Regístrate | Conectar
El Tamiz Libros Recursos Series Únete 13 Users Online
Skip to content

De la Lógica a la Relatividad – Conjuntos cocientes.




Tras hablar de conjuntos y de aplicaciones entre conjuntos, en esta entrada de la serie De la Lógica a la Relatividad hablaremos de uno de los recursos matemáticos más útiles y que más quebraderos de cabeza le da a los alumnos: las relaciones de equivalencia.

Los matemáticos son unas peronas muy extrañas. Cuando un matemático estudia un conjunto lo suele hacer viéndolo a través de filtros o gafas para cegatos. ¿Y qué es lo que suelen hacer estas gafas? Pues confundir elementos del conjunto, esto es: si antes de ponerte las gafas eras capaz de distinguir dos elementos, es posible que cuando te pongas las gafas ¡se transformen en el mismo elemento!. A estas “gafas mágicas” se las conoce comúnmente como relaciones de equivalencia.

La pregunta es, ¿por qué son interesantes las relaciones de equivalencia? Pues simplemente porque permite clasificar los elementos de un conjunto. Veamos primero un ejemplo.

Supongamos que tenemos una biblioteca en casa. Ésta tiene muchos libros de distintos colores y tamaños. Imaginaos que tenemos unas gafas que, cuando nos las ponemos, hacen que todos los libros del mismo color sean el mismo libro. De repente, cuando nos ponemos estas gafas, la cantidad de libros disminuye drásticamente. De hecho ya no podemos hablar propiamente del conjunto de libros de la biblioteca, ¡sino del conjunto de colores que tienen los libros de la biblioteca!

Como vemos, cuando aplicamos una relación de equivalencia a un conjunto surge otro conjunto nuevo, distinto. A este conjunto se le denomina conjunto cociente. Pero, aunque sea distinto, está relacionado con el original y (por supuesto) con la relación de equivalencia.

Ahora bien, ¿qué debe propiedades debe cumplir una relación de equivalencia? Son de sentido común, así que no dejes que la notación matemática te asuste. Pondremos ejemplos de cada propiedad en el caso de nuestra biblioteca, para que puedas comprenderlas en un caso concreto:

1. Ser una aplicación del tipo:

R:A\times A\longrightarrow\{0,1\}

de forma que dos elementos a,b que pertenecen al conjunto A están relacionados si y sólo si R(a,b)=1. Esto último se escribe a\ R\ b o bien a\sim b.

Por ejemplo, en el caso de los libros de la biblioteca y los colores de los libros. Si dos libros a y b tienen el mismo color, R(a,b)  = 1. Si no lo tienen, R(a,b) = 0.

2. Se tiene que cumplir que todo elemento está relacionado consigo mismo. Es decir: a\ R\ a para todos los elementos del conjunto.

En el caso de los libros, todo libro tiene el mismo color que él mismo.

3. Da igual en que orden pongas los elementos, el resultado debe ser el mismo. Esto es: si a\ R\ b entonces b\ R\ a.

Es decir, si el libro a tiene el mismo color que el libro b, b tiene el mismo color que a.

4. Las relaciones se heredan. Esto es: si a\ R\ b y b\ R\ c entonces a también esta relacionado con c (a\ R\ c)[1].

Para nuestros libros de colores, si a tiene el mismo color que b y b tiene el mismo color que c, eso quiere decir que a tiene el mismo color que c.

El conjunto cociente se suele denotar por:

A/R.

Esta bastante claro que el conjunto cociente siempre tiene igual o menos elementos que el conjunto original (un gallifante al que explique por qué). Lo que no es tan trivial de ver es que el conjunto cociente sea una partición del conjunto original. ¡Ah!, pero, ¿qué es una partición de un conjunto? Fácil, una partición de un conjunto no es más que dividir el conjunto en partes de forma que no sobre ningún elemento y ninguna parte puede compartir el mismo elemento. Es como si partiéramos el conjunto en trozos. Es más, el resultado al revés también se cierto: toda partición de un conjunto define una relación de equivalencia (cuyo conjunto cociente es la partición, por supuesto).

Esto que hemos enunciado es el siguiente teorema:

Dar una relación de equivalencia es lo mismo que dar una partición de un conjunto y viceversa.

Este tipo de construcciones se usan cuando se quieren eliminar los elementos repetidos o simplemente la basura de un conjunto. De hecho, en la próxima entrada vamos a usarlos de forma extensiva.

Ahora el clásico resumen: usando los conocimientos de conjuntos y de aplicaciones entre conjuntos hemos definido un nuevo tipo de relaciones que nos permiten clasificar los elementos de un conjunto. Además hemos visto que el camino al revés también funciona.

En la próxima entrada hablaremos de los números enteros y de los números racionales, y veremos como usando las relaciones de equivalencias es extremadamente fácil dar una definición de estos conjuntos y comprobar algunas de sus propiedades.

