El Cedazo

Continuando con la introducción al contexto histórico del álgebra geométrica, que esta serie pretende contribuir a divulgar, y tras la breve visita al álgebra vectorial de Heaviside-Gibbs, dedicaré esta entrada a sus creadores, Hermann Günther Graßmann y de William Kingdon Clifford. Como veremos, Graßmann no consiguió ver reconocidos sus méritos como matemático y nunca pudo pasar de profesor de secundaria. Clifford, por el contrario, fue reconocido como un gran geómetra por sus contemporáneos, pero falleció poco después de descubrir la obra de Graßmann y darse cuenta de su importancia. Como consecuencia, el álgebra geométrica tuvo que esperar a la segunda mitad del siglo XX para comenzar a ser recuperada como lenguaje matemático común a muchas áreas de la física, ingeniería y ciencias de la computación.

Hermann Günther Graßmann (Wikimedia)

Hermann Günther Graßmann^[1] nació en la ciudad entonces prusiana de Stettin (actualmente Szczecin, Polonia) el 15 de abril de 1809. Su padre, Justus Günther Graßmann (1779-1852), había hecho estudios universitarios de carácter fundamentalmente teológico (la tradición familiar en la familia Graßmann era ser pastor luterano), pero que también incluían contenidos de ciencias naturales, y era profesor en el Gymnasium^[2] de Stettin, donde impartía clases de matemáticas, física y dibujo. También había publicado libros de texto de aritmética elemental para Volkschulen^[3] y Gymnasien, y había fundado una Sociedad Física. Justus Günther también tenía interés por la filosofía kantiana y por las teorías pedagógicas de su tiempo, lo cual también se reflejaba en sus textos matemáticos.^[4]

Los padres de Graßmann pertenecían a la pequeña burguesía en una ciudad de provincias que por entonces vivía una época de florecimiento y ebullición intelectual en que tanto el pietismo protestante como la Ilustración influían en el ambiente. A diferencia de Hamilton, pronto reconocido como niño prodigio, Graßmann no destacó hasta los 14 años, edad a la que la que empezó a mostrar su talento. La familia decidió orientar sus estudios universitarios hacia la teología. Tras pasar las pruebas de madurez con las mejores calificaciones, comenzó sus estudios en la Universidad de Berlín (1827). Allí asistió a las lecciones de dialéctica y a las prédicas de su profesor Friedrich Schleiermacher (1768-1834), que marcaron profundamente su pensamiento. Hermann siempre afirmó que la metodología de estudio independiente de Schleiermacher lo capacitó para el desarrollo sistemático de sus ideas matemáticas y de su aproximación básica a la ciencia… a pesar de que durante todos sus estudios en la universidad jamás asistiera a una sola lección de matemáticas.

En 1830 vuelve Graßmann a Stettin y reemprende el estudio por su cuenta, dedicándose a la Física y a las Matemáticas en estrecha conexión con la geometría, la aritmética y a la combinatoria. En 1831 entró en seminario de profesores de Stettin y dio clases de alemán y de geometría como profesor ayudante. Obtuvo la licencia de profesor para dar clase hasta el nivel de “Sekunda“, el undécimo año de escolarización impartido en los Gymnasien alemanes. En 1834 ya había renunciado a su examen de teología, al haberse decidido ya por una carrera en las ciencias naturales.

En 1837 era profesor de ciencias en la Ottoschule de Stettin. También se matriculó para una reexaminación en Matemáticas y Física para así mejorar su cualificación y poder impartir estas materias en todos los niveles de secundaria. Pronto comenzaría a publicar trabajos científicos  en los que Graßmann introduce una álgebra en que las entidades geométricas, como puntos, líneas y planos, escalares, vectores o bivectores se pueden manipular según ciertas reglas y así hacer realidad el viejo sueño de Leibniz (1646-1716) de poder hacer geometría calculando con objetos geométricos. En un trabajo sobre las  mareas, Graßmann expuso la teoría básica de este fenómeno, hecha por Laplace y por Lagrange, pero usando los métodos vectoriales que había creado. De hecho, se puede decir que lo que hoy se conoce como álgebra lineal, la idea de espacio vectorial y todos los conceptos asociados ya aparecen por primera vez en esta obra de Graßmann.

