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De la Lógica a la Relatividad: Introducción a la lógica




Tras la introducción, en esta entrada pretendo explicar lo que supongo es la clase estándar del primer día de carrera de cualquier facultad de matemáticas… No pongáis esa cara de terror, que ya veréis que no va a ser tan traumático. Empezaremos con un poco de historia.

Se conocen textos matemáticos que datan del 3000 A.C.[1][2], principalmente egipcios y babilónicos. Estos textos tratan simplemente de cómo resolver problemas. Son compendios que probablemente memorizaban los aspirantes a escribas o funcionarios y que venían a ser una especie de “receta”. En el lenguaje actual básicamente tratan de resolver sistemas de ecuaciones con dos incógnicas y hasta grado 2. Vamos, cosas del estilo:

x+y=2 \quad 3x+5y^2=0

Ojo, esto es en notación moderna (donde “moderna” significa del siglo XIX en adelante). Para un babilónico, un problema matemático diría algo así como (no es un problema equivalente al de arriba):

Si menganito se ha llevado una cantidad de cereal y fulanito otra cantidad proporcional de veces esa cantidad, ¿qué cantidad de cereal hay que comprar en el mercado para que haya la misma cantidad en el almacén?

Con su correspondiente método de solución en los mismos términos. Os podeis imaginar EL ROLLO que era aprenderse LIBROS enteros de esta forma.

No es hasta la época de los griegos que las cosas cambian. Se considera el primer texto matemático propiamente a “Los elementos” de Euclides[3]. Se trata de un compendio de todo el saber griego sobre geometría hasta la época. La pregunta es ¿por qué es tan importante? Pues porque es el primer texto axiomático-deductivo que conocemos[4].

Bueno, ¿y de que va todo esto de sistema axiomático-deductivo?. Pues el asunto es el siguiente:

  • Partimos de una serie de “Verdades universales” que se toman porque sí. A este tipo de nociones se la llama axiomas y hay que tratar de huir de ellos como de la peste (si sigo escribiendo habrá una serie sobre los axiomas y las barbaridades que se pueden demostrar con ellos). Por decirlo de alguna manera simple, los axiomas suelen ser las reglas del juego de los matemáticos.
  • Luego se realizan una serie de “definiciones” que son los objetos sobre los que usaremos los axiomas. Vamos, las piezas con las que vamos a jugar.
  • Y finalmente tenemos “Teoremas” (o Proposiciones o Lemas o Corolarios, según la “entidad” del resultado) que son afirmaciones sobre los objetos. Ojo, que se tiene que demostrar usando los axiomas u otros teoremas que hayamos demostrado anteriormente. Por decirlo de alguna forma, son “otras reglas de juego” que se derivan de las primeras.

Mucho ojo, tiene que quedar clarísimo:

  • Axiomas = verdades porque sí que no se demuestran.
  • Teoremas = verdades que se demuestran a partir de los axiomas y otros teoremas.

Esto es importante porque un teorema puede ser CIERTO con unos axiomas y FALSO con otro conjunto de axiomas distinto. Así que ¡mucho ojo con lo que se supone cierto!

La finalidad de un texto matemático es introducir un objeto y demostrar unos teoremas sobre ese objeto (y en el 99,9% de los casos todo este rollo se suele hacer para resolver una ecuación de algún tipo).

No voy a entrar en métodos de demostración por ahora (quizás en una futura serie hable de los más importantes) pero si quiero hablar un poco más sobre la estructura de un teorema. Un teorema está formado SIEMPRE por unas serie de “hipótesis” y una serie de “tesis”. Veamos el ejemplo clásico que me enseñaron a mí.

Si llueve el suelo de la carretera está mojado

Aquí tenemos:

  • Objetos: carretera, lluvia.
  • Característica: mojado

Nuestra hipótesis es que llueva y nuestra tesis es que la carretera se moja. ¿Lógico, no?. Normalmente esto se escribe:

 llover \Longrightarrow carretera \ mojada

que se lee

llover implica carretera mojada

Ahora bien, ¿podríamos afirmar lo siguiente?

 carretera \ mojada \Longrightarrow llover

O con palabras:

Si la carretera esta mojada es porque ha llovido

Piénsalo un momento… Ha podido pasar uno de esos camiones limpiadores, o se ha podido romper una tubería, o vete tu a saber. Luego ese teorema ES FALSO. Por lo general NO SE LE PUEDE DAR LA VUELTA A LA FLECHA. Esto es MUY importante y es la causa del 70% de los suspensos de matemáticas y el 50% de las burradas que se leen en los artículos científicos (el otro 50% son cuestiones estadísticas SIMILARES a ésta).

