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Explorando el álgebra geométrica 5 – Antecedentes – De los cuaterniones al álgebra vectorial de Heaviside-Gibbs




Como vimos en el artículo anterior de esta serie, los cuaterniones encontraron pronto aplicación en la Física cuando James Clerk Maxwell reformuló sus ecuaciones del electromagnetismo en términos de cuaterniones. Por su parte, Hamilton se dedicó a los cuaterniones desde que los descubrió en 1843 hasta su muerte, en 1865. Escribió dos tratados sobre cuaterniones: Lectures on Quaternions, aparecido en 1853, y Elements of Quaternions, que apareció un año después de su muerte. Pero, a pesar de su labor de divulgación, los cuaterniones desaparecieron de los textos de Física con la misma rapidez con que aparecieron, para ser sustituidos por el álgebra vectorial desarrollada independientemente por Oliver Heaviside y por Josiah Willard Gibbs, considerada más adecuada para las necesidades de la Física de entonces.

Para empezar, no se puede decir que Hamilton fuera un buen propagandista de los cuaterniones: sus Lectures son un texto terriblemente difícil de digerir, no por la dificultad del tema, sino por su “estilo metafísico de expresión” (en las palabras del propio Hamilton) en que pretendía transmitir los “pensamientos fontales”, las “visiones primarias” y las “actitudes iniciales de la mente” que había detrás de su descubrimiento.[1] John Herschel, astrónomo (hijo del también astrónomo William Herschel, descubridor  de Urano) y muy interesado en los cuaterniones, escribió a Hamilton suplicándole que escribiera un texto más fácil, que se dejara de consideraciones metafísicas y fuera más concreto, ya que, pasados seis años de la aparición de las Lectures, no había conseguido pasar de la tercera conferencia de las siete en que se desarrollaba la obra. Hamilton decidió, al parecer persuadido por Herschel y otros, escribir los Elements of Quaternions.  Aunque en su  segundo libro sobre cuaterniones Hamilton intentó aligerar su estilo (al parecer, no acabó de conseguirlo), también lo organizó como una obra de referencia exhaustiva sobre los cuaterniones: la misma palabra Elements alude a los Elementos de Euclides, la obra de referencia de la geometría durante más de dos milenios. El resultado fue un libro aún más largo que las Lectures y que seguía siendo complicado de leer.

Tras la muerte de Hamilton, el principal impulsor de los cuaterniones fue el escocés Peter Guthrie Tait (1831-1901). Gracias a Tait, y sobre todo a su amistad con Maxwell (los dos fueron compañeros de estudios tanto en Edimburgo como en Cambridge), se introdujo en la Física el uso de los cuaterniones o, más exactamente, de conceptos surgidos de la teoría de cuaterniones.

Oliver Heaviside (Wikimedia)

Y aquí entra en escena un viejo conocido de los lectores de El Tamiz, Oliver Heaviside (1850-1925). Si recordáis el artículo de Pedro de introducción histórica a las ecuaciones de Maxwell, Heaviside  hizo un esfuerzo enorme por entender las ecuaciones de Maxwell, ya que no había ido a la universidad y tuvo aprender de forma autodidacta.  De este esfuerzo surgió el álgebra vectorial que hoy conocemos.

Heaviside, que había comenzado siendo telegrafista y electricista, tenía una mentalidad muy práctica. Para él, que decía que la matemática era una “ciencia experimental”, los cuaterniones eran algo innecesariamente complicado. No veía la razón por la que el cuadrado de un vector tuviera que ser un número negativo y no positivo, como le parecía lo más lógico.[2]  En sus propias palabras, lo cuaterniónico era “antifísico y antinatural, y no concordaba con la matemática escalar ordinaria”. Así pues, decidió “divorciar” definitivamente los escalares de los vectores, redefinió el producto escalar con el signo cambiado respecto al producto escalar cuaterniónico original y lo dejó tal como se conoce hoy en día. Dejó de utilizar el producto cuaterniónico para usar solamente productos de un escalar por otro, productos de escalares por vectores, y productos escalares y vectoriales de pares de vectores.  Parece que el mismo Maxwell se adelantó, al final de su vida, a las ideas de Heaviside, porque en 1878 escribió esto en una carta a Tait: ¿Se puede arar con un buey y una mula uncidos juntos al mismo yugo?