En 1844 aparece la primera obra donde Graßmann expone de forma completa lo que él llama “teoría de la extensión” (el título completo es Die lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik, o sea, La teoría de la extensión lineal, una nueva rama de la Matemática).^[5] Tal como anuncia su título, se trata de una obra muy novedosa para su época. De hecho, tan novedosa que fue incomprendida por los matemáticos que la leyeron, o intentaron leerla. A ello no ayudó el modo de escribir de Graßmann, con un elevado nivel de abstracción  y un estilo a menudo oscuro, producto en buena parte de su formación académica, en principio no la más apropiada para alguien que pretende dedicarse a la matemática.^[6] El gran Carl Friedrich Gauß (1777-1855), el príncipe de los matemáticos, contestó a Graßmann en diciembre de aquel año:

… Para poder entender la parte esencial de su trabajo tendría que familiarizarme antes con la terminología especial que utiliza, pero para eso tendría que dedicar menos tiempo a otros menesteres.

El gran geómetra August Ferdinand Möbius (1790-1868), confesó que “había intentado estudiarlo en muchas ocasiones pero nunca consiguió pasar de las primeras páginas”. Aunque Möbius se interesó mucho por el trabajo de Graßmann, con quien mantuvo correspondencia durante dos décadas, e hizo esfuerzos por entender sus ideas, tampoco fue capaz de asimilarlas completamente. Aquel mundo de geometría de dimensión arbitraria, poblado de nuevos objetos y diferentes tipos de productos^[7] no conmutativos era algo demasiado novedoso en aquella época. Así pues, la obra de Graßmann pasó con más pena que gloria y sin recibir la atención de la comunidad matemática.

La “teoría de la extensión” de Graßmann permitía algebrizar la geometría y hacer realidad la intuición expresada por Leibniz en el siglo XVII de que la física necesitaba un nuevo tipo de análisis en que se pudieran operar con conceptos geométricos.  Pero además Graßmann se dio cuenta de que su teoría no sólo permitía trabajar con el espacio tridimensional de toda la vida, en el que nos movemos y en el que tienen lugar los fenómenos físicos, sino que podía tratar con espacios de más dimensiones, tantas como se desee. En el prólogo a la primera edición se puede leer:

… Así resulta que el análisis que he descubierto no se movía, como parecía al principio, en el ámbito de la geometría, sino que pronto comprobé que había llegado al terreno de una nueva ciencia, de la cual la geometría es sólo una aplicación especial.

Cuando Graßmann utiliza la palabra “geometría”, se refiere exclusivamente a la geometría del espacio físico, hasta tres dimensiones. Para lo que hoy llamaríamos geometría de espacios n-dimensionales no utiliza la palabra “geometría”, sino que habla de la “teoría de la extensión” o Ausdehnungslehre.^[8]

Graßmann no se dejó desalentar por el nulo eco que tuvo su trabajo. Como además deseaba enseñar en la Universidad, presentó su Ausdehnungslehre de 1844 para aspirar a una plaza. El encargado de hacer el correspondiente informe fue Ernst Kummer (1810-1893) . Este es el final del último parrafo:

…Finalmente, por si aún tuviera que establecerse un criterio relativo sobre la competencia para ocupar una plaza de profesor universitario, creo poder decir a este respecto que todavía tenemos algunos jóvenes matemáticos destacados, cuyos méritos y capacidades, en comparación con los del señor Graßmann, serían estimados favorablemente, según mi opinión.

