Es frecuente tener que componer rotaciones sucesivas de un cuerpo rígido en torno a ejes no fijos en el espacio, sino solidarios al cuerpo que se rota. Un ejemplo clásico son los ejes de rotación principales de un avión: el eje longitudinal, que va longitudinalmente a lo largo del fuselaje del avión, el eje lateral, perpendicular al anterior, y que va paralelo a la línea que une las puntas de las alas del avión, y finalmente el eje vertical, que es perpendicular a los otros dos. Los tres ejes se cortan en el centro de gravedad de la aeronave. El ángulo de rotación en torno al eje longitudinal, que sigue a lo largo del fuselaje, se conoce como ángulo de alabeo (en inglés, roll), el ángulo de rotación en torno al eje que va paralelo a la recta que une las puntas de las alas se conoce como ángulo de cabeceo (en inglés, pitch), y el ángulo en torno al eje vertical del avión se conoce como ángulo de guiñada (en inglés, yaw).

Los ejes del avión, asociados a los correspondientes giros: alabeo, cabeceo y guiñada. (Wikimedia)

Por otra parte, en Física se utilizan los llamados ángulos de Euler para describir la orientación de un sistema de referencia ortogonal asociado a un sólido rígido. En Mecánica Clásica, la convención habitual es tomar los ejes , es decir, primero se da el ángulo que se ha de girar en torno al eje original (que vendría a ser el eje asociado al ángulo de guiñada en la anterior figura del avión), a continuación se daría el ángulo que hay que girar en torno al eje (el resultado de haber girado el eje inicial por el primer giro en torno al eje : podríamos identificar el eje con el correspondiente a un ángulo de alabeo), y finalmente una tercera rotación en torno al eje (el resultado de haber girado el eje inicial por el primer giro en torno al eje y a continuación por el segundo giro en torno al eje : podríamos identificar el eje con un nuevo ángulo de guiñada. En Mecánica Cuántica lo habitual es seguir la convención (en vez de tomar el eje rotado, se toma el eje rotado por el primer giro). También, por abuso del lenguaje, se habla a menudo de “ángulos de Euler” cuando se sigue la convención , es decir, la convención usada en aviación: tomar sucesivamente alabeo, cabeceo y guiñada. El resultado que voy a demostrar es totalmente independiente de la convención que se siga.

Se plantea, pues, la cuestión de cómo tratar la rotación resultante de componer rotaciones en torno a estos ejes solidarios al cuerpo que rota, ya que hay que tener en cuenta que una vez el cuerpo ha realizado la primera rotación estos ejes habrán rotado a su vez. El álgebra geométrica permite deducir rápidamente un resultado muy interesante:

El resultado de combinar dos rotaciones sucesivas respecto a ejes solidarios a un cuerpo rígido que se cortan en un punto es el mismo que el de combinar las rotaciones respecto a los ejes fijados en su posición inicial, pero en orden inverso.

Veámoslo.

Supongamos los ejes de rotación y empotrados y solidarios a un cuerpo rígido. Rotamos primero el cuerpo alrededor del eje naranja () un ángulo , y a continuación lo volvemos a rotar un ángulo en torno al eje lila, que ahora ya no será el original, , sino su versión rotada alrededor de , o sea, (la versión en trazo discontinuo y de tonalidad más clara). Pues bien, esta sucesión de rotaciones es equivalente a haber hecho en primer lugar la rotación de ángulo en torno al eje dado por el vector (o sea, en su posición original), y en segundo lugar la rotación de ángulo alrededor del eje dado por el vector (también en su posición original).

Tenemos un cuerpo rígido en el que se han distinguido dos ejes solidarios a él (fijaos que ni siquiera supongo que son perpendiculares entre sí) que parten de su centro de gravedad, caracterizados (en la posición inicial, antes de la primera rotación) por los vectores y . Calcularemos la rotación resultante de aplicar primero una rotación de ángulo en torno al primer eje, y a continuación otra rotación de ángulo en torno al segundo eje. El rotor asociado a la primera rotación no ofrece ningún problema para determinarlo, y ya sabemos que es:

Para escribir el rotor asociado a la segunda rotación habrá que tener en cuenta que el eje de rotación ya no viene dado por el vector , porque habrá rotado por efecto de la primera rotación. Por tanto, el vector asociado al nuevo eje, que llamaré , será el resultado de aplicar la primera rotación a . Es decir:

Y, por tanto, como el valor del ángulo de la segunda rotación será , el rotor asociado a la segunda rotación será:

Fijémonos que a esta segunda rotación en torno a no la he llamado, sino , para enfatizar que no se hace en torno al eje del vector , sino en torno al eje del vector . De hecho, del mismo modo que es el vector tras haberle aplicado la rotación asociada al rotor , tenemos que el rotor asociado al eje rotado es la correspondiente “rotación del rotor”:

donde es, naturalmente, el rotor asociado a la misma rotación, pero hecha en torno al eje dado por el vector , y viene dado por la expresión que hace unos momentos aparecía entre paréntesis en mitad de un “sandwich multiplicativo”:

Todo esto es coherente con la afirmación hecha en la entrada 16: la rotación de un elemento de una álgebra geométrica, sea escalar, vector, bivector, trivector o multivector homogéneo o no homogéneo (como es el caso de un rotor) se obtiene siempre de multiplicarlo a derecha e izquierda, respectivamente, por el rotor asociado a la rotación, y su correspondiente rotor revertido. Así pues, si queremos aplicar a un objeto una primera rotación respecto al eje dado por el vector seguida de una rotación en torno a un segundo eje solidario al objeto que se rota (cuyo vector asociado es inicialmente pero que tras la primera rotación pasa a ser ):

que, tras simplificar, acaba dando:

Y ahí lo tenemos. Habíamos aplicado una primera rotación (de rotor ) en torno al eje dado por el vector , seguida por una segunda rotación (de rotor asociado ), en torno al eje dado por el vector , que a su vez no es más que el vector afectado por la primera rotación, o sea, la versión de que se va moviendo solidariamente con el cuerpo rotado, y vemos que el resultado es idéntico a haber aplicado las mismas rotaciones, pero en orden inverso (primero hace la rotación de ángulo y después la de ángulo ) y además alrededor de los ejes originales, que no se han movido con el cuerpo. La rotación equivalente tiene un rotor asociado que podemos expresar de dos formas diferentes:

¿Y si añadimos una tercera rotación en torno a otro eje solidarios al cuerpo? Tendríamos una rotación asociada a un rotor (eje de rotación ), seguida de una rotación de rotor asociado , todo exactamente igual que hasta ahora, y finalmente una tercera rotación, , que sería una rotación de ángulo , en torno a un eje asociado a un vector unitario , que a su vez podemos expresar como procedente, como resultado de la rotación con rotor asociado de un vector , el cual, a su vez, es también resultado de aplicar la rotación de rotor al vector , que da el eje en la posición inicial del cuerpo a rotar. Por tanto, el rotor equivalente a realizar las tres rotaciones sucesivas será:

Y ahí está otra vez. El rotor correspondiente a la composición las tres rotaciones sucesivas, de ángulos , y en torno a los respectivos ejes solidarios al cuerpo ha quedado expresado como el correspondiente a la composición de las tres rotaciones, pero en orden invertido y en torno a los ejes en su posición original de partida, no los solidarios al cuerpo.^[1]

Y con esta entrada dejamos el tema de las rotaciones en el espacio tridimensional. En las próximas entradas veremos conceptos que habían quedado pendientes de mayor desarrollo, como el de multivectores simples y compuestos, o la generalización de producto interior y exterior a multivectores de grado superior a 1, antes de pasar a aplicaciones en Matemáticas y Física.

1. Tampoco es difícil generalizar este resultado a la composición de un número arbitrario de rotaciones en torno a ejes solidarios al cuerpo rotado, utilizando para ello el método de inducción.

En la pasada entrada ya comenté que una misma rotación se podía representar por una sola matriz de , pero por dos rotores diferentes de , ya que en la fórmula de rotación de un multivector:

si cambiamos el rotor por su opuesto, , obtendremos el mismo resultado. Tanto como representan la misma rotación.

Esto podría parecer a primera vista un defecto de los rotores respecto a las matrices como representación de las rotaciones en , pero investiguemos un poco qué sucede cuando vamos rotando aldrededor de un eje , comenzando por un ángulo de rotación nulo y haciéndolo cada vez mayor. Veamos los rotores correspondientes:

Hemos comenzado por una rotación nula, a la se asocia un rotor que resulta valer 1. Efectivamente, si rotamos 0 radianes un multivector cualquiera obtenemos el mismo multivector: . Para rotar un ángulo (= 90º) obtenemos también otro valor bien determinado para , así como para los valores de siguientes: (= 180º), (= 270º) y finalmente (= 360º). Y aquí vemos que el rotor obtenido para es , que no es el mismo obtenido para . Tras dar una vuelta completa, aunque el objeto rotado quede igual, el rotor aplicado es diferente del correspondiente a no hacer ninguna rotación. A una vuelta de 360º le corresponde un rotor . Pues bien, sigamos rotando en torno al mismo eje en el mismo sentido hasta completar una segunda vuelta:

Y vemos que el rotor no vuelve a valer 1 hasta que se han dado dos vueltas completas. Para todos estos valores de : ( = 450º = 360º + 90º ), ( = 540º = 360º + 180º ), ( = 630º = 360º + 270º ) y ( = 360º + 360º ) vemos que el correspondiente rotor no es más que el rotor asociado a la rotación correspondiente a una vuelta menos, pero cambiado de signo.

Ahora podríamos preguntarnos si este extraño comportamiento de los rotores tiene su reflejo en el mundo real. Si rotamos cualquier cosa una vuelta de 360º, aparentemente sigue igual y no ha cambiado nada en absoluto respecto a su estado antes de la rotación. Aparentemente, podríamos pensar que el comportamiento de los rotores no pasa de ser una curiosidad matemática que no tiene aplicación en el mundo físico, y que con las matrices de , que no exhiben este fenómeno, ya es posible describir perfectamente todo lo asociado a las rotaciones en Física.

Pero resulta que estaríamos muy equivocados. Mi profesor de Mecánica Cuántica, allá en cuarto curso de carrera, lo decía más o menos así: “Si preguntáis a un físico cuál es el grupo de rotaciones del espacio euclídeo tridimensional, es muy probable que os responda que es , pero un físico que se dedique a la Mecánica Cuántica sabe que el auténtico grupo de rotaciones es “.

Bien, ya sabemos que es el grupo multiplicativo de matrices de números reales organizados en tres filas y tres columnas, matrices que además son ortogonales (de ahí la “O” de ) y de determinante igual a +1 (de ahí la “S” de , que viene de “special”), pero ¿qué es ? Pues resulta que es un grupo multiplicativo de matrices, cuyos elementos son números complejos, organizados en dos filas y dos columnas, matrices que además son unitarias^[1](de ahí la “U” de ) y de determinante igual a +1 (de ahí viene también la “S” de ). En fin, una cosa bastante retorcida y que, efectivamente, es un engendro matemático muy sofisticado para representar el grupo de rotores que actúan sobre cualquier elemento de : podemos identificar un rotor perteneciente al conjunto de todos los rotores de con una matriz de , y, del mismo modo, podemos identificar una matriz de de forma unívoca con un rotor perteneciente al conjunto de todos los rotores de , de modo que el producto de dos rotores queda representado por el producto de las correspondientes matrices de . El grupo de rotores del álgebra geométrica del espacio euclídeo tridimensional y el grupo son matemáticamente indistinguibles.^[2]

Pero entonces, ¿existe algo en el mundo físico que se comporte como un rotor y que necesite dos vueltas para volver a su estado inicial cuando se lo rota? Resulta que en el mundo de la mecánica cuántica tenemos los fermiones, las partículas elementales (como los leptones, entre los que tenemos los electrones, los muones y los tauones; o los quarks) que constituyen la materia ordinaria. Los fermiones se caracterizan por tener espín semientero, a diferencia de los bosones, partículas de espín entero, como pueden ser el fotón, transmisor de la fuerza electromagnética, los bosones W y Z, transmisores de la fuerza débil, o el gravitón, hipotético transmisor de la interacción gravitatoria. Un electrón tiene espín , y como todas las partículas de espín , su función de onda se representa en mecánica cuántica en forma espinorial^[3]. En términos del álgebra geométrica, eso quiere decir que para rotar la función de onda de un electrón, que podemos representar por un espinor (en el álgebra geométrica del espacio tridimensional, un cuaternión, recordemos lo dicho en la entrada 13), basta multiplicarlo por delante por el rotor correspondiente (que desde el punto de vista del álgebra geométrica también es un espinor, por ser un cuaternión). Y si queremos rotar la función de onda que describe al electrón una vuelta completa (360º = rad), el rotor correspondiente es , como vimos antes. Por tanto, la función de onda de un electrón, tras una vuelta completa, cambia de signo, y para tenerla igual que al principio, necesitaríamos aplicar una segunda vuelta completa. Un electrón, por así decirlo, no vuelve a estar como al principio hasta que no ha rotado 720º en torno a un eje.^[4]

Hemos encontrado en el esotérico mundo de la mecánica cuántica un ejemplo de objeto que no vuelve a verse igual hasta que se le ha aplicado una rotación de 720º, pero ¿sería posible encontrar un ejemplo análogo en el mundo cotidiano y macroscópico del mismo comportamiento? La respuesta es SÍ, aunque debemos buscar en los casos de rotaciones de objetos de alguna forma “atados” a su entorno. Por ejemplo, un objeto rotado por un brazo, lo que se conoce como truco del plato o truco del cinturón. Aquí es más bien el “truco del libro”:

Vamos a rotar un libro con un brazo en saltos de 90º hasta que todo quede en la misma posición de partida. En esta primera serie de fotos rotamos el libro hasta 270º.

En la primera foto de esta serie, llegamos a dar una vuelta completa al libro, pero la postura del brazo que lo ha rotado no es exactamente la misma (sobre todo en lo referente a comodidad) que al principio. No importa: seguimos rotando en la misma dirección (esta vez pasando el brazo por encima de la cabeza), que ya se arreglará…

Por fin, tras aplicar dos vueltas completas, el libro y el brazo han vuelto a la posición inicial.

Podemos considerar que la postura del brazo, a lo largo del proceso, va asociada a un determinado rotor . De hecho en robótica los rotores (como cuaterniones unitarios) han encontrado una importante aplicación para representar de forma eficiente la postura de un brazo robótico, así como para encontrar el modo más efectivo para pasar de una cierta postura a otra.

Este tipo de modelos también tiene su relevancia en mecánica cuántica: podríamos pensar que un electrón, como cualquier partícula de espín , es un objeto ligado de algún modo a su entorno por una especie de “brazo invisible”. De hecho, se han utilizado para explicar conceptos relacionados con el espín, o incluso explicar los conceptos que hay detrás de la demostración de teoremas muy complejos de la mecánica cuántica, como el teorema de conexión espín-estadística, por el cual se demuestra que las partículas de espín semientero son fermiones, y por tanto, siguen el principio de exclusión de Pauli, y las partículas de espín entero son bosones, y por tanto, el principio de exclusión no las afecta.^[5]

Espectacular ilustración del llamado “truco del cinturón” o “truco del plato”, esta vez con un objeto ligado de forma múltiple a su entorno. La configuración no vuelve a ser la inicial hasta que se han dado dos vueltas completas.
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Para la siguiente entrada seguiré con la composición de rotaciones en torno a ejes fijos respecto al sólido rígido que se rota, con lo que acabaría con el tratamiento de las rotaciones en el espacio euclídeo tridimensional.

1. Unitariedad, cuando se habla de matrices, es la propiedad que extiende a matrices de elementos complejos la propiedad de ortogonalidad de las matrices reales: si una matriz ortogonal es aquella cuya inversa es su matriz transpuesta, como vimos en la entrada anterior, una matriz unitaria es aquella cuya inversa es la conjugada compleja de su matriz transpuesta.

