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Lo que se preguntan sus alumnos de 3º de la ESO – XXXII:¿Por qué se sostiene el agua del mar si no está en algún sitio cerrado que no se pueda derramar?

Seguimos avanzando en la serie que da respuesta a las preguntas que han hecho los alumnos de 3º de ESO a su profesor D. Lorenzo Hernández.[1] La respuesta a la pregunta de hoy puede parecer un tanto dispersa… pido disculpas: simplemente he querido explicar con un poco más de envoltorio lo que me parece una evidencia. Lo aclaro.

¿Será que el agua se derrama más allá del horizonte? (Imagen extraída de la red, fair use)

Al enfrentarme a la pregunta “¿Por qué se sostiene el agua del mar si no está en algún sitio cerrado que no se pueda derramar?” mi sensación personal es de confusión ¿Cuál fue el motivo por el que el alumno se planteó la duda de solución tan evidente? A mi me parece que la pregunta está viciada en su planteamiento, puesto que una de sus premisas no es cierta: ¡el mar sí que está confinado en recipientes cerrados! ¿Qué son las grandes cuencas oceánicas sino gigantescos recipientes para el agua de los mares? Lo que nos lleva a la siguiente argumentación intuitiva: ¿Se desparrama el agua contenida en un vaso en posición estática siempre que el volumen del agua sea inferior al del vaso? Tendremos que admitir que el agua no se derramará. Las paredes laterales frenan los movimientos horizontales de las moléculas del líquido que contienen y la inferior, la base del vaso, los verticales más el peso del líquido. Mientras que los gases de la atmósfera se encargan de atemperar los movimientos cinéticos de las moléculas de H2O en la superficie libre del agua que las impulsan a salirse de la masa líquida. Sigue leyendo ›

  1. Eso es lo que nos dice el profesor en su blog: “En el primer examen del curso siempre introduzco un ejercicio que consiste en que los alumnos tienen que plantear una pregunta cualquiera, la que ellos quieran. Tan sólo les impongo dos reglas para valorarla correctamente: Que no se haya planteado antes en clase y que no se repita en el examen de otro compañero. Así, al menos, les obligo a que piensen un poco la pregunta. Aunque no lo parezca, el alumnado se plantea muchas cosas.” []

Explorando el álgebra geométrica 7 – Los axiomas del álgebra geométrica

En la entrada anterior terminamos la introducción histórica al álgebra geométrica; con esta entrada de hoy daremos por fin nuestros primeros pasos en el álgebra geométrica. Presentaré los axiomas, las reglas del juego del álgebra geométrica. Los vectores, entendidos geométricamente como “segmentos lineales orientados”, serán los generadores del álgebra, es decir, cualquier elemento de un álgebra geométrica se puede formar a partir de sumas y productos de vectores. Los números reales serán también elementos del álgebra. Una de las propiedades más interesantes de los cuaterniones era la asociatividad del producto y, por tanto, será uno de los axiomas que elijamos. Habrá otros axiomas que expresen las propiedades de linealidad y, finalmente, el axioma de contracción, el que da a las álgebras de Clifford su característica distintiva respecto a otras álgebras asociativas. A partir de los axiomas, comenzaremos a analizar el producto de dos vectores para posteriormente establecer las relaciones con la geometría.

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¿Has leído Las 4 fuerzas que rigen el Universo, de Jordi Pereyra?

Jordi Pereyra, graduado en Ingeniería Mecánica, es un divulgador científico que mantiene activo un blog muy interesante que muchos de vosotros seguro que conoceréis, Ciencia de Sofá. En sus artículos explica diferentes aspectos y cuestiones científicas, siempre muy bien explicados y argumentados, desmonta patrañas como las de la Tierra Plana y compañía, responde a preguntas y dudas de sus lectores… en fin, un blog muy didáctico y recomendable para gente como yo y como, supongo, la mayoría de vosotros, amables lectores de El Cedazo, interesados en Física y Ciencia en general.

El libro que hoy comento, Las 4 fuerzas que rigen el Universo, lo ha publicado en Amazon tanto en papel como en formato electrónico y, me imagino, está basado en artículos publicados en el blog convenientemente arreglados, corregidos y aumentados para dar finalmente lugar a un libro muy ameno y bien construido.

Por cierto, las cuatro fuerzas fundamentales de la Naturaleza a las que se refiere son, naturalmente, la gravedad, el electromagnetismo y las fuerzas nucleares fuerte y débil. Sí, ya sé (y el autor lo sabe también) que en realidad las fuerzas electromagnética y débil son en realidad la misma, la fuerza electrodébil,[1] pero la realidad es que sus manifestaciones son en nuestros tiempos tan distintas que de cara a su descripción es mejor mantenerlas como fuerzas distintas.

