En dicha última entrada construimos el cuerpo de los números racionales, y vimos que en él tenían cabida todos los resultados que surgían de aplicar los operadores suma, resta, multiplicación y división entre dos números racionales. Espero, sin embargo, que sepáis que éstas no son las únicas operaciones que se pueden realizar. Por ejemplo, está la operación raíz cuadrada de un número, que nos devuelve un número que al ser multiplicado por sí mismo da el número de partida. Es decir, la operación raíz cuadrada resuelve la siguiente ecuación:

Desde tiempos muy antiguos sabíamos resolver este tipo de ecuaciones. Los babilónicos ya las conocían y las enseñaban a resolver en las escuelas. Aunque aquí resolver tiene truco. Lo que sabían los babilónicos era aproximar la solución, que en este caso sería . Conocían un método^[1] que te daba cualquier cantidad de cifras decimales que uno necesitara de la solución. En general esto es más que aceptable en casi cualquier contexto, pero resulta que a los griegos en general, y a los pitagóricos en particular, no les convencía nada este método: ellos quería la solución exacta. Y se pusieron a buscarla.

De hecho, la encontraron. La hipotenusa del triángulo de la imagen, cuando y son iguales a 1 es . Los griegos creyeron erróneamente que todas las magnitudes que podían definir mediante construcciones como las del dibujo^[2] eran números racionales. No podían estar más equivocados:

no es un número racional.^[3]

Después de este resultado tan catastrófico, según sus creencias, los pitagóricos abandonaron el álgebra y se dedicaron a la geometría, para gran alegría de la humanidad.

Ahora bien, si no está en los racionales ¿Dónde está? En general las raíces de cualquier grado de un número racional tienen infinitas cifras decimales no periódicas. Y ¿esto que quiere decir? Pues que si tenemos un procedimiento como el de los babilónicos para aproximarlas… NUNCA TERMINARÍAMOS.

Ahora bien, hay varias categorías para este tipo de números:

• Por un lado, están las raíces de números racionales que más o menos son equivalentes al conjunto de todas las soluciones de todas las ecuaciones de cualquier grado con coeficientes racionales que uno pueda escribir. Por si no lo has entendido: las soluciones para todas las ecuaciones , cuando , y son racionales. Y también las de cuando , , y son racionales… y así hasta el infinito. Un ejemplo de un número de este conjunto es el ya visto: . A este conjunto de número se le denomina Números Algebraicos.^[4]
• Por otro lado, están los números que, aunque no se pueden escribir como la solución de una ecuación con coeficientes racionales, sí que se puede expresar con alguna fórmula matemática. Un ejemplo de número en este conjunto es , definido como la razón entre la circunferencia y su diámetro. A este conjunto se le denomina, en general, Números Trascendentes.
• En general, al conjunto de los números los cuales somos capaces de aproximar mediante un ordenador se le denomina Reales Recursivamente Enumerables.

Obviamente, cada uno de los conjuntos anteriores contiene a su predecesor. La pregunta ahora es si hay más números aparte de estos. Y la respuesta es que sí, ¡De hecho, el cardinal de todos estos conjuntos es el mismo que el de los números naturales, ℵ0!^[5]

¿Y cómo se definen estos números que ni siquiera podemos aproximarlos mediante un ordenador? La cuestión es un poco truculenta y voy a hacer un montón de trampas, pero espero que la idea quede clara. Como siempre, usaremos nuestras “gafas mágicas” que confunden elementos para definir este nuevo conjunto. Antes de ponernos al ajo, necesitamos introducir algunos conceptos nuevos:

• A toda lista infinita de números racionales la llamaremos sucesión.
• Diremos que una sucesión es convergente si existe un número (que llamaremos límite) de tal forma que, según vamos avanzando en los términos de la sucesión, nos vamos acercando a él. Ojo, el límite no tiene por qué existir en el conjunto (pensad en las sucesivas aproximaciones a que hacían los babilónicos o tú mismo en la escuela).
• Ahora bien, para evitar este pequeño problema tomaremos las sucesiones que cumplen la siguiente propiedad: la diferencia (en valor absoluto) entre términos sucesivos se hace tan pequeña como uno quiera. Es decir se va haciendo cada vez más pequeño a medida que aumentamos y además, cuando llegamos al infinito, se hace 0. Estas sucesiones son tan importantes que tienen nombre propio: se llama Sucesiones de Cauchy.

Ahora bien, dadas dos sucesiones de Cauchy podemos definir una suma (y también resta y producto) de la siguiente manera:

Sean y dos sucesiones de Cauchy. Definiremos como la siguiente sucesión . De la misma forma podemos definir la resta y el producto. Además, se cumple que la sucesión que hemos denotado vuelve a ser de Cauchy.

Pues bien, y ahora viene el truco, diremos que dos sucesiones son equivalentes si el límite de la sucesión existe y es 0. Al conjunto de todas las sucesiones con la anterior relación de equivalencia lo denotamos como y lo llamamos conjunto de los números reales. Es fácil ver que los números racionales, algebraicos, trascendentes y recursivamente enumerables están en el conjunto de los números reales. Ahora bien, ¿cómo construimos un número que esté en los números reales y no esté en ninguno de los conjuntos anteriores? Voy a dar una pista (la solución en los comentarios): Leed el segundo artículo de Pedro sobre el infinito.

Por cierto, antes de acabar un teorema (que sé que os gusta):

El único cuerpo ordenado^[6] en el que todas las sucesiones de Cauchy tienen límite y además dicho límite está en el mismo cuerpo es el conjunto de los números reales.

Como ya tenemos un artículo muy denso, terminamos aquí. Pero no sin antes meter el tradicional resumen:

• Hemos visto cómo el conjunto de los números racionales no nos valía para tener todas las soluciones de ecuaciones…
• Ni siquiera para las construcciones con regla y compás.
• De hecho, aunque añadiéramos todos esos números, nos seguían saliendo números que no estaban en el conjunto, como los trascendentes o los recursivamente enumerables.
• Finalmente, definimos las sucesiones de Cauchy y construimos los números reales.

Ahora que ya tenemos el terreno abonado^[7] podemos empezar a “plantar” las cosas ricas e interesantes de la serie. En la próxima entrada hablaremos un poco de las funciones y de sus propiedades (principalmente continuidad y diferenciabilidad) que serán las dos definiciones importantes a tener en cuenta.

1. Que actualmente denominaríamos Método de Newton.
2. En general, mediante una regla sin marcas y un compás de los de toda la vida.
3. Una demostración la puedes seguir en la Wikipedia. No tiene desperdicio por su simplicidad.
4. Aquí estoy haciendo una trampa muy grande, pero ya sabéis: antes simple que incomprensible.
5. Si no estás familiarizado con esta nomenclatura te recomiendo leer los estos dos artículos de Pedro sobre el infinito.
6. Aquí “ordenado” significa que para cualesquiera dos números y que se den, se tiene que o o . Y por si te lo estas preguntando, sí que existen conjuntos en los que estas propiedades no se cumplen. Los matemáticos estamos enfermos.
7. Ya hemos definido los números reales

En la entrada en la que hablamos de los números naturales fuimos capaces de construir dicho conjunto a partir de unos simples axiomas. Vamos a hacer cosas interesantes con dicho conjunto. Para empezar, creo que no estoy diciendo ninguna burrada si afirmo que “sumar” está perfectamente definido en los números naturales.