Ahora bien, lo que SÍ se puede decir es:

 NO\ carretera\ mojada \Longrightarrow NO\ llover

Que en palabras sería:

Si la carretera NO está mojada, es que NO ha llovido

A esto se le denomina el contrarrecíproco de un teorema y probablemente lo usemos alguna vez.

Y ahora para terminar vamos a hablar del concepto de equivalencia o doble implicación. Hay muchos tipos de equivalencia (y de hecho trataremos varios a lo largo de la serie) pero hoy voy a hablar de la equivalencia entre hipótesis y tesis. Si podemos llegar a demostrar lo siguiente:

A implica B
B implica A

Tenemos que podemos sustituir A por B en cualquier sitio pues son equivalentes (siempre que se de A se da B y viceversa). Esto se suele escribir:

A \Longleftrightarrow B

y se lee

A si y sólo si B

Y hasta aquí la entrada de hoy, pero antes un resumen:

  • Hablamos de textos históricos
  • Luego del sistema axiomático-deductivo
  • Y finalmente cómo están escritos los teoremas

En la próxima entrada hablaremos de los números naturales y de como construirlos “informalmente” a partir “LITERALMENTE” de la nada.

  1. http://ciencia.astroseti.org/matematicas/articulo_3625_una_vista_conjunto_las_matematicas_babilonias.htm []
  2. http://www.sectormatematica.cl/historia.htm []
  3. http://es.wikipedia.org/wiki/Elementos_de_Euclides []
  4. http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_axiomático []

Sobre el autor:

cruzki (Cruz Enrique Borges Hernández)

Canario de nacimiento que por motivos de estudios se mudó a Santander para hacer el doctorado en la Universidad de Cantabria ahora se ha vuelto a mudar a Bilbao para trabajar como investigador en DeustoTech (Universidad de Deusto). Me gusta la divulgación científica y me he propuesto hacer divulgación del "lenguaje de las ciencias" o con el nombre que muchos odiais, matemáticas. Deseadme buena suerte.
 

{ 16 } Comentarios

  1. Gravatar Naeros | 25/08/2008 at 10:11 | Permalink

    xDDDDD Sí, recuerda a algunas clases que he tenido :D Yo pondría un ejemplo sencillito de axioma: 0 distinto de 1 Creo que es muy explicativo de lo que es un axioma ;)

  2. Gravatar Belerofot | 25/08/2008 at 11:07 | Permalink

    Yo esto lo di en filosofia. Bien explicado. Buen artículo.

  3. Gravatar Gencianal | 25/08/2008 at 01:44 | Permalink

    Bien, bien, es interesante saber que el “cariño” que algunos les profesamos a las matemáticas viene de muuuuuuy antiguo, de la época babilónica!!

    Ojalá hubiera tenido un profe de matemáticas que explicara las cosas así… Seguro que con clases de estas las matemáticas hasta me gustarían…

  4. Gravatar jipifeliz | 25/08/2008 at 02:38 | Permalink

    Cruzki, gracias, es un placer apreciar la belleza de las matemáticas, mucho mas cuando se explican con sentido.

  5. Gravatar Brigo | 25/08/2008 at 03:29 | Permalink

    Buen artículo, esto promete. :-)

    Por cierto creo que hay un error ortogŕafico ta que aquí:

    “Si menganito si ha llevado una cantidad de cereal ” debería ser “Si menganito se”, se en vez de si.

  6. Gravatar Pedro | 25/08/2008 at 04:16 | Permalink

    @ cruzki,

    Si quieres modificar el artículo puedes hacerlo desde esta misma página (haciendo click en “Edit this entry”) o en el panel de administración, “Administrar -> Entradas”)

  7. Gravatar cruzki | 25/08/2008 at 05:34 | Permalink

    Me alegro que haya gustado. Hay otro ya mandado a moderar y ya tengo pensado los siguientes. Aunque luego habrá un pequeño parón por “fin de vacaciones + mudanza” :P

    @Naeros

    Ese axioma NO es necesario en este contexto. Aunque en otros SI. De hecho en este contexto habría que definir primero que es el objeto 0.

