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Teoría de juegos XIV – Dilema del prisionero




A lo largo de la serie hemos visto juegos finitos y juegos infinitos.

Hemos visto que una forma de encontrar una estrategia óptima para los juegos finitos era hacer el backtrack desde las hojas, subiendo por el árbol de decisión, hasta la decisión inicial (o usando la inducción, si era posible). Aquí utilizamos “una” y no “la” intencionadamente, porque ya hemos visto que cuando decimos “óptima” hay que decir óptima respecto a qué. También hemos visto, durante la discusión del juego del ciempiés que la estrategia que proponíamos no acababa de encajar con los resultados empíricos. ¡Y además los empíricos eran mejores!

En el futuro, dedicaremos más artículos a enumerar y formalizar esos procedimientos para encontrar los óptimos, pero antes queremos dedicar un par de artículos (bueno, quizá alguno más) a introducir alguna cosa más, y de paso encontrar estrategias para los juegos infinitos.

Para ello partiremos de un juego que, a poco que hayas oído hablar sobre teoría de juegos, seguro que has oído nombrar: el dilema del prisionero.

Uno de nuestros prisioneros, pensando qué decidir (Wikipedia)

El juego dice algo así:

La policía ha capturado a dos peligrosos criminales,[1] Anny y Albert (no confundir con Ana y Alberto), y los lleva a salas de interrogatorios aisladas. Después de mucho hablar con ellos, la policía descubre que en realidad solo tienen pruebas para inculparles a ambos de un delito menor, por el que apenas cumplirían 1 año de cárcel.

La policía no consigue que ninguno de ellos confiese, así que a cada uno de ellos por separado le ofrece un trato: si es capaz de hacer caer toda la culpa sobre el cómplice (“yo no hice nada, él fue quien disparó, me amenazó con matar a mi hermanita minusválida si lo contaba“), saldrá libre y al otro le caerán 10 años.

La gracia es que la policía ofrece, por separado, el mismo trato a ambos, de modo que si ambos confiesan, se descubre todo el pastel, y cada uno cumpliría 6 años de condena.

Veamos cuál es la matriz de recompensas del juego (las casillas recogen primero el pago para Anny y luego el de Albert):

Albert
Delata Calla
Anny Delata -6,-6 0,-10
Calla -10,0 -1,-1

Nótese que los pagos son negativos, en el sentido de que acabar en la cárcel no es una ganancia, sino una pérdida. Entonces, lo que buscan los jugadores es que su pago sea lo menos negativo posible (lo mayor posible): que les condenen a los mínimos años posibles.

En algunos textos encontraréis el juego con los números en positivo, pero entonces no representan pagos, sino castigos, y el objetivo es conseguir el mínimo castigo posible. Nosotros vamos a seguir la notación de pagos/maximizar para mantenernos consistentes con el resto de la serie (aunque la notación castigos/minimizar nos vendría mejor para cosas que vamos a ver en el futuro, pero bueno).

Nótese también que existe un truco aquí, y es que la policía miente: si ambos Delatan, mirando cada uno de los tratos ofrecidos por separado, debería liberarlos a ambos. Pero la policía incumple su palabra y, si ambos Delatan, ya encuentra pruebas suficientes para meterlos a ambos en el trullo y no respeta los tratos.

Estrategia dominante

Decisión dominante o estrategia dominante: es una decisión tal que, para todas y cada una de las posibles decisiones de los oponentes, tomar dicha decisión es mejor que tomar cualquier otra.

Veámoslo en nuestro dilema del prisionero.

Fijémonos en Anny y separémoslo en las posibles decisiones de Albert. Albert tiene dos posibles decisiones: Delatar o Callar. Si Albert Delata, el array de pagos de Anny es el siguiente:

Delata -6
Calla -10

En cambio, si Albert Calla, el array de pagos de Anny es:

Delata 0
Calla -1

Estudiemos esos dos arrays por un momento. Si Albert Delata, Anny obtiene mejor resultado Delatando (6 años de cárcel) que Callando (10 años de cárcel). Si Albert Calla, Anny obtiene mejor resultado Delatando (0 años de cárcel) que Callando (1 año de cárcel).

