Es frecuente tener que componer rotaciones sucesivas de un cuerpo rígido en torno a ejes no fijos en el espacio, sino solidarios al cuerpo que se rota. Un ejemplo clásico son los ejes de rotación principales de un avión: el eje longitudinal, que va longitudinalmente a lo largo del fuselaje del avión, el eje lateral, perpendicular al anterior, y que va paralelo a la línea que une las puntas de las alas del avión, y finalmente el eje vertical, que es perpendicular a los otros dos. Los tres ejes se cortan en el centro de gravedad de la aeronave. El ángulo de rotación en torno al eje longitudinal, que sigue a lo largo del fuselaje, se conoce como ángulo de alabeo (en inglés, roll), el ángulo de rotación en torno al eje que va paralelo a la recta que une las puntas de las alas se conoce como ángulo de cabeceo (en inglés, pitch), y el ángulo en torno al eje vertical del avión se conoce como ángulo de guiñada (en inglés, yaw).

Los ejes del avión, asociados a los correspondientes giros: alabeo, cabeceo y guiñada. (Wikimedia)

Por otra parte, en Física se utilizan los llamados ángulos de Euler para describir la orientación de un sistema de referencia ortogonal asociado a un sólido rígido. En Mecánica Clásica, la convención habitual es tomar los ejes , es decir, primero se da el ángulo que se ha de girar en torno al eje original (que vendría a ser el eje asociado al ángulo de guiñada en la anterior figura del avión), a continuación se daría el ángulo que hay que girar en torno al eje (el resultado de haber girado el eje inicial por el primer giro en torno al eje : podríamos identificar el eje con el correspondiente a un ángulo de alabeo), y finalmente una tercera rotación en torno al eje (el resultado de haber girado el eje inicial por el primer giro en torno al eje y a continuación por el segundo giro en torno al eje : podríamos identificar el eje con un nuevo ángulo de guiñada. En Mecánica Cuántica lo habitual es seguir la convención (en vez de tomar el eje rotado, se toma el eje rotado por el primer giro). También, por abuso del lenguaje, se habla a menudo de “ángulos de Euler” cuando se sigue la convención , es decir, la convención usada en aviación: tomar sucesivamente alabeo, cabeceo y guiñada. El resultado que voy a demostrar es totalmente independiente de la convención que se siga.

Se plantea, pues, la cuestión de cómo tratar la rotación resultante de componer rotaciones en torno a estos ejes solidarios al cuerpo que rota, ya que hay que tener en cuenta que una vez el cuerpo ha realizado la primera rotación estos ejes habrán rotado a su vez. El álgebra geométrica permite deducir rápidamente un resultado muy interesante:

El resultado de combinar dos rotaciones sucesivas respecto a ejes solidarios a un cuerpo rígido que se cortan en un punto es el mismo que el de combinar las rotaciones respecto a los ejes fijados en su posición inicial, pero en orden inverso.

Veámoslo.

Supongamos los ejes de rotación y empotrados y solidarios a un cuerpo rígido. Rotamos primero el cuerpo alrededor del eje naranja () un ángulo , y a continuación lo volvemos a rotar un ángulo en torno al eje lila, que ahora ya no será el original, , sino su versión rotada alrededor de , o sea, (la versión en trazo discontinuo y de tonalidad más clara). Pues bien, esta sucesión de rotaciones es equivalente a haber hecho en primer lugar la rotación de ángulo en torno al eje dado por el vector (o sea, en su posición original), y en segundo lugar la rotación de ángulo alrededor del eje dado por el vector (también en su posición original).

Tenemos un cuerpo rígido en el que se han distinguido dos ejes solidarios a él (fijaos que ni siquiera supongo que son perpendiculares entre sí) que parten de su centro de gravedad, caracterizados (en la posición inicial, antes de la primera rotación) por los vectores y . Calcularemos la rotación resultante de aplicar primero una rotación de ángulo en torno al primer eje, y a continuación otra rotación de ángulo en torno al segundo eje. El rotor asociado a la primera rotación no ofrece ningún problema para determinarlo, y ya sabemos que es:

Para escribir el rotor asociado a la segunda rotación habrá que tener en cuenta que el eje de rotación ya no viene dado por el vector , porque habrá rotado por efecto de la primera rotación. Por tanto, el vector asociado al nuevo eje, que llamaré , será el resultado de aplicar la primera rotación a . Es decir:

Y, por tanto, como el valor del ángulo de la segunda rotación será , el rotor asociado a la segunda rotación será:

Fijémonos que a esta segunda rotación en torno a no la he llamado, sino , para enfatizar que no se hace en torno al eje del vector , sino en torno al eje del vector . De hecho, del mismo modo que es el vector tras haberle aplicado la rotación asociada al rotor , tenemos que el rotor asociado al eje rotado es la correspondiente “rotación del rotor”:

donde es, naturalmente, el rotor asociado a la misma rotación, pero hecha en torno al eje dado por el vector , y viene dado por la expresión que hace unos momentos aparecía entre paréntesis en mitad de un “sandwich multiplicativo”:

Todo esto es coherente con la afirmación hecha en la entrada 16: la rotación de un elemento de una álgebra geométrica, sea escalar, vector, bivector, trivector o multivector homogéneo o no homogéneo (como es el caso de un rotor) se obtiene siempre de multiplicarlo a derecha e izquierda, respectivamente, por el rotor asociado a la rotación, y su correspondiente rotor revertido. Así pues, si queremos aplicar a un objeto una primera rotación respecto al eje dado por el vector seguida de una rotación en torno a un segundo eje solidario al objeto que se rota (cuyo vector asociado es inicialmente pero que tras la primera rotación pasa a ser ):

que, tras simplificar, acaba dando:

Y ahí lo tenemos. Habíamos aplicado una primera rotación (de rotor ) en torno al eje dado por el vector , seguida por una segunda rotación (de rotor asociado ), en torno al eje dado por el vector , que a su vez no es más que el vector afectado por la primera rotación, o sea, la versión de que se va moviendo solidariamente con el cuerpo rotado, y vemos que el resultado es idéntico a haber aplicado las mismas rotaciones, pero en orden inverso (primero hace la rotación de ángulo y después la de ángulo ) y además alrededor de los ejes originales, que no se han movido con el cuerpo. La rotación equivalente tiene un rotor asociado que podemos expresar de dos formas diferentes:

¿Y si añadimos una tercera rotación en torno a otro eje solidarios al cuerpo? Tendríamos una rotación asociada a un rotor (eje de rotación ), seguida de una rotación de rotor asociado , todo exactamente igual que hasta ahora, y finalmente una tercera rotación, , que sería una rotación de ángulo , en torno a un eje asociado a un vector unitario , que a su vez podemos expresar como procedente, como resultado de la rotación con rotor asociado de un vector , el cual, a su vez, es también resultado de aplicar la rotación de rotor al vector , que da el eje en la posición inicial del cuerpo a rotar. Por tanto, el rotor equivalente a realizar las tres rotaciones sucesivas será:

Y ahí está otra vez. El rotor correspondiente a la composición las tres rotaciones sucesivas, de ángulos , y en torno a los respectivos ejes solidarios al cuerpo ha quedado expresado como el correspondiente a la composición de las tres rotaciones, pero en orden invertido y en torno a los ejes en su posición original de partida, no los solidarios al cuerpo.^[1]

Y con esta entrada dejamos el tema de las rotaciones en el espacio tridimensional. En las próximas entradas veremos conceptos que habían quedado pendientes de mayor desarrollo, como el de multivectores simples y compuestos, o la generalización de producto interior y exterior a multivectores de grado superior a 1, antes de pasar a aplicaciones en Matemáticas y Física.

1. Tampoco es difícil generalizar este resultado a la composición de un número arbitrario de rotaciones en torno a ejes solidarios al cuerpo rotado, utilizando para ello el método de inducción.

En la pasada entrada ya comenté que una misma rotación se podía representar por una sola matriz de , pero por dos rotores diferentes de , ya que en la fórmula de rotación de un multivector:

si cambiamos el rotor por su opuesto, , obtendremos el mismo resultado. Tanto como representan la misma rotación.

Esto podría parecer a primera vista un defecto de los rotores respecto a las matrices como representación de las rotaciones en , pero investiguemos un poco qué sucede cuando vamos rotando aldrededor de un eje , comenzando por un ángulo de rotación nulo y haciéndolo cada vez mayor. Veamos los rotores correspondientes:

Hemos comenzado por una rotación nula, a la se asocia un rotor que resulta valer 1. Efectivamente, si rotamos 0 radianes un multivector cualquiera obtenemos el mismo multivector: . Para rotar un ángulo (= 90º) obtenemos también otro valor bien determinado para , así como para los valores de siguientes: (= 180º), (= 270º) y finalmente (= 360º). Y aquí vemos que el rotor obtenido para es , que no es el mismo obtenido para . Tras dar una vuelta completa, aunque el objeto rotado quede igual, el rotor aplicado es diferente del correspondiente a no hacer ninguna rotación. A una vuelta de 360º le corresponde un rotor . Pues bien, sigamos rotando en torno al mismo eje en el mismo sentido hasta completar una segunda vuelta:

Y vemos que el rotor no vuelve a valer 1 hasta que se han dado dos vueltas completas. Para todos estos valores de : ( = 450º = 360º + 90º ), ( = 540º = 360º + 180º ), ( = 630º = 360º + 270º ) y ( = 360º + 360º ) vemos que el correspondiente rotor no es más que el rotor asociado a la rotación correspondiente a una vuelta menos, pero cambiado de signo.

Ahora podríamos preguntarnos si este extraño comportamiento de los rotores tiene su reflejo en el mundo real. Si rotamos cualquier cosa una vuelta de 360º, aparentemente sigue igual y no ha cambiado nada en absoluto respecto a su estado antes de la rotación. Aparentemente, podríamos pensar que el comportamiento de los rotores no pasa de ser una curiosidad matemática que no tiene aplicación en el mundo físico, y que con las matrices de , que no exhiben este fenómeno, ya es posible describir perfectamente todo lo asociado a las rotaciones en Física.

Pero resulta que estaríamos muy equivocados. Mi profesor de Mecánica Cuántica, allá en cuarto curso de carrera, lo decía más o menos así: “Si preguntáis a un físico cuál es el grupo de rotaciones del espacio euclídeo tridimensional, es muy probable que os responda que es , pero un físico que se dedique a la Mecánica Cuántica sabe que el auténtico grupo de rotaciones es “.

Bien, ya sabemos que es el grupo multiplicativo de matrices de números reales organizados en tres filas y tres columnas, matrices que además son ortogonales (de ahí la “O” de ) y de determinante igual a +1 (de ahí la “S” de , que viene de “special”), pero ¿qué es ? Pues resulta que es un grupo multiplicativo de matrices, cuyos elementos son números complejos, organizados en dos filas y dos columnas, matrices que además son unitarias^[1](de ahí la “U” de ) y de determinante igual a +1 (de ahí viene también la “S” de ). En fin, una cosa bastante retorcida y que, efectivamente, es un engendro matemático muy sofisticado para representar el grupo de rotores que actúan sobre cualquier elemento de : podemos identificar un rotor perteneciente al conjunto de todos los rotores de con una matriz de , y, del mismo modo, podemos identificar una matriz de de forma unívoca con un rotor perteneciente al conjunto de todos los rotores de , de modo que el producto de dos rotores queda representado por el producto de las correspondientes matrices de . El grupo de rotores del álgebra geométrica del espacio euclídeo tridimensional y el grupo son matemáticamente indistinguibles.^[2]

Pero entonces, ¿existe algo en el mundo físico que se comporte como un rotor y que necesite dos vueltas para volver a su estado inicial cuando se lo rota? Resulta que en el mundo de la mecánica cuántica tenemos los fermiones, las partículas elementales (como los leptones, entre los que tenemos los electrones, los muones y los tauones; o los quarks) que constituyen la materia ordinaria. Los fermiones se caracterizan por tener espín semientero, a diferencia de los bosones, partículas de espín entero, como pueden ser el fotón, transmisor de la fuerza electromagnética, los bosones W y Z, transmisores de la fuerza débil, o el gravitón, hipotético transmisor de la interacción gravitatoria. Un electrón tiene espín , y como todas las partículas de espín , su función de onda se representa en mecánica cuántica en forma espinorial^[3]. En términos del álgebra geométrica, eso quiere decir que para rotar la función de onda de un electrón, que podemos representar por un espinor (en el álgebra geométrica del espacio tridimensional, un cuaternión, recordemos lo dicho en la entrada 13), basta multiplicarlo por delante por el rotor correspondiente (que desde el punto de vista del álgebra geométrica también es un espinor, por ser un cuaternión). Y si queremos rotar la función de onda que describe al electrón una vuelta completa (360º = rad), el rotor correspondiente es , como vimos antes. Por tanto, la función de onda de un electrón, tras una vuelta completa, cambia de signo, y para tenerla igual que al principio, necesitaríamos aplicar una segunda vuelta completa. Un electrón, por así decirlo, no vuelve a estar como al principio hasta que no ha rotado 720º en torno a un eje.^[4]

Hemos encontrado en el esotérico mundo de la mecánica cuántica un ejemplo de objeto que no vuelve a verse igual hasta que se le ha aplicado una rotación de 720º, pero ¿sería posible encontrar un ejemplo análogo en el mundo cotidiano y macroscópico del mismo comportamiento? La respuesta es SÍ, aunque debemos buscar en los casos de rotaciones de objetos de alguna forma “atados” a su entorno. Por ejemplo, un objeto rotado por un brazo, lo que se conoce como truco del plato o truco del cinturón. Aquí es más bien el “truco del libro”:

Vamos a rotar un libro con un brazo en saltos de 90º hasta que todo quede en la misma posición de partida. En esta primera serie de fotos rotamos el libro hasta 270º.

En la primera foto de esta serie, llegamos a dar una vuelta completa al libro, pero la postura del brazo que lo ha rotado no es exactamente la misma (sobre todo en lo referente a comodidad) que al principio. No importa: seguimos rotando en la misma dirección (esta vez pasando el brazo por encima de la cabeza), que ya se arreglará…

Por fin, tras aplicar dos vueltas completas, el libro y el brazo han vuelto a la posición inicial.

Podemos considerar que la postura del brazo, a lo largo del proceso, va asociada a un determinado rotor . De hecho en robótica los rotores (como cuaterniones unitarios) han encontrado una importante aplicación para representar de forma eficiente la postura de un brazo robótico, así como para encontrar el modo más efectivo para pasar de una cierta postura a otra.

Este tipo de modelos también tiene su relevancia en mecánica cuántica: podríamos pensar que un electrón, como cualquier partícula de espín , es un objeto ligado de algún modo a su entorno por una especie de “brazo invisible”. De hecho, se han utilizado para explicar conceptos relacionados con el espín, o incluso explicar los conceptos que hay detrás de la demostración de teoremas muy complejos de la mecánica cuántica, como el teorema de conexión espín-estadística, por el cual se demuestra que las partículas de espín semientero son fermiones, y por tanto, siguen el principio de exclusión de Pauli, y las partículas de espín entero son bosones, y por tanto, el principio de exclusión no las afecta.^[5]

Espectacular ilustración del llamado “truco del cinturón” o “truco del plato”, esta vez con un objeto ligado de forma múltiple a su entorno. La configuración no vuelve a ser la inicial hasta que se han dado dos vueltas completas.
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Para la siguiente entrada seguiré con la composición de rotaciones en torno a ejes fijos respecto al sólido rígido que se rota, con lo que acabaría con el tratamiento de las rotaciones en el espacio euclídeo tridimensional.

1. Unitariedad, cuando se habla de matrices, es la propiedad que extiende a matrices de elementos complejos la propiedad de ortogonalidad de las matrices reales: si una matriz ortogonal es aquella cuya inversa es su matriz transpuesta, como vimos en la entrada anterior, una matriz unitaria es aquella cuya inversa es la conjugada compleja de su matriz transpuesta.

2. En la segunda nota al pie de la entrada 13 ya presenté las matrices de Pauli, que vuelvo a poner aquí: , y . Con ayuda de estas matrices se puede encontrar rápidamente la matriz de asociada a un cuaternión de la forma : simplemente hay que sustituir cada elemento de la base de vectores, , por su correspondiente matriz de Pauli asociada, , y, naturalmente, en la parte escalar introducir la matriz identidad . Así pues, la matriz que buscamos queda así: . La condición de unitariedad (normalización) del cuaternión se expresa en que la suma de los cuadrados de sus componentes vale 1: y se traduce en la equivalente versión matricial, no en la unitariedad de la matriz (la “U” de ), sino en que su determinante vale 1 (la “S” de ), como salta a la vista del ojo experimentado que vea la forma de la matriz. Y efectivamente, el producto de dos matrices asociadas respectivamente a dos cuaterniones unitarios produce precisamente la matriz asociada al cuaternión unitario producto de esos dos cuaterniones. Otra cosa muy distinta es la eficiencia de cómputo: multiplicar dos cuaterniones implica hacer 16 productos de números reales, y multiplicar dos matrices 2×2 complejas implica hacer 64 productos de números reales, así que, para evitar redundancias de cálculo por ordenador, es mejor olvidarse de poner los datos ciegamente en una librería de cálculo de producto de matrices, y en vez de ello calcular con cuaterniones en su forma tradicional de cuatro componentes.

3. En la entrada 13 también definí espinor como un elemento de la subàlgebra par del álgebra , y así podíamos identificar a los complejos como los espinores de y a los cuaterniones con los espinores de . En mecánica cuántica, los espinores que se utilizan para representar la función de onda de un electrón se entienden habitualmente como matrices columna cuyos elementos son números complejos. La conexión entre un tipo de espinores y otro vendría dada por la correspondencia entre vectores de la base ortogonal y matrices de Pauli detallada en la nota al pie anterior. De la matriz 2×2 correspondiente a un espinor del álgebra geométrica se obtiene el espinor de la mecànica cuàntica eliminando la segunda columna de la matriz y quedándose con la primera (la segunda columna de la matriz es reconstruible, como podéis ver si os fijáis en la nota al pie anterior, a partir de las partes reales e imaginaria de los elementos de la primera columna). Los “espinores columna” de la mecánica cuántica, serían algo así como “medias matrices complejas 2×2″, y por tanto, a diferencia de los cuaterniones, ya no pueden multiplicarse entre sí, y se transforman bajo una rotación de rotor premultiplicándolo por la matriz de asociada a , análogamente al modo en que se compone una rotación de rotor (que haría el papel de espinor a rotar) con la rotación representada con el rotor : en vez del producto de rotores tendríamos el producto de la matriz de asociada al rotor por el “espinor columna” a rotar.

4. Bien, se podría objetar que la función de onda (llamémosla ), como sabe quien haya estudiado mecánica cuántica, no es en sí algo medible, ya que lo relevante es propiamente el cuadrado de su módulo, . Un cambio de signo no sería, pues, físicamente detectable, pero si consideráramos un sistema de dos electrones, y rotamos 360º sólo uno de ellos, el cambio en la función de onda del sistema de dos electrones sí se haría observable.