Es decir, dados dos números naturales, su “suma” es otro número natural.^[3] Por ejemplo 2 + 3 = 5, que es un número natural.

Además la suma tiene unas cuantas propiedades interesantes. A saber:

1. Hay un número especial que, sumado a cualquier otro, da el mismo número. Es decir, A este elemento se lo llama elemento neutro.
2. Da igual el orden al sumar dos números. Es decir, Las aplicaciones que cumplen esta propiedad se llaman conmutativas.
3. Si sumo tres números, da igual cuáles dos sume primero. Es decir, Las aplicaciones que cumplen esta propiedad se llaman asociativas.
4. Dado cualquier número, existe otro que, al sumárselo al primero, da el elemento neutro. Es decir, dado existe tal que . A este número se lo llama opuesto o inverso según el contexto.

Espera un momento… ¿Realmente se cumple la última propiedad? ¿Qué número hay que sumarle al 1 para que de 0? Los más espabilados del lugar levantarán rápidamente la mano y dirán -1. Pero ¿qué número natural es -1? Es un número que es más pequeño que el 0, como si estuviera a la izquierda del 0. Parece que vamos a necesitar ampliar los números naturales, como si nos faltara toda una colección de ellos.

¿Cómo nos las vamos a ingeniar para crearlos? Si lo piensas un poco, te darás cuenta de que el problema no es tanto encontrar los opuestos de los números, sino poder restar. Sabemos que 3 – 2 = 1,^[4] pero no sabemos qué número es 2 – 3. Sin embargo, podemos hacer una pequeña trampa. ¿Y si le damos un nombre a 2 – 3?. Por ejemplo -1. Podríamos coger todas las restas posibles y darles un nombre a cada resultado.

El único problema es que hay que hacerlo con cuidado, pues sabemos que el nombre que le demos a 2 – 3 debe de ser el mismo que le demos a 3 – 4. De hecho, tiene que ser el mismo que . No tiene mucho sentido darle distinto nombre a la misma cosa. Parece una tarea inmensa. Pero veremos que en realidad es muy fácil con los conocimientos que ya tenemos.

Para empezar, tenemos que tener claro cuales son “todas las restas posibles”. No creo que sea muy difícil ver que todas las restas posibles son todos los posibles pares de números naturales que existan.^[5] Si recordáis de una entrada anterior a este conjunto se le llama producto cartesiano y lo denotábamos:

Pero bien, tenemos que tener cuidado con no darle un nombre distinto a cosas que eran iguales. Habíamos visto que (2,3) tiene que ser el mismo número que (3,4), ¡pues vamos a juntarlos! ¿Cómo? Pues con las gafas borrosas de los matemáticos. Si recordáis, lo que necesitamos es crear una relación de equivalencia que nos pegue todos los números que son iguales. Pensad un rato en qué propiedad comparten todos los pares de números que nosotros queremos que sean iguales.

¿Podría ser que si y sólo si ?^[6] Podría, salvo que estamos haciendo toda esta construcción porque habíamos visto que, a veces, NO podemos restar. Bueno, quizás haciendo un poco de magia matemática, podamos arreglarlo.

Movemos la a la parte de la derecha y la a la parte de la izquierda y nos queda

Ahora sólo queda hacer el conjunto cociente y ya lo tenemos… ¿de veras? ¿En qué se parece a los números enteros a los que estamos acostumbrados? Pues son tan parecidos como que son iguales… sólo que con otro nombre. Lo que nos falta es una aplicación biyectiva que asocie nuestros pares de números con los nombres a los que estamos acostumbrados. Piensa en ella un momento.

No creo que te haya sido muy difícil darte cuenta de que la aplicación que estabas buscando es:

Así, por ejemplo, al par (2,3) le asociamos -(3 – 2) = -(1) = -1 y al par (3,2) le asociamos 3 – 2 = 1. Y con esto, hemos creado el conjunto de los números enteros que comúnmente se denota . Además, tenemos que con la operación + cumple las cuatro propiedades que citábamos al principio. A un conjunto que tiene una ley de composición interna que cumple esas cuatro propiedades se la denomina grupo abeliano o grupo conmutativo. Los grupos son importantísimos en matemáticas. Están en todos lados y saldrán varias veces a lo largo de la serie.

¿Y eso es todo por hoy? No, ¡ni mucho menos! Veamos qué pasa con la multiplicación:

1. Tiene elemento neutro: el 1.
2. Es conmutativa: .^[8]
3. Es asociativa: .
4. Pero volvemos a tener el mismo problema de antes. Hay números enteros para los cuales no existe otro que al multiplicarlos, dé la unidad.^[9]

Bueno, pues entonces ¡hagamos el mismo truco de antes! Te dejo 5 minutos para que pienses cual es la relación de equivalencia que tenemos que usar esta vez.

.

.

No creo que te haya sido muy difícil darte cuenta de que en esta ocasión lo que queremos es, dados dos números enteros:

Espera, ¿estás seguro? ¿No será mejor

Con este caso sí que estamos más familiarizados. No creo que te extrañe en absoluto si te digo que a los pares usualmente se les denota Y seguro que estas acostumbrado a que , es decir:

Al conjunto ^[11] se le denomina números racionales y comúnmente se denota por . Además, tenemos que menos el número 0, con la operación producto es otro grupo abeliano. Exactamente igual que antes. Además, con la suma ¡Es otro grupo abeliano! A los conjuntos que cumplen esta propiedad se les llama cuerpos^[12] y son tremendamente importantes en matemáticas.

Y para terminar un par de teoremas, que se que os gustan^[13] . El primero sobre la cardinalidad de estos conjuntos. ¿Cuántos elementos crees que tiene ? ¿Y ? ¿Más o menos elementos que los números naturales?. Pensad un rato. Si habeis leído la entrada sobre el producto y coproducto de espacios deberías de saber la respuesta. Para los despistados:

Los números enteros y los números racionales tienen exactamente la misma cantidad de números que los números naturales.

Y otro teorema más espectacular y sobre el que profundizaremos en próximas entradas.

El cuerpo, con un número infinito de elementos, más pequeño es el cuerpo de los números racionales. Es decir, TODOS los cuerpos infinitos contienen una copia de los números racionales.

