Regístrate | Conectar
El Tamiz Libros Recursos Series Únete 13 Users Online
Skip to content

Explorando el álgebra geométrica 2 – Antecedentes – Los números complejos (II)

Continúo dedicando esta entrada a los números complejos, todavía dentro de la parte de introducción de la serie dedicada al álgebra geométrica. Si en la anterior entrada habíamos tratado los números complejos desde un punto de vista puramente  aritmético, ahora veremos cómo los números complejos se representan como puntos en un plano y cómo se visualiza en el plano complejo la suma y el producto de complejos. El producto de complejos  será especialmente importante, ya que los rotores (los operadores de rotación) del álgebra geométrica del plano \mathcal{G}_2 se pueden identificar con complejos de módulo 1.

Sigue leyendo ›

Biografía del Universo 32: Epílogo.

FIN DE LA SERIE

“Desde este lejano punto de vista, la Tierra puede no parecer muy interesante. Pero para nosotros es diferente. Considera de nuevo ese punto. Eso es aquí. Eso es nuestra casa. Eso somos nosotros. Todas las personas que has amado, conocido, de las que alguna vez oíste hablar, todos los seres humanos que han existido han vivido en él. La suma de todas nuestras alegrías y sufrimientos, miles de ideologías, doctrinas económicas y religiones seguras de sí mismas, cada cazador y recolector, cada héroe y cobarde, cada creador y destructor de civilizaciones, cada rey y campesino, cada joven pareja enamorada, cada madre y padre, cada niño esperanzado, cada inventor y explorador, cada profesor de moral, cada político corrupto, cada “superestrella”, cada “líder supremo”, cada santo y pecador en la historia de nuestra especie ha vivido ahí —en una mota de polvo suspendida en un rayo de sol.”

Carl Sagan, en su libro “Un punto azul pálido: una visión del futuro humano en el espacio“.[1]

Esta es la fotografía “Pale Blue Dot” de la Tierra, el pequeñísimo punto blanco apuntado por la flecha, casualmente en el centro de uno de los rayos de luz dispersos como resultado de tomar la imagen tan cerca del Sol. Tomada por la nave espacial Voyager 1 el 6 de julio de 1990 desde una distancia de más de 4 mil millones de millas. Como nos dijo el gran Carl Sagan, aquí ha pasado todo lo que le ha sucedido a la humanidad, desde lo más pequeño a lo más grande… un insignificante lugar en un inabarcable océano. A pesar de la nimiedad, grandes hombres nos han ayudado a abrir los ojos. No nos queda más que decirles ¡GRACIAS! (NASA, dominio público)

Queridos amigos, llegó el momento de despedirnos de nuestro Universo. Se trata de nuestra realidad más auténtica, en donde cohabitan y se interrelacionan nuestras ciudades cósmicas, nuestros barrios y casas del Universo. Con qué familiaridad hablamos de la Vía Láctea, del Sistema Solar y de la querida Tierra. La última entrada, “La estructura del Universo II”, fue realmente la última de la serie “Biografía del Universo”. Desde aquel día de la publicación de la primera entrada en nuestro querido blog de El Cedazo, el 18 de febrero de 2017, hemos podido tener la oportunidad de entrar en contacto e intercambiar opiniones a través de 30 entradas más. Sigue leyendo ›

  1. En este enlace podéis leer los párrafos complementarios de Carl Sagan. No tienen desperdicio. []

Explorando el álgebra geométrica 1 – Antecedentes – Los números complejos (I)

Las álgebras de Clifford, a cuyo estudio se dedica esta serie dedicada al álgebra geométrica,  se pueden considerar matemáticamente como una familia de sistemas de números hipercomplejos, es decir, se pueden ver como extensiones o generalizaciones de los números complejos, un concepto desarrollado con anterioridad. Por ello, lo que sepamos sobre números complejos nos será útil: más de un concepto utilizado en los números complejos (como el de norma o el de conjugación)  se generaliza a los multivectores de una álgebra geométrica. Cuando más adelante veamos, por ejemplo, el álgebra geométrica \mathcal{G}_2 asociada al plano bidimensional veremos que su  subálgebra par se comporta igual[1] que los números complejos.

