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Eso que llamamos Lógica (IX) La inferencia lógica.




En el artículo anterior de esta serie sobre Lógica de aplicación para la informática que hoy finaliza (¡por fin!), se definió el Cálculo de Predicados como una generalización del Cálculo Proposicional que vimos algunos capítulos atrás… Como sabéis los aguerridos seguidores de la serie, para confeccionarla estoy usando extensivamente los apuntes de la asignatura de “Metodología” de aquel año académico 1973-74, en Segundo de Informática, asignatura impartida por el desgraciadamente desaparecido profesor D. José Cuena Bartolomé.

José Cuena Bartolomé, 1987.

Estamos llegando al final de la asignatura. Estamos ya con los calores de mayo y los sudores fríos que a todos nos dan los inminentes exámenes finales. D. José dedicó estas últimísimas clases a acabar de perfilar el Cálculo de Predicados y a hacer ejercicios para preparar los dichosos finales. Pero descuidad, yo no voy a examinaros de nada… allá cada cual con lo que haya aprendido (o desaprendido, quién sabe) siguiendo esta serie tan amarillenta como los añejos apuntes en que se basa… serie que, por cierto, hoy llega a su fin… por fin.

Hace un par de artículos vimos cómo era, desde el punto de vista del cálculo proposicional, el proceso de deducción.

Recordemos que, teniendo una serie de premisas que se suponen ciertas, se puede deducir una nueva proposición… Suponiendo las premisas P_1, P_2 \cdot \cdot \cdot P_n, esto lo representábamos de la forma: (P_1 \wedge P_2 \wedge \cdot \cdot \cdot \wedge P_n) \Longrightarrow E = 1, es decir, la conjunción de todas las premisas implicando la conclusión tiene que ser cierta. Esto era, ni más ni menos, el modus ponens, si os acordáis. Y nos indica que, si todas y cada una de las premisas son ciertas, y sólo en ese caso, entonces la conclusión lo es también.

Vamos a generalizar este proceso, utilizando los cuantificadores universal (Para Todo: \forall) y existencial (Existe: \exists), para definir el proceso de inferencia lógica. Para ello, primero definiremos las diferentes formas de deducción que emanan de los cuantificadores. Tienen todas ellas nombres bastante intimidatorios, pero… son no sólo sencillas, sino evidentes; más aún, como decía mi abuela, son de cajón de madera de pino… Ved cómo es así:

Especificación Universal

\underline{\forall x A(x)}

A(y)

Esto quiere decir que si para todo x se cumple A(x), evidentemente el predicado A se cumplirá también para todos los elementos y. Así, si tenemos la aserción siguiente: a todo español le gustan los toros (es decir, para todo hombre perteneciente a los españoles, “le gustan los toros” es cierto), podemos convertirla simplemente en “a los españoles les gustan los toros“. En lenguaje corriente tendríamos dificultades en distinguir una forma de decir las cosas de la otra… porque son equivalentes, eso es.

Y, evidentemente, la frase es un ejemplo. Porque, en realidad, no a todos los españoles les gustan los toros, yo mismo entre ellos: la premisa inicial es falsa, así que, por muy bien hecho que esté el razonamiento, que lo está, su conclusión no es válida, puesto que el predicado inicial no lo es.

Recordad siempre: un razonamiento puede ser correcto o incorrecto, no verdadero o falso. Verdaderas o falsas son las frases, las aserciones, los predicados que se usan en el razonamiento, pero nunca el razonamiento en sí.

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También es cierta la contraria de la Especificación Universal, llamada:

Generalización Universal

\underline{A(x)}

\forall y A(y)

Si siempre se cumple A(x), entonces también se cumple que para todo y se cumple A(y). Si el predicado A es “Los turcos tienen bigote“, es bastante sencillo ver que “para todo x perteneciente a los hombres turcos, x tiene bigote“. Incluso, nuevamente, en el lenguaje corriente ambas formas de hablar (“los (hombres) turcos tienen bigote” y “todo (hombre) turco tiene bigote“) son equivalentes, por no decir indistinguibles. En Lógica formal, lo son también, puesto que se infieren una de la otra, y viceversa.[1]

En el ejemplo paradigmático de la filosofía clásica, de “los hombres son mortales“, proposición normalmente dada por verdadera, puesto que no se ha observado ningún contraejemplo hasta el momento, según esta generalización universal se convertiría en “Todo hombre es mortal” (para todo x perteneciente a “Los Hombres“, x es mortal), llegando así a convertirse en Ley Universal.

Sigamos.

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Especificación Existencial

\underline{\exists x A(x)}

A(\alpha)

Aquí \alpha representa un cierto elemento que cumple el predicado A. Alguno debe de haber, claro, pues si no, no sería cierta la especificación “Existe un x tal que A(x)”. Si decimos que “existe algún inglés que sabe hablar correctamente el español“, por ejemplo, es evidente que para un cierto valor de x perteneciente a “los ingleses”, digamos un tal John Smith que estudió en los Salesianos de La Almunia de Doña Godina, se cumplirá que ese caballero inglés en concreto habla español correctamente. Si no hay disponible ningún John Smith hispanoparlante, entonces la propia premisa de especificación existencial sería falsa, puesto que NO existiría ningún inglés que hable español como es debido…

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Nuevamente, su contraria:

Generalización Existencial

\underline{A(\alpha)}

\exists x A(x)

Si hay un cierto elemento \alpha que cumple A, entonces existe al menos un x tal que A(x) se cumple, que será precisamente ese elemento \alpha, al menos. Efectivamente, si conocemos a un tal Mike Taylor que estudió en los Escolapios de Puente del Arzobispo y habla en español por los codos, entonces podemos afirmar sin titubear que “existe al menos un inglés que habla español correctamente“. El tal Mike Taylor, al menos.

