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Explorando el álgebra geométrica 14 – Proyección y exclusión respecto a un vector. Simetrías axiales y reflexiones respecto a un hiperplano.

En esta entrada se introducirán dos conceptos importantes en álgebra geométrica, el de proyección y el de exclusión de un vector respecto a otro. De hecho, no se trata más que la descomposición de un vector en una parte paralela (la proyección) y en una parte ortogonal (la exclusión) respecto a otro vector. A continuación veremos la expresión en álgebra geométrica de una simetría axial, así como también la expresión de una simetría de reflexión respecto a un hiperplano. Tanto las simetrías axiales como las reflexiones respecto a un hiperplano son ejemplos de transformaciones ortogonales. Una transformación ortogonal es aquella transformación lineal que conserva el producto interior de dos vectores, de modo que el producto interior de dos vectores es igual al de los vectores transformados. Como el producto interior define la métrica del espacio vectorial, a partir de la que se define la norma de un vector y el módulo del ángulo que forman dos vectores, las transformaciones ortogonales conservan las normas de los vectores y el módulo de los ángulos que forman cualquier par de vectores entre sí. Un tipo importante de transformaciones ortogonales son las rotaciones, pero estas quedarán ya para las próximas entradas de esta serie.

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Cerebro: Del año 0 al año 20 (II)

Esta entrada de la miniserie dedicada a la evolución del cerebro en su primeros años de vida es la continuación a la publicada con antelación y que resultó un encuadre global de cómo van evolucionando y adaptándose los desarrollos neuronal y conductual de un humano desde que nace hasta que, abandonando la adolescencia, entra en la edad madura. Ahora vamos a hablar de la primera fase tras el nacimiento, del año 0 al año 3.

El recién nacido ha llegado al mundo con todo su hardware cerebral preparado y operativo. Pero, salvo unas ciertas instrucciones motoras automáticas y unas pocas experiencias sensoriales intrauterinas -que no alcanzan a las visuales-, su encéfalo es una “tabula rasa”. Es evidente que mucho antes de madurar como para ser parido los sentidos están allí, recopilando experiencias que no tienen ningún significado para él. Es evidente que dentro del útero el feto se mueve, aunque de una manera absolutamente automática e inconsciente.[1]  Tiene todo que aprender a pesar del exceso neuronal y sináptico con el que amaneció a la vida: con el paso del tiempo parte lo va a ir reforzando con el uso, dejando en el camino parte, que morirá por no tener la oportunidad de practicar.

Mielinización del cerebro a través del desarrollo. Imágenes por resonancia magnética axiales del cerebro de un niño, que muestran un aumento relacionado con la edad en el tamaño del cerebro y la intensidad de la materia blanca. A: parte frontal, L: lado izquierdo (Imagen a partir de “Normal Development of Brain Circuits”, fig 5, Gregory Z. Tau y Bradley S. Peterson, Neuropsychopharmacology, 2010)

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  1. En filosofía la tabula rasa hace referencia a la tesis de que cada individuo nace con la mente «vacía», es decir, sin cualidades innatas, de modo que todos los conocimientos y habilidades de cada ser humano son exclusivamente fruto del aprendizaje, a través de sus experiencias y sus percepciones sensoriales. Los neurólogos saben que eso no es así, ya que el neonato sí trae de fábrica habilidades básicas, como la de la succión, la de la distinción de sonidos, la del reflejo de equilibrio, los miedos innatos, el sentido del numero, el reconocimiento de caras familiares… []

[De Thomson a Bohr, historia de un átomo] 0-Conceptos previos 9: Fuerzas Centrales (Parte I)

Estamos de vuelta con la serie de modelos atómicos. En los anteriores artículos hablamos de energía potencial y de momento angular, en este artículo vamos a hablar sobre cómo definir la posición de un objeto en el espacio y de un tipo de fuerzas muy especiales, las fuerzas centrales. ¡Empecemos!

En primer lugar vamos a hablar sobre cómo podemos localizar un objeto en el espacio; para simplificar al máximo las cosas, voy a suponer solamente espacios bidimensionales (es decir, sólo existe adelante, atrás, izquierda y derecha, pero no arriba y abajo). Pues bien, resulta que lo que nos sirve para localizar objetos es algo que ya presentamos en el artículo sobre colisiones ¡un vector!

