El Cedazo

Estamos de vuelta con la serie de modelos atómicos. En los anteriores artículos hablamos de energía potencial y de momento angular, en este artículo vamos a hablar sobre cómo definir la posición de un objeto en el espacio y de un tipo de fuerzas muy especiales, las fuerzas centrales. ¡Empecemos!

En primer lugar vamos a hablar sobre cómo podemos localizar un objeto en el espacio; para simplificar al máximo las cosas, voy a suponer solamente espacios bidimensionales (es decir, sólo existe adelante, atrás, izquierda y derecha, pero no arriba y abajo). Pues bien, resulta que lo que nos sirve para localizar objetos es algo que ya presentamos en el artículo sobre colisiones ¡un vector!

Ya hablamos en ese artículo que un vector es algo que nos indica, además de un valor, una dirección, sentido y punto de aplicación. Entonces deberíamos ver casi de inmediato que esto nos sirve para localizar objetos en el espacio. Vamos a hacer una prueba: supongamos que queremos describir la posición de un objeto; primero de todo necesitamos un punto de aplicación, es decir, la posición del objeto no será la misma para mí que para otra persona. Un ejemplo:

Suponed que el objeto está a 5m de mí hacia el Norte y tengo un amigo que está a 10m de mí hacia el Sur. Entonces yo no puedo decirle a mi amigo que el objeto está 5m hacia el Norte y quedarme tan tranquilo, pues si él camina 5m hacia el Norte no lo va a encontrar. Debo especificar que “el objeto está 5m hacia el Norte, partiendo desde donde yo estoy”. Necesitamos saber el punto de aplicación. Otra forma que tenemos de describirle la posición del objeto sería decirle que está 15m al Norte de donde está él. Ahora sí, fijaos que hemos cambiado el punto de aplicación, y ha “cambiado la posición” del objeto, ha pasado de estar 5m al Norte a estar a 15m.^[1]

Bien, pues en efecto necesitamos conocer el punto de aplicación, pero esto evidentemente no basta. Necesitamos además una dirección. El concepto de dirección es bastante confuso para muchos, y suele confundirse con el “sentido”, ya que muchas veces ambas informaciones se dicen juntas. Si releéis el ejemplo anterior habréis notado que, para dar la localización del objeto, no me ha bastado con decir solamente el punto de aplicación, he necesitado especificar “5m al Norte”. Pues bien, ese “al Norte” nos indica la dirección, pero no sólo la dirección, sino también el sentido. Más concretamente, la dirección sería la dirección Norte-Sur:  nos indica la línea recta en la que encontraremos el objeto, mientras que es el sentido el que nos indica si, dentro de la dirección “Norte-Sur”, debemos ir hacia el Norte o hacia el Sur. Luego pongo un ejemplo que siempre me ha gustado para entender la diferencia entre dirección y sentido.

Pero, finalmente, necesitamos otra cosa para localizar el objeto, la distancia, no me vale decir el objeto está al Norte, debo decir 5m al norte. Espero haberos convencido de que para localizar un objeto se necesita un vector. Intentad hacer un ejercicio mentalmente, imaginaros un objeto situado en una posición arbitraria y convenceos de que existe un vector que describe su posición.

Para los que estéis aún confusos por lo de dirección y sentido, os voy a hacer una analogía que siempre me ha gustado acerca de los vectores. Imaginad que queréis ir a algún sitio y tenéis que coger el metro… pues bien, resulta que el metro es análogo a un vector. Primero de todo debéis saber en qué estación vais a subir. Seguidamente vais a tener qué elegir qué línea de metro debéis coger, pues no llegaréis al mismo sitio si cogéis un metro de la línea L1 que de la línea L3. Pero seguro que sabéis que tampoco es suficiente escoger la línea: es muy probable que a alguno os ha pasado que habéis ido a coger un metro, habéis subido en la parada correcta y habéis cogido el tren de la línea correcta, pero en lugar de llegar donde queríais el tren se va para atrás, ¡os habéis equivocado de sentido! Finalmente, si cogéis bien el sentido debéis calcular cuántas estaciones deben pasar hasta llegar a vuestro destino. Pues bien, esto es exactamente un vector; el punto de aplicación es la estación de subida, la dirección es la línea de metro que debéis coger, el sentido es el tren que debes coger (el que va hacia la izquierda o el que va hacia la derecha), y finalmente el módulo del vector es el número de estaciones que debéis dejar pasar antes de bajaros.

