Esta breve nota es para anunciar que en el blog Ciención de Breogán están publicado una traducción de dicha serie al gallego. Ciención de Breogán es un blog de divulgación científica íntegramente en gallego, para que personas para las que el idioma suponga una barrera puedan acceder a contenidos científicos. El blog es una iniciativa de Saul_IP, autor de otra de las series que hemos tenido el placer de leer en El Cedazo: El euro.

Que ustedes lo disfruten.

Tras 33 artículos y más de un año, la serie de Teoría de juegos llegó a su fin, y nos ha parecido interesante recopilarla en forma de libro, para que podáis regalarlo o quemarlo ritualmente o lo que sea.

El contenido del libro es básicamente el mismo que el de los artículos, aunque editados para adecuarse al medio impreso. Algunos pasajes han sido ligeramente ampliados, para aprovechar la experiencia de haber leído vuestros comentarios a los artículos de El Cedazo, pero en general el contenido es fundamentalmente el mismo. Por supuesto, hemos aprovechado para corregir una nueva remesa de erratas, que siempre siguen quedando, por más que lo hayas leído medio centenar de veces… pero vamos, eso es peccata minuta.

¿Y por qué uso continuamente la primera persona del plural si el autor soy yo? Pues porque os podéis imaginar que los revisores/editores/correctores/animadores han sido Pedro y Macluskey, a los que no podré agradecérselo lo suficiente. No solo por las numerosas lecturas que han hecho del texto (corrigiendo en cada una de ellas un puñado de errores), sino por el acicate para mejorarlo, convirtiéndolo de una recolección de los artículos a algo con forma de libro de texto. Ah, y además, Macluskey se ha marcado un prólogo con más batallitas. Ahí es nada.

Por supuesto, el otro agradecimiento grandote es para los lectores que, primero, habéis jugado a los juegos que proponía, ayudando a hacer el experimento, y segundo, habéis ayudado a corregir el texto, remarcando cuando algo no quedaba del todo claro o corrigiendo cosas que eran directamente errores.

Y finalmente no debemos olvidarnos de Geli, que además de ayudar a Pedro a mantener El Tamiz y El Cedazo, ha diseñado la “cubierta corporativa” verde que tan chula queda.

El precio de lista del libro es de 12€ en su versión impresa (gastos de envío aparte) y 5€ en su versión electrónica (PDF), pero durante la primera semana estará disponible con un 20% de descuento como oferta de lanzamiento.

• Edición impresa.
• Edición electrónica.

Además, como sabéis, Pedro acaba de publicar también su monografía sobre las ecuaciones de Maxwell, de modo que si por casualidad queréis pedir ambos a la vez, podéis compartir los gastos de envío. Si es así, aseguráos de que añadís ambos a la cesta antes de pagar, de modo que combinen gastos de envío; el libro de las ecuaciones de Maxwell está disponible aquí.

Espero que os guste tanto como me gustó a mí escribirlo.

Todo llega a su fin, y esta serie dedicada a la teoría de juegos no puede ser una excepción.

Hemos ido deduciendo juntos muchas cosas, formalizando algunos conceptos (aunque muchos probablemente ya los conocíamos informalmente) y hemos visto distintos modelos de jugadores. Hemos visto algunas formas de enfrentarnos a distintos juegos, como el backtracking, la estrategia dominante, maximin, los equilibrios de Nash… Hemos introducido la estadística en forma de estrategias mixtas. Lo hemos aplicado a casos más o menos reales.

Finalmente, hemos cubierto algunos temas tangenciales que muchos puristas no considerarían campo de estudio de la teoría de juegos, pero que me parecían interesantes. Además, me apetecía más dedicarle unas palabras a ellos que profundizar en unas matemáticas que ni a vosotros os interesaban ni yo me sentía cómodo manejando.

No obstante, hemos dejado fuera muchas cosas, sobre todo las demostraciones y fórmulas, porque como ya he dicho, lo cierto es que no siento la suficiente confianza en mí mismo como para profundizar mucho más en las matemáticas. Tirando del hilo de las referencias que marcamos debajo seguro que podéis profundizar si lo necesitáis.

Es posible que, aprovechando las numerosas y brillantes aportaciones que los lectores habéis hecho en los comentarios, acabemos recopilando la serie en forma de libro, por si queréis regalarlo (aunque sospecho que quedará un tocho considerable), pero como colofón me gustaría reunir un conjunto de referencias para quien quiera buscar más información (de hecho, alguien lo pidió en los comentarios de alguno de los artículos). Como podéis imaginaros, no me he revisado completamente ninguno de ellos, pero todos tienen cierta solvencia académica.

La primera fuente a consultar, como no podía ser de otro modo, es la Wikipedia. Como es habitual, la versión inglesa tiene más información que la española (no tanto porque tenga más profundidad en los artículos que tiene como porque tiene más artículos, valga el trabalenguas). Algunos de los artículos tienen, en mi opinión, pequeñas inexactitudes. Algunas las hemos nombrado cuando tocaba, y como digo son solo pequeñas inexactitudes, no errores flagrantes; y además, como la Wikipedia es una cosa viva, es posible que ya estén corregidas. Además, como decía, son solo pequeñas inexactitudes, supongo que comparables a las que con toda seguridad ha habido en esta serie. No obstante, como este campo de estudio, al menos al nivel en que lo hemos visto, se basa fundamentalmente en razonar sobre un juego dado, simplemente hay que leerlo con espíritu crítico (como, por otro lado, hay que hacer con cualquier cosa que se lee).

Enlazo al artículo principal solamente, pero siguiendo los enlaces podéis dedicarle horas y horas y horas. En particular, en la parte inferior veréis un enlace que pone “Categoría: teoría de juegos”… si pincháis allí, veréis decenas de artículos. En la versión inglesa también hay una sección “Topics in game theory”, que suele estar oculta (hay que darle a “Show”), y que tiene lo mismo pero más o menos categorizado.

• Teoría de juegos en la Wikipedia en español.
• Game theory en la Wikipedia en inglés.

Otra fuente interesante es Game Theory .net (no en vano son las dos primeras que aparecen al buscar en Google). Tiene un montón de documentación, incluyendo no solo un glosario de términos (que incluye los que hemos visto nosotros y muchos otros), sino presentaciones de terceros y ejercicios para autoevaluarse. Además, dispone de un repositorio de libros categorizados para que podamos buscar según el nivel y el área que nos interese.

Pero más divertido aún: tiene una sección que se llama “Pop culture”, donde analiza muchas situaciones del cine, televisión… desde la perspectiva de la teoría de juegos. Algunos son los que ya hemos comentado a lo largo de la serie, como Juegos de guerra, Rebelde sin causa, Trece días, La princesa prometida o Los Simpsons, pero también hay alguno nuevo.

Solo en inglés, desafortunadamente.

Ya hemos citado también a lo largo de la serie unos cuantos libros, películas e incluso series de televisión. Algunos solo tienen que ver tangencialmente con la teoría de juegos, o la usan como herramienta más que como núcleo del ensayo. No voy a renombrarlos aquí, porque seguro que me dejo alguno.

Finalmente, un recurso muy especial, porque ha sido recomendado por chapu77, uno de nuestros contertulios: un curso de la Universidad de Yale sobre teoría de juegos, impartido por Benjamin Polak. Son 24  clases de 2 horas de duración, con los vídeos de la clase, la transcripción, la documentación utilizada… en resumen, el curso completo. Incluso los exámenes.

Fue un placer.

En el último artículo de esta serie jugamos a… ¿a qué jugamos? Pues dependió de lo que marcara el segundero de tu reloj, ¿recuerdas?

Algunos de vosotros jugasteis al juego de tipo A y otros al tipo B.

Tipo A: el dilema del tranvía

El juego dice algo así: eres el conductor de un tranvía. Delante del tranvía hay una persona, a la que vas irremediablemente a atropellar y va a morir.

¡Un momento! ¡Hay un desvío a la derecha! Si tomas el desvío, esa persona se salvará. Pero desafortunadamente, en ese desvío hay otras 3 personas, así que si tomas el desvío, los atropellarás y morirán los tres.

No tienes tiempo de frenar, no puedes hacer descarrilar el tren, no da tiempo a pitar para que se aparte, ninguno de ellos es amigo tuyo… el juego no tiene un truco técnico oculto que debas buscar. No le busques tres pies al gato, que no los tiene.

Solo tienes dos opciones:

1.-Seguir recto.

2.-Tomar el desvío.

¿Cuál de las dos eliges?

Habéis jugado 18 personas, de las cuales las 18 (el 100%) habéis elegido la opción 1.

¿Cuál es la solución teórica?

Si intentamos ser lo más objetivos posibles, al final estamos hablando de elegir que muera 1 persona o que mueran 3 personas. Lo razonable sería elegir que muera solo 1 y no tomar el desvío. ¿Sí?

Bueno, más o menos es el razonamiento que habéis hecho todos, supongo.

Tipo B: el dilema del cirujano

Tricorder para Android (Moonblink, https://market.android.com/details?id=org.hermit.tricorder)

El juego dice algo así: eres un cirujano, que tiene tres pacientes. Los tres necesitan un trasplante, cada uno de un órgano distinto. No habrá donantes para ellos, así que a menos que encuentres unos órganos sanos tú mismo, morirán irremisiblemente.

Cuando sales del hospital, camino a casa, por la noche, ves un hombre. Gracias a tu tricorder, te das cuenta de que ese hombre está completamente sano y que sus órganos son compatibles con los de tus pacientes. Si mataras a ese hombre, podrías tomar sus órganos, ponérselos a tus pacientes, y se salvarían (aunque, claro, el hombre moriría).

No existe riesgo de que te pille la policía, ni de que tus pacientes rechacen los órganos o que mueran en la operación, ni hay ningún truco técnico oculto en el juego que debas buscar. No le busques tres pies al gato, que no los tiene.

Solo tienes dos opciones:

1.-Matar al hombre y tomar sus órganos para salvar a tus pacientes.

2.-Dejar ir al hombre y que mueran tus pacientes.

¿Cuál de las dos eliges?

Habéis jugado 23 personas, de las cuales 2 (el 9%) habéis elegido la opción 1 y 21 (el 91%) habéis elegido la opción 2.

¿Cuál es la solución teórica?

