El Tamiz

Si no eres parte de la solución eres parte del precipitado

Infinito (I)

Tras la pausa de rigor, hoy continuamos la serie Hablando de…, en la que recorremos el pasado de una forma desordenada, enlazando cada artículo con el siguiente y tratando de mostrar como todo está conectado de una manera u otra; los primeros veinte artículos de la serie están disponibles, además de en la web, en forma de libro, pero esto no tiene pinta de terminarse pronto. En los últimos artículos hemos hablado acerca del ascensor espacial, propuesto por primera vez por Konstantin Tsiolkovsky, partidario (como casi todos sus contemporáneos) de la eugenesia, promovida por Sir Francis Galton tras ser inspirado por el debate Huxley-Wilberforce sobre la evolución, en el que participó el “bulldog de Darwin”, Thomas Henry Huxley, que utilizó para defender las ideas de su amigo un cráneo de Homo neanderthalensis, nombre científico según el sistema creado por Carl Linneo y empleado en su obra magna, el Systema Naturae, que acabó en el Index Librorum Prohibitorum, lo mismo que todas las obras de Giordano Bruno, prohibidas por el Papa Clemente VIII, quien en cambio tres años antes dio el beneplácito de la Iglesia al café, bebida protagonista de la Cantata del café de Johann Sebastian Bach, cuya aproximación intelectual y científica a la música fue parecida a la de Vincenzo Galilei, padre de Galileo Galilei, quien a su vez fue padre de la paradoja de Galileo en la que se pone de manifiesto lo extraño del concepto de infinito. Pero hablando de infinito…

Muchísimo antes de que Galileo, en su diálogo imaginario entre Simplicio, Sagredo y Salviati, hiciese obvio lo “raro” que es el infinito, este concepto había hecho ya su aparición: se trata de algo inevitable en cuanto el ser humano empieza a pensar en conceptos, ideales, abstracciones y límites, es decir, a hacer Filosofía. No es posible tampoco profundizar en las Matemáticas sin toparse de bruces con el infinito, con lo que es algo que ha surgido de muy variadas formas a lo largo de la Historia, y de maneras muy parecidas en culturas diversas. Aquí, por cierto, al enlazar desde la paradoja de Galileo, nos dedicaremos fundamentalmente a explorar el infinito desde el punto de vista de las Matemáticas.

Los filósofos griegos fueron de los primeros en enfrentarse a la idea de infinito de una forma más o menos seria. Anaximandro, por ejemplo, en el siglo VI antes de Cristo, introduce la idea del apeiron, “sin límites”. Ése es el significado literal de infinito, claro: algo sin fin, sin bordes ni límites que lo “encierren”. En el caso del apeiron, se trata de algo borrosamente definido, de donde provienen todas las cosas, y que no tiene apenas características, ni tamaño finito, ni origen, ni fin, ni nada. Por lo tanto, asignarle propiedades concretas más allá de las que definen su caracter ilimitado es imposible. Ésta es, de hecho, una de las posibles actitudes al enfrentarse al concepto: como nada de lo que ves es infinito, no puedes comprenderlo; por tanto, pensar en él más allá de su calidad de infinito es inútil. Podríamos decir que esta actitud es la actitud finitista.

Es así posible hablar de un tiempo infinito, sin principio, o sin fin, o sin ninguna de las dos cosas, de un espacio infinito –luego hablaremos más en detalle de esto–, etc. Pero aquí no quiero hablar tanto de qué significa que una cosa u otra sea infinita, o si es posible que lo sea o no, sino del propio concepto de infinito – ¿hay sólo uno? ¿es posible tener diferentes infinitos? ¿es posible ir más allá del “es algo que no puedes imaginar”?

Algunos matemáticos indios contemporáneos de los filósofos griegos, especialmente jainistas, estudiaron con bastante cuidado el concepto desde un punto de vista matemático. Varios textos, como el Surya Prajnapati Sutra (nada más y nada menos que del siglo V a. C.), llegan a conceptos matemáticos de una profundidad que, aunque no debiera resultarnos sorprendente, dado el nivel matemático de la India en esos siglos comparado con otros lugares, sí suele resultar llamativa por el eurocentrismo de nuestro sistema educativo – al menos en mi caso y en mi época, todo hay que decirlo. Soy el primero en admirar profundamente a los filósofos y matemáticos griegos –y, como verás en un momento, se me cae la baba con uno en concreto–, pero los indios contemporáneos me dejan a veces la boca abierta.

Surya Prajnapati Sutra

Surya Prajnapati Sutra.

