El Cedazo

Esta entrada de la serie dedicada al álgebra geométrica se dedicará al álgebra del espacio euclídeo tridimensional, también conocida desde el punto de vista matemático como álgebra de Pauli. Como espacio lineal esta álgebra tiene 8 dimensiones: una dimensión escalar, tres vectoriales, tres bivectoriales y una trivectorial. Si en el caso del álgebra del plano euclídeo pudimos destacar la existencia de una subálgebra muy importante que podíamos identificar con los números complejos, veremos hoy que la subálgebra más importante de la podemos identificar con los cuaterniones. Los cuaterniones, como los complejos en , se podrán considerar como los operadores de rotación y reescalado del álgebra, aunque en esta entrada no entraré todavía en detalles sobre ello. Acabaré la entrada hablando sobre los inversos de los multivectores.

Un multivector genérico de tiene un total de 8 componentes: una escalar, tres vectoriales, tres bivectoriales y una trivectorial (pseudoescalar):

El pseudoescalar unitario canónico de se indica, como en toda álgebra geométrica, como , que en este caso valdrá:

El cuadrado de vale -1, igual que pasaba en (donde teníamos que ):

La idea que he seguido para reordenar los factores y hacer las contracciones es esta: como es un trivector, será igual a su reversión cambiada de signo: , como vimos en la entrada 11. Por tanto, , ya que en toda álgebra geométrica asociada a un espacio de métrica euclídea (o sea, en el que los vectores tienen cuadrado positivo) el producto de por su reversión da 1, al producirse contracciones en cascada.

Es decir, igual que pasaba en , en también se cumple que . Eso no quiere decir que en dimensiones superiores siga siendo así: en tendremos que cumple que , como también sucede en . En cambio, en y volvemos a tener : si recordáis lo dicho en la entrada 11 sobre el signo de la reversión de un multivector homogéneo (o sea, cuyos términos son todos del mismo grado) no es difícil de entender.

Las álgebras geométricas más interesantes en la práctica, al menos en Física, que son la del plano euclídeo, , la del espacio euclídeo tridimensional, y la del espacio de Minkowski de la relatividad especial, , cumplen las tres que .^[1]

Tenemos así que en el pseudoescalar unitario canónico se comporta de nuevo como una unidad imaginaria, y el conjunto de multivectores de que sólo tengan parte escalar y parte trivectorial se comportan exactamente igual que números complejos cuando se operan entre sí: hemos descubierto dentro de una subálgebra que resulta ser una copia del conjunto de los números complejos, como sucedía con la subálgebra par de .

Estos “complejos” pueden ser representados perfectamente, si es necesario, en forma polar:

donde, naturalmente:

y

Sin embargo, a diferencia de lo que pasaba con el pseudoescalar de , en el pseudoescalar conmuta con los vectores, o sea, que para cualquier vector tendremos:

Análogamente a la entrada anterior, en que había que demostrar la anticonmutatividad, podríamos demostrar ahora la conmutatividad comprobándola para los tres vectores de la base, pero es mucho más inteligente hacerlo representando al pseudoescalar como un paralelepípedo de volumen 1 que tenga por aristas los vectores , y , que forman una base ortogonal, aunque no necesariamente ortonormal.

Siempre es posible reexpresar el trivector unitario de forma que sea el producto de un vector por otros dos vectores, y , escogidos de modo que los tres formen una base ortogonal y que el volumen orientado del paralelepípedo que definen sea idéntico al representado por el pseudoescalar unitario canónico.

Tendremos así:

y la conmutatividad de con se demuestra fácilmente. Multiplicando por un lado tendremos:

Si multiplicamos por el otro lado podemos llevar el factor hacia adelante, saltando por encima de los dos vectores y . Cada salto lleva aparejado un cambio de signo, porque es ortogonal a ambos vectores. Como hay un número par de cambios de signo, acabamos obteniendo el mismo resultado que antes:

En la entrada anterior vimos que en los vectores anticonmutaban con los pseudoescalares, que allí eran los bivectores. Ahora vemos que en los vectores conmutan con los pseudoescalares (que ahora son los trivectores). Este resultado se generaliza a las demás álgebras asociadas a un espacio vectorial de n dimensiones (sin importar que la métrica sea euclídea o pseudoeuclídea) del siguiente modo:

1) En , cuando n es par, los vectores anticonmutan con los pseudoescalares. De ahí se deduce que los multivectores de grado par (bivectores, cuadrivectores, etc) conmutan con los pseudoescalares y los multivectores de grado impar (además de los vectores, los trivectores, etc.) anticonmutan con los pseudoescalares.

