La semana pasada iniciamos nuestra discusión sobre el concepto matemático de infinito en la geometría y las series infinitas de operaciones. Hoy sin embargo, hablaremos de algo mucho más profundo y, en algunos aspectos, bastante contrario a la intuición, todo de la mano del incomparable Georg Cantor. ¿Preparado?
La aproximación de Cantor al infinito no fue a través de la geometría, como en el caso de Arquímedes, ni del cálculo infinitesimal de Newton y compañía, sino a través de la teoría de conjuntos. Antes de Cantor, la teoría de conjuntos era algo bastante primitivo, considerado en general como algo muy básico. Sí, había algunos flecos que eran bastante raros; en particular, los conjuntos de infinitos elementos, como los números naturales, suponían pegas. Ya vimos en el artículo anterior la de Galileo y su paradoja, en la que una parte de los naturales se correspondía con el todo, pero al mismo tiempo era menor que el todo, y eso se consideraba algo imposible. La solución hasta Cantor había sido la “fácil”, claro: no se puede comprender el infinito, la paradoja de Galileo muestra que no podemos aplicar la lógica a cosas tan raras… estos no son los droides que estás buscando.
Georg Cantor (1845-1918).
El principal problema que surge al considerar conjuntos infinitos, como le sucedía a Galileo, es que es imposible comparar sus tamaños contando elementos, ya que no puede alcanzarse a contarlos todos: de ahí que muchos considerasen que eran “infinitos” y punto final. Sin embargo, Cantor introduce un método de comparar tamaños de conjuntos –o cardinales de conjuntos, en términos de Cantor– que permite hacerlo de igual manera para conjuntos con un número finito o infinito de elementos. De acuerdo con Cantor –pero sin usar lenguaje matemático–, dos conjuntos son del mismo tamaño cuando es posible definir una relación de uno a uno entre ambos en la que ningún elemento se quede “sin pareja”.
La idea tras el razonamiento de Cantor es la siguiente: independientemente de que podamos contar los elementos en dos conjuntos o no podamos, si uno de ellos tiene más elementos que otro –mayor cardinal que el otro–, entonces no puede haber ninguna manera de hacer una relación de uno a uno entre ambos, sino que cualquier relación sistemática que podamos tratar de encontrar siempre dejará elementos “sueltos” en el conjunto más grande, mientras que si encontramos una relación que establezca parejas de modo que todos los elementos estén emparejados en ambos conjuntos, eso significará que ambos son igual de grandes.
Esto se comprende bien con un ejemplo sencillo. Por ejemplo, supongamos que tenemos dos conjuntos, A = {1, 2, 3} y B = {4, 5, 6}. Si queremos saber si ambos son igual de grandes –aunque sea una tontería–, hay dos maneras de hacerlo. La manera clásica es simplemente contar: A tiene tres elementos y B tiene tres elementos, luego ambos conjuntos son del mismo tamaño. De perogrullo, ¿no? Hagámoslo ahora a la Cantor.
¿Podemos idear una regla que relacione cada elemento de A con cada elemento de B sin que ningún elemento se quede sin pareja en ninguno de los dos conjuntos? Sí, sin problemas. Basta con hacer algo así: a cada elemento x del conjunto A le sumamos 3, y así obtenemos su pareja en B (y para cada uno de B hacemos lo contrario, restar 3, para obtener su pareja en A). Así, el 2 se corresponde con 2+3 = 5, el 3 con 3+3 = 6, etc. De este modo existe una relación “de uno a uno” entre ambos conjuntos, lo que significa que son igual de grandes.
Evidentemente, la manera clásica es muchísimo más simple que la de Cantor de establecer relaciones entre ellos. ¿Por qué iba nadie a complicarse la vida y hacerlo así, en vez de simplemente contar? Pues sí, imagino que ya lo has adivinado — porque la de Cantor es una manera de una elegancia pasmosa para hacer lo mismo cuando no se puede contar. Una vez más, veámoslo con un ejemplo.
Supongamos que tenemos dos conjuntos infinitos; A = {1, 2, 3, 4, …}, donde una vez más los puntos suspensivos significan “y así para siempre”, con lo que A es el conjunto de todos los números naturales. Y pongamos que tenemos otro conjunto, B = {11, 12, 13, 14, …}, es decir, todos los números del once para arriba. ¿Cuál de los dos es más grande? ¿O son iguales? Son preguntas que no se pueden responder contando, claro está… pero, ¿y al modo de Cantor?
Si comprendiste el ejemplo anterior, verás que –aunque la intuición se queja, al menos en mi caso– ambos conjuntos tienen el mismo cardinal. Basta con decir que a cada elemento de A le sumamos 10 y tenemos su pareja en B (y lo contrario al revés). Dicho de otro modo — supongamos que tú afirmas que, “evidentemente”, A es más grande que B, ¡pues tiene todos los elementos de B y además tiene los números del 1 al 10 que B no tiene! Si tienes razón, deberías ser capaz de encontrar elementos en A que no tienen pareja en B… ¿pero qué elementos son esos? Si me dices que el 6, te diré que su pareja es el 16. Si me dices que el 2, te diré que su pareja es el 12. Y si me dices que para hacer esto estoy “desplazando” los números diez posiciones, con lo que “se me acabarán” las posiciones hacia el infinito al establecer la relación, te diré que no se me puede “acabar” nada… porque no hay límite de tamaño para los números. Si no lo has leído, tal vez te sea útil echar un vistazo al artículo sobre el Gran Hotel de Hilbert, en el que hablamos precisamente de esto.
Observa que este argumento resuelve así, de un plumazo, la paradoja de Galileo. Si nos fijamos en los números naturales {1, 2, 3, 4, …} y en los cuadrados de los números naturales {1, 4, 9, 16, …}, podemos utilizar el método de Cantor para comparar sus cardinales. Basta con olvidar por un momento eso de que “en el primer conjunto hay elementos que en el segundo no hay…”. Establezcamos una relación de uno a uno, para emparejar a todos. Esta vez no podemos sumar y restar como antes, pero tampoco hay que darle muchas vueltas a la cabeza por la propia definición de ambos conjuntos: a cada elemento del primero le corresponde en el segundo, como pareja, su cuadrado, y a cada elemento del segundo le corresponde, por lo tanto, la raíz cuadrada como pareja. Así, tenemos que 1 va con 1, 2 con 4, 3 con 9, etc. No hay ninguno que se quede solo en ninguno de los dos conjuntos, luego ambos tienen el mismo cardinal –dicho en cristiano, que me perdonen los matemáticos, son igual de grandes–.
No puedo evitar dar otro ejemplo más: los números enteros, es decir, positivos, negativos y el cero. A primera vista resulta completamente evidente –al menos, a mí– que hay muchos más enteros que naturales: al fin y al cabo, los naturales son sólo {1, 2, 3, 4, …} mientras que los enteros son todos los naturales y además {0, -1, -2, -3, -4, …}. Los enteros son, por así decirlo, “el doble de los naturales más uno”. Por lo tanto, parece imposible establecer una relación de pareja de uno a uno entre ellos… pero resulta que sí es posible. Basta con hacer lo siguiente:
Como puedes ver, todos los conjuntos infinitos que hemos visto en estos ejemplos tienen el mismo cardinal, que es el de los números naturales. De hecho, el “truco”, si se puede llamar así, es que siempre que puedas establecer alguna regla que ordene un conjunto de un modo sistemático, basta con poner en relación el primer elemento del conjunto ordenado con el número 1, el segundo con el 2, el tercero con el 3, y de ese modo demostrar que el cardinal de tu conjunto es idéntico al de los naturales.
De modo que Cantor se preguntó entonces si todos los conjuntos infinitos son “igual de grandes” que los números naturales o, dicho de otro modo, si existen diferentes grados de infinito o no. Se trata de algo parecido a lo que hicieron los jainistas unos milenios antes, pero en el caso de Cantor, de un modo sistemático y riguroso. El alemán se plantea un caso concreto: los números racionales, es decir, las fracciones de enteros, como 1/2, 276/452356 o 45245236/1. Una vez más, parece clarísimo que hay muchísimos más racionales que naturales, pero ¿es realmente así? ¿Es posible ordenar todas las posibles fracciones, de modo que podamos poner cada una en relación con la posición que ocupa, es decir, un número natural?
Aquí es donde, en mi opinión, el genio de Cantor brilla como una linterna… El alemán empieza por colocar todos los números racionales en una tabla, ya que todos ellos son, al fin y al cabo, parejas de enteros, uno en el numerador y otro en el denominador. Él lo hace con los racionales positivos pero, una vez más, ampliar a los negativos no supone ningún problema. Cantor los coloca de modo que cada fila tiene un mismo número natural en el numerador, y cada columna un mismo número en el denominador:
Puedes ver que, así, tenemos absolutamente todas las fracciones positivas; es más, algunas están repetidas, ya que 1/1 es lo mismo que 2/2, 3/3…, y algo parecido pasa con 1/2 y 2/4, 3/6, etc. Ahora bien, ¿podemos ordenar de modo sistemático estos números? La respuesta es que sí. Observa que la tabla se extiende infinitamente, pero empezamos en la esquina superior izquierda, y podemos ir recorriendo la tabla entera así:
Se ve mejor en este otro diagrama, más completo y en el que se muestran en rojo los números racionales repetidos que nos podemos saltar al ordenar:
Cronholm144/CC 3.0 Attribution-Sharealike License.
