Regístrate | Conectar
El Tamiz Libros Recursos Series Únete 4 Users Online
Skip to content

Teoría de juegos IV – Piedra, papel, tijera




En el artículo de hoy de esta serie dedicada a la teoría de juegos, vamos a presentar un juego muy sencillo, para ir introduciendo algunos conceptos.

Supongo que todos hemos jugado a piedra-papel-tijera. Por si acaso, vamos a resumir las reglas:

  • Juegan dos jugadores. Pueden jugar más, pero eso puede dar lugar a círculos de victoria y es más difícil decidir qué hacer en caso de empates parciales.
  • Ambos jugadores sacan a la vez la mano, con uno de los siguientes símbolos:
    • Piedra: el puño cerrado.
    • Papel: la palma extendida.
    • Tijera: los dedos índice y corazón extendidos y separados (como una tijera abierta) y el resto de dedos cerrados.
  • La victoria se decide del siguiente modo:
    • Piedra gana (machaca) a tijera.
    • Tijera gana (corta) a papel.
    • Papel gana (envuelve) a piedra.
  • Si los dos jugadores sacan lo mismo, empatan. Dependiendo del objetivo del juego, pueden volver a jugar, o simplemente han empatado y ya está (dependiendo de qué es lo que se quiera conseguir con el juego).

Esquema de piedra-papel-tijera (Wikipedia, Orgullomoore)

La matriz de pagos del juego piedra-papel-tijera es la siguiente:

Jugador 1
Piedra Papel Tijera
Jugador 2 Piedra 0,0 +1,-1 -1,+1
Papel -1,+1 0,0 +1,-1
Tijera +1,-1 -1,+1 0,0

¡Un momento! Eso de la “matriz de pagos” es un concepto nuevo.

Matriz de recompensas: es una matriz N dimensional (N := número de jugadores), con longitud Mn en cada dimensión n (Mn := número de posibles elecciones del jugador n). Su contenido es una N-tupla con la recompensa que recibe cada jugador en caso de que se produzca esa combinación de decisiones. A menudo también se la llama matriz de pagos, forma normal del juego o forma estratégica del juego.

Como la definición es un poco farragosa, es mejor verlo con el ejemplo de piedra-papel-tijera. En las columnas tenemos todas las posibles decisiones del Jugador 1, y en las filas las del Jugador 2. Si, por ejemplo, J1 elige piedra y J2 elige tijera, gana J1. Representamos eso como que el Jugador 1 obtiene una recompensa de +1 y el jugador 2 obtiene una recompensa de -1 (es decir, una pérdida de 1). Y así todas las posibles combinaciones.

En un juego tan sencillo como éste, decidir los valores de la matriz de recompensas es sencillo, pero en un juego más sofisticado, como una negociación laboral o un conflicto militar, decidir los valores a poner en la matriz puede ser difícil, o incluso imposible (por ejemplo, pueden usarse estimaciones de bajas ante un ataque de un misil, pero puede ser imposible saber cuál será realmente el daño; y eso sin contar con daños “colaterales”, como infraestructuras destruidas o el miedo infligido). De hecho, puede que incluso las posibles decisiones de cada jugador tampoco estén tan claras, y a menudo en juegos reales (militares, económicos, políticos,…) los grandes ganadores son personas que encuentran una decisión nueva a un problema viejo.

Pero incluso cuando decimos sencillo, tampoco decimos trivial. Por ejemplo, ¿por qué hemos puesto -1 a perder? Si no perdemos nada, tampoco tenemos por qué poner un valor negativo, podemos poner simplemente 0. Y si empatar implica repetir, podríamos simplificarla diciendo que el empate no aparece, porque significa repetir hasta que no haya empate. Entonces tendríamos:

Jugador 1
Piedra Papel Tijera
Jugador 2 Piedra - +1,0 0,+1
Papel 0,+1 - +1,0
Tijera +1,0 0,+1 -

O también podríamos estar jugando con dinero. Por ejemplo, debemos aportar 10€ para jugar, el ganador se lo lleva todo (20€), y si empatan se lo queda la organización[1]. La matriz de pagos sería entonces:

Jugador 1
Piedra Papel Tijera
Jugador 2 Piedra -10,-10 +10,-10 -10,+10
Papel -10,+10 -10,-10 +10,-10
Tijera +10,-10 -10,+10 -10,-10

De momento vamos a dejar aquí la matriz de recompensas, porque dedicaremos muchos otros artículos a sus propiedades. Analizando la matriz, podremos averiguar cosas como la mejor estrategia, la ganancia (o pérdida) media esperada,… Incluso veremos que, aunque lo parezca, los tres juegos de arriba no son iguales, y sus mejores estrategias pueden o no ser las mismas. Válganos de momento con saber qué es y para qué sirve.