En esos textos se distinguen ya varios tipos de números respecto a su contabilidad. Los números que pueden alcanzarse sumando uno a uno, como una decena, un millar o un millón, son numerables. No pienses que el concepto de numerable es, en los textos jainistas, algo restringido a cantidades muy pequeñas; por ejemplo, un purvi es una unidad de tiempo equivalente a 75 600 000 000 000 años, y un Shirsha Prahelika es el equivalente a 8 400 00028 purvis… ¡un número con 194 cifras!

La segunda categoría son cantidades innumerables, que son aquellas a las que se llegaría sumando uno a uno tras ir más allá de todas las cantidades numerables. Se trata de un concepto muy parecido a uno mucho más moderno del que hablaremos luego, aunque no tenga aún demasiado rigor, pero recuerda que estamos hablando de alrededor de 400 a. C. Y los matemáticos indios no se quedan ahí: consideran que hay algo más allá de las cantidades innumerables: los puntos de una recta, por ejemplo, son más “infinitos” que los innumerables, aunque ambos sean infinitos. Por así decirlo, los innumerables son un infinito “con orden y estructura”, mientras que los puntos de una recta son un verdadero “infinito” en el sentido de caos, desorden, falta real de límites y estructura. Así se establece la distinción entre “innumerable” e “infinito en una dimensión”, aunque, como digo, sea todavía una distinción poco rigurosa. Pero, por favor, no olvides este párrafo para cuando lleguemos a la distinción entre ℵ 0 y c, incluso aunque no sepas todavía lo que significa cada uno –especialmente si no sabes lo que significan–.

A continuación, los textos matemáticos jainistas establecen otra distinción: aunque ambas sean cantidades infinitas, de acuerdo con ellos no es lo mismo el número de puntos en una recta que el número de puntos en un plano. Hay infinitamente más puntos en un plano que los que hay en una línea recta, luego surge el infinito en dos dimensiones, de mayor grado que el de una dimensión, y a continuación, por extrapolación al volumen, el infinito en tres dimensiones (aquí patinan y esto ha sido superado como veremos después, pero leches, ¿te das cuenta de cuándo estamos hablando?). Finalmente, en un ejercicio de abstracción que me deja los ojos como platos, se lleva al límite el concepto para establecer un infinito en infinitas dimensiones, que sería el infinito de mayor grado de todos.

A pesar de la sofisticación en esta serie de conceptos (numerable, innumerable, infinito en una dimensión, infinito en dos dimensiones, infinito en tres dimensiones e infinito en infinitas dimensiones), no debemos tampoco subestimar a los filósofos y matemáticos griegos; es cierto que algunos, ante el concepto de infinito, se quedaban en el “no se puede comprender”, pero otros no hacían así. En el primer grupo –en mi opinión– se encuentra un genio, Zenón de Elea, que propone una serie de paradojas que tratan de demostrar que el movimiento es una ilusión dado que cualquier movimiento está compuesto de infinitos pasos, pero realizar infinitos pasos es imposible. No voy a describir aquí las paradojas de Zenón, ya que Lucas lo hizo de una forma excelente en este artículo de El Cedazo, pero sí quiero dedicar tiempo a un razonamiento del segundo tipo: un ir más allá del “infinito inconmensurable”, un intento con éxito de “tocar el infinito” realizado por el incomparable Arquímedes de Siracusa, al que seguro que conoces por su principio físico y la historia de la corona y tal y cual… pero no te pierdas esta otra hazaña.

Dudo que pueda expresar en estas líneas el genio de Arquímedes al atacar este problema infinito, pero haré todo lo que pueda: si no te emociona no es culpa de Arquímedes, sino mía. El de Siracusa se encontraba intentando medir exactamente el área de un segmento parabólico, es decir, el trozo morado de la figura:

Segmento parabólico

Naturalmente, Arquímedes intentaba hacerlo en el siglo 3 a. C., con lo que no disponía de integrales ni nada parecido. No, él intentaba, sin ningún tipo de herramienta matemática sofisticada, realizar la cuadratura de la parábola: construir un cuadrado con la misma superficie que el área de la parábola, lo cual requiere medir esa área con total exactitud utilizando polígonos. El método de la época era realizar aproximaciones cada vez mejores; por ejemplo, es posible construir un triángulo más o menos ajustado a la curva y estimar el área de la parábola como la del triángulo… claro, no es un resultado exacto, pero es un comienzo. Arquímedes lo hacía utilizando los dos extremos del segmento que corta la parábola como dos vértices del triángulo, y un tercer vértice sobre la parábola en la mitad entre los otros dos puntos en horizontal, como se ve en la figura:

Parábola y triángulo

Si te fijas, la aproximación que podemos medir perfectamente es la superficie del triángulo celeste, y el “error” (lo que no hemos medido aún) es el área de las dos regiones que he marcado en rojo. Observa el quid de la cuestión: cada una de las dos regiones rojas es otra vez el problema original, es decir, medir el área encerrada por cada segmento y la parábola, pero son áreas más pequeñas que la primera. A continuación podemos hacer lo mismo que antes para tener una aproximación mejor: utilizar los dos extremos del segmento en cada región roja, añadir un tercer punto como vértice de un triángulo y, así, aproximar cada región roja por un triángulo similar al primero. Desde luego, todavía habría un error, ya que en cada triángulo dejaríamos dos “regiones rojas”, con lo que ahora tendríamos cuatro, pero mucho más pequeñas que la original.