    Probablemente en algún momento hable de estructuras algebraicas y uno de los axiomas que hay que tomar es que 1 es distinto de 0 para que tus objetos no degeneren. OJO, la teoría sigue siendo válida, solo que hay permites casos un poco absurdos. Ahora bien, cuidado cuando escribimos 1, o 0. En estos casos no nos estamos refiriendo “al número 1″ (igual para el cero) sino a un elemento MUY importante de una estructura algebraica (ese 1 puede ser una matriz, una función, o una margarita :P ) Más adelante hablaremos de ellos.

  8. Gravatar Naeros | 25/08/2008 at 09:26 | Permalink

    Ya, ese tipo de cosas las vi en álgebra en primero :P

    Yo lo decía porque como ejemplo de lo que es un axioma es bastante aclaratorio dentro de la filosofía de ElTamiz, a mi entender. Lo mismo que el ejemplo de la lluvia, lo que pasa es que encontrar un axioma a nivel cualitativo me resulta más difícil ;)

  9. Gravatar Pedro | 26/08/2008 at 12:13 | Permalink

    @ cruzki,

    Enhorabuena, ¡has conseguido una buena sarta de meneos! Parece que a la gente le mola la lógica jevi métal ;)

  10. Gravatar cruzki | 26/08/2008 at 12:44 | Permalink

    @Pedro

    Pos si gusta la lógica hevi métal, entonces voy a hacer lo que tenía pensado “sin rodeos” :P Tenía mis dudas de como seguir la serie porque a partir de ahora iba a “seguir” el temario de un curso estándar de álgebra (con alguna incursión en la topología) que me estaba acojonando :S

    @Naeros

    ¿Quieres axiomas a nivel cualitativo? Empiezo: La lluvia moja. El cielo es azul igual que arcoiris tiene 7 colores y 3 son los colores primarios. El patrón de medida mide un metro (idem para las demás magnitudes). Las letras del alfabeto español son 27 y son: a,b,c,…

    En general, cualquier cosa que sea un estándar es un axioma. Practicamente se puede decir que nuestro lenguaje es un axioma (yo lo llamo axioma del diccionario :P de esto hablaré en la siguiente entrada). Otra forma de verloes: si haces la pregunta ¿por qué? y la respuesta es: porque sí (en el sentido de que siempre ha sido así o porque se toma así por defecto) entonces con alta probabilidad te has topado con un axioma.

  11. Gravatar Naeros | 26/08/2008 at 04:16 | Permalink

    No había caído en esos ejemplos tan simples. Supongo que mi binarismo del 0 y el 1 me estaba cegando :D

  12. Gravatar Pedro | 27/08/2008 at 11:52 | Permalink

    Pues al final has llegado a la portada de menéame, enhorabuena de nuevo :)

  13. Gravatar Piluky | 27/08/2008 at 12:26 | Permalink

    ¡Gran post! Vengo desde meneame.net, y soy una filósofa rara a la que le encanta la lógica (en todas sus variantes) y la filosofía de las matemáticas. Sé que no es mucho, pero acabas de conseguir otra lectora. Estoy deseando leer tu próximo post sobre axiomatización. Un cordial saludo.

  14. Gravatar Peaso | 28/08/2008 at 12:28 | Permalink

    Buen inicio. Me ha gustado especialmente la introducción histórica. Me la apunto! ;-)

  15. Gravatar Darkhawk665 | 28/08/2008 at 03:51 | Permalink

    Excelente introduccion a la logica formal y proposicional, me gustaria que tambien incluyeras conjunciones y disyunciones, especialmente excelente metodo de explicacion de un Tollendo Tolens y la implicacion unidireccional.

  16. Gravatar Venger | 22/10/2012 at 08:39 | Permalink

    Creo que aquí hay algo que no va bien, porque dices que en la próxima entrada hablaremos de los números y esa entrada no está en el índice de la introducción o al menos está más adelante, pero también haces referencia más adelante.

    Y enhorabuena, por tu forma de escribir

{ 1 } Trackback

  1. Gravatar meneame.net | 26/08/2008 at 09:03 | Permalink

    Introducción a la lógica…

    Se considera el primer texto matemático propiamente a Los elementos de Euclides. Se trata de un compendio de todo el saber griego sobre geometría hasta la época. La pregunta es ¿por qué es tan importante? Pues porque es el primer texto axiomático-deduc…

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