Tratándose de un algoritmo publicado en 1956, ha sido estudiado y utilizado profusamente durante sus casi setenta años de vida. Y sin embargo, todavía es posible encontrar formas de mejorar este algoritmo para reducir los recursos informáticos que requiere o simplemente para que efectivamente encuentre la función lógica mínima equivalente a una dada, lo que no siempre hace.

En esos artículos fui paulatinamente describiendo el algoritmo en su diferentes pasos, alguno de ellos nuevo en el sentido de que no he encontrado referencias sobre ellos en la Red, otros idénticos a lo expresado en la literatura, y otros, por fin, con modificaciones sobre lo expresado en dicha literatura sobre el algoritmo.

En este artículo final de la serie presento un único documento con el compendio de los cinco artículos; he retocado algunas frases para eliminar el estilo derivado de estar publicados en una serie de artículos en la web, pero el documento sigue las mismas pautas y el mismo orden de exposición seguido en los artículos de la serie.

He aquí el documento completo.

Espero que os sirva.

Disfrutad de la vida mientras podáis.

En el anterior artículo de esta serie sobre minimización de funciones lógicas, el cuarto, dedicado a definir el Paso 7 del algoritmo, describí cómo son las alternativas que se citan habitualmente en la literatura sobre Quine-McClusky, sobre todo el método de Petrik, que procuré definir con la máxima precisión debido a que, aunque es sencillo de implementar, no es tarea tan sencilla comprender en qué se basa y cómo funciona.

En este quinto y definitivo artículo describiré una alternativa viable y muy interesante a dicho método de Petrik, una alternativa que proviene de un área distinta de la informática, pero perfectamente aplicable a nuestro problema de minimizar expresiones lógicas.

Aquí podéis encontrar el PDF del quinto y último artículo.

Y con él acaba la serie. Yo no alcanzo para llegar más allá.

Espero que toda la información que he vertido en estos artículos os haya sido de utilidad y que, quizás, os haya picado el gusanillo de mirar con otros ojos a algoritmos que están establecidos en nuestra profesión como si fueran el Santo Grial, pero que, quién sabe, quizás sean susceptibles de mejorarse, como hemos visto que le ocurre al venerable algoritmo de Quine-McClusky.

Disfrutad de la vida mientras podáis.

Efectivamente, en un importante porcentaje de casos, que puede acercarse hasta el 50% en cuanto la forma canónica tiene un cierto y relativamente modesto tamaño, el algoritmo tal como se define en la literatura no encuentra la expresión mínima solicitada. Y además, en dicho artículo he demostrado que de hecho hay tantas formas canónicas de una cierta longitud en las que el algoritmo tradicional encuentra la expresión mínima, como aquellas en las que no la encuentra y es preciso ejecutar el método alternativo para hallar dicha solución mínima absoluta.

En ese tercer artículo había indicado el modo de solventar esta engorrosa circunstancia para obtener siempre, siempre la expresión mínima correspondiente a la función original.

Pero algo faltaba: la definición del algoritmo no estaba aún completa, pues por motivos didácticos había postergado la definición del penúltimo paso del algoritmo, el Paso 7, que es el que de verdad consume cantidades ingentes de recursos informáticos para su resolución.

En los dos artículos que faltan de la serie, el de hoy, cuarto de los cinco de que se compone, y en el siguiente y último, definiré con toda la precisión de que sea capaz las diferentes alternativas para ejecutar este penúltimo paso, alternativas que, obviamente, tienen cada una de ellas sus ventajas e inconvenientes.

Aquí podéis encontrar el PDF del cuarto artículo.

Hasta el próximo, que será el último de la serie.

Disfrutad de la vida mientras podáis.

En éste de hoy, el tercero de los cinco de que se compone la serie, se explica por qué en ocasiones (en muchas ocasiones) el algoritmo tal como está definido en la literatura no encuentra la expresión mínima, y qué se puede hacer para efectivamente encontrarla siempre.

Aquí podéis encontrar el PDF de este tercer artículo.

Hasta el próximo.

Disfrutad de la vida mientras podáis.

He aquí el PDF de este segundo artículo.

El último párrafo del artículo es, cuanto menos, intrigante… en el tercer artículo de la serie se resolverá el misterio. Y las conclusiones serán, seguramente, sorprendentes.

Hasta entonces, en el próximo artículo.

Disfrutad de la vida mientras podáis.

Se trata del algoritmo de referencia utilizado para minimizar expresiones lógicas. Se conoce desde hace cerca de 70 años y está firmemente establecido en la profesión informática como la solución definitiva para realizar esa importante función, a saber, determinar cuál es la expresión booleana que, siendo idéntica a otra dada, es decir, que tiene su misma tabla de verdad, es mínima, tiene el menor número posible de términos.

Averiguar tal expresión para sustituirla en el programa donde se encuentre reduce el tiempo de ejecución de ese programa, pues para determinar el flujo del programa habrá que valorar un menor número de condiciones que en la expresión original. Y lo mismo podemos decir del diseño de circuitos: cuantas menos puertas lógicas tenga dicho circuito, más rápido será en ejecución y más barato de fabricar.

El caso es que yo he dedicado muchos meses, años, al estudio, programación y, por qué no, crítica del famoso algoritmo de Quine-McClusky, y he encontrado diferentes aspectos que podrían mejorar en algo, o quizás en bastante dicho algoritmo. De hecho, como veremos, en un importante porcentaje de casos el algoritmo no proporciona la expresión mínima absoluta correspondiente a la función dada. De ahí esta serie, donde expondré estos hallazgos para darlos a conocer a aquellos de vosotros que estéis interesados.

Si tenéis dudas sobre expresiones lógicas, álgebra de Boole y demás zarandajas que los informáticos usamos continuamente, podéis informaros en la serie sobre Eso que llamamos Lógica que escribí hace un tiempo, donde podéis encontrar los relativamente pocos conceptos lógicos que aparecerán en los artículos.

Y ahora, una información previa en cuanto al formato que tienen los artículos.

Me ha sido muy difícil transferir los artículos tal como estaban escritos en mi procesador de textos favorito al formato HTML de las páginas web de ElCedazo, pues el resultado sufría de efectos impredecibles y dejaba un formato desastroso, así que esta vez he optado por una solución completamente novedosa en ElCedazo: construir un PDF para cada artículo, que enlazaré en las diferentes entradas. No es lo normal en este sitio, ya lo sabéis, pero creedme que aquí y ahora es lo mejor para mí y para vosotros, lo más sencillo para que los cinco artículos de la serie queden razonablemente legibles.

Bien, he aquí el PDF del primer artículo, que servirá como introducción a los demás.

Hasta el próximo artículo.

Disfrutad de la vida mientras podáis.

A lo largo de la serie se desgranaban los esquemas lógicos que luego me fueron muy útiles a lo largo de mi vida profesional como informático de pro, hoy felizmente jubilado, y me pareció interesante compartir esos apuntes, esa forma un tanto peculiar de explicar la Lógica, a los lectores de El Cedazo. Los comentarios recibidos, muchos de ellos muy intensos, me convencieron de que efectivamente era un tema que tenía cierto interés para los lectores, así que la serie fue publicándose plácidamente hasta su finalización, contando incluso con dos interesantes colaboraciones en forma de anexos que escribió nuestro amigo Javier “J” Sedano.