El conjunto de los racionales puede ordenarse, por tanto, como {1, 2, 1/2, 1/3, 3, 4, 3/2, 2/3, 1/4, …}. Y por lo tanto podemos establecer una relación de uno a uno con {1, 2, 3, 4, …}, de modo que cada número racional se corresponde con su orden en la lista de arriba. ¡Ay, lo que parecía un “infinito más grande” ha resultado ser, simplemente, el mismo de siempre! Pero Cantor no se detuvo ahí, por supuesto. Más allá de los racionales están los números reales, que incluyen cosas como el número pi o el número e, la raíz cuadrada de 2, y todos los demás números que tienen infinitas cifras decimales que no se repiten, y no pueden expresarse como fracciones de enteros. ¿Se trata de un conjunto más grande, o es una vez más “igual de infinito” que los anteriores?
No voy a dar aquí el primer argumento de Cantor de 1874, sino uno posterior de 1891 que es más bonito y fácil de entender (el llamado “argumento diagonal”), aunque sean equivalentes. Cantor intenta demostrar que existen conjuntos –como el de los números reales– que no sólo tienen cardinal infinito, sino que es mayor que el de los números naturales. Dicho de otro modo, existen conjuntos que no pueden ordenarse para ser contados poniéndolos en relación con los naturales: conjuntos incontables, en contraposición a conjuntos contables, como los racionales, aunque sean infinitos.
¿Podré expresar aquí la genialidad del alemán, que deja su logro anterior con los racionales como algo burdo en comparación? No, no podré, pero tengo que intentarlo, porque se me ponen los pelos de punta cada vez que lo veo. Cantor razona del siguiente modo: supongamos que los números reales sí pueden ser ordenados para ser contados, por el sistema que sea –es irrelevante–. Imaginemos que tenemos los infinitos números reales entre el 0 y el 1 ordenados en esa lista, por ejemplo (me invento los números, claro):
Fíjate que ni nos planteamos cómo hemos obtenido algo tan maravilloso como una lista ordenada de todos los números reales entre cero y uno, porque nos da igual: vamos a demostrar que nuestra lista ordenada no puede existir. Pero, por ahora, supongamos que hemos logrado esta maravilla: nuestra lista contiene absolutamente todos los infinitos números reales entre 0 y 1, y están perfectamente ordenados, con lo que su cardinal –de poderse ordenar así– es el de los números naturales. Pero aquí Cantor alza la ceja: “Sólo hay un problema”, susurra con malicia. “Esa lista no contiene todos los números reales… yo conozco uno que no está ahí.”
“Construyamos un número real”, dice el de San Petersburgo. Su primera cifra decimal es la primera cifra decimal del primer número de la lista, su segunda cifra decimal la del segundo número de la lista, la tercera es la tercera cifra decimal del tercer número, etc. En el dibujo de arriba, nuestro número sería el 0,181201… y tiene infinitas cifras decimales, ya que nuestra lista ordenada contiene infinitos números. Como puedes comprobar, nuestro número inventado coincide en una cifra decimal, al menos, con cada número de la lista (la primera con el primero, la segunda con el segundo, la tercera con el tercero, etc.). Desde luego, es incluso posible que coincida en todas sus cifras decimales con alguno de la lista, y de hecho esto sucederá necesariamente si, como afirmamos al principio, nuestra lista contiene todos los números reales entre 0 y 1. “Pero hagamos sólo una cosa más” , sugiere Cantor.
“Sumemos uno a cada cifra decimal del número inventado, de modo que el 1 se convierta en 2, el 2 en 3…, y el 9 en 0″. Nuestro número anterior será ahora, por tanto, 0,292312…, lo cual puede parecer poco interesante. Pero detengámonos a pensar un momento: antes, la primera cifra coincidía con la primera del primer elemento de la lista, pero como le hemos sumado uno, acabamos de garantizar que nuestro número no coincide con el primero de la lista, pues esa cifra decimal ya no coincide. Y lo mismo pasa con el segundo elemento: nuestro número no es ése, pues al menos en la segunda cifra decimal no coinciden. Y eso mismo pasa con absolutamente todos los elementos de la lista. Nuestro número es distinto de todos y cada uno de ellos al menos en una cifra decimal, porque así lo hemos construido — nuestro número no está en la lista.
¡Pero eso es imposible! Habíamos dicho que la lista contenía todos y cada uno de los infinitos números reales entre 0 y 1… lo cual, evidentemente, era mentira. Pero observa dónde está el quid de la cuestión: sólo hemos podido conseguir este número “fuera de la lista” porque la lista estaba ordenada, de modo que pudimos crear una regla para construir nuestro número diferente de todos los demás. Dicho de otra manera: los números reales no pueden ordenarse de ninguna manera y, por tanto, no pueden contarse utilizando los naturales. Su cardinal es infinito, pero “más infinito” que el de los naturales: es un infinito incontable.
Podríamos decir que el infinito de los naturales es un “infinito discreto”, y por esa razón contable, como una escalera con infinidad de escalones, mientras que el infinito de los reales es un “infinito continuo” y por tanto incontable, como los puntos en una recta. El “infinito continuo” es, de acuerdo con la demostración de Cantor, mayor que el “infinito discreto” de los naturales, y la profundidad de este hecho es, como digo, algo que no puedo expresar adecuadamente aquí.
De modo que, como con los jainistas, ya no era posible decir simplemente infinito como contraposición a finito: no era algo borroso y sin distinción como el apeiron, sino que existían diversos grados, no finitos, pero unos mayores que otros y que era posible ordenar. Cantor denominó a estos números más allá de los finitos números transfinitos; el más pequeño de todos ellos, el cardinal de los números naturales, fue llamado álef cero o aleph cero (ℵ0) por la letra hebrea álef (ℵ), equivalente al alfa griega. Así, el cardinal de los números naturales y todos los otros conjuntos que hemos visto son del mismo tamaño que él es ℵ0. Cantor puso el subíndice 0 para así denotar otros transfinitos mayores: el siguiente transfinito mayor que ℵ0 sería ℵ1, luego ℵ2, etc. Y así, hasta… bueno, sí, hasta el infinito.
Claro está, el número ℵ0 no es un número al que se apliquen las mismas reglas que a los números finitos. Por ejemplo, hemos visto que ℵ0 + 10 = ℵ0 en uno de nuestros ejemplos, que 2ℵ0 + 1 = ℵ0 en otro>… Así, si uno fuese friki, pero friki de verdad, podría cantar una canción como
ℵ0 elefantes
se balanceaban
sobre la tela de una araña,
como veían
que no se caían
fueron a llamar a otro elefante.
ℵ0 elefantes
se balanceaban…
y así, ad infinitum, nunca mejor dicho. Pero claro, los números reales no son ℵ0, sino que son más. Esto quiere decir que, si llamamos c al cardinal de los números reales –es decir, al “infinito continuo”–, c > ℵ0. La siguiente pregunta, entonces, es: si el infinito continuo es mayor que el discreto, ¿hay algún otro número transfinito entre ellos? Cantor era de la opinión de que no había ninguno: un conjunto de cardinal transfinito podía tener ℵ0 elementos o c elementos, pero nada entre medias –también podía tener, tal vez, más de c elementos, pero eso no es lo importante ahora–. Dicho de otro modo, Cantor sospechaba que c = ℵ1, es decir, el siguiente transfinito después de ℵ0.
Esta hipótesis de que no hay nada entre ℵ0 y c recibe el nombre de hipótesis del continuo, e incluso el incomparable Georg Cantor fue incapaz de demostrarla: era sólo una intuición. Gente de la talla de Kurt Gödel o Paul Cohen dedicaron sus mentes al problema tiempo después de la muerte de Cantor; Gödel, por ejemplo, demostró que con la teoría de conjuntos de la época no podía demostrarse que la hipótesis fuera falsa, mientras que Cohen demostró que con la teoría de conjuntos de la época no podía demostrarse que la hipótesis fuera verdadera, ¡toma castaña! De hecho, la hipótesis del continuo sigue siendo hoy en día un asunto controvertido y la cosa no está nada clara.
Existía además otra pregunta: suponiendo que, efectivamente, ℵ1 era el cardinal del continuo y el siguiente “escalón transfinito” después de ℵ0, ¿qué pasaba más allá? Cantor se preguntó si, del mismo modo que los puntos de una recta eran más –”transfinitamente hablando”– que los números naturales, los puntos de un plano eran más que los de una recta. Dicho de otro modo, si un infinito continuo de dos dimensiones es mayor que el de una dimensión. Ya vimos al principio del artículo que algunos matemáticos jainistas eran precisamente de esa opinión, y distinguían el “infinito de una dimensión” del de dos dimensiones, éste del de tres, etc. Cuando nuestro buen alemán se hizo la pregunta alrededor de 1874, sospechaba que la cosa era, efectivamente, así: al fin y al cabo, resulta evidente que hay infinitamente más puntos en un plano que en una recta.
Cantor se pasó casi toda la luna de miel pensando en esto –imagino que en las pausas que le permitiesen otras actividades incluso más placenteras– y discutiendo el asunto por carta con su amigo Richard Dedekind, también matemático. La luna de miel terminó, pero la respuesta seguía sin llegar, y tardó algunos años más; por fin, en 1878, el alemán obtuvo la solución al problema utilizando una vez más su bellísimo, elegante, maravilloso razonamiento del “emparejamiento” de elementos de ambos conjuntos uno a uno. Y la respuesta era justo la contraria a la que había sospechado.