Si quisiéramos estimar el área de la curva con la exactitud que fuese, no habría más que añadir pasos y más pasos –es decir, triángulos y más triángulos– al proceso. Por ejemplo, aquí tienes un paso más en verde y otro en amarillo:

Parábola y triángulos

Pero quedarnos aquí es no “tocar” el infinito, y Arquímedes no se contentaba con esto. ¿Cuál es el área de verdad? La respuesta es que se trata del resultado de hacer este proceso infinitas veces. En términos matemáticos jainistas, innumerables veces. Pero ¿cómo hacer algo infinitas veces? ¡No se puede! Una mente inferior se hubiera parado ahí – es algo que no se puede comprender y punto. Pero Arquímedes no. Él se pregunta si hay alguna manera de poder conocer el resultado del proceso infinito sin necesidad de realizar los infinitos pasos.

Utilizando la geometría es posible ver de manera bastante sencilla que el área de cada triángulo verde es la octava parte que la del triángulo azul grande, lo mismo que el área de cada triángulo amarillo es la octava parte que la del triángulo verde correspondiente, y así sucesivamente. De modo que lo que Arquímedes necesitaba obtener era el resultado de la suma de las superficies de infinitos triángulos cada vez más pequeños. Si el triángulo inicial tenía una superficie S, la de cada triángulo verde es S/8 (y hay dos triángulos verdes), la de cada triángulo amarillo es S/64 (y hay cuatro triángulos amarillos), y luego S/512 (y hay ocho triángulos de esta superficie), etc. De modo que el área total es:

A = S + 2·S/8 + 4·S/64 + 8·S/512 + …

O, escrito de una forma más sencilla sacando factor común,

A = S · (1 + 1/4 + 1/16 + 1/64 + …)

Pero claro, esto es lo fácil: estoy poniendo esos puntos suspensivos como diciendo “hala, sigue sumando infinitas veces”… pero ¿cómo calcular ese resultado? De lo que no cabe duda es de que, aunque el proceso sea infinito, el resultado no lo es: se trata del área morada de la primera figura, y esa superficie no es infinita. El problema es que sumar infinitos términos uno a uno no es posible, de modo que el siracusano buscó otro camino. Él no lo hace utilizando fórmulas de series infinitas, ¡porque todavía no las hay!, sino mediante un razonamiento geométrico tan bello como una obra de Bach. Lo que doy aquí es una adaptación con dibujos diferentes que creo que se entiende mejor, pero es equivalente a la explicación de Arquímedes.

Imaginemos un cuadrado de área S metros. Si lo partimos en cuatro cuadrados iguales, el área de cada uno de ellos es 1/4 de la original; si hacemos lo mismo otra vez con uno de los cuadrados pequeños, el área de cada cuadradito restante es 1/4 de 1/4 del original, es decir, 1/16 del original; si lo hacemos de nuevo, la superficie de cada nuevo cuadradito es 1/64 del original, etc. De modo que el área que deseamos medir es la del cuadrado grande (S) más la de todos los cuadrados morados de la figura, que son infinitos (S + S/4 + S/16 + S/64 + …):

Cuadrados

Claro, a mí me enseñan esto y lo único que puedo decir es que no puedo sumar infinitos cuadrados, pero es que yo no soy Arquímedes. Fíjate en este otro dibujo del mismo problema, pero con los cuadrados que no nos interesaban coloreados en otros tonos:

Cuadrados

Preguntémonos ahora, no cuánto mide la superficie de nuestros infinitos cuadrados morados, sino algo diferente: ¿quién cubre más área, los cuadrados morados, los rojos o los verdes? La respuesta es que el conjunto de cuadrados morados, el de verdes y el de rojos miden exactamente lo mismo, ninguno de ellos “gana”, ya que hay una simetría perfecta entre ellos. Por lo tanto, el área de cada color completo es un tercio del área total del cuadrado. La conclusión de Arquímedes, por tanto, es que S/4 + S/16 + S/64 + … = S/3. Y, como consecuencia, el área parabólica que deseábamos no es más que S + S/3, es decir, 4S/3. No hay más que medir el área del primer triángulo grande, multiplicarla por 4/3 y listo. Pero lo tremendo no es que Arquímedes lograse cuadrar la parábola, algo maravilloso en sí mismo: es que, al medir la “superficie de los cuadrados morados”, “tocó” el infinito.

