El Cedazo

En la entrada anterior terminamos la introducción histórica al álgebra geométrica; con esta entrada de hoy daremos por fin nuestros primeros pasos en el álgebra geométrica. Presentaré los axiomas, las reglas del juego del álgebra geométrica. Los vectores, entendidos geométricamente como “segmentos lineales orientados”, serán los generadores del álgebra, es decir, cualquier elemento de un álgebra geométrica se puede formar a partir de sumas y productos de vectores. Los números reales serán también elementos del álgebra. Una de las propiedades más interesantes de los cuaterniones era la asociatividad del producto y, por tanto, será uno de los axiomas que elijamos. Habrá otros axiomas que expresen las propiedades de linealidad y, finalmente, el axioma de contracción, el que da a las álgebras de Clifford su característica distintiva respecto a otras álgebras asociativas. A partir de los axiomas, comenzaremos a analizar el producto de dos vectores para posteriormente establecer las relaciones con la geometría.

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Continuando con la introducción al contexto histórico del álgebra geométrica, que esta serie pretende contribuir a divulgar, y tras la breve visita al álgebra vectorial de Heaviside-Gibbs, dedicaré esta entrada a sus creadores, Hermann Günther Graßmann y de William Kingdon Clifford. Como veremos, Graßmann no consiguió ver reconocidos sus méritos como matemático y nunca pudo pasar de profesor de secundaria. Clifford, por el contrario, fue reconocido como un gran geómetra por sus contemporáneos, pero falleció poco después de descubrir la obra de Graßmann y darse cuenta de su importancia. Como consecuencia, el álgebra geométrica tuvo que esperar a la segunda mitad del siglo XX para comenzar a ser recuperada como lenguaje matemático común a muchas áreas de la física, ingeniería y ciencias de la computación.

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Como vimos en el artículo anterior de esta serie, los cuaterniones encontraron pronto aplicación en la Física cuando James Clerk Maxwell reformuló sus ecuaciones del electromagnetismo en términos de cuaterniones. Por su parte, Hamilton se dedicó a los cuaterniones desde que los descubrió en 1843 hasta su muerte, en 1865. Escribió dos tratados sobre cuaterniones: Lectures on Quaternions, aparecido en 1853, y Elements of Quaternions, que apareció un año después de su muerte. Pero, a pesar de su labor de divulgación, los cuaterniones desaparecieron de los textos de Física con la misma rapidez con que aparecieron, para ser sustituidos por el álgebra vectorial desarrollada independientemente por Oliver Heaviside y por Josiah Willard Gibbs, considerada más adecuada para las necesidades de la Física de entonces.

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En la entrada anterior de esta serie introduje el primer sistema de números hipercomplejos: los cuaterniones. En el artículo de hoy seguiremos analizaremos el producto de dos vectores (o como diría Hamilton, dos cuaterniones puros, o sea, sin parte escalar). También mencionaré otra creación de Hamilton, el operador nabla , un objeto de carácter “híbrido” (es una especie de vector, pero sus componentes, en vez de ser números reales, son operadores de derivación), esencial en el estudio de campos escalares y vectoriales. Por último, ilustraré la invertibilidad del producto cuaterniónico de vectores.

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En las dos entradas anteriores de esta serie sobre álgebra geométrica, esta y esta otra, se ha hablado del conjunto de los números complejos, cuyo origen está en la necesidad dar sentido a la extracción de raíces cuadradas de números negativos. En los complejos no sólo es posible sacar raíces cuadradas (o de cualquier otro orden) de cualquier número, sino incluso logaritmos. Por lo que respecta a eso, ya no hacía falta crear ningún nuevo conjunto numérico…

Sin embargo, tanto la representación en el plano de los números complejos como el modo en que el producto de complejos unitarios representaba el grupo de rotaciones en el plano hizo inevitable que los matemáticos se preguntaran si sería posible generalizar aún más los números complejos, de forma que se obtuviera un sistema de números hipercomplejos que pudiera tener una representación en el espacio tridimensional y donde se pudiera encontrar algún tipo de números que representaran las rotaciones en el espacio tridimensional. De hecho, Caspar Wessel, como ya os mencioné en la segunda entrada dedicada a los complejos, el primer matemático que encontró la interpretación gráfica de dichos números complejos, hizo un primer intento fracasado en su publicación sobre los números complejos de 1799. Pero quien conseguiría encontrarlo fue Sir William Rowan Hamilton (1806-1865), protagonista de la entrada de hoy.

Hamilton había sido niño prodigio^[1] y había hecho importantes contribuciones a los campos de la física y la astronomía. En 1843, Hamilton llevaba un buen tiempo^[2] intentando generalizar los números complejos a tres dimensiones.

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1. A los trece años Hamilton conocía tantas lenguas como años tenía: no sólo lenguas europeas modernas, sino también latín, griego clásico, árabe, sánscrito o persa, pero ya a los 8 años, tras ser derrotado por otro niño prodigio americano en una competición de cálculos matemáticos, había decidido dedicar más tiempo a las matemáticas que a las lenguas, que pasaron a ser desde entonces para él una actividad secundaria, para “relajarse” y desconectar de sus actividades serias… [↩]

2. Ya hacia 1830 había ensayado una generalización de los complejos a tres dimensiones, en la que los complejos generalizados se representaban en coordenadas esféricas, y el módulo del producto era el producto de módulos,  el ángulo polar (o colatitud) del producto era la suma de ángulos polares, y el ángulo azimutal (o longitud) era la suma de ángulos azimutales: un producto que ni siquiera era distributivo respecto a la suma… [↩]