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Trigonometría, los enigmáticos triángulos: Presentación

Es bastante común que las matemáticas sean aborrecidas por el estudiante según estas se complican, y, según mi experiencia con compañeros, es en el álgebra donde empiezan los problemas, y esto causa un desconocimiento de algunas partes que, a mi parecer, son bastante interesantes, como es el caso de la trigonometría.

Según la Wikipedia, trigonometría es:

  • Una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es “la medición de los triángulos“. Deriva de los términos griegos τριγωνο trigōno triángulo y μετρον metron medida.

Venga, vamos, juega con él, si no muerde. :P

Aún así, esta definición no tiene mucho que ver con la realidad, excepto con lo de medir y lo de ángulos, puesto que a lo que la trigonometría se dedica es a estudiar las relaciones fundamentales de los triángulos (seno, coseno; tangente, cotangente; secante y cosecante), de las cuales hablaré a lo largo de esta serie.

Tal y como organizo yo esto es a través del álgebra, que es justamente donde se dividía la gente: al que se le daba bien, que le encantaba, y al que se le daba mal, que la odiaba,  así que también aprovecharé para refrescar, sobre todo a estos últimos,  un poco de álgebra básica (como mover términos de un lado a otro en una ecuación y cosas así)  y demostrarles que sólo es álgebra, no hay que temerla.

Pero… ¿por qué trigonometría?  Bueno, la trigonometría, trigo para los amigos,  es una rama que ciertamente me fascina. Quizás fue por mi prematuro encuentro con ella: mi profesora de 6º de primaria,[1] a la que le atribuíamos propiedades tales como poder volar en escoba y convertir a sus alumnos en fantásticas máquinas de dormir, trajo un libro de 4º de E.S.O.[2] o así, y se puso a escribirnos fórmulas y más fórmulas…

Ya os podéis imaginar cómo sería la clase en esos momentos… una fiesta, precisamente, no.  Pero había un chaval, allá en el fondo, que en vez de quejarse, atendía, trataba de entender. Claro que, en esos momentos, ¿quién me iba a decir a mí que me quedaría prendado de esa rama concreta de las matemáticas?

Más tarde, con unos 14 años, volví a entrar en esta rama de la matemática, con unos pocos rudimentos más bajo el brazo, of course, encontrándola muy fácil… entre nosotros, algo de dinerillo les saqué a mis compañeros ayudándoles. :-P

Bueno, no os voy a pedir que hagáis como yo, que lo mío, de verdad, no puede ser normal, pero sí vamos a dar un pequeño paseo guiado por ese distrito del mundo matemático que es la trigonometría.

Claro que, como para todo, hay que sentar unos precedentes. Así pues, en el primer artículo hablaré del no poco famoso “Teorema de Pitágoras”.

  1. De 11 a 12 años. [↩]
  2. 15-16 años. [↩]
2011 08 18 kratso Kratso
Matemáticas Comentarios (16) Permalink

Física extraña (8): Soplar para que se mueva tu barco

Seguimos soplando. Hemos visto cómo soplar una vez veces para enfriar, otras para calentar. También hemos visto cómo se mueve un barco a vela, incluso cómo puede navegar más rápido que el viento. ¿Podemos juntarlas todas?

Cuando éramos pequeños siempre nos parecía que si un barco se quedaba sin viento, los tripulantes eran tontos, porque podían soplar y así conseguir viento… en fin, ilusos de nosotros… ¿no? Luego llegábamos al colegio, nos enseñaban las tres leyes de Newton, y entre ellas el principio de acción-reacción: “Con toda acción ocurre siempre una reacción igual y contraria: o sea, las acciones mutuas de dos cuerpos siempre son iguales y dirigidas en sentido opuesto“.

Y entonces descubríamos que si soplamos sobre la vela, existe una fuerza de reacción que nos impulsa a nosotros (y con nosotros al barco) hacia atrás. Luego el soplido llega a la vela y la empuja, y con ella al barco… la gracia es que la fuerza ejercida por el soplido sobre la vela es igual a la fuerza de reacción que nos impulsa a nosotros hacia atrás. Ambas se anulan una a otra, y el efecto neto es nulo: el barco no se mueve.

Hasta aquí lo que aprendimos en el colegio. Aunque nuestros doctos lectores esto lo tienen claro, a muchos otros esto ya les sonará a “física extraña”… pero no es ese el objetivo de este artículo, eso ya lo damos por superado.

Así que, ¿es posible mover el barco soplando sobre la vela?

¿Apuestas?

