Los diputados durante el pleno del Congreso sobre el dictamen de los Presupuestos Generales del Estado para 2010 (20minutos, cc-by-sa)

Hoy vamos a seguir la serie profundizando en la idea de las coaliciones, y de cómo afectan a la toma de decisiones, añadiendo un concepto nuevo: el índice de poder.

De este modo veremos cómo la teoría de juegos se utiliza para el diseño de la política. Para ello nos pondremos a analizar con ojo crítico una democracia con diversos matices, y acabaremos reafirmando que sí, que todos somos demócratas, pero que no estamos de acuerdo en cómo ser demócratas.^[1]

Aunque no es estrictamente necesario para seguir el artículo, quizá quieras revisar el artículo Entendiendo la democracia española, que escribimos ya hace unos meses en otra serie, porque de esa forma podrás aplicar lo que veamos aquí a un caso real.

No, no vamos a solucionar la política, si es lo que estabas preguntándote; solo a plantear un par de preguntas.

Para que el análisis salga como quiero que salga, necesitamos elegir muy cuidadosamente los números de los ejemplos, y eso es muy complicado. Así que en vez de intentar hacerlo yo mismo, arriesgándome a equivocarme, voy a utilizar los mismos números que John Allen Paulos utiliza en su libro “Un matemático lee el periódico”. ¿No lo has leído? Ya estás tardando. Ese y todos los libros de Paulos. “El hombre anumérico” también es excepcional; nos lo recomendó el profesor en la asignatura donde aprendí mis principios de teoría de juegos. El resto no los he leído en detalle, pero por ejemplo en “Un matemático invierte en bolsa” explica un juego que es básicamente el de 2/3 de la media que hemos visto nosotros, y lo relaciona con la bolsa. Tiene otro sobre la religión en que revisa, entre otras cosas, las 5 vías de Santo Tomás. A este ritmo voy a tener que inaugurar una serie con recomendaciones de libros, como los “¿Has leído…?” de Pedro. En Amazon están por unos 10$, y de segunda mano aún más baratos.

El caso es que estamos en un país donde se han producido unas elecciones generales^[2] y, como es un país pequeñito, tenemos 55 congresistas sentados en sus escaños. Ahora, entre ellos tienen que elegir al presidente del gobierno. Lógicamente, cada uno tiene unas preferencias distintas: en función de su ideología política izquierda/derecha, de su centralismo/federalismo, de su relación con la iglesia o de lo que sea. El caso es que tenemos 5 candidatos (Arbeloa, Bermúdez, Camacho, Díaz y Escobar), y 6 grupos de congresistas, agrupados según las preferencias relativas de cada uno ante los cinco candidatos.

A=Arbeloa

B=Bermúdez

C=Camacho

D=Díaz

E=Escobar

Así, hay 10 congresistas que prefieren que el presidente sea Bermúdez, pero si no puede ser, entonces que sea Camacho; y si no, Escobar… y así consecutivamente.

Pero claro, ¿cómo contamos los votos?

Votar y que gane la mayoría

Arbeloa dice que cada congresista debe votar a su candidato, y que sea presidente el que obtenga la mayoría. Sale elegido Arbeloa.

Ejemplo de la vida real: en tu comunidad de vecinos quieren pintar la puerta, y se pueden elegir varios colores. Se vota y como el color que más gente prefiere es fucsia, se pinta fucsia.

Segunda ronda

Camacho sostiene que una mayoría calculada de ese modo no tiene mucho valor, porque el resto podría coaligarse para elegir a otro. Es decir, Arbeloa tiene más gente en contra que a favor. Así que propone una elección a dos vueltas. Primero los congresistas eligen según su preferencia, y los dos primeros se lo juegan en una gran final.

En la primera ronda Arbeloa obtiene 18 votos, Bermúdez 10, Camacho 12, Díaz 9 y Escobar 6. Así que Arbeloa y Camacho pasan a la segunda ronda.

En esta segunda ronda Arbeloa obtiene 18 votos y Camacho 37, siendo elegido presidente Camacho.

Ejemplo de la vida real: la elección presidencial en Francia (y en otros muchos países). De la primera ronda se sacan dos finalistas, a los que se vuelve a votar. Hace unos años resultó que los dos finalistas eran “de derechas” y resultaba muy gracioso como en la “final” los partidos de izquierda pedían el voto para uno de los partidos de derecha… porque el otro era aún más de derechas.