2. En la segunda nota al pie de la entrada 13 ya presenté las matrices de Pauli, que vuelvo a poner aquí: , y . Con ayuda de estas matrices se puede encontrar rápidamente la matriz de asociada a un cuaternión de la forma : simplemente hay que sustituir cada elemento de la base de vectores, , por su correspondiente matriz de Pauli asociada, , y, naturalmente, en la parte escalar introducir la matriz identidad . Así pues, la matriz que buscamos queda así: . La condición de unitariedad (normalización) del cuaternión se expresa en que la suma de los cuadrados de sus componentes vale 1: y se traduce en la equivalente versión matricial, no en la unitariedad de la matriz (la “U” de ), sino en que su determinante vale 1 (la “S” de ), como salta a la vista del ojo experimentado que vea la forma de la matriz. Y efectivamente, el producto de dos matrices asociadas respectivamente a dos cuaterniones unitarios produce precisamente la matriz asociada al cuaternión unitario producto de esos dos cuaterniones. Otra cosa muy distinta es la eficiencia de cómputo: multiplicar dos cuaterniones implica hacer 16 productos de números reales, y multiplicar dos matrices 2×2 complejas implica hacer 64 productos de números reales, así que, para evitar redundancias de cálculo por ordenador, es mejor olvidarse de poner los datos ciegamente en una librería de cálculo de producto de matrices, y en vez de ello calcular con cuaterniones en su forma tradicional de cuatro componentes.

3. En la entrada 13 también definí espinor como un elemento de la subàlgebra par del álgebra , y así podíamos identificar a los complejos como los espinores de y a los cuaterniones con los espinores de . En mecánica cuántica, los espinores que se utilizan para representar la función de onda de un electrón se entienden habitualmente como matrices columna cuyos elementos son números complejos. La conexión entre un tipo de espinores y otro vendría dada por la correspondencia entre vectores de la base ortogonal y matrices de Pauli detallada en la nota al pie anterior. De la matriz 2×2 correspondiente a un espinor del álgebra geométrica se obtiene el espinor de la mecànica cuàntica eliminando la segunda columna de la matriz y quedándose con la primera (la segunda columna de la matriz es reconstruible, como podéis ver si os fijáis en la nota al pie anterior, a partir de las partes reales e imaginaria de los elementos de la primera columna). Los “espinores columna” de la mecánica cuántica, serían algo así como “medias matrices complejas 2×2″, y por tanto, a diferencia de los cuaterniones, ya no pueden multiplicarse entre sí, y se transforman bajo una rotación de rotor premultiplicándolo por la matriz de asociada a , análogamente al modo en que se compone una rotación de rotor (que haría el papel de espinor a rotar) con la rotación representada con el rotor : en vez del producto de rotores tendríamos el producto de la matriz de asociada al rotor por el “espinor columna” a rotar.

4. Bien, se podría objetar que la función de onda (llamémosla ), como sabe quien haya estudiado mecánica cuántica, no es en sí algo medible, ya que lo relevante es propiamente el cuadrado de su módulo, . Un cambio de signo no sería, pues, físicamente detectable, pero si consideráramos un sistema de dos electrones, y rotamos 360º sólo uno de ellos, el cambio en la función de onda del sistema de dos electrones sí se haría observable.

5. La demostración rigurosa del teorema de conexión espín-estadística es muy compleja y requiere acudir a conceptos relativistas.

¿Qué pueden ser esas cosas? O que las moléculas presentes en el par (i) regresen a su estado inicial, lo que implica que una de ellas vuelva a tener en su orbital externo a dos electrones con espines antiparalelos, o (ii) que tenga la oportunidad de acoplarse a otros actores. Esto último sucede gracias a que los electrones no emparejados de un radical generalmente pueden interactuar con varios núcleos vecinos simultáneamente, en parte porque están deslocalizados, es decir, se extienden sobre una porción de la molécula más allá de su teórico átomo, y en parte porque en su cercanía física hay átomos que pueden generan, gracias a sus características de “imán”,^[1] momentos dipolares en la corta distancia suficientemente potentes como para impulsar la interrelación.^[2]. Estas interacciones darán como resultado un nuevo producto químico que antes no existía y que, evidentemente, podrá tener sus consecuencias aguas abajo del proceso iniciado por el fotón.

La figura siguiente es bastante explícita al respecto: Tenemos dos moléculas A y B reactantes inicialmente en equilibrio. Un fotón luminoso (ligth) genera un par de radicales [A^•+ B^•-]^[3] que, como ya imaginamos, resulta a partir del salto de un electrón de la molécula A a la molécula B. También dice la figura que el par de radicales presenta dos estados cuánticos superpuestos, singlete y triplete, teóricamente intercambiándose uno con el otro -lo que intenta representar las flechas circulares centrales-. La misma figura dibuja además la vía de nacimiento del sistema [A^•+ B^•-] singlete/triplete y también las vías de su “disolución”: observamos la posibilidad de una triple salida que se tiene que decidir mientras dure la coherencia cuántica y no se llegue al equilibrio por la relajación de los espines.

Esquema funcional de un par de radicales. La notación S se refiere en todos los caso a singlete y la T a triplete (Imagen modificada de la publicación “Chemical magnetoreception in birds:The radical pair mechanism”, figura 1, Christopher T. Rodgersa,b and P. J. Hore, PNAS Diciembre 2008, fair use)

Las vías de disolución están moduladas por constantes k que son algo así como el ritmo de los pares que transitan por esta vía, su “frecuencia de tránsito”: por ejemplo, una k_S^b de 10^-6 segundos indica que cada µseg un par desaparece por esa vía hacia la situación inicial [A B]. Una salida es la que modula la constante k_S^b -que como decimos es algo así como el ritmo de los pares que se “evaporan” transitando esta vía- por la que el sistema vuelva espontáneamente a la situación inicial [A B] mediante la emisión de un fotón, lo cual parece que sólo se produce directamente si el colapso de la función de onda proviene de un singlete.^[4] Otra salida, doble, la conforman las vías moduladas por k_S^f y k_T^f, que van a ser transitadas siempre que los microsegundos de duda, antes de que se caiga en la relajación y equilibrio no-coherente, den tiempo suficiente como para que algún agente externo, como el ¹H, el ¹⁷O o el ¹⁴N… (ya lo dijimos en la nota 2), pueda afectar la dinámica hiperfina del par dando como resultado posibles productos, derivados de A y/o B, que aquí se denominan como C. .

Si conceptualizamos la salida doble como única (una simplificación que creo que mejora el entendimiento: al fin y al cabo ambas van al producto C) podemos ver cómo hay dos vías competidoras para la eliminación de los pares [A^•+ B^•-]: desde el estado singlete con “velocidad” k_S^b y desde los estados singlete o triplete con “velocidad” k_S/T^f.^[5] Las proporciones de pares radicales que viajan hacia [A B] o que viajan hacia C dependen no sólo de esos dos ratios temporales, las dos k’s, sino también de la dinámica de la interconversión singlete/triplete, como no podía ser menos, ya que es el “inquieto” punto de partida de las dos vías. Si en el hipotético campo biológico que habíamos imaginado con una gran familia de pares esta dinámica genera un incremento de la fracción promedio de tripletes, con una consiguiente disminución en la fracción de singletes, entonces los pares radicales reaccionarán más hacia la forma C y volverán en menor cantidad a AB. Y viceversa.^[6] Hay que hacer hincapié en que necesariamente las dos vías tienen que ser realmente competidoras, es decir, que no haya una gran diferencia entre las constantes de modulación k_S^b y k_S/T^f, ya que si una dominase sobre la otra no habría posibilidad de modular, de generar diferencias que pudieran definir una brújula ya que todo el proceso iría hacia una dirección -la de partida [A B]- o hacia la otra -la del producto C-. Se daría un proceso de todo o nada, quedando anulada la variación de información tan imprescindible para que una brújula funcione.

Nos podemos preguntar: ¿qué es lo que puede haber que modifique la proporción entre los estados superpuesto singlete/triplete? Hombre, ya hemos dicho que su dinámica está condicionada por las interacciones magnéticas hiperfinas, además de que los campos magnéticos alteran al vector de los espines electrónicos transformándolos en una especie de peonza. Cambia su dirección y añaden un giro de precesión en su eje. Entonces… puede ser que un campo magnético con una energía semejante a la de los niveles hiperfinos del par afecte su dinámica y, por tanto, altere la proporción de singletes frente a los tripletes: la presencia de ese campo puede ser decisivo en la cantidad final de C.  Además intuimos que las alteraciones en el rendimiento final del producto C, una vez que todos los pares radicales han desaparecido, es lo que puede generar las reacciones sensoriales necesarias que proporcionarían al ave la información sobre la dirección del campo magnético. Realmente esto puede ser muy significativo. Se desvelará más abajo.

Dado que en la hipótesis de una brújula química apoyada en los pares de radicales es fundamental la situación de la población singlete/triplete, como ya se ha apuntado, ha habido mucho interés en correr simulaciones de cómo puede evolucionar teóricamente su relación poblacional dentro del estado de coherencia cuántica singlete/triplete. Se ha observado que mientras dura esa coherencia, y en ausencia de agentes externos, solamente por la acción de las dinámicas internas del par, la alternancia singlete/triplete sigue unas oscilaciones muy irregulares, aunque dentro de una modulación general que hace que globalmente las variaciones relativas de las poblaciones de singletes o de tripletes dentro de la muestra -que puede ser nuestro imaginario tejido biológico- sigan un ritmo de periodo próximo al µsegundo o incluso menos.^[7]

Fracción de singletes, tanto por uno, en un par de radicales característico (Imagen modificada de la publicación ”The radical pair mechanism of magnetoreception”, figura 4a, P. J. Hore y Henrik Mouritsen, Annual Review of Biophysics, julio 2016, fair use)

Como estamos hablando de variaciones energéticas del orden de las estructuras hiperfinas, se hace más patente el hecho de que en los análisis de la influencia en nuestra muestra biológica tengamos en cuenta aquellos campos magnéticos externos que se muevan alrededor de esos niveles energéticos, ya que es más posible que esos campos puedan provocar una conversión singlete/triplete oscilatoria adicional. Para ello necesitamos ampliar un poco la explicación de cómo es el efecto de uno de esos campos sobre el vector momento magnético de espín o nuclear -la famosa peonza de más arriba-. Se conoce como efecto Zeeman y hace que el eje “precesado”^[8] de la peonza gire con una frecuencia específica -conocida como frecuencia Larmor-, que es proporcional a la intensidad del campo con un factor de conversión de 28 kHz por µTesla de campo magnético. ¡Ahí le hemos dado! Andábamos buscando un campo magnético que se ajustara a las características de las oscilaciones hiperfinas y, mira por donde, lo vamos a tener muy a mano, ya que el campo de la Tierra se mueve entre los 30 y los 60 µTeslas. Esta fortaleza del campo va a inducir en el par de radicales una frecuencia Larmor en el entorno de 1,4 MHz (50 µT x 28 kHz/ µT), equivalente a un período de unos 0,7 µsegundos, muy parecido al de las oscilaciones hiperfinas de esos pares (de 1 a 0,01 μsegundos).

Eso ha estimulado el completar el campo de la simulación incorporando la influencia de un campo de 50 µTeslas, simulaciones que dejan muy claro una curva en la que aun se siguen observando las oscilaciones rápidas causadas por los campos hiperfinos (los de la figura anterior), pero que en la que ahora se superpone una modulación distinta con un período de 700 nsegundos (0,7 µseg), que ¡oh casualidad! corresponde a la frecuencia Larmor de 1,4 MHz. Esta diferencia en las frecuencias de oscilación producidas por las dos interacciones refleja lógicamente sus relativas fortalezas. Realmente un campo magnético externo afecta la proporción singlete/triplete.

Alteración de las relaciones poblacionales singlete/triplete producidas por un campo magnético externo y su orientación (Imagen modificada de la publicación ”The radical pair mechanism of magnetoreception”, figura 4b y c, P. J. Hore y Henrik Mouritsen, Annual Review of Biophysics, julio 2016, fair use)

La simulación también manifiesta el apreciable influjo que tiene la dirección del campo magnético externo en la proporción de estados singlete sobre el total. Esto tiene una sencilla explicación, y no solamente por el hecho de que los electrones del par de radicales puedan configuran un orbital “alargado” que claramente presenta un eje mayor en una dirección. Realmente las interacciones hiperfinas, que no dejan de ser más que resultado de dipolos conformados por los momentos magnéticos de ciertos núcleos (hablamos con anterioridad del ¹H, el ¹⁴N y el ¹⁷O) y los de espín de los electrones, definen unos campos magnéticos que, si los imaginamos en el espacio, dibujan superficies tridimensionales “equipotenciales” distintas según sean los átomos implicados y la estructura química de la molécula, y que no necesariamente tienen que ser esféricas. En la siguiente imagen se muestran esas superficies, las más relevantes, para una molécula de flavina, a la izquierda, y otra de triptófano, a la derecha, cada una de ellas centrada en siete átomos, de hidrógeno o nitrógeno. La distancia desde el átomo hasta la superficie en cualquier dirección es proporcional a la fuerza de la interacción magnética en esa dirección. Como se puede apreciar las hay más esféricas y otras, la mayoría, claramente elipsoidales o con dos lóbulos. En lenguaje cuántico eso indica un carácter isotrópico para las esféricas y para las otras, anisotrópico, es decir, más intenso en una dirección preferente. Son los matices que explican cómo las moléculas pueden “ver” la orientación de los campos magnéticos externos con una cierta preferencia, circunstancia muy útil a la hora de fijar una “brújula química”.

Moléculas de flavina (a) y de triptófano (b) sobre las que se han representado sus siete momentos magnéticos hiperfinos más importantes (ver explicación en el texto) (Imagen a partir de la publicación “Alternative radical pairs for cryptochrome-based magnetoreception”, figura 1, Alpha A. Lee et al., The Royal Society junio 2014, fair use)

Pues bien, ya tenemos idea de cómo evoluciona la población singlete/triplete en una muestra de múltiples pares de radicales según intervenga o no un campo magnético externo. Por lo que ya llevamos hablado intuimos también que el tiempo durante el que se mantiene la coherencia cuántica en el par debe ser también crucial. Lo cual nos va a definir qué tipo de molécula pueda ser candidata para generar pares de radicales útiles para la magnetocepción.^[9] Dependiendo del tiempo que transcurra antes de “la fuga” por una de las dos vías, las diferencias en las precesiones de los espines de cada uno de los dos electrones desapareados podrá ser muy diferente con respecto a las posiciones de partida. Intuitivamente podemos pensar que si la reacción es rápida, las precesiones de ambos electrones aun serán muy parecidas, por lo que habrá una mayor probabilidad de volver al estado inicial [A B], y si es lenta se habrá producido una diferencia de precesiones suficiente como para que suceda algo distinto, lo que da una mayor oportunidad a que se siga por la vía del producto C. Sabemos que esos matices de velocidad están modulados por el valor de las constantes k’s de las que hablamos más arriba: la vía  k_S^b desde un singlete y la vía unificada k_S/T^f indistintamente desde singlete o triplete.

Las simulaciones del modelo, teniendo en cuenta distintos valores de las constantes k’s y manteniendo el efecto de un campo magnético de 50 µT, dan unos resultados muy claros, tal como lo podemos ver en la figura siguiente. La curva (a) corresponde a reacciones lentas con k’s ~ 10^-6 segundos; mientras que la (c), con k’s ~ 10^-7 segundos, corresponde a reacciones un orden de magnitud más rápidas. No perdamos de vista que los valores de las constantes k’s las define el tipo de molécula, no el campo magnético externo, que lo único que hace es alterar la relación singlete/triplete en los pares generados en esa molécula. El pie de imagen explica qué son cada una de las curvas.