Si intentamos ser lo más objetivos posibles, al final estamos hablando de elegir que muera 1 persona o que mueran 3 personas. Lo razonable sería elegir que muera solo 1 y asesinarle para salvar a los 3 pacientes. ¿Sí?

…

¿O no?

Teoría de la decisión

Si el resultado teórico es el mismo, ¿por qué tanta discrepancia entre las respuestas que habéis dado unos y otros?

Muy sencillo: porque hemos hecho trampa. Porque la decisión objetiva no existe.

Esto se sale ya del campo de la teoría de juegos, y entra en al campo de la teoría de la decisión, que intenta estudiar cómo y en base a qué eligen los individuos. No cómo se enfrentan varios jugadores entre sí, sino cómo un único individuo decide entre 2 ó más alternativas, sin contar con ningún oponente.

En este caso concreto, el problema es que no todos los muertos valen lo mismo. Parece ser que la gente da más valor a los muertos causados por una acción propia, y por eso el muerto del tranvía vale menos que el asesinado por el cirujano, y los muertos porque yo cambio de vía valen más que los que mueren de una enfermedad. Y eso desvía estadísticamente las respuestas de nuestros lectores.

Otras versiones de estos juegos incluyen hacer descarrilar el tranvía (y que mueran sus viajeros, o alguien que pasaba por allí), sacrificar a un hombre gordo tirándolo a la vías para hacer descarrilar al tranvía,^[1] que el hombre gordo sea en realidad el villano que ha atado a las vías a la persona…

Una versión más literaria de este problema la podemos encontrar en… ¡Isaac Asimov! ¿Cómo es posible que en una web de Ciencia como esta nombremos tan poquito a Asimov?^[2] Si habéis leído los libros de Asimov de la temática de los robots (por ejemplo, “Yo, robot”^[3] o “Sueños de robot” o “El hombre bicentenario” o…) recordaréis que los robots se enfrentan a veces a situaciones como estas, aplicando las tres leyes de la robótica, pero… y al final lo enlaza con Fundación e inventan… y por eso en Fundación y Tierra…

En fin: si los has leído, sabes de qué hablo, y si no, ya estás tardando. No te dignes volver a escribir un comentario en El Cedazo antes de haber leído al menos 10 libros de Asimov. Avisado estás.

Algunos habéis escrito un par de líneas explicándome por qué elegíais eso y no otra cosa. A continuación pongo algunos ejemplos de explicaciones que me habéis mandado (convenientemente resumidos y novelizados, y sin dar nombres). Supongo que a todos os parece obvio que la decisión del tranvía es relativamente fácil (la hemos usado casi como grupo de control), y que la decisión difícil es la del cirujano, de modo que no os sorprenderá^[4] que la mayor parte de las explicaciones, casi excusas, las den los que dejan morir a 3 personas para no asesinar al viandante. Que nadie crea que yo juzgo las decisiones^[5]… son los propios lectores los que a menudo han creído conveniente dar excusas por su decisión.

Explicaciones sobre la elección del cirujano:

• Distintas versiones de “3 contra 1 no es una proporción suficiente… aunque no sé cuánto sería necesario. ¿10 a 1? ¿1000000 a 1?”. Pista: leed el cómic Watchmen, o ved la película, que es una adaptación muy fiel… hasta aquí puedo leer sin hacer un spoiler.
• Varias formas de decir “No es mi culpa que estén enfermos” frente a “Si decido matarle sí es mi culpa”… sin darse cuenta de que decidir no hacer nada también es una decisión. Existe una frase apócrifa de Edmun Burke que dice “lo único que hace falta para que el mal triunfe es que los hombres buenos no hagan nada”. Ha habido una variante de esto que ha salido mucho también: “Primero intentaría convencerle de que se suicidara él para donar los órganos a los otros 3″. Y a pesar de todo, los seres humanos decidimos no hace nada… por algo será.
• Varias versiones de “Sé que debería elegir la opción 1, pero sería incapaz de matar, así que elijo la 2″. Incluso varios han dicho “Si fuera un videojuego elegiría la 1, pero elijo la 2″. Otro ha dicho algo como “Elijo la 1 porque es un juego, pero en la vida real elegiría la 2″… y como yo quiero ser lo más fiel posible, se lo he contado como si hubiera dicho 2.

Aunque las explicaciones sobre el tranvía son más sencillas, también hay alguna interesante:

• Algunos han reflexionado sobre el hecho de actuar o no, y de si en el futuro se atormentarían para siempre por no haber intentado salvar al hombre. Alguno incluso ha pensado en si debería girar, para salvarle en primera instancia… y luego ya veríamos que hacíamos con los otros 3… pero al final ha acabado decidiendo 1 de todos modos.
• Algunos han evaluado lo que harían si no tuvieran tiempo de pensar, si fuera una acción impulsiva, en lugar de reflexiva.
• Algunos también han jugueteado con la idea de “si sigo adelante, es no hacer nada, que todo siga su curso”, sin darse cuenta de que, como decíamos antes, decidir no actuar también es una decisión.

Es decir, como muchos habéis adivinado, esto es algo que compete a la ética, a la teoría de la decisión, y no a la pura matemática de la teoría de juegos.

¿Y entonces esto qué tiene que ver con la teoría de juegos?

Tiene que ver como límites que la teoría de juegos no puede sobrepasar. La teoría de juegos nos ha dado unas cuantas herramientas para ayudarnos a analizar un juego. Pero hay algo que no puede decirnos: cuánto valen los muertos, ni si hay un viandante, ni muchas otras cosas. O, dicho en terminología de juegos:

• No puede decirnos quiénes son los jugadores.
• No puede decirnos qué decisiones pueden tomar los jugadores.
• No puede decirnos qué pagos tendrá cada jugador con cada decisión.
• No puede decirnos todas las demás reglas de los juegos (simultaneidad, perfección, completitud…).

Esto nos lleva a la respuesta que más me ha gustado. Uno Algunos de los jugadores cirujano han pensado en matar a uno de los pacientes para tomar sus órganos y salvar a los otros dos (si es que sus órganos son compatibles). De ese modo, sus decisiones eran ahora tres:

1. Matar al viandante para salvar a los pacientes. Resultado: muere 1.
2. Dejar morir a los pacientes. Resultado: mueren 3.
3. Matar a un paciente para salvar a los otros dos. Resultado: muere 1.

Y así, en igualdad de recompensas entre la 1 y la 3, elige la 3. Como ya he dicho más de una vez, los grandes ganadores de la historia han sido los que han encontrado otras opciones que aparentemente no eran posibles.

Ala, a discutir.

1. Tiene que ser un hombre gordo, porque un tirillas como yo no haría descarrilar ni a una bicicleta.
2. Asimov, Asimov, Asimov, Asimov, Asimov. A ver si así Google lo indexa bien.
3. El libro, que la película solo tiene que ver él tangencialmente.
4. A mí no me sorprende, pues es lo que pretendía cuando os pedí un par de líneas explicando la decisión.
5. Sobre todo porque os he puesto deliberadamente en una situación en la que es difícil elegir. Bastante es que hayáis querido contestar como para que encima os insulte juzgándoos.

Como decíamos en el último artículo, hoy vamos a explorar los límites de la teoría de juegos. Es muy habitual que, en una aproximación más formal que la que hemos hecho nosotros, estos límites se enuncien desde el principio, para dejarlos claros antes de empezar con la chicha del libro, el curso o lo que sea. Nosotros hemos preferido dejarlos para el final, porque, como esperaba, han ido saliendo a lo largo de la serie, en los comentarios (y puede que también en el cuerpo de los artículos, porque honestamente, no he estado pensando en ello continuamente). Así, ahora este artículo no será mucho más que un resumen.

Pero para hacerlo un poco más divertido, vamos a acabar la serie como la empezamos: jugando vosotros.

Esta vez vamos a hacer dos grupos. Cada grupo jugará un juego distinto y luego vamos a comparar los resultados. Así que busca un reloj, mira el segundero y si los segundos que marca tu reloj son un número par, usa la versión A del enunciado; si era un número impar, usa la versión B (los enlaces, más adelante).

Fijaos en que ni siquiera he puesto en el título del artículo el nombre del juego, porque dependiendo de que te haya tocado A o B, tendrás que jugar a un juego distinto. En cualquiera de los casos, no debes contestar en los comentarios. Repito: no contestes en los comentarios. Envíame un email a teoriadejuegos.elcedazo@gmail.com indicando tu respuesta.

Borraremos o editaremos todos los comentarios que incluyan una respuesta o pistas o lo que sea que creamos que pueda falsear el juego. Yo mismo enviaré un comentario indicando el final del plazo dentro de unos días, cuando me parezca que ya nadie más quiere jugar.

Por supuesto, no podemos evitar que hagas trampas y leas los dos enunciados… allá tú, pero prefiero que no lo hagas. No te preocupes, que en el siguiente capítulo veremos con detalle ambos enunciados, por si tenías curiosidad.

Si te tocó el tipo A (pares), puedes leer el enunciado aquí.

Si te tocó el tipo B (impares), puedes leer el enunciado aquí.

Como puedes comprobar por el número de capítulo de la serie, estamos llegando al final. Dedicaremos los últimos artículos a explorar un poco los límites de la teoría de juegos, pero antes quiero dedicar un artículo a un conjunto de juegos muy conocidos, que tienen todos algo en común: en todos ellos se toman pequeñas decisiones que son completamente racionales una a una, pero que acaban produciendo un desastre.

No vamos a aprender nada nuevo, porque ya hemos visto algún juego así en la serie, como el juego del ciempiés, en el que cada turno nos recomendaba Interrumpir, pero era mejor si seguíamos hasta el final incluso aunque “perdiéramos”; o el dilema del prisionero, en el que aplicar la estrategia dominante nos llevaba a ambos a cumplir un montón de años de cárcel.

Pero parece que dedicar una serie de artículos a la teoría de juegos y no nombrar a estos juegos tan conocidos está feo… Al menos nos servirá para afianzar conceptos.

De estos juegos se deducen muchas decisiones políticas, e incluso las dos grandes corrientes político-económicas del siglo XX (comunismo y capitalismo) se pueden sacar de aquí. Aunque será difícil no plasmar mi opinión personal, trataré de ser lo más objetivo posible, explicar unos y otros, y no iniciar ningún flame político, que en este país siempre que empezamos así acabamos a hostias…

Tragedia de los comunes

Jugadores explotando los recursos (Image*After)

El primero de estos juegos, la tragedia de los comunes, fue enunciado por Garret Hardin en 1968. El enunciado concreto depende de qué versión leamos, pero dice algo así: existe un pueblo en el que hay unos terrenos comunales, con hierba, y a uno de los parroquianos se le ocurre criar vacas que se pongan gordas y lustrosas con esos magníficos pastos.