En esta entrada, primera de la serie tras la introducción, haré una introducción básica a qué es un número complejo, y cómo se suman y multiplican los complejos expresados en sus componentes real e imaginaria (restar y dividir es, simplemente, sumar el opuesto y multiplicar por el inverso, respectivamente). También aprovecharé para explicar un poco la historia de los números complejos, y de cómo los matemáticos fueron aceptándolos poco a poco.  La representación de los complejos en el plano, donde se ve más directamente su relación con la geometría, la dejaré para la siguiente entrada.

Sigue leyendo ›

  1. En la jerga matemática se dice que es isomorfa. []

Eso que llamamos Lógica. El libro.

Hace eones que publiqué aquí una serie sobre Eso que llamamos Lógica, concretamente entre octubre de 2011 y junio de 2012. La serie se basaba en mis viejos y amarillentos apuntes de la asignatura “Metodología” de segundo curso de Informática, cuando yo era joven y la disciplina se iba construyendo cada día… ¡qué tiempos! Esos apuntes que conservo como oro en paño reflejan cómo nos contó la asignatura D. José Cuena Bartolomé, uno de los mejores profesores que he tenido en mi vida, en aquellos turbulentos años de mediados de los setenta del siglo pasado, cuando Franco se estaba muriendo y nadie sabía qué iba a pasar con nuestras vidas, con nuestra sociedad, con nuestro país… Y sí, la asignatura se llamaba “Metodología”, pero lo que contenía era Lógica formal. Cosas que pasaban entonces, cuando los temarios de las asignaturas se iban construyendo sobre la marcha.

A lo largo de la serie se desgranaban los esquemas lógicos que luego me fueron muy útiles a lo largo de mi vida profesional como informático de pro, hoy felizmente jubilado, y me pareció interesante compartir esos apuntes, esa forma un tanto peculiar de explicar la Lógica, a los lectores de El Cedazo. Los comentarios recibidos, muchos de ellos muy intensos, me convencieron de que efectivamente era un tema que tenía cierto interés para los lectores, así que la serie fue publicándose plácidamente hasta su finalización, contando incluso con dos interesantes colaboraciones en forma de anexos que escribió nuestro amigo Javier “J” Sedano.

Cuando la serie terminó recopilé los artículos en formato PDF y los puse a disposición de los lectores que los quisieran, tanto en formato A4 como en A5. Y ahí quedó la cosa. Pero el caso es que años después publiqué una novela de gran éxito,[1] BEGIN, en papel en la plataforma lulu.com y también en formato electrónico (epub en lulu y kindle en Amazon), y después, visto el éxito y, sobre todo, lo bien editados que están (lulu lo hace de maravilla) y lo bien que quedan en la biblioteca de casa, publiqué también la versión en papel de mis Memorias de un Viejo Informático, esa dicharachera serie que tanto dio que hablar hace casi diez años, y también las correspondientes versiones electrónicas, en formato epub o kindle.

Eso que llamamos Lógica. Portada.

Ambos libros quedan, como dije, preciosos en mi estantería y me alegran la vista cada vez que los veo, por lo que poco a poco me he ido convenciendo para hacer lo mismo con la serie sobre Lógica. Así serán tres los libros que adornan mi biblioteca personal, en vez de dos.

Y dicho y hecho, me he arremangado nuevamente para lidiar con formatos, páginas pares e impares distintas, números de página que van y vienen y todas estas fruslerías necesarias para publicar de forma digna, en la plataforma lulu.com, el libro en papel sobre Eso que llamamos Lógica. Lo que os cuento hoy por si a alguno de vosotros, queridos lectores de El Cedazo, le parece interesante tener en papel las elucubraciones lógicas de un informático viejo.

Aquí tenéis una foto del libro, con la portada que, sinceramente, no me he currado mucho, pero que sin embargo, una vez que tienes el libro en tu mano, queda bastante resultona para mi gusto: los colores contrastan, el título se lee bien y la imagen se adecua razonablemente al contenido.

Sigue leyendo ›

  1. Unos 150 ejemplares vendidos para una novela en autopublicación no está nada mal. []

Explorando el álgebra geométrica – Introducción

Éste es el primer artículo de una serie que pretende dar a conocer el álgebra geométrica, una fascinante y poderosa herramienta matemática creada por el matemático alemán Hermann Günther Graßmann (1809-1877) y por el matemático inglés William Kingdon Clifford (1845-1879), con el propósito de realizar la idea de Leibniz (1646-1716) de un cálculo cuyos símbolos representaran objetos geométricos (como puntos, líneas, superficies o volúmenes) y se pudieran manipular algebraicamente de forma independiente de las coordenadas. Sigue leyendo ›

Biografía del Universo 31: La estructura del Universo II

En la entrada anterior de esta serie sobre la “Biografía del Universo” hicimos un fin de etapa, ya que la escritura iba ya resultando farragosa por su longitud. Hoy toca continuar engarzando al último personaje que allí apareció, que era, ni más ni menos, la “bestialidad” estructural de Laniakea.

