El Cedazo

“He encontrado una demostración absolutamente maravillosa, pero el margen de esta hoja es demasiado estrecho para incluirla…”

Pierre de Fermat

Esta breve frase, anotada en el margen de la copia de la Aritmética de Diofanto de Alejandría que poseía el gran matemático Pierre de Fermat (de hecho era su libro de cabecera), ha llevado de cabeza a muchas generaciones de matemáticos durante trescientos cincuenta años. Estaba escrita al lado de uno más de los numerosos teoremas que Fermat había escrito en su Aritmética, uno aparentemente sencillo:

“La ecuación xⁿ = yⁿ + zⁿ no tiene soluciones enteras, siendo n mayor que 2”.^[1]

Es decir, no es posible encontrar cuatro números enteros x,y,z,n tales que se cumpla la ecuación anterior cuando el exponente n es mayor que dos. Ninguna combinación posible de las infinitas existentes satisface la igualdad xⁿ = yⁿ + zⁿ. Ni una sola.

Se trata de un enunciado sencillo, que cualquiera puede entender, uno más entre los muchos que dejó Fermat para la posteridad a su muerte, uno entre tantos, para el que había “encontrado una demostración maravillosa…”, pero que a pesar de ello se ha resistido a los intentos de demostración de los más insignes matemáticos: Euler, Cauchy, Sophie Germain, Dirichlet, Legendre, Galois, etc.

Este libro que hoy os recomiendo, escrito por el periodista científico británico Simon Singh, muestra de una forma amena, casi novelada, la historia de la resolución de este famoso teorema a lo largo de los siglos hasta que finalmente el matemático británico Andrew Wiles lo consiguiera en 1995. Un viaje desde que se fundó la escuela pitagórica en el siglo V antes de Cristo hasta su demostración final en el siglo XX, casi ya en el XXI. La resolución del “Último Teorema de Fermat”.

Pierre de Fermat, apodado “el príncipe de los aficionados” de las matemáticas, nació en 1601 y falleció en 1665. Vivió, por lo tanto, en la Francia de Luis XIII y del Rey Sol, Luis XIV, durante cuyos reinados desempeñó el cargo de Conseiller su Parlament de Toulouse, una especie de concejal en la Cámara de Peticiones, institución que hacía de nexo entre las provincias y París. Los ciudadanos que solicitaban alguna cosa a la Corona debían antes convencer de la idoneidad de su petición a los concejales, y estos, además, debían asegurar el cumplimiento de los decretos reales en sus respectivas provincias. Tenían, pues, un gran poder en sus respectivas provincias, del que podían aprovecharse para lucrarse personalmente (cosa que en España, como sabéis, ni pasa ni ha pasado nunca). Fermat llegó a ser juez supremo de la Corte soberana del Parlamento, lo que le obligaba a juzgar los casos más complicados y los que concernían a las personas o los delitos más importantes que ocurrían en su provincia.

Pues bien, Fermat, un probo funcionario, trabajador puntilloso y aficionado a las matemáticas, llegó al punto de aislarse en lo posible de toda relación social para no conocer a personas sobre las que alguna vez tuviera que pronunciarse como juez, y dedicaba todo su tiempo libre a su afición: las matemáticas, aunque siempre desde Toulouse; nunca acudió a una reunión en París ni se relacionó con ningún otro “filósofo natural”, como se denominaban entonces, más que por correspondencia. Y no demasiada.

En la época, los que se dedicaban a las matemáticas lo hacían en su mayor parte “por amor al arte”… lo que significaba que encontraban gran placer en encontrar gráciles demostraciones a variados teoremas… ¡y en mortificar a los colegas! En efecto, era muy normal que un matemático, Pierre de Fermat, por ejemplo, enunciara en una carta dirigida a sus colegas algún espinoso teorema que hubiera demostrado… pero sin añadir la solución. Si los colegas no conseguían demostrarlo a su vez, quedaba patente la superioridad del emisor de la misiva.