El propio Arquímedes se enfrentó a un problema similar, pero de mucha más difícil solución, al intentar realizar la cuadratura del círculo: la idea era hacer algo parecido a lo de arriba para calcular el área de un círculo mediante polígonos. El de Siracusa creaba un par de polígonos del mismo número de lados, uno inscrito en el círculo y otro circunscrito a él: puesto que el círculo estaba entre ambos, el área del círculo era mayor que la del polígono interior y menor que la del exterior:

Cuadratura del círculo

Leszek Krupinski/CC Attribution-Sharealike 3.0 License.

Aumentando el número de lados se disminuía el área entre ambos polígonos y, por tanto, se obtenía el valor del área del círculo con más y más exactitud. Para que te hagas una idea, no del genio, sino de la tenacidad de Arquímedes, calculó las áreas de sucesivos polígonos con más y más lados hasta llegar a los de 96 lados, y estimar así no sólo el área del círculo sino, con ella, el valor del número π como situado entre 3 + 10/71 y 3 + 10/70, es decir, 3.140 845 070 42 y 3.142 857 142 86. ¡Toma castaña!

Eso sí, en este caso el siracusano no pudo llegar al valor “real”, ya que aquí no hay manera de “hacer trampa” como en el caso de los cuadrados de antes. Entre otras cosas, π es un número irracional, con lo que es imposible escribirlo como una fracción –a esto volveremos más adelante–; la consecuencia es que aquí la secuencia infinita de áreas de polígonos, aunque tiende a un valor finito, no puede calcularse con un número finito de cálculos como antes.

El propio Arquímedes fue el primero, o uno de los primeros, en dar una definición con rigor matemático de los conceptos de infinito e infinitesimal. Expresado en términos modernos, según Arquímedes, un número x es infinito si x > 1, x > 1+1, x > 1+1+1, x > 1+1+1+… para cualquier número de pasos que queramos seguir. Es decir, x es infinito si, para cualquier número al que quieras llegar contando, x es mayor que ese número. Sé que puede parecer que esto no es más sofisticado que el “infinito es lo que no se puede medir”, pero lo es – desgraciadamente, no tengo el talento ni los conocimientos necesarios para expresarlo con claridad.

Respecto a un número infinitamente pequeño –un infinitesimal–, Arquímedes demuestra aún más elegancia. Desde luego, podríamos decir que el cero es el número infinitesimal por definición, pero la idea no es ésa: el de Siracusa quiere definir un número más pequeño que cualquier otro, pero que no sea necesariamente cero. Su definición es la siguiente: un número x es infinitesimal si x ≠ 0 y además 1/x > 1, 1/x > 1+1, 1/x > 1+1+1, 1/x > 1+1+1+… para cualquier número de pasos que queramos seguir. Es decir, x es infinitesimal si, sin ser cero, su inverso es mayor que cualquier número al que podamos llegar contando.

Durante muchos siglos, el concepto matemático de infinito siguió asociado a la geometría. La razón es, en gran parte, el hecho de que la mayor parte de los métodos para medir el área bajo curvas en problemas similares a los de Arquímedes y la cuadratura de la parábola o del círculo involucra operaciones realizadas infinitas veces. La primera aparición del símbolo de infinito, que hoy utilizamos con tanta naturalidad, se produjo precisamente en un texto de geometría de uno de los precursores del cálculo diferencial. Se trata del De sectionibus conicis (De las secciones cónicas), del inglés John Wallis, publicado en 1655. En él, Wallis afirma:

Supongo que cualquier plano […] está formado por un número infinito de rectas paralelas o, como yo prefiero, un número infinito de paralelogramos de la misma altura; sea la altura de cada uno de estos paralelogramos una fracción infinitamente pequeña, 1/∞ de la altura total (y sea el símbolo ∞ la representación de infinito) y la altura total es la altura de la figura.

No está claro por qué la elección de ∞ como símbolo de infinito. Hay quien piensa que es una modificación de la última letra del alfabeto griego, omega; si se toma omega minúscula, ω, y se “cierra el lazo” por arriba, se obtiene ∞. También hay quien piensa que puede ser una adaptación del símbolo etrusco para el número mil, CIƆ, que a menudo en vez de denotar el millar exactamente se empleaba para decir “una multitud” –de modo similar a como “una miríada de estrellas” puede no significar mil estrellas, sino simplemente muchas–. El caso es que el símbolo tuvo aceptación, en parte por la facilidad de escribirlo como un ocho “tumbado”, y hoy en día seguimos utilizándolo. El símbolo recibe a menudo el nombre de lemniscata, del latín lazo, dado que es casi idéntico a un cierto tipo de curvas matemáticas llamadas precisamente lemniscatas y que se definen por la ecuación (x2 + y2)2 = a2 (x2 - y2):

