En el artículo de hoy de esta serie dedicada a la teoría de juegos, vamos a presentar un juego muy sencillo, para ir introduciendo algunos conceptos.

Supongo que todos hemos jugado a piedra-papel-tijera. Por si acaso, vamos a resumir las reglas:

• Juegan dos jugadores. Pueden jugar más, pero eso puede dar lugar a círculos de victoria y es más difícil decidir qué hacer en caso de empates parciales.
• Ambos jugadores sacan a la vez la mano, con uno de los siguientes símbolos:
  • Piedra: el puño cerrado.
  • Papel: la palma extendida.
  • Tijera: los dedos índice y corazón extendidos y separados (como una tijera abierta) y el resto de dedos cerrados.
• La victoria se decide del siguiente modo:
  • Piedra gana (machaca) a tijera.
  • Tijera gana (corta) a papel.
  • Papel gana (envuelve) a piedra.
• Si los dos jugadores sacan lo mismo, empatan. Dependiendo del objetivo del juego, pueden volver a jugar, o simplemente han empatado y ya está (dependiendo de qué es lo que se quiera conseguir con el juego).

Esquema de piedra-papel-tijera (Wikipedia, Orgullomoore)

La matriz de pagos del juego piedra-papel-tijera es la siguiente:

¡Un momento! Eso de la “matriz de pagos” es un concepto nuevo.

Como la definición es un poco farragosa, es mejor verlo con el ejemplo de piedra-papel-tijera. En las columnas tenemos todas las posibles decisiones del Jugador 1, y en las filas las del Jugador 2. Si, por ejemplo, J1 elige piedra y J2 elige tijera, gana J1. Representamos eso como que el Jugador 1 obtiene una recompensa de +1 y el jugador 2 obtiene una recompensa de -1 (es decir, una pérdida de 1). Y así todas las posibles combinaciones.

En un juego tan sencillo como éste, decidir los valores de la matriz de recompensas es sencillo, pero en un juego más sofisticado, como una negociación laboral o un conflicto militar, decidir los valores a poner en la matriz puede ser difícil, o incluso imposible (por ejemplo, pueden usarse estimaciones de bajas ante un ataque de un misil, pero puede ser imposible saber cuál será realmente el daño; y eso sin contar con daños “colaterales”, como infraestructuras destruidas o el miedo infligido). De hecho, puede que incluso las posibles decisiones de cada jugador tampoco estén tan claras, y a menudo en juegos reales (militares, económicos, políticos,…) los grandes ganadores son personas que encuentran una decisión nueva a un problema viejo.

Pero incluso cuando decimos sencillo, tampoco decimos trivial. Por ejemplo, ¿por qué hemos puesto -1 a perder? Si no perdemos nada, tampoco tenemos por qué poner un valor negativo, podemos poner simplemente 0. Y si empatar implica repetir, podríamos simplificarla diciendo que el empate no aparece, porque significa repetir hasta que no haya empate. Entonces tendríamos:

O también podríamos estar jugando con dinero. Por ejemplo, debemos aportar 10€ para jugar, el ganador se lo lleva todo (20€), y si empatan se lo queda la organización^[1]. La matriz de pagos sería entonces:

De momento vamos a dejar aquí la matriz de recompensas, porque dedicaremos muchos otros artículos a sus propiedades. Analizando la matriz, podremos averiguar cosas como la mejor estrategia, la ganancia (o pérdida) media esperada,… Incluso veremos que, aunque lo parezca, los tres juegos de arriba no son iguales, y sus mejores estrategias pueden o no ser las mismas. Válganos de momento con saber qué es y para qué sirve.

"Piedra, papel, tijera... un, dos, tres. Jo'e', macho, llevamos to'a la mañana así, hijo mío" (Mahou)

Piedra-papel-tijera-lagarto-Spock

Estudiando las 9 posibles combinaciones de la matriz de piedra-papel-tijera, vemos que 3 de ellas implican un empate. Una forma de reducir esta probabilidad de empate es definiendo 5 posibles elecciones, y con una matriz de pagos como la siguiente:

Diagrama de piedra-papel-tijera-lagarto-spock (Wikipedia, Nojhan)

Las reglas son las mismas que antes, con los siguientes añadidos:

• Piedra gana (aplasta) a lagarto.
• Spock gana (vaporiza) a piedra.
• Lagarto gana (come) a papel.
• Papel gana (desautoriza) a Spock.
• Tijera gana (decapita) a lagarto.
• Spock gana (rompe) a tijera.
• Lagarto gana (envenena) a Spock.

