También aprovecharé para explicar un poco la historia de los números complejos, y de cómo los matemáticos fueron aceptándolos poco a poco.  La representación de los complejos en el plano, donde se ve más directamente su relación con la geometría, la dejaré para la siguiente entrada.

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  1. En la jerga matemática se dice que es isomorfa. []