Tomemos, por ejemplo, un cuadrado de lado 1. Los puntos de uno de sus lados son todos los números reales entre el 0 y el 1, que son tantos como todos los números reales, es decir, c –y, de acuerdo con la hipótesis del continuo, ℵ1, pero eso da igual ahora–. Si tomamos un punto cualquiera de la superficie del cuadrado, ese punto tiene dos coordenadas, x e y que, a su vez, son números reales entre el 0 y el 1. Por lo tanto, hay c puntos en el lado del cuadrado, pero hay c x c, es decir, c2 puntos en el cuadrado entero, que parecen ser muchos más… y sin embargo podemos emparejar cada uno de esos puntos del cuadrado con exactamente un punto del lado.
Para hacerlo, pensemos en un punto concreto del cuadrado, de coordenadas 0.598164761… (con infinitos decimales sin repetición, para hacerlo más difícil), y 0.214828299…:
Podemos asignar a ese punto un punto único del lado alternando los decimales: cogiendo el primer decimal de la coordenada x, el primero de la coordenada y, el segundo de la x, el segundo de la y, y el resultado será un número único del lado del cuadrado, en este caso 0.529184186248726919… Y al hacer esto ni un solo punto del cuadrado se quedará sin pareja en el lado: no hay más puntos en el cuadrado que en el lado, por más raro que esto resulte:
Tan raro es, tan contrario a la intuición, que en una carta a Dedekind, tras obtener el resultado, el propio Cantor dijo:
¡Lo veo, pero no lo creo!
La conclusión inmediata, por lo tanto, es que el infinito de dos dimensiones tiene el mismo cardinal que el de una dimensión. Pero claro, podemos hacer lo mismo con un cubo de tres dimensiones, un hipervolumen de cuatro, de cinco o de doscientas dimensiones, simplemente alternando más decimales antes de pasar al siguiente decimal de cada coordenada: cualquier continuo con un número finito de dimensiones es exactamente igual de grande que un segmento de recta. Nuestro Universo, al fin y al cabo, no parece ya tan grande, ¿verdad?
Por si te lo estás preguntando, sí, existen conjuntos mayores que c, aunque son bastante raros. El conjunto de todas las funciones matemáticas entre los números reales y los números reales es uno de ellos (curiosamente, no lo es el conjunto de todas las funciones continuas), como también lo es el conjunto de todos los posibles subconjuntos de los números reales. Sí, sí… muy raros. Tan raros que podríamos decir que, para casi cualquier cosa que podamos imaginar, existen dos infinitos: ℵ0 y c –ℵ1 si Cantor tenía razón–.
Ni qué decir tiene que las ideas de Cantor recibieron críticas por todas partes, como hemos dicho antes. Parte del problema, como ha sucedido otras veces en esta serie, estaba en que para muchos, religión, ciencia y matemáticas estaban entrelazadas: “tocar” el infinito de esta manera, asignar propiedades determinadas a diversos infinitos en vez de considerar que había un único infinito, El Infinito, incognoscible, absoluto, era inaceptable, pues ponía en cuestión la propia idea de Dios. Cantor mantuvo una intensa correspondencia con varios teólogos cristianos, entre ellos el Cardenal Johannes Franzelin, que consideraba que los números transfinitos no eran sino una forma de politeísmo. Georg llegó incluso a enviar una misiva al Papa León XIII para defender sus ideas –aunque, afortunadamente para él, los tiempos habían cambiado desde Galileo y no corría peligro de ningún tipo debido a sus posiciones matemáticas, de modo que no las defendía para salvar su carrera ni mucho menos su vida–.
Antes de que te surja la tentación de pensar en Cantor como un mártir de las Matemáticas y el pensamiento racional frente a los prejuicios religiosos, él mismo estaba lejos de considerar la pregunta sobre el infinito matemático y el concepto de Dios como asuntos completamente distintos, ¡ni mucho menos! No, el alemán considera que su estudio de los números transfinitos es un acercamiento a Dios, y que sus descubrimientos sobre ellos han sido inspirados precisamente por el Creador.
En cualquier caso, las objeciones de sus contemporáneos no eran puramente religiosas: muchos matemáticos de la época no estaban de acuerdo con él, y algunos sentían emociones realmente intensas al respecto. Al igual que su amigo Dedekind admiraba profundamente las ideas de Cantor, otros, como Leopold Kronecker, las aborrecían. Kronecker calificó a Cantor de “charlatán”, “renegado” y “corruptor de la juventud” por tratar el infinito como un número con propiedades que pueden compararse con las de otros. Claro está, Kronecker era bastante clasicón en sus ideas matemáticas; parece que una vez afirmó algo así como “Dios creó los números enteros; el resto es invención del hombre”, con lo que imagínate lo que pensaba del infinito, no digamos ya de los infinitos diversos de Cantor.
Pienso, y no soy el único que lo hace, que es importante no introducir jamás ningún concepto que no pueda ser definido completamente con un número finito de palabras. Sea cual sea el remedio que se adopte, podemos asegurarnos la alegría del médico que es llamado para atender un bello caso patológico.
El “caso patológico” al que se refería Poincaré eran, claro está, los números transfinitos de Cantor, cuya teoría el matemático y físico francés tildó de “enfermedad” de la que las Matemáticas serían algún día curadas. Y, a diferencia de Kronecker, que era un matemático capaz pero, en mi humilde e ignorante opinión, un tanto cerrado de miras, Poincaré era un individuo de una inteligencia absolutamente excepcional. Pero hablando de Henri Poincaré…
Para saber más (esp/ing cuando es posible):
- Infinito / Inifinity
- Georg Cantor / Georg Cantor
- Hipótesis del continuo / Continuum hypothesis
- A glimpse of Cantor’s Paradise
The Infinito (II) by Pedro Gómez-Esteban, unless otherwise expressly stated, is licensed under a Creative Commons Attribution-Noncommercial-No Derivative Works 2.5 Spain License.
{ 70 } Comentarios
Genial Pedro, he disfrutado mucho de este doble artículo. Así como la biyección entre N, Z y Q y la no posible biyección entre N y R ya las conocía, desconocía el detalle de las dos dimensiones. Me ha encantado
La teoría de conjuntos es súper interesante, yo aprendí mucho de ella en topología, un hueso duro también jaja.
Saludos
La demostración de innumerabilidad de los reales está incompleta.
«que el 1 se convierta en 2, el 2 en 3…, y el 9 en 0» Supongo que el 0 se convierte 1 Pongamos que en la lista tienes el 1 0.1999999…. que es otra representación del 0.2 y por el proceso de construcción llegas al 0.20000000000….. que es el primer número de la lista
La elección indicada garantiza que las representaciones difieran pero no garantiza que difieran los números a los cuales representan. Es posible buscar ejemplos más complicados de lo mismo. Se puede evitar fácilmente este problema cambiando ligeramente la regla: «el 0 se convierte en 5, el 1 en 6 .., el 5 en 0, el 6 en 1…» Esto garantiza no solo que el número construido difiera de las representaciones sino también que la diferencia entre el número construído y cualquiera de la lista sea distinta de cero.
Excelente artículo, Pedro! Es fascinante como se puede “rodear” el concepto de infinito y definir algunas de sus propiedades pese a que el propio infinito haga rechinar tanto la mente.
Pero veo un problema con la equivalencia entre puntos del plano y recta:
Vamos a cojer los decimales impares de X y los pares de Y. Punto A (0,11111111…, 0,1212121212…) equivale a 0.12121212… Punto B (0,19191919…, 0,1212121212…) equivale a 0.12121212… Los puntos A y B corresponden al mismo punto en la recta, pese a ser diferentes puntos del plano. Luego existen más puntos del plano que en la recta, demostrando que Cantor se equivocaba (¿?)
Brillante. No soy capaz de describir con palabras la magnificencia de esta entrada, Si ya el infinito es un término complicado para los matemáticos, conseguir que los que no lo somos seamos capaz de entenderlo es… infinitamente complicado. Pero tú lo has conseguido.
Buenas. Gracias por este articulo, Pedro. Me pregunto… si todo el universo tiene un nro finito de dimensiones, ya sean espaciales o temporales, y a su vez, a cada cualidad existente le pudieramos asignar una dimensionalidad (algo así como la dimensionalidad de “temperatura” para cada punto del universo, o la de “blancura”, o cualquier otra cualidad que pudieramos considerar)…. Esa super mega base de datos multidimensional, en tanto fuera una base con un número finito de dimensiones… podría ser reducida a los nros reales comprendidos entre el 0 y el 1, es decir, a una línea ???? De ser así…. guau!!!!
Waw; siempre tuve la intuición de que algunos conjuntos infinitos eran más “densos” que otros, pero nunca supuse que las rectas fueran tan infinitas como los planos… Siempre creí que los planos serían más densos en cuestiones infinitas.
Pedro muy bueno articulo, me habia quedado con sabor a poco despues del primero, je! Un pequeno desliz: Cantor los coloca de modo que cada fila tiene un mismo número natural en el denominador, y cada columna un mismo número en el denominador:
Dice denominador dos veces y en las filas lo que se repite es el numerador, saludos!!