Para terminar, el típico resumen:

1. Usando los números naturales y las relaciones de equivalencia nos las hemos arreglado para construir el conjunto de los números enteros, en el cual podemos sumar y restar sin ningún problema. De paso hemos aprendido lo que es un grupo.
2. De forma similar hemos arreglado el conjunto de los números enteros para poder multiplicar y dividir y con ello hemos creado el conjunto de los números racionales. También hemos aprendido lo que es un cuerpo.
3. Por último hemos visto algunas propiedades de los números racionales.

En la próxima entrega hablaremos sobre espacios vectoriales para luego poder continuar hablando de cómo extender los números racionales para así poder hacer más operaciones. De paso veremos varios resultados impactantes sobre lo que puede y NO puede hacer un ordenador.

1. Recordad, las gafas mágicas que nos permitían clasificar o confundir elementos dentro de un conjunto.
2. Como hace un montón de tiempo desde la última publicación quizás sea buena idea que revises, como he hecho yo, las dos últimas entradas.
3. Cuando una aplicación cumple dicha propiedad se la denomina Ley de composición interna
4. A fin de cuentas, 3 – 2 es lo mismo que 3 + (-2)
5. A fin de cuentas, existe una aplicación biyectiva entre un par de números y su resta. Es decir, podemos identificar la resta 2 – 3 con el par (2,3).
6. Recordad que es la operación para pegar.
7. Habría que demostrar que efectivamente esto es una relación de equivalencia. Puedes intentarlo, no es muy difícil.
8. Generalmente, para indicar la multiplicación de dos números no se pone ningún signo.
9. De hecho los únicos números enteros que la cumplen son -1 y 1. A los números que poseen esta propiedad se les llama unidades
10. Queda como ejercicio demostrar que efectivamente es una relación de equivalencia.
11. Recordad que este conjunto de símbolos denota al conjunto de las clases que se forman mediante la relación de equivalencia . Vamos es el resultado de juntar todas las fracciones equivalentes.
12. En realidad tiene que cumplir una condición más. Se tiene que cumplir que . Pero esta propiedad, la distributiva de la multiplicación respecto de la suma,  se suele dar siempre. Encontrar un ejemplo que no la cumpla es tremendamente difícil, y de hecho yo no he trabajado con ninguno aún.
13. Y que Pedro se ha encargado de ampliar en estos dos artículos.

Mi objetivo primordial es que al terminar la serie conozcas el vocabulario técnico que se suele emplear (y que he visto muchas veces en la prensa MAL usado) y sepas interpretar los datos de una encuestas, hasta llegar al punto de darte cuenta de cuando se están haciendo trampas.

La serie será corta (si la comparamos con la mounstrosidad llamada de la lógica a la relatividad). Calculo que unos 10 artículos como mucho según el juego que me de la prensa. Por lo pronto, un esquema sería algo así:

1. Estadística descriptiva básica. Lo que todos sabemos de la escuela.

2. Estadística descriptiva no tan básica. Lo que todo el mundo ve, pero no sabe calcular.

3. Probabilidad I. ¿Eso de las bolas y las cajas?

4. Probailidad II. Modelos matemáticos sobre la vida cotidiana.

5. Inferencia estadística. Encuestas y encuestados.

6. Análisis de resultados I. Confianza y error.

7. Análisis de resultados II. Test de anormalidad.

8. ¿Dónde está el engaño?

Recordamos un poco que estaban haciendo los humanos:

• Se generaban largas listas de números aleatorios (los famosos cuadernos).

• Se distribuían entre todas las naves los mismos cuadernos con la clave.

• Se “sumaba” al mensaje los números del cuaderno y se transmitía. De hecho, si queríamos, podíamos estar simplemente enviando constantemente números aleatorios y así nuestros enemigos no se enterarían cuando empezaba el mensaje.

• Para recuperar el mensaje simplemente se “restaban” los números del cuadernos al mensaje de la lista. En el caso que estubiéramos constantemente transmitiendo, simplemente estaríamos constantemente restando hasta que en algún momento surgiera algo “inteligible”.

¡Ah!, pero nuestros terribles enemigos no tardaron en darse cuenta de qué estábamos haciendo y su terrible ingenio trazó un malvado plan. Sabían que era imposible descifrar el mensaje salvo que los humanos cometieran un error al generar el cuaderno o cometieran la soberana estupidez de reusarlo, así que optaron por una técnica muy rastrera, pero igualmente efectiva. Sacaron de su armario su último invento, un capturador-repetidor de señales. Este invento es capaz de capturar cualquier señal y luego retransmitirla modificada al gusto del consumidor, sin que en ningún momento se pueda notar que se ha “pinchado” la señal.

Conociendo a estos alienígenas, nada bueno podía salir de ahí. Sabían perfectamente que no podían simplemente inhibir todas las frecuencias, porque los humanos se darían cuenta y cambiarían la forma de transmitir mensajes. Tampoco podían hacer mensajes completamente falsos porque no conocen el contenido del cuaderno. Así que lo único que pueden hacer es cambiar aleatoriamente algunos bits o bloques de bits, esperando que al descifrar el mensaje se pierda o tergiverse alguna orden que pueda provocar el caos en las filas humanas.

El plan parecía bueno, pero lo que no sabían estos invasores es que los humanos contamos con matemáticos y hackers, igualmente capacitados para buscar resquicios por donde las teorías, leyes o criptosistemas puedan fallar. Pensad durante cinco minutos cual podría ser una solución a este problema.

(No sigas leyendo si no han pasado cinco minutos )

La solución es relativamente simple. Con añadir cierta “redundancia” al mensaje original es posible detectar si un intruso esta modificando deliberadamente el mensaje. Imaginad el siguiente esquema para enviar el mensaje:

Se organizan los mensajes en grupos de 10 palabras a las cuales se le añade repetida la primera palabra al primer grupo, la segunda, al segundo, etc.

Si por alguna casualidad la palabra que debía estar repetida no lo está obtienes mucha información:

1. Alguien esta interfiriendo en tu mensaje^[1] .

2. Puedes recuperar el mensaje original.

3. Cifrar y descifrar el mensaje es extremadamente simple, incluso con la presencia de manipulaciones.

4. No se compromete la seguridad en ningún momento.

No sé si los puntos 3 y 4 están suficientemente claros, sobre todo el punto 4. A simple vista podría parecer que al repetir una palabra estamos “dando pistas” pero aunque los aliens supieran esta información les es imposible detectar en qué punto del mensaje se encuentran estas repeticiones y, aunque supieran cuáles son las posiciones, no podrían hacer la modificación “lista”, es decir, modificar la palabra y su repetición de la misma forma, pues siguen sin conocer el contenido del cuaderno y por lo tanto ¡desconocen en cuanto se van a modificar esas palabras al cifrar!

Así que nuestros bravos soldados han vuelto a salir victoriosos de una batalla más. Fulanito se despide hasta la próxima conexión.

