Explorando el álgebra geométrica – 19 – Rotaciones en el espacio euclídeo tridimensional (IV)

La serie dedicada al álgebra geométrica sigue con otra entrada dedicada al tema de las rotaciones en el espacio euclídeo tridimensional. En particular veremos la composición de rotaciones, no en torno a ejes fijos en el espacio, sino solidarios al cuerpo rígido que se rota. En aviación, por ejemplo, se utiliza el sistema de ejes de alabeo, cabeceo y guiñada, solidarios a la aeronave. En Física se utilizan los llamados ángulos de Euler, que son ángulos de rotación en torno a determinados ejes solidarios con el cuerpo a rotar. Demostraré un resultado muy simple que relaciona la composición de rotaciones aplicadas en torno a los ejes solidarios al cuerpo con la composición de rotaciones en torno a ejes fijos en el espacio.

Es frecuente tener que componer rotaciones sucesivas de un cuerpo rígido en torno a ejes no fijos en el espacio, sino solidarios al cuerpo que se rota. Un ejemplo clásico son los ejes de rotación principales de un avión: el eje longitudinal, que va longitudinalmente a lo largo del fuselaje del avión, el eje lateral, perpendicular al anterior, y que va paralelo a la línea que une las puntas de las alas del avión, y finalmente el eje vertical, que es perpendicular a los otros dos. Los tres ejes se cortan en el centro de gravedad de la aeronave. El ángulo de rotación en torno al eje longitudinal, que sigue a lo largo del fuselaje, se conoce como ángulo de alabeo (en inglés, roll), el ángulo de rotación en torno al eje que va paralelo a la recta que une las puntas de las alas se conoce como ángulo de cabeceo (en inglés, pitch), y el ángulo en torno al eje vertical del avión se conoce como ángulo de guiñada (en inglés, yaw).

Los ejes del avión, asociados a los correspondientes giros: alabeo, cabeceo y guiñada. (Wikimedia)

Por otra parte, en Física se utilizan los llamados ángulos de Euler para describir la orientación de un sistema de referencia ortogonal asociado a un sólido rígido. En Mecánica Clásica, la convención habitual es tomar los ejes $\mathbf{ZX^{\prime}Z^{\prime\prime}}$ , es decir, primero se da el ángulo que se ha de girar en torno al eje $\mathbf{Z}$ original (que vendría a ser el eje asociado al ángulo de guiñada en la anterior figura del avión), a continuación se daría el ángulo que hay que girar en torno al eje $\mathbf{X^\prime}$ (el resultado de haber girado el eje $\mathbf{X}$ inicial por el primer giro en torno al eje $\mathbf{Z}$ : podríamos identificar el eje $\mathbf{X^\prime}$ con el correspondiente a un ángulo de alabeo), y finalmente una tercera rotación en torno al eje $\mathbf{Z^{\prime\prime}}$ (el resultado de haber girado el eje $\mathbf{Z}$ inicial por el primer giro en torno al eje $\mathbf{Z}$ y a continuación por el segundo giro en torno al eje $\mathbf{X^\prime}$ : podríamos identificar el eje $\mathbf{Z^{\prime\prime}}$ con un nuevo ángulo de guiñada. En Mecánica Cuántica lo habitual es seguir la convención $\mathbf{ZY^{\prime}Z^{\prime\prime}}$ (en vez de tomar el eje $\mathbf{X}$ rotado, se toma el eje $\mathbf{Y}$ rotado por el primer giro). También, por abuso del lenguaje, se habla a menudo de “ángulos de Euler” cuando se sigue la convención $\mathbf{XY^{\prime}Z^{\prime\prime}}$ , es decir, la convención usada en aviación: tomar sucesivamente alabeo, cabeceo y guiñada. El resultado que voy a demostrar es totalmente independiente de la convención que se siga.

Se plantea, pues, la cuestión de cómo tratar la rotación resultante de componer rotaciones en torno a estos ejes solidarios al cuerpo que rota, ya que hay que tener en cuenta que una vez el cuerpo ha realizado la primera rotación estos ejes habrán rotado a su vez. El álgebra geométrica permite deducir rápidamente un resultado muy interesante:

El resultado de combinar dos rotaciones sucesivas respecto a ejes solidarios a un cuerpo rígido que se cortan en un punto es el mismo que el de combinar las rotaciones respecto a los ejes fijados en su posición inicial, pero en orden inverso.

Veámoslo.

