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Explorando el álgebra geométrica 13 – El álgebra geométrica del espacio tridimensional

Esta entrada de la serie dedicada al álgebra geométrica se dedicará al álgebra del espacio euclídeo tridimensional, también conocida desde el punto de vista matemático como álgebra de Pauli. Como espacio lineal esta álgebra tiene 8 dimensiones: una dimensión escalar, tres vectoriales, tres bivectoriales y una trivectorial. Si en el caso del álgebra del plano euclídeo pudimos destacar la existencia de una subálgebra muy importante que podíamos identificar con los números complejos, veremos hoy que la subálgebra más importante de \mathcal{G}_3 la podemos identificar con los cuaterniones. Los cuaterniones, como los complejos en \mathcal{G}_2, se podrán considerar como los operadores de rotación y reescalado del álgebra, aunque en esta entrada no entraré todavía en detalles sobre ello. Acabaré la entrada hablando sobre los inversos de los multivectores.

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Nuevos datos sobre Alphazero, un avance muy significativo en la Inteligencia Artificial

Hace algo más de un año, en diciembre de 2017, publiqué un artículo comentando la aparición de una nueva inteligencia artificial, Alphazero, creada por DeepMind, una división de Google en el Reino Unido, diseñada para jugar al ajedrez, que había batido de forma incontestable a Stockfish, el indiscutido campeón mundial de programas de ajedrez. En esa fecha DeepMind publicó un paper preliminar, explicando someramente el método seguido para generar la IA, una red neuronal, así como el resultado de la competición programada contra Stockfish: 100 partidas, en las que Alphazero venció en 28 y las 72 restantes fueron tablas. Y en ese documento se mostraron 10 de las 100 partidas jugadas, todas ellas victorias de Alphazero, que dejaron bastante ojipláticos a multitud de jugadores, maestros y analistas.

Todo listo para comenzar la batalla…

Sin embargo, y a pesar de la enorme calidad del juego de Alphazero demostrado en esas pocas partidas, hubo también quien tuvo serias dudas sobre el desarrollo del match, debido a las condiciones que se dieron durante el mismo en cuanto a la gestión del tiempo, la configuración del hardware utilizado, etc.

DeepMind ha seguido trabajando en ese proyecto y el mes pasado (diciembre de 2018), un año después, ha publicado un nuevo paper muchísimo más detallado que el anterior, donde se explican pormenorizadamente muchos de los extremos que habían quedado en el limbo, se resuelven las dudas que se habían generado y donde, en fin, se muestran los resultados de diferentes enfrentamientos con Stockfish con condiciones diferentes… y no sólo con él.[1] Y los resultados siguen siendo alucinantes, o al menos a mí me lo parecen. Tanto es así que la superprestigiosa revista Science ha publicado este anuncio en su portada.

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  1. Además, en su web han publicado mucha más información adicional. []

El cuento de la neurona I

Aviso introductorio: Esta es la primera entrada de las tres en que ha quedado dividido este minirrelato, que no pretende ser una explicación técnica detallada de cómo nacen, evolucionan y mueren las neuronas en general. Simplemente es la historia de una sola muy particular, una de las miles y miles que habitan la corteza motora primaria del cerebro. Que nos cuenta desde el momento biológico actual sus recuerdos de infancia y juventud. 

Imagen de una neurona piramidal de la corteza cerebral de un ratón, pigmentada con proteína fluorescente para su mejor observación. Se puede ver la larga dendrita de cabeza, una multitud de dendritas basales y un fino axón que se prolonga hacia abajo desde el cuerpo de la célula (Wikimedia CC BY 2.5)

Soy una neurona. Creo que me puedo sentir privilegiada, pues ya llevo en activo unas cuantas décadas del tiempo humano. Cuando digo “en activo” quiero remarcar “con un alto nivel de actividad”, ya que mi taller está en la corteza motora primaria del lóbulo frontal derecho de mi organismo y al “Yo” que lo comanda le gusta el deporte -sube y baja las montañas-. Conjunción de circunstancias que me permite mantener muchas de las viejas relaciones de vecindad y coworking con otras neuronas hermanas. Con unas nos dimos las manos casi desde el principio de nuestra existencia, con otras la vida nos llevó a encontrarnos más tarde… con todas ellas el roce de axones y dendritas, lo mucho y variado que nos decimos en nuestras sinapsis,[1] nos permite trabajar como en un hormiguero, mejor, como en un variado mosaico de clubes sociales, acopladas y vibrando en común. Las relaciones a veces cambian. Yo veo que mi axón a veces, siguiendo la llamada de las proteínas directoras del tráfico en el espacio intercelular, se dirige e interacciona con más intensidad con otras neuronas… o todo lo contrario…