En gris cómo varía la proporción de singletes sin la influencia de un campo externo. Las curvas de color corresponden a las variaciones unitarias de los estados singlete pero con el influjo de un campo de 50 µTeslas. Las curvas de puntos indican la acumulación temporal del producto C  (Imagen modificada de la publicación ”The radical pair mechanism of magnetoreception”, figura 7a y c, P. J. Hore y Henrik Mouritsen, Annual Review of Biophysics, julio 2016, fair use)

Si nos fijamos en las curvas de la evolución de creación de producto C, líneas de puntos, observamos que en las reacciones lentas prácticamente todo sucede en los primeros 3 µseg, tiempo suficiente para que la frecuencia Larmor del campo, que recordemos que es de 0,7 µsegundos, actúe en profundidad en la relación singlete/triplete, como lo vemos en el perfil descendente que adopta la curva naranja. Huele a que con este tipo de moléculas se pueda desarrollar la función de brújula química: son muy sensibles a los campos. Sin embargo, cuando las reacciones son rápidas, curva (c), la degradación de singletes sigue el ritmo normal impuesto por las interacciones hiperfinas de la molécula llevándose a cabo en prácticamente unos 0,1 µsegundos en lugar de los pocos microsegundos del caso anterior. Con una vida útil tan corta, los singletes han desaparecido antes de que la oscilación Larmor de 1,4 MHz puede afectarles y tener una incidencia significativa. No hay posible efecto de brújula química. Quiero resaltar que no nos debe engañar el hecho de que haya una mayor generación de productos C en el segundo caso que en el primero, ya que eso es solamente debido a que los singletes (que llevan directamente a la posición inicial [A B] sin generar C) en el caso rápido han desaparecido más deprisa, por lo que habrá más tripletes y, por tanto, mayor posibilidad de transitar la vía del producto C. Una mayor o menor cantidad de C no es lo esencial: simplemente importa (1) que haya C, lo que ya sabemos que es lo que puede suscitar reacciones interesantes con el tiempo, y (2) que la molécula tenga las características precisas como para que se vea afectada por los campos magnéticos externos -de nuevo la brújula química-. Para completar todos los posibles escenarios podemos también preguntarnos qué es lo que pasaría si la constante “molecular” k fuera mucho menor, pongamos del orden de los 10^-4 segundos: la transformación de los pares sería mucho más lenta, por lo que la influencia del campo externo decaería ya que en esos plazos su acción empezaría a enmarañarse con los efectos del baño térmico ambiente.

En resumen, todo funciona alrededor de un “heptálogo” que espero aclare mi verborrea de escribano:

1. si alguna molécula orgánica es capaz de generar pares de radicales

2. que no degeneren hacia estados cuánticos no-coherentes antes de los pocos µsegundos (≈ 2 o 3),

3. en los que se den interrelaciones energéticas hiperfinas que oscilen con periodos en el entorno del μsegundo (≈ 0,1 a 1)

4. y que, además, sean anisotrópicas,

5. entonces su dinámica podrá verse afectada por la acción del campo magnético terrestre,

6. lo que va a introducir, según la orientación del campo, variaciones en la generación de los productos de sus reacciones químicas

7. que claramente van a modular las reacciones biológicas que van a tener lugar aguas abajo.

Tendremos por tanto una brújula química para el uso de quien la necesite. El resto lo hizo la evolución.

Y con eso queda terminado esa panorámica acerca de algo que me captó cuando lo leí por primera vez: ¿Cómo demonios podía estar encadenado el viaje irracional de ciertos animales con la física cuántica? La curiosidad me animó a investigar y en el camino disfruté y aprendí. Como espero que os haya podido pasar a vosotros.

1. En la entrada anterior nos tomamos nuestro tiempo para explicar cómo determinadas partículas atómicas se comportan como verdaderos imanes.
2. En las moléculas orgánicas nos encontramos con el ¹H que genera a 0,1 nm un momento magnético de 2,44 mTeslas; el ¹⁷O con 1,13 mTeslas o el ¹⁴N con 0,29 mTeslas. Estamos hablando además de que los acoplamientos hiperfinos de los radicales orgánicos se sitúan típicamente en el rango de los 10 a 1.000 μTeslas. Es factible que puedan interactuar entre ellos.
3. El asterisco indica que B^* se encuentra en un estado excitado y el punto • que tanto en A^• como en B^• hay un radical, un electrón solitario en el orbital externo. Antes los dos electrones cohabitaban en el mismo orbital atómico.
4. Aunque también puede suceder indirectamente desde un triplete, hay algunos físico-químicos que opinan que esa vía se transita con mucha menos, o ninguna, probabilidad. Lo explican diciendo que las condiciones de interacción hiperfina prohíben este paso desde un triplete.
5. También aquí igualamos nominalmente a las vías k_S^f y k_T^f unificándolas conceptualmente como k_S/T^f.
6. Ya que desde el singlete se produce una merma de C puesto que una parte de ellos degeneran por la vía de recuperar el estado inicial [A B].
7. Los acoplamientos hiperfinos de los radicales orgánicos se sitúan típicamente en el rango de los 10 a 1.000 μTeslas, que corresponden a vibraciones de frecuencias entre 300 kHz y 30 MHz. Esto hace que la transformación [singlete/triplete] oscile típicamente dentro de una escala de tiempo de entre 1 y 0,01 μsegundos.
8. El movimiento de precesión es el movimiento asociado con el cambio de dirección en el espacio que experimenta el eje instantáneo de rotación de un cuerpo.
9. Las particulares configuraciones químicas y físicas de cada molécula les definen un “documento de identidad” único que fija su forma de manifestarse.

¿Va a ser todo un tema cuántico? Diagrama de la transición hiperfina del hidrógeno grabada en la placa de las Pioneer (Dominio público)

Como adelanté en la entrada anterior, todo parece residir en el comportamiento de lo que se conoce como un par de radicales. En química un radical es una molécula que contiene un número impar de electrones. Un par de radicales o par radical consiste en dos radicales que han sido creados simultáneamente, generalmente a través de una reacción química. Pero también pueden generarse gracias a la acción de algún agente independiente, como puede ser un fotón con la energía adecuada.

Sabemos que la familia electrónica de un átomo, y también en una molécula, se distribuye según niveles energéticos alrededor de los núcleos.^[1] Sabemos también que de acuerdo con el principio de exclusión de Pauli en cada nivel -y orbital- solamente pueden cohabitar dos electrones y, además, con espines opuestos.^[2] Claro está que si el número atómico es impar, en el orbital más exterior sólo habrá un electrón. Pero ¿qué es eso del espín?^[3] Simplemente es una cualidad cuántica interna de ciertas partículas atómicas -como también son cualidades físicas la masa o la carga eléctrica-, que podemos asimilar a un giro mecánico aunque no tenga nada que ver con la física clásica: ambos giros están definidos por un vector, arriba o abajo (sentido horario o contrario) y cuantificados por su momento angular.

Gracias a ese momento angular de espín las partículas cargadas -en movimiento variable- generan un campo magnético, ya nos lo dijo Maxwell.^[4] En el átomo, o en una molécula, hay muchas partículas cargadas con momento angular -protones o electrones- que se comportan como pequeños imanes, con sus campos magnéticos asociados, gracias a sus espines. No se acaba aquí la nómina del “efecto imán”, ya que también el electrón gira en su orbital alrededor del núcleo e incluso en su interior los protones dan volteretas orbitales.^[5] Como podemos imaginar, todo ello dibuja dentro de un átomo una amplia panoplia de “imanes” con sus inherentes momentos magnéticos electrónicos o nucleares -cada uno de espín y orbital- acoplándose unos con otros.

Esta circunstancia introduce sutilezas en la distribución energética de la familia de electrones alrededor de un átomo o en una molécula. Estamos hablando de imanes y sabemos que es más difícil aproximarlos enfrentando sus polos iguales que si lo hacemos con sus polos opuestos. Lo cual quiere decir que los potenciales del campo electromagnético inherente son mayores en el primer caso que en el segundo. Y ello quiere decir también que cada electrón, dependiendo de las circunstancias físicas de las partículas cargadas de su vecindario -ya sea propio o ajeno- y las suyas propias, tendrá un nivel energético particular con respecto a cada uno de ellos. Lo que configura sobre la estructura gruesa de niveles energéticos lo que se conoce como estructura fina e hiperfina de átomos y moléculas.^[6] Es tal la sutileza que estaremos hablando de diferencias energéticas en esos niveles que pueden ser seis ordenes de magnitud inferiores a los que existen en la estructura gruesa.^[7]

A la izquierda ejemplo de estructuras energéticas: gruesa (n), fina (J) e hiperfina (F). El acoplamiento de los diferentes momentos angulares conduce a la división de los niveles de energía fundamental, n 1 y n 2, ya que los momentos angulares de espín electrónico y de orbital electrónico en sus orbitales S y P, se acoplan para formar el momento angular electrónico total, J. El cual se acopla al momento angular de espín nuclear, I, para formar el momento angular total, F. A la derecha dos átomos de hidrógeno, a derecha e izquierda, se unen para formar una molécula de H₂. Los orbitales 1s de los átomos se recombinan dando lugar a dos tipos nuevos de orbitales moleculares σ, uno enlazante donde estarán los dos electrones y otro antienlazante de mayor energía, donde podrá situarse uno de estos electrones si la molécula se encuentra excitada. (Imágenes de la red, fair use)

Después de lo dicho anteriormente creo que tenemos ya dibujado el campo de juego, que lo vamos a concretar en una molécula con dos electrones de espines antiparalelos -a lo bruto, un espín para arriba y otro para abajo- en su orbital más externo (ver figura anterior, derecha). Imaginemos ahora que desde el exterior llega un fotón con suficiente energía y que incide en un electrón de la pareja situada en el mismo nivel orbital, haciendo que salte a otro más externo, más energético, dentro de la misma molécula. O quizás haciendo que salte hasta el orbital de otra molécula de las cercanías, incluso haciendo voltear el espín de partida del electrón que salta. Una u otra molécula, tras el “empujón”, quedarán en un estado vibratorio excitado dentro de la arquitectura energética que hemos llamado estructura hiperfina. En el proceso el par de electrones no perderá su estado cuántico entrelazado dentro de lo que establezca su función de onda, gracias a la que sabemos que vivirán en un estado superpuesto de parejas con espines antiparalelos -espín conjunto igual a 0- o parejas con espines paralelos -espín conjunto igual a 1-.^[8] El primer caso lo conocemos como un singlete -ya lo formaban antes del “fotonazo”- y el segundo como triplete. También la ecuación de onda nos indica que, tras una medida, es más probable que veamos un triplete que un singlete. Pero mientras no miremos ¿qué es lo que hay en cada instante en ese sistema cuántico? No se sabe mientras no midamos y colapsemos su función de onda: mientras viva el par de radicales solamente sabemos que en este ente físico-matemático existen dos moléculas con dos electrones especiales, estos últimos con la posibilidad de tener a la vez espines hacia arriba o hacia abajo, a la vez paralelos o antiparalelos, y con los vectores de sus momentos magnéticos, nucleares o electrónicos, a la vez y superpuestos, hacia arriba o hacia abajo. Vamos… un lío cuántico. Lío absolutamente necesario para nuestros propósitos de magnetocepción, pues si no hubiera interacciones hiperfinas en este berenjenal no habría oscilaciones singlete-triplete, el par radical permanecería en un casi inmutable estado singlete, por lo que sólo habría monotonía en donde hincar el diente de un campo magnético externo y, por tanto, nunca se podría producir ningún efecto diferenciable que fuera como una voz que nos dijera… “mejor por aquí que por aquí”.

Con eso tenemos ya a nuestro actor principal de la función “brújula química”: el par de radicales. Un par de imanes, rotando como unas peonzas,^[9] inmersos en la estructura hiperfina de la molécula. Las diferencias energéticas son tan mínimas que aun instalada la molécula, como lo está en la realidad, en un medio macro con un gran ruido térmico -el ajetreo de las moléculas chocando entre ellas-, superior en muchos órdenes de magnitud al nivel de energía del par,^[10] parece como si se escabulleran antes de que el ajetreo molecular relaje al par llevándolo a su posición de equilibrio de partida. Análogamente, aunque no igual, a tal como se comportan la mayoría de los átomos de hidrógeno en el Cosmos que hacen su camino inmutable dentro del inmenso vacío. Como ya hemos apuntado un poco más arriba, las interacciones magnéticas hiperfinas en el par mantienen la coherencia cuántica de los espines electrónicos durante un tiempo, lo que hace que se produzca un constante vaivén entre el estado singlete y el estado triplete. Entretanto dure la coherencia ahí estará presente un intercambio de estados superpuestos. Pero también pueden pasar más cosas, tales como que poco a poco se vaya relajando la coherencia por el influjo que ejercen los movimientos moleculares -rotaciones y vibraciones- en las interacciones hiperfinas de los espines de los electrones. Evidentemente, en el mundo real, como el de la biología, no se va a producir un solo par de radicales, sino que lo normal es que se produzcan en los tejidos orgánicos, de forma aleatoria, muchos de ellos que convivan a la vez. Los miembros de esta familia se encontrarán en un estado de superposición coherente cuántica singlete-triplete. Para entenderlo vamos a abstraernos de la imposibilidad de “ver” esas superposiciones forzando nuestra imaginación para que distinga el campo singlete y el campo triplete. Es lo que pretende concretar la siguiente figura.

(Imagen modificada de la publicación ”The radical pair mechanism of magnetoreception”, figura 5, P. J. Hore y Henrik Mouritsen, Annual Review of Biophysics, julio 2016, fair use)

A la izquierda vemos una situación coherente de varios pares con sus espines antiparalelos -por tanto estaremos hablando del estado singlete-, distribuidos al azar, pero que en su promedio dan como resultado un espín total igual a cero. Como debe ser para singletes. La imagen de más al centro, pero aún dentro del espacio de coherencia, corresponde al estado triplete, en donde también hay una distribución de pares al azar, aunque ahora con sus espines antiparalelos no de forma exacta, cosa que corrige la estadística que lleva a la muestra a tener un espín total de 1, como es obligado en un estado coherente de triplete. Una fotografía y otra no están en equilibrio ya que podemos suponer que se van intercambiando con el tiempo siguiendo un particular patrón ondulatorio.^[11] Las interacciones magnéticas hiperfinas en el par mantienen viva la coherencia cuántica de los espines electrónicos un tiempo, durante el cual el constante vaivén entre el estado singlete y el estado triplete queda asegurado. Mientras dure la coherencia ahí está presente el intercambio de estados. Pero no podemos olvidarnos de que ahí sigue también el mundo macro con su paso lento e inevitable que hace que, mientras, vayan pasando más cosas: poco a poco se va relajando la coherencia de los espines por el influjo que ejercen los movimientos moleculares -rotaciones y vibraciones- sobre las interacciones hiperfinas de los espines de los electrones. Hasta perderse totalmente este especial mundo cuántico coherente que nos hizo soñar con explicarnos los fundamentos de la “brújula química”. No obstante, que no decaiga nuestro ánimo, porque antes, aunque en el orden de los pocos μsegundos, aun hay tiempo de ver cosas interesantes.

Esas cosas están relacionadas con los resultados que se pueden generar cuando aparece un par de radicales en determinadas moléculas. Nos interesan las orgánicas, ya que vamos a la búsqueda de la teoría que asegure la funcionalidad de brújula química. Una molécula con unas características dinámicas especiales en sus interacciones internas a nivel energético hiperfino que lo hagan posible. Con unas fluctuaciones dentro del entorno coherente cuántico, como lo es la superposición de estados singlete-triplete en un par de radicales, que puedan hablarse con las de un campo magnético exterior como es el terrestre. En la entrada anterior ya apuntábamos al criptocromo. En la siguiente entrada hablaremos de ello, al menos de su cuerpo teórico.

1. Con relación a los orbitales electrónicos en el átomo, y de cómo se van ordenando los electrones en ellos, podéis releer la entrada número 3, “Estructura electrónica del átomo”, de la serie “La tabla periódica” publicada en este blog de El Cedazo.
2. El principio de exclusión de Pauli es una regla de la mecánica cuántica, enunciada por Wolfgang Ernst Pauli en 1925. Establece que no puede haber dos fermiones (quarks -protones, neutrones…- y leptones -electrones…-) con todos sus números cuánticos idénticos -esto es, en el mismo estado cuántico- dentro del mismo sistema cuántico.
3. El espín (del inglés spin ’giro, girar’) es una propiedad física interna de algunas partículas elementales, como pueda ser su carga o su masa, por el cual tienen un momento angular intrínseco de valor fijo, que no tiene nada que ver con el que resulta de un giro mecánico clásico de la partícula.
4. Con relación a este tema de correlación entre magnetismo y electricidad podéis leer esta entrada, “Las ecuaciones de Maxwell”, de la serie homónima publicada en el blog El Tamiz.
5. Al igual que en el espín, también los giros orbitales pueden llevarse a cabo en los dos sentidos.
6. En el blog de El Tamiz se publicó una entrada que deja muy claro todo el tema de la estructura hiperfina: “¿Qué es la estructura hiperfina?“.
7. Por ejemplo en el hidrógeno, el salto energético entre los niveles orbitales 1 y 2 -estructura bruta- es de 10,2 eV, mientras que la hiperfina dentro del nivel 1 es de 5,9 10^-6 eV y en el nivel 2 es 4,4 10^-6 eV.
8. Con respecto a los conceptos cuánticos de entrelazamiento y superposición vuelvo a llevaros de la mano al blog El Tamiz, serie “Cuántica sin fórmulas“, entrada “Superposiciones cuánticas” y entrada “El entrelazamiento cuántico”.
9. Los propios campos magnéticos internos, y los externos, interfieren en el vector del espín haciendo que se incline con relación a la posición de equilibrio. La frecuencia de la rotación es proporcional al valor del campo magnético que produce la precesión del eje.
10. La interacción hiperfina de una molécula en condiciones fisiológicas, digamos en el mundo real de la Vida, es más de un millón de veces más pequeña que la energía térmica, k_BT, que la rodea. La ecuación k_BT (la constante de Boltzmann multiplicada por la temperatura) cuantifica la energía asociada con los movimientos aleatorios de las moléculas, siempre presentes, a medida que chocan entre sí, giran y vibran.
11. Conoceremos este patrón en la siguiente entrada.