5. La demostración rigurosa del teorema de conexión espín-estadística es muy compleja y requiere acudir a conceptos relativistas.

La rotación como transformación lineal. Matriz asociada a una rotación

El enfoque matemático habitual para tratar las rotaciones es considerarlas como transformaciones lineales del espacio. Una transformación lineal es una aplicación de un espacio vectorial, a otro, , que cumple esta propiedad:

Para todo par de vectores y de y para cualquier par de escalares y de tenemos:

Esta propiedad es equivalente al siguiente par de propiedades:

1) La transformación lineal de la suma de dos vectores cualesquiera es igual a la suma de transformaciones lineales de los vectores:

2) La transformación lineal del producto de un escalar por un vector es igual al producto del mismo escalar por la transformación lineal del vector:

Las transformaciones lineales que nos interesan serán aquellas en las que tanto el espacio vectorial de partida como el de llegada son el espacio vectorial tridimensional,o sea . Dentro de estas transformaciones lineales tenemos, por ejemplo:

1) Las homotecias. Estas transformaciones lineales consisten en multiplicar todo vector de por un mismo escalar . Si diremos que la homotecia es una dilatación, y si la homotecia es una contracción. Efectivamente, una dilatación (o, respectivamente, contracción) de la suma de dos vectores es igual la suma de las dilataciones (o, respectivamente, contracciones) de los dos vectores, y la dilatación del producto de un vector por un cierto factor escalar es igual a veces la dilatación del vector.

2) Las proyecciones de un vector respecto a otro vector o respecto a un bivector. También se cumple que la proyección de la suma de dos vectores es igual a la suma de proyecciones, así como también que la proyección de un vector multiplicado por un factor escalar es igual a la proyección del vector mutiplicada por .

3) Las simetrías y reflexiones. De nuevo aquí se cumple que la simetría o reflexión de la suma de dos vectores es igual a la suma de la simetría o reflexión de cada vector, así como que la simetría o reflexión del producto de un vector por un escalar es igual al producto del escalar por la simetría o reflexión del vector de partida.

4) Como las rotaciones las podemos interpretar como composiciones de dos simetrías o de dos reflexiones, y la composición de dos transformaciones lineales es a su vez otra transformación lineal, se deduce que las rotaciones son transformaciones lineales.

Representación de transformaciones lineales mediante matrices

Una consecuencia de la definición de transformación lineal es que para calcular la transformación lineal de un vector cualquiera basta conocer cuál es la transformación lineal de los vectores de una base del espacio vectorial en que nos encontremos. En particular, como nos encontramos en , basta conocer la transformación lineal de la base ortonormal de vectores , y . Si expresamos un vector cualquiera de en función de esta base:

tendremos, al aplicar las propiedades de linealidad, que la transformación será:

A la hora de trabajar con transformaciones lineales es habitual utilizar el formalismo matricial. Para ello, expresaremos los vectores como matrices columna, de modo que el vector será identificado con la matriz de tres filas y una columna:

Fijémonos que al utilizar matrices, estamos presuponiendo una cierta base (en nuestro caso, ortonormal, pero no necesariamente siempre tiene por qué ser así) de vectores, ya que las tres componentes de la matriz columna que representa un vector se refieren a esa base ortonormal en concreto. Otro vector quedaría representado matricialmente por la correspondiente matriz columna:

Si ahora quisiéramos calcular, por ejemplo, el producto interior , podríamos hacerlo también utilizando matrices, recurriendo a la matriz transpuesta y al producto de matrices:

La transposición de una matriz consiste en obtener una matriz a partir de otra intercambiando filas por columnas. De este modo, la matriz transpuesta de , que indicamos como , será una matriz fila (tiene una única fila y tres columnas). El producto escalar de vectores puede entonces realizarse, como se puede apreciar, como el producto de la matriz por la matriz . El producto de una matriz fila como  por una matriz columna como es el caso más sencillo del producto de matrices: para poder hacer el producto es imprescindible que el número de columnas de la primera matriz (3, en nuestro caso) coincida con el número de filas de la segunda matriz. El número de filas de la matriz resultante será el mismo número de filas de la primera matriz que se multiplica (en este caso, 1) y el número de columnas será el número de columnas de segunda matriz (también 1 en este caso). Por tanto, el resultado es una matriz de una fila y una columna, o sea, un número real, que resulta ser el producto escalar euclídeo de los vectores y .

¿Cómo se representa entonces una transformación lineal de en ? Sencillamente, se representa con una matriz de tres filas y tres columnas, de modo que la columna represente el vector resultante de transformar el vector de la base, tal como se muestra en la figura:

La matriz representa la transformación lineal , como podría ser (o no) una rotación. El elemento de la matriz situado en la fila , columna viene dado por la componente de la imagen () del -ésimo vector de la base que utilicemos. Los vectores se representan por matrices columna, donde el elemento situado en la fila representa la componente del vector, según la base utilizada (en nuestro caso, la base ortonormal , , ). Para calcular la imagen de un vector cualquiera mediante el formalismo matricial basta multiplicar la matriz por el vector columna . Para multiplicar dos matrices es necesario que el número de columnas de la primera coincida con el número de filas de la segunda, y el resultado será una matriz con el mismo número de filas que la primera matriz y el mismo número de columnas que la segunda matriz. El elemento de la matriz producto situado en la fila y columna será el “producto escalar” (entendido como suma de productos de componentes correspondientes) del -ésimo “vector fila” de la primera matriz por el -ésimo “vector columna” de la segunda matriz: en la figura se ha señalado como se obtiene la segunda componente del vector columna como producto de la segunda fila de la matriz por el vector columna . También se visualiza matricialmente cómo la vector imagen del vector columna no es más que el -ésimo vector columna de la matriz .

Una matriz cualquiera estará asociada a una transformación lineal. Pero ahora sólo queremos considerar específicamente las rotaciones entre las transformaciones lineales, y por tanto tenemos que ver qué matrices describen una rotación. En primer lugar, las rotaciones conservan las longitudes, mantienen la norma de los vectores rotados. Concretamente, las columnas de la matriz que describe una rotación representan los vectores ya rotados de la base ortonormal de partida, tal como se muestra en la siguiente figura:

Pero como no es una matriz asociada a una transformación lineal cualquiera, sino que representa una rotación, debe cumplir ciertas condiciones extra. Para empezar, los vectores que resultan de rotar los vectores de la base ortonormal deben formar también a su vez una base ortonormal. Así que estos vectores deben estar normalizados, y deben cumplir . En lenguaje matricial el producto interior de vectores se expresa mediante el producto del vector transpuesto (“vector fila”) por un vector (“vector columna”) sin transponer, de modo que escribiremos:

Además, dos vectores diferentes de la base rotada deben ser ortogonales entre sí, y se deberá cumplir también que:

, cuando .

Lo que matricialmente se expresaría así:

, cuando .

Pero resulta que todas estas condiciones de normalización y ortogonalidad se pueden expresar como una única identidad matricial, que no es más que , donde es la matriz transpuesta de , o sea, el resultado de cambiar filas por columnas, y es la matriz identidad, es decir, aquella matriz que tiene unos en la diagonal principal (cuando el índice de fila y el de columna son iguales) y ceros en el resto de posiciones:

Efectivamente, el elemento situado en la fila y columna del resultado del producto de matrices no es más que el producto interior del vector , que está codificado en la fila de la matriz , por el vector , codificado en la columna de la segunda matriz. Resulta, pues, que la identidad no nos está diciendo otra cosa más que en una matriz de rotación los vectores columna forman una base ortonormal, ya que la tabla de productos escalares es precisamente la matriz identidad. El conjunto formado por todas las matrices de tres filas y tres columnas que cumplen se llama , el llamado grupo ortogonal de 3 dimensiones.^[1]

Pero no toda matriz de es una matriz de rotación. Dentro de hay también matrices que representan reflexiones, las transformaciones que, dicho coloquialmente, transforman una mano izquierda en una mano derecha, algo imposible de conseguir haciendo rotaciones. Para excluir las reflexiones hay que introducir una condición más: la orientación de la base ortonormal rotada tiene que ser la misma que la de la base antes de la rotación. Esta condición se puede expresar con el producto exterior de vectores:

La igualdad anterior expresa que el volumen orientado del cubo que tiene por aristas los vectores de la base ortonormal es el mismo antes que después de la rotación, sin cambios de signo debidos a cambios de orientación.^[2] Si expresamos los vectores de la base rotada en términos de la base antigua llegamos a esta expresión para :

Al desarrollar el producto exterior acaba apareciendo multiplicando al trivector un factor, señalado en verde, conocido como determinante de la matriz . El determinante indica por cuánto se multiplica el volumen del pseudoescalar unitario tras la transformación lineal, indicando un signo negativo un cambio de orientación respecto a la base de partida. Para las matrices de el valor del determinante sólo puede ser +1 o -1, pero si ademas queremos que la matriz represente una rotación el determinante sólo puede valer +1. El subconjunto de matrices de cuyo determinante vale +1, con la operación de producto matricial, forman el grupo , que sí representa el grupo de rotaciones en el espacio euclídeo tridimensional.^[3]

Rotores (cuaterniones unitarios) versus matrices: eficiencia de cálculo

Por tanto, podemos representar rotaciones en el espacio tridimensional utilizando matrices de , como hemos visto en esta entrada, o, como vimos en la entrada pasada, las podemos representar utilizando cuaterniones unitarios (exponenciales de bivectores unitarios). Y aquí se plantea cuál de los dos métodos es más práctico. Imaginemos el programador de un videojuego en que se visualicen escenas realistas en 3D o de un simulador de vuelo en tiempo real: esta cuestión deberá tenerla muy en cuenta.

Para hallar la rotación resultante, ,de componer dos rotaciones, la primera , seguida de una segunda , , utilizando matrices de tendremos que multiplicar dos matrices de tres filas y tres columnas: . Esto requiere hacer 3 multiplicaciones para obtener cada uno de los 9 elementos de la matriz correspondiente a la rotación resultante final, en total, 27 multiplicaciones. Las multiplicaciones son computacionalmente mucho más costosas que las sumas, que no tenemos en cuenta (y, por cierto, también el número de sumas a realizar en el caso del producto de matrices supera al necesario en el caso del producto de cuaterniones).

Si componemos rotaciones utilizando cuaterniones unitarios tendremos que multiplicar las cuatro componentes del primer rotor asociado a la primera rotación por las cuatro del segundo rotor, en total 16 multiplicaciones. Esto es computacionalmente mucho más eficiente que multiplicar matrices, pero los beneficios del uso de cuaterniones unitarios no acaban aquí…

Espacio de almacenamiento

En caso de que sea necesario almacenar rotaciones en disco o en memoria RAM, para almacenarlas en formato matricial hacen falta 9 números para cada una y para almacenarlas como cuaterniones sólo hacen falta cuatro (de hecho, “poco más de tres”, porque una componente de cuaternión se puede deducir de las otras tres por la condición de normalización, a excepción de un bit de signo que habría que tener también para que no faltara nada).

Acumulación de errores de redondeo

Cuando el programador del videojuego tenga que componer sucesivamente n rotaciones, , seguida de … se irán acumulando inevitablemente errores de redondeo. Si utilizamos matrices de , estos errores harán que la matriz obtenida como resultado final, ya no cumpla la condición , debido a la acumulación de errores, y los vectores de la base ortonormal transformada, que aparecen representados en las columnas de la matriz , ya no estarán bien normalizados, ni serán perfectamente perpendiculares entre sí, e incluso el volumen orientado que formen dejará de valer exactamente 1, y seguramente habrá aumentado o disminuido. Como esto no puede consentirse habrá que corregir la matriz obtenida antes de que el problema se desmadre, de modo que sus vectores columna estén perfectamente normalizados y sean perpendiculares entre sí. Hay un procedimiento muy conocido de lograr esto, llamado método de ortonormalización de Gram-Schmidt, que ya tendremos ocasión de ver en otra entrada. Pero tiene el problema de ser engorroso y poco elegante, porque obliga a elegir en un cierto orden, (normalizando primero uno de los vectores columna, a continuación restar de un segundo vector su proyección respecto al primero y normalizar el resultado a su vez, restar del tercer vector sus proyecciones respecto a los dos vectores normalizados obtenidos antes y normalizar el resultado, etc.) y la matriz corregida dependerá del orden en que se haya decidido normalizar los vectores, cosa que se notará tanto más cuanto más se haya dejado acumular los errores. En fin, el método de Gram-Schmidt sin más modificación resulta en sí mismo ser inestable computacionalmente: un auténtico horror para un programador que tenga que presentar una animación realista en tiempo real…

Interpolación de rotaciones

El uso de matrices de tampoco es muy conveniente para la interpolación de rotaciones. Nuestro imaginario programador del videojuego, para representar un movimiento animado lo suficientemente suave, necesitará interpolar entre un estado inicial y un estado final de rotación, cada uno de ellos representado por una matriz de . El problema es que si decide ingenuamente interpolar cada elemento de la matriz por separado obtendrá matrices que no serán ni por asomo de . Lo que hace falta es tener el eje y el ángulo de rotación del objeto a rotar en el estado inicial, el eje y ángulo de rotación del objeto a rotar en el estado final e interpolar orientaciones de los ejes de rotación intermedios y valores del ángulo de rotación de forma adecuada, y luego traducirlo a lenguaje matricial. Pero, ¿cómo se visualiza en una matriz de el eje y ángulo de rotación? La teoría dice que la traza de una matriz de rotación (la suma de los valores de la diagonal principal de la matriz () vale , lo que permite calcular el coseno del ángulo, y a partir de ahí su valor absoluto (el signo, asociado al sentido de rotación, queda indeterminado, con lo que queda pendiente el trabajo de deducirlo aparte). En cuanto a “visualizar” el eje de rotación en una matriz de dada, hay que encontrar lo que en la jerga matemática se llama un autovector de la matriz con autovalor unidad, es decir, un vector que cumpla , que en principio no es algo que se pueda decir que salte a la vista… Se trata de encontrar un vector normalizado que da la solución a un sistema de ecuaciones indeterminado.

En cambio, estos problemas se solucionan muy fácilmente con cuaterniones unitarios. El problema de la acumulación de errores se arregla de forma inmediata normalizando el cuaternión obtenido como resultado del producto de cuaterniones: dividiendo el cuaternión entre su módulo volvemos a tener un cuaternión unitario que vuelve a representar automáticamente una rotación, y en la animación veremos cómo el objeto animado va rotando sin crecer ni encogerse como resultado de la acumulación de errores (al usar cuaterniones en vez de matrices, el único tipo de distorsión que puede aparecer si no nos preocupamos de la normalización son cambios uniformes de escala, quedando excluidas de antemano escalas diferentes de distorsión según la dirección). El tratamiento de la acumulación de errores es incomparablemente más sencillo usando cuaterniones unitarios.

El problema de la interpolación entre diferentes estados de rotación es muy sencillo, porque en un rotor es inmediato reconocer el eje y ángulo (con su correspondiente sentido expresado de forma inambigua) de rotación:

Simplemente se identifica la parte real del rotor con . Suponiendo que (que correspondería, no importa el signo, al caso de una transformación identidad),^[4] tendremos que la parte bivectorial será no nula, y se podrá identificar con el bivector que da el plano de rotación. La norma de este bivector se puede identificar con el seno del semiángulo de rotación, y el sentido de rotación queda determinado de forma no ambigua: no importa cómo se elija el signo del ángulo, el sentido de rotación queda siempre expresado por el sentido del vector unitario , que cambiará acordemente con la elección del signo para seguir la regla de la mano derecha (suponiendo que hemos elegido la orientación derecha para el pseudoescalar unitario estándar ):

Sólo hay un aspecto en que el uso de matrices es superior al de cuaterniones en el tratamiento de rotaciones en 3D. Se trata, una vez se tiene la rotación deseada perfectamente calculada, de aplicarla a una serie de vectores, por ejemplo para obtener una escena tridimensional rotada. Matricialmente, se trata hacer el producto de la matriz de rotación por el vector columna: . Eso supone hacer 9 multiplicaciones: cada una de las tres componentes del vector rotado se obtiene como producto interior (suma de tres multiplicaciones) de cada vector fila de por el vector original. Con álgebra geométrica hay que calcular, como ya vimos en la entrada pasada, el sandwich multiplicativo siguiente: , donde es el rotor (cuaternión unitario) asociado a la rotación . Operando astutamente, eso aún se puede reducir a hacer 15 multiplicaciones, lo cual no es suficiente para competir con las matrices. Así que más vale, una vez tenemos el rotor , calcular la matriz encontrando las imágenes de los vectores de la base ortonormal estándar, y una vez ahí, se calcula matricialmente la rotación de todos los vectores que haga falta. Sólo en este aspecto concreto, la rotación de vectores, la superioridad del método matricial es indiscutible.

Las ventajas del tratamiento de rotaciones con álgebra geométrica sobre la utilización de matrices se puso de manifiesto de forma práctica en la segunda mitad de la década de los 90, cuando apareció un videojuego que funcionaba en los primeros ordenadores con procesador Intel Pentium y compatibles (y a diferencia de otros juegos 3D de aquella época que todavía no utilizaban cuaterniones, también incluso en procesadores 486, de la generación anterior). Gracias al uso de cuaterniones fue posible exprimir al máximo las capacidades de aquellos primitivos procesadores y mostrar las aventuras de una ágil y atractiva arqueóloga que no paraba de dar volteretas y giros rapidísimos mientras se movía en un mundo totalmente tridimensional, respondiendo inmediatamente a los comandos de los jugadores, que hasta entonces no habían visto nada igual en aquellos ordenadores, mucho más lentos que los de hoy en día (ya habían aparecido otros juegos de aventuras en 3D, pero como no usaban cuaterniones no podían competir con éste por lo que se refiere a la rapidez, eficiencia y realismo en el tratamiento de las rotaciones).

En la próxima entrada veremos en más detalle que el modo en que las rotaciones se representan en y el modo en que se representan con rotores (o cuaterniones unitarios, o espinores unitarios de , como queráis decir) no son completamente equivalentes, qué hay detrás de eso y qué relación puede tener, por ejemplo, con la Física o con la robótica.

1. En los libros de texto la deducción de que la matriz inversa de la matriz asociada a una transformación isométrica es la matriz transpuesta se suele hacer de forma más expeditiva y elegante. Como el producto escalar de vectores determina la métrica (cómo se miden las longitudes y ángulos), tiene que conservarse en una transformación isométrica, es decir, para cualquier par de vectores y , el producto escalar debe conservarse y ser por tanto igual a , donde y son los respectivos vectores transformados. Pero matricialmente esto se escribe:

   

   Y de ahí se deduce que si la igualdad es cierta para cualquier par de matrices columna y , debe cumplirse .