Laniakea no es tan “bestial” como jocosamente apunta el texto, simplemente es una mota perdida en la inmensidad del Universo observable. La cuestión de que esté en el centro no tiene nada que ver con una visión antropocéntrica… es que realmente, por definición, estamos en el centro del Universo observable (Wikimedia: imagen de J.A. Galán Baho, CC BY-SA 4.0)

Sigue leyendo ›

Los sistemas receptores. Anexo III: El pdf

Bueno, amigos, como he repetido al final de otras series, llegó la verdadera despedida de ésta sobre Los Sistemas Receptores que ya va durando unos meses.

Lo mismo que en otras ocasiones, he considerado un buen colofón el recopilar todas las entradas y editarlas en forma de pdf. Lo tenéis en el enlace de más abajo, que os llevará a la plataforma editorial ISSUU, en donde también tengo colgados los pdf’s correspondiente a “La biografía de la Vida“, “Biografía de lo humano” y “Biografía del Universo“, series que han ido apareciendo en nuestro querido blog, al menos para mí, “El Cedazo“.

En este libro encontraréis una exposición de lo que llamo “Los sistemas receptores“. Los primeros capítulos introducen conceptos básicos anatómicos y fisiológicos, necesarios para entender mejor lo que va a continuar. Que no es, ni más ni menos, que seguir uno a uno todos los sentidos que proporcionan información del exterior o del interior del cuerpo a nuestro cerebro. Seguir la información desde el punto de entrada, donde algún sensor corporal se da por aludido, hasta las regiones finales del sistema nervioso a donde llega la información sensorial. Ya es harina de otro costal el saber qué es lo que hace el cerebro con todo ello.

Sigue leyendo ›

Biografía del Universo 30: La estructura del Universo I

hoy

Con lo dicho hasta la entrada anterior parece que ya podríamos echar el cierre. Habían pasado más o menos 13.800 millones de años desde aquello que creemos fue una excursión cuántica desde el vacío, una inestabilidad de energía que logró escapar del principio de incertidumbre con la ayuda de la gravedad. Poco más tarde pasó por un episodio tremendamente expansivo en el que su tejido creció a velocidades mayores que la de la luz, durante el que se recargó de energía. Esta energía se convirtió en materia y radiación y aún le quedó impulso que dura incluso a día de hoy. En el camino se formaron átomos y cúmulos de materia que devinieron en galaxias y estrellas. Perfectamente ordenadas, según los patrones que fijó la inflación. La historia de nuestra serie sobre la Biografía del Universo está en realidad acabada, pero procede explicar cuál es el grupo escultórico que podemos contemplar hoy, poso del paso dinámico de lo sucedido. Vamos en las próximas entradas a ver cuál es la estructura que el Universo presenta a nuestros ojos. Será un viaje… ¡apasionante!

Aquí está nuestro personaje: EL UNIVERSO. Tamaño observable: 93.000 millones de años luz en diámetro. Temperatura media: 2,725K. Volumen observable: 1,09 x 1079 m3. Densidad de energía: 0,846 x 10-29 gr/cm3. Masa: 9,27 x 1052 kg. Y aquí, su retrato… →→→

El cielo nocturno, fuera de la interferencia de la luz solar, momento en que mejor podemos apreciar la realidad de nuestro Universo. Se trata de una panorámica nocturna de la Vía Láctea vista desde la plataforma de Paranal, Chile, hogar del telescopio gigante del ESO (Wikimedia, CC BY 4.0)

Podríamos pensar que el Cosmos de hoy tendría que estar lleno de materia distribuida de forma muy homogénea. Y sin embargo, como así lo sugiere la bella fotografía anterior, somos capaces de observar que hay una estrella por aquí, un cúmulo por allá o un agujero negro por el otro lado… ¿dónde está la homogeneidad?