Si no habéis leído el anterior capítulo id a leerlo, pues muchas de las cosas que hablé ahí son importantes para este artículo y no voy a repetir todas las cosas. Ahí discutimos la existencia de un vector, al que llamamos vector posición, que nos definía precisamente la posición de un objeto; y también hablamos sobre dos formas de escribir vectores, las coordenadas cartesianas y las polares. Un resumen muy general y rápido de las coordenadas cartesianas:

Un vector en dos dimensiones puede especificarse con dos números, especificando la distancia en dos direcciones perpendiculares. Por ejemplo, la distancia hacia el Este y la distancia hacia el Norte (que llamaremos, respectivamente x e y, siguiendo la nomenclatura típica).

Entonces cualquier punto se puede especificar con los números x e y. A estos dos números los llamaremos coordenadas cartesianas, y a partir de aquí ya podemos dejar de hablar de Este y Norte pues eran simplemente nombres para que todos pudiéramos entendernos. Vamos a renombrar la dirección Este por lo que llamaremos el Eje x y el Norte por el Eje y.

Además, podemos definir dos vectores unitarios (es decir, de módulo 1), x e y, considerando una persona moviéndose con y o x constante. El vector unitario x lo definimos como ese que señala la dirección donde la coordenada x aumenta en 1 unidad, permaneciendo la coordenada y constante. Y lo mismo para definir el vector unitario y. Imaginad ahora que fijamos un valor de y y dibujamos todos los puntos que obtenemos al ir cambiando x. Lo que observaríamos seria una recta horizontal, a una distancia y del origen. Por ejemplo, fijando y=1, debemos movernos una unidad hacia arriba, pero como no hemos fijado la posición x, podemos movernos hacia la izquierda o derecha, sin restricciones, generando la recta a la que antes me refería. Si en lugar de fijar y fijamos x, observaríamos una recta vertical. Si hacemos esto para muchos valores de x e y, obtenemos la siguiente imagen

En la imagen anterior pueden verse dos puntos (rojo y azul) sobre el plano cartesiano, además de las líneas que comentaba antes para los valores de x entre 0 y 8 (verticales) e y entre -1 y 6 (horizontales). Fijaos que las líneas correspondientes a x=0 e y=0 son precisamente los que definimos, respectivamente, como Eje y y Eje x. Esto nos permite saber rápidamente que el punto rojo está en las coordenadas (x=5, y=3) sin tener que calcular la distancia ni nada, pues está justo en la intersección de esas dos rectas.

En coordenadas cartesianas el vector posición r puede escribirse como

Ya que, como hemos dicho, el vector posición consiste en un vector que se mueve x unidades en la dirección x e y unidades en la dirección y.

Lo bueno de las coordenadas cartesianas es que, aunque otra persona se encuentre en un punto distinto al tuyo, todos estáis de acuerdo de hacia donde van los vectores unitarios x e y (es decir, x e y no dependen del punto en cuestión, esto puede apreciarse en la imagen anterior), por lo tanto, si un objeto se está moviendo desde una posición r₁ a una posición r₂ podemos definir la velocidad de ese objeto como

Donde usaré la notación de Newton y denotaré la derivada temporal con un punto sobre la cantidad a derivar. Del mismo modo podemos volver a derivar para obtener la aceleración del objeto

Si ahora queremos, por ejemplo, calcular la energía cinética del objeto, no tenemos más que calcularla con la ecuación que ya conocemos

Y así podemos ir calculando todo lo demás.

Vamos ahora a ver qué diferencias aparecen al considerar las coordenadas polares:

En el artículo anterior vimos que las coordenadas polares consisten en describir el vector r con la distancia al origen y el ángulo que forma con el eje x.

Si repetimos lo mismo que hemos hecho para coordenadas cartesianas y fijamos un valor de r, dibujando todos los puntos que obtenemos al variar θ ¿qué figura obtenemos? ¡Pues los puntos que están a una misma distancia del origen forman una circunferencia de radio r y centrada en el origen! Si en cambio fijamos θ y movemos r obtenemos rectas que salen del origen y forman un ángulo θ respecto al eje x. Dibujemos estas figuras para varios valores de r y θ:

De nuevo, definimos los vectores unitarios r y θ como dos vectores de módulo 1 y con la dirección y sentido en que aumenta r o θ, manteniendo el otro valor constante. Pero observemos ahora una gran diferencia con las coordenadas cartesianas: para dos observadores, uno en el punto rojo y el otro en el punto azul, los vectores x e y son exactamente los mismos, ¡pero los vectores r y θ no! Esta diferencia es fundamental y, como podréis imaginar, en general sólo complica aún más las cosas, pero si estamos viendo esto es porque hay veces en los que esta aparente complicación permite simplificar las cosas. Por ejemplo, el vector posición se escribe mucho más fácilmente con estas coordenadas

Pues precisamente esta es la definición del vector unitario r.^[1] En dos dimensiones, cuando encontramos dos vectores con los que podemos generar cualquier vector (es decir, que cualquier vector se puede escribir como suma de esos dos vectores) decimos que estos vectores forman una base. Por ejemplo, los vectores unitarios que hemos viso, x e y son una base y los vectores unitarios r y θ también. La primera es una base de coordenadas cartesianas, mientras que la segunda es una base de coordenadas polares. Existe otra base muy usada en coordenadas polares, con los vectores e_r y e_θ siguientes:

La base de r y θ es útil porque ambos vectores son ortogonales y tienen modulo 1, a eso se le llama base ortonormal; e_r y e_θ no es una base ortonormal, pero tiene otras propiedades interesantes (que no vamos a ver aquí).

Como hemos dicho que x e y forman una base, cualquier vector del plano se puede escribir como combinación de los vectores x e y. Entonces los vectores r y θ no pueden ser una excepción a eso. Con un poco de trigonometría es fácil ver que podemos relacionar las dos bases con

Vemos que evidentemente los vectores r y θ dependen de la coordenada θ.

Esta dependencia hace que, si una persona se mueve por el espacio, los vectores r y θ irán cambiando; para ver cómo cambian podemos simplemente calcular su derivada, pues es lo que nos indica cómo cambian las cosas.^[2] Lo primero que podemos notar es que ni r ni θ dependen de la coordenada r, así que si nos movemos siguiendo la coordenada r ambos vectores permanecen iguales. Pero si nos movemos modificando el valor de θ observamos que los vectores cambian de la siguiente forma:

En un artículo anterior hablé sobre la regla del producto de derivadas. Para continuar necesito comentar una última regla muy útil para derivar, la conocida como regla de la cadena. Suponed que tenemos una función f que depende de dos variables, por ejemplo r y θ. Suponed además que tenemos un objeto moviéndose por el espacio y, por tanto, las coordenadas r y θ van cambiando con el tiempo ¿cómo podemos calcular el cambio que sufre f?

Dado que f es una función que depende de las variables r y θ, podemos derivar respecto a esas variables para conocer cómo de “sensible” es nuestra función a los cambios de esas variables. Pero eso no es suficiente, no sólo debemos conocer lo sensible que es la función a los cambios de r y θ, debemos tener en cuenta cuánto cambian r y θ por el hecho de que el objeto se mueve. Pues por mucho que cambie f al cambiar r, si r cambia muy poco f cambiará muy poco, mientras que si f cambia poco al cambiar θ, si θ cambia mucho el cambio de f puede hacerse muy grande.

Si juntamos estos dos efectos podemos calcular el cambio de f de la siguiente forma

Donde he usado el símbolo de derivada parcial: simplemente, como f depende de dos variables, r y θ, la derivada parcial respecto de r nos dice que derivemos f respecto de r como siempre hemos hecho considerando que θ es un numero constante. Nuestro colega jlese ya habló de ella en este artículo, así que no voy a hablar más sobre esto.

Como veis, trabajar con coordenadas polares lleva un poco más de trabajo, pero una vez hemos hecho todo esto podemos llegar a resultados muy útiles. Recordando cómo se escribe el vector posición y usando todas las técnicas de derivar que conocemos podemos calcular los vectores velocidad y aceleración.

Y con esto podemos calcular la energía cinética de un objeto en movimiento

Ha sido un largo camino hasta llegar hasta aquí, pero al fin podemos ver por qué son útiles las coordenadas polares ¿Recordáis el anterior artículo donde hablamos de lo que eran las fuerzas centrales? Ahí dijimos que eran fuerzas que cumplían que:

1. Su dirección siempre era radial, es decir, la misma dirección (y sentido) que el vector posición.
2. Su módulo sólo depende de la distancia al origen, es decir, la coordenada r.

En resumen, una fuerza central en coordenadas polares se puede escribir como

Aplicando la segunda ley de Newton (que vimos en el artículo sobre la conservación del momento), podemos escribir (con la ecuación para la aceleración que ya hemos visto)

Multiplicando la segunda ecuación por r obtenemos un resultado muy interesante

En la última expresión he usado la regla del producto de derivadas que vimos el otro día,^[3] el resultado que obtenemos es muy interesante, pues hemos visto que la derivada de una cantidad respecto al tiempo es cero, es decir, que esta cantidad no cambia con el tiempo (recordad que las derivadas nos indican cómo cambian las cosas). Entonces, la cantidad entre paréntesis debe ser constante… ¿alguien tiene idea de qué significado físico puede tener eso?

¡Pues resulta que ese producto es justamente el momento angular! Recordad que el módulo del producto vectorial de dos vectores se podía escribir como

O escribiéndolo de otra forma

Recordad que L es simplemente una constante, por lo que hemos encontrado una relación entre la derivada temporal de θ y r, es decir, no son magnitudes independientes: si conocemos una podemos conocer la otra. En un artículo anterior definí la energía potencial debido a una fuerza como

Usando la elección arbitraria de que la energía potencial valga cero cuando r se va a infinito. Lo importante de esta ecuación es simplemente que podemos definir la energía potencial; para cada función f esta energía será diferente. No nos interesa calcularla por ahora, solamente saber que existe y se puede calcular. Juntemos ahora todo lo que hemos visto para escribir la fórmula de la conservación de la energía

Fijaos que no hay dependencia de θ, hemos encontrado que la energía depende únicamente de la coordenada r y su derivada. Además fijaos en cómo se escribe la conservación de la energía para un problema unidimensional:

Comparando ambas expresiones podemos definir una función que llamamos el potencial efectivo como

Entonces ¡hemos simplificado un problema de varias dimensiones a un problema equivalente en una sola dimensión! Este potencial efectivo es el que dibujamos en las gráficas del anterior artículo. No voy a extenderme mucho más pues ya le he dedicado dos artículos.

Hasta aquí este artículo. En el siguiente vamos a ver en detalle el caso de una fuerza central proporcional a r^-2 ¡Y con eso ya nos acercamos a los conocimientos necesarios para entender el modelo de Rutherford! Hasta pronto.

1. Puede parecer que el vector posición depende solamente de la coordenada r, es un error común, recordad que r depende del ángulo θ.
2. La velocidad, por ejemplo, nos dice cómo cambia la posición con el tiempo, etc…
3. Pero en lugar de expresar el producto de una derivada como cosas más sencillas he hecho justo lo contrario.

En primer lugar vamos a hablar sobre cómo podemos localizar un objeto en el espacio; para simplificar al máximo las cosas, voy a suponer solamente espacios bidimensionales (es decir, sólo existe adelante, atrás, izquierda y derecha, pero no arriba y abajo). Pues bien, resulta que lo que nos sirve para localizar objetos es algo que ya presentamos en el artículo sobre colisiones ¡un vector!

Ya hablamos en ese artículo que un vector es algo que nos indica, además de un valor, una dirección, sentido y punto de aplicación. Entonces deberíamos ver casi de inmediato que esto nos sirve para localizar objetos en el espacio. Vamos a hacer una prueba: supongamos que queremos describir la posición de un objeto; primero de todo necesitamos un punto de aplicación, es decir, la posición del objeto no será la misma para mí que para otra persona. Un ejemplo:

Suponed que el objeto está a 5m de mí hacia el Norte y tengo un amigo que está a 10m de mí hacia el Sur. Entonces yo no puedo decirle a mi amigo que el objeto está 5m hacia el Norte y quedarme tan tranquilo, pues si él camina 5m hacia el Norte no lo va a encontrar. Debo especificar que “el objeto está 5m hacia el Norte, partiendo desde donde yo estoy”. Necesitamos saber el punto de aplicación. Otra forma que tenemos de describirle la posición del objeto sería decirle que está 15m al Norte de donde está él. Ahora sí, fijaos que hemos cambiado el punto de aplicación, y ha “cambiado la posición” del objeto, ha pasado de estar 5m al Norte a estar a 15m.^[1]

Bien, pues en efecto necesitamos conocer el punto de aplicación, pero esto evidentemente no basta. Necesitamos además una dirección. El concepto de dirección es bastante confuso para muchos, y suele confundirse con el “sentido”, ya que muchas veces ambas informaciones se dicen juntas. Si releéis el ejemplo anterior habréis notado que, para dar la localización del objeto, no me ha bastado con decir solamente el punto de aplicación, he necesitado especificar “5m al Norte”. Pues bien, ese “al Norte” nos indica la dirección, pero no sólo la dirección, sino también el sentido. Más concretamente, la dirección sería la dirección Norte-Sur:  nos indica la línea recta en la que encontraremos el objeto, mientras que es el sentido el que nos indica si, dentro de la dirección “Norte-Sur”, debemos ir hacia el Norte o hacia el Sur. Luego pongo un ejemplo que siempre me ha gustado para entender la diferencia entre dirección y sentido.

Pero, finalmente, necesitamos otra cosa para localizar el objeto, la distancia, no me vale decir el objeto está al Norte, debo decir 5m al norte. Espero haberos convencido de que para localizar un objeto se necesita un vector. Intentad hacer un ejercicio mentalmente, imaginaros un objeto situado en una posición arbitraria y convenceos de que existe un vector que describe su posición.

Para los que estéis aún confusos por lo de dirección y sentido, os voy a hacer una analogía que siempre me ha gustado acerca de los vectores. Imaginad que queréis ir a algún sitio y tenéis que coger el metro… pues bien, resulta que el metro es análogo a un vector. Primero de todo debéis saber en qué estación vais a subir. Seguidamente vais a tener qué elegir qué línea de metro debéis coger, pues no llegaréis al mismo sitio si cogéis un metro de la línea L1 que de la línea L3. Pero seguro que sabéis que tampoco es suficiente escoger la línea: es muy probable que a alguno os ha pasado que habéis ido a coger un metro, habéis subido en la parada correcta y habéis cogido el tren de la línea correcta, pero en lugar de llegar donde queríais el tren se va para atrás, ¡os habéis equivocado de sentido! Finalmente, si cogéis bien el sentido debéis calcular cuántas estaciones deben pasar hasta llegar a vuestro destino. Pues bien, esto es exactamente un vector; el punto de aplicación es la estación de subida, la dirección es la línea de metro que debéis coger, el sentido es el tren que debes coger (el que va hacia la izquierda o el que va hacia la derecha), y finalmente el módulo del vector es el número de estaciones que debéis dejar pasar antes de bajaros.

Bien, espero que haya quedado claro qué es un vector y por qué nos sirve para localizar objetos. Vamos a hablar de distintas formas de expresar este vector que, por cierto, lo llamaremos vector posición. Estas distintas formas se llaman las coordenadas. Primero voy a introducir las coordenadas más fáciles, conocidas como coordenadas cartesianas. Pedro ya habló de ellas en bastante detalle, así que os recomiendo leer también su artículo.