Ya hablamos en ese artículo que un vector es algo que nos indica, además de un valor, una dirección, sentido y punto de aplicación. Entonces deberíamos ver casi de inmediato que esto nos sirve para localizar objetos en el espacio. Vamos a hacer una prueba: supongamos que queremos describir la posición de un objeto; primero de todo necesitamos un punto de aplicación, es decir, la posición del objeto no será la misma para mí que para otra persona. Un ejemplo:

Suponed que el objeto está a 5m de mí hacia el Norte y tengo un amigo que está a 10m de mí hacia el Sur. Entonces yo no puedo decirle a mi amigo que el objeto está 5m hacia el Norte y quedarme tan tranquilo, pues si él camina 5m hacia el Norte no lo va a encontrar. Debo especificar que “el objeto está 5m hacia el Norte, partiendo desde donde yo estoy”. Necesitamos saber el punto de aplicación. Otra forma que tenemos de describirle la posición del objeto sería decirle que está 15m al Norte de donde está él. Ahora sí, fijaos que hemos cambiado el punto de aplicación, y ha “cambiado la posición” del objeto, ha pasado de estar 5m al Norte a estar a 15m.[1]

Bien, pues en efecto necesitamos conocer el punto de aplicación, pero esto evidentemente no basta. Necesitamos además una dirección. El concepto de dirección es bastante confuso para muchos, y suele confundirse con el “sentido”, ya que muchas veces ambas informaciones se dicen juntas. Si releéis el ejemplo anterior habréis notado que, para dar la localización del objeto, no me ha bastado con decir solamente el punto de aplicación, he necesitado especificar “5m al Norte”. Pues bien, ese “al Norte” nos indica la dirección, pero no sólo la dirección, sino también el sentido. Más concretamente, la dirección sería la dirección Norte-Sur:  nos indica la línea recta en la que encontraremos el objeto, mientras que es el sentido el que nos indica si, dentro de la dirección “Norte-Sur”, debemos ir hacia el Norte o hacia el Sur. Luego pongo un ejemplo que siempre me ha gustado para entender la diferencia entre dirección y sentido.

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  1. Es importante tener en cuenta que NO estoy hablando que el objeto se haya movido, pero, como he dicho, la posición de un objeto depende del punto de aplicación. []

Cerebro: del año 0 al año 20 (I)

Hace unos pocos días dimos por completa la publicación de un pequeño cuento en tres entregas, que titulé  “El cuento de la neurona”.[1][2] Allí, materializado en el relato autobiográfico de una neurona, os explicaba justamente eso: la biografía de una neurona particular, una neurona cortical motora. A veces, mientras pienso en el cerebro, me distraigo con la idea de que eso que estoy leyendo o estudiando está sucediendo realmente ahí, justo dentro del cráneo de la camarera que se afana en traerme un plato de ensaladilla rusa, o justo dentro del cráneo del policía que se afana por remediar las inconveniencias de un semáforo fallido en donde estoy atrapado. Estoy rodeado de cinco nietos de dos, tres, seis, ocho y once años. Creo que soy afortunado, aunque esa opinión es muy personal. Y sí… también me pregunto qué es lo que pasará en estos cinco cerebros en este preciso instante y cómo será la actividad de las piezas de sus máquinas cerebrales en constante construcción. No os engaño que casi oigo de verdad esta actividad cuando los veo actuar. En un momento dado me planteé que sería superinteresante profundizar un poco en el tema y tener información para ver de verdad su actividad. Es apasionante observar cómo es la Vida en vivo y en directo.

Explicados mis motivos, paso a comentar con vosotros el resultado de mis indagaciones en una miniserie de cuatro relatos que hoy comienza.

El baile de las neuronas: Primera imagen publicada de un electroencefalograma en diciembre de 1929 (Wikimedia, dominio público)

En otras entradas[3] de este blog he explicado un poco cómo es la anatomía cerebral y cómo interactúan entre sí las neuronas. Quizá sería bueno repasarlas si no estás familiarizado con el tema, aunque supongo que si has llegado hasta aquí es que realmente sí sabes de lo que voy a hablar. Sigamos, pues, adelante. Sigue leyendo ›

  1. Esta entrada, ésta y esta otra. []
  2. Título que refleja por mi parte un pretencioso, y en la realidad humilde, homenaje a mi admirado Richard Dawkins y su delicioso libro “The ancestor’s tale”. []
  3. Como por ejemplo en la entrada número 05Entendiendo el encéfalo” de la serieBiografía de lo humano”, o en la entrada 01Un poco de anatomía para una navegación confortable” y la 02Los primeros talleres del procesamiento cerebral de las señales somatosensoriales” de la serieLos sistemas receptores” e incluso en la entrada 25Evolución de la notocorda y el sistema nervioso” de la serieLa biografía de la Vida”, en la que hacía una aproximación evolutiva acerca del tema. []