2) En , cuando n es impar, los vectores conmutan con los pseudoescalares. De ahí se deduce que todos los multivectores del álgebra, no importa si su grado es par o impar, también conmutan con los pseudoescalares.

Por tanto, en el caso de , tendremos que conmuta con los vectores y, por tanto, con cualquier elemento del álgebra, al igual que los escalares. Con ello resulta que los multivectores que consten solamente de parte escalar y parte trivectorial conmutan con cualquier otro elemento del . Los “complejos” de forman lo que los matemáticos llaman el centro de , es decir, la mayor subálgebra que existe en cuyos elementos conmutan con cualquier elemento de .

Aparte de eso, desde el punto de vista geométrico, la subálgebra formada por escalares y trivectores de no es muy interesante. A diferencia de lo que sucede en , los complejos de no se comportan como operadores de rotación-reescalado. La subálgebra de que realmente nos interesa es, como siempre será el caso, la subálgebra par.

La subálgebra par de , los cuaterniones

De las 8 dimensiones de un multivector , la mitad corresponden a la parte de grado par (una dimensión escalar y tres dimensiones bivectoriales) y la otra mitad a la parte de grado impar (tres dimensiones vectoriales y una dimensión trivectorial o pseudoescalar). Los multivectores de grado par forman una subálgebra: al sumar y multiplicar multivectores de grado par vuelvo a obtener multivectores de grado par. Los multivectores de grado impar no forman una subálgebra: si multiplico dos multivectores de grado impar no obtengo un multivector de grado impar, sino par.

En toda álgebra geométrica el conjunto de multivectores con términos de grado par forma una subálgebra. A los elementos de una subálgebra par se les conoce como espinores. De este modo, los complejos son, de acuerdo con lo que vimos en la entrada pasada, los espinores de , y ahora vamos a ver que los cuaterniones son los espinores de .

Recordemos que los cuaterniones tenían una parte escalar y una parte, según decía Hamilton, “vectorial”. Esta parte “vectorial” se expresaba como combinación lineal de una base ortonormal de tres “vectores”: , y . Estos “vectores” cumplían esta igualdad:

Pues bien, consideremos esta base de los bivectores de : , y . El cuadrado de cada uno de estos bivectores es -1, naturalmente:

Y si hago el producto de estos tres bivectores se obtiene -1, análogamente a hacer el producto de “vectores” :

Es decir, los bivectores , y se comportan exactamente igual que los “vectores” , y , respectivamente. Por tanto, la subálgebra par de es indistinguible de los cuaterniones: multiplicar o sumar dos elementos de la subálgebra par de es como multiplicar o sumar dos cuaterniones.

También con esto queda claro que, desde el punto de vista del álgebra geométrica, lo que Hamilton llamaba “vectores” son en realidad bivectores. Con los cuaterniones, un vector se está confundiendo con la superficie orientada perpendicular a él.

Igual que sucedía en con los complejos unitarios, los cuaterniones unitarios se comportan como operadores de rotación en . Adelanto que la expresión de la rotación de un vector tiene esta forma:

Donde es el ángulo de rotación y es un bivector unitario. Veremos que, análogamente al caso de los complejos, en que un complejo unitario se puede escribir como una exponencial de un imaginario, un cuaternión unitario se puede expresar como exponencial de un bivector. Así pues, tendremos que para rotar un vector hay que multiplicarlo por un lado por un cuaternión unitario y por el otro por el respectivo cuaternión conjugado. El cuaternión unitario codifica la rotación de forma muy eficiente (con sólo cuatro componentes, que además cumplen la condición de normalización del cuaternión) y cuando se expresa como exponencial de bivector, salta a la vista el ángulo y plano de rotación. El método convencional para representar rotaciones mediante matrices ortogonales de tres filas y tres columnas es más engorroso: utiliza más parámetros y el ángulo y eje de rotación no son tan fáciles de ver. Por ello, el uso de cuaterniones ha sustituido al uso de matrices en la animación por ordenador, como veremos. Las próximas entradas se dedicarán a las simetrías y rotaciones en el álgebra geométrica.