NOTA: este criptosistema me lo acabo de inventar “sobre la marcha”. Es posible que haga aguas por todos sitios. La idea de este tipo de ataques la escuché por primera vez en un congreso sobre criptografía. Me sorprendió infinitamente no sólo porque a alguien se le hubiera ocurrido idear un ataque contra el criptosistema del cuaderno de uso único, sino que haya gente trabajando en criptosistemas que los evitan. Comentar también que los protocolos que explicaban en la charla eran algo más sofisticados que éste y funcionaban para cualquier criptosistema de clave privada (no recuerdo si para los de clave pública también). Este que estoy comentando SÓLO funciona con el cuaderno de uso único. Si alguien esta interesado en ampliar estos temas, que lo comente en los comentarios y busco las referencias.

1. Mucho ojo, estamos suponiendo que los mensajes se están transmitiendo sin pérdida. Esto se puede conseguir con un código detector de errores. Más adelante hablaremos de ellos, por ahora solo decir que son algo MUY parecido a lo que estamos haciendo.

Desde tiempos inmemoriales los humanos hemos cifrado nuestras comunicaciones, sobre todo las militares. Pero, ¿en qué consiste cifrar un mensaje? Supongamos que el grupo de naves quiere enviarle al grupo de naves su plan de vuelo contra la nave nodriza de los malvados bichos verdes. Lógicamente, no quieren que el comandante de la flota invasora se entere de nada. No sólo quieren que no se entere del contenido del mensaje, sino ni tan siquiera que se están comunicando. Lo que quieren es usar un criptosistema perfecto. Pero ¿qué es un criptosistema perfecto? Pues básicamente:

1. Una forma de transformar un mensaje de forma que parezca que son datos aleatorios para que, si alguien pincha la linea, piense que en realidad no se está transmitiendo nada.

2. Qué sea fácil de realizar dicha transformación, pues de lo contrario sería imposible comunicar nada.

3. Que sea difícil invertir dicha transformación… salvo que se tenga una clave que previamente habrán compartido^[1].

Un criptosistema es cualquier método que cumpla las tres propiedades anteriores. Si además consigue que los datos sean realmente aleatorios e imposible de invertir, entonces estamos ante un criptosistema perfecto.

Una de los criptosistemas más viejos conocidos es el cifrado del césar que era el usado por Julio Cesar para sus comunicaciones militares. Si has seguido el enlace de la Wikipedia verás que actualmente es extremadamente fácil de descifrar cualquier mensaje con este cifrado.

Durante la segunda guerra mundial se realizó un avance espectacular en esta ciencia. De hecho gran parte del mérito de que los aliados ganaran esta guerra es debido a que fueron capaces de romper el cifrado enigma del Eje. Ahora bien, el siguiente resultado es algo más antiguo y ya se conocía entonces:

El único criptosistema perfecto que existe se llama Libreta de un solo uso, y funciona como sigue:

1. Créese tantos caracteres aleatorios como los del mensaje a transmitir. Ésa será la clave secreta que se comparta previamente de forma segura.

2. Para cifrar el mensaje sume^[2] la clave al mensaje.

3. Para descifrar el mensaje réstese la clave al mensaje.

4. Para que sea realmente indescifrable y lo que se transmita sea ruido blanco la clave sólo puede usarse una vez (en caso contrario, es casi trivial encontrar la clave).

Este criptosistema tiene dos problemas muy grandes:

1. Se tiene que crear una clave para cada mensaje.

2. La clave tiene que tener el mismo tamaño que el mensaje.

Y aunque son dos problemas muy gordos, en la guerra contra los bichos verdes el sistema funcionó a la perfección:

1. Todas las naves tienen libretas de un solo uso para las comunicaciones que han sido previamente generadas a partir de ruido blanco y preparadas antes de partir en la misión.

2. Las usan para transmitir órdenes y matar a los asquerosos bichos verdes (con el regusto adicional de usar las matemáticas en su contra).

Como hemos visto antes, aunque nuestros odiados alienígenas pusieran a infinitos soldados a trabajar sobre el problema, serían incapaces de entender el mensaje. Es más, si entre las naves se estuviera transmitiendo constantemente ruido blanco entre los mensajes, ¡serían incapaces de saber si realmente se está transmitiendo algo!. Esto es debido a lo siguiente:

El texto cifrado no da ninguna información sobre el texto en claro. Es decir, a partir de un texto cifrado de esta forma CUALQUIER mensaje de la misma longitud podría ser el mensaje transmitido.

En nuestro caso, incluso si los alienígenas pusiera a infinitos soldados a trabajar en el asunto, ¡encontrarían infinitos mensajes igual de válidos!… entre los cuales estaría el verdadero mensaje. Y es así como nuestros valiente soldados evitaron que sus comunicaciones fueran descifradas… aunque claro, para nuestra desgracia, ellos también usaban el mismo criptosistema

1. Vamos a ignorar los criptosistemas asimétricos o de clave pública que son otra batalla.
2. Ojo, sumar hay que entenderlo de la forma siguiente: se le da el valor de 1 a la letra A, 2 a la B y así sucesivamente. Entonces A + B sera igual a 1 + 2 = 3 que corresponde con la letra C.

Los matemáticos son unas peronas muy extrañas. Cuando un matemático estudia un conjunto lo suele hacer viéndolo a través de filtros o gafas para cegatos. ¿Y qué es lo que suelen hacer estas gafas? Pues confundir elementos del conjunto, esto es: si antes de ponerte las gafas eras capaz de distinguir dos elementos, es posible que cuando te pongas las gafas ¡se transformen en el mismo elemento!. A estas “gafas mágicas” se las conoce comúnmente como relaciones de equivalencia.

La pregunta es, ¿por qué son interesantes las relaciones de equivalencia? Pues simplemente porque permite clasificar los elementos de un conjunto. Veamos primero un ejemplo.

Supongamos que tenemos una biblioteca en casa. Ésta tiene muchos libros de distintos colores y tamaños. Imaginaos que tenemos unas gafas que, cuando nos las ponemos, hacen que todos los libros del mismo color sean el mismo libro. De repente, cuando nos ponemos estas gafas, la cantidad de libros disminuye drásticamente. De hecho ya no podemos hablar propiamente del conjunto de libros de la biblioteca, ¡sino del conjunto de colores que tienen los libros de la biblioteca!

Como vemos, cuando aplicamos una relación de equivalencia a un conjunto surge otro conjunto nuevo, distinto. A este conjunto se le denomina conjunto cociente. Pero, aunque sea distinto, está relacionado con el original y (por supuesto) con la relación de equivalencia.

Ahora bien, ¿qué debe propiedades debe cumplir una relación de equivalencia? Son de sentido común, así que no dejes que la notación matemática te asuste. Pondremos ejemplos de cada propiedad en el caso de nuestra biblioteca, para que puedas comprenderlas en un caso concreto:

1. Ser una aplicación del tipo:

de forma que dos elementos que pertenecen al conjunto están relacionados si y sólo si . Esto último se escribe o bien .

Por ejemplo, en el caso de los libros de la biblioteca y los colores de los libros. Si dos libros y tienen el mismo color, . Si no lo tienen, .