Cuando la serie terminó recopilé los artículos en formato PDF y los puse a disposición de los lectores que los quisieran, tanto en formato A4 como en A5. Y ahí quedó la cosa. Pero el caso es que años después publiqué una novela de gran éxito,^[1] BEGIN, en papel en la plataforma lulu.com y también en formato electrónico (epub en lulu y kindle en Amazon), y después, visto el éxito y, sobre todo, lo bien editados que están (lulu lo hace de maravilla) y lo bien que quedan en la biblioteca de casa, publiqué también la versión en papel de mis Memorias de un Viejo Informático, esa dicharachera serie que tanto dio que hablar hace casi diez años, y también las correspondientes versiones electrónicas, en formato epub o kindle.

Eso que llamamos Lógica. Portada.

Ambos libros quedan, como dije, preciosos en mi estantería y me alegran la vista cada vez que los veo, por lo que poco a poco me he ido convenciendo para hacer lo mismo con la serie sobre Lógica. Así serán tres los libros que adornan mi biblioteca personal, en vez de dos.

Y dicho y hecho, me he arremangado nuevamente para lidiar con formatos, páginas pares e impares distintas, números de página que van y vienen y todas estas fruslerías necesarias para publicar de forma digna, en la plataforma lulu.com, el libro en papel sobre Eso que llamamos Lógica. Lo que os cuento hoy por si a alguno de vosotros, queridos lectores de El Cedazo, le parece interesante tener en papel las elucubraciones lógicas de un informático viejo.

Aquí tenéis una foto del libro, con la portada que, sinceramente, no me he currado mucho, pero que sin embargo, una vez que tienes el libro en tu mano, queda bastante resultona para mi gusto: los colores contrastan, el título se lee bien y la imagen se adecua razonablemente al contenido.

El libro tiene 176 páginas en total, contando en esa cifra con las guardas, títulos, índice y demás, por lo que las páginas con contenido “de verdad” deben ser unas 160. Está en formato “media carta”, es decir, 8,5 x 5,5 pulgadas de tamaño, que es el más económico que ofrece lulu, y el precio que le he puesto, alrededor de 7 euros por ejemplar (en realidad el precio hay que ponerlo, no sé por qué razón, en dólares, así que el precio podrá ir variando, espero que no mucho, conforme varíe el cambio entre el dólar y el euro), es casi el mínimo posible después de tener en cuenta el coste de impresión y encuadernación y los márgenes de lulu. O sea, que aunque se vendieran miles de ejemplares, que va a ser que no, no me haría rico, je, je, porque desde luego no es ésa la intención. Recuerdo nuevamente que el pdf sigue estando con acceso gratuito para quien lo desee, y por eso esta vez no he publicado el libro en formato electrónico.

A pesar de que en su día, al editar los resúmenes en PDF, me quejaba de que la calidad de las fórmulas no era maravillosa y se pixelaban algo, porque había tomado para obtener el documento las fórmulas generadas con Latex en los artículos, es decir, las imágenes conteniendo las fórmulas, en vez de reescribir nuevamente el documento con Latex, la pura verdad es que visto en la impresión en papel no queda mal. Podría estar mejor, ciertamente, más nítido y afinado, pero al final todas las fórmulas se leen perfectamente… y espero encarecidamente que estén todas bien, que sean correctas, que es lo más importante.

El libro está editado en blanco y negro, porque hacerlo en color daría como resultado un precio realmente prohibitivo, y no creo que merezca la pena editarlo en color porque apenas hay en toda la serie fotos, dibujos o esquemas que lo requieran. En esos pocos casos he cambiado los colores para que al imprimirlos en blanco y negro se distingan los gráficos lo mejor posible… Vale, “lo mejor posible“, que no es lo mismo que “perfecto“, pero creo que esos gráficos se distinguen lo suficientemente bien como para que no merezca la pena embarcarse en la carísima impresión en color.

A continuación encontraréis una imagen del interior del libro, donde pueden verse algunas de esas fórmulas que se leen muy bien.

Eso que llamamos Lógica. Interior.

Por otra parte, es una pena no haber podido incluir algunos comentarios realmente interesantes que amables lectores hicieron en su momento en los diferentes artículos de la serie, particularmente en los artículos dedicados a la implicación lógica, a la escurridiza y sibilina implicación lógica que tantos quebraderos de cabeza da. Los comentarios siguen estando con los artículos, por lo que aquel que lo desee puede acudir, siguiendo los enlaces de la serie, a obtener sabiduría de dichos comentarios.

En fin, además de los artículos propiamente dichos de la serie, en el libro he incluido, con su permiso, los dos Anexos que en su día escribió para ella Javier “J” Sedano, a quien no puedo sino agradecer no sólo su magnífica aportación al libro, sino todas las correcciones y los comentarios que hizo a los artículos de la serie original.

Pero, insisto, a quien más tengo que agradecer el que publicar este librillo haya sido posible es, por supuesto, a D. José Cuena, mi gran profesor de la Prehistoria, que es quien impartió hace más de cuarenta años las clases que dieron origen a los apuntes que, a su vez, han dado finalmente origen al libro.

Descansa en paz, Pepe.

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Antes de terminar, quiero repetir lo que dije en su día sobre la forma en que están expuestos los diferentes temas, capítulos, etc del libro. Y es que, igual que hizo Pepe Cuena hace cuarenta y pico años, el tema se expone de forma “bottom-up”, de lo particular a lo general, y eso produjo en su día ciertas controversias con lectores y editores. En una palabra, en el libro se va construyendo el edificio lógico desde sus cimientos, poco a poco, ladrillo a ladrillo, pared a pared, hasta conseguir construir el edificio completo. Primero enseña a fabricar los ladrillos, luego a unirlos para construir paredes, luego éstas para construir una planta, etc, hasta llegar a construir el edificio completo.

Tradicionalmente la Lógica se enseña más bien mediante una aproximación “top-down”, de lo general a lo particular, y esta diferente forma de exponer el contenido llevó a algunos lectores, incluyendo a los propios editores Pedro y J, buenos conocedores del tema, a considerar que en ciertos artículos “faltaban cosas”, que “estaban incompletos” e incluso directamente que lo expuesto en el artículo n era erróneo… y luego llegaba el artículo n+1 y decían: “Ah, claro, aquí está lo que echaba en falta en el capítulo n…”. Como un ejemplo, y aunque sea adelantarme al contenido del libro y destripar de algún modo su contenido, los conocidos cuantificadores “Para Todo” y “Existe”, que normalmente se definen tan pronto en la explicación de la asignatura que casi se dan por supuestos, aquí sólo aparecen al final, una vez se han establecido firmemente a qué cosas podemos aplicar el cuantificador correspondiente. Y así con todo.

O sea, aquellos que os animéis a leer el libro, en papel o pdf o lo que sea, tened paciencia, que está todo lo necesario, en el orden lógico “bottom-up”… si en algún momento echáis en falta alguna cosa, esperad, que ya aparecerá cuando le toque.