PD. Adhiro a la duda de Kent Mentolado, siendo asi ese mecanismo para emparejarlos no funcionaria, existe otro?
A la objeción de Kent Mentolado: está claro que Pedro se equivocó al describir el procedimiento. No es “cogiendo el primer decimal de la coordenada x, el segundo de la coordenada y, el tercero de la x, el cuarto de la y”, si no “cogiendo el primer decimal de la coordenada x, el primero de la coordenada y, el segundo de la x, el segundo de la y” Así es como se ve en el ejemplo del gráfico, que sí está bien.
¡Diagonalización! Creo que acabo de tener un orgasmo mental. La primera vez fue especial, por supuesto xD. Quizás para que se entienda mejor convendría colocar esa “enumeración” de números reales entre 0 y 1 en forma de matriz, marcando los dígitos de la diagonal de forma diferente, visualmente queda más claro. Así me lo explicaron a mí y así se puede ver aquí: http://es.wikipedia.org/wiki/Diagonalización_de_Cantor
Veo que Gödel ha sido nombrado, quizás sea mi matemático preferido. Sus teoremas de la incompletitud son una maravilla.
Por ser tiquismiquis, se te ha olvidado mencionar que los conjuntos de cardinalidad ℵ0 se llaman numerables y el resto son no numerables.
Creo que he corregido los dos errores (estoy en una conexión horrible y no puedo ni ver el artículo actualizado): “denominador” por “numerador” y el orden en la conversión de plano a recta.
¡Gracias! Y me alegro de que lo hayáis disfrutado… están siendo meses muy malos y no tengo tiempo de hacer las cosas tan bien como me gustaría.
Precisamente por el ejemplo del hotel de Hilbert siempre pensé que un cuadrado tenía más puntos que una recta. De hecho, cuando al hotel llegan infinitos autobuses con infinitos turistas cada uno, no bastan las habitaciones pares, pero sí bastan las habitaciones que no son cuadrados perfectos.
Otra duda que me queda del texto, ¿Cantor era alemán o ruso?
¡Ostras, ahora le toca el turno a la conjetura de Poincaré (espero)!
Bueno, al lío: cuando estás pintando los racionales, casi casi casi estás pintando coordenadas “naturales” (discretas). Solo que las separas con una barra “/” en lugar de con una coma “,”. Luego me parece intuitivo que si aceptas que los racionales tienen el mismo tamaño que los naturales, tienes que aceptar que el plano tiene el mismo tamaño que la recta. Sé que no es una demostración, pero es muy intuitivo. Por si eso ayuda a alguien.
Por otro lado, dices que un plano es aleph1 (o c), un cubo también, un hipercubo de 4 dimensiones también… un hipercubo de N dimensiones también… ¿y un hipercubo de infinitas dimensiones? ¿Es aleph1, aleph2 o qué es?
Ya tenemos relatividad sin fórmulas, cuántica sin fórmulas, mecánica sin fórmulas… ya solo falta “matemáticas sin fórmulas”.
Tratando de responderme, y a partir de la pregunta de J, que creo está mucho mejor formulada que la mía: Un hipercubo de infinitas dimensiones, debiera tener también cardinal aleph1 (o c). Como demostración me valgo del método utilizado por Drebhliditav en el articulo “El Gran hotel de Hilbert”, para albergar infinitos cruceros, con infinitas tropas, en el Rotnacgroeg con sus infinitos camarotes. Esto es, valarse de los nros primos para “acomodar” los elementos de cada dimensión, y así poder reducir todas las infinitas dimensiones a una sola. Por favor, si esto no fuera así, que alguien me corrija, pues las matemáticas no es lo mío.
Ay, que me desternillo, si hace cinco años me dicen que leería esto:
Esta frase es un regalo… gracias, gracias
Muy interesante y desde lego las demostraciones son impresionantes. Yo prefiero los infinitos operacionales, vamos, los que son numeros no conteos. Pero bueno, las teorias de limites son otras cosas. La unica cosa que me planteo en lo del plano es si consideramos las 4 esquinas el 1/0 tiene el mismo punto que el 1/1 y el 0/0, tendra el mismo punto que el 0/1 si cojes el 1, que si es por valores decimales el de los cuatro sera el 0, ¿asi que el plano tendria 2 o 3 puntos mas que la recta?
Siempre que veo esta demostración de la diagonal me sorprende que los números del lado derecho se pongan sin ningún orden, el tercero es mas pequeño que el segundo, el quinto mas pequeño que el cuarto. Pero el lado izquierdo si que esta ordenado. El truco esta también en que los números donde hay puntos suspensivos no son números, son una especie de dibujo que mezcla números y puntos suspensivos. Los números reales se pueden ordenar, los que pones como ejemplos se pueden ordenar de menor a mayor, así también cualquiera dos números reales llegan a un decimal que los diferencia, por lo tanto se pueden ordenar mutuamente y por lo tanto coordinar con los número naturales. Lo de Cantor es una tomadura de pelo monumental o como se dijo una vez: niebla en la niebla.
Puede que esté diciendo una somera estupidez (si es así me explicais por que
), pero en mi opinión si pueden ordenarse todos los números reales entre el 0 y el 1, no veo como extrapolarlo a absolutamente todos los números reales, no se si se podrá pero depende de que haya un método para encontrar una relación entre los reales entre 0 y 1 y los reales (todos).
Entiendo por ordenar ser capaz de dado un número de posición identificar univocamente el número real que se corresponda con el, y dado un numero real identificar univocamente su posición en la lista.
OK, supongamos un número real positivo cualquiera menos que 1, no puedo poner un número real con infinitas cifras decimales (por que no me cabe en la web… ni en internet, que coño), pero puedo representar la posición de cualquier número que me deis con cualquier cantidad de cifras decimales que me deis, osea, con la misma precisión que tenga el racional menor que 1 yo te lo numero):
0.87982476591346519874568435 por ejemplo.
Posición que ocupa:
53486547891584319567428978
Listo.
Basta con espejar el número con respecto al 0.
Teorema de Javi cuesta, si esto es útil para conseguir un novel que no me lo pise nadie.
No puedo hacer lo mismo con número mas grandes que 1 por que en los naturales no tengo decimales, pero si puedo hacerlo para cualquier número menor que 0 independientemente de las cifras que tenga.
Ahora me pongo en la piel, de la prueba que me proponeis para demostrar que mi lista numerada no contiene un número como el que propones para demostrar que no se puede numerar: elegir de la lista el valor decimal de la posición “X” donde “X” es el lugar que ocupa el número.
Ok, en mi lista ese numero es el: 0.1 (por que todos los valores para posiciones decimales siguientes son 0).
Sumo 1 a todos sus valores: 0.21111111111…. (ad infinitum).
La posición que ocupa es la: …..11111111111111112
Que es un número muy grande pero que estáreis de acuerdo conmigo en que está contenido en los naturales.
El argumento de que sus cifras son diferentes a todos los números de la lista dado que sus cifras decimales difieren con cada una de ellas “por fuerza” me parece que se desvanece en el hecho de que cualquier número calculado por ese método se encuentra en una posición no alcanzable en la lista mediante la suma de numeros enteros (es decir, contando) lo que implica que tiene infinitas cifras y por lo tanto ocupa la posición “infinito” aunque numerable y que por lo tanto el error se encuentra en la cifra de posición infinito, es decir, el número está en mi lista salvo por la posición infinito.
Como el error está en la cifra infinito y mi lista tiene todos los numeros de longitud infinita el número está (¿un poco raro no?).
Numerar todos los negativos entre el 0 y el 1 es tán facil como númerarlo antes entre reales menores que módulo 1 a los enteros y despues de los enteros a los naturales.
Si alguien conoce un método para demostrar que los reales entre el 0 y el 1 tienen relación univoca con los reales (todos) entonces ya tenemos todos los reales numerados.
La idea es ultra mega simple y no implica ninguna operación matemática sino el uso de la lógica pura, ya me de´cis donde está el error o el problema.
¡Un saludo!.
@Fermín Huerta Martín, una ordenación total no implica numerabilidad. Fíjate que para numerar los racionales hemos tenido que romper completamente su orden usual.
@javier, con esa construcción sólo estás numerando los números con expansión decimal finita, que son un subconjunto de los naturales. Puedes intentar buscar la posición de 1/pi o 1/sqrt(2) y mirar lo que pasa. Pasar de [0,1] a todos los reales es tan fácil como considerar la biyección tan(xpi-pi/2) http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+tan%28xpi-pi%2F2%29%2C+x%3D0..1
Un saludo,
@Fermin, yo no veo ningun truco en lo de los puntos suspensivos, simplemente es una forma de no escribir todos. Si vas siguiendo filas o columnas, el problema es que nunca los cogeras todos, por que si dices que primero van los de la primera fila y luego los de la segunda, nunca llegaras a la segunda, haciendo diagonales sigues un camino con el que recorres todos inequivocamente. En lo de los reales, el problema no es ordenarlos, en la demostracion se parte de que se han ordenado.
@Javier, desde luego lo que planteas es curioso, pero la cuestion no es si ese numero estan en los naturales o no, es si ese numero esta en tu lista o no. Esta claro que el ….1112 es un numero natural, ¿pero seguro que estaba en tu lista? No es cuestion de pelearse con los infinitos, simplemente aplicar la logica,¿1=0? Tenemos los infinitos numeros naturales, pero para obtener ese obviamente tenemos que ir mas alla, por lo que es mas infinito. ¿Por que mas alla? por que si fuera un infinito igual al de los naturales, no seria 0.1, en algun lugar tendria que haber un 1. Por lo tanto de eso se puede decir que el infinito numero de reales es de mayor orden que el numero de decimales que tiene un numero real, no que sea igual a los naturales.