2. Se tiene que cumplir que todo elemento está relacionado consigo mismo. Es decir: para todos los elementos del conjunto.

En el caso de los libros, todo libro tiene el mismo color que él mismo.

3. Da igual en que orden pongas los elementos, el resultado debe ser el mismo. Esto es: si entonces .

Es decir, si el libro tiene el mismo color que el libro , tiene el mismo color que .

4. Las relaciones se heredan. Esto es: si y entonces también esta relacionado con ^[1].

Para nuestros libros de colores, si tiene el mismo color que y tiene el mismo color que , eso quiere decir que tiene el mismo color que .

El conjunto cociente se suele denotar por:

Esta bastante claro que el conjunto cociente siempre tiene igual o menos elementos que el conjunto original (un gallifante al que explique por qué). Lo que no es tan trivial de ver es que el conjunto cociente sea una partición del conjunto original. ¡Ah!, pero, ¿qué es una partición de un conjunto? Fácil, una partición de un conjunto no es más que dividir el conjunto en partes de forma que no sobre ningún elemento y ninguna parte puede compartir el mismo elemento. Es como si partiéramos el conjunto en trozos. Es más, el resultado al revés también se cierto: toda partición de un conjunto define una relación de equivalencia (cuyo conjunto cociente es la partición, por supuesto).

Esto que hemos enunciado es el siguiente teorema:

Dar una relación de equivalencia es lo mismo que dar una partición de un conjunto y viceversa.

Este tipo de construcciones se usan cuando se quieren eliminar los elementos repetidos o simplemente la basura de un conjunto. De hecho, en la próxima entrada vamos a usarlos de forma extensiva.

Ahora el clásico resumen: usando los conocimientos de conjuntos y de aplicaciones entre conjuntos hemos definido un nuevo tipo de relaciones que nos permiten clasificar los elementos de un conjunto. Además hemos visto que el camino al revés también funciona.

En la próxima entrada hablaremos de los números enteros y de los números racionales, y veremos como usando las relaciones de equivalencias es extremadamente fácil dar una definición de estos conjuntos y comprobar algunas de sus propiedades.

1. Propiamente se suele decir que la relación cumple las propiedades: reflexiva, simétrica y transitiva.

Tras hablar un poco sobre lo que es un conjunto vamos a hablar de cosas que podemos hacer con ellos. Vamos a usar como ejemplo el de los malvados alienígenas babosos. Si recordais de la entrada de Pedro, estos alienígenes se había construido una nave que contenía infinitos soldados. Mucho ojo, un número infinito, pero que se puede contar. Esto es, usando los conocimientos de la última entrada, que existe una aplicación biyectiva entre el conjunto de soldados en la nave y los número naturales. Como existe una aplicación biyectiva, para nuestros intereses el conjunto de soldados y el de números naturales son indistinguible. Llamemos a este conjunto de soldados, para abreviar, .

A este tipo de conjuntos se los llama conjuntos numerables.

En una primera instancia, el general envía 10 soldados más a la nave. Formalmente esto sería unir el conjunto de los 10 soldados (que denotaremos, por ejemplo, como ) con nuestro conjunto de soldados . Esto formalmente se escribe así:

Lo sorprendente es que al final resulta ¡que no tenemos más soldados que antes! De hecho, como vimos en el segundo ejemplo, si juntamos dos naves con infinitos soldados seguimos teniendo el mismo número de soldados. Esto es formalmente lo siguiente:

donde antes de un conjunto significa “el número de elementos” que tiene ese conjunto. La demostración de esa afirmación esta en la entrada de Pedro y se llevará un gallifante el que escriba correctamente la aplicación biyectiva entre ambos conjuntos.

Ahora bien, el tercer ejemplo de la entrada de Pedro es un conjunto es distinto. En ese ejemplo lo que tenemos es un metacarguero que tiene infinitos cargueros de soldados. Es como si por cada soldado pusiéramos infinitos más. Si lo pensamos de forma “geométrica” es como si pusiéramos a todos los soldados de un carguero en fila india, y luego perpendicularmente, por cada soldado, hicieramos otra fila de infinitos soldados. Dibujo al canto.

Formación de los soldados de la metanave.

En el dibujo, habría un soldado por cada esquina de los cuadraditos que se forman. Formalmente a esto se le llama el producto de dos conjuntos y se denota:

Normalmente a un elemento de este conjunto se le denota como . En nuestro ejemplo sería decir que el número de soldado y el número de carguero en el que está. Por ejemplo, si Xugthudz es el soldado número 1268 de la nave 57, Xugthudz es el elemento (1268,57).

A primera vista parece que hay un montón de soldados, ¡¡pero resulta que al final seguimos teniendo el mismo número de soldados!! La forma de demostrarlo es distinta a la que propuso Pedro (ésa la usaremos en el plato fuerte de la noche) y es más visual. Una cosa muy importante, dar una aplicación biyectiva entre ese conjunto y los naturales es simplemente numerar cada soldado del dibujo. En el siguiente dibujo doy la idea de como se construye la aplicación.

Forma de poner en fila india a los soldados de la meta-nave.

Ahora bien, estos malvados bichos han decidido que lo del metacarguero es para nenas. De hecho, creen que un meta-metacargueros lo es (un gallifante para el que escriba formalmente el conjunto ). Es más, van tan sobrados que un meta--meta carguero es también para nenas.

Mucho ojo con esta notación: generalmente, cuando se escriben puntos suspensivos y se quiere dejar explícito cuantas repeticiones se realizan se suele poner el número precedido por un paréntesis. Así, por ejemplo, es el equivalente a . Otra forma de denotar lo mismo es con unas llaves por arriba o por debajo de los puntos suspensivos y el número de repeticiones. Por razones técnicas no se usa esa notación aquí

Aunque probablemente el uso más común que se le da a esta notación es la de -ésima derivada de una función. Los que hayan estudiado matemáticas en segundo de bachiller habrán estudiado o bien la notación de Lagrange o bien la de Leibniz para la derivada de una función (hablaremos en su momento sobre qué es la derivada de una función pero eso será más adelante en la serie).

Los matemáticos generalmente usamos la notación de Lagrange (en algunas ramas es común también la de Newton, ver el artículo de la wikipedia), es decir, usamos para la función, la primera, la segunda y la tercera derivada, respectivamente, pero . Los físicos (y seguro que los ingenieros) estáis más acostumbrados a la notación Leibniz: que representan una función, su derivada, su segunda derivada, etc. La primera es más compacta pero cuando la cosa se complica da muchos problemas notacionales que la notación de Leibniz resuelve. Por si te pierdes con este super-meta-carguero, la notación formal sería:

Geométricamente, sería un espacio -dimensional. Si en el otro ejemplo pintamos a los soldados en un folio plano, ahora necesitaríamos ¡un folio de dimensiones! A los soldados de este meta--meta carguero los podíamos denotar como , donde es el número de soldado, el número de carguero, el de meta-carguero, , el de meta--meta carguero.

