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De la Lógica a la Relatividad: los números enteros y racionales.




Dentro de esta serie, que por unas causas u otras ha estado detenida durante algún tiempo, y tras hablar de las relaciones de equivalencia[1] y los números naturales, vamos a continuar la serie usando ambos conceptos para construir otros conjuntos con propiedades interesantes.[2]

En la entrada en la que hablamos de los números naturales fuimos capaces de construir dicho conjunto a partir de unos simples axiomas. Vamos a hacer cosas interesantes con dicho conjunto. Para empezar, creo que no estoy diciendo ninguna burrada si afirmo que “sumar” está perfectamente definido en los números naturales.

Es decir, dados dos números naturales, su “suma” es otro número natural.[3] Por ejemplo 2 + 3 = 5, que es un número natural.

Además la suma tiene unas cuantas propiedades interesantes. A saber:

  1. Hay un número especial que, sumado a cualquier otro, da el mismo número. Es decir,0 + n = n + 0 = n A este elemento se lo llama elemento neutro.
  2. Da igual el orden al sumar dos números. Es decir, a+b=b+a Las aplicaciones que cumplen esta propiedad se llaman conmutativas.
  3. Si sumo tres números, da igual cuáles dos sume primero. Es decir, (a+b)+c=a+(b+c) Las aplicaciones que cumplen esta propiedad se llaman asociativas.
  4. Dado cualquier número, existe otro que, al sumárselo al primero, da el elemento neutro. Es decir, dado n existe m tal que n+m=0. A este número se lo llama opuesto o inverso según el contexto.

Espera un momento… ¿Realmente se cumple la última propiedad? ¿Qué número hay que sumarle al 1 para que de 0? Los más espabilados del lugar levantarán rápidamente la mano y dirán -1. Pero ¿qué número natural es -1? Es un número que es más pequeño que el 0, como si estuviera a la izquierda del 0. Parece que vamos a necesitar ampliar los números naturales, como si nos faltara toda una colección de ellos.

¿Cómo nos las vamos a ingeniar para crearlos? Si lo piensas un poco, te darás cuenta de que el problema no es tanto encontrar los opuestos de los números, sino poder restar. Sabemos que 3 – 2 = 1,[4] pero no sabemos qué número es 2 – 3. Sin embargo, podemos hacer una pequeña trampa. ¿Y si le damos un nombre a 2 – 3?. Por ejemplo -1. Podríamos coger todas las restas posibles y darles un nombre a cada resultado.

El único problema es que hay que hacerlo con cuidado, pues sabemos que el nombre que le demos a 2 – 3 debe de ser el mismo que le demos a 3 – 4. De hecho, tiene que ser el mismo que n-(n+1). No tiene mucho sentido darle distinto nombre a la misma cosa. Parece una tarea inmensa. Pero veremos que en realidad es muy fácil con los conocimientos que ya tenemos.

Para empezar, tenemos que tener claro cuales son “todas las restas posibles”. No creo que sea muy difícil ver que todas las restas posibles son todos los posibles pares de números naturales que existan.[5] Si recordáis de una entrada anterior a este conjunto se le llama producto cartesiano y lo denotábamos: \mathbb N \times \mathbb N

Pero bien, tenemos que tener cuidado con no darle un nombre distinto a cosas que eran iguales. Habíamos visto que (2,3) tiene que ser el mismo número que (3,4), ¡pues vamos a juntarlos! ¿Cómo? Pues con las gafas borrosas de los matemáticos. Si recordáis, lo que necesitamos es crear una relación de equivalencia que nos pegue todos los números que son iguales. Pensad un rato en qué propiedad comparten todos los pares de números que nosotros queremos que sean iguales.

¿Podría ser que (a,b)\sim(c,d) si y sólo si a-c=b-d?[6] Podría, salvo que estamos haciendo toda esta construcción porque habíamos visto que, a veces, NO podemos restar. Bueno, quizás haciendo un poco de magia matemática, podamos arreglarlo.