Para cualquier decisión de Albert, Anny obtiene siempre mejor resultado Delatando que Callando. Así que Anny debe Delatar. Eso es lo que se llama una decisión dominante o más comúnmente estrategia dominante.

En román paladino, Anny se dice: “si Albert elige Delatarme, mejor le Delato y nos comemos 6 años cada uno que Callarme y comerme 10 años yo sola; si por el contrario Albert decide Callarse, mejor le Delato y salgo libre en vez de Callarme y cumplir un año”.

Por supuesto, Albert debe hacer el mismo análisis, y se observa que Albert también tiene una estrategia dominante: Delatar.

Así, cada uno elige su estrategia dominante (ambos Delatan), y la policía mete en la cárcel a los dos durante 6 años. Fin de la película, ganan los buenos[2].

No todos los juegos tienen una estrategia dominante. Por ejemplo, hemos visto el juego de piedra-papel-tijera. Nótese que no vale con que una decisión sea mejor en un caso dado: tiene que ser mejor para todas las posibles decisiones de los oponentes. Así, aunque Bart Simpson dice que “La piedra es la mejor, nada puede vencerla“, piedra no es una estrategia dominante porque por ejemplo si el oponente eligiera papel, nuestra mejor opción sería tijera. Si rememoráis aquel artículo recordaréis que dedicábamos el final del artículo a describir diversos juegos (incluyendo los Pokémon) en que no existía un tipo claramente vencedor… bueno, pues aquí tenemos la manera pedante de decirlo: no tienen una estrategia dominante.

Por lo tanto, no todos los jugadores en todos los juegos tienen una decisión dominante, pero si la tienen, parece obvio que esa es la que debe seguir el jugador. Eso es lo que debe hacer un jugador racional.

¿O no?

Ejemplos reales

En el siguiente artículo profundizaremos en si esa es realmente la mejor decisión que puede tomar un jugador o no, pero antes vamos a dedicar unos párrafos a encontrar situaciones reales (además de la obvia de dos criminales a los que el fiscal ofrece un trato) que podamos asimilar a este dilema del prisionero. Voy a utilizar los mismos de la Wikipedia, y así nuestros lectores pueden usar los comentarios para poner otros ejemplos:

  • Estrategia militar: dos países en una guerra fría pueden incrementar su armamento (y hacerlo cuesta dinero), o no. Si uno lo incrementa y otro no, el que se armó invade al pacifista. Si ambos lo incrementan, ambos se han gastado un montón de pasta en armamento pero ninguno gana. Si ninguno lo hace, se ahorran el dinero y además ninguno puede invadir al otro porque no es más poderoso. La estrategia dominante es incrementar el armamento.
  • Deportistas: si nadie se dopa, todos están a la par y solo cuentan las habilidades personales. Si todos se dopan, todos están a la par y solo cuentan las habilidades personales. Pero si unos se dopan y otros no… los que no se dopan están en desventaja. Doparse es una estrategia dominante.
  • Marketing de productos: si varias empresas se gastan mucho dinero en publicidad, los consumidores elegirán el mejor producto. Si todas se gastan muy poco, los consumidores elegirán el mejor producto. Pero si unas se gastan mucho y otras muy poco, los consumidores conocerán mucho más a las que se han gastado mucho, y probablemente comprarán más su producto aunque no sea el mejor. Gastar en marketing y publicidad es una estrategia dominante.

¿Se te ocurre alguno más?

  1. Perdón: presuntos criminales. []
  2. Por cierto, que esto mismo dicho con otras palabras es lo que hace que en algunos países los tratos judiciales estén prohibidos: la mejor estrategia de Albert es Delatar a Anny, y la de Anny Delatar a Albert, incluso si ninguno de los dos es culpable. Al final ambos acaban en la cárcel aunque ninguno haya hecho nada malo. []

Sobre el autor:

J ( )

 

{ 19 } Comentarios

  1. Gravatar Daniel García | 29/11/2010 at 02:42 | Permalink

    Por lo que puedo observar, debería adoptar la teoría de juegos pues es una simplificación brillantemente hecha que explica sucintamente cómo la gente toma sus decisiones (además de ser compatible con los heurísticos, la forma en la que la gente toma decisiones -es decir, según sus probabilidades intuitivas-).