Cinco rondas eliminatorias

Bermúdez dice entonces que la idea de Camacho está bien, pero que en vez de dos rondas habría que hacer cinco, pues hay cinco candidatos. Es decir, que cada congresista vote, se elimina al que peor resultado obtenga y pasamos de ronda y repetimos el proceso.

Entonces, en la primera ronda eliminamos a Escobar (6 congresistas lo prefieren a él) y reajustamos la matriz. En ese caso, la matriz de preferencias queda de la siguiente forma:

Ahora repetimos el proceso. Quien menos apoyos tiene en la primera posición es ahora Díaz, con 9, así que lo eliminamos y reajustamos la matriz para obtener:

Quien menos apoyos de primera mano tiene ahora es Camacho, con 16, quedando:

Finalmente eliminamos a Arbeloa, que tiene 18 votos contra los 37 de Bermúdez. Como era de esperar, la propuesta de Bermúdez lleva a que el elegido sea Bermúdez.

Ejemplo de la vida real: la elección de la ciudad organizadora de los Juegos Olímpicos. Se van eliminando poco a poco por el final.

Votos ponderados

Díaz sostiene que eso tampoco está bien, porque solo se mira la primera preferencia de cada congresista. Así que lo que él propone es que se asignen 5 puntos al primero, 4 al segundo, 3 al tercero… Y que luego se sumen todos los puntos obtenidos, eligiendo presidente a quien más puntos obtenga.

Arbeloa: 18 * 5 + 12  * 1 + 10 * 1 + 9 * 1 + 4 * 1 + 2 * 1 = 127

Bermúdez: 18 * 2 + 12 * 2 + 10 * 5 + 9 * 4 + 4 * 2 + 2 * 4 = 162

Camacho: 18 * 1 + 12 * 5 +10 * 4 + 9 * 2 + 4 * 4 + 2 * 2 = 156

Díaz: 18 * 4 + 12 * 3 +10 * 2 + 9 * 5 + 4 * 3 + 2 * 3 = 191

Escobar: 18 * 3 + 12 * 4 +10 * 3 + 9 * 3 + 4 * 5 + 2 * 5 = 189

¡Qué sorpresa! Gana Díaz.

Ejemplo de la vida real: El Gran Premio de la Canción de Eurovisión. Cada país va dando puntos a los cantantes, y el que más puntos sume, gana.

Duelo hombre a hombre

¿Alguien duda de que Escobar también tiene su método? Su método es comparar hombre a hombre:

Entre Arbeloa y Escobar, 18 apoyarían a Arbeloa, y 37 a Escobar. En el duelo Arbeloa-Escobar, gana Escobar.

Entre Bermúdez y Escobar, 19 apoyarían a Bermúdez y 36 a Escobar. Gana Escobar.

Entre Camacho y Escobar, 22 apoyarían a Camacho y 33 a Escobar. Gana Escobar.

Finalmente, entre Díaz y Escobar, 27 apoyarían a Díaz y 28 a Escobar. Gana Escobar.

Luego es obvio que la mayoría prefiere a Escobar antes que a cualquier otro.

Ejemplo de la vida real: este es el más difícil. Lo más parecido, aunque un poco traído por los pelos, es el de una liga deportiva: todos los equipos se enfrentan entre sí y el que más veces gane (o más puntos tenga) es el campeón.

.

Como decíamos al principio, todos tenemos claro que somos demócratas… pero la forma de democracia también influye, y mucho.

No es de extrañar que, tras las elecciones reales, todos los partidos se congratulen por haber ganado… con tantas formas de medir, malo será que no ganen en alguna de ellas.

Índice de poder

Algunos autores proponen introducir un concepto llamado índice de poder.

Lo mejor es verlo en ejemplos sencillos y luego ir complicándolo. Partiremos de los 3 piratas que veíamos en el artículo anterior: Barbanegra, L’Olonnais y Roberts.

Barbanegra tiene una situación en que su voto es decisivo: si L’Olonnais y Roberts están cada uno por su lado. Si Barbanegra apoya a L’Olonnais, ganará la coalición BL, mientras que si apoya a Roberts, ganará la coalición BR. En ningún otro caso su voto resulta determinante. Si L’Olonnais y Roberts ya han formado coalición, el voto de Barbanegra es irrelevante. Por lo tanto solo en un caso su voto es decisivo.

Idéntica situación tiene L’Olonnais: su voto solo es determinante si Barbanegra y Roberts están aún por separado.

Y por supuesto, dado que el juego es simétrico, lo mismo le ocurre a Roberts. El índice de poder de todos ellos es 1.