No le busques la lógica. Imagino que Seldon Cooper, que tiene un cociente intelectual mucho mayor que el tuyo y el mío, ya se la ha buscado^[2].

Seldon Cooper... o Jim Parsons, como prefieras (Wikipedia, Martini)

Ahora la probabilidad de empate es bastante menor: 1/5.

¿Podemos rebajarla aún más? Es lo que hacen multitud de juegos. Veamos como ejemplo un clásico de Nintendo.

Pokémon

¿Quién te hubiera dicho que íbamos a empezar jugando a piedra-papel-tijera e íbamos a terminar jugando al Pokémon HeartGold?

En los juegos clásicos de Pokémon, llevamos un equipo de pokémon, que pelean contra otros pokémon que encontramos por el camino, bien sea al azar, bien en encuentros planificados por los diseñadores para ir avanzando por la trama.

Pantallazo de Pokémon HeartGold (Nintendo)

Como en cualquier juego de rol, los pokémon van subiendo de nivel, aprenden ataques diferentes con propiedades diferentes, pueden equiparse o usar objetos,… Pero uno de sus elementos característicos son los tipos de pokémon y de movimientos. Así, si tenemos por ejemplo un Gyarados, que es un pokémon de tipo agua, y le atacan con el movimiento ThunderPunch, de tipo eléctrico, le hará muchísimo daño; en cambio, si le atacan con el movimiento Ember, que es de tipo fuego, apenas le harán daño.

No aporta nada que pongamos la lista de tipos (existen 17 tipos distintos) ni su matriz de fortalezas y debilidades. Pero sí es interesante darse cuenta de que no existe ningún tipo que sea un ganador absoluto: pokémon que podrían machacar a unos, son muy vulnerables si se enfrentan a otros. Hasta tal punto es así que la aventura está diseñada para que sea muy difícil pasarse el juego manteniendo únicamente a los 6 pokémon que puedes llevar en el equipo, siendo muy habitual que más de una vez tengas que cambiar algunos de los pokémon de alto nivel que llevas en el equipo “titular” por otros de un tipo más favorable (pero probablemente de menor nivel, por lo que tendrás que volver atrás y combatir un poco en los encuentros aleatorios para que suban de nivel) para superar un determinado desafío.

Como es natural, esta idea no es exclusiva de los juegos de Pokémon, sino que es aplicada en el diseño de muchos otros juegos de éxito: Magic The Gathering, casi cualquier wargame, el ajedrez^[3], el mus^[4], Dungeons & Dragons o casi cualquier juego de rol,…

Esto se puede formalizar, y lo haremos en futuros artículos, pero creo que cualitativamente ya ha quedado claro. Si este artículo ha servido para que tengáis esto en cuenta la próxima vez que queráis haceros ricos diseñando y vendiendo un juego, ya ha cumplido su labor.

1. ¿Te sorprende que la gente quiera jugar a algo así? ¿Has analizado estadísticamente alguna vez la lotería, la quiniela o casi cualquier otro juego de azar? [↩]
2. En la serie The Big Bang Theory se dice que esta modificación al juego fue inventada por Seldon Cooper, pero parece ser que la inventó un tal Sam Kass en los 90. ¿No conoces The Big Bang Theory? Ya estás tardando en ir a buscarla. [↩]
3. Por ejemplo, 2 torres solitarias jamás atraparán a un alfil, a pesar de ser dos y de que tradicionalmente se considera a la torre más valiosa que al alfil. [↩]
4. Un amigo mío gustaba de decir: “¿Quieres cuatro reyes? Vale, para ti siempre cuatro reyes y para mí siempre la jugada que yo elija. ¿Ok?” [↩]

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