    En fin, al grano. Ayer, al ver lo de Wikileaks, no pude evitar reflexionar sobre la diplomacia en general en términos de teoría de juegos: La nación x tiene que relacionarse con la nación y, que tiene un tipo de gobierno radicalmente diferente para obtener algo. En principio, ambas naciones quieren algo: la x, el petróleo; la y, el dinero. Sin embargo, debido a diferencias políticas, geográficas y culturales hay discrepancias. Pueden optar por varias estrategias como la siguiente: uno de los bandos puede ocultar la información y el otro, manipularla. Eso supondría, en principio, un coste menor (menos disturbios sociales). La mejor estrategia es la que menos daño produce a ambos gobiernos, que toman las decisiones.

    Una variante de eso serviría para explicar la relación entre España y Marruecos, por ejemplo (hay intereses en juego como la lucha contra el terrorismo y la cercanía territorial).

  2. Gravatar J | 29/11/2010 at 03:08 | Permalink

    Daniel García:

    “no pude evitar reflexionar sobre la diplomacia en general en términos de teoría de juegos”. Como yo soy medio obsesivo-compulsivo, no puedo evitar reflexionar sobre cualquier_cosa en términos de teoría de juegos (y también en términos de algoritmia y automatización).

  3. Gravatar oldman | 29/11/2010 at 08:47 | Permalink

    Otro ejemplo de estrategia dominante:

    Compra-venta por internet: (C)omprador y (V)endedor se ponen de acuerdo en mercancía y precio.

    (C) quisiera recibir la mercanciía y no enviar el dinero.

    (V) quisiera recibir el dinero y no enviar la mercancía.

    Sin embargo ambos corren menos riesgos si cada uno cumple con el acuerdo comercial.

  4. Gravatar Ozanu | 30/11/2010 at 12:00 | Permalink

    ¡Buenas! Muy curiosa, la teoría de juegos. Mi ejemplo quizás parezca un poco jocoso, pero en algún clásico literario como El Decamerón es defendido por algunos personajes con el mismo argumento:

    Varón y mujer se prometen fidelidad eterna. No obstante, cada uno puede sentir tentaciones y sospechar del otro. Por tanto, la matriz de recompensas y castigos tendría los valores:

    Él: Si es fiel, 0; si es infiel +x. Si ella le es fiel, 0; si ella le es infiel; -y. Ella: Si es fiel, 0; si es infiel +x. Si él le es fiel, 0; si él le es infiel; -y.

    El dilema del prisionero establece que es mejor ser infiel, para poder “compensar” el perjuicio moral derivado de tener cuernos.

  5. Gravatar neofito | 30/11/2010 at 02:27 | Permalink

    Se me ocurre que Anny no debiera adoptar la estrategia dominante, puesto que si es capaz de hacer el análisis indicado, también puede pensar que Albert lo hará, y por tanto que ambos acabarán con 6 años en el trullo. En el planteamiento, la decisión del otro se establece como producto del azar, pero tambien vendrá precedida de un cierto análisis -si esa policía rastrera no les somete a privacion sensorial, etc-. Hay que suponer que ambos tienen idénticas capacidades de razonamiento. Por tanto si cada uno de ellos piensa que el otro pensará del mismo modo que él, Anny debería callar, esperando que Albert llegue a la misma conclusión, porque esa sería la decisión correcta a nivel individual (y a la vez a nivel colectivo).

    Pudiera ser que, aunque no se trate de una “decisión” (al menos no consciente), un ejemplo de esta conducta sería la estrategia de huida o enfrentamiento de una pareja de pájaros ante un depredador mayor. Si uno huye, el daño propio es menor (pierde comida o puesta, pero salva la vida), y “pringa” el otro. Pero si ambos huyen pierden ambos comida y puesta, e incluso alguno -al azar- pierde la vida . Si ninguno huye y se enfrentan al depredador hay mas posibilidades de que ambos ganen/no pierdan nada (dentro de unos límites, por ejemplo grajillas y halcones). Si los genes pensaran, podríamos decir que la decisión del “gen del valor” y/o de “la agresividad” sería la adecuada, siempre que estuviera presente ese gen tambien en su compañero. Es decir, la estrategia de juego del “gen del valor” es superior a la del jugador racional, al menos como la he entendido aquí.