"Piedra, papel, tijera... un, dos, tres. Jo'e', macho, llevamos to'a la mañana así, hijo mío" (Mahou)

Piedra-papel-tijera-lagarto-Spock

Estudiando las 9 posibles combinaciones de la matriz de piedra-papel-tijera, vemos que 3 de ellas implican un empate. Una forma de reducir esta probabilidad de empate es definiendo 5 posibles elecciones, y con una matriz de pagos como la siguiente:

Jugador 1
Piedra Papel Tijera Lagarto Spock
Jugador 2 Piedra 0,0 +1,-1 -1,+1 -1,+1 +1,-1
Papel -1,+1 0,0 +1,-1 +1,-1 -1,+1
Tijera +1,-1 -1,+1 0,0 -1,+1 +1,-1
Lagarto +1,-1 -1,+1 +1,-1 0,0 -1,+1
Spock -1,+1 +1,-1 -1,+1 +1,-1 0,0

Diagrama de piedra-papel-tijera-lagarto-spock (Wikipedia, Nojhan)

Las reglas son las mismas que antes, con los siguientes añadidos:

  • Piedra gana (aplasta) a lagarto.
  • Spock gana (vaporiza) a piedra.
  • Lagarto gana (come) a papel.
  • Papel gana (desautoriza) a Spock.
  • Tijera gana (decapita) a lagarto.
  • Spock gana (rompe) a tijera.
  • Lagarto gana (envenena) a Spock.

No le busques la lógica. Imagino que Seldon Cooper, que tiene un cociente intelectual mucho mayor que el tuyo y el mío, ya se la ha buscado[2].

Seldon Cooper... o Jim Parsons, como prefieras (Wikipedia, Martini)

Ahora la probabilidad de empate es bastante menor: 1/5.

¿Podemos rebajarla aún más? Es lo que hacen multitud de juegos. Veamos como ejemplo un clásico de Nintendo.

Pokémon

¿Quién te hubiera dicho que íbamos a empezar jugando a piedra-papel-tijera e íbamos a terminar jugando al Pokémon HeartGold?

En los juegos clásicos de Pokémon, llevamos un equipo de pokémon, que pelean contra otros pokémon que encontramos por el camino, bien sea al azar, bien en encuentros planificados por los diseñadores para ir avanzando por la trama.

Pantallazo de Pokémon HeartGold (Nintendo)

Como en cualquier juego de rol, los pokémon van subiendo de nivel, aprenden ataques diferentes con propiedades diferentes, pueden equiparse o usar objetos,… Pero uno de sus elementos característicos son los tipos de pokémon y de movimientos. Así, si tenemos por ejemplo un Gyarados, que es un pokémon de tipo agua, y le atacan con el movimiento ThunderPunch, de tipo eléctrico, le hará muchísimo daño; en cambio, si le atacan con el movimiento Ember, que es de tipo fuego, apenas le harán daño.

No aporta nada que pongamos la lista de tipos (existen 17 tipos distintos) ni su matriz de fortalezas y debilidades. Pero sí es interesante darse cuenta de que no existe ningún tipo que sea un ganador absoluto: pokémon que podrían machacar a unos, son muy vulnerables si se enfrentan a otros. Hasta tal punto es así que la aventura está diseñada para que sea muy difícil pasarse el juego manteniendo únicamente a los 6 pokémon que puedes llevar en el equipo, siendo muy habitual que más de una vez tengas que cambiar algunos de los pokémon de alto nivel que llevas en el equipo “titular” por otros de un tipo más favorable (pero probablemente de menor nivel, por lo que tendrás que volver atrás y combatir un poco en los encuentros aleatorios para que suban de nivel) para superar un determinado desafío.

Como es natural, esta idea no es exclusiva de los juegos de Pokémon, sino que es aplicada en el diseño de muchos otros juegos de éxito: Magic The Gathering, casi cualquier wargame, el ajedrez[3], el mus[4], Dungeons & Dragons o casi cualquier juego de rol,…

Esto se puede formalizar, y lo haremos en futuros artículos, pero creo que cualitativamente ya ha quedado claro. Si este artículo ha servido para que tengáis esto en cuenta la próxima vez que queráis haceros ricos diseñando y vendiendo un juego, ya ha cumplido su labor.

  1. ¿Te sorprende que la gente quiera jugar a algo así? ¿Has analizado estadísticamente alguna vez la lotería, la quiniela o casi cualquier otro juego de azar? []
  2. En la serie The Big Bang Theory se dice que esta modificación al juego fue inventada por Seldon Cooper, pero parece ser que la inventó un tal Sam Kass en los 90. ¿No conoces The Big Bang Theory? Ya estás tardando en ir a buscarla. []
  3. Por ejemplo, 2 torres solitarias jamás atraparán a un alfil, a pesar de ser dos y de que tradicionalmente se considera a la torre más valiosa que al alfil. []
  4. Un amigo mío gustaba de decir: “¿Quieres cuatro reyes? Vale, para ti siempre cuatro reyes y para mí siempre la jugada que yo elija. ¿Ok?” []

Sobre el autor:

J ( )

 

{ 12 } Comentarios

  1. Gravatar Christian | 13/09/2010 at 11:54 | Permalink

    Cuando he empezado a leer el artículo ya estaba pensando en Piedra-papel-tijera-lagarto-Spock, antes que hicieras referencia. :D