Movemos la d a la parte de la derecha y la c a la parte de la izquierda y nos queda

a+d=b+c,
que es la misma relación de antes, pero que ahora no tiene problemas[7].

Ahora sólo queda hacer el conjunto cociente y ya lo tenemos… ¿de veras? ¿En qué se parece \mathbb{N} \times \mathbb{N} a los números enteros a los que estamos acostumbrados? Pues son tan parecidos como que son iguales… sólo que con otro nombre. Lo que nos falta es una aplicación biyectiva que asocie nuestros pares de números con los nombres a los que estamos acostumbrados. Piensa en ella un momento.

No creo que te haya sido muy difícil darte cuenta de que la aplicación que estabas buscando es:

 (a,b) \mapsto a - b \text{ si } a \geq b \quad\text{o}\quad (a,b) \mapsto - (b - a) \text{ si } a < b.

Así, por ejemplo, al par (2,3) le asociamos -(3 – 2) = -(1) = -1 y al par (3,2) le asociamos 3 – 2 = 1. Y con esto, hemos creado el conjunto de los números enteros que comúnmente se denota \mathbb{Z}. Además, tenemos que \mathbb{Z} con la operación + cumple las cuatro propiedades que citábamos al principio. A un conjunto que tiene una ley de composición interna que cumple esas cuatro propiedades se la denomina grupo abeliano o grupo conmutativo. Los grupos son importantísimos en matemáticas. Están en todos lados y saldrán varias veces a lo largo de la serie.

¿Y eso es todo por hoy? No, ¡ni mucho menos! Veamos qué pasa con la multiplicación:

  1. Tiene elemento neutro: el 1.
  2. Es conmutativa: ab=ba.[8]
  3. Es asociativa: (ab)c=a(bc).
  4. Pero volvemos a tener el mismo problema de antes. Hay números enteros para los cuales no existe otro que al multiplicarlos, dé la unidad.[9]

Bueno, pues entonces ¡hagamos el mismo truco de antes! Te dejo 5 minutos para que pienses cual es la relación de equivalencia que tenemos que usar esta vez.

.

.

No creo que te haya sido muy difícil darte cuenta de que en esta ocasión lo que queremos es, dados a,b dos números enteros:

(a,b)\sim (c,d) \text{ si y solo si } a/b=c/d.

Espera, ¿estás seguro? ¿No será mejor

(a,b)\sim (c,d)\text{ si y solo si } ad=cb\text{?}
?[10]

Con este caso sí que estamos más familiarizados. No creo que te extrañe en absoluto si te digo que a los pares (a,b) usualmente se les denota \frac{a}{b}. Y seguro que estas acostumbrado a que (a,b)=(na,nb), es decir: \frac{a}{b}=\frac{na}{nb}.

Al conjunto \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/\sim[11] se le denomina números racionales y comúnmente se denota por \mathbb{Q}. Además, tenemos que \mathbb{Q} menos el número 0, con la operación producto es otro grupo abeliano. Exactamente igual que antes. Además, \mathbb{Q} con la suma ¡Es otro grupo abeliano! A los conjuntos que cumplen esta propiedad se les llama cuerpos[12] y son tremendamente importantes en matemáticas.

Y para terminar un par de teoremas, que se que os gustan[13] . El primero sobre la cardinalidad de estos conjuntos. ¿Cuántos elementos crees que tiene \mathbb{Z}? ¿Y \mathbb{Q}? ¿Más o menos elementos que los números naturales?. Pensad un rato. Si habeis leído la entrada sobre el producto y coproducto de espacios deberías de saber la respuesta. Para los despistados:

Los números enteros y los números racionales tienen exactamente la misma cantidad de números que los números naturales.

Y otro teorema más espectacular y sobre el que profundizaremos en próximas entradas.