Las coordenadas cartesianas consisten en utilizar los puntos cardinales para describir la posición, justo lo que yo he usado en mi ejemplo anterior. En general, podemos describir la posición de cualquier objeto con dos números (en dos dimensiones), basta con decir “el objeto está 5m al Este y 3m al Norte” o “10m al Este y 5m al Sur”. Aunque lo más usual es utilizar solamente dos puntos cardinales, por ejemplo Este y Norte,^[2] y entonces diríamos “10m al Este y -5m al Norte”. Si además mantenemos siempre el mismo orden (siempre decimos primero la coordenada Este y luego la Norte) podemos incluso obviar estos dos y decir que el objeto está a (10m, -5m). Estos dos números (10m, -5m) son las coordenadas del objeto en la base cartesiana (Este, Norte).

Este sistema es muy bueno, por ejemplo, para ir por una ciudad, pues puedes indicar la posición de un edificio diciendo “vaya 3 calles hacia delante, gire a la derecha y ande 2 calles más”. Pero existe otra forma de especificar la posición de un objeto, sobre todo cuando podemos movernos en cualquier dirección sin obstáculos: las coordenadas polares. De nuevo para esto podemos utilizar los puntos cardinales, pero no sólo dos como hacíamos antes, sino todos ellos. E, N, O, S, además de todos los intermedios como NO, SE, NNO, etc… Simplemente debemos decir la dirección y sentido del objeto y la distancia a la que se encuentra, “el objeto está a 10m hacia ESE”.^[3] Esto es complicado, porque si queremos mucha precisión nos vamos a encontrar con direcciones del estilo “ONONO”.^[4]

Por esto los matemáticos prefieren escoger un único punto (por ejemplo, el Este) y contar el ángulo que forma la dirección que quieres con el Este. Así de nuevo podemos decir simplemente “El objeto está 10m a 60° Este”, que de nuevo, si dejamos claro que siempre elegimos el Este y mantenemos el orden podemos escribir simplemente como (10m, 60°). Es importante comentar que el ángulo se mide generalmente en sentido antihorario; así, si quiero decir “5m Norte” voy a decir “5m a 90° Este”, mientras que “5m Sur” voy a decir “5m a 270° Este” o “5m a -90° Este”. Eso sí, ahora el numero que decimos para indicar la distancia debe ser positivo, pues no tiene sentido decir que algo está a una distancia negativa de ti. Seria incorrecto decir “-5m a 90° Este”.

Bueno, llevamos ya un buen rato hablando sobre cómo localizar objetos en el espacio, espero que haya quedado suficientemente claro, así que os dejo un dibujo que ilustra cómo las dos coordenadas describen la posición de un mismo objeto.

Vamos ahora a hablar de fuerzas centrales. ¿Qué es una fuerza central? Pues una fuerza central es una fuerza que tiene dirección radial. Esto quiere decir que en un punto P la fuerza debe tener la misma dirección que el vector posición.^[5] Además, la fuerza es central si sólo depende de la distancia a la que está el punto P, es decir, no nos importa exactamente su posición sino solamente su distancia.^[6]

¿Por qué son estas fuerzas importantes? Pues bien, mucha gente os dirá que lo son porque las fuerzas principales de la naturaleza (gravedad y electricidad) son fuerzas centrales, pero esto es mentira. Tanto la gravedad que viene descrita por la Ley de Newton ((Ignoremos completamente la relatividad general.)) como la electricidad que viene descrita por la Ley de Coulomb no son fuerzas centrales, pues ni la Ley de Newton ni la de Coulomb describen fuerzas centrales. Veremos esto en el caso de Coulomb más adelante. Lo que sí es cierto es que en ciertas situaciones se pueden hacer aproximaciones para que las fuerzas sean centrales e incluso, en algunos casos, se pueden hacer algunos ajustes para hacerlo sin aproximaciones. Pero, en general, no es así. De hecho, si habéis oído hablar del problema de los tres cuerpos, es precisamente porque esas fuerzas no son centrales: el problema de tres cuerpos para fuerzas centrales sí se puede resolver y sin demasiada complicación.

La verdadera importancia de las fuerzas centrales es que simplifican muchos problemas. Se puede demostrar que toda fuerza central es conservativa (hablamos de fuerzas conservativas en este artículo) lo que, recordad, quiere decir que la energía se conserva. Además, aunque al haber una fuerza el momento lineal no se conserva, en una fuerza central el torque^[7] es cero, lo que quiere decir que el momento angular sí que se conserva. Lo cual implica que los movimientos de las partículas sometidas a esa fuerza están restringidos en un plano (si hay más de una partícula, cada partícula se mueve en un plano distinto, pero cada una de ellas no se sale nunca de su plano).

Pero ahí no acaba todo, si nos limitamos a estudiar la distancia a la que se encuentra un objeto sometido a fuerzas centrales, ¡podemos limitar nuestro estudio a una sola dimensión! Ya que, recordad, lo único que nos interesa para conocer la fuerza es la distancia a la que se encuentra la partícula. Y se puede calcular usando lo que se llaman los diagramas de potencial efectivo. Esto es, sabemos que toda fuerza conservativa tiene asociado una energía potencial. Pues en el caso de fuerzas centrales, podemos reducir la fuerza real tridimensional a una fuerza “efectiva” unidimensional. Y el estudio del movimiento en tres dimensiones se puede hacer parcialmente como un objeto que se mueve en una dimensión bajo esta fuerza “efectiva”. A esta fuerza efectiva le corresponde una energía potencial efectiva. Y por muy complicada que sea esta fuerza, se pueden hacer análisis cualitativos simplemente con ese potencial. Vamos a ver aquí unos ejemplos.

Vamos a empezar con el ejemplo más importante. Si podemos aproximar las fuerzas gravitatorias y eléctricas a fuerzas centrales, éstas son fuerzas inversamente proporcionales a la distancia, esto es, si la distancia aumenta la fuerza disminuye. Pero además son inversamente proporcionales a la distancia ¡al cuadrado! Esto es, si doblamos la distancia, la fuerza no se hace la mitad, se hace cuatro veces más pequeña. Vamos a ver cómo son los diagramas de potencial para fuerzas inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia.

Aquí podéis ver tres potenciales correspondientes a fuerzas proporcionales a r^-2. En la gráfica negra se trata de una fuerza repulsiva (por ejemplo, dos partículas de misma carga), las gráficas azul y roja son en cambio energías potenciales debidas a fuerzas atractivas (como la gravedad). El caso azul es el potencial efectivo que tendrá una partícula con cierto momento angular, mientras que el caso rojo es para partículas sin momento angular: cuanto menos momento angular tenga, más se parecerá la línea azul a la roja. ¿Qué información podemos obtener de estas gráficas? Para entender las gráficas debéis recordar que la energía total de la partícula es su energía potencial (lo que se muestra en las gráficas) más la energía cinética, la energía cinética nos da información sobre la velocidad de la partícula y nunca puede ser negativa. Además, la energía se mantiene constante, así que podemos representar la energía en las gráficas como una línea horizontal. Entonces la partícula solamente podrá moverse por las regiones en que su energía sea mayor que la energía potencial. Vamos a ver cuatro ejemplos:

De nuevo las mismas gráficas, pero he superpuesto en amarillo y discontinuo el valor de la energía de cuatro partículas. Vamos a empezar estudiando la gráfica negra que, recordad, corresponde a una fuerza repulsiva. En este caso sólo sería posible la energía E₁, pues todas las demás están siempre por debajo. Además, ¿qué podemos decir de una partícula que tenga energía E₁? Pues esa partícula siempre tiene que estar más lejos que 0,8. Hay dos posibilidades para su movimiento; que esté alejándose o que esté acercándose. Si estuviera alejándose, fijaos que la energía es constante, mientras que la energía potencial va disminuyendo, esto quiere decir que la partícula se iría alejando cada vez más rápido (pues al disminuir la energía potencial debe aumentar la energía cinética, lo que sólo es posible aumentando su velocidad). Por otra parte, si estuviera acercándose, la energía potencial va aumentando, así que la partícula iría frenándose, hasta llegar a una distancia de 0,8, ahí su energía es exactamente igual a la energía potencial, lo que quiere decir que su energía cinética debe ser cero, por lo que la velocidad es cero.^[8] Después de esto, la partícula cambia su sentido y se aleja cada vez más rápido. ¡Hemos descrito el movimiento de la partícula sin hacer ningún calculo!

Vayamos a la segunda fuerza, la gráfica roja, y recordemos que esto describe una partícula sin momento angular moviéndose bajo una fuerza atractiva: en este caso todas las energías son posibles. Una partícula con energía E₁ puede estar acercándose o alejándose. Si se aleja, como la energía potencial va aumentando, se alejará cada vez más despacio, pero nunca dejará de alejarse. Por el contrario, si se acerca, cada vez irá más deprisa, hasta llegar a una distancia de 0, con velocidad infinita^[9] para pasar de largo e irse alejando cada vez más lentamente. Vamos a ver ahora qué les pasa a las partículas con energía E₂, E₃ y E₄, en concreto vamos a hablar de E₄, las demás son equivalentes. Supongamos ahora que la partícula se aleja, al igual que la partícula con energía E₁ su velocidad irá disminuyendo, pero a diferencia de ésta, llega un momento en que su energía es igual a la energía potencial, por lo que la partícula tiene velocidad cero; esto pasa a una distancia de 0,33. Entonces la partícula cambia su sentido y pasa de alejarse a acercarse, con velocidad cada vez más rápida hasta llegar a distancia 0 con velocidad infinita y volver a alejarse cada vez más lentamente. Y así estará la partícula durante toda la eternidad, haciendo movimientos armónicos alrededor de un punto.

La tercera gráfica es la más interesante: se trata de la misma fuerza que el caso anterior, pero ahora nuestras partículas tienen cierto momento angular. La partícula con energía E₁ se acercaría cada vez con más velocidad hasta una distancia de 0,25, donde hay un mínimo de potencial, a partir de este momento seguirá acercándose, pero ahora irá frenando, hasta llegar a una distancia de 0,1 en que su velocidad será cero, dará la vuelta y se irá (cada vez más rápido hasta 0,25 y luego frenando para toda la eternidad). Aunque no os lo parezca, acabamos de describir un asteroide que ha entrado en el sistema solar, ha pasado cerca del Sol y se va para no volver. Si la partícula tiene energía E₂, su movimiento también es interesante, empieza acercándose, su velocidad aumenta hasta llegar a una distancia de 0,25 donde empieza a frenar. A una distancia de 0,15 su velocidad es cero y vuelve para atrás, cada vez más rápido hasta llegar a 0,25 que empieza a frenar. A una distancia de 0,85 vuelve a pararse y otra vez vuelve a empezar su movimiento. Lo que estamos describiendo aquí es un planeta (o un objeto) dando vueltas alrededor del Sol en una órbita elíptica, por ejemplo, vosotros mismos.

Finalmente, una partícula con energía E₃, en este caso la partícula sólo puede estar a una distancia de 0,25, pues no tiene energía suficiente para acercarse o alejarse. Por eso tiene velocidad cero, pero recordemos que, aunque su velocidad en este sistema unidimensional sea cero, no quiere decir que la velocidad tridimensional sea cero, esta partícula puede tener velocidad angular,^[10] pero no puede alejarse ni acercarse al Sol. Lo que tenemos, pues, es un planeta con una órbita perfectamente circular. El caso de energía E₄ simplemente no es posible bajo este potencial.

Voy a dejar el artículo por aquí, como ya es suficientemente largo voy a separar la segunda parte con ecuaciones en otro artículo. Aún así, en el siguiente artículo (sin ecuaciones) vamos a profundizar más en las distintas órbitas que hemos visto.

Os dejo que vosotros mismos continuéis maravillándoos con esto que acabamos de ver: os dejo como entretenimiento que describáis qué pasa para un agujero negro cuyo potencial eficaz es éste (rojo para una partícula sin momento angular, azul para una partícula con momento angular), sin tener ni idea de relatividad general ni nada.

¡Hasta la próxima!

1. Es importante tener en cuenta que NO estoy hablando que el objeto se haya movido, pero, como he dicho, la posición de un objeto depende del punto de aplicación.
2. La elección de estos dos es completamente arbitraria, podemos escoger los dos que queramos siempre que tengan distinta dirección.
3. Es decir, entre Este y Sureste
4. Algo entre Norte y Oeste.
5. No necesariamente el mismo sentido.
6. Bueno, nos importa su posición para determinar la dirección de la fuerza, pero eso se puede ignorar muchas veces, como veremos a continuación.
7. El análogo a la fuerza para rotaciones.
8. Éste es buen momento para recordar que estamos en una única dimensión, así que velocidad cero quiere decir que la partícula ni se acerca ni se aleja, pero puede tener velocidad angular en nuestro mundo de tres dimensiones.
9. A efectos prácticos habría ahí algún objeto que crea la fuerza, por ejemplo una estrella y chocaría con ella antes de llegar a distancia 0.
10. De hecho la tiene, pues recordemos que tiene momento angular.

Si recordáis, el momento lineal era una medida de la dificultad que había para llevar un objeto al reposo. Vimos que éste era proporcional a la velocidad (cuanta más velocidad tenga el objeto más difícil será llevarlo hasta el reposo, además, si por ejemplo la velocidad fuera cero, el momento lineal sería también cero, pues la partícula ya está en reposo) y también proporcional a la masa del objeto, pues cuanta más masa tenga el objeto, más difícil será llevarlo al reposo. También vimos que esta magnitud es muy importante para la física porque se mantiene constante (bajo la condición que no actúen fuerzas externas), y en física las magnitudes constantes resultan muy útiles.

Pues en esta entrada vamos a estudiar el hermano del momento lineal, el Momento Angular. El momento lineal habla sobre objetos que se mueven por el espacio, pero imaginemos un objeto que esté quieto, pero que da vueltas sobre sí mismo, por ejemplo una peonza. ¿Cuál es su momento lineal? Si la peonza no se mueve por el espacio su velocidad es cero, por lo que su momento lineal también va a ser cero, lo hemos dicho justo en el párrafo anterior. En este caso es interesante definir el momento angular, así como definíamos el momento lineal como la dificultad para llevar el objeto al reposo, podemos definir el momento angular de la misma forma, pero con la diferencia que el momento lineal hace referencia a que el objeto no cambie de posición, mientras que el momento angular hace referencia a que el objeto no esté rotando. Así pues; el Momento Angular es la dificultad que opone un objeto rotando a ser llevado al reposo.

Por cierto, al momento angular también se lo conoce como momento cinético, y de la misma forma que al momento lineal lo podíamos llamar cantidad de movimiento o ímpetu, el momento angular a veces se lo llama cantidad de movimiento angular o ímpetu angular.

Así como el momento lineal dependía de la masa y la velocidad, el momento angular tiene unas dependencias similares, aunque un poquito más complicadas. No voy a entrar en mucho detalle, pero al igual que el momento lineal dependía de la velocidad lineal, el momento angular depende de la velocidad con la que gire el objeto, es decir, la velocidad angular. En cierto sentido la velocidad angular es un análogo a la velocidad para objetos en rotación, de la misma forma se puede considerar el momento angular análogo al momento lineal, pero para objetos en rotación. Así que no es de extrañar si os digo que el momento angular depende además de la velocidad angular de otra magnitud, análoga a la masa, pero para objetos en rotación. Esta magnitud se llama momento de inercia y es algo complicado de explicar, además tampoco me interesa introducirlo por ahora, solo diré que es una magnitud que depende de la masa del objeto y de su geometría.

En resumen: el momento angular depende de una magnitud análoga a la masa para rotaciones y de una magnitud análoga a la velocidad para rotaciones.

Creo que éste es un buen momento para pararnos a pensar en el ejemplo típico que da todo el mundo cuando habla de momento angular: seguro que al leer esto lo primero que habéis pensado es en una patinadora dando vueltas sobre sí misma, seguro que os han puesto como ejemplo que si la patinadora extiende los brazos gira más lenta, mientras que con los brazos muy cerca del cuerpo gira a gran velocidad. Este efecto es debido a que la patinadora está cambiando su geometría y, como he dicho, esto cambia el momento de inercia.^[1] De hecho, al extender sus brazos aumenta su momento de inercia y al acercarlos al cuerpo disminuye el momento. ¿Pero qué tiene esto que ver con que vaya más rápida o más lenta? Pues el momento angular es una magnitud que, al igual que el momento lineal, se conserva en el tiempo, por lo que si aumentamos el momento de inercia (la patinadora extiende sus brazos) la velocidad angular tiene que disminuir. Por el contrario, si disminuimos el momento de inercia (la patinadora acerca sus brazos al cuerpo) la velocidad angular tiene que aumentar.