Breslau, 12 de junio de 1847

Dr. Kummer, profesor

Kummer no iba a ser menos que Gauß o Möbius. No llegó a comprender la importancia del trabajo que tenía delante. Pensaba que en él había ideas buenas, pero que habían sido expuestas deficientemente. Esto supuso el portazo definitivo para las aspiraciones a un puesto universitario por parte de Graßmann, que seguiría como profesor de instituto hasta su muerte en 1877.

Graßmann es conocido, ya fuera de la matemática, por enunciar las leyes de Graßmann de la síntesis del color. Cada vez que veáis una imagen en color en un televisor o en un monitor recordad que fue Hermann Günther Graßman quien descubrió el modo en que los colores primarios se combinan para dar colores (¡básicamente una suma vectorial!), o cómo se puede formar una misma sensación fisiológica de color partiendo de combinaciones con diferentes características espectrales, siendo suficientes tres colores bien elegidos para reproducir adecuadamente la mayoría de tonalidades cromáticas.

También es conocido Graßmann por los filólogos y lingüistas. De hecho, Graßmann fue más reconocido en vida como experto en lenguas indoeuropeas. Decepcionado por la mala acogida de sus ideas matemáticas, se dedicó al estudio del sánscrito, y acabó publicando un diccionario de sánscrito y una traducción del Rigveda, una colección de himnos dedicados a los dioses hindúes, traducción que todavía sigue siendo hoy una referencia. También es conocido por enunciar la ley de Graßmann, una importante ley fonética en la evolución del antiguo griego y del sánscrito.

Si bien los matemáticos de los años 40 y 50 del siglo XIX no estaban preparados para asimilar la teoría de la extensión de Graßmann, a partir de 1860 muchos comenzaron a interesarse por ella, y descubrieron que las viejas ediciones de la Ausdehnungslehre de 1844 no estaban disponibles.

Graßmann, que había prometido una continuación de esta obra, finalmente decidió escribir lo que acabó siendo una exposición renovada de su teoría, que tituló Die Ausdehnungslehre: Vollständing und in strenger Form bearbeitet, que podríamos traducir como La teoría de la extensión: completa y rigurosamente tratada. Esta segunda Ausdehnungslehre de 1862 es un texto notable, escrito íntegramente en forma de párrafos numerados del 1 al 527 que van desarrollando definiciones, teoremas y demostraciones. Graßmann acabó por darse cuenta, como le había dicho Möbius, que debía cambiar su modo de exponer sus conceptos matemáticos. El estilo se adelanta al que se impondrá en los libros de texto del siglo XX, pero aunque es bastante más fácil de entender que el de la primera Ausdehnungslehre, los matemáticos de la época no estaban habituados todavía a él. Además, haciendo honor a que el ámbito de la teoría de la extensión iba más allá de la geometría del mundo físico, el libro no incluye ni una sola figura geométrica. Así pues, no es de extrañar que el álgebra geométrica de Graßmann continuara siendo básicamente ignorada por la mayoría de matemáticos: la aparición de la primera traducción de la segunda Ausdehnungslehere de Graßmann, concretamente una versión en español publicada en Buenos Aires, tuvo que esperar a mediados del siglo XX.

William Kingdon Clifford (Wikimedia)

William Kingdon Clifford nació en Exeter, Reino Unido, en 1845 y pronto destacó en matemáticas: a los 15 años entró en el King’s College de Londres y tres años después ingresó en el Trinity College de Cambridge. A pesar de sus méritos académicos, quedó excluido para obtener plaza de profesor en Cambridge al negarse a firmar una declaración de fe en la Iglesia de Inglaterra, que había que renovar cada año. Clifford era al entrar en la Universidad seguidor de la high church anglicana, pero la lectura de Darwin, el trato con Herbert Spencer y con Thomas Huxley (viejo conocido este último de los lectores de El Tamiz) así como la actitud de la iglesia anglicana ante la teoría de la evolución hizo evolucionar a Clifford, valga la redundancia, hacia el agnosticismo y posteriormente hacia el ateísmo. De hecho, Clifford tuvo suerte de que en la Universidad de Cambridge hicieran la vista gorda y todavía le concedieran el grado, grado que se habían negado a conceder casi un cuarto de siglo antes a una eminencia como James Joseph Sylvester (1814-1897) por ser judío, lo que obligó a Sylvester durante gran parte de su vida a vivir como actuario en una compañía de seguros, para lo cual tuvo que estudiar leyes. El requisito de adhesión al anglicanismo para obtener el grado fue abolido formalmente pocos años después, en 1871.

