Explorando el álgebra geométrica 8 – El producto interior de vectores y su interpretación geométrica

En la entrada anterior de esta serie introduje los axiomas del álgebra geométrica y la descomposición del producto geométrico de dos vectores en la suma de un producto interior y de un producto exterior. También vimos que el producto interior da como resultado un número real. En esta entrada veremos la interpretación geométrica del producto interior de dos vectores, que resultará ser idéntico al clásico producto escalar de vectores de Heaviside-Gibbs. El producto interior permite calcular longitudes y ángulos y, por tanto, es extraordinariamente importante.

Interpretación geométrica del producto interior de dos vectores

Retomemos la expresión del cuadrado de la suma de vectores que ya obtuvimos en la entrada anterior:

$\left(\mathbf{a} + \mathbf{b}\right)^2 = \mathbf{a}^2 + \mathbf{a} \mathbf{b} + \mathbf{b} \mathbf{a} + \mathbf{b}^2 = \mathbf{a}^2 + 2\ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{b}^2$

Al vector $\mathbf{a} + \mathbf{b}$ lo podemos llamar $\mathbf{c}$ :

$\mathbf{c} = \mathbf{a} + \mathbf{b}$

Geométricamente, la suma de dos vectores se realiza “encadenando” el extremo final del primer sumando con el extremo origen del segundo sumando y asignando como resultado el vector que va del origen del primer vector al final del segundo vector. Por tanto, la igualdad anterior nos dice que tenemos un triángulo de vectores $\mathbf{a}$ , $\mathbf{b}$ y $\mathbf{c}$ , como el de la figura:

Suma de dos vectores. Para sumar gráficamente dos vectores, se une el extremo final de uno de ellos con el extremo inicial del otro. El vector suma es el que tiene por extremo inicial el extremo inicial del primero y por extremo final el extremo inicial del segundo.

¿Qué nos dice entonces la fórmula del cuadrado de la suma acerca del triángulo? Volvamos a ella:

$\mathbf{c}^2 = \left(\mathbf{a}+\mathbf{b}\right)^2 = \mathbf{a}^2 + \mathbf{b}^2 + 2 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$

Una vez más, recordemos que el cuadrado de un vector es un número real positivo, cuya raíz cuadrada da la norma del vector, que se interpreta geométricamente como su longitud. En álgebra geométrica se indica la norma, sea de un escalar, de un vector o de un multivector cualquiera, poniéndolo entre barras sencillas. Utilizo también, por comodidad, el convenio de notación, usado a menudo en textos de Física e Ingeniería, de indicar la norma del vector con la misma letra, pero sin negrita y en cursiva:^[1]

$c = |\mathbf{c}| = \sqrt{\mathbf{c}^2}$

$a = |\mathbf{a}| = \sqrt{\mathbf{a}^2}$

$b = |\mathbf{b}| = \sqrt{\mathbf{b}^2}$

Triángulo de vectores. Los vectores se indican con letras minúsculas en negrita y sus normas (las longitudes de los lados del triángulo) se indican con las minúsculas correspondientes en cursiva, siguiendo la convención que se usa habitualmente en Física. Se muestra el enunciado del teorema del coseno, que generaliza el conocido teorema de Pitágoras para triángulos no rectángulos, para su comparación con el desarrollo del cuadrado de una suma de vectores.

Por tanto, como el cuadrado del vector es igual al cuadrado de su norma, podemos sustituir los cuadrados de los vectores por los cuadrados de sus normas en la fórmula del cuadrado de la suma de vectores:

$c^2 = a^2 + b^2 + 2 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$

Esta fórmula nos da una generalización del conocido teorema de Pitágoras, que dice que un triángulo rectángulo (cuando el ángulo que forma el lado $\mathbf{a}$ con el lado $\mathbf{b}$ es de $90^{\circ}$ , se cumple $c^2 = a^2 + b^2$ . Pero la generalización del teorema de Pitágoras para cualquier tipo de triángulo es una conocida fórmula de la trigonometría elemental, el teorema del coseno:^[2]

$c^2 = a^2 + b^2 -2 a b \cos \alpha$

donde $\alpha$ es el ángulo del triángulo opuesto al lado $\mathbf{c}$ , como se ve en la figura de arriba. Si comparamos con la fórmula del cuadrado de la suma de vectores, vemos que la siguiente identificación es obligada:

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = - a b \cos \alpha$

Pero el ángulo en función del que expresar el producto interior $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$ no conviene que sea $\alpha$ ya que no es el ángulo que forman los vectores $\mathbf{a}$ y $\mathbf{b}$ entre sí, que se define como el ángulo que se forma cuando los dos vectores se sitúan en el mismo origen. Por eso, en la figura he puesto una copia del vector $\mathbf{a}$ dibujada en línea de puntos que sí tiene origen común con el vector $\mathbf{b}$ . Ahí podemos ver que el ángulo que nos interesa, $\theta$ , es ángulo suplementario de $\alpha$ , es decir: $\alpha + \theta = 180^{\circ}$ , y por tanto: $\theta = 180^{\circ} - \alpha$ . La trigonometría elemental dice que el coseno de un ángulo es el de su suplementario cambiado de signo:

$\cos \alpha = -\cos \theta$

Y por tanto, el producto interior de $\mathbf{a}$ y $\mathbf{b}$ tendrá que valer:

$\\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b} = a b \\cos \\theta$

Es decir, el producto interior de los vectores $\mathbf{a}$ y $\mathbf{b}$ es geométricamente igual al producto de sus normas, $|\mathbf{a}|$ y $|\mathbf{b}|$ , por el coseno del ángulo que forman. Vemos, pues, que la comparación con el teorema del coseno nos da la clave con la que empezar a conectar del mundo del álgebra geométrica con el mundo de la geometría euclídea.