Bien, espero que haya quedado claro qué es un vector y por qué nos sirve para localizar objetos. Vamos a hablar de distintas formas de expresar este vector que, por cierto, lo llamaremos vector posición. Estas distintas formas se llaman las coordenadas. Primero voy a introducir las coordenadas más fáciles, conocidas como coordenadas cartesianas. Pedro ya habló de ellas en bastante detalle, así que os recomiendo leer también su artículo.

Las coordenadas cartesianas consisten en utilizar los puntos cardinales para describir la posición, justo lo que yo he usado en mi ejemplo anterior. En general, podemos describir la posición de cualquier objeto con dos números (en dos dimensiones), basta con decir “el objeto está 5m al Este y 3m al Norte” o “10m al Este y 5m al Sur”. Aunque lo más usual es utilizar solamente dos puntos cardinales, por ejemplo Este y Norte,^[2] y entonces diríamos “10m al Este y -5m al Norte”. Si además mantenemos siempre el mismo orden (siempre decimos primero la coordenada Este y luego la Norte) podemos incluso obviar estos dos y decir que el objeto está a (10m, -5m). Estos dos números (10m, -5m) son las coordenadas del objeto en la base cartesiana (Este, Norte).

Este sistema es muy bueno, por ejemplo, para ir por una ciudad, pues puedes indicar la posición de un edificio diciendo “vaya 3 calles hacia delante, gire a la derecha y ande 2 calles más”. Pero existe otra forma de especificar la posición de un objeto, sobre todo cuando podemos movernos en cualquier dirección sin obstáculos: las coordenadas polares. De nuevo para esto podemos utilizar los puntos cardinales, pero no sólo dos como hacíamos antes, sino todos ellos. E, N, O, S, además de todos los intermedios como NO, SE, NNO, etc… Simplemente debemos decir la dirección y sentido del objeto y la distancia a la que se encuentra, “el objeto está a 10m hacia ESE”.^[3] Esto es complicado, porque si queremos mucha precisión nos vamos a encontrar con direcciones del estilo “ONONO”.^[4]

Por esto los matemáticos prefieren escoger un único punto (por ejemplo, el Este) y contar el ángulo que forma la dirección que quieres con el Este. Así de nuevo podemos decir simplemente “El objeto está 10m a 60° Este”, que de nuevo, si dejamos claro que siempre elegimos el Este y mantenemos el orden podemos escribir simplemente como (10m, 60°). Es importante comentar que el ángulo se mide generalmente en sentido antihorario; así, si quiero decir “5m Norte” voy a decir “5m a 90° Este”, mientras que “5m Sur” voy a decir “5m a 270° Este” o “5m a -90° Este”. Eso sí, ahora el numero que decimos para indicar la distancia debe ser positivo, pues no tiene sentido decir que algo está a una distancia negativa de ti. Seria incorrecto decir “-5m a 90° Este”.

Bueno, llevamos ya un buen rato hablando sobre cómo localizar objetos en el espacio, espero que haya quedado suficientemente claro, así que os dejo un dibujo que ilustra cómo las dos coordenadas describen la posición de un mismo objeto.

Vamos ahora a hablar de fuerzas centrales. ¿Qué es una fuerza central? Pues una fuerza central es una fuerza que tiene dirección radial. Esto quiere decir que en un punto P la fuerza debe tener la misma dirección que el vector posición.^[5] Además, la fuerza es central si sólo depende de la distancia a la que está el punto P, es decir, no nos importa exactamente su posición sino solamente su distancia.^[6]

¿Por qué son estas fuerzas importantes? Pues bien, mucha gente os dirá que lo son porque las fuerzas principales de la naturaleza (gravedad y electricidad) son fuerzas centrales, pero esto es mentira. Tanto la gravedad que viene descrita por la Ley de Newton ((Ignoremos completamente la relatividad general.)) como la electricidad que viene descrita por la Ley de Coulomb no son fuerzas centrales, pues ni la Ley de Newton ni la de Coulomb describen fuerzas centrales. Veremos esto en el caso de Coulomb más adelante. Lo que sí es cierto es que en ciertas situaciones se pueden hacer aproximaciones para que las fuerzas sean centrales e incluso, en algunos casos, se pueden hacer algunos ajustes para hacerlo sin aproximaciones. Pero, en general, no es así. De hecho, si habéis oído hablar del problema de los tres cuerpos, es precisamente porque esas fuerzas no son centrales: el problema de tres cuerpos para fuerzas centrales sí se puede resolver y sin demasiada complicación.

La verdadera importancia de las fuerzas centrales es que simplifican muchos problemas. Se puede demostrar que toda fuerza central es conservativa (hablamos de fuerzas conservativas en este artículo) lo que, recordad, quiere decir que la energía se conserva. Además, aunque al haber una fuerza el momento lineal no se conserva, en una fuerza central el torque^[7] es cero, lo que quiere decir que el momento angular sí que se conserva. Lo cual implica que los movimientos de las partículas sometidas a esa fuerza están restringidos en un plano (si hay más de una partícula, cada partícula se mueve en un plano distinto, pero cada una de ellas no se sale nunca de su plano).

