Explorando el álgebra geométrica 14 – Proyección y exclusión respecto a un vector. Simetrías axiales y reflexiones respecto a un hiperplano.
En esta entrada se introducirán dos conceptos importantes en álgebra geométrica, el de proyección y el de exclusión de un vector respecto a otro. De hecho, no se trata más que la descomposición de un vector en una parte paralela (la proyección) y en una parte ortogonal (la exclusión) respecto a otro vector. A continuación veremos la expresión en álgebra geométrica de una simetría axial, así como también la expresión de una simetría de reflexión respecto a un hiperplano. Tanto las simetrías axiales como las reflexiones respecto a un hiperplano son ejemplos de transformaciones ortogonales. Una transformación ortogonal es aquella transformación lineal que conserva el producto interior de dos vectores, de modo que el producto interior de dos vectores es igual al de los vectores transformados. Como el producto interior define la métrica del espacio vectorial, a partir de la que se define la norma de un vector y el módulo del ángulo que forman dos vectores, las transformaciones ortogonales conservan las normas de los vectores y el módulo de los ángulos que forman cualquier par de vectores entre sí. Un tipo importante de transformaciones ortogonales son las rotaciones, pero estas quedarán ya para las próximas entradas de esta serie.