2. Si la transformación fuera una reflexión se introduciría una cambio de signo en el fórmula: .

3. La S de viene de special, por incluir sólo las matrices de determinante igual a +1. En el grupo ortogonal hay tanto matrices de determinante +1 como -1. En , todas las matrices tienen determinante +1.

4. Lo que vemos aquí es que el mismo rotor cambiado de signo representa la misma rotación. Efectivamente, si para rotar un multivector cualquiera hacemos , un cambio de signo de implica también el cambio de signo de , y por tanto se obtiene el mismo resultado para . El hecho de que una misma rotación esté representada por dos rotores, a diferencia de las matrices de , en que una rotación está representada por solamente una matriz, será especialmente importante en la próxima entrada.

En la pasada entrada ya vimos que todas las rotaciones en el espacio de tres dimensiones son simples, es decir, afectan a la proyección de los vectores sobre un subespacio bidimensional, mientras dejan sin modificar la exclusión de los vectores respecto a ese subespacio, que  no queda afectada. El correspondiente operador de rotación, o rotor, correspondiente a una rotación simple de ángulo y de orientación dada por el bivector unitario , es, como vimos:

También vimos que a partir de un vector  podíamos obtener el correspondiente vector rotado, , del siguiente modo:

Donde designa propiamente a la rotación que convierte el objeto (en este caso, vector) en su versión rotada, , siendo el operador o rotor asociado a la rotación .

Rotación de un multivector cualquiera

Si hay que rotar un multivector cualquiera, basta recordar que siempre podemos expresarlo como sumas de multivectores de grado homogéneo, y a su vez cada uno de esos multivectores homogéneos se pueden expresar como productos geométricos de vectores (que pueden ser perfectamente los de la base canónica ortonormal). Por ejemplo, si tenemos este multivector:

El multivector rotado, , será el que resulte de aplicar la rotación a cada vector que forme parte de la expresión. Por tanto, si para obtener la rotación de un vector hacemos , obtendremos la rotación del multivector haciendo:

Pero ahora, como resulta que, como ya vimos en la entrada anterior, es el inverso de , tenemos no sólo que , sino también . Por tanto, la expresión para la rotación del multivector se simplificará y tendremos:

Y ahora podemos escribir todo sacando como factor común por la izquierda, y como factor común por la derecha:

Fijémonos la expresión que hemos obtenido finalmente:

Esta expresión que hemos obtenido para un multivector particular del álgebra geométrica asociada al espacio tridimensional euclídeo, , tiene validez absolutamente general para cualquier multivector en cualquier álgebra geométrica, asociada a espacios de cualquier dimensión, euclídeos o pseudoeuclídeos: para rotar un multivector cualquiera basta multiplicarlo a su izquierda por la reversión del rotor correspondiente y a su derecha por el rotor sin revertir, exactamente igual que si fuera un vector.

Rotores en

Cualquier rotación en un espacio tridimensional es simple, y vimos que la expresión del rotor asociado a una rotación simple es , donde es el módulo del ángulo y el bivector unitario simple da la orientación y el plano (salvo paralelismos) de giro. Pero en tres dimensiones también podemos imaginar que las rotaciones son en torno a un eje, en vez de en un plano. Si preferimos dar la rotación con el ángulo y vector director del eje de rotación, basta utilizar el hecho de que en se cumple , donde es el trivector unitario orientado canónico (). Así, podremos expresar el rotor :

Donde es el vector unitario que da la dirección del eje de rotación.

Una forma sencilla de comprobarlo sería expresar el bivector unitario como producto geométrico de dos vectores unitarios ortogonales entre sí: . El pseudoescalar canónico se puede escribir como producto de tres vectores unitarios ortogonales, de forma que los dos primeros sean respectivamente los y de antes: . Por tanto, si multiplicamos ambos lados de la última igualdad por por la izquierda, tendremos:

Ahora basta reconocer que el vector unitario , por construcción perpendicular a la superficie orientada representada por el bivector simple y unitario  , no es más que :

Ya tenemos la expresión del rotor de en función del ángulo y eje de rotación de rotación, que no es más que un multivector con términos de grado par que, recordemos, en podemos equiparar a un cuaternión. Podemos decir que un rotor en no es más que un cuaternión unitario (por cumplirse: ).

Composición de dos rotaciones en

El resultado de aplicar a un multivector en primer lugar una rotación , seguida de una rotación , cuyos respectivos rotores asociados sean y , será:

La notación indica simplemente la composición de funciones. En nuestro caso, la composición de las rotaciones con , lo cual permite referirnos a la rotación como:

de modo que:

La expresión para el multivector rotado permite identificar inmediatamente el rotor , asociado a la rotación :

La expresión es totalmente coherente con la propiedad de que la reversión de un producto de multivectores es el producto de las reversiones de los multivectores en orden invertido:

Ejemplo: composición de dos rotaciones sucesivas en torno a dos ejes fijos en el espacio

Como muestra la siguiente figura, tenemos un dado en reposo sobre una superficie. Al principio vemos sus caras marcadas con uno, dos y tres puntos, y tomamos como vectores de nuestra base ortonormal los vectores , y , que he representado precisamente como los vectores perpendiculares a las respectivas caras marcadas con uno, dos y tres puntos, y que apuntan hacia el exterior del dado. Hagamos una primera rotación de ángulo de , en el el plano que contiene a los vectores y y con el sentido de rotación que va de a . Eso quiere decir que el rotor correspondiente será:

Partimos de un dado en la posición “1″ de la izquierda. Una rotación de ( radianes) alrededor del eje cuyo vector director es deja el dado en la posición “2″ de la derecha. El rotor asociado a la rotación es

En la figura de arriba podemos visualizar el efecto de la rotación, que tiene lugar en el plano de los vectores y , . En la posición final, etiquetada como “2″ en la figura, vemos que la cara del dado marcada con un punto pasa a ocupar la posición que al principio ocupaba la cara marcada con dos puntos, que a su vez pasa a ser la cara sobre la que reposa el dado, mientras que la cara marcada con tres puntos sigue teniendo como vector normal el vector (los vectores de la base ortonormal de referencia, en verde, no los rotamos, sólo el dado).

En la figura siguiente partimos de la posición “2″ a la que se llegó tras la primera rotación y aplicamos una segunda rotación, también de 90º, pero esta vez en el plano de los ejes y y en el sentido que va de a . Como estamos en tres dimensiones, también podemos decir que hemos rotado en torno al eje en el sentido dado por la regla de la mano derecha.^[1] Así, el dado acaba finalmente en la posición “3″.

Tenemos el dado en la posición “2″ de la izquierda, en que lo hemos dejado antes. Una nueva rotación de ( radianes) alrededor del eje cuyo vector director es deja el dado en la posición “3″ de la derecha. El rotor asociado a esta segunda rotación es .

Bien, ahora podemos preguntarnos cuál es la rotación equivalente que lleva el dado directamente de la posición “1″ a la posición “3″. Sabemos que la rotación que buscamos, tiene que ser el resultado de componer la segunda rotación, , con la primera, :

Y que el rotor asociado a la rotación será, por tanto:

En el caso concreto de la rotación del dado, tenemos que:

Para encontrar , habrá que multiplicar las dos expresiones anteriores que, al ser exponenciales de bivectores simples, podremos desarrollar en términos de cosenos y senos, como vimos en la entrada anterior. Además, en el caso tridimensional en que estamos, si recordamos lo dicho en la entrada 13, vemos que estas exponenciales “imaginarias” no son en el fondo más que cuaterniones unitarios:^[2]

Como tanto el coseno como el seno de radianes (= 45º) valen , si sustituimos el valor en la expresión anterior tendremos:

Como además , aprovecho para reexpresar el bivector como producto del pseudoescalar por un vector dual (el bivector da el sentido del plano de rotación, mientras que el vector dual, perpendicular al plano de la rotación, da el eje de rotación). Y así vamos arreglando la expresión, acercándonos a la forma deseada:

¿Y cuál es la forma deseada? Pues la forma estándar de expresar un rotor de como exponencial del producto de un bivector unitario por un semiángulo, o sea, . Para eso aún nos queda normalizar el vector entre paréntesis, cuya norma vale . De esta forma el bivector unitario será , donde asimismo identificamos el vector unitario como el que da el eje de la rotación que buscamos:

El ángulo cuyo coseno vale y cuyo seno es positivo^[3] es el de 60º ( radianes). De ahí deducimos que el valor del ángulo de la rotación es .

Ya lo tenemos: hemos multiplicado dos cuaterniones unitarios, que eran los rotores y , y hemos obtenido otro cuaternión unitario, , en el que podemos reconocer fácilmente el bivector unitario, , que da el plano y sentido de rotación, y el ángulo de rotación . En lugar de usar el bivector como plano de rotación, podemos usar alternativamente el vector unitario como eje de rotación, considerando positivo el sentido de rotación que sigue la regla de la mano derecha ya hemos elegido el pseudoescalar unitario siguiendo dicha regla. Si nos fijamos en las figuras, el vector unitario que da el eje de rotación es la normalización del vector que parte del origen de coordenadas, en el centro del dado, y apunta al vértice donde confluyen las tres caras visibles del dado. Y efectivamente, se puede comprobar que la rotación resultante es una rotación de 120º positivos según la regla de la mano derecha en torno a eje dado por el vector . Veámoslo en la figura siguiente:

La comparación de la posición “1″ original del dado con con su posición final, “3″, muestra que la rotación resultante es una rotación de 120º en torno al eje en que se encuentra el vector , que en las imágenes del dado, debido a la perspectiva, apunta casi directamente al observador. El sentido positivo de rotación viene dado por la regla de la mano derecha.

Ejemplo del uso de la formula de rotación de un multivector

Veamos ahora un ejemplo de cómo rotar un multivector, en este caso el bivector , que en la figura vemos que en la posición “1″ del dado aparece superpuesto a la cara del dado marcada con dos puntos:

En álgebra geométrica, para rotar cualquier tipo de multivector basta calcular el siguiente “sandwich” multiplicativo: la reversión del rotor asociado a la rotación por el objeto a rotar y por el rotor. En la figura, se ha ilustrado con el bivector dibujado sobre la cara del dado marcada con dos puntos: en la posición “1″ es el bivector , que tras la rotación pasa a ser el bivector .

En el cómputo de los productos cruzados he utilizado el hecho de que en los pseudoescalares conmutan con los vectores y, por tanto, con cualquier multivector de . Ahora queda aplicar que y acabar de simplificar:

De igual modo se aplicaría el mismo procedimiento para rotar vectores. Por ejemplo, el vector normal a la cara marcada con un punto, que en la posición “1″ es , tras la rotación pasaría a ser que daría como resultado el vector . La fórmula de rotación para cualquier multivector viene dada por el sandwich multiplicativo .

Visualización del eje y ángulo de rotación resultante de dos rotaciones mediante el uso de reflexiones

Hemos visto que el producto de dos rotores permite encontrar fácilmente el eje y ángulo de la rotación resultante de componer dos rotaciones. Como un rotor puede ser entendido como un cuaternión, eso quiere decir que la composición de dos rotaciones se puede representar por el producto de dos cuaterniones. El uso de cuaterniones sigue siendo el método más eficiente y elegante para representar rotaciones en el espacio euclídeo tridimensional. La Humanidad no dispuso de ninguna forma para calcular el eje y ángulo de la rotación resultante de componer dos rotaciones hasta el siglo XIX: aunque Euler, durante el siglo XVIII, ya había dado la expresión de las componentes de un vector que sufre una rotación de eje y ángulo dados, no dio ninguna expresión para el eje y ángulo de rotación resultante de la composición de dos rotaciones de ejes y ángulos de rotación dados. Esa expresión fue finalmente encontrada por Olinde Rodrigues (1795-1851) en 1840, quien se adelantó por muy poco al descubrimiento de los cuaterniones por Hamilton, en 1843. ¿Cómo dedujo Rodrigues su fórmula sin utilizar cuaterniones? No está claro cuál fue el origen de su inspiración, pero podría muy bien ser la idea de fabricar una rotación mediante la composición de dos reflexiones respecto a dos (hiper)planos, como vimos ya en la pasada entrada.

Los vectores y son, respectivamente, ejes de las rotaciones y , cuyos ángulos de rotación son, a su vez y . Tal como se explica en el texto que sigue, se construye un triángulo esférico de lados , y de modo que la rotación tiene por eje el vector y por ángulo de rotación , el doble del ángulo con que se cortan los planos que contienen los lados y del triángulo esférico.

Supongamos que queremos visualizar el resultado de componer dos rotaciones: la primera, , de ángulo y un eje que en la figura he representado en amarillo; y la segunda, , de ángulo y eje que en la figura he representado de color fucsia. Los ejes se cortan entre sí en el centro de una esfera, formando cierto ángulo entre ellos. Imaginemos el plano que contiene el punto de corte y los ejes de las rotaciones y : en la figura de abajo es el plano que pasa por el centro de la esfera y que la corta en una circunferencia máxima de la que vemos, en rojo, el arco : llamaré a este plano . Ahora construyamos dos planos más:

1) El primero, que llamaré , será el plano que pasa por el centro de la esfera y se corta con el plano de forma que el ángulo que va de a sea , o sea, la mitad del ángulo de la rotación .

De este modo, podemos considerar la rotación como la composición de dos reflexiones respecto a un plano: la primera respecto al plano , seguida de la reflexión respecto al plano . Como una reflexión es una simetría respecto a un plano, indicaré las reflexiones con la letra , para diferenciarlas de las rotaciones:

2) El segundo plano, que llamaré , será el plano que pasa por el centro de la esfera y se corta con el plano de forma que el ángulo que va de a sea , o sea, también la mitad del ángulo de la rotación .

De este modo, podemos considerar a la rotación como la composición de dos reflexiones respecto a un plano: la primera respecto al plano , seguida de la reflexión respecto al plano :

La rotación , equivalente a efectuar la rotación seguida de la rotación será, por tanto:

Donde se han suprimido los paréntesis, innecesarios debido a la propiedad asociativa de la composición de funciones. Pero, como vemos, aparece la composición de la reflexión consigo misma, y una misma reflexión hecha dos veces consecutivas es lo mismo que no hacer nada (o sea, que tenemos , donde es la función identidad, el elemento neutro de la composición de movimientos). Así pues, tendremos que:

Es decir, hemos conseguido expresar el resultado de la composición de dos rotaciones como la composición de dos reflexiones respecto a dos planos, lo que es equivalente a una rotación cuyo eje es la recta en que se cortan los planos y (recta cuyo vector director en la figura está indicado como ). El ángulo de la rotación resultante, , es el doble del ángulo que va del plano al plano .^[4]

En la próxima entrada seguiremos con las rotaciones en el espacio euclídeo tridimensional. En concreto, hablaré de las ventajas y diferencias del método del álgebra geométrica, que utiliza cuaterniones, respecto al método clásico de las matrices ortogonales.

1. En álgebra geométrica, como el sentido de un bivector simple está determinado por el orden de los dos vectores que se multiplican exteriormente, la regla de la mano derecha es en el fondo superflua. En las figuras tridimensionales siempre escojo las bases ortonormales de modo que sigan la regla de la mano derecha (en este caso: , donde he redefinido el producto vectorial de vectores en función del producto exterior y de la contracción con la unidad pseudoescalar, que he escogido, como se ve en la figura, respetando la regla de la mano derecha). Si no hablamos de rotaciones simples “en torno a un eje” sino “en un plano”, el uso de la regla de la mano derecha no es necesario.

2. Recordemos de la entrada 13 que podemos identificar bivectores unitarios de la base canónica , y con los cuaterniones , y , respectivamente. De ahí resulta que los rotores de , al ser exponenciales de bivectores simples (el análogo tridimensional de un número imaginario puro), se pueden considerar cuaterniones de módulo unidad, análogamente al modo en que una exponencial imaginaria es un número complejo unitario.

3. Dado el valor del coseno, el valor del seno está fijado, excepto en un signo, por la conocida fórmula . Como el coseno de nuestro ángulo vale , los valores posibles para el seno serían . Pero el valor negativo queda descartado al ver que el factor que está multiplicando a es el valor positivo.

4. En la figura he tomado el ángulo como ángulo exterior al triángulo esférico en el vértice. También lo podría haber tomado como el ángulo interior sin ningún problema, pero como también ha de ir de a , en este caso el ángulo interior es negativo, y valdría . A ello se correspondería un ángulo de rotación de , es decir, una vuelta completa de 360º menos el valor , que tiene el mismo efecto que rotar un ángulo .

La rotación simple como composición de dos reflexiones (o de dos simetrías axiales)

De la entrada anterior sabemos que el vector reflejado, o simetría respecto a un hiperplano ortogonal a un cierto vector , de un vector viene dada por esta expresión:

Donde

Si al resultado de esta primera reflexión le aplicamos una segunda reflexión, esta vez respecto a otro hiperplano ortogonal a un vector , obtendremos:

Como se puede ver, los dos signos negativos se neutralizan entre sí, y resulta finalmente que hacer dos reflexiones respecto a dos hiperplanos ortogonales a dos vectores y es lo mismo que hacer dos simetrías axiales, la primera respecto al eje dado por el vector y la segunda respecto al eje dado por el vector . Si al producto de vectores lo llamamos , vemos que el resultado de hacer dos simetrías axiales, que según vimos al final de la entrada anterior es una rotación, se puede expresar así:

Donde el versor es el producto geométrico , y su correspondiente reversión.^[1] Identificaremos como el operador de la rotación o rotor resultante de componer las dos reflexiones, o alternativamente, las dos simetrías axiales.

Observemos que es el inverso de :

Además, es la suma de un escalar y de un bivector:

Como tanto como son vectores unitarios, tendremos que , donde es el del ángulo que forman entre sí los dos vectores. Por otra parte, sabemos que el producto exterior es una área orientada, cuya norma es:

Entonces, suponiendo que y no son colineales, es posible definir un bivector simple y unitario, que llamaremos , de este modo:

El bivector , definido de esta forma, representa el mismo subespacio bidimensional que el bivector y tiene además su misma orientación.

Y además, por ser unitario, tendremos:

Es decir, se comporta como una unidad imaginaria.

Tendremos así que será igual a:

Para justificar la expresión como exponencial basta ir a la definición de la función exponencial para un multivector cualquiera a partir de su desarrollo en serie:

Y hagamos :

Y aquí llega el momento de recordar que se comporta como una unidad imaginaria y, por tanto, no sólo tenemos que , sino además , … análogamente al comportamiento de las potencias de la unidad imaginaria. Por tanto:

Ahora basta comparar los términos de grado par, que he marcado en verde, con el desarrollo en serie del coseno; y los términos de grado par, marcados en azul, con el desarrollo en serie del seno:

Y tras identificar los términos pares del desarrollo de la exponencial con los del desarrollo del coseno de , y los términos impares del desarrollo de la exponencial con los del desarrollo del seno de multiplicados por , se demuestra lo que no es más que una generalización de la fórmula de Euler que habíamos visto en la segunda entrada de esta serie:

La deducción que en aquella entrada no hice, por no alargar, la he realizado finalmente aquí. Las buenas propiedades de convergencia de las series del seno y del coseno aseguran que esta forma de manipularlas es válida.