El abandono de los cuaterniones y la separación de escalares y vectores acabó teniendo consecuencias también en la notación. Para hacer bien visible la distinción entre vectores y escalares, se ha acabado por  escribir los vectores en negrita,[3] \mathbf{v}, por ejemplo (o, al escribir a mano, con una flecha horizontal por encima: \vec{v}). Un escalar, en cambio, se representa por una letra cursiva. Si se indica el valor absoluto de un escalar poniéndolo entre barras verticales, es frecuente que para los vectores se indique la norma poniendo el vector entre dobles barras verticales (sobre todo en textos de matemáticas, en principio más formales que, por ejemplo, los de ingeniería o física, en donde suele utilizarse la misma letra que para el vector, pero sin negrita y en cursiva). Así pues, siguiendo estas convenciones, actualmente se escribe:

\mid -7\mid = 7

 \mathbf{v} = 3 \mathbf{i}-2 \mathbf{j} + 6 \mathbf{k}

 v = \parallel \mathbf{v} \parallel = \sqrt{3^2+(-2)^2+6^2} = \sqrt{49} = 7

También se ha tenido que diferenciar entre el cero escalar, el número 0, y el cero vector, el elemento neutro de la suma de vectores, que se indica en negrita, como \mathbf{0}, para textos impresos o para visualización en pantalla, o con una flecha por encima, \vec{0}, en textos escritos a mano:

 \\left(4\\mathbf{i} - 3 \\mathbf{j}\\right) \\cdot (3 \\mathbf{i}+4\\mathbf{j}) = 12 -12 = 0$

\mathbf{j} \times \mathbf{j} = \mathbf{0}

\mathbf{0} = 0 \mathbf{i} + 0 \mathbf{j} + 0 \mathbf{k}

Heaviside y sus partidarios sostuvieron una fuerte polémica con los seguidores de la escuela cuaternionista, capitaneados por Tait. Pero, de hecho, fue Heaviside quien llevó siempre la ventaja: quienes se iniciaban en el electromagnetismo lo hacían preferentemente siguiendo los libros de Heaviside. Ese fue el caso, por ejemplo, de Heinrich Rudolf Hertz (1857-1894), el primero en confirmar experimentalmente la existencia de ondas electromagnéticas.

Josiah Willard Gibbs (Wikimedia)

En los Estados Unidos, por otro lado, Josiah Willard Gibbs (1839-1903) había llegado a conclusiones prácticamente idénticas a las de Heaviside. Gibbs tuvo que impartir un curso de Electromagnetismo, para el que inicialmente (en 1877) siguió el tratado de Maxwell. Enseguida percibió que “los cuaterniones eran una idea completamente extraña al tema” y, como Heaviside, acabó prescindiendo de los cuaterniones para enseñar el producto escalar (con la misma convención de signo que Heaviside) y el producto vectorial. Es a Gibbs a quien se deben los símbolos del producto escalar y vectorial ”\cdot” y ”\times“.[4] En sus apuntes del curso de Electromagnetismo de 1879, Gibbs ya empleaba el método vectorial.