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  1. Glashow, Salam y Weinberg lo demostraron teórica y empíricamente en los años 60 y 70 del siglo pasado, y por ello les concedieron el Premio Nobel de Física en 1979. []

Explorando el álgebra geométrica 6 – Los creadores del álgebra geométrica: Graßmann y Clifford

Continuando con la introducción al contexto histórico del álgebra geométrica, que esta serie pretende contribuir a divulgar, y tras la breve visita al álgebra vectorial de Heaviside-Gibbs, dedicaré esta entrada a sus creadores, Hermann Günther Graßmann y de William Kingdon Clifford. Como veremos, Graßmann no consiguió ver reconocidos sus méritos como matemático y nunca pudo pasar de profesor de secundaria. Clifford, por el contrario, fue reconocido como un gran geómetra por sus contemporáneos, pero falleció poco después de descubrir la obra de Graßmann y darse cuenta de su importancia. Como consecuencia, el álgebra geométrica tuvo que esperar a la segunda mitad del siglo XX para comenzar a ser recuperada como lenguaje matemático común a muchas áreas de la física, ingeniería y ciencias de la computación.

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Lo que se preguntan sus alumnos de 3º de la ESO – XXXI: ¿Cómo podemos saber si hay vida en otro planeta?

La entrada de hoy es una más de las que intentan responder a la inagotable lista de preguntas que los estudiantes de 3º de la ESO plantearon en su día a su profe Lorenzo y que servían a este última para hacer un “ajuste fino” de las cualificaciones obtenidas por sus alumnos. Las respuestas que ofrecemos conforman una ya larga serie monográfica que con ésta suma ya una lista de 31. La inquietud estudiantil con la que nos enfrentamos ahora es la siguiente: “¿Cómo podemos saber si hay vida en otro planeta?

Antes de seguir no me queda más remedio que hacer un poco de campaña comercial del blog El Cedazo, ya que en él publicamos hace tiempo la serie “La biografía de la Vida” de la que sus últimas entradas fueron dedicadas precisamente a eso de buscar vida más allá de la estratosfera terrestre. En especial la entrada número 60 que encabezábamos con otra pregunta: “¿Tenemos vecinos?” No obstante lo apuntado, vamos a por faena. Quizás algunas cosas se repitan, ya que desde aquel 10 de marzo de 2015 del “¿Tenemos vecinos?” hasta hoy no han cambiado demasiadas cosas.

La eterna pregunta ¿Estaremos solos? (Imagen de la red, fair use)

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Explorando el álgebra geométrica 5 – Antecedentes – De los cuaterniones al álgebra vectorial de Heaviside-Gibbs

Como vimos en el artículo anterior de esta serie, los cuaterniones encontraron pronto aplicación en la Física cuando James Clerk Maxwell reformuló sus ecuaciones del electromagnetismo en términos de cuaterniones. Por su parte, Hamilton se dedicó a los cuaterniones desde que los descubrió en 1843 hasta su muerte, en 1865. Escribió dos tratados sobre cuaterniones: Lectures on Quaternions, aparecido en 1853, y Elements of Quaternions, que apareció un año después de su muerte. Pero, a pesar de su labor de divulgación, los cuaterniones desaparecieron de los textos de Física con la misma rapidez con que aparecieron, para ser sustituidos por el álgebra vectorial desarrollada independientemente por Oliver Heaviside y por Josiah Willard Gibbs, considerada más adecuada para las necesidades de la Física de entonces.

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Historia de un ignorante, ma non troppo… Sinfonía nº 6, de Anton Bruckner

Hace nueve años que vengo escribiendo a mi manera en esta ignorante serie sobre música clásica, y de pronto me he dado cuenta de que no he dedicado aún ningún artículo al gran Antón Bruckner… y el gran compositor austriaco lo merece, vaya que si lo merece, así que hoy pongo remedio a esa situación.

Y lo haré con la que es, para mí, su mejor sinfonía: la Sexta, en la mayor, por mucho que los críticos y entendidos digan que no, que esta sexta sinfonía es su “patito feo”, de peor calidad que prácticamente todas las otras suyas, como la inacabada Novena o la monumental Octava o la Quinta, denominada “Católica”, por ejemplo. Pero qué se le va a hacer, para el ignorante de mí ésta de hoy, compuesta entre 1879 y 1881, es posiblemente la mejor de todas… en otra vida procuraré aprender música desde chiquitito; en ésta eso no tiene ya remedio.

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Explorando el álgebra geométrica 4 – Antecedentes – Los cuaterniones (II)

En la entrada anterior de esta serie introduje el primer sistema de números hipercomplejos: los cuaterniones. En el artículo de hoy seguiremos analizaremos el producto de dos vectores (o como diría Hamilton, dos cuaterniones puros, o sea, sin parte escalar). También mencionaré otra creación de Hamilton, el operador nabla \mathbf{\nabla}, un objeto de carácter “híbrido” (es una especie de vector, pero sus componentes, en vez de ser números reales, son operadores de derivación), esencial en el estudio de campos escalares y vectoriales. Por último, ilustraré la invertibilidad del producto cuaterniónico de vectores.