Los capítulos que componen el libro son, lógicamente, los mismos que los de los PDF’s que antes he citado; en cualquier caso los enumero a continuación:

Prefacio

Introducción

I – El álgebra de Boole

II –  La Forma Normal Disyuntiva en el álgebra de Boole

III – Álgebra de Circuitos

IV – Una nueva mirada al álgebra de Conjuntos

V – El cálculo proposicional

VI – La sibilina implicación lógica

VII – El proceso de deducción lógica

VIII – El cálculo de predicados

IX – La inferencia lógica

Apéndice I: Solución al problema del Maquinista (que se plantea en el capítulo 4)

Apéndice II: La reducción de Karnaugh, por Javier “J” Sedano

Apéndice III: Lógica digital, por Javier “J” Sedano

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Y yastá. Ya digo, 176 páginas en total, incluyendo guardas, con bastantes fórmulas y mucha sapiencia lógica que aquí pongo a vuestra disposición en lulu.com al menor precio posible. Y si queréis ahorraros gastos de envío, que de hecho no son pequeños, podéis aprovechar para adquirir simultáneamente alguno más de los excelentes libros que otros autores de El Cedazo (o yo mismo) han publicado en lulu, y que tenéis en la página de “libros” de este sitio, y así el coste del envío se reparte entre todos ellos y sale más económico.

Gracias por todo. Y que lo disfrutéis.

1. Unos 150 ejemplares vendidos para una novela en autopublicación no está nada mal.

Hace tiempo leíste en un blog unos artículos de un profesor de física chiflado (o eso creías por entonces) que afirmaba que una raza de alienígenas súper-inteligentes se dedicaba como pasatiempo a raptar seres humanos, obligándoles a participar en juegos matemáticos y en los que, en el mejor de los casos, te premiaban con dejarte vivir. Tu creías que el pobre padecía delirios o que simplemente tenía una forma muy extraña y perturbadora de enseñar matemáticas a la gente.

De pronto esa cosa que acababa de entrar empieza a hablar:

– Hola, xuglurz, veo que ya has despertado. Mi nombre es Drebhliditav, y soy el encargado que tiene que cocinaaa… digooo, que tengo que explicarte por qué estás aquí. Como puedes ver, aquí delante tienes un aparato primitivo que usáis los humanos para medir eso que llamáis “peso”.

Evidentemente a tu derecha hay una balanza bastante rara. El alienígena saca nueve bolas idénticas de un sitio que prefieres no saber qué es, te las da y sigue hablando:

– Estas nueve bolas son exactamente idénticas en tamaño, en color y en todo lo que tú puedes observar. Tan sólo se diferencian en una cosa: una de ellas es un asqueroso caramelo de menta que te proporcionará la libertad, mientras que las otras ocho son caramelos deliciosos de cianuro, todo un manjar que desgraciadamente son letales para ti – dice, mientras empieza a salivar salpicando las paredes de ácido sulfúrico y varias cosas más que estás seguro de que ni siquiera existen en la Tierra –. Tu objetivo es fácil, xuglurz, debes comerte un caramelo. Si es el de menta puedes estar seguro de que no vamos a comerte, mientras que si por suerte comes algún caramelo de cianuro nos alegrarás bastante la cena de hoy. Pero antes de escoger un caramelo al azar te permitiremos hacer dos pesadas con la balanza, lo cual te será de gran ayuda, ya que por suerte para ti los caramelos de menta son más pesados que los de cianuro. Así que… ¿qué caramelo te quieres comer? -

Debes tomar una decisión rápida, así que empiezas a pensar, ¿existe alguna forma de, haciendo como máximo dos pesadas, encontrar el caramelo de menta?

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Desgraciadamente para el alienígena has sido bien entrenado por el profesor chiflado ese, por lo que no tienes demasiados problemas en encontrar una solución que te permite salvar la vida.

Coges las nueve bolas y las divides en tres grupos de tres, colocas dos de estos grupos, uno en cada plato de la balanza; si ésta marca que un plato pesa más que el otro sabrás que el caramelo de menta está en el grupo que pesa más, mientras que si los dos platos pesan lo mismo sabrás que el caramelo de menta está en el grupo de tres que no has pesado. En cualquier caso, ahora tienes seis caramelos de cianuro identificados y dudas entre tres caramelos, pero puedes volver a hacer lo mismo que antes, coges dos caramelos de los tres y los pesas en la balanza, si uno pesa más que el otro éste será el de menta, si pesan igual el caramelo de menta será el que no has pesado.

Sigues ese razonamiento y te comes el caramelo. Lamentablemente eso no sabe a menta, el dolor de cabeza se intensifica y caes cual saco de patatas al suelo.

Vuelves a abrir los ojos, estás confuso, el caramelo que te habías comido no era de menta (por lo menos no era que lo que los humanos entendemos por menta…) pero tampoco podía ser cianuro, ya que estabas vivo, o al menos eso crees. Al levantar la vista ves que Drebhliditav sigue en la habitación, al parecer tu olfato está ya tan deteriorado que ni siquiera te molesta ya su olor. De nuevo el alienígena te dice, con lo que parece ser una sonrisa burlona:

– No creerías que salvar tu vida sería tan fácil ¿no? Ésa era solo una prueba para separar la comida de la basura… Ya sabes que cuanto más listos son los xuglurz mejor gusto tienen… Ahora sí que vamos a hacer el experimento y esta vez sí, si aciertas te prometemos que te dejaremos libre.

Aunque confías poco en la palabra de un alienígena, no puedes hacer nada más que lo que te dice.

-Esta vez la prueba será más difícil – dice mientras saca no nueve, sino doce bolas exactamente idénticas -. De nuevo aquí tienes doce bolas idénticas en todo… excepto en su composición, las bolas pueden ser de cianuro o de menta, igual que antes, pero tienes suerte. Ahora no tiene por qué haber solamente una de menta, hay dos posibilidades: o bien hay once bolas de cianuro y una de menta, o bien hay once bolas de menta y una de cianuro. Como antes, tienes que escoger un caramelo y comértelo, puedes hacer varias pesadas antes de comértelo, pero te avisamos de que si excedes un número máximo de pesadas serás comido aquí mismo.

Este problema sin duda es mucho más difícil que el anterior, así que empiezas a pensar cómo puedes solucionarlo, Drebhliditav ha dicho que tienes un máximo de pesadas, pero no te ha dicho cuántas son… por lo que, ¿existe alguna forma de encontrar el caramelo de menta? Y si existe, ¿cuál es el número mínimo de pesadas que puedes hacer para encontrarlo?

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La primera respuesta es muy fácil, evidentemente existen formas de encontrar el caramelo de menta, pero la segunda es bastante más difícil. Mi primera respuesta fue 4 (y de hecho encontré varias maneras de hacerlo). Desgraciadamente no es un resultado correcto. La respuesta es 3,;si habías pensado “3″, enhorabuena, si no, ahora que sabes la respuesta, vuelve a pensar, ¿qué pesadas debes hacer para encontrar el caramelo de menta?

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Bien, si has llegado hasta aquí supongo que ya has encontrado la solución correcta (si no, te recomiendo que pienses más, yo tardé algunas horas antes de dar con esta respuesta).

