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Explorando el álgebra geométrica 1 – Antecedentes – Los números complejos (I)




Las álgebras de Clifford, a cuyo estudio se dedica esta serie dedicada al álgebra geométrica,  se pueden considerar matemáticamente como una familia de sistemas de números hipercomplejos, es decir, se pueden ver como extensiones o generalizaciones de los números complejos, un concepto desarrollado con anterioridad. Por ello, lo que sepamos sobre números complejos nos será útil: más de un concepto utilizado en los números complejos (como el de norma o el de conjugación)  se generaliza a los multivectores de una álgebra geométrica. Cuando más adelante veamos, por ejemplo, el álgebra geométrica \mathcal{G}_2 asociada al plano bidimensional veremos que su  subálgebra par se comporta igual[1] que los números complejos.

En esta entrada, primera de la serie tras la introducción, haré una introducción básica a qué es un número complejo, y cómo se suman y multiplican los complejos expresados en sus componentes real e imaginaria (restar y dividir es, simplemente, sumar el opuesto y multiplicar por el inverso, respectivamente). También aprovecharé para explicar un poco la historia de los números complejos, y de cómo los matemáticos fueron aceptándolos poco a poco.  La representación de los complejos en el plano, donde se ve más directamente su relación con la geometría, la dejaré para la siguiente entrada.

El conjunto \mathbb{C} de los números complejos es una extensión del conjunto \mathbb{R} de los números reales que permite encontrar solución al problema de extraer la raíz cuadrada de los números reales negativos. Para ello se define una unidad imaginaria i que cumple i^2 = -1, y la raíz cuadrada de un número negativo la podemos expresar en función de  i. Por ejemplo, para calcular \sqrt{-64} hacemos lo siguiente:

\sqrt{-64} = \sqrt{64} \sqrt{-1} = \sqrt{64} i = 8 i

Un número complejo será una suma formal[2] de un número real a (parte  real del número complejo) y el producto de un número real b por la unidad imaginaria (parte imaginaria del número complejo):

z = a + b i

Para expresar que a es la parte real de z escribimos:

a = \operatorname{Re}(z)

Y para expresar que b es la parte imaginaria de z escribimos:

b = \operatorname{Im}(z)[3]

Los números reales (ejemplos de números reales: el 0, el 1, el -4, -sqrt{3}, \pi \approx 3,1415926535\ldots) se pueden considerar simplemente números complejos con parte imaginaria nula. Los números complejos con parte real nula se llaman números imaginarios. Así, por ejemplo: i, 2i, pi i, -\sqrt{5}i son números imaginarios.[4]

La operación suma se extenderá de los reales a los complejos simplemente sumando por separado las partes reales e imaginarias. Si partimos de dos complejos, z_1 = a_1 + b_1 i y z_2 = a_2 + b_2 i, su suma será:

z_1 + z_2 = (a_1 + b_1 i) + (a_2 + b_2 i) = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2) i

La suma de complejos verifica las siguientes propiedades, que se deducen a partir de las propiedades análogas de los números reales y de la anterior definición de suma de complejos:

1) Es asociativa, es decir, si sumamos dos complejos z_1 y z_2, y sumamos el resultado obtenido con el complejo z_3, obtendremos el mismo resultado que sumar z_1 con el resultado de sumar z_2 con z_3. Expresado simbólicamente:

(z_1 + z_2) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3)  (para todo z_1, z_2, z_3 de \mathbb{C})

La asociatividad de la suma nos da derecho a escribir la suma de tres complejos sin necesidad de especificar la posición de los paréntesis. Así pues, podremos escribir con toda tranquilidad z_1 + z_2 + z_3  para referirnos a la suma de los tres complejos:

(z_1 + z_2) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3) = z_1 + z_2 + z_3

2) Existe un elemento neutro de la suma, que sumado a cualquier otro complejo z vuelve a dar z. Es fácil ver que este elemento neutro es el complejo 0 + 0i, que escribiremos simplemente como 0:

(z_1 + z_2z + 0 = 0 + z = z  (para todo z de \mathbb{C})

3) Para cualquier número  complejo z  existe un elemento recíproco para la suma, llamado elemento opuesto y escrito como -zque sumado con él da 0. Es fácil ver que si z = a + b i el opuesto será z = -a - b i:

z + (-z) = (a + bi) + (-a -bi) = a-a + (b-b)i = 0   (para todo z de \mathbb{C})

4)  Finalmente, la suma de dos complejos es conmutativa,  es decir, no importa el orden de los sumandos:

z_1 + z_2 = z_2 + z_1  (para todo z_1, z_2 de \mathbb{C}).