@Naka Cristo: No entiendo bien el problema que planteas, no creo (aunque igual si) que mi lista solo contenga los números reales con finitos dígitos decimales, puedo mapear el punto 1/pi o el 1/sqrt(2) con tanto detalle como se pueda conocer ese número, lo cual tiene que ser suficiente para cualquier aplicación real que puedas imaginar, eventualmente se puede mapear cualquier número qeu quieras si “inventamos” una nueva operación matemática que se leería algo así como ESP(x), vamos, yo te diría que la posición de 1/PI en los naturales es ESP(1/PI).
@SergioB: Buenas sergio, El problema por el que el número es 0.1 es debido ala forma de ordenación de la lista que puede hacer que habiendo números con 1s en la n-esima posición, la posición n del número construido sea 0, la razón, que el indice de posición crezca más deprisa que el número de cifras decimales, eso es unicamente debido a la forma que habeis elegido para construir tu número real.
@todos: Creo que el problema es un problema de como se ha definido el conjunto de los números naturales, que deja fuera de los números naturales a cualquier número del estilo de …..11111111112 (es decir ´los números naturales pueden tener cualquier número de cifras pero no puede tener cifras infinitas).
Es un problema de definición, por que lso naturales se definen como el “1″ y todo número al que se pueda llegar por inducción sumándole 1 al 1., es decir, el 2 es natural por que el 1 tmabién lo es y la suma de lso naturales son anturales luego el dos lo es por ser igual a 1+1. ¿el 13 es natural?, lo es si lo es el 12, que lo es si lo es el 11 que lo es si lo es el 10… que lo es si lo es el 2 que lo es si lo es el 1, el uno por definición es natural luego los números del 1 al 13 son naturales todos por inducción.
Eso no puede aplicarse para números del estilo de ….1111111112 por lo que esos números no son naturales.
Desde un punto de vista ingenieril (yo son ingeniero
) y en mi opinión la conclusión es que puedes numerar los reales para cualquier aplicación práctica que puedas imaginar, pero que en teoría no se puede debido a un problema en la definición de los naturales que hace que los números con infinitas cifras no esten contenidos en los naturales.
Ojo, que no digo que el problema sea trivial o que no tenga una buena razón de ser solo digo que la clave está en la forma de definir los naturales, no permite demostrar que un número como el que necesito para numerar reales de infinitos dígitos esté contenido en los naturales.
javier: en matematicas TODO es un “problema” de definición
Los enteros en matematicas son lo que son y se definen como se definen (axiomas de Peano, basicamente), y a partir de esa definición y aplicando las leyes lógicas obtienes una serie de propiedades para esos objetos matematicos que has definido. Así que, obviamente, si cambias la definición, cambias el problema.
Por cierto, esos numeros “naturales” con infinitas cifras de los que hablas, creo que formarían un subconjunto de los números p-adicos (igual me equivoco, ¿algun matemático en la sala?), y tienen propiedades muy diferentes a las que de forma intuitiva asociariamos con los naturales.
Si el conjunto esta ordenado, el número que se fabrica en la diagonal debe estar en ese conjunto en su sitio, a no ser que nos lo saltemos para que el truco funcione. Pretender que un conjunto infinito es mas grande que otro conjunto infinito es igual de absurdo que pretender que un número primo es mas primo que otro número primo, o que un número par es mas par que otro número par. Intuitivamente es mucho mas fácil ver que el conjunto de los número naturales es el doble de infinito que el conjunto de los números impares y no necesitamos hacer ninguna diagonal para ello, se ve a simple vista, a pesar de ello se apela a la biyección para matar la intuición. Sin embargo con la diagonal pretenden matar la biyección para intentar demostrar que después de todo si hay diferencias de tamaño entre conjuntos infinitos, con un truco digno de un prestidigitador. El mismo truco que se usa para intentar demostrar que una superficie contiene los mismos puntos que una línea. ¿De verdad creéis que existe algún matemático de los que aceptan eso, que cuando vaya a comprar un piso de 80 metros cuadrados y le quieran dar una pared de ladrillos de 80 metros y le diga el vendedor que contiene los mismos puntos que el piso y que ya puede ir colocando el sofá, los armarios, las camas, etc., el matemático crédulo lo aceptaría?
Vale, si consideramos naturales con “infinitas cifras” entonces sí que tenemos biyección con los reales. Y como comenta Angel son los enteros 10-ádicos http://mathworld.wolfram.com/p-adicInteger.html Los números 10-ádicos serían los cocientes de enteros 10-ádicos.
Y no debería extrañarnos mucho de que haya una biyección entre ellos. Tanto los reales como los números p-ádicos se pueden definir como la complexión de los racionales con normas distintas. Es decir, que ambos pueden verse como sucesiones de números racionales que tengan un límite en algún sentido.
Fermín, te repito que haber ordenaciones no tiene nada que ver con que haya una biyeción. Por ejemplo tenemos una biyección clara entre los complejos y R^2, sin que ninguno tenga una ordenación “natural”. Y no es algo que se acepte, es algo que se demuestra. Lo que puedes aceptar o no son los conjuntos de axiomas, como el http://es.wikipedia.org/wiki/ZFC que se asume por una gran cantidad de matemáticos. Y no sé a que viene el ejemplo del piso, ¡qué tendrá que ver el cardinal con una propiedad métrica! Recuerda además resultados un tanto antiintuitivos relaconados, como la paradoja de Banach-Tarski.
@Fermin El problema es que por mas que nos empeñemos la matematica no es, ni tienen la intencion de serlo, una ciencia o algo relacionado con la intuicion. Es un lenguaje, con unas reglas y unas bases axiomaticas, que son asi por que si, ni reales ni intuitivas, y que luego da la casualidad de que se pueden usar, bueno, no es que sea casualidad, por que se han desarrollado para algo, pero vamos, que no esta en sus bases. Desarrollos fisicos o quimicos usando la matematica si que pueden llevar a absurdos, como bien explicas, la superficie real de un piso no tiene mucho que ver con los puntos de la pared, pero bueno, una cosa es una superficie real y otra una matematica, se diferencian en que una tiene unidades y la otra no.
@javier yo tambien soy ingeniero y desde un punto de vista ingenieril pocas cosas hay mas inutiles que los numeros reales, contando que cualquier herramienta comun va a tener errores en la 5 o 6 cifra significativa y que normalmente aplicaras un factor de seguridad de un minimo del 50%. Es cuestion de analizarlo con logica, tu has hecho una lista con todos los numeros naturales relacionados con los reales, despues has construido un numero REAL que es distinto a todos los que tenias al menos en una cifra, por lo tanto no estaba en tu lista y lo relacionas con un natural que se supone estaba en tu lista, pero obviamente no estaba por que ese real no estaba, ¿que lo añades?, entonces ese numero obviamente se abra saltado muchos 0, mas bien infinitos 0, osea que tu numero tiene mas de infinitas cifras, luego obviamente sera mas infinito que lo naturales. Una forma de verlo, es supongamos que hay 3 reales, 0.1, 0.2,0.3 Tu primera lista seria 1,2,3 la siguiente seria 1,2,3, 112, la siguiente 1,2,3,112,1112. Si tienes la lista completa, el ..1112 tendria infinitas cifras mas, que el numero natural de infinitas cifras.
Por cierto, aun espero que me digais como se relacionan los puntos de las esquinas
Me intriga la pregunta de j, si se usa el método de ordenamiento para convertir un hipercubo de infinitas dimensiones en recta, ¿que pasaría? ¿nunca se podrían poner los segundos decimales de las coordenadas de cada punto en la recta? ¿si se podría?……………….
@Sergio_B: Hola. Se me ocurre la recta 0 – 1 es no acotada por ambos extremos. Esto es, el 0 y el 1 no forman parte del conjunto de los nros reales de nuestro segmento. De ese modo, no existen las coordenadas 0,0; 1,0; 0,1; 1,1 en el plano. Si se acepta esto, se soluciona el caso de los extremos que tu mencionas. Por favor, si no fuera asi, agradezco me corrijas. Saludos
@Sergio B, no es muy importante que te queden cantidades finitas de puntos. Por ejemplo, si queremos una biyección entre el intervalo real abierto (0,1) y el intervalo cerrado [0,1] podemos hacer lo siguiente: -Encontrar una función inyectiva de [0,1] en (0,1). Podemos tomar f(x)=0.1+x/2. -Encontrar una función suprayectiva de [0,1] en (0,1). Podemos tomar f(x)=x para 0<x<1, f(0)=f(1)=0.5. Y ahora podemos juntar las dos con el teorem de Schroeden-Bernstein http://en.wikipedia.org/wiki/Schroeder-Bernstein_theorem y conseguimos una función biyectiva entre ellos.
@xx32, pues un cubo de infinitas dimensiones tiene un cardinal que depende del cardinal de ese infinito. Si el exponente son los naturales entonces su cardinal será el de los reales. En cambio si coges un cubo con una dimensión por cada real te quedaría algo “más grande”. Puedes encontrar más información si buscas exponenciación de cardinales nfinitos.