Primero coges las doce bolas e, igual que antes, las divides en tres grupos, esta vez de cuatro bolas. Pones dos grupos en la balanza, hay dos opciones, o bien los dos platos pesan igual o bien uno de los dos pesa más (como en este caso la información que tenemos de las bolas que pesamos es simétrica tanto nos da cuál de los dos grupos pese lo mismo).

Si la balanza está equilibrada quiere decir que las ocho bolas pesan lo mismo (esta vez lamentablemente no sabemos si son ocho caramelos de cianuro u ocho caramelos de menta), Ahora procedes de la siguiente manera:

Coges tres de las bolas que aún no has pesado (las bolas que aún no han sido pesadas las marcaré en blanco) y una bola que ya has pesado (que marcaré en negro). Puede parecer que tienes la misma información de una bola blanca que una de negra, pero no es así, efectivamente en ambos casos hay un 50% de que sean caramelos de menta y un 50% de que sean cianuro, pero sabes que independientemente de eso, hay once bolas iguales y solo una distinta, por lo que sabes que todas las bolas negras son del mismo tipo. Ahora hay tres opciones:

1-      La balanza esta equilibrada

2-      Las dos bolas blancas pesan más

3-      Las dos bolas blancas pesan menos

En el primero de los casos podremos marcar esas tres bolas blancas de color negro (seguiremos sin saber nada de ellas), pero ahora tenemos 8+3=11 bolas negras, por lo tanto, la bola distinta será la bola blanca que nos queda (la que no hemos pesado aún) y solo necesitaremos pesarla con cualquier otra bola, si la bola blanca pesa más, significa que es el caramelo de menta, si pesa menos, pues es cianuro.

Si en la segunda pesada las dos bolas blancas pesan más, entonces sabremos que una de esas tres bolas será la especial, o bien una de las dos bolas que pesan más es el caramelo de menta o bien la que pesa menos es el caramelo de cianuro.

Simplemente pesamos las dos bolas que creemos pueden ser de menta, si pesan lo mismo la bola especial es la que no hemos pesado y es cianuro (por lo tanto, todas las otras son de menta). Si una de las dos bolas pesa más que la otra, ésa será el caramelo de menta.

El tercer caso es simétrico, si las dos bolas blancas pesan menos, entonces o bien una de esas es cianuro o bien la otra es el caramelo de menta. Pesamos las dos de cianuro y entonces sabremos cual es el caramelo de menta.

Está claro que, si en la primera pesada la balanza esta equilibrada, no tendremos ningún problema. Pero ¿qué pasa si no está equilibrada? Primero, sabremos que la bola “especial” está en uno de los dos grupos de cuatro, por lo tanto, las cuatro bolas que no hemos pesado serán negras (es decir, no sabemos qué son, pero sabemos que no son especiales), luego de las ocho bolas que tenemos en la balanza, o bien una de las cuatro que pesan más es el caramelo de menta (las marcaremos como verdes) o bien una de las cuatro que pesa menos es el caramelo de cianuro (las marcaremos como amarillas). Entonces hacemos la pesada siguiente:

Aquí volvemos a tener dos posibilidades (dada la simetría evidente). Si la balanza está equilibrada la bola especial es una de las dos amarillas que no hemos pesado, y solo tenemos que pesar esas dos para ver cuál pesa menos y, por lo tanto, es el cianuro.

Si, en cambio, la balanza no está equilibrada, las bolas verdes que suban no pueden ser caramelos de menta (pues pesarían más) y la bola amarilla que baja no puede ser cianuro.((Dejadme que aclare la frase un poco, cuando digo esta bola no puede ser un caramelo de menta o cianuro, me refiero a que no puede ser el único caramelo de menta o cianuro, es decir que esta bola pertenece al grupo “negro” por lo tanto, si resulta que hay once caramelos de menta, pues seran de menta…)) De modo que reducimos el problema a dos bolas verdes y una amarilla, y nos queda una pesada, pero esto es exactamente lo que hemos hecho antes.

Pones en marcha tu plan, y te comes de nuevo un caramelo, pero… de nuevo no tiene sabor a menta, solo tienes tiempo de mirar cabreado al alienígena antes de caer de nuevo al suelo sumido en la oscuridad.

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Abres los ojos – ¿Dónde estoy? – te preguntas. Te duele la cabeza y estas mareado, miras a tu alrededor, te encuentras en una especie de habitación. Una habitación que te resulta familiar. Empiezas a recordar, ayer saliste con tus amigos de fiesta para celebrar el ascenso de un amigo tuyo en el trabajo, recuerdas que fuisteis a un bar y pedisteis unas cervezas seguidas de bastantes rondas de bebidas alcohólicas varias. De repente ves entrar una cara conocida, y empiezas a ordenar tus ideas, te das cuenta que te encuentras tumbado en el sofá del piso de una amiga tuya, te mira y sonríe.

– Te pasaste un poco con la bebida ayer ¿no? –  Sonríes y asientes con la cabeza. – No sabes qué pesadilla más rara he tenido – le dices sin dejar de sonreír, contento de ver que todo ha pasado y, evidentemente, sin sospechar que tu experiencia no ha tenido nada de pesadilla y que Drebhliditav es ni más ni menos que el capitán de Rotnacgroeg, la nave que estaba a punto de empezar la conquista de la Tierra, cabreado porque se ha quedado sin cena.

Espero que os haya gustado el relato. La verdad es que escribir no es precisamente mi fuerte, pero he hecho lo que he podido. Para los que no hayan entendido nada de lo que acaba de pasar les recomiendo que lean esta serie (aunque Pedro os recomienda todo lo contrario). Sin duda este artículo no está a la altura de ninguno de esos, pero, la verdad, cuando me propusieron este ejercicio en clase de Álgebra pensé que estaría bien compartirlo aquí y ésta es la mejor idea que he tenido…

Como la segunda prueba es algo complicada, y una imagen vale más que mil palabras, dejadme que os ponga un dibujo (cutre, como todos) de los caminos posibles a seguir:

En este dibujo he marcado las bolas con los colores que ya he usado en el artículo, y además he marcado en verde-azul los caramelos que ya sabemos al 100% que son de menta. Aún así he seguido con más dibujos por una simple razón: el problema original^[1] trata de doce bolas en las que sabes que sólo una pesa más/menos y tienes que decir cual es y si pesa más o menos. Evidentemente, a nosotros sólo nos interesa encontrar las bolas que pesan más, por esta misma razón, aunque creo que no, es posible que el problema planteado aquí pueda resolverse con dos movimientos.

En fin, espero que os haya gustado, o por lo menos entretenido este artículo que, si es posible, servirá para que sepáis que sigo vivo y que los modelos atómicos llegarán… al fin y al cabo, si la Humanidad pudo esperar 1904 años a que Thomson propusiera su modelo, vosotros igual podéis esperar unos meses.