No es difícil ver que , como reversión de , tiene que ser:

También conviene volver a insistir en que estos desarrollos en serie sólo son válidos si los ángulos están expresados en radianes (1 vuelta = 360º = radianes).

Veamos cuál es el resultado de aplicar a un vector dos simetrías axiales. Vamos a considerar al vector descompuesto en dos partes: una parte que llamaremos , ortogonal tanto al vector como al vector , o lo que es lo mismo, perpendicular a un plano que contenga al bivector , y otra parte, que llamaremos , que sea combinación lineal de los vectores y , o sea, que esté contenida en un plano que contenga al bivector . En resumen:

( es ortogonal a )

( es ortogonal también a )

( es combinación lineal de y )

Así, el plan será ver cómo actúa la rotación sobre cada parte en que hemos descompuesto el vector .

Más adelante, en esta misma entrada, veremos cómo el álgebra geométrica puede expresar y calcular cada una de estas dos partes en que descomponemos .

Aplicar una rotación a una suma de vectores es lo mismo que sumar el resultado de las rotaciones de cada uno de los sumandos.^[2]. Por tanto, podemos aplicar por separado la rotación a cada parte en que hemos descompuesto :

Veamos primero qué le pasa a , la parte ortogonal a y . Expresamos la rotación como producto de simetrías axiales:

Como es ortogonal tanto a como a , los productos geométricos anticonmutan. El cambio de signo en el paréntesis central expresa que cambia de signo al sufrir la primera simetría axial respecto a un eje paralelo a . Como hay un nuevo cambio de signo tras la segunda simetría axial, respecto a un eje paralelo a , finalmente resulta que cualquier vector ortogonal a los vectores y no resulta afectado tras las dos sucesivas simetrías axiales.

Pero veamos qué le sucede al vector , que se encuentra en un plano paralelo al bivector simple . En este subespacio bidimensional una simetría axial es lo mismo que una reflexión respecto al hiperplano (unidimensional) dado por el mismo eje de simetría, tal como vimos en la entrada anterior. En la figura siguiente podemos ver el efecto no sólo sobre un vector , sino, para apreciarlo mejor, sobre un par de vectores arbitrarios representados en rojo, y que llamaré  y , que forman entre sí un ángulo . Tras hacer la primera simetría de estos vectores respecto al eje dado por el vector unitario obtenemos respectivamente los vectores y , representados en ocre en la figura. Aunque el módulo del ángulo que forman entre sí los vectores y es idéntico al que formaban entre sí los vectores originales y , el sentido ha cambiado, porque la simetría axial en dos dimensiones es un movimiento inverso que cambia el signo de los pseudoescalares relativos (o sea, los bivectores del subespacio bidimensional que estamos considerando). Una nueva simetría axial, esta vez respecto al eje dado por el vector unitario , transforma finalmente los vectores y en y , respectivamente, representados en verde. Esta simetría axial introduce un nuevo cambio de signo de los pseudoescalares relativos al subespacio, de modo que el ángulo entre los vectores y vuelve a tener el mismo módulo y sentido que el ángulo formado originalmente por y . El movimiento resultante de componer dos simetrías axiales es por tanto un movimiento directo, que no puede ser más que una rotación: si el módulo y sentido del ángulo relativo entre dos vectores se mantiene, el ángulo que ha rotado respecto a a tiene que ser idéntico al que ha rotado respecto a .

Podemos ver el efecto de la composición de dos simetrías axiales en el subespacio vectorial bidimensional generado por los vectores unitarios y . Partimos de dos vectores, y , indicados en rojo. En ocre se representan sus respectivos simétricos, y , respecto al eje dado por el vector unitario (todos los vectores se representan con un origen común). Una nueva simetría axial, esta vez respecto al eje dado por el vector unitario , transforma finalmente los vectores y en y , respectivamente, representados en verde. Como esta simetría axial introduce un nuevo cambio de signo de los pseudoescalares relativos al subespacio, el ángulo entre los vectores y vuelve a ser , con signo positivo. El movimiento resultante de componer dos simetrías axiales es, pues, un movimiento directo: una rotación. El ángulo de la rotación, , resulta ser el doble del ángulo que va de a .

Para determinar el ángulo asociado a la rotación que resulta de componer dos simetrías axiales basta con ver cómo se transforma un vector cualquiera del subespacio bidimensional, por ejemplo, el vector . Tras la primera simetría, respecto a sí mismo, este vector no cambia, naturalmente:

Y la segunda simetría, respecto a , envía el vector a su posición definitiva que forma, respecto a la original, un ángulo que es el doble del que forma con , como se aprecia en la figura:

El ángulo de la rotación que resulta de componer dos simetrías axiales es el doble del ángulo que forman entre sí los ejes de las simetrías, como se puede comprobar viendo a dónde envían las dos sucesivas simetrías al vector , asociado a la primera simetría axial.

El ángulo de la rotación, , es, pues, el doble del ángulo que va de a . La composición de dos simetrías axiales es igual a una rotación en el plano que contiene los ejes de simetría y cuyo ángulo de rotación es el doble del ángulo que forman los ejes de simetría. El sentido de la rotación es el mismo que el del ángulo que va al primer eje de simetría al segundo.

Así pues, si queremos expresar el operador de una rotación simple en función del ángulo de rotación, , y no del ángulo que forman entre sí los vectores y , hay que hacerlo así:

y para su reversión, :

Proyección y exclusión de un vector respecto a un bivector simple. Primera extensión de los conceptos de producto interior y producto exterior.

Ahora toca ver cómo se expresa la descomposición de un vector cualquiera, , en la suma de un vector contenido en el plano que contiene a los vectores y más otro vector ortogonal al plano, en el lenguaje del álgebra geométrica. Eso significa extender los conceptos de proyección y exclusión, que en la entrada anterior definimos respecto a un vector, para definirlos también respecto a un bivector simple (o, aún más en general, respecto a un multivector simple).

El vector es la parte ortogonal de al bivector simple y unitario , el cual, por ser simple y unitario, lo podemos expresar como producto geométrico de dos vectores ortonormales, que llamaré y (estos vectores forman una base ortonormal del subespacio vectorial representado por el bivector simple ):

Naturalmente podemos escribir:

para indicar que es la parte ortogonal del vector a la “dirección plana” dada por el bivector .

Análogamente, podemos escribir:

para indicar que es la parte paralela de a la “dirección plana” dada por el bivector .

Además, como está en el subespacio bidimensional representado por el bivector simple , siempre se puede tomar uno de los dos vectores, o , como la normalización de . Tomemos pues:

Recordemos una vez más que el cuadrado del bivector , definido más arriba, vale -1 por ser un bivector unitario. Por tanto:

Concentrémonos ahora en el interior del paréntesis, que contiene el producto del vector por el bivector :

Desarrollemos, pues,  como suma de los vectores y ; y como producto geométrico de los vectores unitarios y :

Vemos que el producto se puede descomponer en dos partes: una parte trivectorial, que he indicado en rojo (es el producto geométrico de tres vectores mutuamente ortogonales dos a dos, y, por tanto, también se puede reescribir como el producto exterior de los tres vectores), y una parte vectorial, que he indicado en verde (como , el producto se contrae al valor , que es lo que queda multiplicando a . Es decir, podemos escribir:

Donde, naturalmente, y (recordemos que la notación indica la parte de grado del multivector ). Y aquí podemos hacer una comparación con la fórmula fundamental del producto geométrico de dos vectores:

donde se presenta el producto geométrico de dos vectores como suma de una parte escalar (de grado 0), el producto interior, y de una parte bivectorial (de grado 2). En el caso del producto de un vector por un bivector, tenemos una parte de grado 1, que proviene de la parte que contiene una contracción, y una parte de grado 3, proveniente de la parte donde no hay contracciones. Por tanto, parece natural hacer una pequeña generalización de los conceptos de producto interior y de producto exterior, que hasta ahora se limitaban al producto de vectores, y extenderlo al producto de vectores por bivectores. Así, llamaremos producto interior de un vector por un bivector a la parte vectorial del producto geométrico :

Y, por otra parte, llamaremos producto exterior de un vector por un bivector a la parte trivectorial del producto geométrico :

La parte trivectorial proviene de la parte de perpendicular a la superficie orientada representada por el bivector ; y la parte vectorial proviene de la parte de paralela a la superficie representada por .

La definición general de producto interior y de producto exterior para cualquier tipo de multivectores homogéneos queda para entradas posteriores.

En resumidas cuentas, lo que tenemos es que podemos expresar la descomposición del vector en términos del producto interior y del producto exterior del vector por el bivector :

Del mismo modo que en la entrada anterior habíamos expresado la descomposición de un vector como suma de una parte paralela (la proyección) y una parte ortogonal (la exclusión) respecto a otro vector, aquí estamos descomponiendo un vector como suma de una parte paralela y de una parte ortogonal a una superficie orientada, dada por un bivector simple. Por tanto, podemos definir la proyección y la exclusión de un vector respecto a un bivector simple y expresarlas en el lenguaje del álgebra geométrica:

(proyección del vector sobre la superficie orientada representada por el bivector simple )

(exclusión del vector respecto a la superficie orientada representada por el bivector simple )

En la siguiente figura se puede visualizar el efecto de una rotación simple de “ángulo orientado” (donde sería el “valor escalar” del ángulo, mientras que el bivector unitario simple da la orientación y sentido del ángulo de rotación) sobre un vector , que es transformado en el vector rotado . La exclusión del vector respecto al bivector , o sea , no cambia con la rotación, de modo que la componente afectada por la rotación es la inclusión del vector respecto a .

Una rotación simple en tres dimensiones. La rotación simple rota los vectores paralelos a cualquier plano que contenga el bivector unitario simple (área orientada unidad) . Los vectores perpendiculares al área orientada no quedan afectados. Como la figura representa el caso tridimensional, el subespacio de vectores que no varían bajo una rotación simple es unidimensional (se trata de los vectores perpendiculares al plano de giro), y en el caso de la figura serían los vectores paralelos al “eje de rotación” representado por la recta de puntos. Pero el concepto de “eje de rotación” sólo existe en tres dimensiones. En cuatro dimensiones, por ejemplo, podríamos encontrar un subespacio vectorial bidimensional de vectores perpendiculares al bivector simple unitario , que es el que en realidad da el plano y sentido de rotación.

El concepto de “rotación en torno a un eje”, tomado de nuestra experiencia en el mundo tridimensional, es engañoso. Las rotaciones simples tienen lugar, en el caso general n-dimensional, en un plano, por así decirlo.

El teorema de Cartan-Dieudonné

Hemos visto cómo podemos obtener una rotación componiendo dos reflexiones respecto a un hiperplano, y cómo éstas rotaciones se asocian a la exponencial de un bivector simple. Una rotación que se pueda obtener de este modo diremos que es una rotación simple. Pero nada impide seguir componiendo más y más reflexiones. Como un número impar de reflexiones cambia de signo de los pseudoescalares, o volúmenes orientados, las rotaciones, que son las isometrías lineales que respetan la orientación de los pseudoescalares, se obtendrán componiendo un número par de reflexiones. Pero, ¿cuántos pares de reflexiones harán falta en general para describir cualquier rotación en un espacio lineal euclídeo de n dimesiones? Para ello necesitamos acudir al teorema de Cartan-Dieudonné, que afirma que cualquier transformación ortogonal (o isometría lineal) en un espacio bilineal simétrico^[3] de n dimensiones se puede obtener componiendo como máximo n reflexiones respecto a un hiperplano (donde recordemos que como hiperplano entendemos un subespacio lineal de n – 1 dimensiones).

Como las rotaciones requieren un número par de reflexiones (de lo contrario no conservarían la orientación de los volúmenes orientados), una rotación en un espacio lineal de n dimensiones requerirá como máximo n reflexiones, si n es par, pero sólo n – 1, si n es impar. Así, por ejemplo:

En el espacio euclídeo de 2 dimensiones, cualquier rotación se puede obtener como composición de 2 reflexiones. Todas las rotaciones en 2 dimensiones son, por tanto, simples (de hecho todas tienen lugar en un mismo plano).

En el espacio euclídeo de 3 dimensiones, cualquier rotación se puede obtener también como composición de 2 reflexiones respecto a un plano (aquí, a diferencia del caso bidimensional, tenemos muchísimos planos donde elegir) o, equivalentemente, como composición de 2 simetrías respecto a dos ejes. Una tercera reflexión respecto a un plano haría que la transformación cambiara de signo la orientación de los volúmenes, y así pasaría a ser la composición de una rotación con una reflexión especular. Por tanto, en tres dimensiones, todas las rotaciones son también simples al ser todas composición de sólo un par de reflexiones: en 3 dimensiones, cualquier rotación es “en un plano”, y deja invariante cualquier vector paralelo al “eje de rotación” perpendicular a dicho plano.

En los espacios lineales de 4 dimensiones, para describir una rotación cualquiera necesitamos componer, en general, 4 reflexiones o, equivalentemente, 2 rotaciones simples, donde cada rotación actúa en un plano diferente (y además, planos no paralelos que no se corten a lo largo de una recta, cosa perfectamente posible en cuatro dimensiones).^[4]

La próxima entrada tratará de las rotaciones en 3 dimensiones, que en álgebra geométrica se pueden tratar de un modo muy elegante y eficiente, en comparación con los clásicos tratamientos con matrices ortogonales que muchos posiblemente ya conozcáis.

1. En la mayoría de los textos se prefiere llamar a lo que yo he denominado , y viceversa.

2. Esto es consecuencia de que las rotaciones en un espacio vectorial, como las reflexiones respecto a un hiperplano o las simetrías axiales, son transformaciones lineales. En una transformación lineal siempre se cumple que la transformación de una suma de vectores es la suma de vectores transformados, y también que el producto de un escalar por un vector se transforma en el producto del escalar por el vector transformado

3. Espacio bilineal simétrico: espacio lineal en que se ha definido un producto escalar de vectores. Para nuestro caso, sirve el producto interior de vectores. Dentro de los espacios bilineales simétricos se incluyen tanto los espacios euclídeos (en que el producto interior de un vector distinto de 0 por sí mismo es siempre estrictamente positivo), como los espacios pseudoeuclídeos, como el de la Relatividad especial (en un espacio pseudoeuclídeo, una base ortogonal cualquiera del espacio lineal tiene tanto vectores de cuadrado positivo como vectores de cuadrado negativo).

4. Si los planos que se eligen para hacer las rotaciones simples se eligen de modo que se corten a lo largo de una recta, la transformación ortogonal estaría restringida a un subespacio tridimensional (no estaríamos aprovechando las cuatro dimensiones disponibles) y el resultado sería una rotación en un subespacio tridimensional, y por tanto una rotación simple.

Proyección y exclusión de un vector respecto a otro

Supongamos que tenemos dos vectores, y . Vamos a suponer además que tiene norma diferente de .^[1] Por tanto, podemos normalizar el vector dividiéndolo por su norma y obtener así un vector unitario, que llamaremos :

Pues bien, como podemos escribir:

Y ahora agrupamos los dos primeros factores para hacer el producto geométrico. Recordemos la identidad fundamental, :

Descomposición de un vector en suma de proyección (en verde) y exclusión (en azul) respecto a otro (en nuestro caso, ).

Así pues, hemos descompuesto el vector como suma de dos partes: la primera de ellas, , es múltiplo escalar de , y por tanto también de . Esto justifica que la etiquetemos como la parte de paralela a . En álgebra geométrica, esta parte se conoce como proyección del vector respecto al vector :

Lo habitual en los textos estándar de Matemáticas es referirse a la proyección de sobre como el escalar , pero en álgebra geométrica se prefiere reservar para este concepto la expresión proyección escalar. En álgebra geométrica la proyección (a secas) de un vector respecto a otro es también un vector.

De la igualdad de los bivectores simples (áreas orientadas) y se deduce que .

La segunda parte de la descomposición resulta ser el vector , la parte perpendicular del vector respecto al vector . Efectivamente, el bivector se puede reescribir como el producto geométrico :

y por tanto:

Al vector , o sea, la parte perpendicular de a , se lo conoce en álgebra geométrica como la exclusión del vector respecto al vector .^[2]

La simetría axial

Consideremos ahora este producto, parecido a la expresión de la que partíamos antes:

Sabemos que este producto tiene que dar como resultado un vector, por lo visto hacia el final de la entrada 11. Intentemos expresarlo en términos de la proyección y la exclusión de respecto a .

Por un lado, es un escalar, y por tanto conmuta con . Por otro, como ya hemos visto, el producto exterior es igual al producto geométrico , producto geométrico que anticonmuta, por tratarse de un producto de vectores ortogonales, circunstancia que nos pone en bandeja la aplicación de la propiedad asociativa del producto geométrico en el segundo término y dejarlo con un aspecto muy simple:

El producto resulta ser el vector simétrico al vector respecto al eje dado por el vector . Al hacer la simetría axial, la proyección del vector respecto al eje se conserva, mientras que la exclusión del vector respecto al eje cambia de signo.

En álgebra geométrica, el vector , simétrico del vector respecto a un eje paralelo a un vector viene dado por la expresión , donde es la normalización del vector . También se podría haber usado la expresión , sin usar explícitamente la normalización de .

La simetría axial es una transformación ortogonal o isometría vectorial. Con esta palabra los matemáticos quieren decir que es una transformación que conserva las longitudes de cualquier vector del espacio. Las transformaciones ortogonales también conservan el módulo de los ángulos que forman entre sí los vectores cuando estos son transformados. La expresión isometría vectorial viene de la comparación con el concepto de isometría en el espacio afín (que es el espacio formado por puntos, a diferencia del concepto de espacio vectorial, que es aquel cuyos elementos son vectores libres). En un espacio afín, una isometría es una transformación que también conserva longitudes y módulos de ángulos, y sería cualquier combinación de traslaciones, simetrías, reflexiones y rotaciones. Por tanto, es un movimiento rígido en el espacio, movimiento que puede ser directo, como traslaciones y rotaciones, o inverso, que sería el caso de una reflexión respecto a un hiperplano, que cambian de signo la orientación de los pseudoescalares. En el espacio vectorial no se consideran las traslaciones, porque un vector libre se considera siempre el mismo sea cual sea su punto de aplicación: por tanto las transformaciones ortogonales son, como veremos, combinaciones de reflexiones y rotaciones.

La fórmula obtenida para la simetría axial corresponde, en efecto, a una isometría vectorial: la distancia entre dos puntos está expresada por la norma del vector que los separa, que vale . La norma del vector resultante de la reflexión, será:

Que efectivamente, coincide con la norma del vector de partida. Como podéis ver, la fórmula de la simetría es un producto de vectores no nulos, o sea un versor, como sabemos desde la entrada 11, y el cálculo acaba reduciéndose a hacer un producto de versores con contracciones en cascada.

