En esta nueva entrada de la serie que dedicamos al álgebra geométrica seguiré tratando el tema de las rotaciones en tres dimensiones, y en particular en una diferencia clave al modo en que las rotaciones en tres dimensiones se tratan convencionalmente (con matrices ortogonales de ). Matemáticamente se expresa diciendo que el grupo de rotores [...]
Siguiendo con la serie dedicada al álgebra geométrica, en esta entrada seguiré con las rotaciones que comenzamos a ver en la entrada anterior, pero hablaré del tratamiento, digamos, más convencional de las rotaciones. En los planes de estudio lo habitual es introducir las rotaciones como transformaciones lineales y utilizar las correspondientes matrices ortogonales para representarlas. [...]
En esta nueva entrada de la serie dedicada al álgebra geométrica veremos las rotaciones en el espacio euclídeo tridimensional. Como vimos en la entrada anterior, todas las rotaciones en este espacio son simples. De ahí resulta que todos los operadores de rotación, o rotores, del álgebra se pueden expresar como cuaterniones unitarios. Componer rotaciones en [...]
La serie dedicada al álgebra geométrica llega con esta entrada al importante tema de las rotaciones. En la entrada anterior vimos las simetrías axiales y las simetrías (reflexiones) respecto a un hiperplano. Veremos ahora cómo la composición de dos reflexiones (o, también, de dos simetrías axiales) resulta en una rotación simple.
En esta entrada se introducirán dos conceptos importantes en álgebra geométrica, el de proyección y el de exclusión de un vector respecto a otro. De hecho, no se trata más que la descomposición de un vector en una parte paralela (la proyección) y en una parte ortogonal (la exclusión) respecto a otro vector. A continuación [...]
Esta entrada de la serie dedicada al álgebra geométrica se dedicará al álgebra del espacio euclídeo tridimensional, también conocida desde el punto de vista matemático como álgebra de Pauli. Como espacio lineal esta álgebra tiene 8 dimensiones: una dimensión escalar, tres vectoriales, tres bivectoriales y una trivectorial. Si en el caso del álgebra del plano [...]
Esta nueva entrada de la serie dedicada al álgebra geométrica trata del álgebra del plano euclídeo, . Como sabemos desde la entrada 10 de la serie, esta álgebra tiene como espacio lineal un total de 4 dimensiones: los objetos de tienen una componente escalar, dos vectoriales y una bivectorial. Vamos a ver que la parte de [...]
En esta nueva entrada de la serie dedicada al álgebra geométrica se presentarán las involuciones más importantes: la involución de paridad (o involución de grado) y la reversión. Las involuciones tienen a menudo, sobre todo la reversión, un papel parecido a la conjugación en el caso de los números complejos o los cuaterniones. También conviene [...]
En esta entrada introduciré el concepto de base ortonormal, que hasta ahora no habíamos visto dentro del contexto del álgebra geométrica que estamos explorando en esta serie. A partir de la base ortonormal de vectores se construirá una base canónica de todos los multivectores del álgebra geométrica. El uso de bases ortonormales nos permitirá hacer [...]
Continuamos la serie dedicada al álgebra geométrica con esta entrada, en la que seguiremos extrayendo consecuencias de los axiomas vistos hace dos entradas. Concretamente, después de haber visto el producto interior de dos vectores, examinaremos el producto exterior de dos vectores, que habíamos definido como la parte antisimétrica del producto geométrico de dos vectores. Veremos que el [...]