  6. Gravatar J | 30/11/2010 at 08:26 | Permalink

    neofito:

    la decisión del otro se establece como producto del azar

    No, nada impide hacer el razonamiento que tú has hecho. La potencia de la estrategia dominante (si existe) es que es mejor decisión sea cual sea la decisión del otro (por definición: esa es justo la definición de estrategia dominante). Da igual si el otro elige al azar, pensando mucho o interpretando los posos del café: la estrategia dominante es mejor para cualquier decisión de otro, independientemente de por qué la tome.

    Por si acaso: la primera vez que jugué a esto, hice básicamente el mismo razonamiento que tú… y perdí.

    Anny debería callar, esperando que Albert llegue a la misma conclusión

    Dale una vuelta de tuerca más. Si Anny llega a esa deducción, ¿cree que Albert va a Callar entonces? Perfecto, entonces el mejor resultado para ella es Delatar y salir libre. Y luego dale otra y otra y otra…

    El segundo párrafo no lo comento, porque en cierto modo es de lo que trata el siguiente capítulo.

  7. Gravatar Cristhian | 05/12/2010 at 11:15 | Permalink

    Podemos decir que delatar es actuar por uno mismo y callar es cooperar, si vemos de esa forma, vemos por qué el capitalismo es estrategia dominante y el socialismo es utópico.

    Me es curioso que Mises haya establecido su teoría en base a la teoría de juegos, sin mencionarla en su libro, no sé si tuvo conocimiento de ella, pero su planteamiento es exactamente igual que aquí, de la forma en que lo dice oldman.

  8. Gravatar Cristhian | 08/12/2010 at 10:51 | Permalink

    Luego podemos decir que puede existir una entidad coactiva que forze a las personas a cooperar entre ellas, en vista que es mejor -1, -1, que -6, -6, de allí vemos que el colectivismo forzosamente es totalitarista, y que el individualismo forzosamente es libertarista.

  9. Gravatar Pinusman | 26/09/2011 at 12:25 | Permalink

    La desgracia de los comunes he leído por ahí que llaman a esto de tomar una decisión errónea por no fiarse del otro- la desconfianza es como una mochila llena de piedras que te cargas gratuitamente a las espaldas, y una vez cargado tienes menos opciones para escapar o para llegar antes y en mejor estado a donde quieras ir-, el caso se puede ver claro en lo que está pasando con la pesca en el mundo mundial. El mar es de propiedad común, es de todos y no es de nadie, todos los pescadores saben- hoy sí lo saben todos- que si no se respetan las moratorias el pescado se agotará y será malo para todos, será una ruina, sin embargo como no se fían del vecino pues salen a pescar, porque si él sigue pescando y yo me quedo aquí quieto ” como un tonto” lo único que consigo es hacer el ridículo, y por tanto salgo a pescar; como esto es lo que piensan todos pues ya está. Pero lo que me llama la atención es que esta manera de pensar nos la han inculcado esos señores que tanto hablan de la competencia, la competitividad, la lucha entre individuos de la misma en la que sobrevive el mejor…no sigo porque creo que ya está claro. Esa idea viene siendo desde hace dos siglos o más la imperante en el mundo”civilizado”, Malthus, Darwin…Entonces qué esperamos? Con todos los respetos.

  10. Gravatar J | 27/09/2011 at 06:46 | Permalink

    Pinusman: sigue avanzando en la serie, porque más adelante le dedicamos un artículo a la tragedia de los comunes.

  11. Gravatar Ty | 30/09/2011 at 08:46 | Permalink

    Desafortunadamente la corrupción también es una estrategia dominante, por la misma razón que el dopaje: si sabes que hay otros “jugadores” con ventaja, sería “tonto” no buscar tambien dicha ventaja… Y en serio la sociedad llega a aceptar que es tonto ser honesto y te lo inculca… y entonces ya no puedes confiar en nadie… etc. La “tragedia de los Estados” es muy real.