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No creo que haya que explicar más estas formulitas: son bastante evidentes, casi infantiles, perogrullescas… ¡y potentes!.

Armados con ellas y con lo que ya sabemos de cálculo de predicados y proposicional, somos capaces de resolver inferencias lógicas como el que lava… en la Edad Media nos hubiéramos podido ganar bien la vida como resolvedores (¡o inventores!) de silogismos… eso si antes no nos habían quemado en la hoguera, por brujos.

Pigmeos patrullando la selva

Veamos algunos ejemplos. Ahí va el primero de ellos:

1. – Ningún ser humano es cuadrúpedo.

2. – Todos los pigmeos son humanos

Conclusión: Ningún pigmeo es cuadrúpedo[2]

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Veamos cómo llegamos, lógicamente, a la conclusión de que nuestros queridos aborígenes africanos de baja estatura no se desplazan normalmente sobre cuatro patas.[3]

Primero, definamos las proposiciones individuales:

H(x): x es un ser humano

C(x): x es un cuadrúpedo

P(x): x es pigmeo

Una vez hecho esto, definimos ahora los predicados 1 y 2 en términos de cálculo lógico:

1. - \forall x [H(x) \Longrightarrow \neg C(x)]

2. - \forall x [P(x) \Longrightarrow H(x)]

Se ve claro, ¿no? Pues por si acaso no se ve…

La primera: Para todo x, si x es un hombre, entonces x no es un cuadrúpedo.

La segunda: Para todo x, si x es un pigmeo, entonces x es un hombre.

¿Está claro? Operemos un poco con cada uno de los dos predicados originales, aplicando la Especificación Universal:

\underline{1- \forall x [H(x) \Longrightarrow \neg C(x)]}

H(y) \Longrightarrow \neg C(y)

\underline{2- \forall x [P(x) \Longrightarrow H(x)]}

 P(y) \Longrightarrow H(y)

Ya sabemos, pues, que los “humanos no son cuadrúpedos“, y que “los pigmeos son humanos“. Con este par de especificaciones nos hemos librado (de momento) de los cuantificadores, con lo que nos han quedado dos proposiciones de lo más normalitas. Por lo tanto, podemos aplicar sin más las reglas del cálculo proposicional que conocemos.

Tomamos ahora ambas conclusiones y:

 P(y) \Longrightarrow H(y)

\underline{H(y) \Longrightarrow \neg C(y)}

P(y) \Longrightarrow \neg C(y)

Claro: Si A implica B y B implica C, entonces, por la propiedad transitiva, A implica C.  O sea: “Los pigmeos no son cuadrúpedos“.[4] Ya casi está. Ahora sólo queda generalizar:

\underline{P(y) \Longrightarrow \neg C(y)}

\forall x [P(x) \Longrightarrow \neg C(x)]

O sea, que todo Pigmeo no es cuadrúpedo. Es decir: Para todo x, si x es Pigmeo, entonces x no es cuadrúpedo. Como se quería demostrar. ¡Menudo descubrimiento!, por cierto.

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En el mundo de los silogismos, siempre que mi escuálida memoria no me falle, éste de los pigmeos es del tipo “Celarent“, es decir: Universal Negativo + Universal Positivo dan como conclusión otro Universal Negativo.  En este caso, Premisa-Universal Negativo: “Ningún humano es cuadrúpedo“; Premisa-Universal Positivo: “Todos los pigmeos son humanos“; Conclusión (Universal Negativo): “Ningún pigmeo es cuadrúpedo“. Así se las gastaban los monjes medievales… Había decenas y decenas de tipos de silogismos, que se sabían de memoria.

Y, en cambio, nosotros, en aquella “Metodología” de Segundo de Informática, nunca jamás citamos siquiera el nombre “Silogismo“, cuando no hacíamos más que resolver uno tras otro.

Al final del artículo dedicaré algunos párrafos a describir, muy por encima, cómo eran los silogismos y cómo se usaban, por si alguno de vosotros tiene curiosidad.

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Pongamos un último ejemplo. De hecho yo tengo cinco de ellos en mis descoloridos apuntes del siglo pasado, pero no voy a torturaros con más… si es caso, dejaré uno último para que quien quiera divertirse un rato, pueda hacerlo… pero a solas. Veamos este último ejemplo:

1 – Todos los números racionales son números reales

2 – Algún número racional es entero.

Conclusión: Algunos números reales son enteros

De Perogrullo, sí, pero hay que demostrarlo, que, si no, nuestros amigos matemáticos se enfadan mucho. Veamos primero los predicados involucrados:

Q(x): x es racional.

R(x): x es real.

E(x): x es entero.

Las premisas son las siguientes:

1 - \forall x [Q(x) \Longrightarrow R(x)] Traducción: Para todo número x que es racional entonces x es real.

2 - \exists x [Q(x) \wedge E(x)]  Traducción: Existe al menos un número x tal que es simultáneamente racional y entero.

y la conclusión propuesta es:

 \exists x [R(x) \wedge E(x)] Traducción: Existe al menos un número x tal que es  simultáneamente real y entero.