Podríamos meter 10 ó 12 vacas… o… ¿para qué vamos a estar racaneando? Total, nadie está usando ese campo. Metamos 50 vacas. O mejor aún, 100 vacas.

Pero claro, sus vecinos, que no son tontos, piensan que ellos también pueden hacer lo mismo, así que también meten cada uno 100 vacas en ese terreno… y al final el campo es sobreexplotado, se echa a perder, y no hay pastos para nadie.

Cada uno de los ganaderos tiene dos opciones: o se queda quietecito, en cuyo caso tiene 0 vacas; o mete 100 vacas en el terreno comunal, en cuyo caso pueden ocurrir dos cosas:

• Si lo hace solo él, tiene 100 vacas.
• Si lo hacen todos sus vecinos, el campo se echa a perder, y ninguno puede tener vacas, con lo cual, él tiene 0 vacas.

Supongo que a todo el mundo le parece obvio entonces que engordar las vacas en el terreno comunal es una estrategia dominante. Luego todos siguen su estrategia dominante y el campo se pierde y nadie tiene vacas.

O dicho con un refrán: “de lo que no cuesta, se llena la cesta”.

¿Y hay algún otro caso que podamos asimilar a los pastos comunes de Hardin? Pues depende. Este juego se ha utilizado como analogía de la contaminación (el coste de la contaminación que produce mi coche es muy pequeño para mí), la sobreexplotación de los recursos naturales, la sobrepesca… Supongo que eres capaz de ver las analogías y darte cuenta de que no es un simple ejercicio teórico, sino un problema muy real.

Este juego se ha utilizado a menudo como crítica al comunismo y la propiedad comunal, ya que la única forma de luchar contra ello es una regulación exhaustiva: un policía que vigila que cada vecino mete 8 vacas (y un vigilante que impida que el policía sea sobornado (y un comisario que impida que el policía soborne al vigilante (y  un ejército que impida que el comisario abuse de su poder (y…)))). Si mete más, está sobreexplotando el terreno, y si mete menos, infraexplotándolo. Así que la solución parece ser: nada de terrenos comunales. Que cada ciudadano tenga su parcelita y haga lo que quiera con ella. Puede meter 10 vacas y engordarlas. O puede meter 30 vacas y echar a perder solo su parcelita. O puede venderle o alquilarle su parcelita a su vecino. O puede hacerse una piscina… que haga lo que quiera con su parcelita.

¿Asunto resuelto? Pues no, no mucho.

Tragedia de los anticomunes

Supongamos que en lugar de tener terrenos comunes, los dividimos en tantas parcelas como habitantes hay en el pueblo, le damos una a cada uno, y allá cada cual con las vacas que mete en su terreno. Puede que funcione. Quien tenga muchas vacas, necesitará más terreno, pero seguro que hay alguien que tiene pocas vacas, o ninguna, porque en realidad fabrica taburetes, y está dispuesto a vender o alquilar su parcela al superganadero.

Todo encaja, todo funciona. Excepto cuando no funciona, claro.

Imaginemos que entre todos los madrileños nos repartiéramos el Parque del Retiro… nos tocarían parcelitas minúsculas, donde malamente podríamos dar de comer a una vaca. Alguien podría intentar comprar las parcelitas de 1000 ó 2000 madrileños y meter sus vacas allí… pero jo… eso cuesta mucho trabajo… o dicho en términos económicos: el coste es mayor que el beneficio que va a dar. En resumen: el Retiro dividido en tres millones de parcelitas, y ninguna de ellas explotada.

El nombre “tragedia de los anticomunes” es algo relativamente nuevo (sobre todo se ha utilizado para atacar al capitalismo moderno, la globalización y tal, relacionándolo con las patentes, el copyright… como ineficiencias sociales causadas por el capitalismo), pero el problema lleva siglos dando vueltas: pequeñas decisiones individuales que acaban llevando a una ineficiencia global.

Sin salirnos de la temática rupestre, podemos pensar en los minifundios que componen buena parte de España (sobre todo en el norte): si tuvieras un terreno de tropecientasmil hectáreas, meterías un tractor, un riego automatizado, una cosechadora… y acabarías con una buena cosecha de… ¿yo qué sé? De zanahorias. O de lo que sea. Pero, como en vez de eso existen tropecientosmil terrenitos de 1 hectárea cada uno, es imposible automatizar nada, el esfuerzo no merece la pena. Y, al final, el terreno se queda sin explotar.

Muchas de las situaciones que la economía llama “fallos del mercado” (monopolios, oligopolios…) pueden vestirse como una ineficiencia causada por la tragedia de los anticomunes: pequeñas decisiones que son racionales una a una, y que acaban causando una ineficiencia global.

Quizá podríamos meter regulación, y así conseguimos más eficiencia que simplemente dejando que sean las pequeñas decisiones las que marquen el destino. En nuestro ejemplo de los minifundios, regular sería expropiar todos los terrenos, agruparlos y dárselos agrupados a los antiguos propietarios (o incluso a una cooperativa de ellos), y así conseguiríamos más eficiencia que dejando actuar a la “mano invisible del mercado”… pero, para muchos, esto se parece demasiado al intervencionismo estatal.

Por poner un ejemplo de moda: las patentes. Lo que se argumenta es que si Empre S.A. tiene el monopolio de la fabricación de locomotoras para ferrocarriles de carbón (por ejemplo, porque posee una patente sobre una pieza fundamental de la máquina), puede imponer el precio que quiera. Podría haber otras empresas que podrían realizar pequeñas mejoras en la máquina, aumentando la potencia, reduciendo el consumo o lo que sea, y eso sería bueno para la sociedad en conjunto. No es solo que la competencia reduzca el precio, sino que también incentiva la investigación. Empre S.A., como ya tiene el monopolio, no tiene ningún incentivo para mejorar esa máquina. Pero como ella tiene la patente, ninguna otra puede hacerlo.

Y entonces se piensa en que quizá sería mejor eliminar las patentes, que cualquier otra compañía pudiera fabricar esa máquina… pero entonces lo que ocurre es que, para empezar, Empre S.A. no hubiera invertido su dinero en inventar esa máquina… con lo cuál hemos vuelto a la tragedia de los comunes.

Problema del polizón

Un problema parecido es el del polizón, que se da en aquellos juegos en los que uno de los jugadores no deja de recibir el Beneficio, aun cuando decida no pagar el Coste.

El ejemplo paradigmático es el de la seguridad nacional: si el ejército de una nación protege sus fronteras, el hecho de que uno de los ciudadanos decida que él no quiere la protección del ejército es irrelevante. El ejército protege a toda la nación, no puede decidir proteger de una invasión a todos los ciudadanos menos a uno.

El problema viene cuando cada uno de los ciudadanos, uno a uno, puede decidir no pagar al ejército. Si yo no pago a los soldados, de todos modos ellos protegen todo mi país, y por lo tanto a mí. La decisión dominante, para mí, es no pagar. Pero claro, si todos los ciudadanos decidimos eso, entonces no hay dinero para pagar al ejército y nadie nos protege de una invasión.

Y por eso pagar por esos servicios comunes no es voluntario: o pagas o vas a la cárcel. De ahí que los impuestos se llamen “impuestos” y no “voluntarios”, porque se imponen a la fuerza.

Este es un argumento importante de quienes critican el liberalismo económico (al menos en su vertiente más extrema): si alguien se está muriendo, ¿vamos a negarle asistencia médica? Si alguien es viejo y no puede trabajar, ¿vamos a negarle alimentación y cobijo? Si los hijos de alguien no tienen recursos, ¿vamos a negarles la educación? Fijaos en que la pregunta no es si “el que no pague no tiene derecho” sino “a pesar de no tener derecho por no haber pagado, ¿se lo vamos a dar de todos modos, por caridad o altruismo?”. Si la respuesta a esas preguntas no es un rotundo “sí, se lo negamos y que apechugue con su decisión”, entonces resulta que los polizones que no paguen se beneficiarán de esos servicios… y por eso en muchos países esos servicios se financian en base a diversos impuestos y luego se ofrecen a todo el mundo.

Casos conocidos por nosotros son, por un lado, España, donde la sanidad es universal: cuando alguien se presenta en el hospital, lo primero es atenderle, y luego ya veremos quién paga. Y, por otro, EEUU, donde se dice que puedes estar muriéndote en la puerta de un hospital, que si no tienes seguro médico (privado generalmente) que se haga cargo de la factura, no te atienden. Cada modelo tiene sus ventajas e inconvenientes, pero hay que ser consciente de ellas: si por altruismo vamos a ofrecer de todos modos el servicio, entonces el pago no puede ser voluntario. O al revés, como prefieras verlo: si no cobramos a quien no quiera, hace falta tener luego la firmeza de no ofrecer el servicio, con todas sus consecuencias. La opción intermedia nos lleva al problema del polizón.

A menudo el problema del polizón se utiliza para enfatizar la imposibilidad del liberalismo extremo, de modo que hoy en día ningún régimen económico capitalista lo es completamente.

Dilema del voluntario

¿Y si no hay ningún voluntario? (Image*After)

Similar es el problema del voluntario. Imaginemos que hay un conato de incendio en el bosque junto a la carretera. Mucha gente pasa por la carretera y lo ve. Si acuden los bomberos, se apaga el incendio y asunto resuelto; pero si no, el bosque se quema y todos perdemos un montón (pago -100).

Pero claro, los bomberos no vienen solos, hay que llamarlos. Cualquiera de los conductores que lo ve al pasar puede llamar a los bomberos, con un pequeño coste de 1.

Supongamos que al final alguien llama a los bomberos. En ese caso, quienes hayan llamado obtienen un pago de -1 (1 del coste de llamar y 0 de pago porque no se quema el bosque: total, -1), mientras que los que no han llamado obtienen un pago de 0 (ni pierden porque se queme el bosque ni han hecho el esfuerzo de llamar).

Hombre… parece que es mejor elegir el 0 que el -1… Pero claro, si todos piensan eso, nadie llama, el bosque se quema, y todos obtienen -100.