Cuando $\mathbf{a}$ y $\mathbf{b}$ forman entre sí un ángulo recto, el teorema del coseno y su equivalente, el desarrollo del cuadrado de la suma de $\mathbf{a}$ y $\mathbf{b}$ pasan a ser el teorema de Pitágoras, y para ello el producto interior $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$ tiene que anularse. La anulación del producto interior da el criterio de ortogonalidad de los vectores $\mathbf{a}$ y $\mathbf{b}$ .

La ortogonalidad entre dos vectores es una generalización de lo que en geometría euclídea se ha llamado siempre perpendicularidad, y se indica con el símbolo $\perp$ :

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0 \iff \mathbf{a} \perp \mathbf{b}$

El vector $0$ , por tanto, se considera ortogonal a cualquier vector:

$0 \perp \mathbf{a}$ , para todo $\mathbf{a}$ de $\mathcal{E}_n$

Otra consecuencia de la ortogonalidad es que el producto geométrico de dos vectores ortogonales anticonmuta, ya que al anularse el producto interior, el producto geométrico pasa a ser puro producto exterior:

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a} = 0 \implies \mathbf{a}\mathbf{b} = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \wedge \mathbf{b} = 0 + \mathbf{a} \wedge \mathbf{b} = \mathbf{a} \wedge \mathbf{b} = - \mathbf{b} \wedge \mathbf{a}$

$\mathbf{a} \perp \mathbf{b} \implies \mathbf{a}\mathbf{b} = \mathbf{a} \wedge \mathbf{b} = -\mathbf{b}\mathbf{a}$

Vemos que la implicación también va en los dos sentidos: si dos vectores son ortogonales, su producto geométrico anticonmuta, y si su producto geométrico anticonmuta, son ortogonales. Por tanto, ortogonalidad de dos vectores, anulación de su producto interior y anticonmutatividad de su producto geométrico es todo ello lo mismo:

$\mathbf{a} \perp \mathbf{b} \iff \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0 \iff \mathbf{a}\mathbf{b} = -\mathbf{b}\mathbf{a}$

La fórmula que expresa el producto interior como producto de las normas de los vectores por el coseno del ángulo que forman también permite interpretar el producto interior de dos vectores como el producto de la norma de uno cualquiera de los vectores por la proyección escalar del otro sobre él:

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \theta = |\mathbf{a}| \operatorname{\textrm{proy}}_{\mathbf{a}} \mathbf{b}$ . ((

Naturalmente, como $\\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b} = \\mathbf{b} \\cdot \\mathbf{a}$ , podemos intercambiar los vectores y escribir también: $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{b}| |\mathbf{a}| \cos \theta = |\mathbf{b}| \operatorname{\textrm{proy}}_{\mathbf{b}} \mathbf{a}$ . El signo del ángulo no importa: aunque el ángulo que va de un vector a otro cambie su signo al intercambiar los vectores, el signo del coseno no cambia, porque el coseno de un ángulo no depende de su signo.))

Donde $\operatorname{\textrm{proy}}_{\mathbf{a}} \mathbf{b} = |b| \cos \theta$ es la proyección escalar de $\mathbf{b}$ sobre $\mathbf{a}$ .

La proyección escalar tiene signo positivo o negativo dependiendo del signo del coseno que forman los vectores, positivo para ángulos menores en valor absoluto a un ángulo recto y negativo para ángulos mayores en valor absoluto a un ángulo recto. La parte perpendicular $\\mathbf{b}_{\\perp \\mathbf{a}}$ del vector $\mathbf{b}$ respecto al vector $\mathbf{a}$ sobre el que se proyecta no contribuye en absoluto al producto interior.

El producto interior de dos vectores se puede escribir como el producto de la norma de uno de ellos (en el caso de la figura de arriba, el vector $\mathbf{a}$ ) por la proyección escalar del otro vector (en la figura, $\mathbf{b}$ ) sobre el primero. El vector $\mathbf{b}$ aparece descompuesto como suma dos vectores, uno paralelo a $\mathbf{a}$ , ${\color{cyan} \mathbf{b}_{\parallel \mathbf{a}}}$ ,y otro perpendicular a $\mathbf{a}$ , ${\color{Periwinkle} \mathbf{b}_{\perp \mathbf{a}}}$ . El producto interior en el caso de la figura es el producto de normas de $\mathbf{a}$ por la de ${\color{cyan} \mathbf{b}_{\parallel \mathbf{a}}}$ . Como estos vectores paralelos tienen el mismo sentido, la proyección paralela de $\mathbf{b}$ es positiva y el producto interior final es positivo.