Evidente, ¿no? Espero que sí. Venga, vamos a operar otro poco. Por una parte, mediante especificación universal:

\underline{1- \forall x [Q(x) \Longrightarrow R(x)]}

\underline{Q(y) \Longrightarrow R(y)}

Q(\alpha) \Longrightarrow R(\alpha)

Por otra parte, y ahora mediante especificación existencial:

\underline{2- \exists x [Q(x) \wedge E(x)]}

Q(\alpha) \wedge E(\alpha)

Al ser éste último un predicado conjugado,[5] para ser cierto deben ser ciertos a la vez Q(\alpha) y E(\alpha); podemos, pues, tomarlos independientemente, y eso es justo lo que vamos a hacer, uniéndolos por partes con el otro enunciado.

Q(\alpha) \Longrightarrow R(\alpha)

\underline{Q(\alpha)}

R(\alpha) (Esto es un modus ponens de lo más normalito)

\underline{E(\alpha)} (La otra parte de la conjunción)

\underline{R(\alpha) \wedge E(\alpha)}, y por generalización existencial:

 \exists x [R(x) \wedge E(x)], que era la conclusión buscada.

O sea, efectivamente algunos racionales son, sorpresivamente, también enteros.

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El último ejemplo que prometí, para aquellos masoquistas que quieran ejercitarse… Demostrar si la siguiente inferencia lógica es correcta:

1 – Algunos franceses son amigos de todos los monegascos.

2 – Ningún francés es amigo de los aficionados al cricket.

Conclusión: Ningún monegasco es aficionado al cricket.

No es difícil, ni mucho menos. Ya podéis lidiar con silogismos sin despeinaros, tengan una premisa, dos, tres o las que hagan falta… ya no hace falta cantar, como yo canté en mi lejanísimo Bachillerato, aquello de “Barbara, Celarent, Darii, Ferio… du-duá, du-duá…“.[6]

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Mmmm. He citado bastantes veces a lo largo de la serie eso de “los silogismos“, y acabo de explicar que conociendo lo que hoy he terminado de exponer sobre Lógica y sobre inferencias lógicas, no hace falta conocer nada acerca de silogismos, y que se podía olvidar uno de lo del “Bárbara, Celarent”… Podría parecer que estoy menospreciándolos, pero no, en absoluto. Los silogismos fueron la piedra angular sobre la que se basó toda la ciencia medieval e incluso la de los Siglos XVI, XVII y XVIII. Muchos grandes pensadores, algunos conocidos pero la mayoría anónimos, aportaron a lo largo de los siglos su grano de arena al corpus de los silogismos…

Yo los estudié, no mucho, pero sí lo suficiente, en mi aún más lejana Filosofía de Quinto de Bachillerato (tenía yo quince años por entonces), y la verdad es que me acuerdo más bien poco.

… Pero parece que en nuestros tiempos ya no se explican. Nada. Es lógico: sabiendo álgebra de Boole, cálculo proposicional y de predicados, todo lo demás sale solo, así que, aunque sólo sea por lo importantes que fueron en su día, voy a dedicarles algunos párrafos para explicar, sin grandes detalles, qué eran y cómo se usaban…

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SILOGISMOS, o cómo se razonaba en la Edad Media.

Fue Aristóteles, nada menos, quien definió por primera vez el término silogismos (que en griego clásico quiere decir “razonamiento”), aunque luego fueron los escolásticos los que afinaron su definición, los estudiaron a conciencia y explicaron cómo usarlos.

Para definir un silogismo se precisan tres proposiciones: Una, denominada “Mayor“, otra, “Menor” y otra, por fin, llamada “Conclusión“, que, como podéis imaginar, es la que se deduce de las otras dos proposiciones, las premisas. Estas proposiciones deben tener en total tres términos, denominados mayor, menor y medio, y además resulta que… bueno, la cosa se empieza a complicar. Mejor ver un ejemplo clásico:

Proposición Mayor: “Todos los hombres son mortales

Proposición Menor: ”Sócrates es un hombre

Conclusión: “Sócrates es mortal

Ya veis que se trata de un modus ponens de lo más sencillito, de una inferencia muy evidente, según acabamos de observar. Sabiendo cálculo proposicional y de predicados esto está chupado. Sólo hay un pequeño problema: ¡¡No estaban inventados!! En el Siglo XII toda noción de cálculo, y no digamos de álgebra, estaba en pañales; ni siquiera se había importado de los indios, pasando por los árabes, el sistema de notación numérico actual, con su cero incluido.

Monje en su scriptorium, calculando silogismos

¿Cómo se las apañaron, pues, Tomás de Aquino, Guillermo de Ockham y demás escolásticos para lidiar con cualesquiera razonamientos…?[7]  De Memoria.  Se los aprendían de memoria.

Primero, codificaron los diferentes predicados según su tipo, de la forma siguiente:

Universal afirmativo: Letra A. (Traducido: Para todo x, ocurre P(x) )

Universal negativo: Letra E. (Traducido: Para todo x, ocurre No P(x) )

Particular afirmativo: Letra I.  (Traducido: Existe un x, en que ocurre P(x) )

Particular negativo: Letra O. (Traducido: Existe un x, en que ocurre No P(x) )

Luego, siglo tras siglo, en base a sesudos razonamientos llegaron a determinar qué tipos de razonamientos eran válidos y cuáles no. Razonamientos en los que no podían reducir fórmulas según el álgebra de Boole o las Leyes de De Morgan, porque tanto a George Boole como a Augustus De Morgan les faltaban quinientos años o más para nacer, o sea, todo a puro pelo. Los dividieron y categorizaron una y otra vez: en hipotéticos y disyuntivos, condicionales, chiripitifláuticos, etc, dando lugar a diferentes figuras, modos, sistemas…

Luego, a cada figura le asignaron una o varias  consonantes iniciales que indicaban de qué figura era el silogismo. No me preguntéis más detalles sobre esto de las figuras y tal, que no llego más que hasta aquí.