1. Sí, aunque te parezca una barbaridad no iba sobre alienígenas ni nada de eso… Qué aburridos son los matemáticos ¿no?

La labor de arqueología informática dio como resultado una serie que tuvo una buena aceptación,  no, una gran aceptación, diría yo, cosa por la que os estoy profundamente agradecido, aunque también provocó controversias con los lectores más conocedores del tema. Estas diferencias fueron debidas a la aproximación utilizada para acercarse a algo tan lógico como es la lógica… En efecto, esta forma de exponer la Lógica (que no es mía, que conste, sino que es la que utilizó Pepe Cuena en aquellos años del cuplé) no es quizá la forma habitual de hacerlo, y esto provocó algún que otro malentendido que creo yo que, finalmente, quedó resuelto.

Explico eso de los malosentendidos: esta serie siguió una aproximación “bottom-up”, es decir, de lo particular a lo general: va construyendo el edificio lógico desde sus cimientos, poco a poco, ladrillo a ladrillo, pared a pared, hasta construir el edificio completo. Primero enseña a fabricar los ladrillos, luego a unirlos para construir paredes, luego éstas para construir una planta, etc, hasta llegar a construir el edificio completo. Tradicionalmente, la Lógica se enseña más bien mediante una aproximación “top-down”, de lo general a lo particular,^[1] y esta diferente forma de exponer el contenido llevó a muchos lectores, incluyendo a los propios Pedro y J, buenos conocedores del tema, a considerar que en ciertos artículos “faltaban cosas”, que “estaba incompleto” e incluso directamente que lo expuesto en el artículo n era erróneo… y luego llegaba el artículo n+1 y decían: “Ah, claro, aquí está lo que echaba en faltaba en el capítulo n…”.

Bueno, el caso es que la serie, que deliberadamente siguió una cadencia temporal de publicación similar a la que tuvo la asignatura de Metodología del curso 1973/74 en que se basa, sólo que 38 años después, finalizó por fin y aparentemente todas las dudas y cositas varias que se echaban en falta estaban ya en su sitio… descolocadas, quizá, según el entender de algunos, pero el caso es que ahí estaban.

Además, tuve la gran suerte de que nuestro amigo Javier “J” Sedano contribuyera de manera genial con dos artículos, dos anexos, uno sobre la reducción de Karnaugh (que quizá supe alguna vez cómo era, pero que tenía completamente olvidada), y otro sobre la quizás más inmediata aplicación del álgebra de Boole y del cálculo proposicional a la vida corriente: la lógica digital utilizada para construir las puertas lógicas que configuran la base del ordenador, dispositivo o cacharro en el que lees estas líneas.

Entonces, una vez acabada la serie y pasados unos meses de canícula veraniega^[2] para reflexionar, y estando en el comienzo de un nuevo curso escolar, creo que ha llegado el momento de recopilar los 10 artículos de la serie, más los dos anexos escritos por J y otro más de propina (que tenía pensado incluir como comentario, pero que al final no lo hice), en un único documento, para que aquellos que hayan seguido la serie y les haya servido para algo (o crean que les puede servir de algo en el futuro) la puedan tener completa, con todas las erratas que hemos visto, corregidas… y, desde luego, de forma gratuita.

Podría, sí, haber publicado un libro de autoedición en alguna de las plataformas existentes, como lulu por ejemplo; podría haberlo convertido al formato kindle y haberlo subido a la web de Amazon; podría haberle puesto un precio simbólico, o no tan simbólico, que compensara de alguna manera el trabajo de escribir los artículos… podría…

Pero no.

José Cuena Bartolomé (1987).

En realidad, la base intelectual de la serie no es mía, es de Pepe Cuena, aquel profesor estupendo que me enseñó lógica en los albores de la civilización. Yo he reutilizado aquellas amarillentas páginas, re-redactado muchas partes, incluido muchos ejemplos nuevos o modificado los añejos y hoy políticamente incorrectos ejemplos usados por Don José en 1973, buscado e incorporado las imágenes… sí, cierto, es mucho trabajo. Pero lo he hecho de mil amores. Me siento más que pagado por el simple hecho de que cientos o miles de lectores desconocidos lean estas líneas y aprendan algo: poco o mucho, pero algo, al fin. Eso es pago más que suficiente para mí, al menos en este caso, y creo hablar también por Javier “J” Sedano, autor de dos magníficos capítulos del libro, y también de Pedro, nuestro querido Amo del Calabozo, que, en definitiva, es quien paga la fiesta. Desde aquí expreso mi agradecimiento y admiración a ambos.

Así que aquí está el documento…

Eeee… Bueno, tampoco podría ser tan fácil, ¿no?

Porque no es un documento, en realidad, sino dos. Con el mismo contenido, naturalmente, y en el mismo tipo de fichero, un PDF, pero dos versiones distintas.

El motivo es simple: Una versión está pensada para leer en la pantalla del ordenador o imprimirla, está en formato A4 y la letra es más grande, en concreto de 13 puntos, mientras que la otra versión está pensada más bien para su lectura en libros electrónicos, tablets o lo que sea, o también para imprimirla en tamaño más pequeño, puesto que está en formato A5 y la letra es más pequeña, de 10 puntos solamente. Hay también alguna mínima diferencia entre ambos documentos, debido a alguna adaptación menor que he tenido que realizar para que las ristras de fórmulas cupieran dentro de lo posible en una página del formato pequeño, pero quitando estas mínimas adaptaciones, ambas versiones son idénticas.

También he de advertir que la calidad de las imágenes que representan las fórmulas no es tan buena como me hubiera gustado. Algunas de ellas aparecen algo pixeladas y, en general, no con la calidad que deberían tener.^[3]

En realidad he tomado las fórmulas generadas por Latex en el propio WordPress, en los artículos publicados en El Cedazo, y las he incluido en el documento; lo correcto, lo ideal, hubiera sido reescribir el documento completo en Latex para conseguir las fórmulas con la máxima calidad… pero eso, amigos, es muchísimo trabajo, uno es viejo, está cascado y, total, se entienden bien y tampoco se ven tan mal… ¿verdad?

En este enlace está el documento en formato A4 (idóneo para leer en la pantalla del ordenador o para imprimirlo).

Y en este otro enlace está el documento en formato A5 (pensado para leer en libros electrónicos y cacharros varios que admitan PDF’s).

Que lo disfrutéis. O que os sirva para aprender algo. O lo que sea.

Disfrutad de la vida, mientras podáis.

1. Por ejemplo, y aunque suponga adelantarme, destripar de algún modo el contenido del escrito, los cuantificadores “Para Todo” y “Existe”, que normalmente se definen tan pronto que casi se dan por supuestos, aquí sólo aparecen al final, una vez se han establecido firmemente a qué cosas podemos aplicar el cuantificador correspondiente.
2. De canícula en España y el hemisferio Norte, claro está.
3. Ojo: me refiero a la calidad de la representación de las fórmulas, no al contenido de las propias fórmulas en sí: ésas, espero que estén todas bien.

José Cuena Bartolomé, 1987.

Estamos llegando al final de la asignatura. Estamos ya con los calores de mayo y los sudores fríos que a todos nos dan los inminentes exámenes finales. D. José dedicó estas últimísimas clases a acabar de perfilar el Cálculo de Predicados y a hacer ejercicios para preparar los dichosos finales. Pero descuidad, yo no voy a examinaros de nada… allá cada cual con lo que haya aprendido (o desaprendido, quién sabe) siguiendo esta serie tan amarillenta como los añejos apuntes en que se basa… serie que, por cierto, hoy llega a su fin… por fin.