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2011 08 15 J Física
J Comentarios (12) Permalink

Descubriendo nuevos universos. La galaxia Andrómeda (II)

En el artículo anterior de esta serie hicimos una introducción a un problema que le surgió a los astrónomos durante el siglo XIX. La nebulosa M31, conocida como nebulosa de Andrómeda, a diferencia de las demás, mostraba un espectro característico de las estrellas, no de las nebulosas.  Sin embargo era imposible discernir, en este cuerpo, ni tan siquiera una estrella. La solución a esta paradoja se estaba cocinando incluso desde épocas pre-cristianas, adentrémonos en las historias y rápido, ¡que no quiero hacerlos leer mucho!

Recreación artística de la explosión de una supernova

Cuando los astrónomos hablan de estrellas cuyo brillo en la bóveda celeste cambia súbitamente las suelen agrupar en novas. Estrellas cuyo nombre proviene del latín nova, que significa “nueva”. Estas estrellas, algunas veces de gran brillo, aparecen inesperadamente en el cielo, permaneciendo inmóviles, a diferencia de los meteoritos, durante un periodo de tiempo apreciable. En realidad estos fenómenos celestes corresponden a la explosión de estrellas de gran tamaño al final de su vida. Esta explosión pueden durar días a años dependiendo del tipo de estrella que se trate. Para una mejor comprensión de su mecanismo de formación y explosión, te invito a leer a Pedro en El Tamiz.

La primera de estas estrellas registradas por la humanidad, posiblemente, fue vista por el astrónomo de Alejandría Hiparco en el 134 AEC. A pesar de que no conservamos sus trabajos originales refiriéndose a ella, el historiador romano Plinio habló del fenómeno dos siglos más tarde. Plinio argumentó que debido a tal cosa Hiparco pensó en realizar su carta celeste de tal forma que tales fenómenos fueran verificables en el futuro. Sigue leyendo ›

2011 08 10 Antares Antares
Astronomía Comentarios (16) Permalink

De la Lógica a la Relatividad: los números reales.

Tras hablar de los números enteros y racionales, hoy finiquitaremos la parte algebraica de la serie hablando de ecuaciones, pero sobre todo de las raíces o soluciones de las ecuaciones. Tras este paso entraremos en el reino del análisis matemático, definiendo el conjunto de los números reales. En esta entrada hablaremos de temas bastante complejos y avanzados, así que no os asustéis si al principio no entendéis nada. Quizás sea necesario que leáis la entrada varias veces con una buena taza de chocolate calentito.

En dicha última entrada construimos el cuerpo de los números racionales, y vimos que en él tenían cabida todos los resultados que surgían de aplicar los operadores suma, resta, multiplicación y división entre dos números racionales. Espero, sin embargo, que sepáis que éstas no son las únicas operaciones que se pueden realizar. Por ejemplo, está la operación raíz cuadrada de un número, que nos devuelve un número que al ser multiplicado por sí mismo da el número de partida. Es decir, la operación raíz cuadrada resuelve la siguiente ecuación:

x^2 - 2 = 0 .

Desde tiempos muy antiguos sabíamos resolver este tipo de ecuaciones. Los babilónicos ya las conocían y las enseñaban a resolver en las escuelas. Aunque aquí resolver tiene truco. Lo que sabían los babilónicos era aproximar la solución, que en este caso sería \sqrt 2 . Conocían un método[1] que te daba cualquier cantidad de cifras decimales que uno necesitara de la solución. En general esto es más que aceptable en casi cualquier contexto, pero resulta que a los griegos en general, y a los pitagóricos en particular, no les convencía nada este método: ellos quería la solución exacta. Y se pusieron a buscarla.

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  1. Que actualmente denominaríamos Método de Newton. [↩]
2011 08 08 cruzki Ciencia
cruzki
Matemáticas Comentarios (5) Permalink

El euro: Eslovenia

Poco a poco, pasito a pasito, en esta serie estamos viendo cada vez más variantes nacionales de la moneda común europea, el euro. En el último artículo hablamos sobre Eslovaquia —nos acercamos cada vez más a España—; pues bien, en esta entrada descubriremos los anversos de las monedas de euro de la República de Eslovenia.[1]

Mapa

Localización de la República de Eslovenia en Europa. En verde clarito, la Unión Europea. (NuclearVacuum/Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported)

El país

BanderaEscudoTodavía nos encontramos en Europa central, aunque un poco más al sur que en la entrada anterior. Eslovenia, cuya capital es Ljubliana —o Liubliana; en esloveno: Ljubljana—, sí tiene salida al mar, concretamente al Adriático —por el sudoeste, pero con tan sólo 47 km de costa—, y tiene una sola isla… pero no en el Adriático, sino en medio del lago de Bled, en el interior.[2] Hace frontera con Austria, al norte; Hungría, al nordeste; Croacia, al sudeste y sur, e Italia, al oeste. Al igual que Eslovaquia, Eslovenia es una república parlamentaria, que consta de un presidente como jefe de Estado —Danilo Türk, desde el año 2007— y un primer ministro como jefe de Gobierno —desde 2008, Borut Pahor—. Se trata del quinto país menos poblado de la Unión, con poco más de dos millones de habitantes, y el cuarto menos extenso, tras Malta, Luxemburgo y Chipre.