Teniendo tres predicados y cuatro tipos de predicado posibles (A,E,I,O), encontraron que había 64 posibles modos de ordenarlos, a base de escribir todos uno a uno y contarlos. No creo que supieran que las variaciones con repetición de cuatro tipos tomados de tres en tres era “4 elevado a 3“… ni siquiera sabían qué rayos era una “variación con repetición“, pero sí sabían que en total había 64 modos posibles, del A-A-A al O-O-O.

También se dieron cuenta de que no todos los modos posibles eran silogismos correctos. Por ejemplo, si las dos premisas son negativas, no se puede inferir conclusión alguna, como en “Ninguna planta de mi jardín sabe hablar”; “Mi perro Toby no es una planta”… No es posible sacar ninguna conclusión sobre si Toby sabe o no sabe hablar en base a estas dos premisas iniciales.

De los 64 modos posibles, tras siglos de estudio, encontraron que sólo 19 eran correctos. ¿Cómo hacer para recordarlos, en aquellos tiempos en que la matemática simplemente no existía? Fácil: escribieron esos 19 modos válidos que encontraron, de forma exhaustiva, buscando palabras mnemotécnicas que les ayudaran a recordarlas. De ahí lo de “Barbara, Celarent, Darii, Ferio…”. Y se las aprendieron de memoria.

Así, Barbara señala un razonamiento en el que todas las proposiciones son universales afirmativas (A-A-A: bArbArA, para que se vea más claro), por ejemplo: “Todos los hombres son mortales”; “Todos los pigmeos son hombres”; Conclusión: “Todos los pigmeos son mortales”.

En nuestro africano ejemplo anterior, el de los pigmeos: “Ningún hombre es cuadrúpedo”, ”Todos los pigmeos son hombres”; Conclusión: “Ningún pigmeo es cuadrúpedo”, es un silogismo de modo Celarent (EAE: cElArEnt). Sus proposiciones son: Universal Negativo (E)-Universal Afirmativo (A)-Universal Negativo (E).

En el  de “Todos los hombres son mortales”; “Sócrates es un hombre”; Conclusión: “Sócrates es mortal”, las proposiciones son: Universal Afirmativo (A), Particular Afirmativo (I), Particular Afirmativo (I)… es un Darii (dArII, para que se vea más claro).   Y así, con todo.

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¿Cómo usaban esto los filósofos medievales? Bien, estaban ellos elucubrando sobre la flamigerez de los bordosíes, sin ir más lejos, ;) y se planteaban el siguiente razonamiento:

Premisa Mayor: “Nadie que ferrulice a un churrimano es un flamígero descendente“;

Premisa Menor: “Tengo un bordosí emperifollado que ferruliza a un churrimano

¿Qué conclusión puedo yo sacar de estas dos premisas? Como no sé álgebra de Boole… lo llevo crudo. Pero, claro, en su lugar, tengo mi lista de silogismos

A ver… la primera premisa es una Universal Negativa: Una E. La segunda es un Particular Afirmativo: una I. Luego tengo que buscar en la lista de silogismos válidos y aceptados por los Padres de la Iglesia (no vaya a cometer herejía y acabe en el potro de tortura) a ver si hay alguno con ese comienzo “E-I“, aunque lo normal es que no me haga falta, porque me los sepa de memoria… Pues sí, hay uno: Festino. La tercera sílaba de Festino[8]  lleva una O. Eso quiere decir que la conclusión es de tipo O: particular negativo. Y como Festino empieza por F, es de no sé qué figura (según la Wikipedia, de la segunda figura, signifique lo que signifique eso y tenga las consecuencias que tenga).

O sea, la conclusión seríaEste bordosí emperifollado ferrulizador no es un flamígero descendente“. O algo parecido…

Bueno, más o menos así sería el método. Además, para ayudarse en su tarea, inventaron uno de los primeros prontuarios de la historia: las cartas silogísticas. No me preguntéis cómo se usaban. No me acuerdo, si es que alguna vez lo supe.

La realidad es que, aunque soy viejo, nunca llegué a usar activamente ni las cartas silogísticas ni los propios silogismos (ya habían pasado de moda cien años antes de que yo naciera), y los tengo bastante olvidados. Espero, eso sí, que gracias a estas pocas palabras os quede, al menos, una idea de cómo funcionaba todo el asunto.

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En fin. El curso académico se acababa. Don José nos propuso dos o tres ejercicios más, luego… Vinieron los exámenes parciales (en las asignaturas que los hacían, que no eran tantas), y después los finales. Aprobé todo, incluyendo esta tan lógica asignatura de “Metodología”. Con buena nota, creo recordar. La mayoría de mis compañeros y yo estuvimos de acuerdo en que estas clases impartidas por Pepe Cuena habían sido de las más divertidas y útiles que habíamos recibido en nuestras vidas.

El verano siguiente me dediqué a cumplir mis obligaciones como ciudadano español de pro de la época: me fui la mili, el Servicio Militar Obligatorio, que terminé año y pico después, simultaneando las guardias y las imaginarias con el curso de Tercero de Informática…[9] No me fue muy bien en ninguna de las dos actividades: del curso me quedaron unas cuantas asignaturas para el año siguiente (aunque aprobé dos o tres, que algo es algo), y en la mili comprobé que toda la estupenda Lógica que había aprendido ese curso 1973-1974 no me sirvió absolutamente de nada: no puede decirse que el Servicio Militar de aquellos años se rigiera por parámetros excesivamente lógicos. Menos mal que no estábamos en guerra con nadie, que si no…

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Aquí se acaba esta historia. Y la serie.