Pero ahí no acaba todo, si nos limitamos a estudiar la distancia a la que se encuentra un objeto sometido a fuerzas centrales, ¡podemos limitar nuestro estudio a una sola dimensión! Ya que, recordad, lo único que nos interesa para conocer la fuerza es la distancia a la que se encuentra la partícula. Y se puede calcular usando lo que se llaman los diagramas de potencial efectivo. Esto es, sabemos que toda fuerza conservativa tiene asociado una energía potencial. Pues en el caso de fuerzas centrales, podemos reducir la fuerza real tridimensional a una fuerza “efectiva” unidimensional. Y el estudio del movimiento en tres dimensiones se puede hacer parcialmente como un objeto que se mueve en una dimensión bajo esta fuerza “efectiva”. A esta fuerza efectiva le corresponde una energía potencial efectiva. Y por muy complicada que sea esta fuerza, se pueden hacer análisis cualitativos simplemente con ese potencial. Vamos a ver aquí unos ejemplos.

Vamos a empezar con el ejemplo más importante. Si podemos aproximar las fuerzas gravitatorias y eléctricas a fuerzas centrales, éstas son fuerzas inversamente proporcionales a la distancia, esto es, si la distancia aumenta la fuerza disminuye. Pero además son inversamente proporcionales a la distancia ¡al cuadrado! Esto es, si doblamos la distancia, la fuerza no se hace la mitad, se hace cuatro veces más pequeña. Vamos a ver cómo son los diagramas de potencial para fuerzas inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia.

Aquí podéis ver tres potenciales correspondientes a fuerzas proporcionales a r^-2. En la gráfica negra se trata de una fuerza repulsiva (por ejemplo, dos partículas de misma carga), las gráficas azul y roja son en cambio energías potenciales debidas a fuerzas atractivas (como la gravedad). El caso azul es el potencial efectivo que tendrá una partícula con cierto momento angular, mientras que el caso rojo es para partículas sin momento angular: cuanto menos momento angular tenga, más se parecerá la línea azul a la roja. ¿Qué información podemos obtener de estas gráficas? Para entender las gráficas debéis recordar que la energía total de la partícula es su energía potencial (lo que se muestra en las gráficas) más la energía cinética, la energía cinética nos da información sobre la velocidad de la partícula y nunca puede ser negativa. Además, la energía se mantiene constante, así que podemos representar la energía en las gráficas como una línea horizontal. Entonces la partícula solamente podrá moverse por las regiones en que su energía sea mayor que la energía potencial. Vamos a ver cuatro ejemplos:

De nuevo las mismas gráficas, pero he superpuesto en amarillo y discontinuo el valor de la energía de cuatro partículas. Vamos a empezar estudiando la gráfica negra que, recordad, corresponde a una fuerza repulsiva. En este caso sólo sería posible la energía E₁, pues todas las demás están siempre por debajo. Además, ¿qué podemos decir de una partícula que tenga energía E₁? Pues esa partícula siempre tiene que estar más lejos que 0,8. Hay dos posibilidades para su movimiento; que esté alejándose o que esté acercándose. Si estuviera alejándose, fijaos que la energía es constante, mientras que la energía potencial va disminuyendo, esto quiere decir que la partícula se iría alejando cada vez más rápido (pues al disminuir la energía potencial debe aumentar la energía cinética, lo que sólo es posible aumentando su velocidad). Por otra parte, si estuviera acercándose, la energía potencial va aumentando, así que la partícula iría frenándose, hasta llegar a una distancia de 0,8, ahí su energía es exactamente igual a la energía potencial, lo que quiere decir que su energía cinética debe ser cero, por lo que la velocidad es cero.^[8] Después de esto, la partícula cambia su sentido y se aleja cada vez más rápido. ¡Hemos descrito el movimiento de la partícula sin hacer ningún calculo!