Hasta ahora he hablado del momento angular referido siempre para las rotaciones de un objeto sobre sí mismo, pero de hecho no tiene que ser necesariamente así. En general se define el momento angular que tiene un objeto sobre un punto cualquiera. Primero, ¿qué es una rotación sobre un punto?^[2] Pues se puede entender la rotación sobre un punto como el movimiento de un cuerpo que no altera la distancia a ese punto, el ejemplo mas claro sería un objeto moviéndose en un movimiento circular, en este caso se considera una rotación sobre el centro de la circunferencia descrita. También es una rotación el caso de un péndulo, pues la trayectoria que sigue un péndulo no es más que un arco de circunferencia. Pues en estos casos también se puede definir el momento angular, y se define de la misma forma. Aunque puede ser más difícil de visualizar, la única diferencia entre este caso y el anterior es el momento de inercia que tendrá el cuerpo.

Un ejemplo para estos casos es el de un planeta orbitando una estrella, por ejemplo la Tierra orbitando alrededor del Sol. La Tierra tiene momento angular, pero tiene dos momentos angulares, que se llaman comúnmente momento angular orbital, debido a que la Tierra da vueltas alrededor del Sol, y momento angular de rotación o de espín, debido a la rotación de la Tierra sobre sí misma.

Pero existe un problema. Seguro que sabéis que, aunque la Tierra gira en una órbita muy parecida a una circunferencia, en realidad no es del todo así, en realidad sigue una órbita elíptica, pero parece lógico que si podemos definir el momento angular para rotaciones, una elipse, que es casi una rotación, también debe tener definido un momento angular, ¿no? Pues sí, de hecho, no sólo una elipse, vamos finalmente a definir el momento angular de forma más abstracta, veremos que incluso un objeto moviéndose en línea recta tiene momento angular.

En realidad, cualquier objeto siguiendo la trayectoria que queramos tiene asociado un momento de inercia (aunque éste puede cambiar con el tiempo), por lo que cualquier objeto que tenga una velocidad angular tiene definido un momento angular (bueno, si un objeto no tiene velocidad angular, también tiene momento angular, pero es cero.)

Lo importante es que el momento angular, en general, depende de donde miremos el objeto. Dicho de forma rápida, un objeto tiene momento angular si tienes que mover la cabeza para seguir su movimiento. O, de forma equivalente, si señalamos el objeto con el dedo^[3] el objeto tendrá momento angular si tenemos que mover el brazo para seguir el movimiento. Dicho de forma más formal (aunque tampoco demasiado) un objeto NO tendrá momento angular si éste sigue una trayectoria recta Y el objeto ha pasado o pasará por donde estas tú. En general, para objetos puntuales el momento angular dependerá

1. De la distancia a la que estén de ti (ya hemos aclarado que el momento angular depende de dónde lo miremos).
2. De la velocidad que tenga el objeto (podemos hablar de velocidad angular o de velocidad lineal, al fin y al cabo están relacionadas).
3. De la masa del objeto.

Fijaos que para objetos puntuales podemos olvidarnos del momento de inercia, ya que toda la información que nos da éste la podemos conocer a partir de la masa y la posición del objeto.

Es posible que ahora muchos os preguntéis ¿Donde ha quedado la definición original que nos diste del momento angular? ¿Cómo es posible que un objeto que no está rotando sea “difícil de frenar”? ¿Como es posible que la dificultad para frenar un objeto depende del punto?

Todas esas dudas son dudas muy válidas. La definición que he dado al inicio era una manera fácil para empezar a hablar de momento angular, pero ya hemos dicho que el momento angular no sólo sirve para objetos que estén rotando. En la definición podemos cambiar el “objeto rotando” por “objeto con velocidad angular”, pues la velocidad angular no es exclusiva de objetos rotando. En los ejemplos que he mencionado antes sobre qué tiene y qué no tiene momento angular se puede decir lo mismo para la velocidad angular (así, si señalas un objeto y tienes que mover el brazo para seguir su movimiento, entonces tiene velocidad angular).

Ahora lo de “llevar al reposo” vuelve a tener sentido, pues si el objeto tiene velocidad angular, llevarlo al reposo significa modificar esta velocidad hasta que sea cero. Eso sí, la palabra reposo seguramente no es la mejor, recordad que estamos hablando de velocidad angular, por lo que reposo aquí significa velocidad angular cero, pero no necesariamente velocidad lineal cero.

Aun así nos queda el problema de que el momento lineal dependa de la posición… ¿Como puede ser que en función de dónde estés sea más fácil o más difícil frenar un objeto? Pues bien, eso en realidad es más intuitivo de lo que parece una vez se piensa detenidamente. Seguro que todos habéis notado que, si intentáis mover un objeto ligado a una barra, cuanto más larga sea la barra más difícil es mover ese objeto. Si no, un experimento fácil que podéis hacer es atar un objeto a un palo (que esté horizontal) e intentar levantarlo, veréis que es mucho más difícil que levantar el objeto con vuestras manos. Pues lo mismo pasa aquí, cuanto más lejos está el objeto más difícil resulta de frenar, por lo tanto ¡más momento angular tiene! Justo lo que esperábamos.

Finalmente, y ya para acabar, hemos dicho antes que el momento angular, al igual que el momento lineal, se conserva. Pues bien, recordad que el momento lineal se conservaba siempre que no actuasen fuerzas externas sobre el objeto. Como habéis visto, hay muchas similitudes entre movimientos rectilíneos y rotaciones: el momento angular es equivalente al momento lineal, el momento de inercia es equivalente a la masa y la velocidad angular es equivalente a la velocidad lineal. Pues no debería pareceros raro que os diga que el momento angular es una magnitud que se mantendrá constante (igual que el momento lineal) siempre que no haya “fuerzas” externas. Evidentemente lo que hace que el momento angular no se conserve no son las fuerzas es sí, sino su equivalente para las rotaciones. Esa magnitud suele llamarse momento o torque.^[4]

Ahora sí, creo que este artículo ya va siendo suficientemente largo, así que me voy despidiendo de vosotros (excepto los que os quedéis para leer la segunda parte), en el próximo artículo, si todo va bien hablaré de las distintas órbitas que pueden tener los planetas, ¡hasta la próxima!

Momento Angular (con ecuaciones)

Bien, pues ahora, para los más valientes que no temen a las ecuaciones, vamos a poner ecuaciones a todo lo dicho anteriormente. Recordemos que definíamos el momento lineal de una partícula como

Pues como he dicho en el artículo, definimos el momento de inercia (I) como el análogo rotatorio de la masa, y la velocidad angular (ω) como el análogo rotatorio de la velocidad lineal, por lo que el momento angular (L) lo definimos como

No voy a desarrollar esta ecuación mucho más porque no nos interesa, pero simplemente debéis saber que tanto I como ω lo podéis calcular en cualquier circunstancia, sea el movimiento circular, lineal, o como sea. Eso sí, ambas magnitudes dependerán de donde las observemos.

Lo que sí voy a hacer es daros una expresión para I y para ω cuando tenemos una partícula puntual, ya que es el único caso que estudiaremos en esta serie. Primero de todo, el momento de inercia.

Si la partícula es puntual el momento de inercia se simplifica mucho, pues no debemos preocuparnos de la geometría. En este caso el momento de inercia viene dado simplemente por la ecuación

Donde m es la masa de la partícula y r es la distancia a la que está (ya hemos dicho que depende de donde observemos la partícula), además el momento de inercia puede ir cambiando con el tiempo, pues la partícula puede acercarse o alejarse de nosotros. Aunque esto es válido para una partícula puntual que no tiene por qué estar rotando, algo similar ocurrirá con objetos no puntuales que roten sobre sí mismos, lo que nos permite entender el porqué cuando la patinadora extiende sus brazos (r aumenta) aumenta su momento de inercia, mientras que cuando cierra los brazos (r disminuye) disminuye su momento de inercia.

La velocidad angular es algo más complicada, ya que necesitamos el producto vectorial para calcularla, hablé del producto escalar en esta entrada, pero creo que hasta ahora nunca he hablado del producto vectorial. Bien, cuando hablamos de vectores existen dos formas de multiplicarlos: el producto escalar, cuyo resultado da un número, y el producto vectorial, cuyo resultado da un vector. Bien, para definir correctamente el producto vectorial tengo que definir el vector resultante, y para definir un vector tengo que especificar su módulo, su dirección y su sentido. Primero de todo, el módulo:

El producto vectorial de dos vectores da un vector cuyo modulo es igual al área del paralelogramo que forman los dos vectores.

Matemáticamente esto se puede calcular como

Que es la formula para calcular el área de un paralelogramo. Y donde la cruz simboliza el producto vectorial (y las dos barras, el módulo). Una consecuencia directa de esta ecuación es que el producto vectorial de dos vectores con la misma dirección es 0, ya que el ángulo entre ellos será 0 o π (180°), y en ambos casos el seno vale 0. Por esta razón el producto vectorial de un vector por si mismo da 0 (ya que evidentemente el vector tiene la misma dirección que él mismo).

Segundo, la dirección: el producto vectorial de dos vectores da un vector cuya dirección es perpendicular a los dos vectores. Y finalmente el sentido: el sentido viene dado por la regla de la mano derecha, que dice que si pones el dedo índice de la mano derecha apuntando en el sentido del primer vector y el dedo corazón apuntando en el sentido del segundo vector, el pulgar apuntará en la dirección del vector resultante.

Bien, pues dicho esto la velocidad angular para una partícula puntual respecto a un punto se calcula como

De nuevo, esto depende del punto en que estemos mirando, ya que el vector posición r depende del punto. Juntando estas dos ecuaciones, el momento angular para una partícula puntual queda

Finalmente, y solamente por completitud, vamos a escribir la conservación del momento angular. De nuevo fijémonos en cómo escribimos la conservación del momento lineal que vimos en este artículo:

Recordad, la derivada nos indica como cambia una magnitud respecto de otra. En este caso, nos indica cómo cambia el momento lineal en función del tiempo. Si la fuerza es cero, entonces la derivada es cero, lo que es lo mismo que decir que el momento lineal no cambia con el tiempo. Pues bien, vamos a ver cómo cambia el momento angular con el tiempo:

De primeras os parecerá muy largo y complicado, pero simplemente he usado una propiedad de las derivadas llamada la regla del producto, y el hecho que el producto vectorial de un vector por sí mismo da 0. Además de cosas que ya sabemos, como que el momento es masa por velocidad o que la derivada del momento es la fuerza. La regla del producto puede verse fácilmente con el siguiente ejemplo:

Supongamos un rectángulo de lados a y b (en azul). El área viene dada por el producto ab, si incrementamos ambos lados un cierto valor, ¿cómo cambiará el área? La variación vendrá dada por los rectángulos amarillo, naranja y verde, cuyas áreas podemos calcular fácilmente. Aún así fijaos que si la variación de a y b es muy pequeña el área de los rectángulos naranja y amarillo será bastante pequeña, pero el área verde será muuuucho más pequeña (podéis probar a poner números para ver que efectivamente así es). Eso hace que cuando miremos sólo variaciones pequeñas podemos ignorar el área verde y obtenemos justamente la regla del producto para derivadas (cambiando la variación Δ por una derivada).

Lo que nos dice esta última ecuación es que el momento angular se conservará si la magnitud que he denotado como τ (que es el momento o torque) es cero. Notad que esto pasará siempre que la fuerza sea cero, en cuyo caso se conservará tanto el momento lineal como el angular, o cuando exista una fuerza pero ésta sea paralela a la posición. Y esto es todo lo que quería contar sobre el momento angular.

Ahora sí que me despido de esta entrada, como he dicho antes, en el siguiente artículo vamos a hablar de órbitas de planetas. ¡Hasta la próxima!

1. El análogo a la masa para movimientos angulares, recordad.
2. Algunos prefieren usar la palabra rotación para lo explicado antes y usan la palabra revolución para el concepto que explicaré ahora.
3. Aseguraos de que el objeto es inanimado, que, si no, es de mala educación.
4. Sí, ya sé que casi todas las magnitudes que he definido en este artículo se llaman momentos… Pero qué queréis que haga…

Recordemos una definición que di en su momento sobre la energía potencial:

Primero definí lo que es una fuerza conservativa. Recordemos; una fuerza es conservativa si podemos llevar un objeto desde un punto A a un punto B realizando el mismo trabajo lo llevemos por donde lo llevemos. Teníamos esta imagen:

Es decir, el trabajo realizado por una fuerza conservativa para llevar un objeto desde el punto 1 al punto 2 es el mismo tanto por el camino S1 como por el camino S2. Bien, una vez identificamos que una fuerza es conservativa podemos definir una energía potencial “asociada” a esa fuerza; de hecho no podemos definir la energía potencial como tal, sino su variación. La energía potencial es la energía que tiene un cuerpo por el simple hecho de estar sometido a una fuerza conservativa. Como en general las fuerzas suelen afectar a los objetos en cualquier punto del espacio, podemos decir por lo tanto que un objeto, solamente por estar en un punto del espacio tiene una energía potencial.

Vamos a profundizar algo más en esta idea. Nuestra situación es la siguiente: tenemos una partícula que sufre una fuerza, y es importante darse cuenta de que no nos importa qué ni cómo se crea esta fuerza, puede ser otra partícula (como la fuerza electrostática que veremos después) o puede ser un dios griego jugando a las canicas con nuestra partícula. La cuestión es, en fin, que nuestra partícula va a estar sometida a una fuerza; la clave está en que esta fuerza puede depender del punto en donde esté la partícula, pero en cada punto habrá definida una fuerza concreta que nosotros conocemos.^[1] Por ese motivo, una vez conocemos la fuerza que actúa en todos los puntos, y como la energía potencial la definimos como la energía que tiene una partícula por estar sometida a una fuerza, podemos decir que si sabemos en qué punto está la partícula podremos saber qué fuerza actuará sobre ella y, por lo tanto, su energía potencial. Resultado: si conocemos la posición de una partícula conocemos su energía potencial y podemos pensar como que esa energía es debida a que la partícula está en esa posición concreta. Es importante también ser conscientes de que si la fuerza cambia por alguna razón ya no tiene sentido esto, ya que la energía que le correspondía a un punto P antes no será la misma que después. También es importante saber que, en muchos casos, la fuerza depende de la partícula que consideremos, así que, de nuevo, sólo nos sirve para un sola partícula, si queremos saber la energía que tendría otra partícula no podemos usar los valores que hemos calculado antes.

En resumen, podemos considerar que la energía es debida a la posición siempre que no cambiemos la fuerza ni la partícula. Por lo tanto, una partícula situada en el punto 1 de la imagen tendrá una cierta energía potencial, mientras que la partícula situada en el punto 2 tendrá otra energía potencial diferente.^[2] ¿Qué relación hay entre el valor de la energía en 1 y en 2? Pues la variación de energía entre estos dos puntos (esto es, la energía en el punto 2 menos la energía en el punto 1) es precisamente el trabajo necesario para ir del punto 1 al punto 2… multiplicado por -1.

Lo que he dicho en este párrafo es lo mismo que dije en el artículo correspondiente hace ya más de un año,^[3] sólo que lo he extendido un poco; por algo este artículo es una ampliación de aquel.

Bien, ahora centrémonos en una fuerza concreta, la fuerza electrostática, la que se rige por la ley de Coulomb, que, aunque no lo voy a justificar, resulta que es una fuerza conservativa.^[4] Por lo tanto, debe existir una energía potencial electrostática, pero hay cierta característica de la energía potencial que aún no he resuelto. He explicado que cada punto del espacio tiene asociada un valor de la energía potencial y he explicado cómo se puede calcular la diferencia entre dos puntos, pero esto sigue sin resolver la cuestión inicial: ¿Cuánto vale la energía potencial en cada punto y cómo la calculamos? Porque si yo calculo que la diferencia de energía potencial entre los puntos 1 y 2 es de 100J, esto no nos dice si las energías absolutas son 0 y 100J o si son 500 y 600J, etc.