Seguramente os habrá aburrido mortalmente a la mayoría, a otros os habrá parecido limitada, pedante y, sobre todo, ingenua, y, por fin, a dos o tres de vosotros igual os ha servido para algo, os ha ayudado a entender un poco cómo se razona, y sobre todo cómo razonamos los informáticos… perdón, cómo razonábamos los informáticos de los tiempos del cuplé.

Hasta otra.

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¡Ah!. Se me olvidaba: Disfrutad de la vida, mientras podáis.

  1. En otro caso, ¡ya me diréis para qué valdría la Lógica! []
  2. Qué cosas… en la clase anterior aparecían negros, por aquello de “Juan es negro”, y aquí aparecen pigmeos… que también son negros. Ya digo yo que la corrección política imperante en la actualidad no había hecho todavía su aparición en los años 70. []
  3. No hay más que ver la foto, pero en fin… []
  4. Si aún tenéis dudas, pensad en conjuntos, en relaciones de pertenencia entre los conjuntos involucrados,  y lo veréis clarísimo. []
  5. O sea, unido con un hermoso “Y”. []
  6. En mis tiempos se aprendían muchas cosas cantando, la primera de ellas la tabla de multiplicar, naturalmente: dos por una es dos; dos por doooos, cuatro; dos por treees, seis… y así hasta el infinito. Y más allá. []
  7. No, cualesquiera razonamientos, no. Casi todos eran para demostrar ésta o aquella faceta de la divinidad, para demostrar la infalibilidad del Papa o la venida del Espíritu Santo o la mendacidad de algún obispo casquivano… La poquísima cultura que subsistía en Occidente durante los oscuros años medievales se guardaba o practicaba en monasterios y conventos. Sin excepción. []
  8. No creo que pensaran en relojes suizos los monjes medievales que le pusieron el nombre. []
  9. Fui a la mili aunque aún era menor de edad: esos años la mayoría de edad no se alcanzaba hasta cumplir los 21 años, y yo aún no los tenía. Sí, era menor de edad para casi todo, menos para ir pegando tiros por ahí. []

Sobre el autor:

Macluskey ( )

Macluskey es un informático de los tiempos heroicos, pero no ha dejado de trabajar en Informática y disfrutar con ella hasta la fecha. Y lo que el cuerpo aguante. Y además, le gusta la música...
 

{ 22 } Comentarios

  1. Gravatar Voro | 21/05/2012 at 10:00 | Permalink

    Enhorabuena Mac, muy buena serie y, sobre todo, un entretenido final como colofón.

    Ahora sí, siendo sincero, te puedo decir que en los primeros artículos hacía hasta los deberes propuestos, pero de la mitada de la serie hasta ahora me he limitado a leerla y disfrutar de las conclusiones.

    No he aprendido a resolver nada con álgebra de boole, pero sí he aprendido para qué y cómo se utiliza.

    Gracias.

  2. Gravatar Ammonio | 21/05/2012 at 11:52 | Permalink

    ¡Joder! ¿por qué tiene que acabarse todo lo bueno?

    Un par de matizaciones:

    • No puede realizarse la introducción del generalizador universal (para todo x, Px) dentro de un supuesto subsidiario no clausurado que dependa de “P(a)”. Muchísimo menos si este “P(a)” que queremos generalizar es fruto de una eliminación de la especificación existencial (que siempre se realiza bajo supuesto subsidiario)

    • No puede realizarse la eliminación de la especificación existencial en el caso de que “a” concurra como variable libre dentro del enunciado que queremos transformar ni en el trasfomado, ni tampoco si dentro de un supuesto subsidiario no cancelado aparece “a” como variable libre en alguno de los enunciados.

    Una pena que se haya acabado. Muchas gracias por compartir la explicación bottom-up, Macluskey.

    De todos modos tampoco te creas que la lógica medieval. Contaban tanto con la lógica de enunciados aristotélica, como con la lógica de predicados estoica, eso sí, ninguna de las dos lo suficientemente formalizada ni axiomatizada. Con todo fueron capaces de descubrir complejos y poco evidentes teoremas del cálculo de predicados actual (ley de Duns Escoto, Calvius, De Morgan antes de De Morgan…). Sorprende comprobar de lo que fueron capaces con tan rudimentarias herramientas.

  3. Gravatar Juan Carlos | 21/05/2012 at 06:33 | Permalink

    Excelente serie, lástima que finalizara.

    Yo estudié algo de esto allá por el año 96, y, siendo informático como soy, pues la verdad no me sirvió mucho en la “vida real”.

    Saludos y gracias nuevamente por esta pedante e ingenua serie ;)

  4. Gravatar futurama | 21/05/2012 at 06:39 | Permalink

    Estoy de acuerdo con Voro. Mac, enrollate y haz un anexo con algún caso practico real con algo de complejidad, pero que podamos entender más o menos los que hemos seguido esta serie. Algo tipo calculadora?

  5. Gravatar Macluskey | 21/05/2012 at 06:56 | Permalink

    @Ammonio: Tienes razón, claro. Los cuantificadores sólo pueden saltar siempre que todas las variables a que se refieran estén en las fórmulas. Lo tengo escrito en mis añejos apuntes, pero preferí no complicar más el asunto, pues iba a quedar un artículo bastante largo.