Pues resulta que estas malas bestias han creado el ULTRA-meta carguero. Este carguero es un meta--meta-carguero. ¿Estamos todos condenados? Veamos que no necesariamente. Lo primero es ver cómo se escribe esto formalmente. Hay dos formas:

Espera, ¿dos formas distintas? ¿Matemáticos dando nombres distintos a la misma cosa? No me cuadra. Estos conjuntos tienen que ser diferentes, la cosa es ¿en qué se diferencian? Para explicarlo necesitamos ver como es un elemento genérico de cualquiera de estos conjuntos. Para escribirlos necesitamos un vector de infinitas dimensiones, algo del estilo:

Supongamos ahora que nuestros extraterrestres babosos, aparte de un gusto morboso por las matemáticas, lo tienen también por la burocracia. Pero resulta que, como todos los burócratas, son unos gandules de mucho cuidado y decidieron que cada soldado sólo tuviera un número finito de elementos distintos de 0 (para no escribir mucho en el expediente). Es decir, cada soldado tendría un número del estilo:

Que por supuesto abreviaban y solo ponían los términos que eran distintos de 0. Los elementos de este tipo forman el segundo de los conjuntos de antes. A este conjunto se le suele llamar la suma directa o co-producto de conjuntos. Ahora bien, ¿podremos meter todos los soldados del conjunto anterior en una sola nave? Doy una pista y pensad un rato: usa el último truco del que habló Pedro.

Si no das con la respuesta ahí va. Pero primero necesitamos un par de teoremas:

[Pitágoras] Existen infinitos números primos.

La demostración es MUY impactante por lo simple que es. Merece la pena perder 5 minutos en echarle un ojo.

[Pitágoras] Todo número natural se puede descomponer en producto de potencias de números primos de forma ÚNICA.

Vamos a usar estos teoremas para construir una aplicación entre los números naturales y el conjunto suma directa. Cogemos un soldado cualquiera y supongamos que su número es y supongamos que tenemos una aplicación (que llamaremos ) que asocia cada número natural al primo que hace el número . Es decir:

Entonces cogemos a este soldado y lo metemos en el camarote:

Que es un número natural. Está bastante claro que a cada soldado del super ultra meta carguero le asocio UNO Y SÓLO un camarote de un carguero standar. Ahora bien, ¿queda algún camarote libre? Pensad un poco.

La respuesta es que NO, pues cada número natural se puede descomponer como un producto de potencias de números primos (lo vimos antes con el segundo teorema), y por lo tanto le podemos asociar el soldado correspondiente de super-ultra-carguero. Con eso hemos construido una aplicación biyectiva entre el conjunto suma directa y los números naturales. Como conclusión, el super-ultra carguero ¡¡no tiene más soldados que un carguero normal!!

Sobre el otro conjunto, que se llama producto, hablaremos más adelante cuando hayamos hablado de los números reales, pues es una mala bestia que tiene resultados aún más soprendentes.

Ahora el resumen clásico. En esta entrada hablamos sobre la unión, el producto y el co-producto de conjuntos y de las paradojas relacionadas con ellos cuando los conjuntos son infinitos. La moraleja se puede resumir en el siguiente teorema:

1. La unión (incluso de un número infinito numerable) de conjuntos numerables es numerable.

2. La suma directa (incluso de un número infinito numerable) de conjuntos numerables es numerable.

Por cierto, si estás pensando que este tipo de construcciones son muy “raras” piensa que los polinomios son un espacio co-producto. Ejemplos de espacios producto los pondremos en su momento.

En la siguiente entrada hablaremos las relaciones de equivalencia y los conjuntos cocientes, que nos van a facilitar mucho la vida a lo largo de la serie.

A mi modo de ver, una de las cuestiones más incómodas para fundamentar las matemáticas es definir qué es un conjunto. Todo el mundo sabe qué es un conjunto, pero expresarlo matemáticamente es altamente NO trivial. De hecho no es hasta principios del siglo pasado cuando Zermelo y Fraenkel consiguen una teoría “decente”^[1].

No puedo resistirme a hablar un poco más del tema porque quizás os suene de algo. Fue Cantor a finales del siglo XIX el primero que se propuso fundamentar TODA la matemática a partir de una serie de axiomas que es lo que comúnmente denominamos “Teoría de conjuntos”. Copio su definición de conjunto:

Se entiende por conjunto a la agrupación en un todo de objetos bien diferenciados de nuestra intuición o nuestra mente.

El gran problema de esta definición es que admite como conjunto el conjunto de los conjuntos que no se contienen a si mismos… ¿Mande? Veámoslo mejor con un cuento^[2]:

En un lejano poblado de un antiguo emirato había un barbero llamado As-Samet diestro en afeitar cabezas y barbas, maestro en escamondar pies y en poner sanguijuelas. Un día el emir se dio cuenta de la falta de barberos en el emirato, y ordenó que los barberos sólo afeitaran a aquellas personas que no pudieran hacerlo por sí mismas. Cierto día el emir llamó a As-Samet para que lo afeitara y él le contó sus angustias: - En mi pueblo soy el único barbero. Si me afeito, entonces puedo afeitarme por mí mismo, por lo tanto no debería de afeitarme el barbero de mi pueblo ¡que soy yo! Pero si por el contrario, no me afeito, entonces algún barbero me debe afeitar ¡pero yo soy el único barbero de allí! El emir pensó que sus pensamientos eran tan profundos, que lo premió con la mano de la más virtuosa de sus hijas. Así, el barbero As-Samet vivió por siempre feliz.

A esto generalmente se le denomina Paradoja de Russell y supuso un mazazo a la teoría de Cantor lo cual, entre otras cosas, lo llevó a la locura^[3]. En próximas entradas hablaremos más de este señor.

Continuemos. Ahora que tenemos definido que es un conjunto vamos a intentar definir que es una correspondencia (que van a ser la base para definir luego las temibles funciones). Se podría decir que una correspondencia no es más que una lista de “pares ordenados” de elementos de dos conjuntos. Ahora bien, existe un conjunto de correspondencias MUY especial, es el conjunto de aplicaciones. Una aplicación es una correspondencias que cumplen la siguiente norma:

1. A cada elemento del conjunto de salida le corresponde AL MENOS UN elemento del conjunto de llegada.
2. A cada elemento del conjunto de salida le corresponde SÓLO UN elemento del conjunto de llegada.

Parecen iguales, pero son distintas. Vamos unos cuantos ejemplos.

Supongamos la siguiente correspondencia entre el conjunto de Libros y el de Escritores de tal forma que a cada libro le asociamos sus escritores. Tendríamos la siguiente lista:

• La Biblia: “montones de personas”.
• Abstracts ICM Madrid 2006: “otro montón”.
• Antropología culturar: Marvin Harris.
• …^[4]

Es fácil ver que NO es una aplicación, pues un mismo libro puede tener “más de un escritor”.

