El Cedazo

Tras hablar de conjuntos y de aplicaciones entre conjuntos, en esta entrada de la serie De la Lógica a la Relatividad hablaremos de uno de los recursos matemáticos más útiles y que más quebraderos de cabeza le da a los alumnos: las relaciones de equivalencia.

Los matemáticos son unas peronas muy extrañas. Cuando un matemático estudia un conjunto lo suele hacer viéndolo a través de filtros o gafas para cegatos. ¿Y qué es lo que suelen hacer estas gafas? Pues confundir elementos del conjunto, esto es: si antes de ponerte las gafas eras capaz de distinguir dos elementos, es posible que cuando te pongas las gafas ¡se transformen en el mismo elemento!. A estas “gafas mágicas” se las conoce comúnmente como relaciones de equivalencia.

La pregunta es, ¿por qué son interesantes las relaciones de equivalencia? Pues simplemente porque permite clasificar los elementos de un conjunto. Veamos primero un ejemplo.

Supongamos que tenemos una biblioteca en casa. Ésta tiene muchos libros de distintos colores y tamaños. Imaginaos que tenemos unas gafas que, cuando nos las ponemos, hacen que todos los libros del mismo color sean el mismo libro. De repente, cuando nos ponemos estas gafas, la cantidad de libros disminuye drásticamente. De hecho ya no podemos hablar propiamente del conjunto de libros de la biblioteca, ¡sino del conjunto de colores que tienen los libros de la biblioteca!

Como vemos, cuando aplicamos una relación de equivalencia a un conjunto surge otro conjunto nuevo, distinto. A este conjunto se le denomina conjunto cociente. Pero, aunque sea distinto, está relacionado con el original y (por supuesto) con la relación de equivalencia.

Ahora bien, ¿qué debe propiedades debe cumplir una relación de equivalencia? Son de sentido común, así que no dejes que la notación matemática te asuste. Pondremos ejemplos de cada propiedad en el caso de nuestra biblioteca, para que puedas comprenderlas en un caso concreto:

1. Ser una aplicación del tipo:

de forma que dos elementos que pertenecen al conjunto están relacionados si y sólo si . Esto último se escribe o bien .

Por ejemplo, en el caso de los libros de la biblioteca y los colores de los libros. Si dos libros y tienen el mismo color, . Si no lo tienen, .

2. Se tiene que cumplir que todo elemento está relacionado consigo mismo. Es decir: para todos los elementos del conjunto.

En el caso de los libros, todo libro tiene el mismo color que él mismo.

3. Da igual en que orden pongas los elementos, el resultado debe ser el mismo. Esto es: si entonces .

Es decir, si el libro tiene el mismo color que el libro , tiene el mismo color que .

4. Las relaciones se heredan. Esto es: si y entonces también esta relacionado con ^[1].

Para nuestros libros de colores, si tiene el mismo color que y tiene el mismo color que , eso quiere decir que tiene el mismo color que .

El conjunto cociente se suele denotar por:

Esta bastante claro que el conjunto cociente siempre tiene igual o menos elementos que el conjunto original (un gallifante al que explique por qué). Lo que no es tan trivial de ver es que el conjunto cociente sea una partición del conjunto original. ¡Ah!, pero, ¿qué es una partición de un conjunto? Fácil, una partición de un conjunto no es más que dividir el conjunto en partes de forma que no sobre ningún elemento y ninguna parte puede compartir el mismo elemento. Es como si partiéramos el conjunto en trozos. Es más, el resultado al revés también se cierto: toda partición de un conjunto define una relación de equivalencia (cuyo conjunto cociente es la partición, por supuesto).

Esto que hemos enunciado es el siguiente teorema:

Dar una relación de equivalencia es lo mismo que dar una partición de un conjunto y viceversa.

Este tipo de construcciones se usan cuando se quieren eliminar los elementos repetidos o simplemente la basura de un conjunto. De hecho, en la próxima entrada vamos a usarlos de forma extensiva.

Ahora el clásico resumen: usando los conocimientos de conjuntos y de aplicaciones entre conjuntos hemos definido un nuevo tipo de relaciones que nos permiten clasificar los elementos de un conjunto. Además hemos visto que el camino al revés también funciona.

En la próxima entrada hablaremos de los números enteros y de los números racionales, y veremos como usando las relaciones de equivalencias es extremadamente fácil dar una definición de estos conjuntos y comprobar algunas de sus propiedades.

1. Propiamente se suele decir que la relación cumple las propiedades: reflexiva, simétrica y transitiva. [↩]

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