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Lo que se preguntan sus alumnos de 3º de la ESO – XXX: ¿Por qué bebemos agua dulce en vez de salada?

Con esta entrada damos un paso más en la lista de preguntas que los estudiantes de 3º de la ESO le planteaban a su profe Lorenzo. Los asiduos a El Cedazo ya saben que las respuestas que ofrecemos conforman una ya larga serie monográfica. Hoy nos toca zambullirnos en el agua, pero no como quien lo hace tras una carrera en la playa o un salto a la poza del río, sino desde el punto de vista fisiológico. No en vano la pregunta de hoy va de “¿Por qué bebemos agua dulce en vez de salada?

Portada del periódico colombiano El Espectador relatando la aventura del marinero Velasco. Diez días a la deriva sin comer ni beber. Y además los tiburones (Imagen: Hemeroteca El Espectador, fair use)

Todos sabemos de la importancia del agua para el buen funcionamiento de nuestro cuerpo. Y es que somos agua en un 60% de nuestro peso. Nuestras células son herederas de aquellas primigenias que nacieron en el mar y que incorporaron en sus membranas una química diluida en agua “salina”.[1] Las células de nuestro organismo pluricelular están bañadas por el líquido intersticial, también salino, que se mantiene en equilibrio con el líquido de dentro de las células. Además, fuera de las células tenemos también el torrente circulatorio repleto de plasma y el cerebro con su líquido cefalorraquídeo. Cuando he hablado de “salino” me estaba refiriendo a que todos estos líquidos corporales son una disolución de diversos iones,[2] entre los que sobresalen por su abundancia el sodio, el cloro, el potasio o el magnesio.[3] La gestión continua del equilibrio de iones a un lado y otro de la membrana de las células es parte fundamental de nuestra fisiología vital. Sigue leyendo ›

  1. Podéis profundizar en el tema leyendo la entrada número 05 de la serie ”La Biografía de la Vida“, publicada en El Cedazo hace ya tiempo. []
  2. Los iones son los elementos químicos que han perdido o ganado electrones. []
  3. No resulta curiosa esta distribución, ya que en el agua de mar reinan el cloro y el sodio. Entre los dos, un 86% de los iones marinos. []

Explorando el álgebra geométrica 3 – Antecedentes – Los cuaterniones (I)

En las dos entradas anteriores de esta serie sobre álgebra geométrica, esta y esta otra, se ha hablado del conjunto mathbb{C} de los números complejos, cuyo origen está en la necesidad dar sentido a la extracción de raíces cuadradas de números negativos. En los complejos no sólo es posible sacar raíces cuadradas (o de cualquier otro orden) de cualquier número, sino incluso logaritmos. Por lo que respecta a eso, ya no hacía falta crear ningún nuevo conjunto numérico…

Sin embargo, tanto la representación en el plano de los números complejos como el modo en que el producto de complejos unitarios representaba el grupo de rotaciones en el plano hizo inevitable que los matemáticos se preguntaran si sería posible generalizar aún más los números complejos, de forma que se obtuviera un sistema de números hipercomplejos que pudiera tener una representación en el espacio tridimensional y donde se pudiera encontrar algún tipo de números que representaran las rotaciones en el espacio tridimensional. De hecho, Caspar Wessel, como ya os mencioné en la segunda entrada dedicada a los complejos, el primer matemático que encontró la interpretación gráfica de dichos números complejos, hizo un primer intento fracasado en su publicación sobre los números complejos de 1799. Pero quien conseguiría encontrarlo fue Sir William Rowan Hamilton (1806-1865), protagonista de la entrada de hoy.

Hamilton había sido niño prodigio[1] y había hecho importantes contribuciones a los campos de la física y la astronomía. En 1843, Hamilton llevaba un buen tiempo[2] intentando generalizar los números complejos a tres dimensiones.

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  1. A los trece años Hamilton conocía tantas lenguas como años tenía: no sólo lenguas europeas modernas, sino también latín, griego clásico, árabe, sánscrito o persa, pero ya a los 8 años, tras ser derrotado por otro niño prodigio americano en una competición de cálculos matemáticos, había decidido dedicar más tiempo a las matemáticas que a las lenguas, que pasaron a ser desde entonces para él una actividad secundaria, para “relajarse” y desconectar de sus actividades serias… []

  2. Ya hacia 1830 había ensayado una generalización de los complejos a tres dimensiones, en la que los complejos generalizados se representaban en coordenadas esféricas, y el módulo del producto era el producto de módulos,  el ángulo polar (o colatitud) del producto era la suma de ángulos polares, y el ángulo azimutal (o longitud) era la suma de ángulos azimutales: un producto que ni siquiera era distributivo respecto a la suma… []