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Teoría de juegos XXIII – La guerra de sexos (I)




La guerra de sexos existe desde siempre (Fuente: Flikr de tnarik)

El concepto que vamos a introducir hoy ya ha aparecido muchas veces a lo largo de la serie, pero nunca lo hemos nombrado explícitamente. Como siempre, vamos a aprovechar para plantear un juego, analizarlo usando muchos de los conceptos que ya hemos visto, y por el camino explicar un concepto nuevo: la asimetría.

El juego que vamos a analizar hoy es el de la guerra de sexos.

Ana y Alberto, que se están cortejando mutuamente, querrían coincidir en la actividad de esta tarde. Pero a la vez, cada uno tiene gustos distintos, así que les gustaría coincidir, pero en la actividad que a ellos les gusta. Por si más adelante caes en la tentación: no, no se puede coordinar previamente.

Veamos cuál es la matriz de recompensas.

Ana
Tenis Discoteca
Alberto Tenis 3,2 1,1
Discoteca 0,0 2,3

Cada uno de ellos puede decidir ir al Tenis o ir a la Discoteca. En cada celda de la matriz ponemos primero el pago de Alberto y luego el de Ana. Como decimos, ambos están cortejándose mutuamente, así que su mayor pago es cuando coinciden en la elección (es decir, la diagonal de la matriz). Pero claro si coinciden haciendo lo que Alberto quiere, él gana un poquito más (3), mientras que Ana gana mucho, pero no lo máximo (2). Análoga situación tenemos si coinciden pero yendo a la Discoteca.

En los otros dos puntos de la matriz lo que tenemos es que cada uno hace la actividad elegida, pero no coinciden. Si al menos la actividad elegida era la que a ellos les gustaba, reciben un punto de consolación; y si encima tienen la mala suerte de haber elegido la que no les gustaba, ajo y agua.

Juego simétrico

Juego simétrico: es un juego en que los jugadores pueden intercambiar sus estrategias y posiciones sin que cambie el resultado del juego.

Intuitivamente, podemos ver que los juegos como la caza del ciervo, el dilema del prisionero o piedra-papel-tijera eran juegos simétricos. Vamos a recordar aquí la matriz del dilema del prisionero y a hacer cálculos sobre ella.

Albert
Delata Calla
Anny Delata -6,-6 0,-10
Calla -10,0 -1,-1

Cuando el juego se especifica con una matriz de recompensas, suele ser fácil comprobar si es un juego simétrico o no. Para ello se coge la matriz de pagos de uno de los jugadores (veamos la de Anny).

Albert
Delata Calla
Anny Delata -6 0
Calla -10 -1

Luego trasponemos la matriz:

Albert
Delata Calla
Anny Delata -6 -10
Calla 0 -1

Y la comparamos con la matriz de pagos del otro jugador (Albert):

Albert
Delata Calla
Anny Delata -6 -10
Calla 0 -1

¿Coinciden? Sí. Luego es un juego simétrico.

Pero claro, no todos los juegos se pueden especificar con una matriz de pagos, sino que tenemos que usar la forma extensiva. Para esos hay otra forma de comprobarlo. Primero la contamos para el caso de la matriz de pagos (en realidad, si la miras con cuidado, verás que es el mismo procedimiento que hemos contado arriba) y luego lo aplicamos a un juego en forma extensiva.

Elegimos un par de estrategias [x,y] y vemos el pago para el jugador 1. Por ejemplo, elegimos [Calla,Delata] y vemos que el pago de Anny es -10 (si Anny Calla y Albert Delata, Anny cobra -10). Luego intercambiamos las decisiones y buscamos el pago para el otro jugador. Es decir, si elegimos [Delata,Calla], el pago para Albert es -10. ¿Coinciden ambos pagos? Sí. Probamos con otra combinación de decisiones, y otra y otra. Si coincide para todas las posibles combinaciones de decisiones de Anny y Alberto, entonces es simétrico; si al menos para una de las combinaciones no coincide, entonces es asimétrico.

Vamos a aplicarlo a uno de los juegos que hemos visto en forma extensiva. Por ejemplo, el del ciempiés:

Si la decisión es [Continuar,Interrumpir] (es decir, Ana Continúa y Alberto Interrumpe), el pago para Ana es 1. Ahora intercambiamos sus decisiones: [Interrumpir,Continuar][1] y buscamos el pago de Alberto… es 0. ¿0 es igual que 1? No. Luego no necesitamos comprobar más combinaciones: el juego es asimétrico.

Si el juego es infinito, ni siquiera tenemos trucos como este, porque es más difícil definir las recompensas. Solamente podemos intercambiar las estrategias y posiciones de los jugadores y ver si sus ganancias (sea como sea que estén definidas) coinciden.

Y volviendo al juego de la guerra de sexos, ¿es simétrico o no? Pues aunque parezca sorprendente, la guerra de sexos es simétrico… solo que tenemos que buscar bien la simetría.