Pues afortunadamente no nos importa para nada el valor exacto. Lo único que podemos medir en un laboratorio son las variaciones de esta energía, y una partícula se comportará exactamente igual tenga 100J que 200J que 10⁶J. Recordemos que, aunque intentemos describir el universo con números y ecuaciones matemáticas, estos números solo significan algo en nuestras cabezas. Así que los físicos suelen hacer un truco, a saber: busquemos un punto arbitrario del espacio que nos guste lo suficiente, y a ese punto le daremos de forma totalmente arbitraria un valor de 0J. A partir de aquí solo tenemos que calcular el trabajo realizado por la fuerza para llevar una partícula desde este punto a cualquier otro y tendremos el valor exacto de la energía potencial. Cómo elegir este punto es otra cuestión, quiero dejar claro que es una elección arbitraria, pero resulta que suele haber un punto concreto (o un conjunto de ellos) para los que el hecho de establecerlos como origen simplifica mucho las matemáticas resultantes. Para el caso de la energía electrostática se suele establecer el origen de potencial en un punto situado al infinito.

Energía potencial (con ecuaciones)

Ya vimos en el primer artículo de la serie (y lo acabamos de repetir en la primera parte del artículo) que la variación de la energía potencial es menos el trabajo hecho para ir de un punto a otro, por lo que si llevamos un objeto desde un punto A a un punto B, tenemos:

La última igualdad sale de la definición formal de trabajo mecánico, que para fuerza constante se corresponde con la conocida ecuación W=F·Δx. Para el caso de la fuerza electrostática entre dos cargas q1 y q2 tendremos

Aquí hay un par de cosas que debo aclarar. Primero de todo, lo que teníamos antes era el producto escalar de la fuerza por un diferencial de longitud, (que simplemente puedes considerar como una longitud muy pequeña),^[5]  pero en el producto escalar sólo afectan las componentes que tienen la misma dirección, por lo que, como la fuerza tiene dirección radial (r) el diferencial de longitud se convierte en dr; si no recordáis, hablamos de esto en el artículo sobre la ley de Gauss. Aún así os dejo un pequeño dibujo que puede ayudar a visualizar lo dicho.

La segunda cosa que quiero aclarar es el valor de la integral de 1/r². No es mi intención enseñaros a integrar en este artículo, así que podéis buscar el valor en muchas tablas (o en Internet mismo, por ejemplo aquí) y veréis que efectivamente es -1/r, que es justo lo que he hecho yo al solucionarla.

Hay una tercera cosa que quiero dejar clara. Recordemos que en la fuerza de Coulomb lo que aparece en el denominador (así como el vector que define la dirección de la fuerza) es la distancia entre la partícula que crea la fuerza y la partícula que la sufre. En este artículo no he escrito r_1,2 sino que lo he abreviado a r. Pero lo importante es que los r_A y r_B que aparecen al final son las distancias de los puntos A y B a la partícula que esta creando la fuerza.

Finalmente, quiero recordar y poner cierto énfasis en que estamos calculando la diferencia entre la energía potencial que tendría una partícula en el punto A y la energía que tendría la misma partícula en el punto B. Si releéis la parte sin ecuaciones veréis que el concepto de energía potencial es algo propio de la partícula y solamente depende de la fuerza que sufra y no de cuál sea la causa de esta fuerza.

Ahora la pregunta es, si elegimos el punto A como el origen de potencial (U_A=0), ¿cuál es el valor de r_A que simplifica al máximo la ecuación? Pues para un valor de r_A infinito obtendremos:^[6]

Ya para terminar el artículo voy a tratar un caso más particular. Si tenemos una partícula con carga 2e y otra con carga Ze, donde e es la carga de un protón con una distancia d entre ellas, ¿cuál es la energía potencial que tiene una de las dos partículas? Si elegimos el origen de potencial al infinito (como haremos de ahora en adelante siempre, a no ser que se especifique lo contrario), podemos usar simplemente la ecuación anterior, esto es

Recordad esta expresión, porque la usaremos más adelante en la serie (éste es en realidad el motivo por el que escribo este artículo).

Antes de terminar dejadme dedicar un último párrafo a la expresión que he puesto y a aclarar algunas cosas. La energía potencial que hay ¿es la energía que tiene la partícula de carga 2e, es la que tiene la partícula de carga Ze o es la energía que tiene una respeto a la otra? Quiero remarcar que la tercera opción NO ES CORRECTA: cuando he definido energía potencial siempre he hablado de una única partícula. Entonces ¿es la energía de la primera partícula o la segunda? Pues la respuesta es que las dos son correctas. Si consideramos que la partícula de carga Ze crea la fuerza y la partícula de carga 2e sufre la fuerza, entonces estamos calculando la energía de la partícula con carga 2e, si al contrario la partícula de carga 2e crea la fuerza y es la partícula de carga Ze la que sufre la fuerza, entonces estamos calculando la energía potencial de la partícula con carga Ze. Debido a que la fuerza que crean una y otra partícula son la misma, y la distancia, evidentemente, también. La energía potencial es exactamente la misma.

Creo que este artículo lo podemos ir dejando por aquí. En el próximo seguiremos con conceptos previos haciendo una segunda ampliación al artículo de conservación de la energía y el momento lineal, pues hablaremos de la tercera magnitud que nos falta. En general suelen haber tres magnitudes importantes que se conservan bajo ciertas condiciones; hemos visto ya la energía y el momento lineal, nos falta hablar sobre el momento angular. Hasta el próximo artículo.

1. Esto se llama un campo vectorial y hablamos de él de forma muy fugaz en este artículo al hablar de campo eléctrico.
2. Nada impide que la energías puedan ser iguales, pero, en general, serán distintas.
3. Pido perdón por la tardanza de la segunda parte de la serie.
4. Para los que sabéis algo del tema, tiene que ver con que su rotacional es cero.
5. Recordemos que hablé de la integral en este artículo y simplemente es una suma de términos muy muy pequeños.
6. Esto es, la diferencia ente la energía potencial cuando la partícula está en B y la energía cuando la partícula esté infinitamente lejos de “la fuente de la fuerza”

Acabamos el artículo anterior con una de las consecuencias del modelo atómico de Thomson: los átomos pueden radiar ondas electromagnéticas cuando los electrones están “excitados” (el electrón suele estar en lo que se llama nivel fundamental, que es cuando éste tiene la mínima energía posible; si el electrón tiene más energía se dice que está excitado, entonces el electrón estará moviéndose alrededor de la posición de equilibrio) o al contrario, un átomo puede absorber radiación haciendo que el electrón gane energía. Esta consecuencia, aunque importante porque predice la emisión y absorción de luz observada en los espectros atómicos, es también uno de los motivos por los que este modelo debe ser descartado. Recordemos que habíamos llegado a una consecuencia muy importante: la frecuencia de la radiación solamente depende de la carga y el tamaño del átomo en cuestión, es decir, que un mismo átomo solo puede absorber/emitir una frecuencia concreta; de hecho, ya vimos que el átomo de hidrógeno sólo debería radiar ondas electromagnéticas de longitud de onda 119 nm. Y aunque este valor se acerca a una de las líneas del hidrógeno observadas en su espectro real (la línea Lyα, es decir la primera línea de la serie de Lyman, que tiene una longitud de onda de 121,6 nm) este resultado no explica las otras líneas observadas en dicho espectro.

Imagen sacada de aquí 

Pero, bueno, Thomson era perfectamente consciente de este fallo antes de proponer su modelo. La verdadera razón para descartar el modelo de Thomson fueron unos experimentos realizados en 1909 (cinco años después de que Thomson propusiera su modelo). Estos experimentos llevados a cabo por un equipo de investigadores (aunque estos experimentos suele decirse que los hizo Rutherford, en realidad él sólo los supervisaba y dirigía; los que lo hicieron, propiamente hablando, fueron otros físicos). Seguro que todos habéis oído hablar del experimento de la lámina de oro (y si no lo conocéis hablé brevemente sobre él en este artículo). Básicamente se trata de un emisor de partículas α, luego estas partículas son colimadas mediante diafragmas (es decir, se hace que todas las partículas vayan paralelas), después se hace incidir el rayo colimado sobre una lámina (se usó oro porque interesaba que la lámina fuera lo más fina posible, y el oro es el metal más maleable conocido). Finalmente, una película registraba la desviación que sufrían las partículas α. La desviación de las partículas α nos permite deducir características de la estructura interna de los átomos.

Debido a que la lámina es muy fina la mayoría de partículas atravesarán la lámina, pero debido a la fuerza de Coulomb (las partículas α tienen carga positiva y el átomo del oro, de los dos tipos) en su recorrido por el interior de la lámina se desviarán de la trayectoria recta. Evidentemente la desviación de las partículas dependerá de la trayectoria que sigan en el interior de la lámina, lo que hace que, aunque al principio todas las partículas tengan la misma dirección, no todas saldrán formando el mismo ángulo, algunas se desviarán más que otras.

Como la lámina de oro es homogénea no existe ninguna dirección privilegiada, es decir, no hay nada que nos haga pensar que las partículas se desviarán hacia la derecha, o hacia arriba, ni en ninguna dirección en concreto. Por esto no nos interesará saber hacia dónde se desvían las partículas, sino cuánto se desvían (en otras palabras, el ángulo que forma la trayectoria de la partícula al atravesar la lámina con la dirección que tendría si no se hubiera desviado).

Según el modelo atómico de Thomson la carga positiva está distribuida homogéneamente por todo el átomo por lo que las partículas solo sufrirán desviación apreciable si pasan por un extremo del átomo (entonces toda la carga positiva hará fuerza hacia la misma dirección)^[1] o si pasa muy cerca de un electrón. Al hacer el experimento se encontró que en general las partículas se desviaban entre 1^o y 2^o.

Ahora la pregunta es, ¿son estos números compatibles con lo que dice el átomo de Thomson?

Llegados a este punto siento deciros que no hay forma fácil de explicar esto sin usar ecuaciones, por lo que debéis creerme. Usando la conservación de la energía y del momento lineal que presenté en el primer artículo es posible dar un resultado aproximado de la desviación máxima que puede sufrir una partícula α. Al atravesar una lámina de 1 μm es de unos 1,3 ^o, lo que nos puede empezar a parecer extraño. Aun así, debido a las aproximaciones tomadas en este cálculo, la diferencia no es suficiente como para descartar el modelo de Thomson, necesitamos algo más, alguna diferencia apreciable para estar seguros que no se debe a un problema de aproximación.

Rutherford se dio cuenta de una cosa muy importante. El ángulo que he dicho de 1^o-2^o es una especie de media, pero en ese experimento se vio que aproximadamente un 0,01% de las partículas salían con un ángulo de desviación superior a 90^o. Aquí es donde el modelo atómico de Thomson no puede explicar los resultados del experimento. Además, haciendo el experimento con diferentes láminas de diferente espesor se vio que la predicción que ofrecía el modelo atómico de Thomson sobre cómo variaba la desviación en función del espesor tampoco se cumplía, ya que, según el modelo de Thomson, el número de partículas α que se dispersaban en grandes ángulos debía ser proporcional a la raíz del espesor (esto es; si el espesor aumenta 4 veces, el número de partículas dispersadas en ángulos grandes debía doblarse). Por el contrario, se encontró que este número era proporcional al espesor (sin raíz cuadrada).

Hasta aquí el modelo de Thomson. El siguiente modelo a presentar es justamente el que propuso Rutherford después de estos experimentos. Pero antes vamos a ver algunas ecuaciones que nos ayuden a entender este experimento (en este artículo debo advertir que esta segunda parte puede ser matemáticamente compleja):

Fallos del modelo (con ecuaciones)

Bien, no voy a repetir aquí todo el experimento, de hecho, la mayor parte del artículo no necesita de ninguna ecuación, así que empecemos directamente por intentar calcular cuál es el ángulo máximo que puede desviarse una partícula α al chocar con un electrón.

Antes de nada, ya os quiero avisar, esta parte está llenita de aproximaciones y algunas veces tendréis que creerme sin que os pueda explicar el porqué de algunas cosas, hay algunos cálculos algo pesados y largos pero que quiero incluir en el artículo (aunque haga que algunos lectores a lo mejor se pierdan), algunos de estos cálculos los presentaré en forma de ejercicio para que os paréis a pensarlos vosotros antes de que los haga yo. Intentaré que se pueda ir siguiendo, aun así algunas veces lo mejor es que se tenga papel y boli y que se vayan haciendo todos los pasos en casa, ya que en algunos casos puede que me salte algunos que considero que no son importantes. Así que empecemos ya desde el principio aproximando.

Primero de todo, vamos a suponer que el electrón está libre e inicialmente en reposo. Estas aproximaciones las podemos hacer porque las partículas α tienen energías muy grandes (comparadas con la energía de ligadura del electrón). Además, supondremos que el choque entre las dos partículas es un choque elástico (los choques entre partículas suelen ser siempre elásticos o se pueden aproximar muy bien).

Primero de todo, vamos a hacer un dibujo de la situación: al principio tenemos una partícula α (en verde) que va hacia el electrón en reposo (en rojo), y después del choque las dos partículas se moverán formando un cierto ángulo con el eje x.

Apliquemos ahora las leyes de conservación. Recordad que en una colisión elástica la energía cinética interna se conserva, pero como la energía cinética de una partícula es la suma de la energía cinética interna más la energía cinética del centro de masas i, en nuestro caso, la energía cinética del centro de masas es la misma, por lo que podemos aplicar simplemente que la energía cinética interna se conserva:

Donde hemos tenido en cuenta que la energía cinética inicial del electrón es 0 por ser su velocidad nula. Además, sabemos que se conserva la cantidad de movimiento (como en cualquier colisión). Doy por supuesto que a partir del dibujo sois capaces de encontrar las componentes de los vectores:

Ejercicio: Demostrar que estas tres ecuaciones se pueden combinar para dar como resultado esta ecuación

Solución: Echando una ojeada a la ecuación que debemos encontrar notamos que no depende de γ, por lo que debemos encontrar una manera de eliminar γ de las dos ecuaciones de la cantidad de movimiento. Lo primero que debe veniros a la cabeza es intentar usar la igualdad:

Para esto necesitamos tener el seno y el coseno elevados al cuadrado:

Ahora simplemente sumamos las dos ecuaciones

De hecho, esta ecuación la podríamos haber sacado del dibujo si hubiésemos pensado en el teorema de coseno. Pero bueno, vemos que ahora tenemos dos ecuaciones y nos hemos deshecho de γ, además vemos que hemos aislado p_e², por lo que podemos sustituirlo en la ecuación de las energías y solo nos queda modificar un poco la forma.

#

Como vemos esto es una ecuación de segundo grado, por lo que sabemos que su solución será:

Aquí perdonad porque me he saltado algunos pasos, pero son simplificaciones (no hay trucos matemáticos ni nada raro, solo simplificar la ecuación) así que si le dedicas unos minutos seguro que entiendes lo que he hecho. Aunque cualquier duda que haya siempre estaré encantado de resolverla en los comentarios.

Ejercicio: Demostrar, usando la ecuación anterior que el máximo ángulo de desviación posible en un choque entre una partícula α y un electrón es del orden de 10^-4 rad.

Solución: Efectivamente, sean cuales sean los valores de p_α,f y p_α,i podemos asegurar que son valores reales, esto es, lo que tenemos dentro la raíz debe ser positivo:

Y teniendo en cuenta que m_α≈7344m_e , obtenemos que β<1,362·10^-4 rad. #

Como he dicho antes, las únicas formas de desviar una partícula α son, o bien con una colisión con un electrón, o debido a la repulsión de la carga positiva. Ésta será máxima cuando la partícula α pase por la superficie del átomo, de forma que la fuerza de repulsión será de

Donde he usado que la carga de una partícula α es 2e y la carga de un átomo es Ze (el número de protones por la carga de cada protón). Supongamos que esta fuerza solo actúa mientras la partícula recorre el diámetro del átomo:

By Kurzon – Own work, CC BY-SA 4.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=34697665

Entonces, la segunda ley de Newton nos dice que

ya que el tiempo que tarda la partícula en moverse una distancia igual al diámetro es el mismo diámetro (2r_A) dividido por su velocidad.

Ahora podemos ver en la figura que se cumple que

y de nuevo sustituyendo valores vemos que θ=3,258·10^-4 rad.