Vayamos a la segunda fuerza, la gráfica roja, y recordemos que esto describe una partícula sin momento angular moviéndose bajo una fuerza atractiva: en este caso todas las energías son posibles. Una partícula con energía E₁ puede estar acercándose o alejándose. Si se aleja, como la energía potencial va aumentando, se alejará cada vez más despacio, pero nunca dejará de alejarse. Por el contrario, si se acerca, cada vez irá más deprisa, hasta llegar a una distancia de 0, con velocidad infinita^[9] para pasar de largo e irse alejando cada vez más lentamente. Vamos a ver ahora qué les pasa a las partículas con energía E₂, E₃ y E₄, en concreto vamos a hablar de E₄, las demás son equivalentes. Supongamos ahora que la partícula se aleja, al igual que la partícula con energía E₁ su velocidad irá disminuyendo, pero a diferencia de ésta, llega un momento en que su energía es igual a la energía potencial, por lo que la partícula tiene velocidad cero; esto pasa a una distancia de 0,33. Entonces la partícula cambia su sentido y pasa de alejarse a acercarse, con velocidad cada vez más rápida hasta llegar a distancia 0 con velocidad infinita y volver a alejarse cada vez más lentamente. Y así estará la partícula durante toda la eternidad, haciendo movimientos armónicos alrededor de un punto.

La tercera gráfica es la más interesante: se trata de la misma fuerza que el caso anterior, pero ahora nuestras partículas tienen cierto momento angular. La partícula con energía E₁ se acercaría cada vez con más velocidad hasta una distancia de 0,25, donde hay un mínimo de potencial, a partir de este momento seguirá acercándose, pero ahora irá frenando, hasta llegar a una distancia de 0,1 en que su velocidad será cero, dará la vuelta y se irá (cada vez más rápido hasta 0,25 y luego frenando para toda la eternidad). Aunque no os lo parezca, acabamos de describir un asteroide que ha entrado en el sistema solar, ha pasado cerca del Sol y se va para no volver. Si la partícula tiene energía E₂, su movimiento también es interesante, empieza acercándose, su velocidad aumenta hasta llegar a una distancia de 0,25 donde empieza a frenar. A una distancia de 0,15 su velocidad es cero y vuelve para atrás, cada vez más rápido hasta llegar a 0,25 que empieza a frenar. A una distancia de 0,85 vuelve a pararse y otra vez vuelve a empezar su movimiento. Lo que estamos describiendo aquí es un planeta (o un objeto) dando vueltas alrededor del Sol en una órbita elíptica, por ejemplo, vosotros mismos.

Finalmente, una partícula con energía E₃, en este caso la partícula sólo puede estar a una distancia de 0,25, pues no tiene energía suficiente para acercarse o alejarse. Por eso tiene velocidad cero, pero recordemos que, aunque su velocidad en este sistema unidimensional sea cero, no quiere decir que la velocidad tridimensional sea cero, esta partícula puede tener velocidad angular,^[10] pero no puede alejarse ni acercarse al Sol. Lo que tenemos, pues, es un planeta con una órbita perfectamente circular. El caso de energía E₄ simplemente no es posible bajo este potencial.

Voy a dejar el artículo por aquí, como ya es suficientemente largo voy a separar la segunda parte con ecuaciones en otro artículo. Aún así, en el siguiente artículo (sin ecuaciones) vamos a profundizar más en las distintas órbitas que hemos visto.

Os dejo que vosotros mismos continuéis maravillándoos con esto que acabamos de ver: os dejo como entretenimiento que describáis qué pasa para un agujero negro cuyo potencial eficaz es éste (rojo para una partícula sin momento angular, azul para una partícula con momento angular), sin tener ni idea de relatividad general ni nada.

¡Hasta la próxima!

1. Es importante tener en cuenta que NO estoy hablando que el objeto se haya movido, pero, como he dicho, la posición de un objeto depende del punto de aplicación. [↩]
2. La elección de estos dos es completamente arbitraria, podemos escoger los dos que queramos siempre que tengan distinta dirección. [↩]
3. Es decir, entre Este y Sureste [↩]
4. Algo entre Norte y Oeste. [↩]
5. No necesariamente el mismo sentido. [↩]
6. Bueno, nos importa su posición para determinar la dirección de la fuerza, pero eso se puede ignorar muchas veces, como veremos a continuación. [↩]
7. El análogo a la fuerza para rotaciones. [↩]
8. Éste es buen momento para recordar que estamos en una única dimensión, así que velocidad cero quiere decir que la partícula ni se acerca ni se aleja, pero puede tener velocidad angular en nuestro mundo de tres dimensiones. [↩]
9. A efectos prácticos habría ahí algún objeto que crea la fuerza, por ejemplo una estrella y chocaría con ella antes de llegar a distancia 0. [↩]
10. De hecho la tiene, pues recordemos que tiene momento angular. [↩]

The [De Thomson a Bohr, historia de un átomo] 0-Conceptos previos 9: Fuerzas Centrales (Parte I) by Roger Balsach, unless otherwise expressly stated, is licensed under a Creative Commons Attribution-Noncommercial-No Derivative Works 2.5 Spain License.