Pues bien, Fermat era el paradigma de este tipo de proceder. Planteaba problema tras problema y los resolvía, pero nunca jamás mostraba la demostración: no le interesaba legar ese conocimiento a sus colegas. Es más, ni tan siquiera es que no le interesara, es que ¡le traía al pairo! Él disfrutaba con el proceso de la demostración y, una vez conseguida, quedaba satisfecho y descartaba todo el trabajo intermedio. Al fin y al cabo, era un “aficionado”; se ganaba la vida como concejal y juez, y las matemáticas eran para él un divertimento. A mi manera, yo le entiendo: cuando resuelvo un sudoku, por muy difícil que sea, y una vez comprobado que la solución es correcta, lo tiro a la papelera… ya he conseguido mi objetivo: pasármelo bien resolviendo el enigma, no voy a documentar para la posteridad cómo he encontrado que en casilla de arriba a la izquierda hay un 8… pues Fermat lo mismo, pero con el equivalente de los sudokus en la época: los acertijos matemáticos.

El caso es que solía hacer anotaciones en los márgenes de los libros que leía, sobre todo en la Aritmética de Diofante, su libro de cabecera. Enunciaba los problemas y, como mucho, esbozaba la demostración. Y así dejó decenas y decenas de ellos. Así ocurrió que Fermat fue un adelantado a su época en muchas áreas de las matemáticas: descubrió el cálculo diferencial antes de que Newton y Leibniz se enzarzaran en su particular guerra por demostrar su primacía en el descubrimiento; junto con Blaise Pascal, fue el fundador de la teoría de probabilidades; descubrió el principio fundamental de la geometría analítica y fue, sobre todo, un gran impulsor de la teoría de números.

A su muerte, lo normal es que toda su obra se hubiera perdido… pero afortunadamente su hijo mayor, Clément-Samuel, seguro como estaba de la importancia de la obra de su padre, dedicó cinco años a recopilar su trabajo. En 1670 publicó un libro titulado “Aritmética de Diofanto con observaciones de P. de Fermat”. Junto a las traducciones griega y latina de la Aritmética, se insertaban 48 observaciones hechas por Fermat; la segunda de ellas era el hoy famoso “último teorema”. Prácticamente ninguna de ellas tenía algún atisbo de demostración.

Cuando las notas personales de Fermat llegaron a ser conocidas por la comunidad de matemáticos, inmediatamente se dieron cuenta de la importancia de su trabajo, aunque no había ni una sola demostración ni indicios de cómo atacar cada problema en concreto… así que se pusieron a realizar las demostraciones que Fermat había omitido. Y, con el tiempo, todos ellos fueron demostrados. Era cierto, todos y cada uno de los teoremas del francés eran correctos… todos menos uno, que se resistía con uñas y dientes a ser verificado: el “Último Teorema de Fermat”, uno de los más sencillos de enunciar y comprender: “xⁿ = yⁿ + zⁿ no tiene soluciones enteras, siendo n mayor que 2”.

Si os dais cuenta, para n=1 es trivial demostrar que sí que existen soluciones, infinitas soluciones, y para el caso de n=2 estamos ante el enunciado del famosísimo teorema de Pitágoras, seguramente el único teorema que casi todo el mundo conoce y recuerda de sus años de colegio… y desde tiempos de Pitágoras es conocido que existen infinitas “ternas pitagóricas” donde x, y, z son enteros. El valor clásico más famoso es para x=5;  y=4;  z=3 (o sea: 5² = 4² + 3², luego 25=16+9), pero hay infinitas combinaciones con números enteros. Y entonces… ¿por qué demonios no iba a haber soluciones enteras para otros valores del exponente n?

La demostración parecía estar al alcance de la mano… pero no. De eso nada. Fermat demostró el caso de n=4, y posteriormente se fue demostrando para los casos n=3 (fue Euler quien lo consiguió), n=5, n=7… pero el caso general era sencillamente imposible.