El cuento de la neurona III

Aviso introductorio: Esta es la tercera entrada de las tres en que ha quedado dividido un minirrelato que no pretende ser una explicación técnica detallada de cómo nacen, evolucionan y mueren las neuronas en general. Simplemente es la historia de una sola muy particular, una de las miles y miles que habitan la corteza motora primaria del cerebro. Que nos cuenta desde el momento biológico actual sus recuerdos de infancia y juventud. 

De vueltas del sueño reparador en que acabó la entrada anterior, continúo con el relato de mi vida. Os estaba contando de qué manera mis neuritas, axón y dendritas, vieron la luz y se dirigieron a sus destinos operativos: una unidad motora del sóleo izquierdo.[1] Pero, conscientemente, me dejé en el tintero una mención especial a mi axón, y ahora es el momento de sacarlo a relucir.

Nuestra neurona “cuentacuentos”. Una piramidal Betz, situada en la parte interior del giro central en la corte motora primaria del encéfalo (Imagen de la neurona: Bob Jacobs, Wikimedia, CC BY-SA 3.0; imagen del cerebro, modificada de la red, fair use)

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  1. El sóleo es un músculo situado en la pantorrilla de la pierna que se encarga de la flexión y extensión del pie. []

[De Thomson a Bohr, historia de un átomo] 0-Conceptos previos 8: Momento Angular

Seguimos con la serie de modelos atómicos. En la anterior entrada hablamos sobre la energía potencial y dedujimos la expresión de la energía potencial que tiene una partícula con carga debido a la fuerza ejercida por otra partícula. En esta entrada vamos a hablar de un concepto que puede ser algo abstracto, pero muy importante en física: hablamos del momento angular. Bien, ¿qué es el momento angular? Recordemos que hace ya algún tiempo hablamos de momento lineal.

Si recordáis, el momento lineal era una medida de la dificultad que había para llevar un objeto al reposo. Vimos que éste era proporcional a la velocidad (cuanta más velocidad tenga el objeto más difícil será llevarlo hasta el reposo, además, si por ejemplo la velocidad fuera cero, el momento lineal sería también cero, pues la partícula ya está en reposo) y también proporcional a la masa del objeto, pues cuanta más masa tenga el objeto, más difícil será llevarlo al reposo. También vimos que esta magnitud es muy importante para la física porque se mantiene constante (bajo la condición que no actúen fuerzas externas), y en física las magnitudes constantes resultan muy útiles.

Pues en esta entrada vamos a estudiar el hermano del momento lineal, el Momento Angular. El momento lineal habla sobre objetos que se mueven por el espacio, pero imaginemos un objeto que esté quieto, pero que da vueltas sobre sí mismo, por ejemplo una peonza. ¿Cuál es su momento lineal? Si la peonza no se mueve por el espacio su velocidad es cero, por lo que su momento lineal también va a ser cero, lo hemos dicho justo en el párrafo anterior. En este caso es interesante definir el momento angular, así como definíamos el momento lineal como la dificultad para llevar el objeto al reposo, podemos definir el momento angular de la misma forma, pero con la diferencia que el momento lineal hace referencia a que el objeto no cambie de posición, mientras que el momento angular hace referencia a que el objeto no esté rotando. Así pues; el Momento Angular es la dificultad que opone un objeto rotando a ser llevado al reposo.

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El cuento de la neurona II

Aviso introductorio: Esta es la segunda entrada de tres en que ha quedado dividido este minirrelato, que no pretende ser una explicación técnica detallada de cómo nacen, evolucionan y mueren las neuronas en general. Simplemente es la historia de una sola muy particular, una de las miles y miles que habitan la corteza motora primaria del cerebro. Que nos cuenta desde el momento biológico actual sus recuerdos de infancia y juventud. 

Hola de nuevo. Os tengo que confirmar que la intervención motora que se nos solicitó por los “jefes” de la corteza prefrontal y que obligó a la clausura intempestiva de la primera entrada fue llevada a cabo sin incidentes. Nuestro “Yo” subió de forma relajada al tercer piso de su vivienda. Dicho esto, continúo con mi biografía, que quedó cortada en el momento en que presentaba a unos nuevos personajes, los neuroblastos. De todas formas, convendría repasar lo dicho hace unos días antes de seguir por la narración de hoy.