  1. Propiamente se suele decir que la relación cumple las propiedades: reflexiva, simétrica y transitiva. []

Sobre el autor:

cruzki (Cruz Enrique Borges Hernández)

Canario de nacimiento que por motivos de estudios se mudó a Santander para hacer el doctorado en la Universidad de Cantabria ahora se ha vuelto a mudar a Bilbao para trabajar como investigador en DeustoTech (Universidad de Deusto). Me gusta la divulgación científica y me he propuesto hacer divulgación del "lenguaje de las ciencias" o con el nombre que muchos odiais, matemáticas. Deseadme buena suerte.
 

{ 7 } Comentarios

  1. Gravatar Belerofot | 28/09/2008 at 07:48 | Permalink

    Buen articulo aunque se complica por momentos…

  2. Gravatar Brigo | 28/09/2008 at 08:01 | Permalink

    Siguiendo con el ejemplo de los libros ¿ la partición estaría formada por los libros del mismo color?

  3. Gravatar cruzki | 29/09/2008 at 08:35 | Permalink

    @Belerofot Esta es probablemente una de las entradas más enrevesadas de la serie, sobre todo porque lleva mucho formalismo. De hecho, si “te saltas” el formalismo, la idea es bastante simple.

    Una relación de equivalencia es lo mismo que “clasificar” los elementos o hacer una “partición” de los elementos.

    @Brigo

    Exacto, brigo.

    A lo mejor debería de explicar como se realiza el proceso inverso. O sea, a partir de una partición generar la relación de equivalencia, pero es TAAAAN fácil. A ver si a alguien se le ocurre.

  4. Gravatar joel | 30/09/2008 at 08:31 | Permalink

    Vaya, Beleforot, yo estaba pensando justo lo contrario. Después de unas entradas algo complicadas por fin una sencilla ;-)

    Para mi ha sido como una especie de descanso, y de ánimo que me hace dejar de replantearme volver a leer toda la serie para poder seguir.

    (Me pasó lo mismo con la cuántica hasta que Pedro habló del pozo de potencial infinito).

  5. Gravatar TOMS | 02/10/2008 at 07:10 | Permalink

    ¡Hola! cruzki, enhorabuena por la página, la seguiré hasta el final, me gustan las matemáticas y si se explican bien mejor.

    Tengo una duda, veamos, por un lado dices que “el conjunto cociente siempre tiene igual o menos elementos que el conjunto original”, pero después añades “una partición de un conjunto no es más que dividir el conjunto en partes de forma que no sobre ningún elemento y ninguna parte puede compartir el mismo elemento”

    Si cuando realizas la partición no te puede sobrar ningún nº, el conjunto cociente ¿cómo va a tener menos elementos, si por obligación tienes que coger todos?

    Por ejemplo, tenemos el conjunto 1,2,3,4,5,6,7,8,9, y formamos el siguiente conjunto cociente {1} , {2,3}, {4,5,6,7,}, {8,9}, los 4 forman el conjunto cociente o ¿hay 4 conjuntos cocientes?, porque si los 4 juntos son el conjunto cociente no puede sobrar ninguno y por lo tanto tiene que tener el mismo nº de elementos, pero si hay 4 conjuntos cocientes entiendo tu explicación porque, en este caso, todos tienen menos elementos que el conjunto inicial y lo máximo que puede tener el conjunto cociente son todos los elementos del conjunto inicial.

    Un saludo. Tomás

  6. Gravatar Lucas | 19/11/2008 at 10:48 | Permalink

    Toms

    Sucede que mezclas los conceptos de “partes” con “elementos”. En tu ejemplo el conjunto cociente es uno solo, el cual contiene cuatro elementos (necesariamente esos elementos son subconjuntos, que a su vez, contienen otros elementos, osea, los números del 1 a 9, pero estos últimos no son subconjuntos). Es decir, la cantidad de elementos que tenías antes, eran 9, ahora tienes 4.

    Es evidente que el conjunto cociente no puede contener más elementos de los que disponía anteriormente, porque de ser así, alguno de esos subconjuntos, debería estar vacío. Dicho de otra manera: intenta divivir dos números naturales de modo que el cociente no sea igual ni menor que el dividendo…

    Si dije algo mal, que alguien lo corrija.

  7. Gravatar Jimmy | 06/03/2009 at 01:57 | Permalink

    es buena entrada me pocrias sacar de una duda, para cada relacion de equivalencia existe un conjunto cociente diferente? espero tu respuesta

{ 1 } Trackback

  1. [...] en cada subconjunto cada par de elementos cumple la propiedad definida por la relación. Recomiendo este post de El Cedazo en el que se explica el tema con más [...]

Escribe un comentario

Tu dirección de correo no es mostrada. Los campos requeridos están marcados *

Al escribir un comentario aquí nos otorgas el permiso irrevocable de reproducir tus palabras y tu nombre/sitio web como atribución.