Claro… ¿cómo no pensé eso? Tiene lógica. Gracias.
he leído ya varias veces esta dupla sobre el infinito
es genial.
Pero no se si es que no lo he visto o me lo salte o me confundi.. pero igual me hubiera gustado enterarme en que momento se le dio tanta propiedad matematica como de un número, es decir infinito, indeterminación, la división por cero etc.. y sus relaciones que parecen ser las misma…
Se me había olvidado a mi comentar que la hipótesis del continuo (vamos que ℵ0 != ℵ1) es eso, una hipótesis (o un axioma). Vamos, que lo que está arriba no es una demostración formal [1]
Hay gente que ha construido sistemas axiomáticos perfectamente consistentes en los que ℵ0 = ℵ1. Si os estais preguntando que pinta tienen esos sistemas axiomáticos y las matemáticas que salen de ahí no me mireis que no tengo ni idea ni tengo las ganas de meterme con semejantes aberraciones ¡Bastante raras ya son las matemáticas “tradicionales” como para andar quitando hipótesis!
[1] Si me preguntais donde está la pega os diría que no tengo ni guarra aunque sospecho que estará en la forma de elegir los números para construir el famoso número fantasma. Seguramente sea necesario usar el lema de Zorn o equivalentes y a los puristas estas cosas.
Cruz, me parece que la hipótesis del continuo no es ℵ0 != ℵ1 sino c != ℵ1.
Me guardo de comentar lo que pienso sobre el infinito. Sólo apuntar que el apeiron de Anaximandro no es como el infinito de los números naturales, ni de coña. Para el griego hay el apeiron y luego, las infinitas cosas limitadas y con propiedades bien determinadas del mundo sensible que surgen precisamente del apeiron siguiendo un orden. Pero el apeiron, en sí, no tiene ni orden ni nada limitado, finito, definible. Por cierto, también Spinoza habla de distintos infinitos (DIos como única sustancia, que como tal debe concebirse como infinita simplemente porque al ser unica nada la limita; los infintos atributos que contiene Dios; las infinitas cosas (afecciones) que contiene cada uno de los atributos de Dios). También Descartes habla de dos tipos de infinitos: uno es Dios (espíritu puro) y el otro, de inferior, el mundo material (infinitos objectos extensos). Dios es un infinito superior ya que contiene los infinitos objectos materiales, y los supera. Que Cantor aprendiera a escribir todo esto en un lenguaje esquelético y soso como el de las matemáticas no implica que haya contribuido demasiado en el desarrollo del pensameinto occidental. Por lo demás, cabe apreciar la claridad del post y el blog en general. Saludos.
Sigue habiendo algo en la diagonalización que se me está escapando. Si yo aplico el mismo razonamiento a los números racionales, o fraccionarios, y los pongo en una lista, y paso a sumarles 1/9 (que es 0,11111….) el resultado es igualmente racional, por lo que debería estar en la lista, pero aplicando el mismo criterio de diagonalización, tampoco se podrían ordenar, por lo que serían tan infinitos como los reales. ¿Dónde está el error o la diferencia?
Yacon, ¿por qué la suma de 1/9 + un número de la lista no iba a estar en la lista? Eso no es lo mismo que el ejemplo de los reales. Allí se toma la primera cifra del primer número, la segunda del segundo, la tercera del tercero, etc. No se toma un número de la lista y luego se le suma 1 a cada cifra decimal. Por ejemplo, el 0,22222 está en la lista de reales (y de racionales), y al sumarle 0,11111 sale 0,33333 que también está en la lista, lo cual no demuestra nada.
Lo siento, me he explicado mal. Lo que quería decir es que se realiza la misma maniobra que con los reales, creando un número con un decimal de cada uno de la lista, y se le suma 1 a cada una de las cifras. Lo que no alcanzo a ver es la diferencia entre aplicar la demostración de diagonalizar los reales o a los racionales.
Yacon,
Pero el número que construyes, mediante un decimal de cada número de la lista, ¿es un número racional? Yo creo que no.
Si los infinitos de Cantor surgen de razonamientos como los expuestos en este post, a mi no me parecen nada convincentes. 1º, Cantor dice: vamos a montar una lista con los infinitos nº reales que supuestamente hay entre 0 y 1, y semejante propuesta es, ya de por sí, una falacia lógica, puesto que una lista tal no existe, y si existiera no la conocemos… y en caso que pudieramos conocerla, no la podríamos expresar mediante ningún lenguaje (ya que a Pedro le van las referencias a filósofos griegos, vale decir que esta observación es de Gorgias para criticar, precisamente, los objectos transcendentes). Pero bueno, demos por buena esta primera falacia con la que empieza toda la retórica matemática de Cantor; entonces el alemán dice: construyamos un número que contenga los decimales de todos los números reales de dicha lista según sea su posición en ella. Entonces, Cantor se lanza a la piscina diciendo: ¡Este nuevo número real no aparecerá en la lista, y ello se debe a que la lista, aunque contenga infinitos números, debe ser incompleta! Y aquí estamos con las mismas: Cantor se dedica a hacer suposiciones sobre un supuesto número que, luego, ni podemos crear, ni expresar ni mucho menos conocer. Lo de Cantor sólo es metafísica, sino leeros los paralogismos de la razón de Kant. O sea, que Cantor pretende que le tomemos en serio cuando dice: en una lista que en realidad ni existe ni puede existir, de infinitos nº reales, no encontraremos jamás un número que en realidad no podemos ni crear, ni expresar, ni imaginar ni conocer -y que de hecho no existe. Cantor, aquí, está jugando con el hecho que fácilmente se trata el infinito como si fuera algo finito. De hecho, y para acabar, si vamos al núcleo de la cuestión parece ser que lo que en el fondo pretendia justificar (porque de demostrar no demuestra nada) Cantor era que: infinito < infinito + 1, en vez de aceptar que infinito (elementos de una lista) +1 (un nuevo elemento) = infinito, como pone en el wikipedia.
@Filosofete la existencia de la lista no es importante, lo importante es vamos a pensar una forma de crear esa lista, javier expuso una. No importa la existencia de la lista o no sino el hecho de relacionar todos los naturales con un real para luego llegar a la conclusión de que aun usando todos los naturales hay reales sin relacionar. La resistencia a pretender mantener algo inexplicado no es que la explicación es nada. Los infinitos existen en matemáticas de forma mas comunes y se manejan. Por ejemplo, las derivadas son números 0/0, o infinito/infinito y se resuelven.
Ahora si Descartes entendió que el infinito es lo que es, pero como pasaba de tener líos con la iglesia o quizá tenia problemas de fe el mismo para no ofender a dios lo puso como un infinito superior, para dejar claro que el se refería a otros infinitos, como si dijo que dios es 42 y que después del 41 va el 43 para que no se ofenda, no es que sea un razonamiento, es una simple cuestión de fe. Cantor no hacia metafísica, hacia matemáticas y es lo que tienen, que son lo que son, no es ninguna religión.
Sergio, pues a mi sí me parece importante la existencia de la lista. Me parece que Cantor tendria razón sólo si se tratara de una lista con un nº finito de numeros reales, los cuales sólo tuvieran un nº finito de decimales.
Infinito (I y II) han recibido el Premio ED a la excelencia en la divulgación científica. ¡Enhorabuena, Pedro!
¡Gracias, César!
Verás Sergio, lo de Cantor sólo es posible si es posible poder cambiar todos los decimales del nº que se ha creado y, además, si es posible poder conocer todos los infinitos números que habría en esa lista de nº reales. Sin embargo, como que el número en cuestión tiene infinitos decimales, entonces, por más decimales que cambiemos, nunca alcanzamos el último decimal , ignorando exactamente qué número estamos construyendo. Con ello, pues, no podemos comparar dicho número con todos los infinitos números de la lista, aunque lo hayamos podida hacer con muchos de ellos. Por consiguiente, nunca podemos alcanzar una paradoja como la que dice haber alcanzado Cantor. La ignorancia nos lo impide.
El problema de Cantor es que trata el infnito como un Todo, es decir como algo que tiene cierto número de partes: ve el infinito como algo que tiene una parte que se puede considerar primera, otra como media y una como última. Hecho, éste, que implica suponer que el infinito andará limitado de algún modo y por ello, nos srá lícito operar (establecer comparaciones) con él. Sin embargo el infinito, por definición, no puede ser ningún Todo, ninguna colección de cosas, ningún conjunt0 de partes. Así pues, afirmar “todos los infinitos elementos de una lista”, tiene sentido gramatical, pero no semántico. Cantor parece confundirlo. Y a estas confusiones, madre de la metafísica, Wittgenstein las llamó: embrujamiento del lenguaje.
A ver filosofete, digamos que tengo dos rebaños, de cien ovejas cada uno, uno son todas negras y otro son todas blancas, ¿no puedo decir que ninguna oveja de un rebaño es del mismo color del de la otra a no ser que las compare todas dos a dos? ¿Y si tengo mil ovejas? ¿y si no se cuantas ovejas tengo, pero cuando nacen pongo las negras en un rebaño y las blancas en otro? ¿y si no se de que color son solo que a las de cada color las pongo en un rebaño distinto? Esa demostración de Cantor no acepta contestación posible, al menos lógica. Partir de que esa lista no existe, es una hipótesis que tu no demuestras pero cantor si. La ignorancia no impide saber que ese numero es distinto a todos los demás, lo dicen la lógica, ¿quieres comprobarlo uno a uno? Para hacer las cosas una a una no hace falta razonamientos.