Hace un par de artículos vimos cómo era, desde el punto de vista del cálculo proposicional, el proceso de deducción.

Recordemos que, teniendo una serie de premisas que se suponen ciertas, se puede deducir una nueva proposición… Suponiendo las premisas , esto lo representábamos de la forma: , es decir, la conjunción de todas las premisas implicando la conclusión tiene que ser cierta. Esto era, ni más ni menos, el modus ponens, si os acordáis. Y nos indica que, si todas y cada una de las premisas son ciertas, y sólo en ese caso, entonces la conclusión lo es también.

Vamos a generalizar este proceso, utilizando los cuantificadores universal (Para Todo: ) y existencial (Existe: ), para definir el proceso de inferencia lógica. Para ello, primero definiremos las diferentes formas de deducción que emanan de los cuantificadores. Tienen todas ellas nombres bastante intimidatorios, pero… son no sólo sencillas, sino evidentes; más aún, como decía mi abuela, son de cajón de madera de pino… Ved cómo es así:

Especificación Universal

Esto quiere decir que si para todo x se cumple A(x), evidentemente el predicado A se cumplirá también para todos los elementos y. Así, si tenemos la aserción siguiente: a todo español le gustan los toros (es decir, para todo hombre perteneciente a los españoles, “le gustan los toros” es cierto), podemos convertirla simplemente en “a los españoles les gustan los toros“. En lenguaje corriente tendríamos dificultades en distinguir una forma de decir las cosas de la otra… porque son equivalentes, eso es.

Y, evidentemente, la frase es un ejemplo. Porque, en realidad, no a todos los españoles les gustan los toros, yo mismo entre ellos: la premisa inicial es falsa, así que, por muy bien hecho que esté el razonamiento, que lo está, su conclusión no es válida, puesto que el predicado inicial no lo es.

Recordad siempre: un razonamiento puede ser correcto o incorrecto, no verdadero o falso. Verdaderas o falsas son las frases, las aserciones, los predicados que se usan en el razonamiento, pero nunca el razonamiento en sí.

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También es cierta la contraria de la Especificación Universal, llamada:

Generalización Universal

Si siempre se cumple A(x), entonces también se cumple que para todo y se cumple A(y). Si el predicado A es “Los turcos tienen bigote“, es bastante sencillo ver que “para todo x perteneciente a los hombres turcos, x tiene bigote“. Incluso, nuevamente, en el lenguaje corriente ambas formas de hablar (“los (hombres) turcos tienen bigote” y “todo (hombre) turco tiene bigote“) son equivalentes, por no decir indistinguibles. En Lógica formal, lo son también, puesto que se infieren una de la otra, y viceversa.^[1]

En el ejemplo paradigmático de la filosofía clásica, de “los hombres son mortales“, proposición normalmente dada por verdadera, puesto que no se ha observado ningún contraejemplo hasta el momento, según esta generalización universal se convertiría en “Todo hombre es mortal” (para todo x perteneciente a “Los Hombres“, x es mortal), llegando así a convertirse en Ley Universal.

Sigamos.

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Especificación Existencial

Aquí representa un cierto elemento que cumple el predicado A. Alguno debe de haber, claro, pues si no, no sería cierta la especificación “Existe un x tal que A(x)”. Si decimos que “existe algún inglés que sabe hablar correctamente el español“, por ejemplo, es evidente que para un cierto valor de x perteneciente a “los ingleses”, digamos un tal John Smith que estudió en los Salesianos de La Almunia de Doña Godina, se cumplirá que ese caballero inglés en concreto habla español correctamente. Si no hay disponible ningún John Smith hispanoparlante, entonces la propia premisa de especificación existencial sería falsa, puesto que NO existiría ningún inglés que hable español como es debido…

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Nuevamente, su contraria:

Generalización Existencial

Si hay un cierto elemento que cumple A, entonces existe al menos un x tal que A(x) se cumple, que será precisamente ese elemento , al menos. Efectivamente, si conocemos a un tal Mike Taylor que estudió en los Escolapios de Puente del Arzobispo y habla en español por los codos, entonces podemos afirmar sin titubear que “existe al menos un inglés que habla español correctamente“. El tal Mike Taylor, al menos.

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No creo que haya que explicar más estas formulitas: son bastante evidentes, casi infantiles, perogrullescas… ¡y potentes!.

Armados con ellas y con lo que ya sabemos de cálculo de predicados y proposicional, somos capaces de resolver inferencias lógicas como el que lava… en la Edad Media nos hubiéramos podido ganar bien la vida como resolvedores (¡o inventores!) de silogismos… eso si antes no nos habían quemado en la hoguera, por brujos.

Veamos algunos ejemplos. Ahí va el primero de ellos:

1. – Ningún ser humano es cuadrúpedo.

2. – Todos los pigmeos son humanos

Conclusión: Ningún pigmeo es cuadrúpedo^[2]

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Veamos cómo llegamos, lógicamente, a la conclusión de que nuestros queridos aborígenes africanos de baja estatura no se desplazan normalmente sobre cuatro patas.^[3]

Primero, definamos las proposiciones individuales:

H(x): x es un ser humano

C(x): x es un cuadrúpedo

P(x): x es pigmeo

Una vez hecho esto, definimos ahora los predicados 1 y 2 en términos de cálculo lógico:

Se ve claro, ¿no? Pues por si acaso no se ve…

La primera: Para todo x, si x es un hombre, entonces x no es un cuadrúpedo.

La segunda: Para todo x, si x es un pigmeo, entonces x es un hombre.

¿Está claro? Operemos un poco con cada uno de los dos predicados originales, aplicando la Especificación Universal:

Ya sabemos, pues, que los “humanos no son cuadrúpedos“, y que “los pigmeos son humanos“. Con este par de especificaciones nos hemos librado (de momento) de los cuantificadores, con lo que nos han quedado dos proposiciones de lo más normalitas. Por lo tanto, podemos aplicar sin más las reglas del cálculo proposicional que conocemos.

Tomamos ahora ambas conclusiones y:

Claro: Si A implica B y B implica C, entonces, por la propiedad transitiva, A implica C.  O sea: “Los pigmeos no son cuadrúpedos“.^[4] Ya casi está. Ahora sólo queda generalizar:

O sea, que todo Pigmeo no es cuadrúpedo. Es decir: Para todo x, si x es Pigmeo, entonces x no es cuadrúpedo. Como se quería demostrar. ¡Menudo descubrimiento!, por cierto.

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En el mundo de los silogismos, siempre que mi escuálida memoria no me falle, éste de los pigmeos es del tipo “Celarent“, es decir: Universal Negativo + Universal Positivo dan como conclusión otro Universal Negativo.  En este caso, Premisa-Universal Negativo: “Ningún humano es cuadrúpedo“; Premisa-Universal Positivo: “Todos los pigmeos son humanos“; Conclusión (Universal Negativo): “Ningún pigmeo es cuadrúpedo“. Así se las gastaban los monjes medievales… Había decenas y decenas de tipos de silogismos, que se sabían de memoria.