El cuerpo, con un número infinito de elementos, más pequeño es el cuerpo de los números racionales. Es decir, TODOS los cuerpos infinitos contienen una copia de los números racionales.

Para terminar, el típico resumen:

  1. Usando los números naturales y las relaciones de equivalencia nos las hemos arreglado para construir el conjunto de los números enteros, en el cual podemos sumar y restar sin ningún problema. De paso hemos aprendido lo que es un grupo.
  2. De forma similar hemos arreglado el conjunto de los números enteros para poder multiplicar y dividir y con ello hemos creado el conjunto de los números racionales. También hemos aprendido lo que es un cuerpo.
  3. Por último hemos visto algunas propiedades de los números racionales.

En la próxima entrega hablaremos sobre espacios vectoriales para luego poder continuar hablando de cómo extender los números racionales para así poder hacer más operaciones. De paso veremos varios resultados impactantes sobre lo que puede y NO puede hacer un ordenador.

  1. Recordad, las gafas mágicas que nos permitían clasificar o confundir elementos dentro de un conjunto. []
  2. Como hace un montón de tiempo desde la última publicación quizás sea buena idea que revises, como he hecho yo, las dos últimas entradas. []
  3. Cuando una aplicación cumple dicha propiedad se la denomina Ley de composición interna []
  4. A fin de cuentas, 3 – 2 es lo mismo que 3 + (-2) []
  5. A fin de cuentas, existe una aplicación biyectiva entre un par de números y su resta. Es decir, podemos identificar la resta 2 – 3 con el par (2,3). []
  6. Recordad que \sim es la operación para pegar. []
  7. Habría que demostrar que efectivamente esto es una relación de equivalencia. Puedes intentarlo, no es muy difícil. []
  8. Generalmente, para indicar la multiplicación de dos números no se pone ningún signo. []
  9. De hecho los únicos números enteros que la cumplen son -1 y 1. A los números que poseen esta propiedad se les llama unidades []
  10. Queda como ejercicio demostrar que efectivamente es una relación de equivalencia. []
  11. Recordad que este conjunto de símbolos denota al conjunto de las clases que se forman mediante la relación de equivalencia \sim. Vamos es el resultado de juntar todas las fracciones equivalentes. []
  12. En realidad tiene que cumplir una condición más. Se tiene que cumplir que a(b + c)=ab + ac. Pero esta propiedad, la distributiva de la multiplicación respecto de la suma,  se suele dar siempre. Encontrar un ejemplo que no la cumpla es tremendamente difícil, y de hecho yo no he trabajado con ninguno aún. []
  13. Y que Pedro se ha encargado de ampliar en estos dos artículos. []

Sobre el autor:

cruzki (Cruz Enrique Borges Hernández)

Canario de nacimiento que por motivos de estudios se mudó a Santander para hacer el doctorado en la Universidad de Cantabria ahora se ha vuelto a mudar a Bilbao para trabajar como investigador en DeustoTech (Universidad de Deusto). Me gusta la divulgación científica y me he propuesto hacer divulgación del "lenguaje de las ciencias" o con el nombre que muchos odiais, matemáticas. Deseadme buena suerte.
 

{ 2 } Comentarios

  1. Gravatar Sergio B | 29/07/2011 at 01:02 | Permalink

    Muy bien explicad y aunque esta parte es un poco pesada, pues ahí que aprender a ponerse de pie antes de andar, ya no digamos de correr. La verdad es que no recuerdo estas teorías, solo recuerdo el hecho de que las conocí y las comprendí y en el fondo se que existen, vamos, que no estoy volando en nubes misteriosas ni usando varitas mágicas, se basa en algo, siempre es interesante recordarlo, la verdad.

  2. Gravatar Compotrigo | 20/02/2012 at 06:42 | Permalink

    Me parece una verdadera pena que esta serie esté suspendida. Lo que creo que prometía ser lo mejor, el final, seguirá siendo una incógnita para muchos de nosotros :-(

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