Lemniscata

Lemniscata de Bernoulli (Fibonacci/CC 2.0 Attribution-Sharealike License)

Esta idea de dividir una superficie en “infinitos paralelogramos infinitamente delgados” es, básicamente, cálculo integral en ciernes. Obtener el área de una curva como, dicho mal y pronto, la suma de infinitos rectángulos infinitamente pequeños, es algo así como decir que una circunferencia es un polígono de infinitos lados infinitamente cortos. Esto puede sonar a hacer trampa y decir un sinsentido, pero es la base del cálculo diferencial e integral, desarrollado poco tiempo después de Willis por Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz –que tuvieron una buena polémica acerca del mérito de cada uno y la independencia de los descubrimientos–.

Medir el área de una curva de este modo es sorprendentemente similar a cómo lo hacía Arquímedes con sus curvas, teniendo en cuenta los siglos que separan a unos de otros. Imagina que tienes una curva cualquiera, y quieres medir la superficie encerrada por ella (en este caso voy a cerrarla con una recta, pero la cosa cambia muy poco si hay otra curva ahí). Es posible hacerlo utilizando rectángulos, todos igual de anchos, cada uno de altura igual a la de la curva en el punto medio del rectángulo.

Claro, si coges pocos rectángulos, el área de los rectángulos no se parece mucho a la de la curva, pero si aumentas el número de rectángulos, el error disminuye hasta que, como diría John Wallis, si tomas infinitos rectángulos infinitamente estrechos, el área total de los rectángulos es igual al área de la curva. Pero creo que, mejor que con palabras, lo ves con una animación (si alguien talentoso con estas cosas puede hacer algo mejor, que me dé un toque):

Aproximación integral

Sin embargo, aunque la utilidad práctica del cálculo diferencial iniciado por Newton y Leibniz es enorme, el gran salto en el entendimiento del concepto de infinito llegó con un genio comparable al de Arquímedes: el alemán Georg Cantor. Nacido en San Petersburgo en 1845, este matemático fue más allá de lo que había ido el de Siracusa, más allá que los matemáticos indios, más que Newton, Leibniz o cualquier otro. Tal fue la sofisticación de Cantor en el estudio del infinito, la distinción de distintos infinitos y la concreción de sus propiedades que recibió críticas, no sólo de otros matemáticos, sino de teólogos cristianos que consideraban que su teoría atacaba el carácter absoluto del infinito encarnado en Dios. Pero, ¡ay!, tu frágil mente no soportaría más charla sobre el infinito en tan poco tiempo, de modo que dejaremos esa segunda parte –para la que debes preparar las neuronas con cuidado– para la semana que viene. ¡Hasta entonces! Puedes seguir leyendo aquí: http://eltamiz.com/2011/06/29/infinito-ii/

Hablando de..., Matemáticas

36 comentarios

De: Infinito (I)
2011-06-22 19:00:44

[...] Infinito (I) eltamiz.com/2011/06/22/infinito/  por makili hace 2 segundos [...]


De: Nikolai
2011-06-22 19:25:00

Es fantástico :) quede maravillado espero el siguiente.
Y pues yo que siempre pensé que el signo de infinito era por la banda de moebius jajaja las que le pasan a uno por no averiguar bien :)


De: Pedro
2011-06-22 19:30:58

Nikolai, gracias, esta primera parte se me queda un poco coja, pero es que con la segunda quedaba un artículo demasiado denso y largo. Creo que la segunda parte es mejor, pero ya me dirás :)


De: Mikel
2011-06-23 01:59:26

Espero ansioso la segunda parte!


De: Kenrae
2011-06-23 09:42:37

Desde que estudié en la facultad (de informática) estos temas siempre me maravillo cuando alguien explica los distintos tipos de infinitos y cosas así. Espero con ansia la segunda parte. ¿Aparecerá Gödel o se sale del tema?


De: gnomius
2011-06-23 10:34:47

Y hablando de... la cuadratura de la parábola. Arquímedes también logró demostrar el mismo resultado con otro método, el llamado "método mecánico", que usa solamente geometría y es casi más impresionante, si cabe. Ahí se ve que era un Genio con mayúsculas. Estaría bien para otro artículo. ;-)


De: Chapu
2011-06-23 12:43:28

El artículo impresiona. Y para el siguiente voy comprando aspirinas. Profe, eres el jefe.


De: Daniel López
2011-06-23 13:46:54

Nueva serie de El Tamiz: "Integrales sin fórmulas", jajaja. Genial artículo, como siempre.
PD: Ya vereis mi novia cuando le diga: "Siempre tardas un purvi en arreglarte"


De: kemero
2011-06-23 15:16:01

Aaaaah!! me quede peor que con los capítulos de LOST. Esperamos ansiosos la segunda parte Pedro!