Pero antes de acabar la entrada de hoy, conviene comentar el problema de hallar inversos de multivectores. Si bien todo complejo o cuaternión diferente de 0 tenía inverso, ya no es cierto que exista siempre inverso para cualquier multivector no nulo de una álgebra geométrica. En las álgebras geométricas no está garantizada la existencia de inverso de un multivector diferente de 0, o, lo que es lo mismo, las álgebras geométricas no tienen en general estructura de cuerpo.

Los inversos de los multivectores en .

En los conjuntos y , respectivamente, los números complejos y los cuaterniones, vimos que podíamos obtener el inverso de cualquier complejo o cuaternión que fuera diferente de 0: basta dividir el conjugado (que en álgebra geométrica corresponde a la reversión) del complejo o cuaternión por el cuadrado de su norma, obtenido como producto del complejo o cuaternión por su respectivo conjugado. En el caso de los multivectores de una álgebra geometrica, no siempre existe el inverso, como vamos a ver.

El inverso de los multivectores homogéneos de , y también de , cuando todos los términos tienen el mismo grado, no ofrece problema, porque el método de dividir la reversión del objeto por el producto del objeto por su reversión, no importa que se trate de escalares, vectores, bivectores o trivectores, también funciona:

El método funciona porque tanto en como en cualquier multivector homogéneo de grado m es simple, es decir, puede expresarse como un producto exterior de m vectores. Un producto exterior de m vectores también puede expresarse como un producto geométrico de m vectores (ortogonales) y, por tanto, es un versor, al que puede aplicarse la fórmula del inverso de un versor que vimos en la entrada 11. Pero cuando n es mayor que 3, como veremos, no todos los multivectores homogéneos de tienen por qué ser simples, y la fórmula del inverso de un versor deja de tener validez general.

Pero volviendo a y , cuando tenemos multivectores no homogéneos, ya no es aplicable en general la fórmula del inverso de un versor. Todavía sí en el caso de la suma de escalares con bivectores, porque entonces es como calcular el inverso de un cuaternión. Tampoco hay problema en hallar el inverso de la suma de un escalar y de un trivector, porque es como calcular el inverso de un complejo. Pero, ¿cómo hallar, por ejemplo, el inverso de la suma de un escalar y de un vector? El método de los complejos o de los cuaterniones, que utiliza la reversión, ya no funciona. Pero en este caso sí funciona, normalmente, sustituir la reversión por la involución de grado. Calculemos el inverso de :

Y efectivamente, podemos comprobar que se cumple que . Pero fijémonos que en el cálculo del denominador ha aparecido una diferencia de cuadrados (en el caso del cálculo de inversos de complejos o cuaterniones siempre aparece una suma). ¿Qué pasará cuando tengamos que calcular el inverso de la suma de un escalar y un vector en la que la norma del vector coincide con el módulo del escalar? Por ejemplo, esto:

Donde es un vector unitario:

Si queremos aplicar la fórmula del inverso para sumas de escalares y vectores, que utiliza la involución de grado, debemos calcular el producto de esta expresión por su involución de grado, que aparecería dividiendo. Pero resulta que ese producto se anula:

Y la fórmula no permite obtener un inverso válido, al no poder dividir por 0. Acabamos de encontrar un multivector diferente de 0 que parece no tener inverso. Y, efectivamente, no lo tiene. Calculemos ahora el cuadrado de este multivector, y veremos algo curioso:

Un multivector que cumple, como el del ejemplo, que , es lo que se conoce como elemento idempotente. Un elemento idempotente diferente de 1 no puede tener inverso: si suponemos que sí lo tiene llegamos inmediatamente a una contradicción. Supongamos que existe , el presunto inverso de . Entonces podríamos multiplicar por por la derecha, por ejemplo, a ambos lados de la igualdad , y obtenemos:

Lo cual es una contradicción, porque partimos de que es distinto de 1.