Portada de “El enigma de Fermat”, de Simon Singh

Y aquí es donde el libro de Simon Singh narra la aventura que llevó a los matemáticos del mundo a romperse la cabeza para demostrar el dichoso teorema. Porque… si todos los otros teoremas enunciados por Fermat habían sido demostrados convincentemente, sólo faltaba este último, y además el autor había dicho explícitamente que había encontrado una demostración “absolutamente maravillosa”… ¡seguro que esa demostración existía! Sólo era cuestión de buscarla con ahínco, ¿no?

No me extiendo mucho más, es mucho mejor leer el libro, que con sus 384 páginas se lee muy bien. Libro en el que, a pesar de hablar continuamente de matemáticas, apenas hay fórmulas.^[2] Y, desde luego, es mejor así, porque los dos artículos que demuestran definitivamente el teorema (uno, el cuerpo principal de la demostración, de Andrew Wiles; y otro que establece la validez de cierta técnica usada en el artículo principal, de Andrew Wiles y Richard Taylor) son en conjunto unas 150 páginas de jerga matemática de altos vuelos que, en su día, en el momento de la publicación, no podía ser comprendida en su totalidad por más allá de una decena de matemáticos en el mundo mundial.^[3] Por lo tanto, Singh no se molesta en poner ni una sola de esas ecuaciones, intentando sólo dar una idea de los conceptos involucrados, conceptos tales como grupos algebraicos, ecuaciones elípticas, formas modulares, etc, sin entrar en grandes profundidades que para el lector profano serían simplemente indigeribles.

En fin, tras cerca de 350 años de ataques, al fin, en 1995, Andrew Wiles, tras ocho años de tenaz trabajo prácticamente en solitario, creando por el camino multitud de técnicas nuevas e inaugurando de paso una nueva rama de la teoría de números, la modularidad, consiguió por fin demostrar el esquivo último teorema de Fermat.^[4]

Lo que sí queda claro es que, en este caso, Fermat estaba equivocado: nunca podría haber demostrado el maldito teorema con las herramientas matemáticas existentes en el siglo XVII. Por lo tanto, debió equivocarse cuando escribió la famosa frase en el margen de su amada Aritmética: Cuius rei demostrationem mirabilem sane detexi hanc marginis exiguitas non caperet. Porque es sencillamente imposible, no podía tener ninguna demostración maravillosa de su teorema que fuera, además, correcta, no es posible que lo hiciera por su medios a mediados del siglo XVII…

Ya, vale, pero… ¿y si sí?

Disfrutad de la vida, mientras podáis.

1. En realidad Pierre de Fermat no lo dijo de esta manera tan simple. Lo que escribió en el margen de la Aritmética, en latín, desde luego, el idioma de la ciencia en el siglo XVII, fue: Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi, hanc marginis exiguitas non caperet. Es decir: Es imposible descomponer un cubo en dos cubos, un bicuadrado en dos bicuadrados, y en general, una potencia cualquiera, aparte del cuadrado, en dos potencias del mismo exponente. He encontrado una demostración realmente maravillosa, pero el margen del libro es muy estrecho para incluirla. [↩]
2. Hay, eso sí, algunas demostraciones razonablemente sencillas en apéndices, como por ejemplo la demostración del Teorema de Pitágoras o la de Euclides de que la raíz de dos es un número irracional. [↩]
3. Por curiosidad, yo me bajé en su día la demostración para echarla un vistazo y no fui capaz de entender ni la primera línea… pero yo no soy matemático, claro. [↩]
4. En realidad, lo que Wiles demostró fue que la conjetura de Taniyama-Shimura era correcta, elevándola de rango y convirtiéndola así en el “Teorema de Taniyama-Shimura”, lo que tenía como “efecto colateral” que el teorema dichoso fuera cierto. Ni intento contar aquí de qué va la conjetura de Taniyama-Shimura, cuya corrección (el que fuera cierta, quiero decir) era básica para la buena salud de la rama de matemáticas que estudia la Teoría de Números. [↩]

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