Y, en cambio, nosotros, en aquella “Metodología” de Segundo de Informática, nunca jamás citamos siquiera el nombre “Silogismo“, cuando no hacíamos más que resolver uno tras otro.

Al final del artículo dedicaré algunos párrafos a describir, muy por encima, cómo eran los silogismos y cómo se usaban, por si alguno de vosotros tiene curiosidad.

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Pongamos un último ejemplo. De hecho yo tengo cinco de ellos en mis descoloridos apuntes del siglo pasado, pero no voy a torturaros con más… si es caso, dejaré uno último para que quien quiera divertirse un rato, pueda hacerlo… pero a solas. Veamos este último ejemplo:

1 – Todos los números racionales son números reales

2 – Algún número racional es entero.

Conclusión: Algunos números reales son enteros

De Perogrullo, sí, pero hay que demostrarlo, que, si no, nuestros amigos matemáticos se enfadan mucho. Veamos primero los predicados involucrados:

Q(x): x es racional.

R(x): x es real.

E(x): x es entero.

Las premisas son las siguientes:

Traducción: Para todo número x que es racional entonces x es real.

 Traducción: Existe al menos un número x tal que es simultáneamente racional y entero.

y la conclusión propuesta es:

Traducción: Existe al menos un número x tal que es  simultáneamente real y entero.

Evidente, ¿no? Espero que sí. Venga, vamos a operar otro poco. Por una parte, mediante especificación universal:

Por otra parte, y ahora mediante especificación existencial:

Al ser éste último un predicado conjugado,^[5] para ser cierto deben ser ciertos a la vez y ; podemos, pues, tomarlos independientemente, y eso es justo lo que vamos a hacer, uniéndolos por partes con el otro enunciado.

(Esto es un modus ponens de lo más normalito)

(La otra parte de la conjunción)

, y por generalización existencial:

, que era la conclusión buscada.

O sea, efectivamente algunos racionales son, sorpresivamente, también enteros.

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El último ejemplo que prometí, para aquellos masoquistas que quieran ejercitarse… Demostrar si la siguiente inferencia lógica es correcta:

1 – Algunos franceses son amigos de todos los monegascos.

2 – Ningún francés es amigo de los aficionados al cricket.

Conclusión: Ningún monegasco es aficionado al cricket.

No es difícil, ni mucho menos. Ya podéis lidiar con silogismos sin despeinaros, tengan una premisa, dos, tres o las que hagan falta… ya no hace falta cantar, como yo canté en mi lejanísimo Bachillerato, aquello de “Barbara, Celarent, Darii, Ferio… du-duá, du-duá…“.^[6]

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Mmmm. He citado bastantes veces a lo largo de la serie eso de “los silogismos“, y acabo de explicar que conociendo lo que hoy he terminado de exponer sobre Lógica y sobre inferencias lógicas, no hace falta conocer nada acerca de silogismos, y que se podía olvidar uno de lo del “Bárbara, Celarent”… Podría parecer que estoy menospreciándolos, pero no, en absoluto. Los silogismos fueron la piedra angular sobre la que se basó toda la ciencia medieval e incluso la de los Siglos XVI, XVII y XVIII. Muchos grandes pensadores, algunos conocidos pero la mayoría anónimos, aportaron a lo largo de los siglos su grano de arena al corpus de los silogismos…

Yo los estudié, no mucho, pero sí lo suficiente, en mi aún más lejana Filosofía de Quinto de Bachillerato (tenía yo quince años por entonces), y la verdad es que me acuerdo más bien poco.

… Pero parece que en nuestros tiempos ya no se explican. Nada. Es lógico: sabiendo álgebra de Boole, cálculo proposicional y de predicados, todo lo demás sale solo, así que, aunque sólo sea por lo importantes que fueron en su día, voy a dedicarles algunos párrafos para explicar, sin grandes detalles, qué eran y cómo se usaban…

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SILOGISMOS, o cómo se razonaba en la Edad Media.

Fue Aristóteles, nada menos, quien definió por primera vez el término silogismos (que en griego clásico quiere decir “razonamiento”), aunque luego fueron los escolásticos los que afinaron su definición, los estudiaron a conciencia y explicaron cómo usarlos.

Para definir un silogismo se precisan tres proposiciones: Una, denominada “Mayor“, otra, “Menor” y otra, por fin, llamada “Conclusión“, que, como podéis imaginar, es la que se deduce de las otras dos proposiciones, las premisas. Estas proposiciones deben tener en total tres términos, denominados mayor, menor y medio, y además resulta que… bueno, la cosa se empieza a complicar. Mejor ver un ejemplo clásico:

Proposición Mayor: “Todos los hombres son mortales“

Proposición Menor: ”Sócrates es un hombre“

Conclusión: “Sócrates es mortal“

Ya veis que se trata de un modus ponens de lo más sencillito, de una inferencia muy evidente, según acabamos de observar. Sabiendo cálculo proposicional y de predicados esto está chupado. Sólo hay un pequeño problema: ¡¡No estaban inventados!! En el Siglo XII toda noción de cálculo, y no digamos de álgebra, estaba en pañales; ni siquiera se había importado de los indios, pasando por los árabes, el sistema de notación numérico actual, con su cero incluido.

Monje en su scriptorium, calculando silogismos

¿Cómo se las apañaron, pues, Tomás de Aquino, Guillermo de Ockham y demás escolásticos para lidiar con cualesquiera razonamientos…?^[7]  De Memoria.  Se los aprendían de memoria.

Primero, codificaron los diferentes predicados según su tipo, de la forma siguiente:

Universal afirmativo: Letra A. (Traducido: Para todo x, ocurre P(x) )

Universal negativo: Letra E. (Traducido: Para todo x, ocurre No P(x) )

Particular afirmativo: Letra I.  (Traducido: Existe un x, en que ocurre P(x) )

Particular negativo: Letra O. (Traducido: Existe un x, en que ocurre No P(x) )

Luego, siglo tras siglo, en base a sesudos razonamientos llegaron a determinar qué tipos de razonamientos eran válidos y cuáles no. Razonamientos en los que no podían reducir fórmulas según el álgebra de Boole o las Leyes de De Morgan, porque tanto a George Boole como a Augustus De Morgan les faltaban quinientos años o más para nacer, o sea, todo a puro pelo. Los dividieron y categorizaron una y otra vez: en hipotéticos y disyuntivos, condicionales, chiripitifláuticos, etc, dando lugar a diferentes figuras, modos, sistemas…

Luego, a cada figura le asignaron una o varias  consonantes iniciales que indicaban de qué figura era el silogismo. No me preguntéis más detalles sobre esto de las figuras y tal, que no llego más que hasta aquí.

Teniendo tres predicados y cuatro tipos de predicado posibles (A,E,I,O), encontraron que había 64 posibles modos de ordenarlos, a base de escribir todos uno a uno y contarlos. No creo que supieran que las variaciones con repetición de cuatro tipos tomados de tres en tres era “4 elevado a 3“… ni siquiera sabían qué rayos era una “variación con repetición“, pero sí sabían que en total había 64 modos posibles, del A-A-A al O-O-O.