  12. Gravatar LFJ | 16/10/2011 at 07:03 | Permalink

    Creo que la apuesta de Pascal esta basada en una matriz de “pagos” parecida y asi y todo existen personas que no elegimos la estrategia dominante (creer)

  13. Gravatar J | 16/10/2011 at 12:44 | Permalink

    LFJ: es un ejemplo interesante, pero sería muy útil si lo desarrollaras un poco, para comodidad de los contertulios que no la conozcan.

  14. Gravatar LFJ | 17/10/2011 at 05:15 | Permalink

    Basicamente ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,Dios no existe Dios si existe creeo en Dios … 0 …………… Vida eterna no creo en Dios —- 0 ……………. Fuego Eterno

    Me conviene entonces mi estrategia optima creer en Dios. No se si se aplica al caso de dilema del prisionero u otro, pero el punto es que en la realidad, no todas las personas eligen esta opcion. Entonces debe haber otros pagos no considerados en la matriz que invalidan la apuesta de Pascal, de lo contrario el ateo seria considerado una persona que , ironicamente, tiene un comportamiento irracional.

  15. Gravatar J | 17/10/2011 at 07:48 | Permalink

    LFJ,

    Jo, casi no se ve la tabla. La reescribo

    ……………Dios existe…….Dios no existe

    Creo………Paraiso…………Nada

    NoCreo…..Infierno………..Nada

    No es el dilema del prisionero, pero sí es un ejemplo bueno de estrategia dominante. Con esa matriz de pagos, la estrategia dominante es Creer.

    El argumento, no obstante, está más que rebatido, básicamente diciendo de diversos modos que esa matriz de pagos no representa la decisión que hay que tomar ni sus recompensas… o incluso el hecho de que Creer/NoCreer (en el sentido de fe, de “creo en Dios”, no en el sentido de “creo que mañana iré al cine”) no es una decisión. Pero no quiero entrar en eso, para no desviar la atención del concepto de estrategia dominante: si asumimos que esa matriz de pagos es correcta, entonces efectivamente, Creer es una estrategia dominante.

    Más detalles: http://es.wikipedia.org/wiki/Apuesta_de_Pascal

  16. Gravatar Gustavo | 20/10/2013 at 06:14 | Permalink

    Pues yo no creo que en el dilema del prisionero la estrategia dominante sea delatar.

    Hablando de teoría de juegos, que mejor que teoría del ajedrez. Si bien hay principios y teoría en ajedrez, que las podríamos llamar “estrategias dominantes” (p.ej. las torres deben apoyar a los peones avanzados, ocupar el centro o controlarlo etc…), el gran Alekhine nos enseñó que cada posición tienen sus particularidades. No es raro ver en las partidas de Alekhine movimientos en contra de la teoría de ajedrez, pero tras una análisis minucioso, uno se da cuenta que son muy armónicos y acordes a la posición, revelando particularidades y detalles que escapan a la teoría general. (NB: Otro que solía jugar en contra de la teoría del ajedrez fue Lasker, pero este lo hacía por factores puramente psicológicos. Permitidme, hablar de ajedrez sin hablar de Lasker es como hablar de electricidad sin mencionar a Tesla. Cada campeón mundo de ajedrez destacó por aportar una nueva dimensión al juego, Steinitz el juego posicional, Lasker el juego psicológico, Capablanca la técnica, Botvinnik la teoría de aperturas etc…, en un juego tan científico, donde muchas posiciones son poco más que problemas geométricos, fue Lasker el jugador psicológico el que retuvo el título mundial durante más tiempo…. 27 años!!!… Con 52 años de edad jugandose el título contra un joven Capablanca, tuvo que retirarse por su frágil estado de salud. 3 años después de perder el título, se impuso en el Torneo de Nueva York derrotando a doble vuelta a toda la élite mundial incluido al actual campeón Capablanca y al aspirante Alekhine.)

    En el dilema del prisionero, demasiado simplista es el array de pagos. Hay que tener en cuenta las particularidades y detalles de la situación. Si yo le delato, y él calla, pasados 10 años cuando él salga de la cárcel ¿que hará?, en la matriz de pagos junto a la opción de 0 años (en caso uno delate y otro calle) hay que añadir otro pago: la venganza. Pero claro, venganzas hay muchas, supongamos que decide vengarse con alguna acción que equivalgan a los 10 años que ha pasado el otro en la cárcel (no creo que se contente con llamarle al timbre y dejarle una bolsa llena de excrementos prendida), al final la matriz de pagos, no queda tan bonita para el que delata: 1º. Yo delato + él delata: te comes 6 años, y los dos en paz, 2º. Yo delato + él calla- quedas libre y al cabo de 10 años tendrás que realizar otro pago en concepto de venganza equivalente a 10 años de cárcel. O sea que si deltas: te comes 6 años, o dentro de 10 años te comes algo equivalente a 10 años de cárcel.