La verdad es que todo esto no me importa mucho, soy una obrera y todo lo demás es cometido del departamento de Fisiología. En mi club social nos dedicamos a mover los músculos que flexionan el pie izquierdo, en concreto una unidad muscular motora[2] del sóleo[3] de esa extremidad. Somos muchas en la gestión y por ahora creo que lo hacemos bien. Creo que eso es parte del porqué a nuestro “Yo” le mola el senderismo… lo cual nos redunda en beneficio, ya que la continua actividad a que nos tiene sometidas nos estimula y nos da vida. Sigue leyendo ›

  1. La sinapsis es la zona de comunicación entre la neurita, o prolongación citoplasmática de una neurona, y las dendritas o el cuerpo de otra. A través de las sinapsis las neuronas se pasan la información. []
  2. En la unidad motora el impulso nervioso, que viene del cerebro a través de la médula espinal hacia los músculos, se transforma en una orden motora que hace que la fibra muscular se contraiga. La neurona motora, situada en la médula, y el conjunto de todas las fibras musculares a las que estimula constituyen la unidad motora. []
  3. El músculo sóleo es un músculo ancho y grueso ubicado en la pierna, que se encuentra en su cara posterior, debajo y por detrás de los gemelos. Su nombre deriva de la palabra latina “solea“, que significa “sandalia”. Su función es la flexión plantar o extensión del pie y la elevación del talón en la bipedestación. []

Explorando el álgebra geométrica 12 – El álgebra geométrica del plano euclídeo

Esta nueva entrada de la serie dedicada al álgebra geométrica trata del álgebra del plano euclídeo, \mathcal{G}_2. Como sabemos desde la entrada 10 de la serie, esta álgebra tiene como espacio lineal un total de 4 dimensiones: los objetos de \mathcal{G}_2 tienen una componente escalar, dos vectoriales y una bivectorial. Vamos a ver que la parte de grado par (escalares y bivectores) tiene especial importancia: para empezar forma una subálgebra dentro de \mathcal{G}_2 (si sumamos y multiplicamos entre sí objetos de grado par siempre obtendremos objetos de grado par), y además se puede reconocer fácilmente en ella algo que ya conocemos: los números complejos. Veremos que los complejos, que forman la subálgebra par de \mathcal{G}_2, actúan como operadores de rotación-reescalado sobre los vectores.

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¡Hablemos de raíces! II

En la entrada anterior del díptico monográfico acerca de la “inteligencia” de las raíces acabamos conceptuando a una zona de su ápice, la de transición, como un “ordenador” que dirige los movimientos de la raíz, sus orientaciones y respuestas según las condiciones del medio donde se encuentra, utilizando todo un sistema de lo que realmente podemos denominar “sentidos”, funcionalmente parejos a los que tenemos nosotros, aunque difusos por todo su organismo. Vista, gusto, olfato, tacto u oído. Huye de la luz, ya que debe anclar a la planta en la profundidad del oscuro suelo; percibe con gran precisión los minúsculos gradientes químicos en la tierra que le van a impulsar a una aproximación si la información es favorable o a un distanciamiento si no lo es; saben lo que hacer al tocar un obstáculo con el ápice y deciden cómo salvarlo de la manera más eficaz; perciben una gama muy amplia de vibraciones sonoras, vibraciones que pueden influir en su dirección de crecimiento. ¿Cómo lo consigue? Mediante una serie de funciones especializadas que denominamos tropismos.[1]

Fototropismo en una orquídea (Phalaenopsis): Hojas y flores crecen hacia la luz, las raíces crecen alejándose (Wikimedia, BY-SA 3.0)