También se dieron cuenta de que no todos los modos posibles eran silogismos correctos. Por ejemplo, si las dos premisas son negativas, no se puede inferir conclusión alguna, como en “Ninguna planta de mi jardín sabe hablar”; “Mi perro Toby no es una planta”… No es posible sacar ninguna conclusión sobre si Toby sabe o no sabe hablar en base a estas dos premisas iniciales.

De los 64 modos posibles, tras siglos de estudio, encontraron que sólo 19 eran correctos. ¿Cómo hacer para recordarlos, en aquellos tiempos en que la matemática simplemente no existía? Fácil: escribieron esos 19 modos válidos que encontraron, de forma exhaustiva, buscando palabras mnemotécnicas que les ayudaran a recordarlas. De ahí lo de “Barbara, Celarent, Darii, Ferio…”. Y se las aprendieron de memoria.

Así, Barbara señala un razonamiento en el que todas las proposiciones son universales afirmativas (A-A-A: bArbArA, para que se vea más claro), por ejemplo: “Todos los hombres son mortales”; “Todos los pigmeos son hombres”; Conclusión: “Todos los pigmeos son mortales”.

En nuestro africano ejemplo anterior, el de los pigmeos: “Ningún hombre es cuadrúpedo”, ”Todos los pigmeos son hombres”; Conclusión: “Ningún pigmeo es cuadrúpedo”, es un silogismo de modo Celarent (EAE: cElArEnt). Sus proposiciones son: Universal Negativo (E)-Universal Afirmativo (A)-Universal Negativo (E).

En el  de “Todos los hombres son mortales”; “Sócrates es un hombre”; Conclusión: “Sócrates es mortal”, las proposiciones son: Universal Afirmativo (A), Particular Afirmativo (I), Particular Afirmativo (I)… es un Darii (dArII, para que se vea más claro).   Y así, con todo.

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¿Cómo usaban esto los filósofos medievales? Bien, estaban ellos elucubrando sobre la flamigerez de los bordosíes, sin ir más lejos, y se planteaban el siguiente razonamiento:

Premisa Mayor: “Nadie que ferrulice a un churrimano es un flamígero descendente“;

Premisa Menor: “Tengo un bordosí emperifollado que ferruliza a un churrimano“

¿Qué conclusión puedo yo sacar de estas dos premisas? Como no sé álgebra de Boole… lo llevo crudo. Pero, claro, en su lugar, tengo mi lista de silogismos…

A ver… la primera premisa es una Universal Negativa: Una E. La segunda es un Particular Afirmativo: una I. Luego tengo que buscar en la lista de silogismos válidos y aceptados por los Padres de la Iglesia (no vaya a cometer herejía y acabe en el potro de tortura) a ver si hay alguno con ese comienzo “E-I“, aunque lo normal es que no me haga falta, porque me los sepa de memoria… Pues sí, hay uno: Festino. La tercera sílaba de Festino^[8]  lleva una O. Eso quiere decir que la conclusión es de tipo O: particular negativo. Y como Festino empieza por F, es de no sé qué figura (según la Wikipedia, de la segunda figura, signifique lo que signifique eso y tenga las consecuencias que tenga).

O sea, la conclusión sería “Este bordosí emperifollado ferrulizador no es un flamígero descendente“. O algo parecido…

Bueno, más o menos así sería el método. Además, para ayudarse en su tarea, inventaron uno de los primeros prontuarios de la historia: las cartas silogísticas. No me preguntéis cómo se usaban. No me acuerdo, si es que alguna vez lo supe.

La realidad es que, aunque soy viejo, nunca llegué a usar activamente ni las cartas silogísticas ni los propios silogismos (ya habían pasado de moda cien años antes de que yo naciera), y los tengo bastante olvidados. Espero, eso sí, que gracias a estas pocas palabras os quede, al menos, una idea de cómo funcionaba todo el asunto.

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En fin. El curso académico se acababa. Don José nos propuso dos o tres ejercicios más, luego… Vinieron los exámenes parciales (en las asignaturas que los hacían, que no eran tantas), y después los finales. Aprobé todo, incluyendo esta tan lógica asignatura de “Metodología”. Con buena nota, creo recordar. La mayoría de mis compañeros y yo estuvimos de acuerdo en que estas clases impartidas por Pepe Cuena habían sido de las más divertidas y útiles que habíamos recibido en nuestras vidas.

El verano siguiente me dediqué a cumplir mis obligaciones como ciudadano español de pro de la época: me fui la mili, el Servicio Militar Obligatorio, que terminé año y pico después, simultaneando las guardias y las imaginarias con el curso de Tercero de Informática…^[9] No me fue muy bien en ninguna de las dos actividades: del curso me quedaron unas cuantas asignaturas para el año siguiente (aunque aprobé dos o tres, que algo es algo), y en la mili comprobé que toda la estupenda Lógica que había aprendido ese curso 1973-1974 no me sirvió absolutamente de nada: no puede decirse que el Servicio Militar de aquellos años se rigiera por parámetros excesivamente lógicos. Menos mal que no estábamos en guerra con nadie, que si no…

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Aquí se acaba esta historia. Y la serie.

Seguramente os habrá aburrido mortalmente a la mayoría, a otros os habrá parecido limitada, pedante y, sobre todo, ingenua, y, por fin, a dos o tres de vosotros igual os ha servido para algo, os ha ayudado a entender un poco cómo se razona, y sobre todo cómo razonamos los informáticos… perdón, cómo razonábamos los informáticos de los tiempos del cuplé.

Hasta otra.

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¡Ah!. Se me olvidaba: Disfrutad de la vida, mientras podáis.

1. En otro caso, ¡ya me diréis para qué valdría la Lógica!
2. Qué cosas… en la clase anterior aparecían negros, por aquello de “Juan es negro”, y aquí aparecen pigmeos… que también son negros. Ya digo yo que la corrección política imperante en la actualidad no había hecho todavía su aparición en los años 70.
3. No hay más que ver la foto, pero en fin…
4. Si aún tenéis dudas, pensad en conjuntos, en relaciones de pertenencia entre los conjuntos involucrados,  y lo veréis clarísimo.
5. O sea, unido con un hermoso “Y”.
6. En mis tiempos se aprendían muchas cosas cantando, la primera de ellas la tabla de multiplicar, naturalmente: dos por una es dos; dos por doooos, cuatro; dos por treees, seis… y así hasta el infinito. Y más allá.
7. No, cualesquiera razonamientos, no. Casi todos eran para demostrar ésta o aquella faceta de la divinidad, para demostrar la infalibilidad del Papa o la venida del Espíritu Santo o la mendacidad de algún obispo casquivano… La poquísima cultura que subsistía en Occidente durante los oscuros años medievales se guardaba o practicaba en monasterios y conventos. Sin excepción.
8. No creo que pensaran en relojes suizos los monjes medievales que le pusieron el nombre.
9. Fui a la mili aunque aún era menor de edad: esos años la mayoría de edad no se alcanzaba hasta cumplir los 21 años, y yo aún no los tenía. Sí, era menor de edad para casi todo, menos para ir pegando tiros por ahí.