La figura de arriba es análoga a la anterior, pero ahora el ángulo que forman los vectores es obtuso en vez de agudo. Como el coseno de un ángulo obtuso es negativo, la proyección escalar de $\mathbf{b}$ sobre $\mathbf{a}$ , $\operatorname{\textrm{proy}}_{\mathbf{a}} \mathbf{b}$ , será la norma de ${\color{cyan} \mathbf{b}_{\parallel \mathbf{a}}}$ , pero tomada con signo negativo, ya que ahora los vectores $\mathbf{a}$ y ${\color{cyan} \mathbf{b}_{\parallel \mathbf{a}}}$ apuntan en sentidos opuestos. En este caso, por tanto, el producto interior será negativo. En álgebra geométrica, como veremos, el vector ${\color{cyan} \mathbf{b}_{\parallel \mathbf{a}}}$ se conoce como proyección (a secas, sin el adjetivo “escalar”) de $\mathbf{b}$ sobre $\mathbf{a}$ , y el vector ${\color{Periwinkle} \mathbf{b}_{\perp \mathbf{a}}}$ , como exclusión de $\mathbf{b}$ respecto a $\mathbf{a}$ .

Como se puede ver en ambas figuras, se puede relacionar el hecho de que el producto interior de vectores sea igual al producto de la norma de uno por la proyección escalar del otro sobre el primero con la distributividad del producto interior, que se puede deducir a partir de la distributividad del producto geométrico y de la definición de producto interior de vectores:

$\mathbf{a} \cdot \left(\mathbf{b} + \mathbf{c}\right) = \frac{\mathbf{a} \left(\mathbf{b} + \mathbf{c}\right) + \left(\mathbf{b} + \mathbf{c}\right) \mathbf{a}}{2} =$

$\frac{\mathbf{a} \mathbf{b} + \mathbf{a} \mathbf{c} + \mathbf{b} \mathbf{a} + \mathbf{c} \mathbf{a}}{2} = \frac{\mathbf{a} \mathbf{b} + \mathbf{b} \mathbf{a}}{2} + \frac{\mathbf{a} \mathbf{c} + \mathbf{c} \mathbf{a}}{2} =$

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c}$

El producto interior permite definir una métrica

A los matemáticos les gusta decir que el producto interior define una métrica, lo que viene a decir que permite medir cosas. Así, el producto interior de vectores permite calcular la distancia entre dos puntos del espacio. Se puede calcular haciendo la raíz cuadrada del cuadrado del vector que los une (ese cuadrado, el producto geométrico de un vector por sí mismo, coincide con el producto interior de un vector por sí mismo):

$d(P_1,P_2) = |\mathbf{v}| = \sqrt{\mathbf{v}^2} = \sqrt{\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}}$

También se puede hallar con el producto interior el ángulo que forman dos vectores $\mathbf{a}$ y $\mathbf{b}$ :

$\cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{a b} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\sqrt{\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}} \sqrt{\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}}}$

$\theta = \operatorname{\textrm{arc\,cos}}\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\sqrt{\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}} \sqrt{\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}}}$

El producto interior de dos vectores coincide con el producto escalar del álgebra vectorial tradicional. Pero aparte de vectores, encontraremos otros tipos de objetos en el álgebra geométrica. Queda pendiente todavía una definición general del producto interior. Pero eso queda para otra entrega, y no será la siguiente.

Vectores unitarios. Normalización de un vector

A partir de un vector $\mathbf{v}$ diferente de $0$ se puede obtener un vector de norma $1$ que tenga su misma dirección y sentido. Basta dividir el vector por su norma:

$\hat{\mathbf{v}} = \frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}$

Efectivamente, se cumple que $|\hat{\mathbf{v}}| = 1$ :

$\hat{\mathbf{v}}^2 = \frac{\mathbf{v} \mathbf{v}}{|\mathbf{v}||\mathbf{v}|} = \frac{\mathbf{v}^2}{|\mathbf{v}|^2} = 1$

Es costumbre indicar la normalización de un vector con el símbolo de circunflejo encima de la letra del vector. También se utiliza el circunflejo para enfatizar que un vector es unitario.

En fórmulas importantes, como las que aparecen en fondo amarillo más abajo, me parece más conveniente y formal usar la notación matemática para la norma, con el vector (en negrita, claro) y entre barras verticales. [↩]
El teorema de coseno es una fórmula conocida desde mucho antes de la aparición del álgebra vectorial. En la correspondiente página en la Wikipedia encontraréis alguna demostración clásica, si estáis interesados. Recomiendo la basada en el teorema de Pitágoras: la “demostración” basada en el cálculo vectorial no nos sirve, naturalmente, porque ya presupone la conexión de álgebra y geometría que queremos establecer, como tampoco sirve la basada en los números complejos, que en el fondo es la misma. [↩]

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jlese (Juan Leseduarte)

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