Los tropismos pueden ser de diverso índole, ajustados a satisfacer las múltiples necesidades vitales de la planta: como especifica el biólogo Stefano Mancuso, el ápice de la raíz “…percibe continuamente numerosos parámetros, como la gravedad, la temperatura, la humedad, el campo eléctrico, la luz, la presión, los gradientes químicos, la presencia de sustancias tóxicas (venenos, metales pesados), vibraciones sonoras, presencia u ausencia de oxígeno y dióxido de carbono. La lista que acabamos de dar es asombrosa, pero no exhaustiva[2] Gravitropismo, fototropismo, tigmotropismo, termotropismo, higrotropismo, quimiotropismo, aerotropismo, magnetotropismo … algo así como un panel de instintos básicos con su correspondiente manual de funcionamiento. Sigue leyendo ›

  1. Un tropismo (del griego τροπή trop: giro, vuelta, fuga, punto de retorno) es un fenómeno biológico que indica el crecimiento o cambio direccional de un organismo, normalmente una planta, como respuesta a un estímulo medioambiental. []
  2. Frase tomada del libro “Sensibilidad e inteligencia en el mundo vegetal” de Stefano Mancuso y Alessandra Vitola, pag 120. []

Historia de un ignorante, ma non troppo… Concierto para piano y orquesta en la menor, de Robert Schumann

Revisando las varias decenas de artículos que llevo escritos dentro de esta ya longeva serie sobre música clásica, resulta que nunca he dedicado ninguno de ellos a, posiblemente, el compositor que más hizo por el reconocimiento del Romanticismo como el movimiento musical predominante durante el siglo XIX: Robert Schumann. En efecto, se considera al Beethoven de los últimos años como el primer ideólogo del movimiento romántico en la música y a Franz Schubert como el primer músico romántico de los pies a la cabeza… aunque no publicó ni una sola obra en vida y falleció muy joven, con apenas 31 años.[1]

Pues bien, fue Robert Schumann[2] quien realmente impulsó el movimiento romántico, caracterizado por una exacerbación de los sentimientos: drama, alegría, pasión, decepción, rabia, entusiasmo… la expresión de todos los sentimientos humanos, que hasta el momento habían quedado orillados por el academicismo, ahora se efectuaba sin ambages. Y sí, el romanticismo triunfó ya con el propio Schumann y luego con Mendelssohn, Liszt y no digamos años después con Wagner y sus seguidores…

Hoy toca solucionar esa carencia en la serie y dedicar un artículo a este gran compositor y a una de sus mejores obras.

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  1. Entre la tuberculosis, la sífilis, el tifus y algunas otras enfermedades más, pasar de 60 años en el siglo XIX era muy improbable. []
  2. Tampoco Schumann vivió muchos años: nacido en Zwickau en 1810, falleció en Bonn en 1856, con 46 años de edad. []

¡Hablemos de raíces! I

Hace unos días en este blog nos interesábamos en lo que podía pasar dentro del oculto y activo mundo interior de un higo. Toda una historia de un abigarrado patio de vecinos. Hoy quiero proponer el abrir una nueva ventana a otro mundo escondido y casi invisible, un territorio del que casi no me había preguntado hasta ahora, posiblemente por considerarlo de una simpleza estructural evidente. Me refiero a lo que, en un alarde de imaginación, le llamo el “underground radical” y que no es más que el mundo de las raíces, ese espacio bajo nuestros pies que nos pasa desapercibido.

Sistema radicular (Imagen extraída del libro “Tratado de Botánica” de Eduard Strasburger, 1994, fair use)

Las plantas son nuestras vecinas, y sabemos que son parientes nuestras de las que nos alejamos evolutivamente hace más de mil millones de años. Ellas decidieron adoptar otras estrategias de vida diametralmente opuesta a la de nosotros, los animales: la alternativa de quedar quietas en el terreno sin moverse se demostró finalmente tan exitosa como la de moverse buscándose la vida. Vegetales versus animales. La estrategia animal permite evadir los peligros y buscar alimento, encontrar un hábitat amable o a la pareja con bastante facilidad… escondernos, huir o atacar, buscar… y a pesar de la cadena de depredación, nuestro estilo de vida se basa en estas habilidades dirigidas por un encéfalo centralizado y único, unos órganos vitales físicamente bien definidos dentro del espacio corporal y unos centros de interfaz con el mundo exterior e interior -los sentidos- también precisamente localizados para su función.[1] La cosa no puede ir mejor… millones de años de historia la avala. Aunque tiene sus riesgos… un solo golpe en la cabeza te puede eliminar, un solo pinchazo en el corazón te mata, una infección en los bien localizados riñones te llevará al otro barrio. Sí, un problema… aunque manejable: tenemos la oportunidad de huir, de evitar con nuestros movimientos los riesgos. Aquí estamos para demostrarlo. Sigue leyendo ›