Tampoco son invertibles los llamados elementos nilpotentes. Un multivector es nilpotente es el que, siendo diferente de 0, cumple: para cierto número positivo m. Aquí tenemos un ejemplo:

que, por cierto, resulta de multiplicar por el idempotente , y que también podemos escribir como:

No es difícil comprobar que el cuadrado de este multivector (muy conocido, por cierto, en mecánica cuántica), es 0, y por tanto, es un elemento nilpotente (en este caso, m es simplemente 2).

Un elemento nilpotente tampoco tiene inverso. Parecidamente al caso de los idempotentes, si suponemos que lo tiene, llegamos a una contradicción.

Además, cualquier multivector que resulte de multiplicar un multivector no invertible por otro multivector (sea este último invertible o no) tampoco es invertible.^[2]

El hecho de que no todo objeto diferente de 0 en una álgebra de Clifford sea invertible es algo a tener muy en cuenta a la hora de hacer simplificaciones. Si tenemos una ecuación de este estilo:

no podemos “tachar” alegremente en los dos lados sin saber si existe o no . Sólo si es invertible podemos hacer:

y por tanto, deducir que:

Un ejemplo concreto. Se puede comprobar que la siguiente igualdad es cierta:

A pesar de que claramente . El factor es no invertible (es idempotente) y no se puede tachar impunemente a ambos lados de la igualdad.

El conjugado de Clifford

El inverso de un multivector invertible tanto en como en siempre se puede calcular con la ayuda del llamado conjugado de Clifford, que es la involución que resulta de combinar la reversión y la involución de grado. El inverso de un multivector será:

donde es la reversión de la involución de grado, o sea, el conjugado de Clifford del multivector . El inverso de existirá si el denominador de la expresión, que será escalar, es diferente de 0.

Para multivectores de  donde n es mayor que 3 el método del conjugado de Clifford, en general, ya no tiene por qué funcionar. Para comenzar, ya no está garantizado que el producto de un multivector por su conjugado de Clifford dé un resultado escalar…

Con esto, acabo esta parrafada sobre el delicado problema de los inversos en las álgebras de Clifford, que en general no tienen estructura de cuerpo, a diferencia de los complejos o los cuaterniones, al no tener normalmente inverso para todo elemento diferente de 0. Creo que era necesario advertir sobre esta importante diferencia de las álgebras geométricas con los conjuntos numéricos de uso habitual.

Y, para acabar, las buenas noticias: afortunadamente, en álgebra geométrica los inversos que se necesitan normalmente son inversos de vectores, o más en general, de versores. En la entrada 11 ya vimos que el inverso de un versor es el cociente de su reversión y el producto del versor por su reversión:

que, aunque no es generalizable a cualquier tipo de multivector, de hecho proporcionará cualquier inverso que necesitemos en la práctica.

1. El álgebra geométrica asociada al espacio de Minkowski, o álgebra de Dirac, tiene como pseudoescalar unitario canónico el cuadrivector cuyo cuadrado da -1 a pesar de ser un cuadrivector, gracias a que la métrica es pseudoeuclídea y un número impar de vectores de la base tienen cuadrado negativo. [↩]

2. Todo esto es análogo a lo que sucede en el caso de las álgebras de matrices cuadradas, y será familiar para quien conozca las álgebras de matrices cuadradas. Una matriz cuadrada es invertible cuando su determinante es diferente de 0, y para que el producto de dos matrices cuadradas del mismo tamaño sea invertible, es necesario (y suficiente) que las dos sean invertibles una por una. Ya comenté en una nota de una entrada anterior que las álgebras geométricas se pueden representar siempre por una álgebra de matrices cuadradas. En el caso de , los vectores , y se pueden representar, respectivamente, por las matrices , y . Estas matrices, conocidas como matrices de Pauli, generan mediante combinaciones lineales y productos de matrices una álgebra de matrices cuadradas utilizada en mecánica cuántica isomorfa a . En el enfoque del álgebra geométrica, sin embargo, el uso de representaciones matriciales es un engorro innecesario. [↩]

The Explorando el álgebra geométrica 13 – El álgebra geométrica del espacio tridimensional by Juan Leseduarte, unless otherwise expressly stated, is licensed under a Creative Commons Attribution-Noncommercial-No Derivative Works 2.5 Spain License.