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Explorando el álgebra geométrica 11 – Involuciones: involución de grado y reversión. Versores

En esta nueva entrada de la serie dedicada al álgebra geométrica se presentarán las involuciones más importantes: la involución de paridad (o involución de grado) y la reversión. Las involuciones tienen a menudo, sobre todo la reversión, un papel parecido a la conjugación en el caso de los números complejos o los cuaterniones. También conviene saber cómo se comportan los multivectores homogéneos de un determinado grado: a menudo eso permite afirmar cosas sobre el resultado de un cierto producto de multivectores. Introduciré también el concepto de versor, un tipo de objeto muy habitual e importantísimo en álgebra geométrica: veremos en entradas posteriores que los operadores de reflexión y de rotación son versores.

En los números complejos y en los cuaterniones teníamos la conjugación, mediante la cual pasábamos de un número complejo o cuaternión a su versión conjugada, en que, respectivamente, la parte imaginaria del complejo o la parte vectorial del cuaternión cambiaban de signo. La conjugación es una forma de involución, aquel tipo de función que se caracteriza por que aplicada dos veces seguidas devuelve el valor original: tenemos así que el conjugado del conjugado de un complejo o de un cuaternión es el complejo o cuaternión de partida.

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Lo que se preguntan sus alumnos de 3º de la ESO – XXXIV: ¿Cuándo el ácido toca algo y lo va destruyendo, la materia que destruye desaparece o en qué se transforma?

Hoy vamos a dar un paso más en lo que ya va siendo una larga serie, “Lo que se preguntan sus alumnos de 3º de la ESO”, en la que intentamos dar una respuesta a las preguntas que le plantearon al enseñante profesor Lorenzo Hernández sus enseñados. Vamos ya por la entrada número XXXIV, que la vamos a dedicar a “¿Cuándo el ácido toca algo y lo va destruyendo, la materia que destruye desaparece o en qué se transforma?

La primera frase que planteo va a ser contundentemente aclaratoria: La materia ni se crea ni se destruye, se transforma en otra materia y/o en energía. Desde que nos lo sugirió Antoine-Laurent Lavoisier y desde que completó la idea Albert Einstein, sabemos que es así. Los ácidos, como cualquier “objeto” de la naturaleza, siguen esta ley -el que la materia y la energía son intercambiables- y, por tanto, lo que parece una destrucción provocada por ellos se trata realmente de una transformación. Voy a extenderme un poco más.

Símbolo de precaución, sustancia corrosiva (Imagen de la red, fair use)

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Explorando el álgebra geométrica 10 – Bases ortonormales de vectores, base canónica del álgebra

En esta entrada introduciré el concepto de base ortonormal, que hasta ahora no habíamos visto dentro del contexto del álgebra geométrica que estamos explorando en esta serie. A partir de la base ortonormal de vectores se construirá una base canónica de todos los multivectores del álgebra geométrica. El uso de bases ortonormales nos permitirá hacer cómputos de forma práctica en álgebra geométrica, facilitará la introducción de nuevos conceptos y permitirá avanzar de forma más directa.

Por otro lado, el abuso de las bases ortonormales conduce con demasiada frecuencia a pensar en los vectores como una “lista ordenada de coordenadas” en vez de una entidad matemática tan fundamental como los números reales o los complejos. No saber trabajar con magnitudes vectoriales o multivectoriales sin tener que recurrir siempre a descomponerlos en componentes es una muestra de limitación conceptual que lastra frecuentemente a los estudiantes, y sobre la que desde el principio han llamado la  atención todos los proponentes del álgebra geométrica. Voy, pues, a introducir las bases ortonormales y aprovecharé para introducir más rápidamente nuevos conceptos, pero conviene no olvidar que los vectores, y los multivectores del álgebra geométrica en general, no deben concebirse como una simple lista de componentes expresadas en una cierta base.

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¡Hablemos de higos!

¡Hablémos de higos! Como poco, pensaréis… ¡se ha vuelto loco este bloguero de jreguart! Quizás tengáis razón, ya que de la demencia, o de la “friquitis”, el último en apercibirse de ello es el propio “rarito”. No obstante, dadme unos segundos de gracia y permitid explicarme. La cuestión es que hace mucho tiempo me cuestioné cual alumno de 3° de la ESO del profesor Lorenzo Hernández[1] el porqué parecía que las higueras nos fabricaran sus sabrosísimos frutos, los higos, sin pasar por la flor, tal como se da en cualquier angiosperma que se precie. Pero… ¡¿qué me está usted diciendo?! Aclaro.