Si lo pensamos con cuidado, nos daremos cuenta de que es algo parecido a la tragedia de los comunes (pero con pérdidas en lugar de ganancias). Y también es parecido al juego que ya hemos visto de los halcones y palomas, en el que las palomas son quienes avisan a los bomberos y los halcones, los que esperan a que llamen otros.

Una vez más, evitar esta situación es el motivo de que existan torres de vigilancia en los montes, que la policía patrulle aunque nadie le avise, que la justicia actúe de oficio muchas veces…

Dos ejércitos dispuestos a batirse (Image*After)

No podíamos pasar por esta serie sin dedicar un artículo a algunos de los juegos más divertidos y paradigmáticos: los wargames.

Empezaremos por el clásico ajedrez y terminaremos por algunos wargames más modernos, aprovechando por el camino para formalizar dos conceptos nuevos, que seguro que hemos empleado mil veces y que ni sabíamos que tenían nombre: la completitud de la información y la perfección de la información.

Ajedrez

El ajedrez es uno de los juegos de estrategia más conocidos y antiguos. Supongo que todos nuestros lectores lo conocen e incluso han jugado alguna vez, pero por si acaso: dos jugadores, uno de ellos con un ejército de color blanco y el otro con un ejército de color negro (aunque se pueden usar otros colores, da igual). Existen distintos tipos de piezas, que representan distintos tipos de unidades del ejército: infantería, caballería, torres, oficiales… cada una con distintos movimientos posibles. El objetivo es capturar al rey contrario. No vamos a revisar las reglas, porque son demasiado complejas para un artículo como este, sino que las vamos a dar por sabidas. Si no las conoces y quieres conocerlas, prueba por ejemplo en el reglamento de la Wikipedia o en el tutorial de monografias.com.

El ajedrez es, entre otras cosas, un juego de información perfecta.

A lo largo de la serie hemos visto otros juegos de información perfecta, como la subasta del dólar o el juego del ciempiés, el problema de las pensiones, el ultimátum… y a todos se nos ocurren otro puñado de juegos más comunes que también son de información perfecta: las damas, el parchís…

También hemos visto un montón de juegos que son de información imperfecta: el dilema del prisionero, dos tercios de la media, los tenistas, escándalo de corrupción…

¿Alguien ve un patrón en la lista de juegos de un tipo y otro?

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Todos los juegos de información perfecta son juegos secuenciales. Los juegos simultáneos han de ser necesariamente de información imperfecta, pues hasta que los demás jugadores no anuncian su decisión no la conocemos (cuidado, que lo contrario no es necesariamente cierto; un juego puede ser secuencial y aun así ser de información imperfecta).

Algunos wargames más modernos introducen ideas como estas, por ejemplo permitiendo que los jugadores oculten unidades en edificios o bosques, escribiéndolo en un papel que debe enseñar al oponente cuando quiera mostrar la unidad (sin duda, jugar muchas de estas cosas ahora por ordenador ha facilitado mucho esto).

Resolviendo el ajedrez…

El caso es que, dada una posición (por ejemplo la posición inicial), sabemos cuáles son todos mis posibles movimientos. Dados mis movimientos, sabemos todos los posibles movimientos del oponente, consecuencia de ellos. Y dados esos, sabemos cuales serán los míos en la tercera jugada. Y así sucesivamente, hasta llegar al mate de uno de los jugadores o a las tablas. Es decir, somos capaces, al menos teóricamente, de dibujar el árbol completo del juego. Es decir, conocemos toda la forma extensiva del ajedrez.

Por lo tanto, dado que sabemos que yo eliminaré todos los caminos que me lleven a perder, y el oponente eliminará todos los caminos que le lleven a perder a él, podemos ir podando ramas imposibles, hasta que nos quede solo una decisión posible… y entonces no jugaremos, porque… ¿para qué?… si ya sabemos cómo va a terminar la partida.

Bien, afortunadamente, el número posible de jugadas es del orden de 10^120, un número tan absurdamente grande que probablemente ni te imaginas cómo es. Para que te hagas una idea, se estima que en el universo hay unos 10^79 átomos, así que el número de posibles jugadas es muchos órdenes de magnitud mayor. De modo que, aunque es matemáticamente posible hacerlo, es computacionalmente imposible resolverlo. Por lo que sé, parece que la mayoría de los jugadores IA de ajedrez utilizan algoritmos heurísticos para podar ramas enteras de esos árboles, evitándose calcularlos, para de esa forma encontrar jugadas buenas sin tener que calcular el árbol entero. Así consiguen jugadas mejores que las que conseguimos los simples mortales como yo.

¿No podemos avanzar más? ¿Dejamos ya el artículo? Pues no, porque podemos atacar algún otro juego de estrategia un poco más sencillo. Por ejemplo el tic-tac-toe.

Tic-tac-toe

Una partida atípica de tic-tac-toe

Todos hemos jugado de pequeños, seguro, al tic-tac-toe (en España lo conocemos más como “tres en raya”). Tenemos un tablero de 3×3 casillas, donde un jugador va poniendo cruces y el otro va poniendo círculos. El objetivo es poner 3 de tus fichas en línea antes de que lo haga el contrario.

No me he puesto a hacer los cálculos de los posibles movimientos, pero la Wikipedia dice que hay 138 posibles partidas (obviando las que son rotaciones e imágenes especulares unas de otras), así que muchos valientes se han dedicado a buscar la decisión óptima de cada jugador ante cada situación.

A mí me encanta, por el valor friki, la versión que ha publicado Randall Munroe en xkcd.^[1] La imagen tiene detalles muy pequeñitos, así que pica en la imagen para verla en grande si lo necesitas (cuidado, porque la última vez que lo miré con cuidado, me pareció ver una errata en uno de los movimientos, aunque ahora no recuerdo dónde; sí recuerdo que no afectaba a la rama principal, solo a una de las que se descartan).

Movimiento óptimo para cada jugador de tic-tac-toe (Randall Munroe, http://xkcd.com; cc-by-nc)

No es difícil darse cuenta de que, si cada uno de los jugadores hace una partida perfecta (siempre hace su movimiento óptimo en cada momento), el resultado será el siguiente (no olvides que estamos considerando iguales todas las versiones rotadas y especulares de cada posición):

Solución del tic-tac-toe

Es decir, un empate. Algo que, sin tanta parafernalia, ya aprendimos de niños a base de experiencia. Al principio jugábamos contra nuestros amigos, pero al poco tiempo ambos sabíamos qué movimientos no podíamos hacer, de modo que siempre empatábamos. La única solución factible cuando ambos jugadores saben jugar es el empate. Así que dejábamos de jugar.

Conecta cuatro (MB)

¿Podemos escalar este resultado a un wargame más complejo? ¿El ajedrez? ¿El Risk? ¿Una guerra real?^[2] Pues depende. Dependiendo del juego, si ambos jugadores hacen una partida perfecta (sin errores, eligiendo siempre la mejor decisión en cada movimiento) se puede llegar a una de las siguientes situaciones:

• Juego determinista:
  • El juego solo puede acabar en tablas. Por ejemplo, el tic-tac-toe o las damas.
  • El juego solo puede ser ganado por uno de los jugadores. Por ejemplo, en el Nim o en Conecta Cuatro siempre gana el jugador que empieza.
• Juego con azar (dados, cartas…):
  • El juego se resuelve estadísticamente en tablas. Por ejemplo, el parchís. Si todos los jugadores son perfectos, solo los dados marcan la diferencia.
  • El juego beneficia estadísticamente a un jugador. Por ejemplo, en la mayor parte de juegos de casino, estadísticamente gana la banca.

La Wikipedia tiene una lista muy chula de juegos que están resueltos. Ni que decir tiene que el hecho de que un juego esté resuelto no quiere decir que debamos dejar de jugarlo, porque salvo para juegos triviales como el tic-tac-toe o el Nim, no haremos una partida perfecta, y entonces sigue siendo divertido averiguar quién de los dos se aproxima más a ella.

Risk

Tablero y fichas del Risk (Hasbro)

Por si no has jugado nunca al Risk, te explico muy por encima de qué trata. Es un juego de estrategia, por turnos, en que los jugadores mueven ejércitos desde sus territorios a los territorios enemigos, resolviéndose cada batalla según unas tiradas de dados.

¿Cuál es el objetivo? Pues depende. No, el objetivo no es conquistar el mundo. Al empezar, cada jugador saca una carta de objetivos de un mazo y la mantiene secreta. Los objetivos pueden ser “conquistar 20 territorios” o “conquistar 3 continentes cualesquiera” o “conquistar Sudamérica y África” o cosas así. Cuando un jugador ha conseguido su objetivo,  enseña su carta de objetivo a los demás jugadores y ¡ha ganado!

Es decir, es un juego de información incompleta.

Hay aquí dos detalles importantes: “todos los factores del juego” y “conocimiento común”.

“Todos los factores del juego” incluye el número e identidad de los jugadores, sus objetivos, sus posibles decisiones, las recompensas de cada combinación de decisiones… y muchas cosas más. Todo.

“Conocimiento común” significa no solo que todos los jugadores conocen esos factores del juego, sino que además todos saben que todos los conocen, y todos saben que todos saben que todos los conocen, y todos saben que todos saben que todos saben que todos los conocen… y así hasta el infinito.

En el caso del Risk, los jugadores no conocen los objetivos de los demás jugadores. Es difícil diseñar wargames en que exista incompletitud de la información (al menos, es difícil que la incompletitud sea algo más que los objetivos), porque ambos jugadores pueden leer el reglamento del juego. Pero en la vida real, como ya hemos visto alguna vez, los grandes ganadores han sido quienes encontraban nuevas decisiones posibles, cambiaban las recompensas, ocultaban cosas al oponente…

Hemos visto algunos juegos de información completa, como el dilema del prisionero, la caza del ciervo o la guerra de sexos. Y también algunos juegos con información incompleta, como el escándalo de corrupción (decíamos que la matriz de pagos era una estimación, pero no sabíamos si el oponente manejaba otra distinta, o si la nuestra era correcta) o la subasta del dólar (no sabíamos el valor que cada jugador le estaba dando al dólar, ni cuántos jugadores había, ni prácticamente nada).