Al principio estas células precursoras, los neuroblastos, parecieron contagiarse con la actividad y las urgencias de sus células madres, las neuroepiteliales, ya que una vez nacidos en la zona interna de la pared del tubo neural procedieron rápidamente a migrar hacia la zona más exterior. Mi madre neuroblasto estaba allí y fue un momento crucial para mi futuro, ya que aquella migración se manifestó decisiva para formar una estructura como la corteza cerebral en donde yo hago mi trabajo. En esta labor de migración encontraron una ayuda fundamental en unas células que conservaban aun una semejanza de rasgos físicos con las neuroepiteliales primeras: aquello que llamábamos en la entrada anterior “cariátide”.[1] Y es que habían adoptado una posición radial, con un núcleo en la parte interna o ventricular del tubo neural y una prolongación filiforme que llegaba a anclarse en la frontera externa del mismo o zona pial. Las podéis ver tintadas de rojo en la figura siguiente. A mí estas glías radiales, que así es como las conocemos en nuestra familia, me recordaban a las alubias del cuento de “Juanito y las habichuelas mágicas“. Y cual Juanito, mi neuroblasto ascendió por la liana. A su lado miles y miles de compañeras estaban en distintas fases del mismo proceso en su camino hacia el borde exterior, para formar la placa cortical que luego sería la materia gris de la corteza del cerebro de mi embrión.

En este esquema que representa un corte de la pared del tubo neural se distinguen tres tipos de células: dos gliales radiales (RG`s rojas y verdes) y las neuronas (en dos colores, rosa y azul). Los núcleos de las gliales rojas (aRG’s) están anclados en la base mientras que los de las verdes (bRG’s) se sitúan en posiciones más externas. Podemos observar cómo las neuronas escalan por las fibras de las RG’s tal como se explica en el texto. Pero lo curioso es que hay dos modelos de escalada que dependen de la cantidad de bRG’s. Cuando hay muchas bRG’s, las neuronas en su camino ascendente encuentran muchas posibilidades de tomar sendas desviadas hacia los lados de la dirección inicial (líneas de puntos rosas). Lo cual determinará el que un encéfalo sea arrugado y girificado como el de los humanos en vez de liso como el de un ratón. (Imagen de “Role of radial glial cells in cerebral cortex folding”, Victor Borrell y Magdalena Götz, Current Opinion in Neurobiology, Agosto 2014, fair use)

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  1. Una cariátide es una figura femenina esculpida, con función de columna o pilastra, con un entablamento que descansa sobre su cabeza. El más típico de los ejemplos es la Tribuna de las Cariátides en el Erecteión, uno de los templos de la Acrópolis ateniense. []

Explorando el álgebra geométrica 13 – El álgebra geométrica del espacio tridimensional

Esta entrada de la serie dedicada al álgebra geométrica se dedicará al álgebra del espacio euclídeo tridimensional, también conocida desde el punto de vista matemático como álgebra de Pauli. Como espacio lineal esta álgebra tiene 8 dimensiones: una dimensión escalar, tres vectoriales, tres bivectoriales y una trivectorial. Si en el caso del álgebra del plano euclídeo pudimos destacar la existencia de una subálgebra muy importante que podíamos identificar con los números complejos, veremos hoy que la subálgebra más importante de \mathcal{G}_3 la podemos identificar con los cuaterniones. Los cuaterniones, como los complejos en \mathcal{G}_2, se podrán considerar como los operadores de rotación y reescalado del álgebra, aunque en esta entrada no entraré todavía en detalles sobre ello. Acabaré la entrada hablando sobre los inversos de los multivectores.

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Nuevos datos sobre Alphazero, un avance muy significativo en la Inteligencia Artificial

Hace algo más de un año, en diciembre de 2017, publiqué un artículo comentando la aparición de una nueva inteligencia artificial, Alphazero, creada por DeepMind, una división de Google en el Reino Unido, diseñada para jugar al ajedrez, que había batido de forma incontestable a Stockfish, el indiscutido campeón mundial de programas de ajedrez. En esa fecha DeepMind publicó un paper preliminar, explicando someramente el método seguido para generar la IA, una red neuronal, así como el resultado de la competición programada contra Stockfish: 100 partidas, en las que Alphazero venció en 28 y las 72 restantes fueron tablas. Y en ese documento se mostraron 10 de las 100 partidas jugadas, todas ellas victorias de Alphazero, que dejaron bastante ojipláticos a multitud de jugadores, maestros y analistas.