Clifford fue profesor en el University College de Londres^[9] y miembro de la Royal Society. A diferencia de Graßmann, pues, Clifford vio reconocidos sus méritos científicos y fue considerado uno de los principales geómetras de su época. También mostró un gran interés por la filosofía.

Por desgracia, la salud de Clifford se resintió del exceso de trabajo, ya que de día se dedicaba a la docencia y de noche a escribir. La tuberculosis acabaría finalmente con su vida el 3 de marzo de 1879 en la isla de Madeira, adonde había ido a recuperarse, aunque su clima no era quizás el más adecuado para su enfermedad.

Clifford leyó y tradujo al inglés los trabajos sobre geometría no euclídea del matemático alemán Bernhard Riemann, trabajo que tanta importancia tendría para la teoría einsteniana de la relatividad general. Más aún, el propio Clifford se anticipó a las ideas de Einstein en más de cuarenta años cuando afirmó que la materia curvaba el espacio.^[10] En una breve comunicación de 1876, titulada On the Space Theory of Matter, anunció sus ideas al respecto, aunque no le dio tiempo a ir mucho más allá.

También leyó la obra de Graßmann, comprendió su importancia y cómo encajaban los cuaterniones de Hamilton dentro de las ideas de Graßmann. Clifford publicó en 1878 un artículo sobre ello en el primer número del American Journal of Mathematics, revista recién fundada por su amigo Sylvester: su título era Applications of Grassmann’s Extensive Algebra. Su primer párrafo comenzaba así:

Propongo comunicar en formato breve algunas aplicaciones de la teoría de Graßmann a las que parece improbable que encuentre el momento para dar continuación en extensión adecuada, aunque he intentado encontrarlo durante bastante tiempo. Hasta hace poco no estaba familiarizado con la Ausdehnungslehre, y sólo conocía de ella lo contenido en los artículos de geometría del autor en el Crelle’s Journal y en las Hankel’s Lectures on Complex Numbers. Séame permitido expresar mi profunda admiración por ese extraordinario trabajo, y mi convicción de que sus principios ejercerán una vasta influencia en el futuro de la ciencia matemática.

A lo largo de nueve páginas, Clifford introduce lo que él denominó álgebra geométrica, en donde los cuaterniones de Hamilton quedaban integrados en la teoría de la extensión de Graßmann. La asociatividad del producto geométrico, así como la existencia de un inverso multiplicativo para vectores diferentes de y para muchos elementos del álgebra, le da un potencia mucho mayor que el álgebra de Heaviside-Gibbs, y ciertamente más complejidad. De hecho, el álgebra geométrica proporciona un lenguaje de cálculo geométrico con el que expresar simetrías, rotaciones e inversiones en el espacio de forma natural, cumpliendo así el sueño de Leibniz de hacer geometría calculando. Además permite introducir en un marco unificado diferentes conceptos matemáticos, como álgebra exterior, determinantes, transformaciones lineales, números complejos, cuaterniones, espinores, etc.