Y más importante: hemos visto juegos que parecían de información completa… pero luego empíricamente se demostraba que no lo eran: el ejemplo paradigmático ha sido el juego del dictador (refréscalo si lo tienes viejo). Con el juego tal y como lo enunciamos, era obvio que la solución del juego era que Ana se quedaba con 100€, pero… el caso es que no, Ana no siempre se quedaba con 100€. Alguna recompensa oculta había en el juego que hacía que Ana eligiera otro valor a veces. Parecía de información completa, pero no lo era.

O incluso buceando más, continuamente hemos estado diciendo que a menudo nos confundíamos de juego, porque parecía que estábamos jugando a una determinada cosa, cuando en realidad estábamos jugando a la evolución. Fíjate si era incompleta la información que no es solo que no conociéramos todos los factores del juego, sino que ni siquiera sabíamos a qué juego estábamos jugando. Algunos incluso dirían que ni siquiera sabíamos que los jugadores no éramos nosotros, sino nuestros genes.

Esta es precisamente la mayor crítica que se le hace a la aplicación de la teoría de juegos a la vida real. Para poder hacer un análisis abordable, a menudo hay que suponer que tenemos un juego de información completa, lo resolvemos, encontramos la mejor decisión y luego aplicamos esa decisión a la vida real. Si la suposición era lo bastante aproximada, puede que la conclusión sea aplicable a la vida real, pero si no…

El caso es que la vida real raramente es de información completa ni de información perfecta. No conocemos las motivaciones de nuestros compañeros de trabajo, no sabemos la recompensa que va a obtener nuestro cliente al comprarnos un producto o servicio, no sabemos las órdenes que ha dado el general enemigo, no sabemos si hay más jugadores a los que no estemos teniendo en cuenta, ni siquiera estamos seguros de estar jugando al juego adecuado… ¿quién dijo que la vida fuera fácil? Si de verdad la vida fuera un juego de información completa y perfecta… ya hemos visto en qué acaba el tic-tac-toe en ese caso…

1. Uno de los mejores cómics de Internet. Si no lo tienes agregado a tu lector de RSS, ya estás tardando.
2. Ya hemos visto que Joshua sí aprende algo de jugar al tic-tac-toe. ¿Aún no has ido aún a ver la película? ¿Pero a qué estás esperando, alma de cántaro?

En el capítulo anterior de la serie presentamos el juego del gallina y buscamos un par de estrategias que no acababan de resolver el juego.

Primero intentamos quemar las naves (o su variante: golpear primero), pero vimos que no acababa de servir si el otro jugador usaba la estrategia del loco. Pero esta estrategia del loco tampoco nos terminaba de gustar, porque la última vez que la utilizamos a escala mundial, durante la guerra fría, estuvimos pendientes de un botón durante dos décadas (y hasta recomendamos un libro que nos hizo llorar).

¿Y si nos ponemos en plan conservador?

Maximin e iteración

Recordemos que maximin era una estrategia conservadora en la que elegíamos el máximo de los mínimos debidos a las posibles decisiones de los oponentes. Veíamos que era una estrategia muy útil cuando el oponente era irracional, o no sabíamos en base a qué elegía… lo cual no parece muy descabellado en este caso.

Nuestra estrategia maximin en este caso es Apartarse. Si nos Apartamos, lo peor que puede ocurrirnos es un -1, mientras que si Seguimos, lo peor que nos puede ocurrir es un -100. Elegimos el máximo de esos mínimos: el -1. Apartarse.

Pero como se ha dicho muchas veces durante la historia: “La pacificación solo hace más agresivo al agresor”.  Recordad lo que consiguieron Neville Chamberlain y Édouard Daladier apaciguando a Hitler en la segunda mitad de los años treinta del siglo pasado.

Si el juego es de una única ronda, esta estrategia maximin no parece descabellada. Pero si se juega iterativamente… si el otro sabe que cedemos, siempre se mostrará agresivo. Y además, responderle será aún peor para nosotros. O dicho en términos de la teoría de juegos: Apartarse/Seguir es un equilibrio de Nash. Una vez que hemos caído en ese punto, si nosotros cambiamos a Seguir, pasaremos de ganar -1 a ganar -100, de modo que no querremos hacerlo. Y el otro jugador, si cambia a Apartarse, pasará de ganar 1 a ganar 0, así que tampoco querrá hacerlo. Estaremos condenados a seguir en ese equilibrio. Es decir, lo que decíamos de ”quien da primero da dos veces”.

Quien haya leído algo de historia sabrá que la política de apaciguamiento de Inglaterra y Francia ante las cada vez mayores ínfulas de la Alemania de Hitler les llevó a hacer concesiones cada vez más grandes (militarización de Renania, anexión de  Austria, de los Sudetes, de toda Checoslovaquia, etc). Por fin, tras los acuerdos Molotov-Ribentropp de agosto de 1939, Alemania invadió Polonia el primero de  septiembre de ese mismo año, repartiéndosela con la URSS, lo que, ahora sí, llevó a las potencias aliadas (entre las que no estaba todavía Estados Unidos) a declarar la guerra al III Reich. En pocas palabras, como decíamos antes: “La pacificación solo hace más agresivo al agresor”.

Joshua (Flickr de tnarik, cc-by-sa)

Si recordáis la película Juegos de Guerra, al final Joshua aprende que [...]. Hasta aquí puedo leer sin hacer un spoiler. Si la has visto, sabes a qué me refiero, y si no, ya estás tardando. Bien, pues en la vida real no está tan claro que esa hubiera sido la conclusión de los estrategas políticos responsables, y por eso hemos estado tantos años al borde de una guerra termonuclear global.

Veámoslo en términos más comerciales, para no entrar en los horrores de una guerra. Un proveedor y un cliente están negociando. Si uno de ellos cede y cae al equilibrio de Nash, probablemente ya no podrá salir de ahí. Por ejemplo, si el proveedor acepta rebajar el precio para conseguir el contrato, la próxima vez que estemos negociando, el cliente ya asumirá que ese es el precio, que si antes ganamos con ello, ahora también.^[1] No tiene fácil solución, pero hace poco he leído una propuesta de solución muy valerosa: en vez de rebajar tu precio, regálaselo. Si un cliente, al que quieres mantener como cliente (por lealtad, por estrategia o por lo que sea) realmente no puede pagar el precio que necesitas, regálale tu servicio. De ese modo no le acostumbras a que ese precio rebajado es tu precio habitual, y al menos te debe una. En otros lugares lo que proponen es cambiar a Seguir/Seguir, es decir prescindir del cliente/proveedor que abusa de ti, sea cual sea el coste a corto plazo, porque a largo plazo será aún peor.

¿Quiere esto decir que la mejor forma de responder a un Seguir es Seguir? ¿Que la mejor respuesta a una agresión es otra agresión? No, ni mucho menos. Dependerá del caso. Pero hay que ser consciente de que Apartándose cuando el otro Sigue, caemos en el equilibrio de Nash que menos nos beneficia. Si elegimos eso conscientemente porque lo hemos evaluado y resulta que la alternativa es aún peor, nada que objetar. Pero si lo hacemos creyendo que así el otro dejará de mostrarse agresivo… al otro le conviene mantener ese equilibrio de Nash (o si no, no sería un equilibrio de Nash).

En el fondo, la solución al juego del gallina iterado probablemente es la misma que para el dilema del prisionero iterado: tit-for-tat. Es decir, el castigo que el otro me infligiría por atacarle (Seguir) es tan grande que ni me planteo hacerlo (siempre me Aparto). Pero, ¿no es eso básicamente la estrategia del loco? Vaya… volvemos a dar vueltas sobre lo mismo.

Halcones y palomas

Solo nos queda intentar atacarlo por la vía de las estrategias mixtas. Para ello vamos a modificar un poco el juego. Espero que cuando acabes de leer la descripción estés de acuerdo conmigo en que el juego del gallina que ya hemos visto y el los halcones y palomas que vamos a contar son fundamentalmente el mismo, y que solo cambian los números concretos de la matriz de pagos. Si buscas un poco por Internet verás que muchos autores usan indistintamente el nombre “gallina” (chicken) o el nombre halcón-paloma (hawk-dove) para referirse al mismo juego. Yo lo he hecho distinto, en dos partes, porque el primero me permitía referirme al ejemplo clásico de los coches de la película de James Dean, y me ayudaba al análisis iterado, pero este me permite mostrar la estrategia mixta aplicando un vocabulario que ayuda a explicarlo con analogías.

En este juego existen Halcones y Palomas. Todos ellos compiten por una serie de recursos de valor v (por ejemplo, espacio para los nidos). Los Halcones siempre Pelean, y las Palomas siempre se Retiran. Por lo tanto:

• Si una Paloma y un Halcón se encuentran, la Paloma se Retirará, y el Halcón se quedará con el recurso.
• Si dos Palomas se encuentran, no Pelean. Simplemente la primera que llegó se queda con el recurso y listo.
• Si dos Halcones se encuentran, siempre Pelean entre sí. El que gane se quedará el recurso y el que pierda se irá sin nada y además pagará un coste c (por ejemplo, en forma de heridas). Nótese que c es mayor que v.

Halcón o Paloma (Flickr de wolfraven y lipkee; cc-by-nd y cc-by-sa)

Así que tenemos la siguiente matriz de pagos:

Por si acaso no ves clara esa matriz, vamos a explicarla.

Los casos Halcón-Paloma y Paloma-Halcón son fáciles: el Halcón gana v y la Paloma se va sin nada.

El caso Paloma-Paloma es un pelín (solo un pelín) más complicado. Unas veces será una Paloma la que llegue antes y otras veces será otra. En media, la mitad de las veces. Así que por eso el pago de Paloma-Paloma es v/2 para cada uno.

Por lo mismo, el caso Halcón-Halcón es (v-c)/2: unas veces ganará uno y otras, otro. En media, ganará la mitad de las veces. Cuando gane la Pelea, obtendrá v; mientras que cuando la pierda, obtendrá -c. En media (v-c)/2. Nótese que como c es mayor que v, este valor es negativo.

Pero insistimos: este juego y el del gallina son el mismo juego. Revisa ambas matrices de pago y verás que mantienen la misma estructura, solo difieren en los valores numéricos concretos.