PD: esa animación me hubiese ahorrado horas de estudio!! la explicación gráfica de mi profesor de 80 años en el pizarrón era la muerte!


De: JesLara
2011-06-23 20:18:35

wow! fascinante, esperaba que siguiera la charla, :-( . Espero ansioso la siguiente parte. Saludos


De: Karlo
2011-06-23 20:28:50

Simplemente me dejó sin palabras la demostración geométrica de que esa suma era un tercio. Mira que con métodos algebraicos es una tontería muy simple, pero pierde toda la belleza que tiene ese dibujo :) Gracias por un artículo tan genial, espero ansioso el próximo.


De: Juan Carlos Giler
2011-06-24 14:27:34

Asombroso!!!!

No puedo esperar... :(


De: Patriot
2011-06-24 15:33:58

como! toda una semana de espera! no creo poder aguantar las ganas... no sobreviviré


De: Patriot
2011-06-24 15:39:45

por cierto que en estos días, y con tanta física que he leído en tamiz, me he dado cuenta que deseo una cosa: aprender matemáticas. Los desafíos del profe me dan por la nuca

pero por todos los cielos, no se cómo comenzar! como se aprende matemáticas? tendré que ir a secundaria otra vez? nunca me fue mal en matemáticas, pero a pesar de los 100's hasta en los últimos meses he ido comprendiendo realmente que es lo que me explicaban los profesores.. :(

alguien sabe cuales son los pasos para aprender un poco de matemáticas de manera autodidacta?


De: Angel
2011-06-24 16:03:23

Karlo: la potencia y simplicidad operativa del algebra en las demostraciones matemáticas es brutal, pero a costa de hacer las cosas mucho menos intuitivas. Si no se entiende bien la base - o no te lo explican con cuidado-, todo se convierte en un mero manejo de simbolos para un lado y para otro. Creo que esa es una de las razones por las que las matemáticas dan tanto repelus a algunas personas :-(

Patriot: pues es un poco complicado de responder... habría que saber primero que conocimientos tienes, antes de recomendar nada. Además, ¿que es exactamente lo que quieres aprender? ¿Simplemente aprender a hacer unas cuentas (algebra elemental, trigonometria y un poco de calculo diferencial o integral), o matemáticas de verdad ;-) ?


De: Nivyii
2011-06-24 16:20:38

Me sumo a lo de “Integrales sin fórmulas”, excelente artículo, como siempre ^^


De: Patriot
2011-06-24 16:38:25

funciones, matrices (en matemática para proga1 me lo metieron) cálculo, eso de la integral, la derivada... es que la verdad no se por donde comenzar a entender las matemáticas y siento que me gustan


De: Angel
2011-06-24 17:51:58

Patriot: tal vez un buen lugar para empezar a ver algo de matemáticas desde un punto de vista divulgativo es el blog del Tio Petros: http://tiopetrus.blogia.com/ Aunque hace tiempo que el autor dejo de escribir, darse un paseo por las entradas antiguas es una autentica pasada. Esta escrito en un tono similar al del Tamiz, así que cualquiera con un poco de esfuerzo y ganas puede entenderlo.

Si entiendes un poco de ingles, tal vez otro lugar recomendable es Khan Academy: http://www.khanacademy.org/ Son pequeñas lecciones sobre temas concretos de todo tipo (matemáticas, física, biología). Así que si te interesa, por ejemplo, saber algo más sobre funciones, puedes verte algunos de los videos sobre el asunto.

Si quieres algo más riguroso y extenso, por youtube hay bastantes cursos universitarios grabados. Por ejemplo, este de Analisis Real es, para mi gusto excelente: http://www.youtube.com/user/alnoah#grid/user/1305BFE4E104C3D6
(En mi canal en youtube puedes encontrar cursos sobre otros temas).

Por último, la mejor manera de aprender es mediante un buen libro. Para empezar podrías echarle un vistazo a estos: http://www.ck12.org/flexbook/browse/seeall/mathematics/ Como introducción suelen estar bien (tampoco es que los haya leido todos) y además son gratuitos (y algunos de ellos tienen versión en castellano).


De: Patriot
2011-06-24 18:16:40

oh muchisimas gracias, se que me servirá de mucho. es que quiero dejar de sentirme tonto cuando Pedro dice: "como ya saben solo hacemos xxx y por la ley de xxxxxxxxx entonces el resultado, sabrán ustedes, es xxxxxxxxxxxx...


De: Cataclysm
2011-06-27 11:19:23

Excelente artículo. A la espera de su segunda parte.