Las propiedades anteriores definen a (\mathbb{C}, +), el conjunto de números complejos dotado de la operación suma, como un grupo conmutativo (o grupo abeliano, en honor al matemático Niels Henrik Abel (1802-1829), que utilizó estos grupos en el estudio de la solubilidad mediante radicales de las ecuaciones algebraicas).

El producto de complejos se define extendiendo las propiedades del producto de dos sumas de números reales. Se asume que el producto de i con cualquier número real es conmutativo  y que i^2=-1. Multipliquemos, pues z_1 = a_1 + b_1 i y z_2 = a_2 + b_2 i:

z_1 z_2 = (a_1 + b_1 i) (a_2 + b_2 i) = a_1 a_2 + a_1 b_2 i + b_1 i a_2 + i^2 b_1 b_2 = a_1 a_2 - b_1 b_2 + i (a_1 b_2 + b_1 a_2)

Con lo que tenemos que el producto tiene como parte real:

\operatorname{Re}(z_1 z_2) = a_1 a_2 - b_1 b_2 = \operatorname{Re}(z_1) \operatorname{Re}(z_2) - \operatorname{Im}(z_1) \operatorname{Im}(z_2)

y como parte imaginaria:

\operatorname{Im}(z_1 z_2) = a_1 b_2 + b_1 a_2 = \operatorname{Re}(z_1) \operatorname{Im}(z_2) + \operatorname{Im}(z_1) \operatorname{Re}(z_2)

El producto de complejos verifica las siguientes propiedades:

1) Es asociativo, es decir, si multiplicamos dos complejos z_1 y z_2, y multiplicamos el resultado obtenido por el complejo z_3, obtendremos el mismo resultado que si multiplicamos z_1 con el resultado de multiplicar z_2 con z_3, por lo que tenemos derecho a prescindir de paréntesis en el producto de complejos  y escribir simplemente z_1 z_2 z_3. Simbólicamente:

(z_1 z_2) z_3 = z_1 (z_2 z_3) = z_1 z_2 z_3  (para todo z_1, z_2, z_3 de \mathbb{C})

2) Existe un elemento neutro del producto (elemento unidad), que multiplicado a cualquier otro complejo z vuelve a dar  z. Es fácil ver que este elemento neutro del producto es el complejo 1 + 0i, que escribiremos simplemente como 1:

z 1 = 1 z = z  (para todo z de \mathbb{C})

3) Para cualquier número complejo z, excluido el 0 (neutro de la suma), existe un elemento recíproco para el producto, llamado elemento inverso y que designaremos como z^{-1}, que multiplicado por él (tanto si es por la izquierda o por la derecha) da 1. Más adelante veremos cuál es su expresión en función de las componentes real e imaginaria de z.

z z^{-1} = z^{-1} z = 1   (para todo z de \mathbb{C}^* = \mathbb{C} - \{0\})

4) El producto de dos números complejos es conmutativo:

z_1 z_2 = z_2 z_1  (para todo z_1 ,z_2 de \mathbb{C})

Las propiedades anteriores definen a(\mathbb{C} - \{0\} , \cdot), el conjunto de números complejos excluido el 0, dotado de la operación producto (que hemos indicado con el símbolo \cdot), como un grupo conmutativo (o grupo abeliano). El producto se indicará habitualmente por simple yuxtaposición de los factores, prescindiendo del símbolo del producto \cdot.

Finalmente, la operación producto es distributiva respecto a la operación suma, tanto por la derecha como por la izquierda:

(z_1 + z_2) z_3 = z_1 z_3 + z_2 z_3  (para todo z_1, z_2, z_3 de \mathbb{C})

z_3 (z_1 +z_2) = z_3 z_1 + z_3 z_2  (para todo z_1, z_2, z_3 de \mathbb{C})

La estructura de grupo abeliano de (\mathbb{C}, +), la estructura de grupo de (\mathbb{C} - \{0\} , \cdot) y la distributividad del producto respecto a la suma de complejos significan que el conjunto de los números complejos dotado de las operaciones de suma y producto,  (\mathbb{C}, +,\cdot), tiene estructura de cuerpo.[5] La conmutatividad del producto implica además que es un cuerpo conmutativo (es habitual dar por hecha la conmutatividad del producto en los cuerpos, pero más adelante  veremos un curioso ejemplo de cuerpo no conmutativo, el conjunto \mathbb{H}de los cuaterniones).