Quienes dominen la lengua de Shakespeare sabrán que, aunque hawk se traduce por halcón, a menudo tiene cierta connotación de elogio, como en la frase “este tipo es un halcón” (para el animal se suele usar más el sustantivo falcon); y por lo tanto este juego a menudo se usa como referencia de una actividad, por ejemplo comercial, donde los jugadores son agresivos (como halcones) o conciliadores (como palomas).

Por lo tanto, podemos entender este juego de dos formas:

• Existen dos especies distintas, los Halcones y las Palomas, que aplican la estrategia pura que hemos visto arriba: los Halcones siempre Pelean y las Palomas siempre se Retiran.
• Existe una única especie (por ejemplo, Humanos), que a veces Pelea como Halcón y a veces se Retira como Paloma. Es decir, una estrategia mixta.

¿Está claro que ambas analogías son matemáticamente el mismo juego? Bien, porque para hacer el razonamiento vamos a tener que ir cambiando de una analogía a la otra con soltura. Aviso de que vamos a ver unas poquitas fórmulas sencillas, pero si no te gustan, sáltatelas y ve al texto con las conclusiones. Simplemente, en ese caso tendrás que fiarte de mí.

Vemos que el juego es simétrico, así que podemos intentar algo como lo que hicimos en la guerra de sexos. Revísalo si no lo tienes fresco, porque allí hicimos la deducción despacito, mientras que aquí la haremos a toda pastilla. Como el juego es simétrico, podemos llamar p a la proporción de Palomas tanto en filas como en columnas (o dicho de otro modo, la probabilidad de elegir Paloma si ambos jugadores de la misma especie usan una estrategia mixta; como hemos dicho, es lo mismo) y con cuatro cuentas deducimos que la esperanza del pago sigue la fórmula:

Si buscamos el máximo (derivando, igualando a 0 y resolviendo) nos sale p=1. El máximo se produce cuando p=1. Es decir, cuando todos son Palomas. Bien, ese es el resultado social que hemos ido buscando durante gran parte de la serie.

¿Asunto resuelto?

Pues no, no mucho.

Ese resultado es el máximo social. Todos los jugadores se retiran amablemente como Palomas cuando tienen un conflicto, de modo que al final, en media, todos ganan. Pero, ¿qué ocurre si de pronto aparece un invasor o un mutante agresivo de tipo Halcón?

Estrategia evolutivamente estable

Los términos mutante e invasor se suelen usar indistintamente, pues para la bondad de la estrategia es indiferente si los individuos con esa nueva estrategia vienen de fuera (invasores) o surgen por la reproducción de la población inicial (mutantes).

¿Qué ocurre si hay muchas Palomas y aparecen unos pocos Halcones? Los pocos Halcones que haya raramente se encontrarán entre sí, y sí con las Palomas… situación en que ellos ganan mucho. Por lo tanto los Halcones sobrevivirán más, se reproducirán más y crecerán en número, reduciéndose a la vez el número de Palomas.

Es decir, nuestra estrategia de todo Palomas no es evolutivamente estable.

¿Hasta cuándo? ¿Puede seguir creciendo la proporción de Halcones hasta constituirse en la única especie de la población? O dicho de otro modo: ¿existe un punto de equilibrio?

Veamos lo que ocurre si hay muchos Halcones y pocas Palomas. Los Halcones se encontrarán muy a menudo y Pelearán, obteniendo un pago negativo, por lo que sobrevivirán poco, se reproducirán menos y decrecerán en número, aumentando a la vez la proporción de Palomas.

Es decir, existe una realimentación negativa: si hay demasiadas Palomas, tienden a decrecer; y si hay demasiados Halcones, tienden a decrecer.

¿Dónde está el punto de equilibrio? Para ello debemos calcular las esperanzas, en función de la proporción de Palomas p, tanto para los Halcones como para las Palomas. Cuando la esperanza de los Halcones sea mayor que la de las Palomas, aumentará su proporción; mientras que cuando la esperanza de los Halcones sea menor, disminuirá su proporción.

La esperanza de los Halcones, para una proporción de Palomas p dada es:

La esperanza de las Palomas, para la misma proporción de Palomas p dada es:

Podemos encontrar el p de equilibrio resolviendo la ecuación:

Es decir, si la esperanza de los halcones es mayor, crecerán; si la de las palomas es mayor, serán ellas las que crezcan. El equilibrio es justo cuando se igualan.

Es decir, si la proporción de Palomas es de sobre el total de la población, estamos en equilibrio. Lo habitual es nombrar la proporción de equilibrio en base a los Halcones, porque nos sale una fórmula más sencilla: la proporción de equilibrio de Halcones es .

No parece descabellado. Si el coste c de Pelear es muy alto (por ejemplo 1.000.000, frente a un valor v de 2), el castigo por Pelear es tan alto que apenas habrá Halcones. Mientras que si el castigo es muy pequeño (por ejemplo c=3 cuando v=2), el ser agresivo compensa y puede haber muchos Halcones.

Ya tenemos la explicación de por qué poca gente juega al gallina con sus coches: el coste c es tan grande (perder la vida) que apenas nadie sigue la estrategia de Seguir hasta el final. Preferimos Apartarnos siempre. O mejor aún: ni siquiera hacemos el tonto jugando a eso.

Y a la vez, esta es la explicación de que tengamos Halcones delincuentes en las calles, países agresivos, gamberros en el colegio… en una sociedad que es fundamentalmente Paloma. Es inevitable: surgirán, y su proporción crecerá hasta alcanzar el punto de equilibrio. La forma de reducir la cantidad de Halcones es aumentando el coste c (por ejemplo, con policía y penas de cárcel… y esta es la justificación de muchos para la pena de muerte), para que se reduzca su proporción.

Para terminar, recordemos que cuando vimos el dilema del prisionero iterado, dijimos que tit-for-tat era evolutivamente estable, incluso a pesar de la estrategia de las sociedades secretas. Quizá quieras, como ejercicio, releer aquello y comentarlo a continuación…

1. Afortunadamente, este es un efecto conocido en las relaciones comerciales, que además a largo plazo tiene consecuencias negativas para ambos, y que las personas inteligentes tratan de evitar: si uno abusa repetidamente del otro, lo acaba exprimiendo, llevándolo a la quiebra y quedándose sin cliente/proveedor. En el argot comercial que yo conozco se llama a eso “quemar a un proveedor” o “exprimir a un cliente” dependiendo de quién sea el que abuse. Pero bueno, no incidamos en esto, porque en realidad lo que estamos diciendo es que a largo plazo la matriz de pagos iterativa no es la que creíamos, y por lo tanto obviamente el análisis inicial no es correcto.

¿Vas a girar antes que yo? (Image*After)

El artículo de hoy es uno de los más conocidos de la teoría de juegos: el juego del gallina. Y a la vez uno de los más desaprovechados cuando se hace solo un análisis superficial.

En esta primera parte no aprenderemos ningún concepto nuevo, sino que estaremos dándole vueltas a los que ya conocemos, para profundizar y aprender cosas nuevas en la segunda.

El juego consiste en que dos automovilistas se dirigen uno contra otro a gran velocidad. Si uno de ellos se Aparta, pierde un poquito de estatus social por cobarde, mientras que el otro lo gana. Si ambos se Apartan, ninguno pierde nada, mientras que si ambos Siguen, se estrellan y se matan.

Veamos la matriz de pagos que resumiría esta situación.

¿Qué haríais?

La versión más famosa de este juego es la de la película “Rebelde sin causa” (¿no la has visto? Ya estás tardando), donde los automovilistas, en vez de dirigirse uno contra otro, se dirigen hacia un acantilado con el coche. Pero, en cuanto al juego, no cambia mucho.

Características

Antes de continuar, vamos a dedicar unas líneas a analizar el juego según los conceptos que hemos visto a lo largo de la serie, para que nos sirva de ejercicio (si no logras descubrir por qué decimos cada punto, revisa el artículo correspondiente o pregunta en los comentarios):

• Es un juego simétrico.
• No es de suma cero.
• No existe una estrategia dominante para ninguno de los jugadores.
• Existen dos equilibrios de Nash en estrategias puras: Seguir/Apartar y Apartar/Seguir.
• Dependiendo de cómo consideremos el juego, podemos tomarlo como secuencial o como simultáneo. Cuando yo tengo que decidir si Seguir o si Apartarme, sé que el otro, al menos hasta ahora, ha decidido Seguir. Porque si él hubiera decidido Apartarse, yo ya habría ganado. Así que desde este punto de vista es secuencial. Pero por el mismo motivo, sabemos que ambos jugadores seguiremos apurando la decisión hasta el ultimísimo momento, en que ya no podamos esperar más a ver qué hace el otro. Por lo tanto, todas las decisiones iniciales son triviales, sabemos que ambos decidiremos Seguir. La única decisión que importa es la que tomamos en el últimísimo momento. Y por lo tanto, podemos considerarlo simultáneo (la forma más habitual).

Puede serte interesante comparar este juego con el de la batalla de sexos. En aquel momento dijimos que aquellos juegos se llamaban genéricamente “de coordinación”, porque el mejor resultado se daba cuando ambos jugadores elegían “bien” (recuerda el ejemplo paradigmático de conducir por la izquierda o la derecha). Pues bien, a veces estos juegos se llaman genéricamente “de anticoordinación”, porque el peor resultado se obtiene cuando ambos deciden la misma cosa (el -100/-100).

¿Cuál es la estrategia adecuada? Luego iremos a eso, porque primero queremos dedicar unos párrafos a demostrar que, aunque afortunadamente no existen muchos automovilistas que se dediquen a jugar a esto, el juego es muy, muy práctico.

Ejemplos

Buscando aparcamiento (Flickr de Alex92287, cc-by)

Podemos empezar con una situación sencilla. Estamos buscando aparcamiento en un centro comercial. Llevamos diez minutos dando vueltas; empezamos a cansarnos, y en el asiento de atrás los niños se están poniendo pesados. De pronto vemos un hueco, hacia el que también se dirige como un kamikaze otro conductor. Tenemos dos opciones: intentar colarnos nosotros primero (Seguir) o cederle el sitio (Apartarnos). Si nosotros Seguimos y el otro se Aparta, ganamos un poco (aunque solo sea porque nuestros hijos en el asiento de atrás dejan de enfurruñarse). Si nos Apartamos, perdemos un poco, porque tenemos que seguir buscando sitio otro rato. Si ambos Seguimos, al final tenemos un accidente y en vez de perder otros diez minutos buscando otro sitio, tenemos que perder veinte arreglando los papeles del seguro, y el coche una semana en el taller. Nótese que la combinación Apartarse/Apartarse no se puede producir, ya que el último en Apartarse cambiará su decisión.