    Gracias por la apreciación.

    Efectivamente, demasiao hacían los filósofos medievales con tan poco bagaje. Fíjate que, desde Diofanto (Siglo II), no hubo un tratado decente sobre geometría o matemática hasta el mismísimo René Descartes, hacia 1620… Ni siquiera se había generalizado el uso de variables simbólicas en expresiones matemáticas ni algebraicas. Por no tener, no tenían siquiera el sistema arábigo de numeración.

    Y sin embargo, descubrieron, por ejemplo, las Leyes de De Morgan 600 años antes de su nacimiento, y el modus ponens y muchas cosas más… ¡a puro pelo!

    Mis admiraciones a ellos.

    Y gracias por acompañarnos en la serie, descubriendo mis limitaciones y, sin duda, mejorándola con cada comentario tuyo.

    Hasta la próxima.

    Mac

  6. Gravatar Macluskey | 21/05/2012 at 07:19 | Permalink

    @Voro. Juan Carlos, futurama: Gracias por vuestros comentarios.

    ¡No me puedo creer que no hayáis usado álgebra de Boole en vuestra vida profesional!!

    Seguro que habéis tenido que véroslas con IF’s kilométricos que, una vez reducidos, han resultado ser una tautología o, al menos, mucho más sencillos. O con especificaciones de usuario embarulladas, contradictorias o incomprensibles que, una vez puestas negro sobre blanco, han resultado ser una soberana chorrada o simplemente imposibles, por contradictorias… Esto es parte de la vida del informático de pro, pero lo que pasa es que muchas veces lo haces del tirón, sin formalizarlo, pero aplicarlo… ¡Muchas veces!

    O bien habéis tenido que montar un circuito eléctrico en que quieres que se encienda el CD Player siempre que esté encendido el amplificador, pero no la TV, y siempre que bien la luz del cuarto, bien la de la mesita esté encendida, pero no ambas a la vez… Bueno yo es que soy un poco raro para esto, pero cosas parecidas he tenido que diseñar… y eso no hay forma de hacerlo como no sea con un diagrama, pasarlo a sus fórmulas y luego simplificar. Yo, al menos, no.

    Y en cuanto a la deducción… amigos, ¡estamos todo el día deduciendo cosas! Estamos modusponensizando continuamente:

    “Mi parienta me dijo que iba a la compra, pero no se llevó el coche, así que tuvo que ir a la tienda de la esquina, no al Hipermercado del pueblo de al lado”… Modus ponens al canto (porque hay un predicado implícito: “Si vas al Hipermercado, hay que llevar el coche”). Claro que también podríamos haberlo resuelto con un silogismo, ¡Guillermo de Ockam se hubiera puesto contentìsimo!!!

    Pensadlo, amigos. Estamos continuamente deduciendo en base a las reglas que hemos visto acá… ¡¡Pero no nos damos cuenta de ello!! Lo tenemos tan interiorizado que lo damos por supuesto.

    ¿Cuándo es útil formalizar una deducción (fuera del método científico, claro está)? Sobre todo cuando nos la quieren dar con queso, cuando para convencernos de algo nos sueltan frases inconexas con dobles negaciones que, una a una, quizá tengan sentido, pero que, todas juntas, resultan en contradicciones y falsedades sin límites.

    ¿Recordáis el ejemplo del político que prometía un hospital? ¿O el del niño que no quería tomar la sopa? Echad una ojeada a la prensa cualquier día, tomad alguna declaración de algún banquero central o político cualquiera y aplicadle draconianamente las reglas de la Lógica, y veréis qué pasa… ¡pero a mí no me echéis luego la culpa!!

    En fin. Espero haberos mostrado los métodos, pero aplicarlos a casos reales ya va a ser cosa vuestra, me temo.

    ¡¡Muchas gracias!!

  7. Gravatar Ammonio | 22/05/2012 at 12:41 | Permalink

    Brevemente sobre los nombres de los modos silogísticos (lo de brevemente es un decir pues es algo complejo de explicar):

    Hay cuatro silogismos perfectos (sobretodo porque su validez se muestra evidente). Son los cuatro de la primera figura: bArbArA, cElArEnt, dArII, fErIO. No nos andemos con rodeos, son las cuatro primeras consonantes del abecedario.

    Los demás silogismos son imperfectos (no evidentes) y su validez ha de ser demostrada de dos maneras: la principal, mediante inferencias inmediatas; pero algunas veces mediante ecthesis (demostración indirecta). Las dos maneras buscan transformarlos en modos de la primera figura.

    Pues bien, la primera letra del nombre de los silogismos imperfectos indican hacia qué silogismo de la primera figura es transformable para que su validez pueda resultar evidente (Ejemplo: bAmalIp a bArbArA; cEsArE a cElArEnt, etc).

    Hasta aquí la cosa es sencilla. Pero hay 4 consonantes que complican un poco la cosa:

    • Si aparece una “m” la premisa menor del silogismo imperfecto ha de pasar a ser la mayor en la transformación a silogismo de la primera figura. Evidentemente la mayor pasa a ser la menor.

    • Si aparece una “s”, la premisa que antecede a esa “s” ha de sufrir una conversión simple (el predicado pasa a ser sujeto y el sujeto predicado). Ejemplo: En cEsArE es la primera universal negativa la que ha de convertirse.