Composicion de rotaciones alrededor de ejes de rotación solidarios al cuerpo

Supongamos los ejes de rotación ${\color{Peach}\hat{\mathbf{n}}_1}$ y ${\color{Fuchsia}\hat{\mathbf{n}}_2}$ empotrados y solidarios a un cuerpo rígido. Rotamos primero el cuerpo alrededor del eje naranja ( ${\color{Peach}\hat{\mathbf{n}}_1}$ ) un ángulo ${\color{Peach}\alpha}$ , y a continuación lo volvemos a rotar un ángulo ${\color{Fuchsia}\beta}$ en torno al eje lila, que ahora ya no será el original, ${\color{Fuchsia}\hat{\mathbf{n}}_2}$ , sino su versión rotada alrededor de ${\color{Peach}\hat{\mathbf{n}}_1}$ , o sea, ${\\color{Fuchsia}\\hat{\\mathbf{n}}^{\\prime}_2}$ (la versión en trazo discontinuo y de tonalidad más clara). Pues bien, esta sucesión de rotaciones es equivalente a haber hecho en primer lugar la rotación de ángulo ${\color{Fuchsia}\beta}$ en torno al eje dado por el vector ${\color{Fuchsia}\hat{\mathbf{n}}_2}$ (o sea, en su posición original), y en segundo lugar la rotación de ángulo ${\color{Peach}\alpha}$ alrededor del eje dado por el vector ${\color{Peach}\hat{\mathbf{n}}_1}$ (también en su posición original).

Tenemos un cuerpo rígido en el que se han distinguido dos ejes solidarios a él (fijaos que ni siquiera supongo que son perpendiculares entre sí) que parten de su centro de gravedad, caracterizados (en la posición inicial, antes de la primera rotación) por los vectores ${\color{Peach}\hat{\mathbf{n}}_1}$ y ${\color{Fuchsia}\hat{\mathbf{n}}_2}$ . Calcularemos la rotación resultante de aplicar primero una rotación de ángulo ${\color{Peach}\alpha}$ en torno al primer eje, y a continuación otra rotación de ángulo ${\color{Fuchsia}\beta}$ en torno al segundo eje. El rotor asociado a la primera rotación no ofrece ningún problema para determinarlo, y ya sabemos que es:

$\mathbf{R}_1 = e^{\frac{\alpha}{2} \mathbf{I} \mathbf{\hat{\mathbf{n}}_1}} = \cos \frac{\alpha}{2} + \mathbf{I} \mathbf{\hat{\mathbf{n}}_1}\operatorname{{\textrm{sen}} \frac{\alpha}{2}$

Para escribir el rotor asociado a la segunda rotación habrá que tener en cuenta que el eje de rotación ya no viene dado por el vector ${\\color{Fuchsia}\\hat{\\mathbf{n}}_2}$ , porque habrá rotado por efecto de la primera rotación. Por tanto, el vector asociado al nuevo eje, que llamaré ${\\color{Fuchsia}\\hat{\\mathbf{n}}^{\\prime}_2}$ , será el resultado de aplicar la primera rotación a ${\\color{Fuchsia}\\hat{\\mathbf{n}}_2}$ . Es decir:

${\\color{Fuchsia}\\hat{\\mathbf{n}^\\prime}_2} = \\widetilde{\\mathbf{R}}_1 {\\color{Fuchsia}\\hat{\\mathbf{n}}_2} \\mathbf{R}_1$

Y, por tanto, como el valor del ángulo de la segunda rotación será $\beta$ , el rotor asociado a la segunda rotación será:

$\mathbf{R}_2 = e^{\frac{{\color{Fuchsia}\beta}}{2} \mathbf{I {\color{Fuchsia}\mathbf{\hat{\mathbf{n}^\prime}_2} }} } = \cos \frac{{\color{Fuchsia}\beta}}{2} + \mathbf{I} {\color{Fuchsia}\mathbf{\hat{\mathbf{n}}^\prime}_2}\operatorname{sen} \frac{{\color{Fuchsia}\beta}}{2} =$

$\cos \frac{{\color{Fuchsia}\beta}}{2} + \mathbf{I} \widetilde{\mathbf{R}}_1 {\color{Fuchsia}\mathbf{\hat{\mathbf{n}}_2}} \mathbf{R}_1 \operatorname{sen} \frac{{\color{Fuchsia}\beta}}{2} =$