¡La hay!… se trata de una homogeneidad en un inmenso vacío. A pesar de que veamos mucha materia estelar en los cielos nocturnos, no deja de ser una percepción de nuestras más próximas cercanías: la Vía Láctea. Más allá de ella hay más vacío que materia, concentrada en un exiguo promedio de ¡medio protón por cada metro cúbico de un espacio mareante! Sigue leyendo ›

Los sistemas receptores. Anexo II: Sentido de la propia identidad (Yo y consciencia)

Este nuevo anexo de la serie sobre los sistemas receptores, que sin duda resultará sui géneris y quizás desubicado, surge espontáneamente como una necesidad vital de fijar mis ideas. Intuyo que mi identidad es lo que me eleva, me da consistencia al tan simple orden físico, que pudiera parecer tan desolador, con el que acabé la última entrada de la serie.[1] Porque de aquel trasfondo elemental de la existencia del Cosmos surge, aunque parece un imposible, la percepción de que evidentemente yo soy bastante más que el resultado de un mero juego de las leyes físicas más fundacionales. Realmente me percibo como una identidad personal, propiamente mía, desde cuya perspectiva soy el dueño de mi cuerpo, de lo que siento y de lo que percibo. Soy propietario de estas experiencias como también soy el propietario de las reacciones con las que las afronto. Como todos, a no ser que las patologías o los accidentes lo anulen, siento, me parece saber, que hay una entidad propia que me define, me da consistencia y me permite realizar mi existencia al interactuar con más o menos fortuna con lo que me rodea.

En la presente entrada hablaremos de este chip, no el que ves incrustado en una tarjeta de identidad ciudadana, sino del biológico incrustrado en la complejidad de nuestro cerebro (Imagen de la red, dominio público)

Como podéis imaginar me estoy refiriendo, quizás más que a un sentido, a un sentimiento, a un matiz personal sobre la idea de mi identidad, a un cualia[2] personal que definimos como el sentido del Yo. Una realidad perceptiva más que emerge del mundo completo -como cerrado y autosuficiente para explicar sus fenómenos- de la biofísica, de donde la suma de sus partes ha construido algo más que lo que de esta suma se puede esperar: mi identidad, mi yo, la herramienta que me permite, con su presencia sentida, el navegar con ventaja por el mar de la supervivencia, de la homeostasis. Sigue leyendo ›

  1. Simplemente como recordatorio copio aquí una de las últimas locas y contundentes frases: “Parece que existimos como entes resultado de un mundo relacional más allá de lo tangible. ¿Es un mundo vacío? ¿Es todo y sólo el efecto de una pura acción-reacción de unas fuerzas fundamentales que parecen regir nuestro Cosmos y que se nos han revelado gracias a las matemáticas y al poder del razonamiento que se apoya en la consciencia que gestiona el yo? []
  2. Según nos cuenta un grupo científico de la Universidad de Granada… “Los cualias son una experiencia en primera persona. El problema duro de la conciencia. Ejemplos de cualias son el dejavu, el dolor, la intuición, la sinestesia, el placer mental, la pasión, tener algo en la punta de la lengua, el color, la curiosidad…“. []

Biografía del Universo 29: La fiesta continúa en las estrellas II

La entrada anterior de esta serie que titulamos “Biografía del Universo” la dedicamos a introducirnos en el mundo de las estrellas, hablando de las más antiguas, las de Población III, y de sus hijas, las de Población II. La cortamos ahí, pues ya se nos iba haciendo larga. Hoy procede seguir con la saga familiar, ya que la vida continúa.

La siguiente generación de estrellas fueron las de Población I. Normalmente son estrellas jóvenes, que se encuentran habitualmente en las galaxias espirales y, según sea su edad, se sitúan en ellas en distintas zonas: las más jóvenes cerca del bulbo de la galaxia y las de mayor edad alejadas de este centro. Ya hemos comentado que tienen una alta metalicidad, la mayor entre la de las tres poblaciones de estrellas. Apoyados en esta característica, hasta hace poco se pensaba que la alta metalicidad les hacía las mejores candidatas para tener sistemas planetarios, en especial los de tipo rocoso. Sin embargo, gracias a la misión Kepler, se han encontrado este tipo de planetas alrededor de estrellas con un amplio rango de metalicidades, e incluso se han hallado planetas gigantes gaseosos que sorprendentemente se encuentran agrupados alrededor de estrellas de alta metalicidad. Aún hay mucho que aprender. Sigue leyendo ›