    • Si aparece una “p”, la premisa que antecede a esa “p” ha de sufrir una conversión per accidents (si estamos ante una universal afirmativa pasa a ser particular afirmativa, o viceversa (sí, cuesta creer que esto pueda ser así, pero en el caso de bAmalIp funciona gracias a “m”); si estamos ante una universal negativa pasa a ser una particular negativa en idénticas condiciones).

    • Si estamos ante una “c” (bOcArdO y bArOcO) indican que la transformación a primera figura es imposible mediante inferencias inmediatas, y que hemos de tirar de ecthesis para convertirlo en bArbArA. Con todo, absolutamente todas las figuras pueden transformarse en bArbArA mediante ecthesis.

    Letras como la “l”, la “n”, la “r” o la “t” no sé para qué sirven, digo yo que para dar sonoridad y hacer más diferentes entre sí los nombres de los modos.

    Ejemplo: dIsAmIs (algun A es B, todo A es C, luego algún C es B)

    Ha de ser convertido a dArII.

    La “s” indica que la primera premisa (la particular afirmativa primera) ha de ser convertida simplemente: desde “algún A es B” a “algún B es A”.

    La “m” indica que la mayor pasa a ser la menor y la menor en mayor: “Todo A es C, algún B es A, luego algún C es B” = dArII

    Por tanto el nombre de los modos no nos indican tanto la figura a la que pertenecen (sólo son4 figuras, mientras que los silogismos son 19 ó 24 si aceptamos los subalternos válidos) sino hacia la cual han de ser transformados. Algo muy útil para las disputaciones medievales (¿¿ein?? ¿puede ser algo útil para algo tan inútil como las disputaciones medievales? paradojas de la vida). Interesante como curiosidad, absurdo para usar hoy en día.

  8. Gravatar Ammonio | 22/05/2012 at 12:44 | Permalink

    …el camino hacia la cual han de ser transformados, y el método o métodos que hemos de seguir para hacerlo.

  9. Gravatar Macluskey | 22/05/2012 at 12:53 | Permalink

    Uauuu!!!

    Ammonio: Supongo que sabrás que acabas de escribir un tratado sobre silogismos que no existe en la red. O al menos yo no he encontrado nada parecido. Deberías escribirlo en la Wikipedia, donde la explicación que viene es bastante pobre e ininteligible.

    Una pena que hoy no sirvan para nada; ¡son tan bonitos!!

    Y otra pena es que sirviesen para discutir sobre el sexo de los ángeles y chorradas similares, en vez de para algo más útil, pero bueno… al fin y al cabo, los medievales hacían lo que podían, los pobres: ¡con comer todos los días ya se podían dar por satisfechos!!

    Saludos

  10. Gravatar Ammonio | 22/05/2012 at 01:03 | Permalink

    “m” de mover (muto). “s” de simple (simplex). “p” de por accidente (per accidents) y la “c” vayan ustedes a saber, no he tenido nunca la suerte de tener en mis manos una suma lógica medieval.

    Hasta aquí puedo leer. Un, dos, tres, responda otra vez.

  11. Gravatar Ammonio | 22/05/2012 at 01:38 | Permalink

    Efectivamente, el problema eran los insulsos temas de discusión. Si te interesan los silogismos aristotélicos, Lukasiewicz los axiomatizó (la edición está agotada, gracias a los dioses aún hay fotocopiadoras que si les das el coñazo lo suficientemente, te los fotocopian). Pero es un sistema axiológico incompleto.

    Qué pereza escribir en la Wiki, empezar a citar fuentes y lo peor: discutir eternamente los cambios. Me rendí cuando hice algunas modificaciones en los artículos de falacias. Está llena de opinatólogos que no saben distinguir entre verdad y validez para mi desesperación. Una pena. Si lo quiere hacer otro, como fuente podría poner por ejemplo a Manuel Garrido. Lógica simbólica. Tecnos.

    ¿No preferirías que tu serie tuviera la exclusiva y que todo el mundo viniera al cedazo a consultar? Aunque será difícil lograr que google posicione este rincón en uno de los primeros lugares.

  12. Gravatar Ammonio | 22/05/2012 at 01:54 | Permalink

    Jan Lukasiewicz. La silogística de Aristóteles desde el punto de vista de la lógica formal moderna. Tecnos.

    No se encuentra en muchas bibliotecas. Yo tuve que desplazarme a una en Valladolid.

  13. Gravatar Juan Carlos | 22/05/2012 at 02:55 | Permalink

    Bueno, si. He usado el álgebra de Boole en programación por mas de una década, lo que me refería es que lo hice “sin pensar que era álgebra de Boole” ;)

    Wow Ammonio, deberías escribir un artículo. O dos.

    Saludos

  14. Gravatar Macluskey | 22/05/2012 at 07:47 | Permalink

    @Ammonio

    No te lo vas a creer, pero en base a lo que has comentado antes, y haciendo uso de la Lógica que hemos aprendido en la serie ;) he encontrado una “Súmula” de “Dialectica Minor” no medieval, sino de principios del Siglo XVIII, en una Tesis Doctoral que Jesús Alberto López Cardenete leyó en la Universidad de Granada. Allí explica la Súmula de P. Blas de Salas de 1730 o así con mucho detalle. Pero mucho.

    Éste es el link: “http://digibug.ugr.es/bitstream/10481/758/1/15665252.pdf”

    Sobre la página 480 explica las “proposiciones modales”, sus reglas de conversión, etc… Así, la “C” que te faltaba es “Per contrapositionem”, donde “los términos finitos se vuelven infinitos” (¡¡??) y luego explica las conversiones entre figuras de silogismos, por qué cada modo sólo es de una figura y cómo deben ser las conversiones…

    Y para acabar, ha copiado toda la Sumula original en perfecto latín, para el que sepa. Latín, quiero decir.