Supongamos ahora que hacemos la siguiente correspondencia entre el conjunto de Personas y Libros. Tendíamos algo así:

• Menganito: -
• Fulanito: -
• Isaac Asimov: “montones de libros”.
• …

Es fácil ver también que esta NO es aplicación pues no sólo una persona puede haber escrito más de un libro, sino que hay personas que NO han escrito ningún libro (recordemos, UN Y SÓLO UN).

Dejo como ejercicio buscar alguna correspondencia que sea aplicación usando el conjunto de Libros. Igual que en la entrada anterior, un gallifante para la más original.

Vemos ahora algunas aplicaciones interesantes. Pero antes un poco de notación y nombres raros:

• Los conjuntos se suelen denotar por letras mayúsculas.
• Las aplicaciones por minúsculas o letras griegas, aunque hay excepciones.
• La notación usual para una aplicación es:

donde , son cualquier conjunto, el nombre de la aplicación y los pares ordenados que la forman. Otra forma de escribir los pares es .

Supongamos la siguiente aplicación:

Vemos que cumple la definición de aplicación pues todo número natural es par o impar. Ahora bien, también observamos que si “invertimos” las flechas tenemos que es “sólo” una correspondencia pues falla la primera propiedad. A esta correspondencia se la denomina “inversa de una aplicación” y cuando realmente es una aplicación se denomina “aplicación inversa” (que originales los matemáticos, ¿no?), se denota (un -1 de superíndice) y se dice que tanto la aplicación original como la aplicación inversa son biyectivas.

Un tipo de aplicaciones importantes son aquellas a las cuales ningún elemento del conjunto de llegada se queda sin ser imagen de otro. El ejemplo anterior es una de ellas. Sin embargo la siguiente no lo es:

pues hay elementos que no tienen antimagen. O sea, que no hay ningún elemento de partida que los tenga como imagen. A este tipo de aplicaciones se las denomina “aplicaciones sobre” o sobreyectivas y se las puede definir también como aquellas a las cuales su aplicación inversa sólo falla en la propiedad 2.

Otras aplicaciones importantes son las inyectivas que son aquellas en las cuales no hay dos elementos del conjunto de partida que tengan la misma imagen. Observamos, por ejemplo, que la aplicación no es inyectiva pues hay muchos números que llegan al elemento (de hecho, todos los pares). Sin embargo la aplicación que lleva cada número a si mismo si lo es. Estas tipo de aplicaciones se pueden definir a partir de la aplicación inversa como aquellas aplicaciones cuya inversa es una correspondencia en la que sólo falla la propiedad 1.

Los más avispados seguro que ya os habéis dado cuenta del siguiente teorema.

Una aplicación es biyectiva SI Y SÓLO SI es inyectiva y sobre a la vez.

Las aplicaciones biyectivas serán muy importantes en la próxima entrada pero tener claras estas tres definiciones va a ser FUNDAMENTAL a lo largo de toda la serie, así que si no te ha quedado claro no estaría de más volvieras a leerlo y, si tras leerlo de nuevo tienes dudas, plantéalas en un comentario.

Ahora el clásico resumen:

• Hemos hablado de la definición de conjunto y de sus problemas.
• También hemos hablado de aplicaciones entre conjuntos y algunas de sus propiedades.

En la próxima entrada hablaremos sobre el producto y coproducto de espacios.

1. http://es.wikipedia.org/wiki/Axiomas_de_Zermelo-Fraenkel
2. http://es.wikipedia.org/wiki/Paradoja_de_Russell
3. http://es.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor
4. Son los libros que están de alzador de la pantalla del ordenador

Para construir los números naturales vamos a usar el sistema axiomático de Peano^[1] que no depende de ningún otro sistema axiomático. Hay otras formas de generar los números naturales, pero nos quedaremos con ésta que, para mí, es la más intuitiva. Los axiomas de Peano dicen (copy-paste de la Wikipedia):

• 1 es un número natural. Es decir, el conjunto de los números naturales es no vacío.
• Si es un número natural, entonces también es un número natural, llamado el sucesor de .
• 1 no es sucesor de ningún número natural. Es el primer elemento del conjunto.
• Si hay dos números naturales y tales que sus sucesores son iguales, entonces y son números naturales iguales.
• Axioma de inducción: si un conjunto contiene al 1 y a los sucesores de cada uno de sus elementos entonces contiene a todos los números naturales.

Vamos a analizarlos con un poco de detalle.

Para empezar, hay que tener en cuenta que 1 no se refiere al “número uno”. Es sólo una notación de un objeto especial que vamos a llamar 1. Por ejemplo podría ser una patata con forma de ratón muy famoso. El primer axioma simplemente está suponiendo que existe dicho elemento. Esto parece una perogrullada, pero no sería la primera vez que se hacen unos teoremas impresionantes que cuando vas a aplicar resulta que se refieren al conjunto vacío o a la nada.

Con el segundo lo que estamos estableciendo es una suerte de orden. Por decirlo de alguna manera, estamos generando una suerte de “fila india” de patatas mientras que con el tercero lo que estamos diciendo es que la “fila” tiene una cabecera (que es nuestra patata con forma de ratón).

Con el cuarto y el quinto estamos dando condiciones de equivalencia. El cuarto axioma habla de la equivalencia de elementos y el quinto de la equivalencia de conjuntos (recordar que en la entrada anterior explicamos un poco el concepto de equivalencia. A modo de recuerdo / ampliación: dos objetos son equivalentes si son indistinguibles con nuestros axiomas).

Creo que no es muy complicado a partir de los axiomas ver que efectivamente describen lo que intuitivamente consideramos el conjunto de los números naturales. La propiedad principal de los números naturales es que los números están “ordenados” en fila “india” a partir de un número que solemos denotar por 1 y que se extiende hasta el infinito. Ahora bien, partimos del elemento 1, que existe porque sí, según nuestros axiomas. A partir de aquí sabemos que existe el siguiente a 1, que normalmente denotamos por 2 y así sucesivamente hasta el infinito.

También observamos que todos los números se pueden poner en una “fila india”, gracias a los axiomas 2 y 4 ya que, en caso contrario, en algún punto se produciría una “Y”, vamos, un número tendría dos sucesores, y esto estaría prohibido por el axioma 4. También podría darse que un número NO tuviera sucesor, con lo cual llegaríamos a que la “fila” tendría “principio” y “fin” pero esto no es posible por el axioma 2. Luego nuestrso axiomas “describen” bastante bien el concepto que tenemos de números naturales (de hecho el axioma 5 nos dice que son IGUALES a todos los efectos, según nuestro sistema axiomático). A partir de ahora denotaremos a este conjunto por .

Aquí el punto importante es el último axioma el cual hace que las demostraciones por inducción sean válidas. Y ahora es cuando surgen las preguntas: ¿qué es una demostración por inducción y porqué son importantes?