$\widetilde{\mathbf{R}}_1 \cos \frac{{\color{Fuchsia}\beta}}{2} \mathbf{R}_1 + \widetilde{\mathbf{R}}_1 \mathbf{I} {\color{Fuchsia}{\mathbf{\hat{\mathbf{n}}_2}}} \operatorname{sen} \frac{{\color{Fuchsia}\beta}}{2} \mathbf{R}_1 = \widetilde{\mathbf{R}}_1 \left( \cos \frac{{\color{Fuchsia}\beta}}{2} + \mathbf{I} {\color{Fuchsia}\mathbf{\hat{\mathbf{n}}_2}} \operatorname{sen} \frac{{\color{Fuchsia}\beta}}{2} \right) \mathbf{R}_1 =$

Fijémonos que a esta segunda rotación en torno a ${\\color{Fuchsia}\\hat{\\mathbf{n}}^{\\prime}_2}$ no la he llamado $\mathbf{R_2}$ , sino $\mathbf{R^{\prime}_2}$ , para enfatizar que no se hace en torno al eje del vector ${\\color{Fuchsia}\\hat{\\mathbf{n}}_2}$ , sino en torno al eje del vector ${\\color{Fuchsia}\\hat{\\mathbf{n}}^{\\prime}_2}$ . De hecho, del mismo modo que ${\\color{Fuchsia}\\hat{\\mathbf{n}}^{\\prime}_2}$ es el vector ${\\color{Fuchsia}\\hat{\\mathbf{n}}_2}$ tras haberle aplicado la rotación asociada al rotor $\mathbf{R}_1$ , tenemos que el rotor asociado al eje rotado es la correspondiente “rotación del rotor”:

$\mathbf{R^\prime_2} = \widetilde{\mathbf{R}}_1 \mathbf{R}_2 \mathbf{R}_1$

donde $\mathbf{R_2}$ es, naturalmente, el rotor asociado a la misma rotación, pero hecha en torno al eje dado por el vector ${\\color{Fuchsia}\\hat{\\mathbf{n}}_2}$ , y viene dado por la expresión que hace unos momentos aparecía entre paréntesis en mitad de un “sandwich multiplicativo”:

$\mathbf{R_2} = \cos \frac{{\color{Fuchsia}\beta}}{2} + \mathbf{I} {\color{Fuchsia}\mathbf{\hat{\mathbf{n}}_2}} \operatorname{sen} \frac{{\color{Fuchsia}\beta}}{2}$

Todo esto es coherente con la afirmación hecha en la entrada 16: la rotación de un elemento $\mathbf{M}$ de una álgebra geométrica, sea escalar, vector, bivector, trivector o multivector homogéneo o no homogéneo (como es el caso de un rotor) se obtiene siempre de multiplicarlo a derecha e izquierda, respectivamente, por el rotor asociado a la rotación, y su correspondiente rotor revertido. Así pues, si queremos aplicar a un objeto $\mathbf{M}$ una primera rotación $\mathbf{R_1}$ respecto al eje dado por el vector ${\color{Peach}\hat{\mathbf{n}}_1}$ seguida de una rotación $\mathbf{R^{\prime}_2}$ en torno a un segundo eje solidario al objeto que se rota (cuyo vector asociado es inicialmente ${\\color{Fuchsia}\\hat{\\mathbf{n}}_2}$ pero que tras la primera rotación pasa a ser ${\\color{Fuchsia}\\hat{\\mathbf{n}}^{\\prime}_2}$ ):

$\mathbf{M^\prime} = \widetilde{\mathbf{R}}^\prime_2 \widetilde{\mathbf{R}}_1 \mathbf{M} \mathbf{R_1} \mathbf{R^\prime_2} =$

que, tras simplificar, acaba dando:

$\widetilde{\mathbf{R}}_1 \widetilde{\mathbf{R}}_2 \bcancel{\mathbf{R_1}} \bcancel{\widetilde{\mathbf{R_1}}} \mathbf{M} \cancel{\mathbf{R_1}} \cancel{\widetilde{\mathbf{R}}_1} \mathbf{R_2} \mathbf{R}_1 = \widetilde{\mathbf{R}}_1 \widetilde{\mathbf{R}}_2 \mathbf{M} \mathbf{R_2} \mathbf{R}_1$