Unos sabrosos frutos maduros de Ficus carica, los higos. Os invito a fijar vuestra atención en el pequeño orificio central, el ostiolo, que tiene su protagonismo en esta entrada (Wikimedia CC BY-SA 3.0)

En mi casa tengo una higuera. Me acompaña desde hace 25 años. Soy así de afortunado. Cada primavera aparecen las nuevas yemas por donde desarrollarán las hojas del año. Hay algunas que no evolucionan así: desde el inicio adoptan la forma de un globo que va creciendo con los días casi de forma homotética, hasta llegar a alanzar los colores dorados, verdes o cárdenos tan típicos, así como texturas cada vez más mórbidas, promesa de las mieles que albergan. De ahí a la boca. O al pico de un pájaro, su aparato digestivo y… al suelo, en donde, casi con total seguridad, de alguna semilla escondida en la defecación brotará una nueva higuera. Pero las semillas se generan tras ser fecundado un gameto femenino por uno masculino, casi siempre por la acción polinizadora de un agente externo, un insecto o el viento… o el hombre. Pero para ello se necesitan los órganos reproductores de ambos sexos, estambres y pistilos, que en las angiospermas se concretan en la flor. El tema es que desde que se inicia el revivir primaveral de la higuera hasta que recojo un higo nunca he visto una flor. Jamás. Y la verdad, como no podía ser menos, es que las flores están efectivamente ahí aunque no las veamos. Ese tufillo de misterio es el que me ha animado a plantear eso de “¡hablemos de higos!”. Sigue leyendo ›

  1. Los ilustres y veteranos cedaceros sabréis de ello si habéis  leído alguna entrada de la serie de El Cedazo bautizada como “Lo que se preguntan sus alumnos de 3° de la ESO”. []

Explorando el álgebra geométrica 9 – El producto exterior de vectores y su interpretación geométrica

Continuamos la serie dedicada al álgebra geométrica con esta entrada, en la que seguiremos extrayendo consecuencias de los axiomas vistos hace dos entradas. Concretamente, después de haber visto el producto interior de dos vectores, examinaremos el producto exterior de dos vectores, que habíamos definido como la parte antisimétrica del producto geométrico de dos vectores. Veremos que el producto exterior de dos vectores no colineales no es ni escalar ni vector, sino un nuevo tipo de objeto del álgebra geométrica, un bivector simple. Sigue leyendo ›

Lo que se preguntan sus alumnos de 3º de la ESO – XXXIII: ¿Por qué el fuego quema?

Una entrada más en la larga misión de dar respuesta a las preguntas de los alumnos de 3º de la ESO del “profe” Lorenzo Hernández. Hoy nos toca ya la que hace el número 32 de la serie[1] que dice así: “¿Por qué el fuego quema?

Sigamos el hilo de la llama y quizás descubramos el porqué que hoy nos inquieta (Wikimedia, CC BY 3.0)

Tengo mis dudas en interpretar bien la pregunta porque bien pudiera ser que la inquietud se centre en cómo el fuego genera la sensación del dolor que conceptuamos como “quemazón”. Vamos a ir paso a paso comenzando de entrada por intentar definir qué se entiende por fuego y por quemar. Con respecto al fuego el diccionario de la Real Academia de la Lengua Española (RAE) en su primera acepción nos dice: “Fenómeno caracterizado por la emisión de calor y de luz, generalmente con llama”. Y de quemar nos dice: “Dicho del fuego, destruir algo o a alguien”. Habrá, por tanto, que estudiar a este fenómeno que destruye para entender por qué lo hace. Sigue leyendo ›

  1. Arriba, en el encabezamiento, pone XXXIII, pero es que la entrada introductoria nos obligó a correr una unidad en la serie. []

Explorando el álgebra geométrica 8 – El producto interior de vectores y su interpretación geométrica

En la entrada anterior de esta serie introduje los axiomas del álgebra geométrica y la descomposición del producto geométrico de dos vectores en la suma de un producto interior y de un producto exterior. También vimos que el producto interior da como resultado un número real. En esta entrada veremos la interpretación geométrica del producto interior de dos vectores, que resultará ser idéntico al clásico producto escalar de vectores de Heaviside-Gibbs. El producto interior permite calcular longitudes y ángulos y, por tanto, es extraordinariamente importante.

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Lo que se preguntan sus alumnos de 3º de la ESO – XXXII:¿Por qué se sostiene el agua del mar si no está en algún sitio cerrado que no se pueda derramar?