Pero Clifford murió pocos meses después de la publicación de este artículo, aparecido además en el primer número de una revista entonces desconocida para la mayoría de la comunidad matemática, así que su importancia fue ignorada por los matemáticos y físicos, que se conformaron con el álgebra de Gibbs-Heaviside. No obstante, algunos matemáticos redescubrieron el álgebra de Clifford de forma independiente: podemos citar nombres como Lipschitz, Élie Cartan o Marcel Riesz, y en Física el álgebra de Clifford acabó reapareciendo en los años 20 del siglo pasado como el álgebra de Pauli, introducida para tratar con el espín en la mecánica cuántica, y posteriormente como el álgebra de Dirac, introducida por P. A. M. Dirac para su ecuación relativista del electrón. Sin embargo, en estas álgebras la interpretación geométrica original en la formulación de Clifford había desaparecido tras una capa de abstracción matricial.

La recuperación del álgebra de Clifford en su interpretación geométrica recibió su impulso principal gracias a la aportación de David Hestenes (1933-), quien desde los años 60 del siglo pasado ha reinvindicado su importancia en la Física y ha conseguido poco a poco despertar un interés creciente entre los investigadores. También ha encontrado aplicación en el mundo de los gráficos por ordenador y de la robótica.

1. En textos no alemanes es habitual ver escrito el apellido como Grassmann, pero dado que Graßmann escribió siempre su apellido con ‘ß’ y que en la actualidad el Unicode permite escribir los caracteres de prácticamente cualquier lengua, no veo razón para escribirlo con ‘ss’. Pero si así lo preferís o no podéis usar ‘ß’, usad ‘ss’. [↩]

2. No se trata de un “gimnasio”, sino del nombre que en Alemania reciben los institutos de educación secundaria, en los que los alumnos entran a partir de los 10 años para seguir estudios que finalizan con el temido Abitur, que da acceso a los estudios universitarios. [↩]

3. Al menos en la actualidad (y la estructura del sistema educativo alemán no ha cambiado demasiado desde entonces) una Volkschule es una escuela donde se cursan estudios primarios hasta los 10 años (Grundschule) y secundarios, a partir de los 10 años, para alumnos no destinados a hacer estudios universitarios. [↩]

4. De hecho, es Justus Günther quien en su Raumlehre (Teoría del espacio, publicado en 1824) ya introduce la idea de un “producto geométrico”, como anticipo de los conceptos que desarrollará su hijo Hermann. [↩]

5. Conocida simplemente como Ausdehnungslehre de 1844, o primera Ausdehnungslehre. [↩]

6. Ciertamente habría que reconocer que en la introducción Graßmann utiliza unos conceptos de naturaleza filosófica que le dan un aroma muy decimonónico, como es propio de un seguidor avezado de la dialéctica prehegeliana, pero, claro, eso no le dio precisamente muchos puntos ante los miembros más ilustres de la profesión matemática. [↩]

7. Uno de los problemas de la Ausdehnungslehre era precisamente la diversidad, a menudo desorientadora, de productos de multivectores propuesta por Graßman. [↩]

8. Todo indica que hay aquí un paralelismo con el título del libro de su padre que trataba sobre la “teoría del espacio” o Raumlehre. [↩]

9. Conocido como el godless College, por ser la primera universidad de Inglaterra completamente secular, que admitía estudiantes y profesores, como Sylvester, de cualquier religión. También fue la primera universidad inglesa en admitir mujeres, con permiso de la de Bristol. [↩]

10. Sólo con cambiar espacio por espacio-tiempo tendríamos la idea básica de la relatividad general. Es tentador hacer historia-ficción y pensar qué hubiera pasado si Clifford no hubiera muerto prematuramente sin haber cumplido los 34 años: sin duda hubiera tenido mucho que decir en el desarrollo de la teoría de la relatividad, además de haber influido decisivamente en la adopción del álgebra geométrica en lugar de la hoy estándar álgebra vectorial de Gibbs-Heaviside. [↩]

The Explorando el álgebra geométrica 6 – Los creadores del álgebra geométrica: Graßmann y Clifford by Juan Leseduarte, unless otherwise expressly stated, is licensed under a Creative Commons Attribution-Noncommercial-No Derivative Works 2.5 Spain License.