Y ahí lo tenemos. Habíamos aplicado una primera rotación (de rotor $\mathbf{R_1}$ ) en torno al eje dado por el vector ${\color{Peach}\hat{\mathbf{n}}_1}$ , seguida por una segunda rotación (de rotor asociado $\mathbf{R^{\prime}_2}$ ), en torno al eje dado por el vector ${\\color{Fuchsia}\\hat{\\mathbf{n}}^{\\prime}_2}$ , que a su vez no es más que el vector ${\\color{Fuchsia}\\hat{\\mathbf{n}}_2}$ afectado por la primera rotación, o sea, la versión de ${\\color{Fuchsia}\\hat{\\mathbf{n}}_2}$ que se va moviendo solidariamente con el cuerpo rotado, y vemos que el resultado es idéntico a haber aplicado las mismas rotaciones, pero en orden inverso (primero hace la rotación de ángulo $\beta$ y después la de ángulo ${\color{Peach}\alpha}$ ) y además alrededor de los ejes originales, que no se han movido con el cuerpo. La rotación equivalente tiene un rotor $\mathbf{R}$ asociado que podemos expresar de dos formas diferentes:

$\mathbf{R} = \mathbf{R}_1 \mathbf{R}^\prime_2 = \mathbf{R}_2 \mathbf{R}_1$

¿Y si añadimos una tercera rotación en torno a otro eje solidarios al cuerpo? Tendríamos una rotación asociada a un rotor $\mathbf{R_1}$ (eje de rotación ${\color{Peach}\hat{\mathbf{n}}_1}$ ), seguida de una rotación de rotor asociado $\mathbf{R^\prime_2} = \widetilde{\mathbf{R}}_1 \mathbf{R}_2 \mathbf{R}_1$ , todo exactamente igual que hasta ahora, y finalmente una tercera rotación, $\mathbf{R}^{\prime\prime}_3 = \widetilde{\mathbf{R}}^\prime_2 \mathbf{R}^\prime_3 \mathbf{R}^\prime_2 = \widetilde{\mathbf{R}}^\prime_2 \widetilde{\mathbf{R}}_1 \mathbf{R}_3 \mathbf{R}_1 \mathbf{R}^\prime_2$ , que sería una rotación de ángulo ${\color{OliveGreen}\gamma}$ , en torno a un eje asociado a un vector unitario ${\color{OliveGreen}\hat{\mathbf{n}}^{\prime\prime}_3}$ , que a su vez podemos expresar como procedente, como resultado de la rotación con rotor asociado $\mathbf{R^{\prime}_2}$ de un vector ${\color{OliveGreen}\hat{\mathbf{n}}^\prime_3}$ , el cual, a su vez, es también resultado de aplicar la rotación de rotor $\mathbf{R_1}$ al vector ${\color{OliveGreen}\hat{\mathbf{n}}_3}$ , que da el eje en la posición inicial del cuerpo a rotar. Por tanto, el rotor $\mathbf{R}$ equivalente a realizar las tres rotaciones sucesivas será:

$\mathbf{R} = \mathbf{R}_1 \mathbf{R}^\prime_2 \mathbf{R}^{\prime\prime}_3 = \mathbf{R}_1 \left(\widetilde{\mathbf{R}}_1 \mathbf{R}_2 \mathbf{R}_1 \right) \left(\widetilde{\mathbf{R}}^\prime_2 \widetilde{\mathbf{R}}_1 \mathbf{R}_3 \mathbf{R}_1 \mathbf{R}^\prime_2\right) = \mathbf{R}_1 \left( \widetilde{\mathbf{R}}_1 \mathbf{R}_2 \mathbf{R}_1 \right) \left( \widetilde\mathbf{{R}}_1 \widetilde{\mathbf{R}}_2 \mathbf{R}_1 \widetilde{\mathbf{R}}_1 \mathbf{R}_3 \mathbf{R}_1 \widetilde{\mathbf{\mathbf{R}}}_1 \mathbf{R}_2 \mathbf{R}_1 \right)$

$= \cancel{\mathbf{R}_1} \cancel{\widetilde{\mathbf{R}}_1} \mathbf{R}_2 \bcancel{\mathbf{R}_1} \bcancel{\widetilde{\mathbf{R}}_1} \widetilde{\mathbf{R}}_2 \cancel{\mathbf{R}_1} \cancel{\widetilde{\mathbf{R}_1}} \mathbf{R}_3 \bcancel{\mathbf{R}_1} \bcancel{\widetilde{\mathbf{R}}_1} \mathbf{R}_2 \mathbf{R}_1 = \cancel{\mathbf{R}_2} \cancel{\widetilde{\mathbf{R}}_2} \mathbf{R}_3 \mathbf{R}_2 \mathbf{R}_1 = \mathbf{R}_3 \mathbf{R}_2 \mathbf{R}_1$