    En fin, a mí me sobrepasa por mucho, pero igual un entendido como tú, querido Ammonio, disfruta con su lectura. Son como 650 páginas, más otras tantas en el latín original.

    Espero que mi pequeño descubrimiento te parezca interesante.

    Saludos

    Mac

  15. Gravatar Ammonio | 23/05/2012 at 12:09 | Permalink

    Ummmhhhh!

    No me convence la explicación, Macluskey, y debe de estar mal el libro que citas.

    Aristóteles usa dos métodos para la ecthesis. El primero suponiendo un 4 término (realizando, por tanto, un sorites). El segundo mediante una reducción al absurdo. En ningún caso echa mano de una conversión por contraposición de premisas (per contrapositionem).

    El proceso de Aristóteles es el siguiente para bOcArdO:

    Algún A no es C Todo A es B Luego, algún B no es C

    1) Asumimos la contradictoria de la conclusión (O -> A en el cuadro de oposiciones) y lo ponemos como premisa de un nuevo silogismo

    2) Como segunda premisa tomamos la premisa del primer silogismo que no esté precediendo a la letra “c” (Ni el bOcArdO ni en bArOcO se nos indica que haya que hacer alguna conversión con él, es decir, no está seguido de “m”, “s” ni “p”. Por lo tanto lo dejamos tal cual)

    3) La conclusión del nuevo silogismo ha de ser necesariamente el contradictorio de la premisa precedida por “c”

    Todo B es C (contradictorio de la conclusión) Todo A es B (premisa que no precede a “c”) luego, todo A es C.

    Pero como habíamos dicho en el primer silogismo que lo cierto era que “algún A no era C”, hemos de concluir, por reducción al absurdo, que “algún B no es C” es cierto, mientras que “todo B es C” (conclusión del segundo silogismo) es necesariamente falso. Cosas de la lógica bivalente.

    Por tanto, la “c”, de significar algo, significaría contradicción, nunca contraposición. La cosa es más que evidente, pero esto es algo que nunca he podido leer en una summa lógica medieval.

    Si pillara al menos un ejemplar de la edición de 1952 de las obras completas de Pedro Hispano… (lo fotocopiaba hasta que la intensa luz de la fotocopiadora borrara las letras je, je, je)

    Una reivindicación: Libro descatalogado, libro que ha de perder el copyrigth

  16. Gravatar Ammonio | 23/05/2012 at 12:34 | Permalink

    Juan Carlos, gracias, pero no es para tanto.

    Sobre lo de escibir aquí… , soy malísmo escribiendo. Un mensaje me puede llevar más de una hora de escritura con borrados y reescrituras varias.

  17. Gravatar Ammonio | 23/05/2012 at 12:35 | Permalink

    Juan Carlos, gracias, pero no es para tanto.

    Sobre lo de escribir aquí… , soy malísmo escribiendo. Un mensaje me puede llevar más de una hora de escritura (con borrados y reescrituras varias).

  18. Gravatar Ammonio | 23/05/2012 at 09:36 | Permalink

    Me equivoqué otra vez:

    …hemos de concluir, por reducción al absurdo, que “algún B no es C” (conclusión del primer silogismo) es cierto, mientras que “todo B es C” (CONTRADICTORIO DE LA CONCLUSIÓN DEL PRIMER SILOGISMO) es necesariamente falso. Cosas de la lógica bivalente.

  19. Gravatar AntonioE | 23/05/2012 at 10:10 | Permalink

    Gracias por la serie. Siempre me dio rabia no haber dado lógica en el instituto, en los últimos estertores del BUP. Y por fin me reconcilio con la “ilógica” álgebra de Boole, que afirmaba eso de 1+1=1 ¡y se quedaba tan ancha! XD

  20. Gravatar Ammonio | 24/05/2012 at 02:24 | Permalink

    Macluskey, sobrel los significados de las letras de los modos silogísticos:

    Pág 556 (en castellano) y página 1098 en latín del documento que aportas.

  21. Gravatar Lluis | 25/05/2012 at 04:32 | Permalink

    Gracias, Macluskey. Una serie de artículos estupenda. Precisa y entretenida. Como dice Voro, al principio fui haciendo los deberes… pero poco duró mi buena voluntad. Tengo que volver sobre esta serie, aún le puedo sacar más placer. Respecto al uso del álgebra de Boole, sí que recurro a ella en el trabajo (tb soy informático), pero también en la vida diaria… me pasa con frecuencia, en charlas de amigos, detectar cadenas de afirmaciones incoherentes. Ya no se me ocurre apostillar “ojo, si dices esto, y esto, y esto… necesariamente se deduce esto, te pongas como te pongas”. Jamás, jamas, ha servido para que alguien se retracte de alguna incoherencia. :)

  22. Gravatar Macluskey | 25/05/2012 at 06:31 | Permalink

    Gracias, amigos, por los (inmerecidos) elogios. Apenas me he dedicado a poner en limpio esos viejos apuntes…

    Si han servido para algo, estupendo.

    Eso sí… ¡qué vaguetes somos todos! En fin, siempre podéis acudir al capítulo que deseéis e intentar seguirlo. O esperar a que publique el PDF de la serie, ahora que tenemos una estupenda página de “libros de El Cedazo”…

    Saludos a todos.

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