Aunque Gibbs no era tan combativo como Heaviside en contra de los seguidores de los cuaterniones, no se libró de las críticas y ataques de Tait. Gibbs añadió a su justificación la entonces sorprendente  idea de que los cuaterniones quedaban limitados a su uso en el espacio tridimensional, en tanto que el producto escalar de vectores se podía generalizar fácilmente a cualquier número de dimensiones (no así el producto vectorial, que sólo existe en tres y en siete dimensiones). La idea era sorprendente, porque la Física conocida entonces tenía lugar en el espacio tridimensional, y así se lo reprochó Tait, que le contestó algo así como: “Pero bueno, ¿dónde se van a encontrar los estudiantes de Física con un espacio de más de tres dimensiones?” Gibbs probablemente pensaba en los espacios fásicos que aparecen en la mecánica clásica o en la mecánica estadística.[5] En aquel momento nadie imaginaba que la relatividad de Einstein estaba a la vuelta de la esquina…

Lo cierto es que tanto los cuaterniones como el álgebra vectorial de Heaviside-Gibbs funcionan bien para describir el espacio tridimensional. Los vectores permiten representar no sólo  longitudes con una cierta dirección y orientación en el espacio, es decir, objetos unidimensionales,  sino también objetos bidimensionales, como áreas dirigidas y orientadas en el espacio (el producto vectorial de dos vectores no es más que una área dirigida y orientada, representada, de forma bastante artificiosa, por un vector perpendicular a ella y cuya norma es la de la superficie del paralelogramo que definen los dos vectores de partida). Por otro lado, los escalares no sólo permiten representar objetos geométricamente adimensionales, como podría ser la temperatura asociada a un punto del espacio, sino también  objetos tridimensionales, como el volumen de un paralelepípedo definido por tres vectores.

Pero para tratar matemáticamente objetos en espacios de más de tres dimensiones, tanto los cuaterniones como el álgebra vectorial de Heaviside-Gibbs son claramente insuficientes. Una auténtica álgebra geométrica debe proporcionar  y diferenciar  objetos de cualquier dimensión: escalares para magnitudes adimensionales, vectores para las unidimensionales, bivectores para las bidimensionales, etc. Además, aun en tres dimensiones, el álgebra de Heaviside-Gibbs está lejos de proporcionar el lenguaje de cálculo geométrico completo al que aspiraba Leibniz,[6] y le faltan interesantes propiedades como la asociatividad o existencia de inversos para los vectores, que sí tienen los cuaterniones. Y en este punto es cuando no hay más remedio que tomar el sendero por donde transitaron Graßmann y Clifford.

 

  1. Hace años intenté leerme las Lectures de Hamilton: al final tuve que dejarlo, hastiado de ver que aquello avanzaba a paso de tortuga con un estilo insufrible. No me quedaron ganas de volver a intentarlo. []

  2. De hecho, Heaviside se burlaba de los partidarios de los cuaterniones llamándolos “minus men”. []

  3. Como ya hice, para más claridad, en las entradas anteriores. []

  4. Heaviside no usaba ningún símbolo para el producto escalar y para el producto vectorial usaba la misma notación de Hamilton, con una “V” que indicaba la “parte vectorial” del producto cuaterniónico. []

  5. Esta última es la rama de la Física que busca explicar las leyes de la Termodinámica a partir de las propiedades estadísticas de las llamadas colectividades de posibles estados de un sistema físico, y sus fundamentos fueron establecidos por el propio Gibbs, junto a Maxwell y Ludwig Boltzmann. []

  6. Los cuaterniones permiten, por ejemplo, expresar rotaciones en el espacio, incluso de forma más elegante y eficaz que con matrices ortogonales, el procedimiento estándar que se enseña en cualquier facultad o escuela de ingeniería. []


Sobre el autor:

jlese (Juan Leseduarte)

Soy licenciado en Ciencias Físicas y profesor de Matemáticas de Educación Secundaria en excedencia. Además de la Física y de las Matemáticas, me gusta la música antigua y trastear en el sistema operativo GNU/Linux. También intento que mis conocimientos de alemán no se oxiden.
 

{ 2 } Comentarios

  1. Gravatar adpp | 22/07/2018 at 01:49 | Permalink

    ¡Excelente entrada histórica!¡Todo este tema es interesantísimo! Gracias jlese.

  2. Gravatar jlese | 23/07/2018 at 11:47 | Permalink

    Gracias a ti, adpp. Me alegro mucho de que hayas disfrutado la entrada. La próxima será la última de carácter histórico, antes de entrar propiamente en materia.

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