Y ahí está otra vez. El rotor correspondiente a la composición las tres rotaciones sucesivas, de ángulos ${\color{Peach}\alpha}$ , ${\color{Fuchsia}\beta}$ y ${\color{OliveGreen}\gamma}$ en torno a los respectivos ejes solidarios al cuerpo ha quedado expresado como el correspondiente a la composición de las tres rotaciones, pero en orden invertido y en torno a los ejes en su posición original de partida, no los solidarios al cuerpo.^[1]

Y con esta entrada dejamos el tema de las rotaciones en el espacio tridimensional. En las próximas entradas veremos conceptos que habían quedado pendientes de mayor desarrollo, como el de multivectores simples y compuestos, o la generalización de producto interior y exterior a multivectores de grado superior a 1, antes de pasar a aplicaciones en Matemáticas y Física.

Tampoco es difícil generalizar este resultado a la composición de un número arbitrario de rotaciones en torno a ejes solidarios al cuerpo rotado, utilizando para ello el método de inducción. [↩]

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{ 5 } Comentarios

Rafael | 14/05/2022 at 10:19 | Permalink

Qué alegría una nueva entrega de la serie después de tanto tiempo. Muchas gracias
jlese | 16/05/2022 at 05:21 | Permalink

Sí, ya era hora. Yo también me alegro de que sigáis por aquí.
Jose | 16/06/2022 at 03:10 | Permalink

Me has dado una inmensa alegría. Temía que no publicases este capítulo. Tardaré como poco un mes en estudiar este capítulo, leer mas, y entender un poco más las matemáticas abstractas. Gracias a ti se que obtendré el enorme placer de entender algo tan complicado.

No puedo escatimar elógios: Tu serie del algebra geométrica es una maravilla, Un ejemplo de explicación clara, explicado paso a paso, resumido a lo mas indispensable y con detalles históricos. Por favor, publica la serie en formato libro papel, que lo agradecerán todos los estudiantes universitarios.

Admiro la de horas de trabajo que te ha debido llevar esta serie de articulos. Que seguro no has ganado un euro. Tu labor pedagógica es impagable y no tiene precio. Envidio a tus alumnos. Hasta me has inspirado a hacerme un programita en octave para resolver el cubo de rubik por tres metodos distintos con el que he presumido mucho con los amigos. (Nunca quise leer las soluciones)

Ojalá tengas tiempo, paciencia, amabilidad y generosidad para regalarnos otra serie de matemáticas Te deseo lo mejor y te mereces una estatua por pedagogo y comuicador.

Aprovecho para extender mi felicitación y admiración a todos los que haceis series en el Tamid y el Cedazo P.ejem: La series de maxwell y de alienigenas matemáticos son ejemplos de claridad y humor didáctico.

Un abrazo a todos.
Jose | 16/06/2022 at 04:03 | Permalink

Breve pero aleccionador. Tu nuevo articulo me acaba de confirmar el motivo por el que fracasé con las matemáticas: – Me creí lo que me obligaron a aprender en mi infancia ( si , soy un viejo que tuvo profesores franquistas que te obligaban a creer y no a pensar, a base de hostias) – Me creí la frase: ” el orden de los factores no altera el producto” . Eso solo funciona en los nº reales , El orden es importantisimo – No tuve el valor de desafiar falsedades que todo el mundo daba por cierto. – No supe buscar documentación y encontrar maneras de probar mis ideas propias.

Gracias por tu articulo, me voy a estudiar mecánica matricial de Heisemberg, me has dado muchas pistas. Si algún dia consigo saber la décima parte que tú, me sentiré sabio.

Un abrazo y ojalá publiques mas
jlese | 24/06/2022 at 07:15 | Permalink

Muchas gracias por tus comentarios, Jose. Me alegro que mi serie sobre álgebra geométrica te haya motivado para investigar y entender estos temas. Lo de publicar en formato papel, ya se verá en su momento. Ahora aún queda lejos. Por lo que respecta a mis alumnos, fui profesor de secundaria durante siete años, siete meses y once días, hasta que decidí cambiar… Creo que alguno de mis primeros alumnos acabó en Matemáticas (apostaría que es el único caso, con muy poco riesgo de perder), pero la verdad es que no conseguí adaptarme. No sé si merezco tantos elogios como pedagogo. Una cosa es escribir una serie en un blog y otra batallar con alumnado cuyos intereses van por otros derroteros. De eso hace ya más de veinte años… Voy a seguir con la serie, aunque me está costando volver a coger ritmo a partir de la pandemia. Espero ir recuperándolo. Un abrazo.

El Cedazo

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jlese (Juan Leseduarte)

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