Vamos a hacerla ahora un poco más grave. Estamos negociando un acuerdo comercial con un cliente. Él nos necesita, porque necesita nuestro servicio: si no lo contrata, él no podrá hacer su trabajo y perderá dinero. Pero claro, ambos queremos hacernos los duros (nosotros para subir el precio y él para bajarlo). Si nosotros apretamos y él cede, le vendemos el servicio más caro de lo normal. Si él aprieta y nosotros cedemos, le vendemos el servicio más barato de lo normal. Si ambos apretamos, el trato no se cierra, nosotros no ganamos ese dinero y él no puede hacer su trabajo (perdiendo dinero también). Si ambos cedemos un poco, es la situación normal.

Más grave aún. Ya lo hemos visto cuando estudiamos “dos-tercios-de-la-media“: la crisis de los misiles cubanos. Dos países (que en aquel artículo eran la URSS y EEUU) se enfrentan en una escalada de violencia: el primero mata a un soldado por accidente, el otro ataca a una patrulla por despecho, el primero bombardea una base, el otro una ciudad, el primero lanza sus misiles nucleares… y el segundo también. Game over.

Cualquiera puede ceder (Apartarse) en cualquier momento, o Seguir escalando. El que cede cuando el otro amenaza sufre un daño político, que es la recompensa del otro. Pero si ambos siguen escalando, ambos resultan aniquilados.

Y entonces, ¿hay alguna estrategia adecuada?

Pues alguna hay, pero su éxito no está en absoluto garantizado.

Quemar las naves o quien da primero da dos veces

Una de las formas de enfrentarse a este juego es eliminar una de nuestras opciones. Por ejemplo, en el juego del gallina con los automóviles, podemos encadenar el volante de forma que sea imposible girarlo para Apartarse. De esa forma el otro jugador ya no tiene duda de cuál va a ser nuestra decisión, y solo tiene una decisión racional: Apartarse.

Esto es lo que hace muchas veces el comercial cuando intenta vender algo: “no es que no quiera bajarte el precio, es que no puedo, no está en mi mano. El precio me lo fijan desde la central, no puedo bajarlo más”. O cuando el cliente negocia: “si a mí me gusta lo que me ofreces, pero a ese precio no puedo comprártelo, perdería dinero”. Que sea verdad o no… eso ya no depende de este artículo.

La expresión “quemar las naves” parece venir de la invasión del imperio azteca por parte de Hernán Cortes, con apenas 300 ó 400 soldados españoles. Para evitar que sus hombres tuvieran la tentación de volver navegando a la seguridad de La Habana, ordenó barrenar los cascos de las naves que les habían llevado a Nueva España,^[1] de modo que solo les quedara la opción de ir hacia adelante. La gracia no es solo que los españoles sepan que no pueden retroceder, y por lo tanto luchen mejor, sino que los enemigos también saben que aquellos no pueden retroceder, y por lo tanto saben que los españoles van a luchar como leones, favoreciendo el que ellos mismos se retiren.

En algunos sitios se dice que la expresión viene de la invasión de Fenicia por parte de Alejandro Magno, donde se supone que usó una estratagema similar, pero nuestro desasnador alejandrino oficial dice que no hay pruebas suficientes de dicho proceder. Por si os la encontráis alguna vez, los ingleses usan la expresión “burn the bridges” (quemar los puentes) para representar esto.

Relacionado con esto está la estrategia de “quien da primero, da dos veces”. Si el juego no es completamente simultáneo, sino que podemos decidir ser los primeros en elegir, podemos intentar elegir Seguir. Al elegir los primeros la estrategia agresiva, el otro está forzado a elegir la estrategia pasiva, pues de lo contrario causaría su propia destrucción… ¿o no?

MAD, o estrategia del loco

Misil Trident (dominio público)

¿Qué impide que esta sea la mejor estrategia? Lo impide el hecho de que no sabemos si el otro está loco y va a sacrificarse para castigarnos.

Esto es un juego de palabras en inglés, imposible de traducir. Mad significa loco, pero también son las siglas de Mutual Assured Destruction (Destrucción Mutua Asegurada). A veces también se dice “jugar la carta del loco” como referencia a usar esta estrategia, imagino que en referencia a la carta del comodín.

Este fue el corazón de la Guerra Fría: si tú me atacas, empezará una escalada que nos obligará a ambos a disparar nuestros misiles nucleares y ambos seremos destruidos.^[2] Así que no me ataques. Es más, ni siquiera acerques tus soldados a los míos, no sea que haya un accidente y la liemos.

A menudo se llama a este resultado “suma cero”, pero no en el mismo sentido en que lo hemos utilizado nosotros, sino en el sentido de 1+1=0. Si ambos “ganan” la guerra, ambos resultan destruidos. Y todos los demás, de paso, también.

Curiosamente, cuando la Guerra Fría empezaba a enfriarse (valga la paradoja), y ambos bandos empezaron a reducir su arsenal, fue, según algunos analistas, cuando mayor peligro hubo. En pleno apogeo de la guerra fría, había millones de cabezas nucleares en cada bando (no sé el número, ni siquiera el orden de magnitud, y de hecho tampoco estoy seguro de que realmente esta fuera la situación real, pero sigue el razonamiento sin detenerte en esa menudencia). Si uno lanzaba un ataque preventivamente, es probable que destruyera el 99% de las cabezas nucleares del enemigo cuando aún estaban en sus silos. Pero ese 1% que quedaba seguían siendo miles de cabezas, suficiente para lanzar un contraataque de represalia que aniquilase al primero sin ninguna duda.

En cambio, cuando ambos empezaron a reducir sus arsenales… por ejemplo en vez de millones ya solo había 1.000 cabezas en cada bando… el 99% de destrucción en el primer ataque dejaría 10 cabezas vivas. Suficientes para lanzar un contraataque, sí; dañino, sí; pero no suficiente para aniquilar al otro. A lo peor alguien podría pensar que el coste de sufrir el ataque de esas 10 cabezas era asumible…

En este momento tengo que recordar el estupendo cuento de Arthur C. Clarke “La última orden”:

«― Os habla el presidente. El hecho de que estéis oyendo este mensaje significa que ya he muerto y que nuestro país ha sido destruido. Pero vosotros sois soldados… sois los más adiestrados de toda nuestra historia. Vosotros sabéis obedecer órdenes. Ahora tenéis que obedecer la más dura que jamás habéis recibido…»

Hasta aquí puedo leer. Es un cuento muy cortito (en la edición que yo tengo, no llega a dos páginas), así que si pongo más ya no creo que pudiera acogerme al derecho de cita, y además te lo estropearía. Si no lo has leído, ya estás tardando. Casi lloré la primera vez que lo leí.^[3]

Vamos a dejarlo aquí, mientras damos tiempo a los lectores para ir a repasar las películas y lecturas que hemos recomendado, y para que se sequen las lagrimitas después. En la segunda parte buscaremos otra estrategia, y buscaremos la iteración del juego, acabando con otra forma del juego del gallina que nos resultará más fácil de analizar.

1. Nótese que les hizo agujeros, no les prendió fuego. No sé en qué momento eso se transformó en “quemar”.
2. Se dice que, de ocurrir eso, la escalada sería tan rápida que tardaría apenas una hora en producirse.
3. Nota del editor: parecido, en plan cine, la película “Fail Safe” de Sidney Lumet, con Henry Fonda como presidente de EEUU (Punto Límite en español), de 1964. Extraordinaria, seguramente el mayor alegato antibélico de toda la Guerra Fría. Si no la has visto, ya estás tardando…

Los diputados durante el pleno del Congreso sobre el dictamen de los Presupuestos Generales del Estado para 2010 (20minutos, cc-by-sa)

Hoy vamos a seguir la serie profundizando en la idea de las coaliciones, y de cómo afectan a la toma de decisiones, añadiendo un concepto nuevo: el índice de poder.

De este modo veremos cómo la teoría de juegos se utiliza para el diseño de la política. Para ello nos pondremos a analizar con ojo crítico una democracia con diversos matices, y acabaremos reafirmando que sí, que todos somos demócratas, pero que no estamos de acuerdo en cómo ser demócratas.^[1]

Aunque no es estrictamente necesario para seguir el artículo, quizá quieras revisar el artículo Entendiendo la democracia española, que escribimos ya hace unos meses en otra serie, porque de esa forma podrás aplicar lo que veamos aquí a un caso real.

No, no vamos a solucionar la política, si es lo que estabas preguntándote; solo a plantear un par de preguntas.

Para que el análisis salga como quiero que salga, necesitamos elegir muy cuidadosamente los números de los ejemplos, y eso es muy complicado. Así que en vez de intentar hacerlo yo mismo, arriesgándome a equivocarme, voy a utilizar los mismos números que John Allen Paulos utiliza en su libro “Un matemático lee el periódico”. ¿No lo has leído? Ya estás tardando. Ese y todos los libros de Paulos. “El hombre anumérico” también es excepcional; nos lo recomendó el profesor en la asignatura donde aprendí mis principios de teoría de juegos. El resto no los he leído en detalle, pero por ejemplo en “Un matemático invierte en bolsa” explica un juego que es básicamente el de 2/3 de la media que hemos visto nosotros, y lo relaciona con la bolsa. Tiene otro sobre la religión en que revisa, entre otras cosas, las 5 vías de Santo Tomás. A este ritmo voy a tener que inaugurar una serie con recomendaciones de libros, como los “¿Has leído…?” de Pedro. En Amazon están por unos 10$, y de segunda mano aún más baratos.

El caso es que estamos en un país donde se han producido unas elecciones generales^[2] y, como es un país pequeñito, tenemos 55 congresistas sentados en sus escaños. Ahora, entre ellos tienen que elegir al presidente del gobierno. Lógicamente, cada uno tiene unas preferencias distintas: en función de su ideología política izquierda/derecha, de su centralismo/federalismo, de su relación con la iglesia o de lo que sea. El caso es que tenemos 5 candidatos (Arbeloa, Bermúdez, Camacho, Díaz y Escobar), y 6 grupos de congresistas, agrupados según las preferencias relativas de cada uno ante los cinco candidatos.