La República de Eslovenia, junto con Eslovaquia y Chipre —y tantos otros países europeos— ingresó en la Unión Europea en la ampliación de 2004, de la que ya he hablado en el artículo anterior. Sigue leyendo ›

  1. En esloveno: Republika Slovenija, si bien los eslovenos —me dice Macluskey, que ha tenido la suerte de estar en Eslovenia— llaman a su país «la Gallina Gorda», aunque en perfecto esloveno, claro. Esto es porque el mapa de Eslovenia, mirado con cierta imaginación eslovena, parece una gallina bien cebada… así que así llaman a su país: la Gallina. Gorda. No me extraña que serbios y croatas cuenten chistes de eslovenos como aquí se cuentan de leperos… [↩]
  2. Esto contrasta con las más de 700 islas, y otros tantos islotes, que la vecina Croacia tiene en el Adriático. [↩]
2011 08 03 Saul_IP coleccionismo
Economía
Historia
Saul_IP Comentarios (7) Permalink

Descubriendo nuevos universos. La galaxia Andrómeda (I)

La idea que tenía el hombre acerca del tamaño del universo había evolucionado enormemente en 2000 años. Según lo que hemos tratado en esta serie, podemos resumir: Hacia el año 150 AEC, ya se había definido de un modo preciso el sistema Tierra-Luna. A pesar de que se pensaba que la distancia a nuestro satélite era de unos cientos de  kilómetros, las mediciones mostraron una separación de, aproximadamente, un tercio de millón de kilómetros. Posteriormente, hacia 1700, se había logrado ya fijar la escala del sistema solar con bastante precisión. No hablamos, con eso, de millones de kilómetros sino de miles de millones. Sin embargo la distancia a las estrellas más cercanas aún seguía siendo un enigma, aunque se suponía que oscilaba alrededor de los billones[1] de kilómetros como mínimo.

La solución al problema llegaría hacia 1850, comprobando que esa distancia no era sólo de billones de kilómetros, sino de decenas y cientos de billones. Entonces nos dimos cuenta de que nos encontrábamos en un sistema de estrellas organizadas en una especie de plato del cual su diámetro era desconocido, pero que debería oscilar en los miles de años-luz. El problema persistió hasta 1920, cuando descubrimos de que su diámetro no estaba en los miles de años-luz, sino más bien en muchas decenas de miles de años-luz.

En cada nueva ocasión, con cada nuevo descubrimiento, la medición de las dimensiones de regiones del Universo resultaba superior a las estimaciones más optimistas. La Tierra resultó ser ínfima en relación al Sistema Solar. Éste, a su vez, quedó humillado por el tamaño del sistema que componían las estrellas más cercanas. Pero tal sistema fue ínfimo con respecto al tamaño total de la galaxia. ¿Sería el sistema Galaxia-Nubes de Magallanes el fin definitivo? Al parecer, en 1920, parecía muy posible que la Galaxia y las nubes de Magallanes constituyeran toda la materia que existía en el universo; más allá, por lo que se sabía, no había nada. Esta vez había argumentos teóricos muy fuertes. Recordemos que la paradoja de Olbers parecía implicar la existencia de un Universo finito, lo cual estaba apoyado por el hecho de que las estrellas estaban confinadas dentro de una galaxia finita. La existencia de otros sistemas estelares más allá de nuestra galaxia plantearía a los astrónomos un problema irresoluble.

¡Y los encontramos! Vamos al artículo entonces.

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  1. Europeos, es decir, 10^12. [↩]
2011 08 01 Antares Antares
Astronomía Comentarios (7) Permalink

De la Lógica a la Relatividad: los números enteros y racionales.

Dentro de esta serie, que por unas causas u otras ha estado detenida durante algún tiempo, y tras hablar de las relaciones de equivalencia[1] y los números naturales, vamos a continuar la serie usando ambos conceptos para construir otros conjuntos con propiedades interesantes.[2]

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  1. Recordad, las gafas mágicas que nos permitían clasificar o confundir elementos dentro de un conjunto. [↩]
  2. Como hace un montón de tiempo desde la última publicación quizás sea buena idea que revises, como he hecho yo, las dos últimas entradas. [↩]
2011 07 28 cruzki Ciencia
cruzki
Matemáticas Comentarios (2) Permalink

Historia de un ignorante, ma non troppo… Beatles go Baroque. Concerto grosso al estilo de Haendel.