Bueno, hasta aquí no hemos contado nada que no supiéramos ya del artículo anterior. Vamos a complicarlo un poco.

Supongamos que, en vez de ser tres piratas, estamos hablando de los diputados del congreso. Tenemos 3 partidos representados en el congreso: el Partido A, el partido B y el Partido C. Supongamos que hay 100 escaños, que se reparten de forma lineal al porcentaje de votos obtenidos (descartando abstenciones y votos nulos). Así, PA obtiene el 49% de los votos y por lo tanto 49 escaños. PB obtiene el 35% de los votos (35 escaños) y PC el 16% restante (16 escaños).

Como ya hemos visto en otro artículo de otra serie, una vez que los diputados han sido elegidos, su escaño es suyo y su voto es suyo… pero en la práctica nunca (o casi) votan en contra de lo que decide su partido. Así que, ante una decisión controvertida, los 49 diputados de PA votarán en bloque; lo mismo harán los 35 diputados de PB; y lo mismo los 16 diputados de PC.

Si para tomar una decisión se necesita “mayoría de la mitad más uno”, ¿cuáles son entonces los índices de poder de cada partido?

1, 1 y 1.

Los tres tienen el mismo índice de poder.

Da igual que PC solo represente al 16% de los votantes. Si PA y PB no están de acuerdo, el voto de PC es el decisivo. Exactamente lo mismo que le ocurre a PA: si los otros dos no están de acuerdo, su voto es decisivo; si ya están de acuerdo, su voto es irrelevante. Y por supuesto, lo mismo le ocurre a PB.

Atentos: los tres partidos tienen porcentajes de votos muy dispares, pero sus índices de poder son exactamente iguales. Seguro que puedes recordar alguna situación histórica en que haya ocurrido precisamente eso, y al final (dado que los dos partidos grandes son enemigos irreconciliables), el voto bisagra lo tiene el partido pequeño.

Ahora vamos a irnos al extremo contrario: cuando partidos con una representación altísima no pintan nada. Es lo que ocurre en el caso de que uno de ellos tenga mayoría absoluta.

Supongamos que el Partido A obtiene 51 escaños, el Partido B 48 escaños y el Partido C solo 1. Para cualquier decisión en que necesiten “la mitad más uno”, da igual lo que digan los Partidos B y C: solo importa lo que diga PA. Es decir, el índice de poder de PB y PC es 0, y el de PA es infinito. Y eso que el partido B representa al 48% de los ciudadanos…

¿Aún te extraña que existan democracias donde no vota ni cristo o donde se producen guerras civiles?

Con 3 jugadores solo tenemos esas 2 situaciones: o uno de ellos tiene mayoría absoluta (en cuyo caso, acumula todo el poder) o no la tiene (en cuyo caso, el índice de poder es 1 para los tres jugadores).

Calcular el índice de poder para situaciones en que haya más jugadores no es ni medio trivial (salvo para los casos extremos, como por ejemplo que uno tenga mayoría absoluta). Y no porque conocer esa relación no sea útil. De ese modo, a lo mejor se podría hacer que, como piden algunos autores, el porcentaje de votos de cada formación política no se hiciera corresponder con su representación parlamentaria, sino con su índice de poder. Según estos autores, un partido solo debería sobrepasar el 50% de los escaños si obtuviera el 100% de los votos.^[3]

Como dice el refrán: “en este país, todos llevamos dentro un presidente del gobierno y un entrenador nacional (de fútbol, claro)”. Bueno, pues parece que lo de la política no es tan fácil como nos creíamos…

1. Por si alguien no lo tiene claro, no nos referimos a “partidarios del Partido Demócrata de EEUU”, sino a “partidarios de la democracia”. [↩]
2. Ejem… curiosamente, hace unos días tuvimos elecciones municipales y autonómicas en España, pero prometo que el artículo llevaba escrito con esta frase introductoria unos pocos meses. [↩]
3. No obstante, esta aproximación traería otros problemas políticos, así que no la toméis como una propuesta seria, solo como un juego. Incluso en nuestras democracias reales, cuando el poder está muy disgregado solo se aprueban leyes triviales, porque solo se ponen de acuerdo en trivialidades; por ejemplo, podemos pensar en el pentapartito italiano de hace unos años. [↩]

The Teoría de juegos XXVI – ¿Cómo somos demócratas? by , unless otherwise expressly stated, is licensed under a Creative Commons Attribution-Noncommercial-No Derivative Works 2.5 Spain License.