  2. Gravatar Eagle | 14/09/2010 at 09:20 | Permalink

    Al final voy a tener que empezar a ver la serie esa del BigBang, todo el mundo me dice que es la pera…

  3. Gravatar Pedro | 14/09/2010 at 05:03 | Permalink

    Es, junto con The IT Crowd, una de las series actuales que más me hace reír. El hecho de que la física suela tener bastante sentido la hace aún mejor :)

  4. Gravatar luis | 14/09/2010 at 07:50 | Permalink

    La serie está siendo muy entretenida y me está gustando mucho. Hoy estaba leyendo sobre la paradoja de Braess en otro blog, y nada más empezar me he acordado de “teoría de juegos” lo explican de manera muy sencilla, y hacen enfásis sobre la parte práctica, pero a lo mejor tiene cabida en alguna entrada de la serie. Te dejo el enlace por si quieres leer el post: http://ciudadpedestre.wordpress.com/2010/05/25/la-paradoja-de-braess-o-como-arruinar-el-trafico-entre-pelotillehue-y-buenas-peras-2/

    Un saludo

  5. Gravatar Cristhian | 15/09/2010 at 02:02 | Permalink

    Fíjense esto: http://www.microsiervos.com/images/4913_rock_paper_scissors.jpg

    Piedra, papel, tijera, pistola, rayo, dragón, agua, aire, espoja, lobo, árbol, humano, serpiente, fuego y diablo :lol:

  6. Gravatar J | 15/09/2010 at 07:49 | Permalink

    luis: una paradoja muy interesante. Los conceptos que nombra Rodrigo Díaz de “equilibrio de Nash” y de “estrategia dominante” (aunque no usa ese nombre, es lo que está usando) los veremos más adelante a lo largo de la serie. Veremos cómo parecen ir contra el “bien común” que busca Rodrigo y muchas más cosas.

    Me alegro de que, incluso con lo básico que está resultando hasta ahora, os esté gustando.

  7. Gravatar BlindSmile | 15/09/2010 at 11:01 | Permalink

    El enlace de Cristhian no lleva a la imagen, aquí he encontrado otro sitio alternativo http://easyaspi.us/wp-content/uploads/2009/04/4913_rock_paper_scissors.jpg

  8. Gravatar Rundas | 15/09/2010 at 05:40 | Permalink

    “…Gyarados, que es un pokémon de tipo agua…” y volador, lo cual lo hace aún más susceptible a ataques eléctricos…

    Diox, qué infancia la mía D:

    Me ha gustado tu serie hasta ahora :3

  9. Gravatar BlindSmile | 15/09/2010 at 05:56 | Permalink

    Fantástica tabla de la efectividad de cada tipo de pokémon http://www.pokefanaticos.com.ar/imagenes/guias/generales/tda/tabla_ataque.gif :D Sí, también me he acordado de mi infancia. Recordaba más a Magikarp que a Gyarados que he tenido que buscar alguna imagen xD

  10. Gravatar javier | 16/12/2010 at 10:50 | Permalink

    Yo juego bastante a piedra papel o tijera y aunque matemáticamente no sea así existe una estrategia con mayores probabilidades de ganar.

    Consiste en el primer intento sacar “piedra” ganas el 80% de las veces mas o menos.

    la razón es que el cerebro ene se momento está tratando de decidir qeu sacar mientras recita al letanía “piedra papel tijera” y mueve la mano.

    A la mayoría de la gente no le da tiempoa tomar la decisión y cuando llega el momento de sacar “algo” el cerebro saca lo último que proninció “tijera”.

    Así que podeis sacar piedra en el primer intento y si el otro saca piedra mirarle con desden y decir: “novato…” ;) y luego s elo explicais :P .

    Es el método que usamos para decidir quein empieza las partidas en nuestras noches de juegos de mesa frikies…

    Como solemos jugar 5 o 6 nos pasamos al “piedra papel tijera lagarto spock” en el que curiosamente, ya si le da tiempo a reaccionar al cerebro y la gente no suele sacar spock (cosa que no logro entender, yo siempre saco spok…).

  11. Gravatar Saúl | 03/10/2011 at 09:19 | Permalink

    Bastante entretenido hasta el momento. Te recibo con RSS. Ojalá termines luego la serie completa, no quiero llegar al final y ver que aún queda por completar, eso me haría olvidar la serie y hacer otras cosas. Aunque claro, leeré más capítulos mañana. Por hoy tengo más cosas que hacer. Saludos J.

  12. Gravatar J | 04/10/2011 at 06:42 | Permalink

    Saul: lo siento, pero a día de hoy hay no está terminada (el último publicado es el XXX, de XXXIII). Está escrita entera, pero se van publicando poco a poco.

{ 1 } Trackback

  1. [...] 2010 Teoría de juegos IV – Piedra, papel, tijera, de Javier “J” Sedano, que pode lerse en El Cedazo. Toda a serie Teoría de juegos está publicada en forma de libro, dispoñible [...]

Escribe un comentario

Tu dirección de correo no es mostrada. Los campos requeridos están marcados *

Al escribir un comentario aquí nos otorgas el permiso irrevocable de reproducir tus palabras y tu nombre/sitio web como atribución.