A ver… Beatles y… ¿Barroco? ¿Concerto grosso? Al estilo de… ¿Haendel? ¿EINNN? Pero… estooo… decir tal cosa es como decir “Música Bakalao al estilo de Mozart”, una tontería, un sinsentido, una jilipuyuá, ¿no? O sea, el amigo Macluskey, que nos tiene acostumbrados a esas excelentes obras clásicas dentro de su impertinente serie musical, se ha vuelto definitivamente demente senil, cosa que seguro que muchos de vosotros os temíais con toda seguridad…

Pues no, amigos. Aún no me he vuelto majareta del todo.

Es cierto. Hoy comienza una miniserie (miniserie porque son sólo unos pocos artículos, y porque además serán artículos inusitadamente cortos para mis inveteradas costumbres de farfollador sin límites) dentro de la dichosa serie musical, con cuatro conciertos barrocos (“concerti grossi”, en italiano, que quiere decir “grandes conciertos”) basados en conocidísimas canciones de los Beatles, y tal miniserie me alegra especialmente.

Resulta que en algunas ocasiones algunos de vosotros me había pedido en comentarios que hablara de alguna canción de esos auténticos clásicos del Siglo XX que son los Beatles. Pero resulta que no, no me siento capaz de comentar nada sobre esas eximias canciones de los “melenudos de Liverpool” que cambiaron algo en la música posterior… no, que lo cambiaron todo en la música posterior (sobre todo en la provinciana España de los años 60). The Beatles irrumpieron como elefante en cacharrería en el panorama de la música popular de los años sesenta y lo pusieron todo patas arriba. Inicialmente inventaron más bien poco. Tomaron un poco de Elvis, otro poco de Chuck Berry, algo de aquí y algo de allá, lo mezclaron en los clubes de Liverpool y de Hamburgo con su propia genialidad… y lo cambiaron todo. Nada fue igual desde la aparición y el tremendo éxito posterior de aquellos cuatro monstruos (bueno, no, no nos engañemos, aquellos dos monstruos –Lennon y McCartney-, un monstruíto –Harrison- y un tipo que tocaba muy bien la batería y cuyo mayor mérito ha sido ser un tío simpático que supo estar en el sitio oportuno en el momento adecuado, es decir, Ringo Starr).

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2011 07 25 Macluskey Macluskey
Música Comentarios (11) Permalink

Teoría de juegos XXVIII – Halcones y palomas (Gallina II)

En el capítulo anterior de la serie presentamos el juego del gallina y buscamos un par de estrategias que no acababan de resolver el juego.

Primero intentamos quemar las naves (o su variante: golpear primero), pero vimos que no acababa de servir si el otro jugador usaba la estrategia del loco. Pero esta estrategia del loco tampoco nos terminaba de gustar, porque la última vez que la utilizamos a escala mundial, durante la guerra fría, estuvimos pendientes de un botón durante dos décadas (y hasta recomendamos un libro que nos hizo llorar).

Jugador 1
Se Aparta Sigue
Jugador 2 Se Aparta 0,0 +1,-1
Sigue -1,+1 -100,-100

¿Y si nos ponemos en plan conservador?

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2011 07 20 J J
Teoría de juegos Comentarios (11) Permalink

Cayo Julio César (II)

Jules César por Nicolas Coustou

Jules César por Nicolas Coustou (Wikipedia)

Queridos Cedaceros, continuamos hoy con la segunda parte de la entrega sobre Cayo Julio César. Me alegro por quienes sobrevivieron a la primer entrega y aún mantienen el entusiasmo.

Lamentablemente, para comprender hechos y sucesos, poder imaginarlos y, por qué no, hasta tener una opinión personal de los mismos, es necesario tener claro el mayor contexto posible. Con la ajetreada vida política de Roma esto es muy difícil de lograr, así que… paciencia.

En la entrega anterior vimos un poco el origen de la guerra civil, el comienzo del fin de la república y el ascenso de hombres poderosos como Cayo Mario y Lucio Cornelio Sila. En esta entrega veremos cómo crece políticamente César en esta Roma turbulenta, donde la gente que simpatiza por el bando equivocado… ¡termina pagándolo muy caro!

Como siempre hago, aclaro que relato acontecimientos que sucedieron antes de la llegada de Cristo, por lo que las fechas mencionadas serán todas asumidas como a. C. Sólo aclararé con d. C. si algún hecho ocurrió después de Cristo.

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2011 07 18 chapu77 chapu77
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