Una isometría también conserva el módulo del ángulo que forman dos vectores: en el caso de la simetría axial, podemos considerar que si tenemos dos vectores y que forman entre sí un cierto ángulo de módulo , los respectivos vectores transformados y forman también un ángulo con el mismo módulo .

Recordemos la fórmula:

Análogamente, para el par de respectivos vectores transformados, tendremos:

Como ya hemos visto, y . Para ver que basta comprobar que el producto interior se conserva bajo una simetría axial:

Y, por tanto, el módulo del ángulo que forman entre sí los vectores transformados es igual al que forman los respectivos vectores originales.

La simetría respecto a un hiperplano (o reflexión)

Consideremos esta expresión:

Que no es más que la expresión de la simetría axial cambiada de signo. Por tanto, valdrá:

Lo que tenemos en este caso es que la exclusión respecto al vector sigue igual después de la transformación, pero la proyección respecto a cambia de signo. Suponiendo que estamos en un espacio vectorial de n dimensiones, todos los vectores perpendiculares a , que forman un subespacio de n-1 dimensiones, no quedarán modificados por la transformación, y los vectores con el mismo sentido que (que forman un subespacio unidimensional) cambiarán de signo. Por tanto, lo que describe la transformación es una reflexión del vector respecto al hiperplano ortogonal al vector .

En la figura podemos ver el vector , su simétrico respecto al eje dado por el vector , indicado como , y también el vector , que es la reflexión de respecto al hiperplano ortogonal al vector . Como la figura representa el caso tridimensional, el hiperplano en cuestión es un plano bidimensional.

En un espacio de n dimensiones, un hiperplano es un subespacio de n-1 dimensiones perpendicular a un vector. En dos dimensiones, un hiperplano seria un espacio de dimensión 2-1 = 1, o sea, una línea recta perpendicular a un vector normal. En el espacio de 3 dimensiones, un hiperplano es un plano bidimensional normal y corriente, cuya dirección puede definirse por su perpendicularidad a un cierto vector (denominado vector normal al plano). En un espacio de 4 dimensiones, un hiperplano es un subespacio de 3 dimensiones ortogonal a cierto vector (el vector normal al hiperplano en cuestión), y así sucesivamente.

Una reflexión respecto a un hiperplano cambia el signo de los pseudoescalares

Consideremos el pseudoescalar canónico de que nos da la unidad de “hipervolumen orientado” en :

Y veamos cómo le afecta la reflexion respecto a un hiperplano ortogonal a un cierto vector .

Como no es obligatorio expresar el pseudoescalar canónico en términos de la base canónica original , , … , podemos introducir una nueva base ortonormal con la misma orientación , … , de modo que el primer vector de la nueva base coincida con la normalización del vector .

El pseudoescalar canónico se expresaría análogamente:

En esta base es muy fácil ver que el efecto de la reflexión sobre el pseudoescalar es cambiarlo de signo. Llamemos al pseudoesalar resultado de la reflexión:

Como , para tendremos (el vector normal al hiperplano cambia de sentido en la reflexión) y para tendremos (los vectores dentro del hiperplano no cambian). De ahí que el pseudoescalar unitario canónico cambie de signo bajo una reflexión respecto a un hiperplano.

En la figura de abajo podemos ver un ejemplo en tres dimensiones. En tres dimensiones los hiperplanos son los planos bidimensionales ordinarios. La mano izquierda y la mano derecha son simétricas respecto a un (hiper)plano de simetría (no representado en la figura): una es la reflexión de la otra respecto al plano de simetría. A cada mano se asocia una base ortonormal de vectores, cada una simétrica de la otra respecto al plano de simetría. El hecho de que un pseudoescalar cambie de signo bajo una reflexión respecto a un hiperplano se manifiesta en que no es posible convertir una mano (o su base ortonormal asociada) en la otra utilizando exclusivamente traslaciones y rotaciones, ya que ni traslaciones ni rotaciones pueden cambiar de signo un pseudoescalar: por mucho que intentemos mover y rotar una mano izquierda en el espacio, no la podemos convertir en una mano derecha, y viceversa. Una isometría que no cambie el signo de los pseudoescalares se podrá imaginar siempre como una combinación de traslaciones y rotaciones. Una isometría que, en cambio, produzca un cambio de signo de los pseudoescalares se podrá imaginar siempre como una combinación de traslaciones, rotaciones más una reflexión respecto a un hiperplano.

En tres dimensiones los hiperplanos son planos, valga la redundancia, bidimensionales. La mano izquierda es la versión reflejada de la mano derecha y viceversa. La reflexión respecto a un hiperplano es un movimiento inverso, porque cambia la orientación de los pseudoescalares: es imposible superponer el sistema de coordenadas asociado a la mano izquierda con el sistema asociado a la mano derecha usando sólo traslaciones y rotaciones en el espacio.
Atribución, licencia y URL original:
Primalshell [CC BY-SA 3.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0)] https://commons.wikimedia.org/wiki/File:3D_Cartesian_Coodinate_Handedness.jpg

Cuando n es par, una simetría axial cambia el signo de los pseudoescalares, porque los vectores en el subespacio (n-1)-dimensional cambian de signo, mientras los vectores paralelos al eje de simetría (que forman un espacio unidimensional) no lo hacen. De ahí resulta un número impar de cambios de signo en los pseudoescalares. Por ejemplo, si n vale 2, una simetría axial equivale siempre a una reflexión respecto al hiperplano (unidimensional) que resulta ser el propio eje de simetría axial. En dos dimensiones, tras una simetría axial, el retrato de una cara de perfil que mira a la izquierda (o, respectivamente, a la derecha) se transforma en un retrato de una cara que mira a la derecha (o, respectivamente, a la izquierda), y no es posible superponer una imagen sobre su simétrica haciendo traslaciones y rotaciones en el plano.

Cuando n es impar, una simetría axial no cambia el signo de los pseudoescalares, ya que hay en total un número par (n-1) de cambios de signo en los vectores de una base del subespacio ortogonal al eje de simetría. Por ejemplo, si n vale 3, una simetría axial es exactamente lo mismo que una rotación de 180º en torno al eje de simetría, que es un movimiento directo y no lleva asociado cambio de signo de los pseudoescalares: una mano izquierda (o, respectivamente, derecha) sigue siendo una mano izquierda (o, respectivamente, derecha) tras una simetria axial en tres dimensiones, porque simplemente ha sufrido una rotación de 180º respecto al eje de simetría.

Ejemplo 1: simetría axial en dos dimensiones

Tenemos el vector . Calculemos la simetría axial respecto a un eje que siga la dirección del vector . Normalicemos :

Y ya podemos calcular la correspondiente simetría axial:

Visualización de la simetría axial del ejemplo 1. En dos dimensiones, la simetría axial coincide con la reflexión respecto al hiperplano unidimensional dado por el propio eje de simetría axial.

Ejemplo 2: simetrías y reflexiones en tres dimensiones

Calculemos la simetría axial de los vectores:

y

respecto al eje dado por el vector:

cuya normalización vale:

Comencemos por el simétrico del vector :

No es difícil ver que las partes trivectoriales, que he marcado en gris, se anulan todas entre sí, como tiene que ser, y como sabíamos desde el principio que tenía que pasar. En álgebra geométrica es frecuente encontrarse con situaciones en que sabemos de antemano que el resultado de una operación con multivectores tiene que dar solamente términos de un grado determinado, cosa que se puede aprovechar para ignorar directamente aquellos términos que sabemos que no van a contribuir al resultado final, y que resulta muy útil cuando hay muchos de estos términos (eso sí, hay que tener la seguridad de no haber cometido errores de cálculo). Por tanto, tenemos finalmente:

Observemos de pasada que no tiene componente paralela a (que en la figura de más abajo, da el sentido positivo del eje Z), y, por tanto, se encuentra en el plano de los vectores y , que, respectivamente, dan los sentidos positivos de los ejes X e Y, como podréis ver en la figura.

Pasemos a hacer la simetría axial del vector respecto al vector :

En verde, el vector da el eje de simetría. El vector es el vector simétrico de , y el vector es el vector simétrico de . Los vectores y son las respectivas reflexiones de los vectores y respecto al (hiper)plano ortogonal (el plano representado en color amarillo) a . Los vectores , , y se hallan en un mismo plano que en la figura está en color magenta. Análogamente, los vectores , , y están en otro plano, representado de color cian. En gris se representa el plano horizontal determinado por los ejes coordenados X e Y. En este plano resulta que se encuentran también tanto como .

¿Qué sucederá cuando hagamos la combinación de dos reflexiones? Si las hacemos respecto al mismo plano obtendremos la transformación identidad, es decir, la transformación deja todo como estaba inicialmente. Pero si reflejamos respecto a hiperplanos que forman un ángulo entre sí, obtenemos una nueva transformación. Como cada reflexión cambia una vez el signo de los pseudoescalares, el resultado de dos reflexiones no cambiará el signo de los pseudoescalares y, por tanto, no puede ser una reflexión. ¿Qué tipo de transformaciones lineales dejan invariantes a los pseudoescalares? Las rotaciones: de las rotaciones como composición de reflexiones (o simetrías axiales) tratará la próxima entrada.

1. En espacios de métrica euclídea, eso equivale a decir que es diferente de , pero en espacios de métrica pseudoeuclídea, como el que se utiliza en la relatividad especial, sí pueden existir vectores diferentes de con norma igual a .

2. En los textos en inglés, el término utilizado habitualmente es rejection, que alguna que otra vez he visto traducir como “rechazo” o incluso como “reyección”. Como ninguna de esas traducciones me acaba de satisfacer, me he quedado finalmente con exclusión.

Un multivector genérico de tiene un total de 8 componentes: una escalar, tres vectoriales, tres bivectoriales y una trivectorial (pseudoescalar):

El pseudoescalar unitario canónico de se indica, como en toda álgebra geométrica, como , que en este caso valdrá:

El cuadrado de vale -1, igual que pasaba en (donde teníamos que ):

La idea que he seguido para reordenar los factores y hacer las contracciones es esta: como es un trivector, será igual a su reversión cambiada de signo: , como vimos en la entrada 11. Por tanto, , ya que en toda álgebra geométrica asociada a un espacio de métrica euclídea (o sea, en el que los vectores tienen cuadrado positivo) el producto de por su reversión da 1, al producirse contracciones en cascada.

Es decir, igual que pasaba en , en también se cumple que . Eso no quiere decir que en dimensiones superiores siga siendo así: en tendremos que cumple que , como también sucede en . En cambio, en y volvemos a tener : si recordáis lo dicho en la entrada 11 sobre el signo de la reversión de un multivector homogéneo (o sea, cuyos términos son todos del mismo grado) no es difícil de entender.

Las álgebras geométricas más interesantes en la práctica, al menos en Física, que son la del plano euclídeo, , la del espacio euclídeo tridimensional, y la del espacio de Minkowski de la relatividad especial, , cumplen las tres que .^[1]

Tenemos así que en el pseudoescalar unitario canónico se comporta de nuevo como una unidad imaginaria, y el conjunto de multivectores de que sólo tengan parte escalar y parte trivectorial se comportan exactamente igual que números complejos cuando se operan entre sí: hemos descubierto dentro de una subálgebra que resulta ser una copia del conjunto de los números complejos, como sucedía con la subálgebra par de .

Estos “complejos” pueden ser representados perfectamente, si es necesario, en forma polar:

donde, naturalmente:

y

Sin embargo, a diferencia de lo que pasaba con el pseudoescalar de , en el pseudoescalar conmuta con los vectores, o sea, que para cualquier vector tendremos:

Análogamente a la entrada anterior, en que había que demostrar la anticonmutatividad, podríamos demostrar ahora la conmutatividad comprobándola para los tres vectores de la base, pero es mucho más inteligente hacerlo representando al pseudoescalar como un paralelepípedo de volumen 1 que tenga por aristas los vectores , y , que forman una base ortogonal, aunque no necesariamente ortonormal.

Siempre es posible reexpresar el trivector unitario de forma que sea el producto de un vector por otros dos vectores, y , escogidos de modo que los tres formen una base ortogonal y que el volumen orientado del paralelepípedo que definen sea idéntico al representado por el pseudoescalar unitario canónico.

Tendremos así:

y la conmutatividad de con se demuestra fácilmente. Multiplicando por un lado tendremos:

Si multiplicamos por el otro lado podemos llevar el factor hacia adelante, saltando por encima de los dos vectores y . Cada salto lleva aparejado un cambio de signo, porque es ortogonal a ambos vectores. Como hay un número par de cambios de signo, acabamos obteniendo el mismo resultado que antes:

En la entrada anterior vimos que en los vectores anticonmutaban con los pseudoescalares, que allí eran los bivectores. Ahora vemos que en los vectores conmutan con los pseudoescalares (que ahora son los trivectores). Este resultado se generaliza a las demás álgebras asociadas a un espacio vectorial de n dimensiones (sin importar que la métrica sea euclídea o pseudoeuclídea) del siguiente modo:

1) En , cuando n es par, los vectores anticonmutan con los pseudoescalares. De ahí se deduce que los multivectores de grado par (bivectores, cuadrivectores, etc) conmutan con los pseudoescalares y los multivectores de grado impar (además de los vectores, los trivectores, etc.) anticonmutan con los pseudoescalares.

2) En , cuando n es impar, los vectores conmutan con los pseudoescalares. De ahí se deduce que todos los multivectores del álgebra, no importa si su grado es par o impar, también conmutan con los pseudoescalares.

Por tanto, en el caso de , tendremos que conmuta con los vectores y, por tanto, con cualquier elemento del álgebra, al igual que los escalares. Con ello resulta que los multivectores que consten solamente de parte escalar y parte trivectorial conmutan con cualquier otro elemento del . Los “complejos” de forman lo que los matemáticos llaman el centro de , es decir, la mayor subálgebra que existe en cuyos elementos conmutan con cualquier elemento de .

Aparte de eso, desde el punto de vista geométrico, la subálgebra formada por escalares y trivectores de no es muy interesante. A diferencia de lo que sucede en , los complejos de no se comportan como operadores de rotación-reescalado. La subálgebra de que realmente nos interesa es, como siempre será el caso, la subálgebra par.

La subálgebra par de , los cuaterniones

De las 8 dimensiones de un multivector , la mitad corresponden a la parte de grado par (una dimensión escalar y tres dimensiones bivectoriales) y la otra mitad a la parte de grado impar (tres dimensiones vectoriales y una dimensión trivectorial o pseudoescalar). Los multivectores de grado par forman una subálgebra: al sumar y multiplicar multivectores de grado par vuelvo a obtener multivectores de grado par. Los multivectores de grado impar no forman una subálgebra: si multiplico dos multivectores de grado impar no obtengo un multivector de grado impar, sino par.

En toda álgebra geométrica el conjunto de multivectores con términos de grado par forma una subálgebra. A los elementos de una subálgebra par se les conoce como espinores. De este modo, los complejos son, de acuerdo con lo que vimos en la entrada pasada, los espinores de , y ahora vamos a ver que los cuaterniones son los espinores de .

Recordemos que los cuaterniones tenían una parte escalar y una parte, según decía Hamilton, “vectorial”. Esta parte “vectorial” se expresaba como combinación lineal de una base ortonormal de tres “vectores”: , y . Estos “vectores” cumplían esta igualdad:

Pues bien, consideremos esta base de los bivectores de : , y . El cuadrado de cada uno de estos bivectores es -1, naturalmente:

Y si hago el producto de estos tres bivectores se obtiene -1, análogamente a hacer el producto de “vectores” :

Es decir, los bivectores , y se comportan exactamente igual que los “vectores” , y , respectivamente. Por tanto, la subálgebra par de es indistinguible de los cuaterniones: multiplicar o sumar dos elementos de la subálgebra par de es como multiplicar o sumar dos cuaterniones.

También con esto queda claro que, desde el punto de vista del álgebra geométrica, lo que Hamilton llamaba “vectores” son en realidad bivectores. Con los cuaterniones, un vector se está confundiendo con la superficie orientada perpendicular a él.

Igual que sucedía en con los complejos unitarios, los cuaterniones unitarios se comportan como operadores de rotación en . Adelanto que la expresión de la rotación de un vector tiene esta forma:

Donde es el ángulo de rotación y es un bivector unitario. Veremos que, análogamente al caso de los complejos, en que un complejo unitario se puede escribir como una exponencial de un imaginario, un cuaternión unitario se puede expresar como exponencial de un bivector. Así pues, tendremos que para rotar un vector hay que multiplicarlo por un lado por un cuaternión unitario y por el otro por el respectivo cuaternión conjugado. El cuaternión unitario codifica la rotación de forma muy eficiente (con sólo cuatro componentes, que además cumplen la condición de normalización del cuaternión) y cuando se expresa como exponencial de bivector, salta a la vista el ángulo y plano de rotación. El método convencional para representar rotaciones mediante matrices ortogonales de tres filas y tres columnas es más engorroso: utiliza más parámetros y el ángulo y eje de rotación no son tan fáciles de ver. Por ello, el uso de cuaterniones ha sustituido al uso de matrices en la animación por ordenador, como veremos. Las próximas entradas se dedicarán a las simetrías y rotaciones en el álgebra geométrica.

Pero antes de acabar la entrada de hoy, conviene comentar el problema de hallar inversos de multivectores. Si bien todo complejo o cuaternión diferente de 0 tenía inverso, ya no es cierto que exista siempre inverso para cualquier multivector no nulo de una álgebra geométrica. En las álgebras geométricas no está garantizada la existencia de inverso de un multivector diferente de 0, o, lo que es lo mismo, las álgebras geométricas no tienen en general estructura de cuerpo.

Los inversos de los multivectores en .

En los conjuntos y , respectivamente, los números complejos y los cuaterniones, vimos que podíamos obtener el inverso de cualquier complejo o cuaternión que fuera diferente de 0: basta dividir el conjugado (que en álgebra geométrica corresponde a la reversión) del complejo o cuaternión por el cuadrado de su norma, obtenido como producto del complejo o cuaternión por su respectivo conjugado. En el caso de los multivectores de una álgebra geometrica, no siempre existe el inverso, como vamos a ver.

El inverso de los multivectores homogéneos de , y también de , cuando todos los términos tienen el mismo grado, no ofrece problema, porque el método de dividir la reversión del objeto por el producto del objeto por su reversión, no importa que se trate de escalares, vectores, bivectores o trivectores, también funciona:

El método funciona porque tanto en como en cualquier multivector homogéneo de grado m es simple, es decir, puede expresarse como un producto exterior de m vectores. Un producto exterior de m vectores también puede expresarse como un producto geométrico de m vectores (ortogonales) y, por tanto, es un versor, al que puede aplicarse la fórmula del inverso de un versor que vimos en la entrada 11. Pero cuando n es mayor que 3, como veremos, no todos los multivectores homogéneos de tienen por qué ser simples, y la fórmula del inverso de un versor deja de tener validez general.

