En esta entrada se introducirán dos conceptos importantes en álgebra geométrica, el de proyección y el de exclusión de un vector respecto a otro. De hecho, no se trata más que la descomposición de un vector en una parte paralela (la proyección) y en una parte ortogonal (la exclusión) respecto a otro vector. A continuación [...]
Esta entrada de la serie dedicada al álgebra geométrica se dedicará al álgebra del espacio euclídeo tridimensional, también conocida desde el punto de vista matemático como álgebra de Pauli. Como espacio lineal esta álgebra tiene 8 dimensiones: una dimensión escalar, tres vectoriales, tres bivectoriales y una trivectorial. Si en el caso del álgebra del plano [...]
Esta nueva entrada de la serie dedicada al álgebra geométrica trata del álgebra del plano euclídeo, . Como sabemos desde la entrada 10 de la serie, esta álgebra tiene como espacio lineal un total de 4 dimensiones: los objetos de tienen una componente escalar, dos vectoriales y una bivectorial. Vamos a ver que la parte de [...]
En esta nueva entrada de la serie dedicada al álgebra geométrica se presentarán las involuciones más importantes: la involución de paridad (o involución de grado) y la reversión. Las involuciones tienen a menudo, sobre todo la reversión, un papel parecido a la conjugación en el caso de los números complejos o los cuaterniones. También conviene [...]
En esta entrada introduciré el concepto de base ortonormal, que hasta ahora no habíamos visto dentro del contexto del álgebra geométrica que estamos explorando en esta serie. A partir de la base ortonormal de vectores se construirá una base canónica de todos los multivectores del álgebra geométrica. El uso de bases ortonormales nos permitirá hacer [...]
Continuamos la serie dedicada al álgebra geométrica con esta entrada, en la que seguiremos extrayendo consecuencias de los axiomas vistos hace dos entradas. Concretamente, después de haber visto el producto interior de dos vectores, examinaremos el producto exterior de dos vectores, que habíamos definido como la parte antisimétrica del producto geométrico de dos vectores. Veremos que el [...]
En la entrada anterior de esta serie introduje los axiomas del álgebra geométrica y la descomposición del producto geométrico de dos vectores en la suma de un producto interior y de un producto exterior. También vimos que el producto interior da como resultado un número real. En esta entrada veremos la interpretación geométrica del producto interior [...]
En la entrada anterior terminamos la introducción histórica al álgebra geométrica; con esta entrada de hoy daremos por fin nuestros primeros pasos en el álgebra geométrica. Presentaré los axiomas, las reglas del juego del álgebra geométrica. Los vectores, entendidos geométricamente como “segmentos lineales orientados”, serán los generadores del álgebra, es decir, cualquier elemento de un [...]
Continuando con la introducción al contexto histórico del álgebra geométrica, que esta serie pretende contribuir a divulgar, y tras la breve visita al álgebra vectorial de Heaviside-Gibbs, dedicaré esta entrada a sus creadores, Hermann Günther Graßmann y de William Kingdon Clifford. Como veremos, Graßmann no consiguió ver reconocidos sus méritos como matemático y nunca pudo [...]
Como vimos en el artículo anterior de esta serie, los cuaterniones encontraron pronto aplicación en la Física cuando James Clerk Maxwell reformuló sus ecuaciones del electromagnetismo en términos de cuaterniones. Por su parte, Hamilton se dedicó a los cuaterniones desde que los descubrió en 1843 hasta su muerte, en 1865. Escribió dos tratados sobre cuaterniones: Lectures on Quaternions, aparecido en 1853, [...]