“nº finito de números reales, los cuales sólo tuvieran un nº finito de decimales”
Vamos, según ese mismo razonamiento, los nº reales no existen, solo los racionales.
“”todos los infinitos elementos de una lista”, tiene sentido gramatical, pero no semántico”
Vamos, eso es lo que te parece a ti. El concepto de infinito, como algo inabarcable, como algo que no es ningún conjunto es inútil como la psicología de las piedras, y cuando cantor habla de infinito se refiere a esos infinitos inferiores, ridículos, humanos, ponle el nombre en el diccionario que quieras, que son conjuntos, que son manejables y mas o menos entendibles.
Estos infinitos mundanos se obtienen por definición, ¿sabes que se definen los decimales de un real? El numero e, raíz de 2, decir que son los naturales uno detrás de otro, la cuestión es que consigas abarcar lo que eso significa sin entender infinito como algo metafísico, son cositas que existen, ¿tienes una pared cerca?,¿te has preguntado cual es la pendiente de una pared? ¿has visto chocar dos bolas de billar? ¿te has preguntado cual es la aceleración en el impacto? ¿sabes que los agujeros negros existen?
PD: Tengo otra como la de las ovejas, ¿son distintos las personas de los monos? ¿y de los helados de fresa? Como no han habido todavía todas las personas que habrán, ¿no se puede saber?
Sigo sin ver la razón por la que el razonamiento de diagonalizar no puede aplicarse igualmente a los números racionales, ya que sumar uno a cada cifra decimal es sumarle 1/9, que evidentemente también es racional.
@Sergio, las derivadas no son siempre indeterminaciones, sólo lo son (curiosamente) en los exámenes. En el resto de situaciones acostumbran a ser cantidades “normales”. Además, resolver una indeterminación 0/0 (por ejemplo) no quiere decir que sepamos lo que vale la función en ese punto, si no que si asignamos el valor de la resolución no nos encontramos con cosas raras. Por ejemplo, x/x NO vale 1 para x=0, si no que si adoptamos ese valor todo queda bonito y continuo. En realidad en ese punto está indefinida la función.
@Filosofete, que no podamos sumar 1 a los infinitos decimales de un número no quiere decir que no pueda hacerse. Quiere decir que con nuestro método humano de sumar 1 al primero, 1 al segundo, etc, no se acabaría nunca. Vamos, que eso no quiere decir que pi+1/3 no exista, si no que no lo podemos escribir. Aunque si tengo que darte parte de razón en eso de que tenemos una lista con todos los números pero que falta uno. Me has hecho darle vueltas a la cabeza y sigo sin tener una idea clara sobre el tema.
Yacon, repito mi argumento anterior: 1/9 es, efectivamente, un número racional, y sumar dos números racionales resulta en un racional… pero es que el otro número no es racional. El resultado de tomar una cifra decimal de cada número racional es, sospecho, un número real, no racional. Al sumar un real con un racional (1/9), el resultado es real, no racional. Tal vez cruzki o algún otro matemático te pueda confirmar esto.
@Yacon las derivadas son por la definición que yo tengo la diferencia del valor de la función en dos puntos cuando entre la distancia entre estos dos puntos cuando esta tiende a cero, vamos que siempre son 0/0, claro que esos 0 no son los comunes, son infinitesimales, que si los haces a la inversa son infinitos y por eso tienen un significado parecido. No digo que sean indeterminadas, aunque algunas si lo son, pero eso no es motivo para no usarlas. Una de las mejores cosas de los ordenadores es que nos permiten obtener resultados de esas derivadas haciéndolo en plan bestia, si a un ordenador le pones muy pequeño y el se pone 10 a la menos 21, se hace sus operaciones y tan feliz, ¿que se hace millones de pasos para avanzar un par de pasos?, pues adelante, para lo que tarda.
@Sergio B. A ver, ahora que puedo escribir con más calma, te respondo: una cosa es que tengas un MONTÓN de ovejas metidas en un corral y pases olímpicamente de contarlas, o no sepas, o en ese momento no tengas los medios para ello. Y otra muy distinta es que tengas infinitas (que por cierto, quítate de la cabeza tenerlas). INFINITAS OVEJAS NO ES UN MONTÓN DE OVEJAS (la verdad es que no tenemos ni p… idea de lo que sería eso; aquí hablan nuestras palabras, mas nuestro entendimiento no lo comprende, entre otras cosas porque “infinito”, como indica el propio nombre, no es ningún número, nada finito, en fin, no es nada limitado ni limita nada -¿como va a tener algún tipo de relación con los conjuntos si éstos, precisamente, sirven para limitar objectos?). En cualquier caso, si ya no distingues la diferencia entre el primer tipo de “ignorancia”(la ignornacia circunstancial o condicionada) y el segundo (la ignorancia del infinito), entonces, no vale la pena discutir mucho más. Continuo pensando que aquí se hace el mismo juego de manos que ya denunciaba Kant en sus famosos “paralogismos de la razón”: se toma la experiencia más ordinaria (la cual nos indica que siempre podemos encontrar un conjunto de cosas que no siempre vamos a poder contar porque, o nos falta tiempo o no tenemos los medios o no sabemos) para tratar problemas transcendentales, o sea, que no tienen nada que ver con la experiencia ordinaria y sus handicaps. Y entonces, como bien le sucedió a Cantor, la gente se flipa creyendo que mediante la sola inteligencia uno es capaz de volar por encima de todas las cosas hasta llegar a poder hablar sobre aquello que no se puede hablar, o contar o conocer. En fin, como decía POincaré, todo esto de Cantor tiene mucho de enfermizo, o sea, de febril, de descoordinación de los sentidos y de las experiencias ordinarias. Y otra cosa, sobre los números irracionales como PI o e o raiz de 2: en realidad los podemos tomar de forma racional o irracional. De hecho, las más de las veces (siempre que operamos) los utilizamos como números no racionales. Esto de que por definición tales números son irracionales seguramente sea un prejuicio muy antiguo, que arrastramos ya desde Pitágoras. Se puede interpretar todo esto de forma distinta.
@Filosofete Bueno, supongo que el problema es mio, yo te hablo de ovejas por decirlo de un nivel mundano y te vas a preocupar por el precio del heno, bien, la lógica y la matemática son herramientas, siento mucho decepcionarte, pero a la realidad le pueden dar dos piedras cuando hablemos de matemáticas. Pero a ver, vayamos con calma, tu intelecto no lo comprende, ratón, como indica el propio nombre tiene rabo y trasmite la rabia…espera nada de ejemplos que te confundes, la prueba etimológica no significa ni justifica nada. Yo no ignoro cuando dices que el mundos es infinito es que es ilimitado cuando te digo que la pendiente de una pared es infinita, es que es asi vertical, a ti no te entra en la cabeza que pueda significar mas cosas.
La cuestión es que no tienes la intención de comprender y probablemente no valga la pena. El infinito ese del que hablas lo comprende un niño de seis años, mira al cielo y piensa es infinito, hasta una cabra lo entendería, total no significa nada. El trabajo mental es manejar el infinito como hace Cantor, pero si no lo consigues no te molestes con los que lo hacen, inténtalo, en este blog no es cuestión de discutir, lo que yo intento es explicar. Yo he operado con el infinito desde hace años, sin ningún problema, por todos lados y no se acaba el mundo.
PD: Raiz de 2 es un numero irracional, si sabes hacer raices ponte, si sabes hacer series ponte a buscar el numero e, una suma infinita por cierto, vamos, que si quieres tomarlo como raiz de 1.98 o como raiz de 2.02 pues es cosa tuya sinceramente, pero raiz de 2 no son.
@Filosofete Revisándolo no creo que mi comentario fuera el mas adecuado, he intentando argumentar con mas ahincó pero me parece que he caído en malas formas. Es que me cuesta exponerlo en forma clara. Supongo que la cuestión es que hablamos de distintos significados de la palabra infinito, y podemos darle las vueltas que queramos que no van a ser lo mismo nunca, no es que una sea correcta y enfrentarlas creo que no tiene sentido.
@ Sergio B. en el fondo mis comentarios van un poco en la línea de lo que explicaba ya Javier más arriba. Sobre lo de Cantor, mi postura es clara: Cantor no demuestra de forma inapelable que, en efecto, existan infinitos superiores a otros. No está nada claro que en una lista con infinitos números reales entre 0 y 1 haya otros infinitos números reales entre 0 y 1 que, paradójicamente, no se contemplen en tal lista; lo repito, lo que hace Cantor es lo que ya denunció Kant en sus “paralogismos de la razón” y es lo que siempre se ha hecho en teologia y metafísica a la hora de tratar objetos transcedentales, o sea, objectos infinitos, inaprensibles, divinos: en última instancia se los ha tratado como algo finito.