De: Sergio B
2011-06-27 12:32:18

Muy bueno, espero la segunda parte con muchas ganas. Me ha recordado a cierto libro que leí, la maravillosa historia del infinito, mas que a mis clases de matemáticas. En matemáticas es una herramienta mas, en física suele ser un signo de error algo así venia a contar, con muchas historias. Aunque la verdad, se hacen cosas curiosas, recuerdo una forma de representar la respuesta a frecuencia en el plano imaginario para cálculos de estabilidad en el que las cosas se van al infinito y vuelven y hay que mirar por donde van en el infinito (criterio de estailidad de Nyquist) y la verdad es que esos paseos por el infinito son de lo mas divertidos. La verdad es que eso me hace pensar en lo que comentaste de los dos tipos de infinitos, los que puedas sacar en series u operaciones, que son operables o los geométricos, como las vueltas que puedes dar a una esfera hasta encontrar el final, que no lo son, supongo que iría por ahi.

@Patriot, yo para empezar a conocer las matemáticas creo que lo mejor es lo que nos comento nuestro profesor el primer dia en la uni, asumir que no sabéis absolutamente nada de matemáticas. Empezar por la base, los axiomas, la demostraciones básicas, que son muy elegantes e interesantes y el resto, no tienen tanta gracia, la verdad. Algo muy gracioso es lo de la recta, entender que no es lógico y en si ni siquiera cierto, mola bastante. Dibujate una recta con lo que sea y piensa que hay infinitos puntos en ella, bien, ¿infinitos puntos de que? De tinta no, de lápiz menos, de papel no, de átomos tampoco... ¿hay algún infinito en una recta? De puntos matemáticos solamente y eso es solo por que la matemática lo dice así, sino lo lógico y cierto es que no es así.


De: Miguelon
2011-06-27 16:45:11

Desde mi punto de vista desde que se descubrió que el universo es finito y tuvo un principio, el concepto de infinito dejó de tener validez alguna que no fuera en nuestra imaginación o como simple concepto matemático. El infinito es simplemente algo que no existe en la naturaleza (que sepamos claro), podemos pensar en estrellas, electrones, quarks, segundos, sea lo que sea no existe un número infinito de nada, así que a mi modesto entender el problema de lo infinito ya no es un problema, simplemente es algo que no existe, al menos en nuestro universo conocido.


De: Joselo
2011-06-28 07:00:34

@miguelon
Yo estoy justamente desde la perspectiva contraria a la tuya.
De entrada ¿Desde cuándo se descubrió que es finito? y después ¿Con principio de refieres al Big Bang?
Ahora yo pienso que lo que está en nuestra imaginación no es el concepto de infinito, si no el concepto de creer que algo es finito o infinito, pienso que la naturaleza simplemente actúa y nosotros conceptualizamos su comportamiento en este caso en finito o infinito, la evidencia está en que cualuier cosa puede ser finita o infinita desde el punto de vista que la mires excepto las creaciones humanas, en el ejemplo del artículo de la línea y los puntos que existen en ella: nuestra ilusión de límites nos hace dividir en segmentos esta línea y podemos hacer que los segmentos sean tan pequeños que sean infinitos, y tan arbitrarios que simplemente dividir la línea en 3 y decir que la línea es finita porque tiene solo 3 segmentos, ahora nuestra facultad de generalizar algo depende de las características en común que se hallen entre las cosas que se generalizen, por ejemplo: las estrellas, son cuerpos celestes que emiten luz propia, a partir de ahí contamos las estrellas en base a estas características y para pensar en algo infinito o finito, primero hay que pensar en la definición del concepto al que se se lo vamos a atribuir, porque no podría ser infinito o finito algo sin concepto (porque el concepto es la ilusión de la interpretación de la naturaleza para hallarle un sentido) ahora, dentro de esta ilusión conceptual que es donde se desarrollará el debate, creo q el universo es infinito por su propio concepto, que es un todo ¿Dónde marcarías los límites de un universo (todo) finito, si no es dentro de algo más grande?Por lo tanto el universo no tendría límites porque al existir estos límites, debería exitir dónde delimitarlos y por lo tanto, no sería finito porque siempre habría algo más grande. Dicho de otra forma: nuestra ilusión del concepto de "universo" y "finito" son contradictorias porque ambas son definidas por límites de forma contraria: el universo es un todo (algo sinlímites), y la finitud es algo contable (algo con límites) ¿Cómo puedes atribuir al universo una propiedad por definción contradictoria?
Ahora todo lo que no es infinito es contable hesta su término, entonces ¿Cómo demuestras que se pueden contar las estrellas, electrones, quarks y segundos totales del universo?