Pero volviendo a y , cuando tenemos multivectores no homogéneos, ya no es aplicable en general la fórmula del inverso de un versor. Todavía sí en el caso de la suma de escalares con bivectores, porque entonces es como calcular el inverso de un cuaternión. Tampoco hay problema en hallar el inverso de la suma de un escalar y de un trivector, porque es como calcular el inverso de un complejo. Pero, ¿cómo hallar, por ejemplo, el inverso de la suma de un escalar y de un vector? El método de los complejos o de los cuaterniones, que utiliza la reversión, ya no funciona. Pero en este caso sí funciona, normalmente, sustituir la reversión por la involución de grado. Calculemos el inverso de :

Y efectivamente, podemos comprobar que se cumple que . Pero fijémonos que en el cálculo del denominador ha aparecido una diferencia de cuadrados (en el caso del cálculo de inversos de complejos o cuaterniones siempre aparece una suma). ¿Qué pasará cuando tengamos que calcular el inverso de la suma de un escalar y un vector en la que la norma del vector coincide con el módulo del escalar? Por ejemplo, esto:

Donde es un vector unitario:

Si queremos aplicar la fórmula del inverso para sumas de escalares y vectores, que utiliza la involución de grado, debemos calcular el producto de esta expresión por su involución de grado, que aparecería dividiendo. Pero resulta que ese producto se anula:

Y la fórmula no permite obtener un inverso válido, al no poder dividir por 0. Acabamos de encontrar un multivector diferente de 0 que parece no tener inverso. Y, efectivamente, no lo tiene. Calculemos ahora el cuadrado de este multivector, y veremos algo curioso:

Un multivector que cumple, como el del ejemplo, que , es lo que se conoce como elemento idempotente. Un elemento idempotente diferente de 1 no puede tener inverso: si suponemos que sí lo tiene llegamos inmediatamente a una contradicción. Supongamos que existe , el presunto inverso de . Entonces podríamos multiplicar por por la derecha, por ejemplo, a ambos lados de la igualdad , y obtenemos:

Lo cual es una contradicción, porque partimos de que es distinto de 1.

Tampoco son invertibles los llamados elementos nilpotentes. Un multivector es nilpotente es el que, siendo diferente de 0, cumple: para cierto número positivo m. Aquí tenemos un ejemplo:

que, por cierto, resulta de multiplicar por el idempotente , y que también podemos escribir como:

No es difícil comprobar que el cuadrado de este multivector (muy conocido, por cierto, en mecánica cuántica), es 0, y por tanto, es un elemento nilpotente (en este caso, m es simplemente 2).

Un elemento nilpotente tampoco tiene inverso. Parecidamente al caso de los idempotentes, si suponemos que lo tiene, llegamos a una contradicción.

Además, cualquier multivector que resulte de multiplicar un multivector no invertible por otro multivector (sea este último invertible o no) tampoco es invertible.^[2]

El hecho de que no todo objeto diferente de 0 en una álgebra de Clifford sea invertible es algo a tener muy en cuenta a la hora de hacer simplificaciones. Si tenemos una ecuación de este estilo:

no podemos “tachar” alegremente en los dos lados sin saber si existe o no . Sólo si es invertible podemos hacer:

y por tanto, deducir que:

Un ejemplo concreto. Se puede comprobar que la siguiente igualdad es cierta:

A pesar de que claramente . El factor es no invertible (es idempotente) y no se puede tachar impunemente a ambos lados de la igualdad.

El conjugado de Clifford

El inverso de un multivector invertible tanto en como en siempre se puede calcular con la ayuda del llamado conjugado de Clifford, que es la involución que resulta de combinar la reversión y la involución de grado. El inverso de un multivector será:

donde es la reversión de la involución de grado, o sea, el conjugado de Clifford del multivector . El inverso de existirá si el denominador de la expresión, que será escalar, es diferente de 0.

Para multivectores de  donde n es mayor que 3 el método del conjugado de Clifford, en general, ya no tiene por qué funcionar. Para comenzar, ya no está garantizado que el producto de un multivector por su conjugado de Clifford dé un resultado escalar…

Con esto, acabo esta parrafada sobre el delicado problema de los inversos en las álgebras de Clifford, que en general no tienen estructura de cuerpo, a diferencia de los complejos o los cuaterniones, al no tener normalmente inverso para todo elemento diferente de 0. Creo que era necesario advertir sobre esta importante diferencia de las álgebras geométricas con los conjuntos numéricos de uso habitual.

Y, para acabar, las buenas noticias: afortunadamente, en álgebra geométrica los inversos que se necesitan normalmente son inversos de vectores, o más en general, de versores. En la entrada 11 ya vimos que el inverso de un versor es el cociente de su reversión y el producto del versor por su reversión:

que, aunque no es generalizable a cualquier tipo de multivector, de hecho proporcionará cualquier inverso que necesitemos en la práctica.

1. El álgebra geométrica asociada al espacio de Minkowski, o álgebra de Dirac, tiene como pseudoescalar unitario canónico el cuadrivector cuyo cuadrado da -1 a pesar de ser un cuadrivector, gracias a que la métrica es pseudoeuclídea y un número impar de vectores de la base tienen cuadrado negativo.

2. Todo esto es análogo a lo que sucede en el caso de las álgebras de matrices cuadradas, y será familiar para quien conozca las álgebras de matrices cuadradas. Una matriz cuadrada es invertible cuando su determinante es diferente de 0, y para que el producto de dos matrices cuadradas del mismo tamaño sea invertible, es necesario (y suficiente) que las dos sean invertibles una por una. Ya comenté en una nota de una entrada anterior que las álgebras geométricas se pueden representar siempre por una álgebra de matrices cuadradas. En el caso de , los vectores , y se pueden representar, respectivamente, por las matrices , y . Estas matrices, conocidas como matrices de Pauli, generan mediante combinaciones lineales y productos de matrices una álgebra de matrices cuadradas utilizada en mecánica cuántica isomorfa a . En el enfoque del álgebra geométrica, sin embargo, el uso de representaciones matriciales es un engorro innecesario.

Un multivector de es, como sabemos, un objeto cuadridimensional: tiene una componente escalar, dos componentes vectoriales y una componente bivectorial.

Podemos comenzar a distinguir entre una parte de grado par y una parte de grado impar. El número de dimensiones de grado par (2) es igual al número de dimensiones de grado impar, como sucede en cualquier álgebra geométrica. Los elementos de que sólo tienen partes de grado par forman una subálgebra: si multiplico entre sí dos multivectores que sólo tienen partes de grado par, vuelvo a obtener un multivector con sólo partes de grado par. En cambio, la parte de que sólo contiene multivectores de grado impar (y en este caso, formada en exclusiva por los vectores) no es una subálgebra: si multiplico dos vectores obtengo una suma de escalar más bivector, que es par, con lo que me salgo del conjunto de multivectores de grado impar.

Si nos fijamos un poco veremos que la subálgebra par de es algo muy familiar. Llamemos a la unidad pseudoescalar de , el bivector :

Si calculamos el cuadrado de multiplicándolo por sí mismo obtenemos:

Por tanto, en  tenemos que , y vemos que se comporta igual que , la unidad imaginaria de los números complejos. Además, conmuta con los números reales, igual que la unidad imaginaria . Dos multivectores pertenecientes a la subálgebra par de  se suman y multiplican entre ellos exactamente igual que dos números complejos:

El comportamiento de los elementos de la subálgebra par al operarlos entre sí es absolutamente indistinguible del que tienen los números complejos, y por ello a los matemáticos les gusta decir que la subálgebra par de y el conjunto de los números complejos son conjuntos isomorfos. Todo lo que sabemos sobre números complejos es aplicable a la subálgebra par de . Por ejemplo, como el producto de números complejos es conmutativo, el producto de dos elementos de la subálgebra par también lo será. También podemos expresar cualquier elemento de la subálgebra par en forma polar, como los complejos:

Donde, de forma totalmente análoga a como vimos en la correspondiente entrada dedicada a los números complejos, es el módulo del “complejo”:

y el ángulo es su correspondiente argumento:

En la práctica, nos podemos referir tranquilamente a los elementos de la subálgebra par de como “complejos”.

La reversión hace el papel de la conjugación compleja

Como el reverso de es igual a :

tenemos que la conjugación compleja, desde el punto de vista del álgebra geométrica, no es más que la reversión:

La diferencia entre e es que tiene una interpretación geométrica directa, al ser la unidad pseudoescalar de , una superficie unitaria orientada, mientras que es simplemente una abstracta raíz cuadrada de la unidad negativa sin relación con la geometría. Además puede multiplicarse perfectamente por un vector, para dar, como veremos, el vector rotado en 90º, mientras que un producto de por un vector no tiene sentido geométrico.

El producto de vectores y bivectores de anticonmuta

El producto de , la unidad pseudoescalar de , por un vector anticonmuta: el resultado de la multiplicación cambia de signo al cambiar el orden del producto:

Una forma muy sencilla de verlo, aunque no muy elegante que digamos, es comprobar que anticonmuta tanto con como con , los vectores de la base ortonormal en que estemos trabajando:

Comprobémoslo primero con el vector :

Y a continuación con el vector :

Y claro, como cualquier vector se puede expresar como combinación lineal de los vectores y y todo bivector de es múltiplo escalar de , se deduce que los vectores del plano anticonmutan con los pseudoescalares de .

Este modo de demostrar la anticonmutatividad del producto de un vector por la unidad pseudoescalar en no es elegante porque procede componente a componente. Imaginad que tuviéramos que comprobar si un vector de conmuta o anticonmuta con el correspondiente pseudoescalar unitario comprobándolo para cada vector de la base ortonormal: sería patético.

Una idea pedagógica sobre la que se insiste mucho en álgebra geométrica es que trabajar componente a componente sin necesidad es un caso flagrante de coordinitis,^[1] un síntoma de una gran limitación de la capacidad conceptual. Es como empeñarse en usar unas muletas para caminar cuando no se necesitan.

Pero pensando geométricamente, sin atarnos a la idea de que un vector es una combinación lineal de los vectores de una particular base ortonormal, podemos demostrar que anticonmuta con cualquier vector de un modo más directo:

La unidad pseudoescalar de es pero se puede reexpresar siempre como , donde el vector es un vector ortogonal al vector , de modo que el área del paralelogramo de lados y valga 1 y su orientación sea la misma que la del cuadrado orientado .

En la figura tenemos un mismo bivector, , expresado de dos formas diferentes. Recordemos que dos superficies orientadas iguales y con la misma orientación representan el mismo bivector. Podemos elegir una forma u otra según nos convenga mejor a la hora de hacer un cálculo o razonamiento en álgebra geométrica.

Tendremos entonces:

Y si multiplicamos en orden inverso:

Donde hemos utilizado el hecho de que los vectores y son ortogonales y, por tanto, anticonmutan. En dimensiones superiores a 2, y para ello serviría básicamente la misma demostración, también se cumple que los bivectores simples anticonmutan con los vectores contenidos en el mismo plano (o en un plano paralelo) que el del bivector.

Además, como el área del paralelogramo de lados y vale 1, se cumple y tendremos entonces:

Es decir, obtenemos un vector con la misma norma de , pero que apunta en la dirección de . Del mismo modo:

Es decir, el efecto de multiplicar un vector del plano por es rotar el vector 90º en el mismo sentido de rotación que va desde a , cuando multiplica por la derecha, o 90º en el sentido contrario, cuando multiplica por la izquierda.^[2] En esta misma entrada veremos qué hay que hacer para rotar un vector un ángulo diferente de 90º.

El producto geométrico de dos vectores de como complejo

Volvamos una vez más a la fórmula fundamental del producto geométrico de dos vectores:

El producto geométrico de dos vectores de es la suma de un escalar y de un bivector y, por tanto, se puede interpretar como un número complejo. Recordemos, además, que el producto interior de dos vectores es igual al producto de las normas de los vectores por el coseno del ángulo que forman:

También vimos que la norma del producto exterior de dos vectores es igual al producto de las normas de los vectores por el módulo del seno del ángulo que forman:

No cuesta mucho ver que en  el producto exterior de dos vectores se puede escribir como:

Efectivamente, en todo bivector es múltiplo del pseudoescalar unitario , y el signo del seno será positivo o negativo según el sentido del bivector sea igual u opuesto al bivector . Como es costumbre representar en el plano los ángulos positivos como los que van contra el sentido de las agujas del reloj, represento en las figuras al pseudoescalar unitario como un cuadrado en el que el ángulo recto que va de a  se recorre en sentido contrario a las agujas del reloj, aunque el álgebra geométrica por sí misma no necesita establecer ningún tipo de convenio de sentido para los multivectores.

O sea, podemos escribir el producto de dos vectores como:

Y obtenemos el producto de las normas de los dos vectores por un complejo unitario cuyo argumento es el ángulo , cuyo sentido se toma del primer vector que se multiplica, en este caso , al segundo, en este caso .

El producto geométrico de dos vectores de es un complejo cuyo módulo es el producto de las normas de los vectores y cuyo argumento es el ángulo relativo que forman los dos vectores entre sí. El sentido de este ángulo relativo va siempre del primer vector que se multiplica hacia el segundo vector.

Como el resultado del producto geométrico sólo depende de las normas de los vectores y del ángulo relativo formado entre ellos, su valor no cambia si se rota un mismo ángulo cada uno de los vectores. En dimensiones mayores que 2 esto también es cierto, siempre que la rotación de ambos vectores los mantenga en el mismo plano en que se encuentren originalmente.

Como el valor del producto geométrico de dos vectores de sólo depende de las normas de los vectores del ángulo relativo que forman, su valor no cambia al aplicar a ambos una misma rotación de ángulo .

Todo complejo de puede imaginarse también como producto de dos vectores elegidos de modo que el producto de sus normas dé la norma del complejo y que el ángulo relativo entre ellos sea el argumento del complejo.

Un vector de tiene una “orientación absoluta” en el plano, mientras que el argumento de un complejo representa una “orientación relativa” entre dos vectores del plano. Si el producto de dos vectores da un complejo, el producto de dos complejos es, como vimos en la correspondiente entrada, otro complejo cuya norma es también el producto de las normas de los complejos que se multiplican, pero el argumento ya no es el ángulo relativo, como en el producto de vectores, sino la suma de argumentos de los complejos. Esta suma de argumentos representa una suma de rotaciones relativas, lo cual nos lleva al apartado siguiente…

Los complejos unitarios como operadores de rotación

La deducción general de cómo se rota un vector en una álgebra geométrica cualquiera aún tiene que esperar algunas entradas, pero para el caso bidimensional ya podemos verificar este importante resultado:

Para rotar un vector de un ángulo , hay que multiplicarlo por la derecha por el complejo unitario :

Donde el vector es el resultado de la rotación.

Para rotar un vector un ángulo hay que multiplicarlo por complejo unitario por la derecha. También se obtiene el mismo resultado multiplicando por el conjugado del complejo anterior por la izquierda. Incluso, se puede obtener la rotación multiplicando el vector por por la izquierda y por por la derecha. De hecho, esta última fórmula es la válida cuando se generaliza la fórmula de rotación a más dimensiones.

Consideremos un vector cualquiera de , , y el vector resultante de rotar un ángulo , que denominaremos . El producto será, como sabemos:

Ya que tanto como tienen la misma norma, . Para despejar multiplicamos por la izquierda a ambos lados de la igualdad por el inverso de , que, como sabemos, es , y tendremos:

El complejo es función únicamente del ángulo de rotación, y por tanto vale para cualquier vector de que queramos rotar.

Por otro lado, también podíamos haber partido de la reversión del producto de vectores :

Como el producto ha cambiado de orden, el ángulo relativo cambia de signo. Para despejar ahora hay que multiplicar ambos lados de la ecuación por el inverso de , pero por la derecha. El resultado final es:

Es decir, podemos rotar un vector un ángulo bien multiplicándolo por la derecha por el complejo de norma unidad , o bien multiplicándolo por la izquierda por el respectivo complejo unitario conjugado .

También podíamos haber deducido fácilmente esta segunda fórmula para la rotación de un vector a partir de la primera, aplicando la propiedad de que los vectores conmutan con la parte escalar de los complejos, pero anticonmutan con la parte pseudoescalar (recordemos: ).

Incluso podríamos intentar rizar el rizo y “repartir” la rotación por los dos lados, haciendo “media rotación” multiplicando por la izquierda y “la otra media” multiplicando por la derecha:

Esta forma parece más artificiosa, y de hecho es más complicada de calcular por incluir más multiplicaciones, pero, curiosamente, a la hora de generalizar la fórmula de la rotación de un vector a dimensiones superiores a 2 es el único modo correcto de proceder: veremos que para rotar un vector en espacios de dimensión superior a dos hay que colocar el vector como ingrediente central de un “sandwich multiplicativo” entre dos exponenciales de un bivector, una inversa de la otra.

El diagrama de Argand según el punto de vista del álgebra geométrica

En podemos hacer una correspondencia uno a uno entre los vectores del plano y los complejos: si partimos de un vector  y lo multiplicamos por la izquierda por un vector unitario, que denominaremos (y que escogeremos como primer vector de nuestra base ortonormal), el resultado será un complejo:

Y a partir de cualquier complejo podemos recuperar el vector de partida asociado multiplicando por por la derecha:

Podemos interpretar el complejo como un operador de rotación-reescalado que transforma el vector unitario rotándolo un ángulo igual al argumento del complejo y multiplicando su norma por la norma del complejo para producir el vector .

El álgebra geométrica hace visible el hecho de que en el plano de Argand los complejos se están representando mediante vectores. Al complejo a representar, , se lo premultiplica por un vector unitario , que dará la dirección que se escoge como “eje real”. El resultado de este producto será un vector, , que representará en el plano al complejo que codifica la rotación-reescalado que transforma en , mediante una rotación de ángulo (igual al argumento del complejo) y un reescalado consistente en multiplicar la norma de (que vale 1) por la norma del complejo. El vector representará a , la unidad imaginaria.

Esta correspondencia entre vectores y complejos es lo que permite representar a los complejos en el llamado plano de Argand, que ya vimos en la segunda entrada dedicada a los complejos.

Aplicación a la Física: la ley de Ohm en corriente alterna

Acabo la entrada con un ejemplo, sacado de la Física, de la distinción que hace el álgebra geométrica entre vectores y complejos: la ley de Ohm de la corriente alterna. Una tensión alterna, , que oscila sinusoidalmente con el tiempo, puede ser imaginada como la proyección escalar sobre un eje de un vector que va rotando en el tiempo con la frecuencia de la corriente alterna. Del mismo modo, la intensidad alterna que recorre el circuito al que se le aplica la tensión se puede imaginar como la proyección escalar sobre el mismo eje de un vector intensidad, que gira a la misma velocidad angular, pero con un desfase respecto al vector .