Seguimos avanzando en la serie que da respuesta a las preguntas que han hecho los alumnos de 3º de ESO a su profesor D. Lorenzo Hernández.[1] La respuesta a la pregunta de hoy puede parecer un tanto dispersa… pido disculpas: simplemente he querido explicar con un poco más de envoltorio lo que me parece una evidencia. Lo aclaro.

¿Será que el agua se derrama más allá del horizonte? (Imagen extraída de la red, fair use)

Al enfrentarme a la pregunta “¿Por qué se sostiene el agua del mar si no está en algún sitio cerrado que no se pueda derramar?” mi sensación personal es de confusión ¿Cuál fue el motivo por el que el alumno se planteó la duda de solución tan evidente? A mi me parece que la pregunta está viciada en su planteamiento, puesto que una de sus premisas no es cierta: ¡el mar sí que está confinado en recipientes cerrados! ¿Qué son las grandes cuencas oceánicas sino gigantescos recipientes para el agua de los mares? Lo que nos lleva a la siguiente argumentación intuitiva: ¿Se desparrama el agua contenida en un vaso en posición estática siempre que el volumen del agua sea inferior al del vaso? Tendremos que admitir que el agua no se derramará. Las paredes laterales frenan los movimientos horizontales de las moléculas del líquido que contienen y la inferior, la base del vaso, los verticales más el peso del líquido. Mientras que los gases de la atmósfera se encargan de atemperar los movimientos cinéticos de las moléculas de H2O en la superficie libre del agua que las impulsan a salirse de la masa líquida. Sigue leyendo ›

  1. Eso es lo que nos dice el profesor en su blog: “En el primer examen del curso siempre introduzco un ejercicio que consiste en que los alumnos tienen que plantear una pregunta cualquiera, la que ellos quieran. Tan sólo les impongo dos reglas para valorarla correctamente: Que no se haya planteado antes en clase y que no se repita en el examen de otro compañero. Así, al menos, les obligo a que piensen un poco la pregunta. Aunque no lo parezca, el alumnado se plantea muchas cosas.” []

Explorando el álgebra geométrica 7 – Los axiomas del álgebra geométrica

En la entrada anterior terminamos la introducción histórica al álgebra geométrica; con esta entrada de hoy daremos por fin nuestros primeros pasos en el álgebra geométrica. Presentaré los axiomas, las reglas del juego del álgebra geométrica. Los vectores, entendidos geométricamente como “segmentos lineales orientados”, serán los generadores del álgebra, es decir, cualquier elemento de un álgebra geométrica se puede formar a partir de sumas y productos de vectores. Los números reales serán también elementos del álgebra. Una de las propiedades más interesantes de los cuaterniones era la asociatividad del producto y, por tanto, será uno de los axiomas que elijamos. Habrá otros axiomas que expresen las propiedades de linealidad y, finalmente, el axioma de contracción, el que da a las álgebras de Clifford su característica distintiva respecto a otras álgebras asociativas. A partir de los axiomas, comenzaremos a analizar el producto de dos vectores para posteriormente establecer las relaciones con la geometría.

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¿Has leído Las 4 fuerzas que rigen el Universo, de Jordi Pereyra?

Jordi Pereyra, graduado en Ingeniería Mecánica, es un divulgador científico que mantiene activo un blog muy interesante que muchos de vosotros seguro que conoceréis, Ciencia de Sofá. En sus artículos explica diferentes aspectos y cuestiones científicas, siempre muy bien explicados y argumentados, desmonta patrañas como las de la Tierra Plana y compañía, responde a preguntas y dudas de sus lectores… en fin, un blog muy didáctico y recomendable para gente como yo y como, supongo, la mayoría de vosotros, amables lectores de El Cedazo, interesados en Física y Ciencia en general.

El libro que hoy comento, Las 4 fuerzas que rigen el Universo, lo ha publicado en Amazon tanto en papel como en formato electrónico y, me imagino, está basado en artículos publicados en el blog convenientemente arreglados, corregidos y aumentados para dar finalmente lugar a un libro muy ameno y bien construido.

Por cierto, las cuatro fuerzas fundamentales de la Naturaleza a las que se refiere son, naturalmente, la gravedad, el electromagnetismo y las fuerzas nucleares fuerte y débil. Sí, ya sé (y el autor lo sabe también) que en realidad las fuerzas electromagnética y débil son en realidad la misma, la fuerza electrodébil,[1] pero la realidad es que sus manifestaciones son en nuestros tiempos tan distintas que de cara a su descripción es mejor mantenerlas como fuerzas distintas.

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  1. Glashow, Salam y Weinberg lo demostraron teórica y empíricamente en los años 60 y 70 del siglo pasado, y por ello les concedieron el Premio Nobel de Física en 1979. []