De: Joselo
2011-06-28 07:12:29

Todo eso considerando que dices universo como un todo, y no como "nuestro universo" (dentro de alguna teoría de multiversos) , porque ahí si podrían haber límites


De: Angel
2011-06-28 11:58:05

Joselo: existen conjuntos infinitos e ilimitados, infinitos y limitados, finitos e ilimitados y finitos y limitados, así que no son conceptos contradictorios. El Universo bien podría ser finito e ilimitado, como las cosmologías más simples predicen. Aunque debido a ciertos problemas que introducen los modelos inflacionarios, que el Universo sea finito no esta nada claro.


De: Juan Carlos Giler
2011-06-28 16:08:23

¿Que número de partículas elementales tendríamos si "llenamos" todo el universo con un materia similar a la existente en una estrella neutrónica?
(Recordemos que casi todo el universo [conocido] es vacío)

¿Infinito? ¿Gugol(plex)?

Saludos


De: Joselo
2011-06-29 07:32:45

@Angel
No lo sabía, la verdad mi respuesta fue un poco mas filosófica, disculpe ud mi ignorancia jaja jeje
¿Cuál es un ejemplo de conjunto finito ilimitado y uno de infinito limitado? Sólo para tener los conceptos claros


De: El_tonto_del_pueblo
2011-06-29 14:01:01

Donde hay un infinito hay una contradicción.


De: Miguelon
2011-06-29 15:18:25

@Joselo, El infinito solo tiene validez cuando incorporamos conceptos humanos, ya que hablas de los puntos de una línea, que es un punto de una línea en realidad?, si lo definimos como un átomo,entonces la línea tiene un número definido de puntos, si vamos mas allá y lo definimos como un electrón, la línea seguirá teniendo un número finito de puntos. Es cierto que nadie sabe la verdad realmente, yo me baso en lo que se conoce ahora sobre el universo, y parece claro que está limitado, y que todo está cuantificado, el universo se expande y contiene un número finito de atomos, estrellas o de lo que sea que haya en él, incluyendo el tiempo si aceptamos como válida la teoría del big bang donde comenzó el tiempo y el espacio. Saludos


De: Miguelon
2011-06-29 15:21:29

@Juan Carlos, ni yo ni nadie sabría darte esa respuesta, y aunque sería un número extremadamente alto, seguiría siendo un número finito


De: joselo
2011-06-30 07:49:50

@miguelon. Ohh, ya entedí el punto del universo finito.. tiene bastante sentido con eso de los átomos, igual lo de la línea, siempre y cuando determines con qué se va a medir. Pero bueno, como puse en mi comentario, interpreto el universo como un todo, no como nuestro universo, es decir... quizá nuestro universo tiene la particular facultad de que aquí haya átomos, electrones y demás cosas, pero hablando de un Universo (muchos universos como el nuestro) es bastante lógico que sea infinito xq para determinar límites haría falta algo más grande donde determinarlos y siempre habría más y más, es decir nunca sería absurda la pregunta...¿Qué hay fuera? si alguien tiene argumentos mas consistentes bienvenidos sean, estoy aqui para aprender.
por cierto no contestaste mis preguntas ¿Cuál es un ejemplo de conjunto finito ilimitado y uno de infinito limitado?


De: Venger
2011-10-20 16:52:12

No puedo evitar hacer un apunte. El signo del "8 tumbado" támbién se debe a un objeto que reperesenta el infinito. A ver si lo sé decir:

1- Si cojo una correa de vestir y la abrocho de forma normal (fuera de mi cuerpo), una hormiguita puede ir caminando por el lado interior y llega al mismo punto hasta dar la vuelta. Lo mismo por el lado exterior. Pero no camina por el lado exterior ni interior en el mismo paseo.

2- Ahora cojo la correa y en vez de abrocharla igual que antes, la torsiono, le doy una vuelta y entonces la abrocho. Y me queda como un 8, por cierto. Entonces, la misma hormiguita, al empezar a caminar por un punto, dará dos vueltas, una por el lado exterior y otro por el lado interior, antes de regresar al mismo punto

Por eso ese es el símbolo del infinito, porque la hormiguita camina por el lado exterior e interior. Es decir, abarca todo el cinturón


De: Sergio B
2011-10-20 20:57:04

@Venger, eso es la cinta de moebius


De: Venger
2011-10-21 11:13:19

Tienes razón, ya lo había apuntado Nikolai


De: La Royal Society | El Tamiz
2012-07-11 15:38:07

[...] vez fue padre de la paradoja de Galileo en la que se pone de manifiesto lo extraño del concepto de infinito, cuyo tratamiento matemático sufrió duras críticas por parte de Henri Poincaré, el precursor de [...]


De: Brian
2013-06-14 11:52:35

Pedro, perdón mi gran ignorancia. Pero en caso de que quiera medir el área de un círculo mediante las figuras geométricas ( en ese caso los triángulos), no se podría dividir el círculo en dos partes iguales y aplicar a cada mitad el sistema que uso para medir la parábola?


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