Una tensión alterna se modeliza como la proyección escalar sobre un eje (por ejemplo, el vertical, como en la figura) de un vector tensión, que va girando con la frecuencia alterna. En el ejemplo de la figura, el vector tensión tiene un módulo de 220, correspondiente al valor máximo que puede tener la tensión, y una frecuencia de 50 vueltas/segundo (en frecuencia angular, radianes/s). La intensidad alterna, se puede ver también como la correspondiente proyección escalar de un vector intensidad que rota a idéntica frecuencia angular que el vector tensión. En la figura, la intensidad máxima tiene un valor de 22 y tiene un desfase constante respecto a la tensión aplicada de (60º). La impedancia, , es el factor complejo (para una frecuencia dada, depende de las características del circuito en que se aplica la tensión alterna) que multiplicado por la derecha del vector intensidad da el vector tensión. En el caso de la figura, se deduce que . Las gráficas de la tensión y de la intensidad respecto al tiempo están en la próxima figura.

La ley de Ohm de la corriente alterna dice que el vector tensión es igual al vector intensidad multiplicado (en este orden) por una impedancia, que hace el papel de “resistencia compleja” (la impedancia es el resultado, dependiente también de la frecuencia alterna aplicada, de la combinación, sea en serie o paralelo, de las resistencias, capacitancias e inductancias que haya en el circuito). El modo correcto de representar tensión e intensidad es como vectores, por tener estos una “fase absoluta”. La impedancia, cuya fase es, precisamente, el desfase relativo entre tensión e intensidad, es un valor complejo. Como el uso del álgebra geométrica no está estandarizado en los planes de estudio, lo habitual es representar todo mediante complejos, lo que no es relevante de cara a los cálculos prácticos, pero no es  conceptualmente correcto.

En la gráfica se representan como función del tiempo los valores de la tensión y la intensidad , que son la proyección escalar sobre el eje vertical de los respectivos vectores y . Las proyecciones escalares son las magnitudes que realmente tienen sentido físico. Los valores son los del ejemplo propuesto en la figura anterior. Se puede observar que la intensidad va desfasada (en 60º) respecto a la tensión.

1. El mérito de la invención de la expresión corresponde a David Hestenes, el principal impulsor del álgebra geométrica, que la introdujo en un artículo titulado Mathematical Viruses.

2. Normalmente se escoge en el plano como sentido positivo de rotación el sentido contrario a las agujas del reloj, y como negativo el sentido horario. Por eso, en la figura he indicado tanto el sentido de giro desde el vector al , como respectivamente el que va desde a , como antihorario.

En los números complejos y en los cuaterniones teníamos la conjugación, mediante la cual pasábamos de un número complejo o cuaternión a su versión conjugada, en que, respectivamente, la parte imaginaria del complejo o la parte vectorial del cuaternión cambiaban de signo. La conjugación es una forma de involución, aquel tipo de función que se caracteriza por que aplicada dos veces seguidas devuelve el valor original: tenemos así que el conjugado del conjugado de un complejo o de un cuaternión es el complejo o cuaternión de partida.

En las álgebras geométricas disponemos de más de una forma de involución. La primera que veremos es la involución de grado, o involución de paridad, que consiste en el cambio de signo de todos los vectores. El efecto de una involución de grado sobre un escalar es no modificarlo (siempre podemos imaginar a los escalares como el producto geométrico de dos vectores paralelos: al cambiar de signo los vectores, el signo del escalar no cambia, al ser el producto de dos de ellos). Los vectores (multivectores de grado 1) ya sabemos que cambian de signo. A los bivectores les pasa como a los escalares: como se pueden pensar como productos geométricos de dos vectores ortogonales o sumas de productos geométricos de pares de vectores ortogonales, tampoco cambian de signo. Los trivectores, al ser sumas de productos geométricos de tripletas de vectores mutuamente ortogonales entre sí, volverán a cambiar de signo bajo involución de grado. En general, las partes de grado par de un multivector no cambian de signo bajo una involución de grado, mientras que las partes de grado impar sí lo hacen. Indicaré con una barra por encima la involución de grado:^[1]

La parte de grado j de la involución de paridad es por tanto y cambia de signo o no según sea j par o impar: para j par no cambiará de signo, pero si j es impar sí lo hará.

La reversión

La reversión es, sin duda, la involución más importante que veremos. Consiste en la inversión del orden de todos los productos geométricos de vectores. Veamos su efecto en cada tipo de multivector homogéneo (multivector homogéneo es aquel cuyos términos son todos del mismo grado):

1) Los escalares no cambian de signo bajo una reversión.

2) Los vectores tampoco cambian de signo bajo una reversión, como los escalares.

3) Los bivectores sí cambian de signo bajo una reversión. Como los podemos expresar como combinaciones lineales de productos geométricos de parejas de vectores diferentes de la base ortonormal, y los productos geométricos de vectores ortogonales entre ellos son a la vez productos exteriores y, por tanto, anticonmutan, la reversión produce el cambio de signo de los bivectores. Veamos un ejemplo concreto y hagamos la reversión de este bivector de , que expresamos en términos de una base de productos de vectores ortonormales:

La reversión de un multivector se indica con una tilde por encima, o también con una daga en posición de superíndice:

En vez de , podríamos haber escrito , utilizando la notación con daga.^[2]

Y ahora reexpresamos el resultado en términos de la base de bivectores de que partíamos, con el orden original:

Efectivamente, vemos que los bivectores cambian de signo bajo una reversión.

3) Los trivectores también cambian de signo bajo una reversión, como los bivectores. Veamos como ejemplo este trivector de :

La reversión será la suma las reversiones de cada término. Como antes, en el caso de los bivectores, para comparar con el trivector de partida debemos reexpresarla en la base de trivectores de partida. Para ello, bastará intercambiar en cada término el primer vector del producto geométrico con el último (para resaltarlos he puesto con el mismo color los vectores a intercambiar) … y ese intercambio de vectores producirá un cambio de signo respecto al trivector :

Al volver a ponerlos en el orden original vemos que los trivectores, al igual que los bivectores, cambian de signo bajo una reversión. Tanto en un caso como en otro hay que transponer un solo par (= un solo cambio de signo) de vectores en cada término, cuando los expresamos en una base canónica.

Un momento… no tan rápido. En principio tenemos cambio de signo cuando se cambia el orden del producto exterior de dos vectores consecutivos. En el caso de los bivectores intercambiamos directamente vectores consecutivos en el producto, porque sabemos que , cuando . Pero en el caso de los trivectores, ¿tenemos derecho a trasponer pares de vectores no contiguos y decir que estos intercambios producen un cambio de signo? Pues sí. De hecho, no importa cuántos vectores haya entre los dos vectores que se intercambian en un producto exterior: el intercambio de un par de vectores cualesquiera en un producto exterior produce un cambio de signo. La explicación se detalla en la figura que sigue, donde intercambiamos paso a paso la posición de los vectores y , que están separados por m vectores en un producto exterior.

El intercambio de dos factores en un producto exterior de vectores produce un cambio de signo, aunque los vectores intercambiados no sean consecutivos. La explicación es que el intercambio de dos vectores en el producto exterior equivale siempre a un número impar (2m + 1, en el caso ilustrado) de intercambios de parejas de vectores consecutivos. Debajo de la llave horizontal se indica el número de vectores que abarca.

4) Los cuadrivectores no cambian de signo bajo una reversión. Pensemos en un cuadrivector expresado en una base canónica de productos de vectores ortonormales, por ejemplo este:

Podemos hacer la reversión de haciendo dos transposiciones de vectores en cada término. La primera transposición sería entre el primer y el último de los vectores de cada producto, que he marcado en azul, y la segunda transposición sería entre el segundo vector por la izquierda y el segundo vector por la derecha de cada producto, que he marcado en verde. Como en cada término se hacen dos transposiciones, no hay cambio de signo respecto al cuadrivector no revertido:

5) Los 5-vectores tampoco cambian de signo bajo una reversión, al igual que los cuadrivectores. Podemos ver que para revertir un 5-vector, que podemos suponer expresado como combinación lineal de una base canónica de 5-vectores, bastan, como en el caso de los cuadrivectores, dos transposiciones en cada término: en la primera transponemos el primer vector y el último, y en la segunda, el segundo vector por la izquierda con el segundo vector por la derecha. El vector que está en el centro queda desaparejado y no se mueve. Ejemplo:

A partir de aquí es fácil ver que tanto los 6-vectores como los 7-vectores cambian de signo: tanto en un caso como en otro hay que trasponer tres pares de vectores por cada término (el primero con el último, el segundo por la izquierda con el segundo por la derecha y el tercero por la izquierda con el tercero por la derecha), con el consiguiente cambio de signo, por ser 3 un número impar. Los 8-vectores y 9-vectores no cambian de signo, porque requieren un número par de transposiciones (cuatro), y así sucesivamente. Por tanto, dado un multivector genérico de una álgebra geométrica :

Su reversión, , será:

El signo de los términos va oscilando según la regla: más, más, menos, menos, más, más, menos, menos, etc. Se puede ver que, en general la parte de grado j de será:

El factor proporciona exactamente el signo de la reversión de la parte de grado j, como es fácil comprobar.

Una forma de obtener esta expresión para el signo de la reversión de un multivector homogéneo de grado j es hacer la reversión con este otro método: en cada término de grado j de la expresión del multivector como combinación lineal de elementos de la base canónica se hace saltar el vector situado más a la izquierda j – 1 posiciones más hacia la derecha, tras lo cual haremos saltar el vector que haya quedado más a la izquierda j – 2 posiciones hacia la derecha, tras lo cual haremos saltar el vector que haya quedado más a la izquierda j - 3 posiciones hacia la derecha… para acabar haciendo saltar el vector que queda más a la izquierda (y que al principio de todo era el segundo por la derecha) una posición hacia la derecha, por encima del vector que al principio estaba a la derecha del todo. En total se habrán hecho:

transposiciones. La suma se obtiene de la correspondiente fórmula para sumar los términos una progresión aritmética. Naturalmente, como la reversión es un concepto bien definido, el número de transposiciones necesarias para realizarla no puede cambiar de par a impar, o viceversa, si cambiamos el método utilizado para obtenerla.

La reversión es una antiinvolución

La reversión de un producto geométrico de multivectores es igual al producto geométrico de las reversiones de los factores, pero tomándolos en orden inverso:

O, si utilizamos la notación con dagas:

No es difícil de entender. Consideremos un ejemplo muy sencillo:

Por otro lado:

Y finalmente:

Por ello, se dice que la reversión es una antiinvolución. La involución de grado, en cambio, no es una antiinvolución, porque cumple:

Es decir, la involución de grado de un producto geométrico es directamente el producto geométrico de involuciones de grado, sin cambiar el orden.

Versores

Una clase de multivectores muy importante en álgebra geométrica son los versores.^[3] Versores son aquellos multivectores que resultan de multiplicar un cierto número m de vectores invertibles. Un versor será entonces:^[4]

Donde los vectores pueden ser cualquier vector invertible.

Podemos ver inmediatamente que el producto de por su reversión (no importa por qué lado, porque conmutan, como es fácil verificar) da un número real y estrictamente positivo:

He marcado en color verde los dos vectores que se multiplican contiguamente en posición central. Como son el mismo vector, su producto sigue la ley de contracción y da el cuadrado de la norma del vector, que es un número real y podemos pasarlo a multiplicar por delante. Tras ello podemos seguir haciendo contracciones en cascada:

El resultado es el producto de m números reales diferentes de 0 y positivos y, por tanto, también será un valor estrictamente positivo.

También vemos que podemos calcular el inverso de un versor: es simplemente la reversión del versor dividida por el producto que acabamos de calcular:

Y, efectivamente, se cumple:

Algunos ejemplos de aplicación de las propiedades de las involuciones

Muchas veces el comportamiento de un producto de multivectores bajo un tipo de involución permite hacer afirmaciones sobre el resultado de la operación, en concreto, sobre la presencia o no de partes de cierto grado. Comencemos con un resultado muy útil:

Un versor que resulte de multiplicar m vectores será un multivector con partes de sólo grado impar o sólo grado par, según sea m, respectivamente, un número impar o un número par. Además, no es posible tener en el resultado partes de grado superior a m, así como tampoco puede haber partes de grado superior a n, la dimensión del espacio vectorial en que nos encontremos.

Efectivamente, consideremos el versor . Veamos cómo se comporta bajo una involución de grado que, como sabemos, es el cambio de signo de todos los vectores:

Y queda inmediatamente claro que que el versor cambiará de signo al sufrir una involución de grado si m es impar, o bien no cambiará de signo si m es par. Si pasa lo primero, sólo puede contener términos de grado impar, porque sólo los términos de grado impar cambian de signo bajo paridad. Si pasa lo segundo, sólo puede contener términos de grado par, porque sólo los términos de grado impar no cambian de signo bajo paridad.

En cuanto a que no es posible que el resultado contenga términos de grado superior a m, es lógico. Con los m vectores que estamos multiplicando es imposible generar por combinación lineal un espacio lineal de más de m dimensiones, y al multiplicarlos entre sí forzosamente tendremos que generar multivectores dentro de la subálgebra geométrica , donde el grado máximo es precisamente m. O dicho más simplemente, multiplicando m objetos de grado 1, como máximo sólo podremos llegar a producir objetos de grado m.

Y, por supuesto, tampoco se puede superar el grado n, correspondiente a la dimensionalidad del espacio de partida: no esperéis encontrar cuadrivectores en un producto geométrico de cuatro vectores que “habitan” en un mismo (sub)espacio bidimensional, por ejemplo: el resultado en un caso como este sólo puede contener términos escalares y bivectoriales.

Así, por ejemplo:

En el caso en que m vale 2:

Un producto geométrico de dos vectores, , tiene que dar como resultado la suma de un escalar y de un bivector. Bueno… este resultado hace unas cuantas entradas que ya lo conocíamos, ¿verdad?

Donde naturalmente, y

Y para m = 3:

El producto geométrico de tres vectores cualesquiera, tiene que dar como resultado una suma de multivectores homogéneos de grado impar, como mucho la suma de un vector y de un trivector, quedando excluidos otros grados:

De este resultado podemos obtener otros:

1) Propiedad permutativa del producto de tres vectores linealmente dependientes.Un interesante caso particular del producto geométrico de tres vectores es cuando los tres vectores no son linealmente independientes. Sería el caso, por ejemplo, en que los tres vectores estén en un mismo plano. Como tres vectores linealmente dependientes no pueden generar un espacio lineal tridimensional, el álgebra geométrica asociada no puede contener trivectores. Tendremos, por tanto, que es un vector, y como todo vector es igual a su reversión, tendremos este resultado:

Los vectores , y son linealmente dependientes

Como se indica, la implicación también funciona de derecha a izquierda, ya que la parte trivectorial de un triple producto geométrico de vectores es precisamente el producto exterior de los tres vectores, que se anula cuando los tres vectores son linealmente dependientes, y por tanto si el producto de tres vectores da lo mismo que su reverso, los tres vectores son linealmente dependientes. Esto se conoce como propiedad permutativa del producto de tres vectores linealmente dependientes, y se utiliza a menudo en problemas de geometría plana.

2) Un producto de vectores de la forma da siempre como resultado un vector. Antes ya hemos visto que el producto de tres vectores es la suma un vector y de un trivector (como mucho). En este caso, tenemos el producto de tres vectores, pero ahora el primero y el último vector es el mismo. El comportamiento de este producto bajo la reversión permite excluir que tenga componente trivectorial. Efectivamente, este producto es igual a su reversión:

Pero la reversión cambia de signo la parte trivectorial (y no la parte vectorial). La conclusión es inmediata: no puede tener parte trivectorial, y por lo tanto tiene que ser un vector.

Esta conclusión también podríamos haberla deducido siguiendo la línea de razonamiento hecha en el apartado 1), ya que de los “tres” vectores que forman el producto, uno está repetido, y por tanto, no tenemos una tripleta de vectores linealmente independientes.

De este resultado que acabamos de obtener se deduce de forma inmediata otro más todavía…

3) Un producto de la forma , donde es un vector y es un versor da siempre como resultado un vector.

Al expresar como producto de vectores tendremos que el producto que buscamos tendrá esta forma:

Y queda meridianamente claro que el paréntesis más interno es un vector, por tratarse del caso 2) analizado antes. Pero, por la misma razón, el paréntesis que lo envuelve también tiene que dar como resultado un vector, y así sucesivamente. En álgebra geométrica encontraremos muy a menudo expresiones de este tipo.

1. He decidido indicar la involución de grado con una barra por encima. Las convenciones de notación no están muy asentadas en álgebra geométrica, y es muy posible que en otros textos veáis otros símbolos para indicar la involución de grado. De hecho, el que se ve más habitualmente en los textos es posiblemente el símbolo de circunflejo (^), pero como yo ya lo utilizo para indicar la normalización de un (multi)vector (como es habitual entre los físicos), he preferido usar otra opción.

2. Mientras trabajamos en una sola álgebra geométrica, no tiene sentido usar dos notaciones diferentes para la reversión. Pero hay casos en que hace falta usar dos símbolos diferentes para la reversión: eso ocurre en relatividad especial, ya que entonces conviene distinguir la reversión propia del álgebra y la reversión relativa al espacio tridimensional ortogonal a un cierto vector de tipo temporal, asociado a su vez a un observador en un sistema de referencia inercial. En estos casos, el primer tipo de reversión se indica con la tilde, y el segundo con la daga. La daga se usa exclusivamente cuando tenemos métrica euclídea. Quienes hayan estudiado Mecánica Cuántica sabrán que la daga se utiliza para indicar el conjugado hermítico de un operador matricial. Eso no es casualidad: toda álgebra asociativa (y las álgebras geométricas lo son) se puede representar por un álgebra de matrices cuadradas, y resulta que la reversión de un bivector en una álgebra geométrica asociada a un espacio de métrica euclídea se corresponde con el conjugado hermítico de la matriz que lo representa.

3. Ojo, otros autores, siguiendo a Hamilton, llaman versores a lo que en esta serie llamo vector unitario, que es un concepto completamente diferente.

4. En espacios de métrica euclídea, cualquier vector diferente de 0 es invertible, siendo el inverso del vector , como ya sabemos, . En espacios de métrica pseudoeuclídea, como el de la relatividad especial, es inevitable la existencia de vectores diferentes de 0 pero con cuadrado nulo, los llamados vectores de tipo luz o simplemente vectores nulos, que no tienen inverso. De momento, como tratamos con espacios de métrica euclídea, no nos preocuparemos de ellos y podemos pensar que un versor es un producto de vectores diferentes de 0.

Por otro lado, el abuso de las bases ortonormales conduce con demasiada frecuencia a pensar en los vectores como una “lista ordenada de coordenadas” en vez de una entidad matemática tan fundamental como los números reales o los complejos. No saber trabajar con magnitudes vectoriales o multivectoriales sin tener que recurrir siempre a descomponerlos en componentes es una muestra de limitación conceptual que lastra frecuentemente a los estudiantes, y sobre la que desde el principio han llamado la  atención todos los proponentes del álgebra geométrica. Voy, pues, a introducir las bases ortonormales y aprovecharé para introducir más rápidamente nuevos conceptos, pero conviene no olvidar que los vectores, y los multivectores del álgebra geométrica en general, no deben concebirse como una simple lista de componentes expresadas en una cierta base.