 

Complejo conjugado. Cálculo del inverso de un número complejo.

Definimos el conjugado de un número complejo z, de parte real e imaginariaa y b respectivamente, como el número complejo, que indicaremos como \widetilde{z}, o también, según el caso, como z^\dagger,[6] cuya parte real es igual a la de z, y cuya parte imaginaria es la opuesta a la de z:

z=a+bi

\widetilde{z} = a - bi

El producto de un complejo por su conjugado da siempre un número real, que será la suma de los cuadrados de sus partes real e imaginaria:

z \widetilde{z} = (a + bi) (a - bi) = a^2 - a b i +b ai - (bi)^2 = a^2 -(bi)^2 = a^2-b^2(-1)=a^2+b^2

Lo cual permite obtener la expresión del inverso de z, siempre que z sea diferente de 0. Como hemos multiplicado z por \widetilde{z} y hemos obtenido un número real, ahora basta dividir el resultado por sí mismo (como no podemos dividir por 0 es necesario que a y b no sean simultáneamente 0) para obtener 1:

z\frac {\widetilde{z}}{z \widetilde{z}} = (a + bi) \frac{a+bi}{a^2+b^2} = \frac{(a+bi)(a+bi)}{a^2+b^2} = \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2} = 1

Es decir, el inverso, z^{-1}, de z = a+bi, es:

z^{-1} = \frac{a-bi}{a^2+b^2}

Ejemplo: cálculo del inverso de z = 3 + 4i:

\widetilde{z} = 3 - 4i

z \widetilde{z} = (3 + 4i) (3 - 4i) = 9 - 12i + 12 i - 16 i^2 = 9 + 16 = 25

z^{-1} = \frac{\widetilde{z}}{z \widetilde{z}} = \frac{3-4i}{25}

Y efectivamente se cumple que z z^{-1} = 1

(3 + 4i) \frac{3 - 4i}{25} = \frac{(3+4i)(3-4i)}{25}= \frac{25}{25}=1

 

Un poco de historia

Retrato de Girolamo Cardano a los 71 años (Wikimedia)

Se considera que los números complejos aparecen por primera vez en el Ars Magna (1545) de Girolamo Cardano (1501-1576). En este libro se publicaron por primera vez en la historia las fórmulas que resuelven las ecuaciones de tercer y cuarto grado.[7]

En la fórmula de la solución de una ecuación de tercer grado aparecen sumas de expresiones en las que aparecen raíces cuadradas que a menudo operan sobre valores negativos, pero que sin embargo al final, de algún modo misterioso, frecuentemente daban como resultado un número real, incluso entero. Por ejemplo, la fórmula de Cardano da como solución de la ecuación x^3-48x +72=0 la siguiente expresión:

x = \\sqrt[3]{-36+\\sqrt{-2800}} +\\sqrt[3]{-36-\\sqrt{-2800}}

Podéis comprender al ver esta expresión por qué no habéis visto la fórmula de Cardano en la escuela… y normalmente tampoco en la universidad (a menos que os hayáis decidido a estudiar Matemáticas, claro). Aunque histórica y conceptualmente es muy importante, para aplicaciones prácticas no lo es tanto.

Pues bien, resulta que todo eso que veis en el miembro derecho de la igualdad vale simplemente… 6.   El mismo Cardano quedó perplejo ante estas  expresiones numéricas “tan sutiles como inútiles” que no sabía tratar con soltura, aunque poco después, Rafael Bombelli (1526-1572), un ingeniero hidráulico, intuyera que esas raíces cúbicas de números complejos  no eran más que otros complejos con sus partes real e imaginaria, y encontrara el modo de expresarlos de ese modo… Eso sí, partiendo del hecho de que conocía de antemano la solución de la ecuación, pero al menos eso ponía en evidencia que había algo significativo detrás de aquellas misteriosas expresiones.[8]

Con todo, las raíces cuadradas de números negativos  siguieron siendo un concepto esquivo y “místico” del que no había modo de hacer algo “palpable”. No es de extrañar que Descartes (1596-1650) acabara bautizando estos entes matemáticos como “números imaginarios”. En el siglo XVII, Gottfried Leibniz (1646-1716) aún mostraba su asombro en una carta a Christiaan Huygens (1629-1695) en que le pedía que calculara esta expresión, y comprobara que daba un resultado perfectamente real:

\sqrt{1+\sqrt{-3}} + \sqrt{1-\sqrt{-3}}

Huygens efectivamente comprobó, operando ciegamente según las reglas de la aritmética, que el resultado era \sqrt{6}, a pesar de no saber qué rayos podría ser \sqrt{-3}, y menos todavía\sqrt{1+\sqrt{-3}} . En su respuesta a Leibniz decía: “Nunca lo hubiera creído: aquí tiene que haber algo oculto que es incomprensible para nosotros”. A pesar de la desconfianza que tenían de estos números, los matemáticos operaban con bastante soltura con ellos, como Abraham de Moivre (1667-1754), francés exiliado en Inglaterra por ser protestante, amigo del gran Isaac Newton (1643-1727),[9] y que ya conocía a principios del siglo XVIII la fórmula que lleva su nombre. En 1777, Leonhard Euler (1707-1783) introdujo por primera vez el símbolo i para indicar \sqrt{-1}. Euler hizo muchas más aportaciones al estudio de los números complejos, como la fórmula de su nombre, pero todavía se le escapó algún “patinazo”, como cuando escribió:

\sqrt{-2} \sqrt{-3} = \sqrt{(-2)\cdot(-3)} = \sqrt{6} ¡está mal!

La forma correcta es:

\sqrt{-2} \sqrt{-3} = \sqrt{2} \sqrt{-1} \sqrt{3} \sqrt{-1} = \sqrt{2}\sqrt{3} i^2 = - \sqrt{6}.

Así pues, hacía falta una interpretación que hiciera de los números complejos algo tangible, y que diera seguridad a los matemáticos de que pisaban, conceptualmente hablando, “suelo firme”. Y a finales del siglo XVIII y principios del XIX  el momento finalmente llegó. Pero eso ya habrá que dejarlo para la próxima entrada…

  1. En la jerga matemática se dice que es isomorfa. []

  2. Es una suma formal porque en realidad no estamos haciendo propiamente una suma: la parte real y la parte imaginaria van cada una por su parte. Igual que si sumamos 2 peras con 3 manzanas: lo que tenemos son 2 peras y 3 manzanas, y estamos llevando un recuento separado de peras y manzanas. []

  3. De acuerdo con la filosofía del álgebra geométrica, hubiera sido más coherente que se hubiera llamado parte imaginaria del complejo z no a b, sino a b i, pero así se hizo la definición, qué le vamos a hacer… []

  4. Hay quien todavía añade la coletilla de puros para enfatizar más que no tienen parte real. Pero imaginario e imaginario puro es lo mismo. Esto viene de otros tiempos en que había autores (Descartes) que llamaban imaginarios a cualquier número complejo. Actualmente ya no es el caso. []

  5. En inglés field.  No se os ocurra traducirlo al inglés como body, aunque parece que sí se ha acabado por tolerar ver escrito en español campo de tanto en tanto (en expresiones como “el campo de los reales”). El concepto original fue inventado en 1871 por el alemán Richard Dedekind, que utilizó la palabra Körper. []

  6. En los libros de texto es más habitual indicar la conjugación con una raya horizontal por encima, de este modo: \overline{z}, pero usaré las notaciones que mejor se corresponden con las utilizadas habitualmente en el álgebra geométrica. []

  7. No fue Cardano el primero que dedujo las fórmulas: la solución (sin demostración, que tuvo que rehacer por sí mismo) de la ecuación de tercer grado la obtuvo bajo juramento de no revelarla de Niccolò Fontana, más conocido como Tartaglia (1499-1557), quien, a su vez, la había deducido por su cuenta sabiendo que su auténtico descubridor, Scipione del Ferro (1465-1526), ya había conseguido resolver este problema, tenido hasta entonces por casi irresoluble. Con ello la Matemática occidental conseguía superar por primera vez los logros de los antiguos griegos, toda una proeza. En aquella época era habitual que los matemáticos se desafiaran entre ellos para resolver problemas, y en estos desafíos se ponía en juego, aparte del prestigio, dinero, la protección de un mecenas o el conseguir alguna posición académica. De ahí que mantuvieran en secreto sus descubrimientos, cosa que hoy en día puede parecernos increíble. La solución de la ecuación de cuarto grado la dedujo un discípulo de Cardano, Lodovico Ferrari (1522-1565). []

  8. En el caso del ejemplo anterior, esa suma de raíces cúbicas, no es más que la suma de dos complejos conjugados de módulo 16 []

  9. Cuando en alguna ocasión le preguntaron a Newton sobre una cuestión sobre números complejos, éste respondió que preguntaran a de Moivre, que era quien dominaba más este tema. []


Sobre el autor:

jlese (Juan Leseduarte)

Soy licenciado en Ciencias Físicas y profesor de Matemáticas de Educación Secundaria en excedencia. Además de la Física y de las Matemáticas, me gusta la música antigua y trastear en el sistema operativo GNU/Linux. También intento que mis conocimientos de alemán no se oxiden.
 