Una demostración por inducción es una forma “fácil” de demostrar una propiedad para un conjunto infinito. Básicamente demuestras la propiedad para el primer elemento del conjunto. Luego demuestras que, suponiendo cierta la propiedad para el primer elemento el sucesor también posee esta propiedad. Usando el quinto axioma concluyes que todos los elementos del conjunto poseen la propiedad. ¿Y esto para que se usa? Pues ya que la mayor parte de los lectores son informáticos supongo que alguna vez os habéis topado con un algoritmo recursivo^[2]. ¿A que se le parece? Pero no solo para algoritmos recursivos, hay MUCHAS demostraciones matemáticas que se hacen por inducción.

Bueno, ya tenemos construidos los números naturales, ahora queremos hacer cosas con ellos. Pero para hacer cosas con ellos primero vamos a necesitar un poco de teoría de conjuntos para hablar de aplicaciones entre conjuntos. Y eso mejor lo dejamos para la próxima entrada.

Y para terminar, el resumen habitual.

Hemos supuesto que existe un elemento, hemos dado una suerte de forma de ordenar los elementos y de compararlos y con ello hemos construido los números naturales. En medio hemos tenido que hablar de la inducción.

NOTA: en la entrada hay una pequeña trampa. Un gallifante a quien la descubra.

1. http://es.wikipedia.org/wiki/Postulados_de_Peano
2. http://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmo_recursivo

Se conocen textos matemáticos que datan del 3000 A.C.^[1][2], principalmente egipcios y babilónicos. Estos textos tratan simplemente de cómo resolver problemas. Son compendios que probablemente memorizaban los aspirantes a escribas o funcionarios y que venían a ser una especie de “receta”. En el lenguaje actual básicamente tratan de resolver sistemas de ecuaciones con dos incógnicas y hasta grado 2. Vamos, cosas del estilo:

Ojo, esto es en notación moderna (donde “moderna” significa del siglo XIX en adelante). Para un babilónico, un problema matemático diría algo así como (no es un problema equivalente al de arriba):

Si menganito se ha llevado una cantidad de cereal y fulanito otra cantidad proporcional de veces esa cantidad, ¿qué cantidad de cereal hay que comprar en el mercado para que haya la misma cantidad en el almacén?

Con su correspondiente método de solución en los mismos términos. Os podeis imaginar EL ROLLO que era aprenderse LIBROS enteros de esta forma.

No es hasta la época de los griegos que las cosas cambian. Se considera el primer texto matemático propiamente a “Los elementos” de Euclides^[3]. Se trata de un compendio de todo el saber griego sobre geometría hasta la época. La pregunta es ¿por qué es tan importante? Pues porque es el primer texto axiomático-deductivo que conocemos^[4].

Bueno, ¿y de que va todo esto de sistema axiomático-deductivo?. Pues el asunto es el siguiente:

• Partimos de una serie de “Verdades universales” que se toman porque sí. A este tipo de nociones se la llama axiomas y hay que tratar de huir de ellos como de la peste (si sigo escribiendo habrá una serie sobre los axiomas y las barbaridades que se pueden demostrar con ellos). Por decirlo de alguna manera simple, los axiomas suelen ser las reglas del juego de los matemáticos.
• Luego se realizan una serie de “definiciones” que son los objetos sobre los que usaremos los axiomas. Vamos, las piezas con las que vamos a jugar.
• Y finalmente tenemos “Teoremas” (o Proposiciones o Lemas o Corolarios, según la “entidad” del resultado) que son afirmaciones sobre los objetos. Ojo, que se tiene que demostrar usando los axiomas u otros teoremas que hayamos demostrado anteriormente. Por decirlo de alguna forma, son “otras reglas de juego” que se derivan de las primeras.

Mucho ojo, tiene que quedar clarísimo:

• Axiomas = verdades porque sí que no se demuestran.
• Teoremas = verdades que se demuestran a partir de los axiomas y otros teoremas.

Esto es importante porque un teorema puede ser CIERTO con unos axiomas y FALSO con otro conjunto de axiomas distinto. Así que ¡mucho ojo con lo que se supone cierto!

La finalidad de un texto matemático es introducir un objeto y demostrar unos teoremas sobre ese objeto (y en el 99,9% de los casos todo este rollo se suele hacer para resolver una ecuación de algún tipo).

No voy a entrar en métodos de demostración por ahora (quizás en una futura serie hable de los más importantes) pero si quiero hablar un poco más sobre la estructura de un teorema. Un teorema está formado SIEMPRE por unas serie de “hipótesis” y una serie de “tesis”. Veamos el ejemplo clásico que me enseñaron a mí.

Si llueve el suelo de la carretera está mojado

Aquí tenemos:

• Objetos: carretera, lluvia.
• Característica: mojado

Nuestra hipótesis es que llueva y nuestra tesis es que la carretera se moja. ¿Lógico, no?. Normalmente esto se escribe:

que se lee

llover implica carretera mojada

Ahora bien, ¿podríamos afirmar lo siguiente?

O con palabras:

Si la carretera esta mojada es porque ha llovido

Piénsalo un momento… Ha podido pasar uno de esos camiones limpiadores, o se ha podido romper una tubería, o vete tu a saber. Luego ese teorema ES FALSO. Por lo general NO SE LE PUEDE DAR LA VUELTA A LA FLECHA. Esto es MUY importante y es la causa del 70% de los suspensos de matemáticas y el 50% de las burradas que se leen en los artículos científicos (el otro 50% son cuestiones estadísticas SIMILARES a ésta).

Ahora bien, lo que SÍ se puede decir es:

Que en palabras sería:

Si la carretera NO está mojada, es que NO ha llovido

A esto se le denomina el contrarrecíproco de un teorema y probablemente lo usemos alguna vez.

Y ahora para terminar vamos a hablar del concepto de equivalencia o doble implicación. Hay muchos tipos de equivalencia (y de hecho trataremos varios a lo largo de la serie) pero hoy voy a hablar de la equivalencia entre hipótesis y tesis. Si podemos llegar a demostrar lo siguiente:

A implica B

B implica A

Tenemos que podemos sustituir A por B en cualquier sitio pues son equivalentes (siempre que se de A se da B y viceversa). Esto se suele escribir:

y se lee

A si y sólo si B

Y hasta aquí la entrada de hoy, pero antes un resumen:

• Hablamos de textos históricos
• Luego del sistema axiomático-deductivo
• Y finalmente cómo están escritos los teoremas

En la próxima entrada hablaremos de los números naturales y de como construirlos “informalmente” a partir “LITERALMENTE” de la nada.

1. http://ciencia.astroseti.org/matematicas/articulo_3625_una_vista_conjunto_las_matematicas_babilonias.htm
2. http://www.sectormatematica.cl/historia.htm
3. http://es.wikipedia.org/wiki/Elementos_de_Euclides
4. http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_axiomático