Antes que nada, repasemos unos conceptos básicos de álgebra lineal.

Combinación lineal de vectores

Se dice que un vector es combinación lineal de los m vectores ,… cuando podemos expresar el vector como suma de múltiplos escalares de los vectores , … :

El la figura siguiente se muestra un caso en que es posible expresar un vector como combinación lineal de vectores de más de una manera:

Vector expresado como combinación lineal de otros tres, en dos dimensiones. La figura muestra un vector como combinación lineal de los tres vectores , y , que se representan con flechas gruesas negras. Todos los vectores se suponen dentro de un mismo plano. De hecho, se muestran dos combinaciones lineales diferentes de , y que producen el mismo vector .

Independencia lineal de vectores

Un conjunto de m vectores , … es linealmente independiente si es imposible expresar cualquiera de ellos como combinación lineal de los demás o, de forma equivalente, si la única forma de obtener el vector como combinación lineal de los vectores ,… es que todos los correspondientes factores , … valgan , es decir, la combinación lineal trivial que siempre proporciona el vector . Expresado formalmente:

Siguiendo con el ejemplo de la figura anterior, los tres vectores , y no son linealmente independientes. La pista la da el hecho de poder expresar el vector con más de una combinación lineal. Tenemos por un lado:

y por otro:

Restemos las dos expresiones:

Es decir:

Con lo cual hemos obtenido 0 como combinación lineal no trivial.^[1] Por lo tanto, los vectores , y no son linealmente independientes. Esto quiere decir que podemos expresar alguno de ellos en función de los demás. En este caso, podría ser cualquiera de los tres, pero es fácil decidirse por :

Sustituyendo la expresión anterior en cualquiera de las combinaciones lineales que teníamos para expresar el vector , obtendremos como combinación lineal de sólo dos vectores: y . ¿Son los vectores y linealmente independientes? No cuesta mucho ver que sí lo son: si fueran linealmente dependientes, podríamos expresar uno como múltiplo real del otro, y sólo podríamos generar por combinación lineal vectores una familia de vectores paralelos.

Base de un espacio vectorial

Se dice conjunto de n vectores linealmente independientes ,… forma una base de un espacio vectorial si cualquier vector del espacio vectorial se puede expresar como combinación lineal de los vectores ,… . De la independencia lineal de estos n vectores se deduce que esta combinación lineal es única. Si hubiera dos maneras diferentes de expresar el vector como combinación lineal de los vectores ,… , por ejemplo así:

Podríamos hacer entonces como en el ejemplo propuesto y restar la segunda forma de expresar de la primera, quedándonos esto:

Si cada diferencia la rebautizamos como , tendremos:

Y como suponemos que partíamos de dos combinaciones lineales diferentes, no todos los números , … pueden ser a la vez iguales a . Pero eso es una contradicción, porque significa que los n vectores ,… no son linealmente independientes.

Por lo tanto, dado un vector sólo puede haber una combinación lineal única de los vectores de una base que lo produzca. Los correspondientes coeficientes de la combinación lineal, los números reales , … son las componentes del vector en la base adoptada.

Todas las diferentes bases de un mismo espacio vectorial tienen el mismo número n de vectores, que no es más que la dimensión del espacio vectorial.

Siguiendo con el ejemplo, los vectores y de la figura de arriba, al ser linealmente independientes, forman una base de un espacio vectorial de dos dimensiones.

Base ortogonal

Es aquella base de vectores en que cada uno de los vectores que la forman es ortogonal (perpendicular) a todos los demás de la base. Es decir, si , … forman una base ortogonal se cumplirá:

o lo que es lo mismo:

A partir de una base no ortogonal se puede obtener siempre una base ortogonal. La idea del procedimiento es que a un vector de la base no ortogonal de partida se le puede restar su proyección respecto a otro vector de la base  y el vector resultante, que siempre será diferente de y que denominaremos , será ortogonal a y podrá sustituir a en la base original. Esa es la clave del conocido procedimiento de ortogonalización de Gram-Schmidt, que veremos en detalle en una entrada próxima.

Base ortonormal

Es aquella base ortogonal en que los vectores están normalizados, es decir, tienen norma unidad. Para obtener una base ortonormal a partir de una base ortogonal, basta dividir cada vector de la base original por su norma. Los vectores , … de una base ortonormal de un espacio vectorial de n dimensiones cumplen:

, cuando

^[2]

Una base ortonormal de . Los vectores , y que la forman son mutuamente ortogonales y tienen norma unidad.

Generación de la base de bivectores

Una vez tenemos la expresión de los vectores del espacio de un espacio n dimensional en función de una base ortonormal, podemos hacer fácilmente cálculos en el álgebra geométrica asociada , una vez expresamos los multivectores en términos de los vectores de esta base.

Recordemos que podemos generar cualquier elemento del álgebra geométrica a partir de los vectores, haciendo productos geométricos y sumas. Partamos, pues, de nuestra base ortonormal de vectores, , … , y comencemos por generar todos los posibles productos geométricos de dos vectores de la base ortonormal:

1) Los productos geométricos de un vector por sí mismo darán escalares, como ya sabemos, a consecuencia de la ley de contracción (axioma 5 del álgebra geométrica). Como, además, cada está normalizado, cada cuadrado de será igual a .

2) Los productos geométricos de dos vectores diferentes de la base ortonormal generarán una base de bivectores unitarios, a partir de la cual, a su vez, podremos generar mediante combinación lineal cualquier bivector. Efectivamente, tenemos que, para :

Por tanto podemos formar una base de bivectores, si partimos de una base de n vectores, con los productos geométricos de parejas de vectores diferentes de la base ortonormal de vectores. Como al cambiar el orden del producto de dos vectores se obtiene el mismo bivector, sólo que cambiado de signo, basta con tomar las combinaciones sin repetición de parejas de vectores de la base ortonormal. Para ello, basta tomar las parejas de vectores diferentes de la base ortonormal ordenadas por subíndices crecientes. En dos dimensiones, como sólo tenemos dos vectores en la base ortonormal, y , la base de bivectores que podremos formar con ellos sólo podrá tener un elemento, . Eso quiere decir que los bivectores de  sólo tienen una componente, como los escalares. De hecho, los bivectores son los pseudoescalares de . En , el álgebra geométrica del espacio de dos dimensiones, ya no existen multivectores de grado superior (los trivectores ya representan volúmenes y necesitan por lo menos tres dimensiones).

El bivector () es la base canónica de los bivectores de . Como sólo se puede hacer una pareja de vectores ortogonales con los vectores de la base ortonormal de vectores ( y ), el bivector es por sí solo una base de bivectores de . Cambiando el orden del producto se obtendría , que no es más que . Todos los bivectores (superficies orientadas) de son el producto de un número real por , es decir, tienen una única componente real en términos de la base. Por ello, los bivectores son los pseudoescalares de .

Si pasamos a tres dimensiones, partiremos de una base ortogonal de tres vectores: , y . Con ellos podemos formar tres combinaciones de dos en dos sin repetición.

Podríamos escoger sin ningún problema como base de bivectores la formada por los productos geométricos donde los índices aparecen ordenados de menor a mayor, es decir:

, y

Pero también podemos escoger esta otra base, aparte de otras, que es casi la misma, con la excepción de que se ha cambiado por , además de un cambio de orden:

, y

Esta base tiene la particularidad, como veremos, de ser la base de bivectores cuyos respectivos duales^[3] son los vectores , y de la base ortonormal de vectores y frecuentemente es la que se prefiere a la anterior, aunque se trate de una preferencia fundamentalmente estética. En el ejemplo que tenéis al final de la entrada podéis ver por qué.

A la izquierda de la figura, la base de bivectores de formada por los bivectores , y .
A la derecha, otra base de bivectores de , en la que simplemente se ha cambiado el bivector , representado por la superficie orientada de color azul claro, por el bivector , el bivector con orientación opuesta, representado en por la superficie orientada de color verde claro.

Como la base de los bivectores de tiene 3 elementos, los bivectores de forman un subespacio lineal de 3 dimensiones, al igual que los vectores de .

En general, cuando partimos de un espacio de n dimensiones, el número de bivectores de la base serán las combinaciones sin repetición de n elementos tomados de 2 en 2:

Recordemos que la expresión , que se lee n sobre dos, da el número de combinaciones sin repetición de n tomados de dos en dos. El signo de admiración indica el factorial del número que lo precede. El factorial de un número natural m se puede definir por recurrencia:

Definimos el factorial de como:

Definimos el factorial de en función del factorial de de esta manera:

Así pues:

y en general:

Por consistencia, se considera también que .

En fin, si en 2 dimensiones el número de bivectores que forman la base es 1, y en 3 dimensiones, la base de bivectores tiene 3 bivectores, en 4 dimensiones, la base de bivectores de tendrá bivectores.

Generación de las bases de trivectores

Si la dimensión n de es 3 o superior, habrá que considerar las diferentes combinaciones de productos geométricos de tres vectores diferentes de la base ortonormal de vectores, que nos darán una base de trivectores.

Si consideráramos productos de tres vectores de la base ortonormal con al menos algún vector repetido, lo que obtendríamos serían vectores, como es fácil ver. Ahí va un ejemplo:

Donde hemos aplicado la propiedad de la anticonmutatividad del producto geométrico de los vectores ortogonales, la propiedad de asociatividad del producto geométrico y la ley de contracción del producto geométrico de un vector por sí mismo, vector que ya sabemos normalizado.

En el caso del álgebra , asociada al espacio tridimensional, como la base de vectores está formada por , y , la única forma posible^[4] de obtener un trivector es multiplicar los tres vectores de que se dispone en la base: , (que es exactamente lo mismo que , al ser el producto de tres vectores todos ortogonales entre sí) y representa el volumen orientado del paralelepípedo que tiene por aristas , y , por este orden. Un cambio de orden en el producto representa como mucho un cambio de signo en el resultado final, por ejemplo:

Es fácil comprobar que los productos de una permutación de tipo par de los vectores en el orden original, es decir, una permutación que se haga a partir de un número par de transposiciones (a cada una de las cuales va asociada un cambio de signo) tienen el mismo signo que , y los productos de una permutación impar de los vectores tienen el signo cambiado.

Por ejemplo, se puede ver que porque hacen falta dos transposiciones (y un número par de cambios de signo), para transformar un producto en otro. Primero intercambio los dos primeros factores:

y a continuación los dos últimos factores:

quedando:

De forma parecida procederíamos para en los demás casos.

Como los trivectores de tienen una única componente, son los pseudoescalares de .

En la figura se representa el trivector como el volumen orientado del cubo determinado, por los vectores , y , en este orden. La línea quebrada verde, que resigue la dirección de los vectores del producto, indica el sentido del trivector. Si intercambiamos dos vectores cualesquiera en el producto, el trivector resultante cambia de signo.

El álgebra geométrica como álgebra graduada

Tal como estamos viendo, los elementos de una álgebra geométrica asociada a un espacio vectorial de n dimensiones se pueden ver como suma formal de diferentes términos, comenzando por una parte escalar, de grado 0, que tendrá una única componente, una parte vectorial, de grado 1, que tendrá n componentes, una parte bivectorial, de grado 2, que tendrá componentes… y así hasta llegar a una parte n-vectorial con sólo una componente (ya que ).

Caso n = 2

En un multivector genérico del álgebra geométrica asociada al espacio bidimensional, , podremos distinguir tres partes: una escalar (real), una vectorial y una bivectorial:

1) La parte escalar, de grado 0, es un número real .

La notación indica que nos quedamos con la parte de grado m del multivector . En el caso m = 0, lo más habitual es no indicar la m y ya se sobreentiende que vale 0: es la parte de grado 0, o parte escalar, de .

2) La parte vectorial , de grado 1, consta de dos componentes , que multiplican a los respectivos vectores de la base ortonormal:

En este caso, indica la parte de grado 1, o parte vectorial, de .

Por tanto, la parte vectorial vendrá descrita por dos componentes en función de los elementos de la base de vectores.

3) La parte bivectorial , de grado 2, que resultará de multiplicar un escalar por el bivector :

Por tanto tenemos una única componente bivectorial. indica la parte de grado 2, o parte bivectorial, de .

Considerando el álgebra como espacio lineal,^[5] vemos que tiene cuatro dimensiones, al poderse describir sus elementos con cuatro componentes reales: , , y .

El álgebra geométrica , como todas las álgebras geométricas, es una álgebra graduada: en ella hay elementos de grado 0, los escalares (números reales); elementos de grado 1, los vectores (segmentos orientados); y elementos de grado 2, los bivectores (superficies orientadas). Cualquier multivector de es una suma formal de estos tres tipos de elementos.

Caso n = 3

Un multivector genérico de tendrá un total de 8 componentes: una componente escalar, tres componentes vectoriales, otras tres componentes bivectoriales y, finalmente, una componente trivectorial:

La parte de grado 0, o parte escalar de , es:

La parte de grado 1, o parte vectorial de , es:

La parte de grado 2, o parte bivectorial de , es:

Los bivectores de tienen tres componentes, como los vectores. En se puede establecer una correspondencia 1 a 1 entre vectores y bivectores.^[6] Podemos referirnos a los bivectores de como los pseudovectores de .

Finalmente, la parte de grado 3, la parte trivectorial de , es:

Los trivectores de tienen una sola componente y son los pseudoescalares de . Siempre sucede que los n-vectores de tienen una única componente, como los escalares, y por tanto, son los pseudoescalares de .

El triángulo de Tartaglia, o también triángulo de Pascal, representa en la posición m de la fila n el coeficiente binomial , que es el número de m-vectores que forman la base de m-vectores de . Por las propiedades de los coeficientes binomiales, cada coeficiente binomial puede obtenerse como suma de los dos coeficientes en posiciones más cercanas de la fila superior. En total, si se suman todos los coeficientes binomiales de una cierta fila n, se obtiene , que es la dimensión total del álgebra considerada como espacio lineal.

La figura muestra como sigue el proceso en dimensiones superiores. Por ejemplo, para n = 4, tendremos una componente escalar, 4 componentes vectoriales, 6 componentes bivectoriales, 4 componentes trivectoriales y una componente cuadrivectorial. Se puede apreciar la simetría de los coeficientes binomiales respecto al eje vertical del triángulo de Tartaglia.^[7] Para cualquier valor de n, siempre tendremos una sola componente escalar y también una sola componente n-vectorial o pseudoescalar. También tendremos n componentes vectoriales, tantas como componentes (n – 1)-vectoriales,^[8] y tantas componentes bivectoriales como (n – 2)-vectoriales, etc. Finalmente, la dimensión total del álgebra geométrica , considerada como espacio lineal, es la suma de los números del triángulo de Tartaglia para la fila de la n correspondiente: 2 para n = 1, 4 para n = 2, 8 para n = 3, 16 para n = 4, 32 para n = 5, y en el caso general, .^[9]

Ejemplo práctico de cálculo de un producto geométrico

Para acabar esta entrada, veamos cómo se hace en la práctica un producto geométrico de vectores expresados en función de una base ortonormal. No es difícil, lo que hay que saber básicamente es que el producto de un vector unitario por sí mismo es igual a 1 y que el producto de dos vectores ortogonales anticonmuta.^[10]

Por ejemplo, supongamos que partimos del espacio vectorial euclídeo de 3 dimensiones, , en el que tenemos una base ortonormal formada por unos vectores , y y tenemos los vectores y .

Calculemos el producto geométrico :

Desarrollemos el producto según la propiedad distributiva:

Aplicamos el axioma 3, según el cual los escalares conmutan con los vectores, y así hacemos los productos de los coeficientes:

Recordemos ahora cómo el producto geométrico de un vector por sí mismo es igual al cuadrado de su norma (la ley de contracción). Como los vectores de la base están normalizados, tendremos que , sea cual sea el valor del subíndice i. Por otro lado, en los productos cruzados, donde los subíndices son diferentes, aplicaremos la expresión fundamental de descomposición del producto geométrico de vectores en suma de producto escalar y producto vectorial. Pero como dos vectores diferentes de la base son ortonormales tendremos que . Es decir, el producto geométrico de dos vectores diferentes de una base ortonormal coincide con el producto exterior, y por tanto anticonmutan, por lo que tendremos que , cuando . Por tanto, tendremos:

Y nos queda, como esperábamos, la suma formal de un escalar y de un bivector. El escalar es, naturalmente el producto interior , y el bivector es :

Como habéis podido ver, he preferido la ordenación a , ya que es más sugerente a la hora de comparar el producto exterior con el producto vectorial de Heaviside-Gibbs, que sería este:

El producto vectorial de Heaviside-Gibbs da como resultado un vector, que será, como veremos, el vector dual del producto exterior en . En dimensiones diferentes de n = 3, el dual de un bivector ya no es un vector, y no podemos definir un producto vectorial haciendo el dual de un producto exterior de vectores.

1. Podríamos utilizar esta expresión y sumarla, previamente multiplicada por un factor real cualquiera, a una expresión del vector como combinación lineal de los vectores , y , y obtener infinitas combinaciones lineales, dependiendo del factor que utilicemos, de los tres vectores que producen el vector . Si existen dos combinaciones lineales diferentes que producen un mismo vector, hay infinitas.

2. Los matemáticos han inventado una forma compacta, que imagino que muchos conoceréis, para escribir las dos expresiones a la vez:

   

   Donde el símbolo , conocido como delta de Kronecker, vale cuando y cuando .

3. Ya defineremos en otra entrada en qué consiste la dualidad.

4. El número de combinaciones sin repetición de n elementos, tomados de 3 en 3 es:

   

   Eso quiere decir que en el caso en que n es igual a 3 la base de trivectores tendrá un único elemento, ya que .

5. Espacio lineal es lo mismo que espacio vectorial, pero en álgebra geométrica se prefiere decir espacio lineal, ya que se restringe el concepto de vector al aspecto estrictamente geométrico (“flecha” o “segmento orientado”).

6. Mediante un mecanismo llamado dualidad, que pronto veremos.

7. La simetria del triángulo de Tartaglia viene impuesta porque siempre tendremos , que expresa el hecho de que el número de formas de elegir m elementos diferentes entre n elementos dados es el mismo número de formas de elegir los n – m elementos que se quieren rechazar.

8. Por ello a los (n – 1)-vectores del álgebra los podemos llamar pseudovectores.

9. Una manera de obtener el valor es aplicar la fórmula del teorema del binomio al cálculo de :

   

   … que, efectivamente, no es más que la suma de los coeficientes de la fila n del triángulo de Tartaglia:

   

10. Esto se puede escribir en forma compacta utilizando otra vez la delta de Kronecker, de la que hablábamos anteriormente: 

    Cuando la fórmula equivale a la ley de contracción, y cuando equivale a la ley de anticonmutatividad del producto geométrico de vectores ortogonales, como no cuesta comprobar. A veces se ve en algún texto esta fórmula como definición rápida del concepto álgebra de Clifford, para el caso de métrica euclídea.