  1. Como muchos de vosotros sabréis, hace algún tiempo publiqué en El Cedazo una larga serie sobre el mundo de los sentidos, los sistemas receptores. []

Explorando el álgebra geométrica 11 – Involuciones: involución de grado y reversión. Versores

En esta nueva entrada de la serie dedicada al álgebra geométrica se presentarán las involuciones más importantes: la involución de paridad (o involución de grado) y la reversión. Las involuciones tienen a menudo, sobre todo la reversión, un papel parecido a la conjugación en el caso de los números complejos o los cuaterniones. También conviene saber cómo se comportan los multivectores homogéneos de un determinado grado: a menudo eso permite afirmar cosas sobre el resultado de un cierto producto de multivectores. Introduciré también el concepto de versor, un tipo de objeto muy habitual e importantísimo en álgebra geométrica: veremos en entradas posteriores que los operadores de reflexión y de rotación son versores.

En los números complejos y en los cuaterniones teníamos la conjugación, mediante la cual pasábamos de un número complejo o cuaternión a su versión conjugada, en que, respectivamente, la parte imaginaria del complejo o la parte vectorial del cuaternión cambiaban de signo. La conjugación es una forma de involución, aquel tipo de función que se caracteriza por que aplicada dos veces seguidas devuelve el valor original: tenemos así que el conjugado del conjugado de un complejo o de un cuaternión es el complejo o cuaternión de partida.

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Lo que se preguntan sus alumnos de 3º de la ESO – XXXIV: ¿Cuándo el ácido toca algo y lo va destruyendo, la materia que destruye desaparece o en qué se transforma?

Hoy vamos a dar un paso más en lo que ya va siendo una larga serie, “Lo que se preguntan sus alumnos de 3º de la ESO”, en la que intentamos dar una respuesta a las preguntas que le plantearon al enseñante profesor Lorenzo Hernández sus enseñados. Vamos ya por la entrada número XXXIV, que la vamos a dedicar a “¿Cuándo el ácido toca algo y lo va destruyendo, la materia que destruye desaparece o en qué se transforma?

La primera frase que planteo va a ser contundentemente aclaratoria: La materia ni se crea ni se destruye, se transforma en otra materia y/o en energía. Desde que nos lo sugirió Antoine-Laurent Lavoisier y desde que completó la idea Albert Einstein, sabemos que es así. Los ácidos, como cualquier “objeto” de la naturaleza, siguen esta ley -el que la materia y la energía son intercambiables- y, por tanto, lo que parece una destrucción provocada por ellos se trata realmente de una transformación. Voy a extenderme un poco más.

Símbolo de precaución, sustancia corrosiva (Imagen de la red, fair use)

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Explorando el álgebra geométrica 10 – Bases ortonormales de vectores, base canónica del álgebra

En esta entrada introduciré el concepto de base ortonormal, que hasta ahora no habíamos visto dentro del contexto del álgebra geométrica que estamos explorando en esta serie. A partir de la base ortonormal de vectores se construirá una base canónica de todos los multivectores del álgebra geométrica. El uso de bases ortonormales nos permitirá hacer cómputos de forma práctica en álgebra geométrica, facilitará la introducción de nuevos conceptos y permitirá avanzar de forma más directa.

Por otro lado, el abuso de las bases ortonormales conduce con demasiada frecuencia a pensar en los vectores como una “lista ordenada de coordenadas” en vez de una entidad matemática tan fundamental como los números reales o los complejos. No saber trabajar con magnitudes vectoriales o multivectoriales sin tener que recurrir siempre a descomponerlos en componentes es una muestra de limitación conceptual que lastra frecuentemente a los estudiantes, y sobre la que desde el principio han llamado la  atención todos los proponentes del álgebra geométrica. Voy, pues, a introducir las bases ortonormales y aprovecharé para introducir más rápidamente nuevos conceptos, pero conviene no olvidar que los vectores, y los multivectores del álgebra geométrica en general, no deben concebirse como una simple lista de componentes expresadas en una cierta base.

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