A fin de cuentas, lo que yo decía es que una lista con infinitos elementos no es una lista, de la misma forma que un número con infinitas cifras no és un número. Y los números irracionales, como PI, lejos de ser números de infinitos decimales, son puros símbolos. Ya sé que esto está abierto a discusión: tú me puedes decir que PI sí es un número, con infinitos decimales, aunque jamás nadie ni lo conocerá ni lo utilizará, mientras tanto yo te puedo decir que PI sólo es una operación con una peculiaridad destacada: que resulta ser internamente contradictoria. En este sentido, para mí PI no es un número, sinó una operación que simbolizamos con la letra PI griega, pero que no se puede representar como número, porque en realidad no es ningún número. Así pues, y como ya he dicho en otra intervención, todo esto está harto sujeto a interpretaciones, aunque prevalezca la de Pitágoras desde hace 2500 años.
He estado leyendo todos vuestros comentarios sobre la idea de comprender el infinito, y no veo problema alguno en “imaginarnos” en emparejar todos los números naturales con los reales que hay entre 0 y 1.
Si hemos sido capaces de resumir la monstruosidad de números que pueden llegar a ser en una simple palabra como “infinito”… ¿por qué no podemos ser capaces de acotar dicho infinito entre dos números?
Ignorar mi anterior comentario. Después de pensarlo y volver a leer el artículo, es normal poder emparejar los números naturales con los reales que existen entre 0 y 1. Pero lo que hace Cantor es exactamente lo contrario. Disculpad mi osadía y mi prepotencia. Saludos.
Hola Pedro,
Los primeros artículos se enlazaban y podían ser leídos uno tras otro. ¿Has dejado de enlazar los artículos de esta serie al siguiente?
Este artículo no enlaza a http://eltamiz.com/2012/01/19/henri-poincare/. Me parece que entre el segundo de Galileo y el infinito tampoco hay enlace.
Evidentemente esto no quita ni un ápice al placer de leer esta encomiable serie
Un saludo.
hebusetram, no es intencionado, es que se me olvida… gracias, ahora miro los últimos y enlazo
Sé que el comentario llega un poco tarde, pero dándole vueltas al cuadrado, creo que tiene más dimensiones que la recta, ya que si coges el punto (1,1), el punto en la recta sería o el 11 o el 1,1 y ninguno de los dos es posible en la recta
Genial tu articulo de cantor,me diverti leyendolo,me pasaba lo mismo al estudiar sobre el tema,todo lo q leia iba en contra d mi intuicion,d lo q yo creia.rendi la materia fundamentos d la matematica para el preofesorado y me hubiera sido muy util haber encontrado tu blog antes jaja,esta muy bien explicado,barbaro!
Según entendí, la diferencia reside en que sin llegar a “tocar” el infinito existe un proceso que va generando una lista, y que una vez finalizado dicho proceso la lista contendría el total de números racionales. Luego dice que con los números reales no podría existir dicha lista, porque siempre podría sacar de esa lista otro número nuevo.
Ahora voy a mostrar donde opino que está el error de dicho argumento: 1) También puedo definir un proceso que genere una lista completa de los reales, mediante recursividad. 2) Como en los racionales afirmaban que se podría completar la lista, y eso requiere llegar al infinito, no veo por qué no voy a poder completar la lista de reales llegando al infinito infinitas veces.
¿Puedes contar hasta el infinito? ¿Puede algo estar a infinita distancia, etc..? No, el infinito no existe. ¿Cuantos puntos tiene una recta? Los puntos que alguien pueda imaginarse.
No se puede contar hasta el infinito, pero se puede asegurar que es posible contar sin llegar nunca al final. A eso llamamos infinito.
En cuanto a la diferencia entre unos infinitos y otros, comprendo perfectamente todas las críticas a Cantor, pero las comparto sólo en parte. Cantor parte de unas definiciones para establecer las diferencias. Como se ha comentado antes aquí, todo depende de esas definiciones y no tiene sentido buscarle aplicación práctica. Sin embargo, desde un punto de vista lógico y matemático, se llega a resultados sorprendentes.
Si definimos infinito simplemente como “algo sin final”, entonces no hay diferencia entre ellos. Tan poco final tienen los naturales como los reales. Además, no conozco ningún caso práctico en el que haga falta usar PI con más de 5 decimales. En nuestra realidad, PI es un número racional y tan lejos estamos del PI teórico si decimos 3,14 como si le añadimos mil millones de decimales.
Ahora bien, si partimos del infinito de los naturales y probamos a establecer biyecciones para “contar” otros conjuntos, comprobamos atónitos cómo existen ciertos conjuntos que escapan a esa forma de contar. Esto me parece asombroso.
Otra discusión diferente, filosófica, sería la siguiente: ¿Por qué pensamos que “escapar a esa forma de contar” significa “tener más elementos”? Creo que aquí es donde nos traiciona nuestra intuición, pues esto es absolutamente cierto para los conjuntos finitos. A mí tampoco me convence definitivamente esa extrapolación a los infinitos.
Óscar:
“¿Cuantos puntos tiene una recta? Los puntos que alguien pueda imaginarse”
Entonces no tendrá ninguno, porque yo al menos soy incapaz de imaginar entidades adimensionales. Ahí está el problema: si entendemos que el infinito no existe porque no podemos imaginarlo, tenemos que extender esa objeción al resto de entidades matemáticas.
Argus:
Otra discusión diferente, filosófica, sería la siguiente: ¿Por qué pensamos que “escapar a esa forma de contar” significa “tener más elementos”?
En efecto, que una regla no nos permita medir el perímetro de una regla no significa que sea más corta. Hay que reconocer, sin embargo, que la definición cantoriana de “mayor” y “menor” parece muy natural, y que sólo nos entran las dudas cuando comprobamos las asombrosas conclusiones a las que nos arrastra.
(Una duda parecida me plantea su definición de un conjunto infinito como aquel que puede ser puesto en biyección con alguno de sus subconjuntos. Es cierto que ésta parece ser una propiedad de todos los conjuntos infinitos, pero al mismo tiempo no parece ser una propiedad definitoria, sino en cierto modo accidental).
Simplificador: Todo está formado por unidades básicas y esas unidades básicas no son infinitas
Creo que no comprendo su respuesta, Óscar. ¿A qué se refiere con “todo” y con “unidades básicas”?
Veo ahora una errata en la primera línea de mi comentario a Argus que lo hace incomprensible. Debe decir: “En efecto, que una regla no nos permita medir el perímetro de una rueda no significa que sea más corta”.
Disculpas.
Simplificador, ¿alguien ha estado leyendo a Boyle?
Pues la verdad es que todavía no lo había leído, pero se ve que, de alguna forma, su ejemplo flotaba en el ambiente. Boyle is in the air!
Simplificador, qué bueno el ejemplo de la regla y la rueda. Es exactamente eso. Gracias por aclararlo, porque le estaba dando vueltas y vueltas ya de forma obsesiva. Una regla para medir el perímetro de la regla… uf… había empezado a vislumbrar la cuarta dimensión espacial
Como veo que nadie lo ha hecho, me voy a permitir contestar a Yacon. Lo que se hace en la diagonalización de Cantor es sumar 1 a cada cifra menos al 9, que lo transformas en 0. Es casi casi casi sumar 0,11111111… pero no es lo mismo. Si sumas 1 al 9 da 0 y me llevo 1. Cantor no se lleva 1.
Por esta razón, no es sumar 1/9. Y de hecho, si haces esa transformación a un racional, lo más normal es que salga irracional, con lo que no sirve para demostrar una posible reducción al absurdo en el caso de los Racionales.
De hecho, lo de “sumar 1″ no me mola, en un sentido estético. Queda más cuco decir simplemente que cambias todas las cifras (los treses en sietes, los cuatros en cincos…). De hecho, podrías incluso cambiar todas las cifras por ceros, menos los ceros, que los conviertes en sietes. Y a cascarla
La única historia es asegurar que todas las cifras han cambiado porque así es imposible que coincida con “la hipotética lista inicial”.
Y esto enlaza con una respuesta a Filosofete sobre la existencia o no de la lista. Aunque veo que ha habido varias respuestas ninguna parece que verse sobre la cuestión que voy a exponer. El método que sigue Cantor es de la Reducción al Absurdo (término que será familiar a muchos lectores). Empieza suponiendo que una lista con tales características existe (sospechando el muy bribón que no) y llega a una contradicción con la definición misma de la lista; demuestra así por tanto que es imposible que tal lista existiera desde un primer momento.
Y lejos de querer crear polémica, voy a contestar otra frase de Filosofete:
“A fin de cuentas, lo que yo decía es que una lista con infinitos elementos no es una lista, de la misma forma que un número con infinitas cifras no és un número.”
¿Qué le pasa a la raíz cuadrada de 2? ¿Tampoco es un número? Tiene infinitas cifras, no es periódico, es irracional. Y sin embargo, la diagonal de un cuadrado de lado 1 mide raíz de 2. ¿No es un número?
Por esa misma lógica, los números naturales se tienen que acabar, ¡no puede haber infinitos! Y aunque no los podamos escribir todos, se admite que no se acaban. Creo que el tema no es baladí, creo que hay un momento de “abstracción” en todo esto que es casi un “salto de fe”, pero es en lo que se basa todo esto de las matemáticas. Que hay números con infinitas cifras, que las líneas rectas no tienen grosor (aunque todas las que pinto con mi lápiz sí que tengan), etc…
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[...] Infinito (II) eltamiz.com/2011/06/29/infinito-ii/ por mezvan hace 3 segundos [...]
[...] incomprensible. [↩]Si no estás familiarizado con esta nomenclatura te recomiendo leer los estos dos artículos de Pedro sobre el infinito. [↩]Aquí “ordenado” significa que para [...]
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