{ 6 } Comentarios

  1. Gravatar Felipe | 12/05/2018 at 09:31 | Permalink

    Antes de nada decir que espero con impaciencia el resto de artículos. ¡Me interesa mucho y te agradezco el tiempo y esfuerzo! Dicho esto estoy pensando en por qué el cálculo de Euler señalado en rojo estaría mal. Aplicando el método de resolución de raíces de número complejos que se enseña en bachillerato obtendríamos que raíz(-2) tendría dos soluciones complejas: raiz(2)i y -raiz(2)i, y análogamente para raíz(-3) Realizando los cuatro posibles productos se obtienen las dos soluciones raiz(6) y -raiz(6). ¿Por qué una de ellas es correcta y la otra no? No sería esto una función multivaluada (creo recordar que se decía así), por serlo la raiz?

  2. Gravatar jlese | 12/05/2018 at 11:35 | Permalink

    Gracias Felipe. Para empezar, una cosa es que toda ecuación de tipo x^2 = a tenga dos raíces, x_1 = raíz(a) y x_2 = -raíz(a), pero en cambio, el símbolo del raíz cuadrada, que aquí indicamos como raíz(), siempre se entiende en su determinación con signo positivo. Por tanto, si escribo raiz(36), siempre quiero decir 6, no -6, y si escribo raíz(81), siempre quiero decir 9, no -9. El símbolo de raíz cuadrada no es multivaluado. Si quieres una expresión multivaluada tendrás que colocar el signo de más/menos por delante…

    El error de Euler está en seguir la regla, válida para los números reales positivos, que dice que el producto de dos raíces cuadradas es la raíz cuadrada del producto de los radicandos. Es cierto que raíz(4) * raíz(9) = raíz(4 * 9) = raíz(36) = 6, pero en cambio, es falso que raíz(-1) * raíz(-1) = raíz [(-1)*(-1)] = raíz(+1) = +1. Lo correcto es que raíz(-1) * raíz(-1) = -1, naturalmente, por la misma definición de raíz cuadrada.

    Espero que que haya quedado claro…

  3. Gravatar Felipe | 13/05/2018 at 10:58 | Permalink

    Hmmm. A mí es que me preocupan los matices, que luego asoman por los sitios más inesperados.

    Si raiz es una función f(R) -> R, entonces raiz(-2) no está definida, y por lo tanto entiendo que raiz(-2) * raiz(-3) tampoco debería estarlo, o eso me dice el sentido común y toda práctica que yo recuerde. Sería parecido al caso de hacer (1/2) : (1/0). Por mucho que aplicar la mecánica habitual conduzca al resultado 0/2, entiendo que al no estar definido 1/0 no hay nada que hacer.

    Si raiz es una función f(R) -> C, entonces… bueno, me resulta una definición un tanto artificial escoger el resultado positivo si los complejos en general no tienen signo definido (de nuevo, que yo sepa o recuerde). Es verdad que como el resultado siempre tendrá solo parte real o solo parte imaginaria, habrá una elección obvia, pero me resulta un poco artificial. Pero bueno, todas las definiciones son artificiales :)

    Gracias por la aclaración :)

  4. Gravatar jlese | 13/05/2018 at 04:58 | Permalink

    El símbolo de radicación es problemático. Te recomiendo este enlace, sobre todo los apartados “Singularidad de las raíces de números positivos” y “Raíces de números negativos”, para ver qué indica el “libro de estilo matemático” sobre el uso correcto de los radicales.

  5. Gravatar Javier B. | 17/09/2018 at 03:38 | Permalink

    Genial. Ojalá hubiera conocido ésta página 10 anos atrás; probablemente hubiese estudiado física o matemáticas. Lastima.

  6. Gravatar jlese | 20/09/2018 at 05:40 | Permalink

    Muchas gracias, Javier. Nunca es tarde del todo. Incluso como aficionado, es posible llegar bastante lejos si uno se lo propone en serio.

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