Si analizamos la matriz de pagos de Alberto:

Ana
Tenis Discoteca
Alberto Tenis 3 1
Discoteca 0 2

La trasponemos:

Ana
Tenis Discoteca
Alberto Tenis 3 0
Discoteca 1 2

Y la comparamos con la matriz de pagos de Ana:

Ana
Tenis Discoteca
Alberto Tenis 2 1
Discoteca 0 3

Pues muy iguales no parecen, no…

Pero si en vez de buscar la diagonal de arriba-izquierda hacia abajo-derecha, buscamos la diagonal de arriba-derecha hacia abajo-izquierda… ¡ahí sí que vemos la simetría!

Ana
Tenis Discoteca
Alberto Tenis 3,2 1,1
Discoteca 0,0 2,3

Esto es así porque estamos describiendo el juego “mal”. Si en vez de poner las decisiones como Tenis y Discoteca, las ponemos como Gusta y Odia, entonces podemos reescribir la matriz de la siguiente forma:

Ana
Gusta Odia
Alberto Gusta 1,1 3,2
Odia 2,3 0,0

Ahora sí vemos claramente la simetría, y si intentamos alguno de los métodos de arriba, veremos que sí se cumplen. Claro, ahora el significado de las decisiones Gusta y Odia hay que interpretarlos en función de qué jugador las haga: Gusta para Alberto es Tenis, mientras que Gusta para Ana es Discoteca (y lo análogo para las demás).

Juego ordinalmente simétrico

Existe una idea más, que es la de juego ordinalmente simétrico. Se trata de un juego que, estrictamente, es asimétrico, pero que en cuanto al orden de los pagos sí es simétrico. No hemos visto hasta ahora ningún juego así, de modo que tenemos que inventárnoslo ahora mismo. Supongamos un juego con la siguiente matriz de recompensas:

Albert
Delata Calla
Anny Delata -6,-3 0,-6
Calla -10,0 -1,-2

Separamos los pagos de Anny y los marcamos en orden de preferencia:

Albert
Delata Calla
Anny Delata -6 (3º) 0 (1º)
Calla -10 (4º) -1 (2º)

Trasponemos la matriz:

Albert
Delata Calla
Anny Delata -6 (3º) -10 (4º)
Calla 0 (1º) -1 (2º)

Y la comparamos con la matriz de pagos de Albert:

Albert
Delata Calla
Anny Delata -3 (3º) -6 (4º)
Calla 0 (1º) -2 (2º)

Vemos que, aunque los valores exactos no son los mismos, el orden de preferencias sí lo es. Por lo tanto es un juego ordinalmente simétrico. Dependiendo de qué estemos buscando en el juego, podría ser que en algunos casos (por ejemplo, considerando solo estrategias puras) la simetría ordinal fuera suficiente para considerar el juego simétrico.

Solución de la guerra de sexos

Pero no queremos quedarnos sin solucionar el juego de la guerra de sexos, ¿verdad?

Bueno, pues siento dejarte con la miel en los labios, pero eso será en la segunda parte. Ya sé que el artículo de hoy no es demasiado largo aún, pero es que lo que nos queda sí es largo y además bastante denso. En algún lado tenía que cortar, y va a ser aquí…

  1. En realidad, la segunda decisión es irrelevante, porque al Interrumpir en el primer turno se acaba el juego, pero bueno. []

Sobre el autor:

J ( )

 

{ 5 } Comentarios

  1. Gravatar Enrique | 28/03/2011 at 08:30 | Permalink

    Muy interesante artículo, como todos los de la serie. Una pequeña errata (creo): parece que la primera matriz tiene una errata, están confundidas las casillas que deberían ser (1,0), (0,1) por (0,0), (1,1)

  2. Gravatar Brigo | 28/03/2011 at 11:17 | Permalink

    Otra errata me parece que de alguna manera Ana y Alberto se transformaron en Anny y Albert! :-)

  3. Gravatar J | 28/03/2011 at 12:36 | Permalink

    Enrique: ¿por qué crees que no debería ser así? Estamos hablando de la primera primerísima matriz, ¿verdad? La que describe el juego, ¿no? Si Alberto va al Tenis, cobra 1 y si Ana va a la Disco, cobra 1.

    Brigo: aunque no descarto haber cruzado alguno que no debía, en general es intencionado. Ana y Alberto nos caen muy bien y juegan al Tenis, mientras que Anny y Albert son unos peligrosos criminales. ;-)

  4. Gravatar Enrique | 28/03/2011 at 01:59 | Permalink

    Uooops, vaya liada, tienes razón, lo había mirado al revés. Habrá sido el cambio de hora :)

  5. Gravatar Verence | 07/04/2011 at 12:17 | Permalink

    Llevo unos cuantos días leyendo esta serie completa, y ahora que por fin me he puesto al día quería daros la enhorabuena por ella. :-)

{ 1 } Trackback

  1. [...] Teoría de juegos XXIII – La guerra de sexos (I), de Javier “J” Sedano, que pode lerse en El Cedazo. Toda a serie Teoría de juegos está publicada en forma de libro, [...]

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