Ahora vienen los datos que desgraciadamente no puedo justificaros, básicamente porque no he sido capaz de encontrar de donde salen exactamente:

Hasta ahora hemos calculado el ángulo máximo que puede desviarse una partícula α al atravesar un solo átomo, pero en una lámina hay miles de átomos, por lo que la desviación total es la suma de todas las desviaciones producidas por cada átomo sobre la partícula. Al aplicar la teoría estadística clásica al modelo atómico de Thomson resulta que el ángulo máximo que se desviará una partícula α cuando atraviese N átomos debe ser:

Lo que si el espesor de la lámina es de 1 μm (tomando el diámetro de un átomo de oro como 4 Å, la partícula atraviesa unos 2500 átomos) nos da un ángulo de 1,3 ^o.

De hecho, como dije antes, al jugar con espesores distintos notaron que el ángulo no era proporcional a N^1/2 sino a N.

Pero como he dicho, la experiencia que puso de manifiesto que el modelo de Thomson no funcionaba fue el hecho que se observaron partículas con ángulos de más de 90^o. Resulta que la teoría estadística predice que, según el modelo de Thomson el número de partículas α dispersadas entre un ángulo β y un ángulo β+dβ es

Donde I₀ es el número de partículas α incidentes (eso es, las totales). Si queremos calcular el porcentaje de partículas α que se desviarán un ángulo superior a 90^o debemos calcular:

Haciendo un cambio de variable:

En nuestro caso, en una lámina de 1 μm ya he dicho antes que se encontró una β_mc de 1 ^o. Por lo que la probabilidad de encontrar una partícula α entre 90 ^o y 180 ^o es de nada menos que e^-8100%≈10^-3518%, evidentemente es un número absolutamente ridículo, recordemos que alrededor del 0,01=10^-2% se detectaron con ángulos superiores a 90 ^o.

Bueno, espero que el artículo no se haya hecho pesado. La verdad, por ahora ha sido con muchísima diferencia el artículo más difícil de escribir de la serie, ya sea por la complejidad que tiene tanto de entender qué es lo que se está haciendo como la complejidad matemática (aparte del hecho que varias cosas mencionadas aquí no las he estudiado nunca y por internet he encontrado poca información y mucha es contradictoria e incoherente…). Espero también que el artículo haya sido accesible a todo el mundo (cada uno en su nivel, claro). Y preparaos porque con el modelo atómico de Rutherford viene lo bueno.

1. Si la partícula pasa por uno de los diámetros, la mitad de la carga hará una fuerza hacia un lado y la otra mitad hacia el otro lado.

El modelo atómico de Thomson es muy simple. Según él los átomos son esferas de carga positiva con electrones incrustados dentro de la esfera, lo cual les confiere una carga eléctrica neutra. Este modelo habla ya del átomo formado por partes positivas y partes negativas.

Vamos a ver consecuencias de este modelo. Básicamente, la gran revolución de este modelo está en el hecho de que predice que los átomos deben radiar ondas electromagnéticas, algo que se había comprobado experimentalmente, como ya comenté vagamente en la presentación de la serie. Voy a intentar explicarlo más o menos sin ecuaciones, aunque ya os advierto que este modelo tiene poca chicha.

Modelo atómico de Thomson: “pudin de pasas” (imágenes extraídas de socratic.org y quimica4atomos.blogspot.com.es)

Para hacer simplificaciones, imaginemos el átomo de hidrógeno. Según este modelo, el átomo de hidrógeno está formado por una esfera de carga positiva y un único electrón. Aunque parece obvio que el electrón tendrá una posición estable en el centro de la esfera, es bastante fácil razonarlo con la ley de Gauss. Supongamos ahora superficies esféricas concéntricas a nuestro átomo (más pequeñas que el radio atómico). La ventaja de estas superficies es que, debido a la simetría, una vez conocido el flujo de campo eléctrico podemos calcular sin dificultad el campo eléctrico. A este tipo de superficies se les llama superficies gaussianas.

Como la esfera tiene carga positiva y ésta está repartida por toda la esfera (supondremos que la carga se reparte homogéneamente por toda ella), cualquier superficie de éstas tendrá algo de carga positiva dentro, por lo que el flujo de campo eléctrico será diferente de cero. Pero recordemos que si el flujo no es cero significa que existen líneas de campo que atraviesan esta superficie y que, por lo tanto, existe un campo eléctrico. La existencia de un campo eléctrico en esta superficie significa que un electrón que se encuentre en esta superficie (es decir, a una distancia r del centro) sufrirá una fuerza. La única superficie donde el campo eléctrico vale 0 es precisamente cuando el radio es igual a cero, es decir, cuando el electrón se encuentra en el centro de la esfera de carga positiva. Por lo tanto, cuando el electrón se encuentre dentro de la esfera experimentará una fuerza que lo empuja hacia el centro, donde el electrón se va a encontrar en una posición de equilibrio (recordemos del artículo dedicado al movimiento armónico que posición de equilibrio hace referencia a una posición donde no actúan fuerzas).

Pero no nos paremos aquí e imaginemos que desplazamos el electrón del punto de equilibrio. Hemos visto que aparece una fuerza, pero que dicha fuerza justamente intenta llevar al electrón de nuevo a la posición de equilibrio… ¿os suena? ¡Efectivamente, la fuerza eléctrica actúa aquí como una fuerza recuperadora! Además, podemos ver que cuanto más alejemos el electrón del centro más grande será la fuerza recuperadora:

Recordemos que podemos calcular el campo eléctrico a cualquier distancia del centro usando la ley de Gauss (como ya hemos hecho arriba), pero cuanto más lejos esté el electrón del centro, más grande será la superficie gaussiana y más carga positiva habrá encerrada dentro (recordemos que la carga está repartida homogéneamente por toda la esfera, no está concentrada en el centro), por lo que el flujo (y por lo tanto el campo eléctrico y la fuerza) será más grande.

Si no acabáis de entender porqué cuando el electrón está más lejos del centro entonces la fuerza es más grande, vamos a verlo más a fondo. Como he dicho, el modelo de Thomson supone que la carga positiva del núcleo esta distribuida homogéneamente en una esfera. Imaginad una esfera llena de agua, el volumen total de agua es exactamente el volumen de la esfera. Imaginad ahora que tenemos una segunda esfera, más pequeña, o lo que es lo mismo, con un radio más pequeño (fijaros que el radio de la esfera es precisamente la distancia que hay entre el centro y cualquier punto de la superficie esférica), ahora vertimos el agua de la primera esfera a esta segunda. Supongo que todos sabéis que el volumen de una esfera (y por lo tanto, el volumen máximo de agua que puede encerrar) depende del radio, y cuanto más radio, más volumen. Entonces no podremos verter toda el agua y una parte de ésta se quedará en la primera esfera. Debéis estar preguntándoos que carajo tiene que ver esto con el modelo atómico de Thomson y por qué estoy divagando… Vale, imaginad^[1] que estas esferas son precisamente las esferas definidas por las superficies gaussianas dentro del átomo y que en lugar de agua están llenas de carga eléctrica. ¿No resulta evidente ahora que, cuanto más grande sea la superficie gaussiana más carga habrá encerrada dentro? Es importante también ver que la carga es constante; en nuestra analogía, si sumamos el volumen de agua de la esfera más pequeña y el volumen que se ha quedado en la primera obtenemos exactamente el volumen de la primera esfera. Lo mismo pasa con la carga, que está repartida en una esfera de radio el radio del átomo.

También quiero decir que el hecho de que la fuerza aumente con la distancia es una aproximación suponiendo que el radio de las superficies gaussianas no supera el radio atómico, en cuyo caso la carga deja de aumentar, pero en ese caso el electrón ha escapado del átomo, por lo que no nos interesa.

Espero que ahora os haya convencido que la fuerza recuperadora es proporcional a la distancia y que algunos de vosotros ya hayáis visto por donde voy… ¡El electrón sigue un movimiento armónico simple!

Aunque antes hay otra cosa muy importante que debemos tener en cuenta. Debido a la segunda ley de Newton, al aplicar una fuerza sobre un cuerpo éste sufre una aceleración directamente proporcional. Por lo tanto, el electrón está siendo acelerado todo el rato, por lo que, si recordáis lo dicho en el anterior artículo, emitirá radiación, ya que cualquier carga acelerada emite radiación electromagnética. Así que efectivamente el modelo atómico de Thomson predice que los átomos deben radiar ondas electromagnéticas, tal y como he anunciado al inicio del artículo. Pero además, en el anterior artículo también dije que una carga que siga un movimiento circular de frecuencia ν radia ondas de la misma frecuencia. Aunque en el artículo anterior usé el ejemplo de electrones dando vueltas en círculos, podéis volver a hacer lo mismo en el caso de un electrón siguiendo un MAS^[2] y deberíais estar de acuerdo conmigo si os digo que la conclusión es la misma (de hecho, el MAS y el movimiento circular uniforme están estrechamente relacionados).

Por lo tanto, no sólo sabemos que el electrón radia ondas electromagnéticas, además sabemos que tendrán la misma frecuencia que el electrón. ¿Recordáis de qué dependía la frecuencia de un MAS? Dependía de la “rigidez” del muelle y de la masa, en este caso, del electrón. Como ahora evidentemente no hay ningún muelle no tiene sentido hablar de la rigidez, pero, como vimos, la rigidez simplemente nos indica cuan intensa es la fuerza en una elongación concreta. En nuestro caso dependerá de la carga de la esfera (estamos pensando en el caso simplificado del hidrógeno, pero los razonamientos que hemos hecho servirían para cualquier átomo con un solo electrón, como el Helio ionizado) y del radio del átomo.

Lo más importante es una conclusión que remarqué en la segunda parte del artículo dedicado al MAS. No nos interesa tanto de qué depende la frecuencia de oscilación, sino de qué no depende esta frecuencia. Hemos visto que sólo depende de la carga de la esfera (ya que la masa del electrón es una constante que no podemos variar) y del radio del átomo, pero no depende de la distancia a la que desplacemos el electrón del centro. Por lo tanto, tendremos una frecuencia de vibración bien definida que solamente dependerá de cada átomo en concreto. De hecho, para un átomo de hidrogeno^[3] la carga de la esfera es, evidentemente, la carga de un protón, que es aproximadamente 160 zC^[4] y su radio atómico es aproximadamente 1 Å^[5], por lo que tenemos que la frecuencia de vibración es de aproximadamente 2,53 PHz,^[6] lo que equivale a una longitud de onda de 119 nm.^[7]

Aunque lo hecho aquí sólo sirve estrictamente para átomos con un solo electrón, es posible demostrar que si el número de electrones aumenta podemos aproximar el movimiento de cada uno de los electrones a un movimiento armónico simple, de forma que, en buena aproximación, podemos generalizar los resultados de lo que acabamos de ver para cualquier átomo sea el número de electrones tan grande como se quiera. Eso es debido a que aunque el número de electrones sea diferente a 1, siempre existirán posiciones de equilibrio estables (seguramente no en el centro), y cualquier posición de equilibrio estable cumple que la función de la energía potencial tiene un mínimo en esa posición.^[8] Y si has estudiado el MAS con más profundidad de lo que expliqué yo, ya sabes que la función energía potencial del movimiento es una parábola, pero cualquier función con un mínimo puede aproximarse alrededor de este mínimo como una parábola. Por lo que, efectivamente, cualquier movimiento alrededor de un punto de equilibrio estable puede aproximarse como un movimiento armónico simple (evidentemente, cuanto menor sea la elongación mejor será la aproximación).

Hasta aquí el primer artículo hablando sobre el modelo atómico de Thomson. En el próximo vamos a ver los fallos del modelo (uno de ellos salta ya a la vista) para poder ver en un futuro cuales son las ventajas del modelo de Rutherford.

Modelo atómico de Thomson (con ecuaciones)

Vamos a poner algunas ecuaciones a lo dicho arriba. Como muchas veces, éste es un material bastante complementario que, si dominas el lenguaje matemático, te ayudará a entender mejor lo explicado arriba.

Vamos a suponer un átomo de hidrógeno, formado por una esfera de carga +e, con un electrón en el centro con carga -e. Supongamos que desplazamos el electrón una distancia r₀ del centro. ¿Cuánto vale E en ese punto? Vamos a aplicar la ley de Gauss, recordemos lo que nos dice:

Escojamos ahora una superficie cerrada donde podamos aplicar la ley de Gauss. Evidentemente, como queremos calcular el campo en un punto concreto, debemos buscar una superficie cerrada que incluya dicho punto. Debemos notar que el campo en ese punto es independiente de cómo lo calculemos y, por lo tanto, escojamos la superficie que escojamos debemos llegar al mismo resultado. Para simplificar vamos a escoger una superficie esférica de radio r₀ concéntrica al átomo. Esta superficie es muy útil porque cumple dos condiciones que nos facilitan mucho el cálculo:

1. El campo eléctrico es perpendicular o paralelo a la superficie en todos los puntos de ésta.
2. El campo eléctrico tiene el mismo módulo en todos los puntos en los que es perpendicular a ésta.

En la siguiente imagen se ve claramente que el campo eléctrico es perpendicular a la superficie en todos los puntos:

Imagen sacada de aquí

La segunda ventaja de usar esta superficie es evidente si recuerdas que el modulo varía con la distancia: la esfera justamente tiene la propiedad que todos los puntos están a la misma distancia del centro.

¿Qué ventajas nos proporciona la superficie esférica? Muy sencillo, primero debemos fijarnos en la definición de flujo y veremos que se simplifica un poco:

Ya que el coseno de π/2 es 1. Esto puede parecer una tontería, pero nos hemos quitado los vectores del medio, lo que simplifica muchas cosas. Justamente, como ahora lo que está dentro de la integral es el modulo del campo y la segunda propiedad de la superficie nos dice que éste es constante, podemos sacarlo fuera de la integral (antes lo que teníamos dentro era el vector campo eléctrico, que no es constante, ya que varía en dirección. Por este motivo la primera propiedad es muy importante). Veamos cómo queda la ley de Gauss ahora:

Donde hemos aplicado que la integral del diferencial de superficie sobre una superficie es precisamente esta misma superficie, que en nuestro caso es una superficie esférica de radio r₀. Las superficies que poseen estas dos propiedades nos permiten calcular siempre el campo eléctrico en ellas, y se llaman superficies gaussianas. Realmente aunque la ley de Gauss se cumple en cualquier situación, su utilidad es básicamente la de calcular campos eléctricos de forma sencilla (al menos mucho más sencillo que hacerlo mediante la ley de Coulomb). Usarla bien puede simplificar páginas de cálculos y reducirlas a pocas líneas.^[9]

Ahora solo debemos calcular la carga interior de la superficie. Usemos el concepto de densidad volumétrica de carga que definimos en el artículo sobre ley de Coulomb, pero supongamos que la densidad es constante a toda la esfera:

Entonces la carga encerrada en un volumen concreto será

Sustituido en la ecuación del campo eléctrico:

Finalmente podemos calcular la fuerza a partir de la definición de campo eléctrico

Aquí se pone claramente en evidencia que efectivamente el movimiento del electrón se trata de un movimiento armónico simple. Además, sabemos que la frecuencia de las oscilaciones viene dada por la ecuación

Finalmente, sólo debemos calcular el valor de la densidad de carga

Donde r_A es el radio atómico, juntando todas las ecuaciones obtenemos lo siguiente:

Donde sustituyendo valores aproximados resulta lo dicho en la primera parte.

Ahora sí, hasta aquí llega el primer artículo dedicado al modelo atómico de Thomson. Espero que la espera haya valido la pena.

1. Sí, debéis tener una gran imaginación, al fin y al cabo estamos intentando entender un átomo, ¿no?
2. Recordad que MAS son las siglas de “Movimiento Armónico Simple”.
3. Por si tenéis la química lejos: un átomo de hidrógeno es un protón + un electrón.
4. 160 zeptoculombios, equivalente a 160·10^-21 C.
5. 1 ångström, equivalente a 100 pm=10^-10 m.
6. 2,53 Petahertz, equivalente a 2,53·10¹⁵ Hz.
7. 119 nanómetros, equivalente a 119·10^-9 m.
8. Esto no lo hemos visto, pero tranquilos, no es importante para la serie, una simple curiosidad.
9. Ejemplos de campos fácilmente calculables por la ley de Gauss son configuraciones esféricas, un hilo infinito o una superficie plana infinita…