Todo listo para comenzar la batalla…

Sin embargo, y a pesar de la enorme calidad del juego de Alphazero demostrado en esas pocas partidas, hubo también quien tuvo serias dudas sobre el desarrollo del match, debido a las condiciones que se dieron durante el mismo en cuanto a la gestión del tiempo, la configuración del hardware utilizado, etc.

DeepMind ha seguido trabajando en ese proyecto y el mes pasado (diciembre de 2018), un año después, ha publicado un nuevo paper muchísimo más detallado que el anterior, donde se explican pormenorizadamente muchos de los extremos que habían quedado en el limbo, se resuelven las dudas que se habían generado y donde, en fin, se muestran los resultados de diferentes enfrentamientos con Stockfish con condiciones diferentes… y no sólo con él.[1] Y los resultados siguen siendo alucinantes, o al menos a mí me lo parecen. Tanto es así que la superprestigiosa revista Science ha publicado este anuncio en su portada.

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  1. Además, en su web han publicado mucha más información adicional. []

El cuento de la neurona I

Aviso introductorio: Esta es la primera entrada de las tres en que ha quedado dividido este minirrelato, que no pretende ser una explicación técnica detallada de cómo nacen, evolucionan y mueren las neuronas en general. Simplemente es la historia de una sola muy particular, una de las miles y miles que habitan la corteza motora primaria del cerebro. Que nos cuenta desde el momento biológico actual sus recuerdos de infancia y juventud. 

Imagen de una neurona piramidal de la corteza cerebral de un ratón, pigmentada con proteína fluorescente para su mejor observación. Se puede ver la larga dendrita de cabeza, una multitud de dendritas basales y un fino axón que se prolonga hacia abajo desde el cuerpo de la célula (Wikimedia CC BY 2.5)

Soy una neurona. Creo que me puedo sentir privilegiada, pues ya llevo en activo unas cuantas décadas del tiempo humano. Cuando digo “en activo” quiero remarcar “con un alto nivel de actividad”, ya que mi taller está en la corteza motora primaria del lóbulo frontal derecho de mi organismo y al “Yo” que lo comanda le gusta el deporte -sube y baja las montañas-. Conjunción de circunstancias que me permite mantener muchas de las viejas relaciones de vecindad y coworking con otras neuronas hermanas. Con unas nos dimos las manos casi desde el principio de nuestra existencia, con otras la vida nos llevó a encontrarnos más tarde… con todas ellas el roce de axones y dendritas, lo mucho y variado que nos decimos en nuestras sinapsis,[1] nos permite trabajar como en un hormiguero, mejor, como en un variado mosaico de clubes sociales, acopladas y vibrando en común. Las relaciones a veces cambian. Yo veo que mi axón a veces, siguiendo la llamada de las proteínas directoras del tráfico en el espacio intercelular, se dirige e interacciona con más intensidad con otras neuronas… o todo lo contrario…

La verdad es que todo esto no me importa mucho, soy una obrera y todo lo demás es cometido del departamento de Fisiología. En mi club social nos dedicamos a mover los músculos que flexionan el pie izquierdo, en concreto una unidad muscular motora[2] del sóleo[3] de esa extremidad. Somos muchas en la gestión y por ahora creo que lo hacemos bien. Creo que eso es parte del porqué a nuestro “Yo” le mola el senderismo… lo cual nos redunda en beneficio, ya que la continua actividad a que nos tiene sometidas nos estimula y nos da vida. Sigue leyendo ›

  1. La sinapsis es la zona de comunicación entre la neurita, o prolongación citoplasmática de una neurona, y las dendritas o el cuerpo de otra. A través de las sinapsis las neuronas se pasan la información. []
  2. En la unidad motora el impulso nervioso, que viene del cerebro a través de la médula espinal hacia los músculos, se transforma en una orden motora que hace que la fibra muscular se contraiga. La neurona motora, situada en la médula, y el conjunto de todas las fibras musculares a las que estimula constituyen la unidad motora. []
  3. El músculo sóleo es un músculo ancho y grueso ubicado en la pierna, que se encuentra en su cara posterior, debajo y por detrás de los gemelos. Su nombre deriva de la palabra latina “solea“, que significa “sandalia”. Su función es la flexión plantar o extensión del pie y la elevación del talón en la bipedestación. []