A=Arbeloa

B=Bermúdez

C=Camacho

D=Díaz

E=Escobar

Así, hay 10 congresistas que prefieren que el presidente sea Bermúdez, pero si no puede ser, entonces que sea Camacho; y si no, Escobar… y así consecutivamente.

Pero claro, ¿cómo contamos los votos?

Votar y que gane la mayoría

Arbeloa dice que cada congresista debe votar a su candidato, y que sea presidente el que obtenga la mayoría. Sale elegido Arbeloa.

Ejemplo de la vida real: en tu comunidad de vecinos quieren pintar la puerta, y se pueden elegir varios colores. Se vota y como el color que más gente prefiere es fucsia, se pinta fucsia.

Segunda ronda

Camacho sostiene que una mayoría calculada de ese modo no tiene mucho valor, porque el resto podría coaligarse para elegir a otro. Es decir, Arbeloa tiene más gente en contra que a favor. Así que propone una elección a dos vueltas. Primero los congresistas eligen según su preferencia, y los dos primeros se lo juegan en una gran final.

En la primera ronda Arbeloa obtiene 18 votos, Bermúdez 10, Camacho 12, Díaz 9 y Escobar 6. Así que Arbeloa y Camacho pasan a la segunda ronda.

En esta segunda ronda Arbeloa obtiene 18 votos y Camacho 37, siendo elegido presidente Camacho.

Ejemplo de la vida real: la elección presidencial en Francia (y en otros muchos países). De la primera ronda se sacan dos finalistas, a los que se vuelve a votar. Hace unos años resultó que los dos finalistas eran “de derechas” y resultaba muy gracioso como en la “final” los partidos de izquierda pedían el voto para uno de los partidos de derecha… porque el otro era aún más de derechas.

Cinco rondas eliminatorias

Bermúdez dice entonces que la idea de Camacho está bien, pero que en vez de dos rondas habría que hacer cinco, pues hay cinco candidatos. Es decir, que cada congresista vote, se elimina al que peor resultado obtenga y pasamos de ronda y repetimos el proceso.

Entonces, en la primera ronda eliminamos a Escobar (6 congresistas lo prefieren a él) y reajustamos la matriz. En ese caso, la matriz de preferencias queda de la siguiente forma:

Ahora repetimos el proceso. Quien menos apoyos tiene en la primera posición es ahora Díaz, con 9, así que lo eliminamos y reajustamos la matriz para obtener:

Quien menos apoyos de primera mano tiene ahora es Camacho, con 16, quedando:

Finalmente eliminamos a Arbeloa, que tiene 18 votos contra los 37 de Bermúdez. Como era de esperar, la propuesta de Bermúdez lleva a que el elegido sea Bermúdez.

Ejemplo de la vida real: la elección de la ciudad organizadora de los Juegos Olímpicos. Se van eliminando poco a poco por el final.

Votos ponderados

Díaz sostiene que eso tampoco está bien, porque solo se mira la primera preferencia de cada congresista. Así que lo que él propone es que se asignen 5 puntos al primero, 4 al segundo, 3 al tercero… Y que luego se sumen todos los puntos obtenidos, eligiendo presidente a quien más puntos obtenga.

Arbeloa: 18 * 5 + 12  * 1 + 10 * 1 + 9 * 1 + 4 * 1 + 2 * 1 = 127

Bermúdez: 18 * 2 + 12 * 2 + 10 * 5 + 9 * 4 + 4 * 2 + 2 * 4 = 162

Camacho: 18 * 1 + 12 * 5 +10 * 4 + 9 * 2 + 4 * 4 + 2 * 2 = 156

Díaz: 18 * 4 + 12 * 3 +10 * 2 + 9 * 5 + 4 * 3 + 2 * 3 = 191

Escobar: 18 * 3 + 12 * 4 +10 * 3 + 9 * 3 + 4 * 5 + 2 * 5 = 189

¡Qué sorpresa! Gana Díaz.

Ejemplo de la vida real: El Gran Premio de la Canción de Eurovisión. Cada país va dando puntos a los cantantes, y el que más puntos sume, gana.

Duelo hombre a hombre

¿Alguien duda de que Escobar también tiene su método? Su método es comparar hombre a hombre:

Entre Arbeloa y Escobar, 18 apoyarían a Arbeloa, y 37 a Escobar. En el duelo Arbeloa-Escobar, gana Escobar.

Entre Bermúdez y Escobar, 19 apoyarían a Bermúdez y 36 a Escobar. Gana Escobar.

Entre Camacho y Escobar, 22 apoyarían a Camacho y 33 a Escobar. Gana Escobar.

Finalmente, entre Díaz y Escobar, 27 apoyarían a Díaz y 28 a Escobar. Gana Escobar.

Luego es obvio que la mayoría prefiere a Escobar antes que a cualquier otro.

Ejemplo de la vida real: este es el más difícil. Lo más parecido, aunque un poco traído por los pelos, es el de una liga deportiva: todos los equipos se enfrentan entre sí y el que más veces gane (o más puntos tenga) es el campeón.

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Como decíamos al principio, todos tenemos claro que somos demócratas… pero la forma de democracia también influye, y mucho.

No es de extrañar que, tras las elecciones reales, todos los partidos se congratulen por haber ganado… con tantas formas de medir, malo será que no ganen en alguna de ellas.

Índice de poder

Algunos autores proponen introducir un concepto llamado índice de poder.

Lo mejor es verlo en ejemplos sencillos y luego ir complicándolo. Partiremos de los 3 piratas que veíamos en el artículo anterior: Barbanegra, L’Olonnais y Roberts.

Barbanegra tiene una situación en que su voto es decisivo: si L’Olonnais y Roberts están cada uno por su lado. Si Barbanegra apoya a L’Olonnais, ganará la coalición BL, mientras que si apoya a Roberts, ganará la coalición BR. En ningún otro caso su voto resulta determinante. Si L’Olonnais y Roberts ya han formado coalición, el voto de Barbanegra es irrelevante. Por lo tanto solo en un caso su voto es decisivo.

Idéntica situación tiene L’Olonnais: su voto solo es determinante si Barbanegra y Roberts están aún por separado.

Y por supuesto, dado que el juego es simétrico, lo mismo le ocurre a Roberts. El índice de poder de todos ellos es 1.

Bueno, hasta aquí no hemos contado nada que no supiéramos ya del artículo anterior. Vamos a complicarlo un poco.

Supongamos que, en vez de ser tres piratas, estamos hablando de los diputados del congreso. Tenemos 3 partidos representados en el congreso: el Partido A, el partido B y el Partido C. Supongamos que hay 100 escaños, que se reparten de forma lineal al porcentaje de votos obtenidos (descartando abstenciones y votos nulos). Así, PA obtiene el 49% de los votos y por lo tanto 49 escaños. PB obtiene el 35% de los votos (35 escaños) y PC el 16% restante (16 escaños).

Como ya hemos visto en otro artículo de otra serie, una vez que los diputados han sido elegidos, su escaño es suyo y su voto es suyo… pero en la práctica nunca (o casi) votan en contra de lo que decide su partido. Así que, ante una decisión controvertida, los 49 diputados de PA votarán en bloque; lo mismo harán los 35 diputados de PB; y lo mismo los 16 diputados de PC.

Si para tomar una decisión se necesita “mayoría de la mitad más uno”, ¿cuáles son entonces los índices de poder de cada partido?

1, 1 y 1.

Los tres tienen el mismo índice de poder.

Da igual que PC solo represente al 16% de los votantes. Si PA y PB no están de acuerdo, el voto de PC es el decisivo. Exactamente lo mismo que le ocurre a PA: si los otros dos no están de acuerdo, su voto es decisivo; si ya están de acuerdo, su voto es irrelevante. Y por supuesto, lo mismo le ocurre a PB.

Atentos: los tres partidos tienen porcentajes de votos muy dispares, pero sus índices de poder son exactamente iguales. Seguro que puedes recordar alguna situación histórica en que haya ocurrido precisamente eso, y al final (dado que los dos partidos grandes son enemigos irreconciliables), el voto bisagra lo tiene el partido pequeño.

Ahora vamos a irnos al extremo contrario: cuando partidos con una representación altísima no pintan nada. Es lo que ocurre en el caso de que uno de ellos tenga mayoría absoluta.

Supongamos que el Partido A obtiene 51 escaños, el Partido B 48 escaños y el Partido C solo 1. Para cualquier decisión en que necesiten “la mitad más uno”, da igual lo que digan los Partidos B y C: solo importa lo que diga PA. Es decir, el índice de poder de PB y PC es 0, y el de PA es infinito. Y eso que el partido B representa al 48% de los ciudadanos…

¿Aún te extraña que existan democracias donde no vota ni cristo o donde se producen guerras civiles?

Con 3 jugadores solo tenemos esas 2 situaciones: o uno de ellos tiene mayoría absoluta (en cuyo caso, acumula todo el poder) o no la tiene (en cuyo caso, el índice de poder es 1 para los tres jugadores).

Calcular el índice de poder para situaciones en que haya más jugadores no es ni medio trivial (salvo para los casos extremos, como por ejemplo que uno tenga mayoría absoluta). Y no porque conocer esa relación no sea útil. De ese modo, a lo mejor se podría hacer que, como piden algunos autores, el porcentaje de votos de cada formación política no se hiciera corresponder con su representación parlamentaria, sino con su índice de poder. Según estos autores, un partido solo debería sobrepasar el 50% de los escaños si obtuviera el 100% de los votos.^[3]

Como dice el refrán: “en este país, todos llevamos dentro un presidente del gobierno y un entrenador nacional (de fútbol, claro)”. Bueno, pues parece que lo de la política no es tan fácil como nos creíamos…

1. Por si alguien no lo tiene claro, no nos referimos a “partidarios del Partido Demócrata de EEUU”, sino a “partidarios de la democracia”.
2. Ejem… curiosamente, hace unos días tuvimos elecciones municipales y autonómicas en España, pero prometo que el artículo llevaba escrito con esta frase introductoria unos pocos meses.
3. No obstante, esta aproximación traería otros problemas políticos, así que no la toméis como una propuesta seria, solo como un juego. Incluso en nuestras democracias reales, cuando el poder está muy disgregado solo se aprueban leyes triviales, porque solo se ponen de acuerdo en trivialidades; por ejemplo, podemos pensar en el pentapartito italiano de hace unos años.