    Yo desde luego eligiría siempre callar, y si me tengo que comer 10 años porque el otro me ha delatado… que se prepare cuando salga… también habría que suponer que el otro prisionero pensará en las posibles represalias en caso que te delate, creo que por el miedo a la venganza se impone la estrategia del callar. Y podría haber más detalles… que pasa si pertenecen a alguna sociedad elitista, o son amigos desde pequeños?… y si son hermanos? pensáis que la estrategia dominante sigue siendo delatar?.

    Desde luego que el que se deje guiar por las matemáticas y delate, o es un tipo muy valiente o anda escaso de inteligencia emocional, las matemáticas no sienten empatía.

    Sin tener en cuenta los detalles no se puede decir que una u otra estrategia sea dominante, y sucede que cada caso es particular, no encontraremos 2 prisioneros con la misma relación entre ellos, ni vistos 100 casos de este tipo, veremos dos de ellos que tengan exactamente las mismas particularidades y detalles.

    Creo que estos principios y teoría de juegos sirven de anteojos al que es corto de vista, o para un análisis general. Pero dada una situación concreta, con sus detalles y condiciones, las particularidades imponen la estrategia dominante, la teoría y los principios quedan al margen.

  17. Gravatar J | 21/10/2013 at 07:29 | Permalink

    Gustavo,

    lo que comentas es una crítica muy habitual. Se puede resumir en: la matriz de pagos no refleja la realidad, luego cualquier análisis que hagas a partir de ella es inútil. Parte de razón tiene (1), sigue leyendo la serie y verás que lo decimos más adelante.

    Pero con esa matriz de pagos, delatar es estrategia dominante. Puedes poner otra matriz, si crees que representa mejor la realidad, pero entonces ya no es el juego del dilema del prisionero, sino el juego del “dilema de Gustavo” o algo así. Es como si te digo, ya que veo que te gusta el ajedrez, que las teorías, estrategias, tratados que hay sobre el ajedrez son incorrectas porque la guerra es mucho más complicada que el ajedrez.

    (1): solo parte de razón. Cualquier modelo matemático de la realidad necesariamente tiene que simplificar y dejar cosas fuera si quiere servir para algo.

  18. Gravatar Gustavo | 30/10/2013 at 03:02 | Permalink

    No pretendo imponer mi juego, y quizá inconscientemente hable de representar la realidad, tampoco pretendo que la teoria del ajedrez sea absoluta, ni pretendo que emule a la guerra. Precisamente digo todo lo contrario, que las teorias y principios, ya sean del juego, del ajedrez o de los militares, sólo sirven para entender un poco mejor una situación, pero ni por asomo tiene en cuenta todos los factores, ni se pueden aplicar en la práctica a rajatabla las soluciones que de ellas se deriven.

  19. Gravatar Xuglurz.Cl | 22/02/2015 at 11:14 | Permalink

    Hola J, Pedro y a todos quienes habitualmente han comentado en esta serie y en el tamiz. Primero gracias por este gran aporte y por mantener publicados estos artículos durante todo este tiempo. Ha sido como encontrar un tesoro en una cápsula del tiempo. Genial!! Desde hace un breve tiempo soy adicto a las publicaciones de El Tamiz y ya he devorado varias secciones (ojalá Pedro continúe la serie de Alienigenas Matemáticos de la cual soy fan, así como también de Transbiblio). Mis felicitaciones también al profesor J que ha logrado hacer muy comprensible, didáctico y entretenido aprender sobre la teoría de juegos. PD: espero que Pedro no se moleste por haber tomado el término Xuglurz prestado, pero como humano común y Silvestre a veces me siento entre Alienigenas matematicos por los excelentes comentarios que se publican. ¡Un gran saludo!

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