Eso que llamamos Lógica (VI) La escurridiza Implicación Lógica.

{ 2012 02 07 }

Eso que llamamos Lógica (VI) La escurridiza Implicación Lógica.

Tras el magnífico paréntesis de J sobre la Lógica Digital, recordemos que en el artículo anterior de esta serie sobre Lógica, que estoy escribiendo sobre los añejos apuntes de la asignatura de “Metodología” de mi virtualmente olvidado Segundo de Informática, allá por 1973, impartida por Don José Cuena Bartolomé, vimos cómo las proposiciones (frases a las que sin duda alguna podemos asignar un valor de verdad o de falsedad), junto con las operaciones “O” e “Y” formaban un álgebra de Boole.

Una vez fijado este extremo, ya podemos operar tranquilamente con proposiciones para ver qué hay y qué no en cada una de ellas. Una vez que tenemos una frase o un conjunto de frases, podemos construir su Forma Normal Disyuntiva y determinar cuál es su fórmula final, aplicando únicamente los axiomas y teoremas ya demostrados para el álgebra de Boole, aunque hablando de proposiciones decimos más bien “tablas de verdad”.

Lo complicados que somos los humanos...

Esto está muy bien para proposiciones simples. Ya podemos decir “Llueve”, “O no llueve o voy al cine”, “Soy español y me gusta el atletismo y el fútbol pero no el béisbol”… y cosas así, y podemos saber si la proposición, por muy compleja que sea, es o no cierta en función de los valores de verdad de cada proposición individual, valores que podemos determinar mirando, por ejemplo, si la calle está mojada o no. Pero esto no es suficiente para poder comunicarnos. De ninguna manera. Porque, claro…

Si habláramos así, entonces esta frase sería imposible.

Necesitamos algo más. Y ese algo más es, como poco, la implicación lógica. La escurridiza y tantas veces discutida implicación lógica. Escurridiza, porque cuando parece que uno por fin ha entendido bien el concepto, de pronto se topa con un caso que parece desbaratar lo entendido. Y discutida… no os podéis imaginar la de amigables discusiones que propicia debatir sobre ella.

A intentar desbrozarla dedicaré este artículo, siguiendo las explicaciones de Pepe Cuena en aquel lejanísimo enero o febrero de 1974… Artículo en el que ha colaborado activamente, más aún, decisivamente, nuestro editor, J. Suyos son algunos ejemplos y explicaciones, y suyas muchas de las ideas para organizar el artículo y que lo que quede se entienda…

Así que, por mucho que como autor del artículo diga “Macluskey“, en justicia debería decir “J y Macluskey“… Gracias por tu esfuerzo, J, aunque Pedro también intervino lo suyo en las discusiones. El artículo es mucho mejor ahora. ¡O eso creemos!

Bien, nos quedamos en que… Si habláramos así, entonces esta frase sería imposible.

Analicemos la frase, aunque por comodidad, le cambiaremos el tiempo verbal al más sencillo presente de indicativo: Si hablamos así, entonces esta frase es imposible.

Pues esto es lo que se llama una implicación lógica, que se representa como $p \Longrightarrow q$ .

En este caso, p es la proposición “hablamos así”, a la que se conoce como “antecedente”, y q es la proposición “esta frase es imposible”, conocida como “consecuente”,^[1] y la implicación $p \Longrightarrow q$ nos dice intuitivamente que, si la primera frase es cierta, entonces la segunda también debe serlo.^[2]

En este punto hay que elegir entre dos aproximaciones didácticas posibles:

Definir la implicación lógica, escribiendo su tabla de verdad y su formulación, y usamos con suficiencia el argumento de autoridad: “esto es así… y punto” (que es una forma ligeramente maleducada de decir que “es así por definición”). Luego nos ponemos a analizarla… y descubrimos que… ¡qué casualidad! Representa bastante bien lo que queremos decir cuando hablamos.
Pensamos en la frase anterior escrita en español corriente (Si habláramos así, esta frase sería imposible) y pensamos…”Mmmm… ¿cómo podríamos representar esto matemáticamente?”… y recorrer juntos el camino hasta llegar a su tabla de verdad y, por consiguiente, a su formulación.

Nosotros preferimos la segunda aproximación, que es también la seguida por José Cuena en aquellos lejanos tiempos del cuplé, porque nos ayuda a desbrozar poco a poco los porqués de la implicación lógica, no sólo su fórmula desnuda. En una palabra, esa aproximación es la que vamos a seguir de aquí en adelante.

De todos modos, voy a cambiar la frase de ejemplo, que ha servido para introducir el concepto de la forma elegante a la par que ingeniosa que caracteriza mis escritos (!!), usando una frase bastante más sencilla y adecuada para explicar el concepto. A saber:

Si estornudo, cierro los ojos.

O sea, cuando YO estornudo, YO cierro los ojos.

Fijaos que no me estoy refiriendo a lo que te ocurra a ti, querido y sufrido lector, ni tampoco al resto de la humanidad, sino exclusivamente al caso particular de lo que me ocurre a mí al estornudar… esto es importante para más adelante, pero de momento lo dejaremos aquí. Ya volveremos cuando sea oportuno.

Bien, el quid del asunto reside no en determinar la certeza o falsedad de las frases individuales que componen la implicación, sino en cómo determinar la certeza o falsedad de la propia implicación lógica en función de los valores de verdad o falsedad de las dos proposiciones que la forman: el antecedente (p) y el consecuente (q).

Por favor, releed el párrafo anterior… volveremos una y otra vez a él.

Esto quiere decir ni más ni menos lo siguiente: Si teníamos una frase compuesta por un conjunto de proposiciones elementales unidas como sea, con “NO”, “O” e “Y” como nos venga en gana, y con tantos paréntesis como nos venga en gana, podíamos fácilmente averiguar si la frase compuesta era verdadera o falsa en función de los valores de verdad o falsedad de las proposiciones elementales. Pues ahora lo que debemos hacer es determinar el valor de verdad o falsedad de la frase que contiene la implicación según sean verdaderas o falsas p y q, las dos proposiciones implicadas. Insisto: el valor de certeza o falsedad de la propia implicación en sí. Que no deja de ser una frase, una mera proposición más compuesta a su vez por un par de proposiciones elementales.

Bueno, en realidad no tienen por qué ser elementales-elementales, no sé si me explico. Tanto p como q pueden ser proposiciones tan complicadas como queramos, llenas de paréntesis y de Oes y de Yes y de NOes…^[3] pero como ya sabemos determinar sin problemas el valor de esas proposiciones compuestas en función de las proposiciones elementales que las forman, para lo que aquí nos interesa son eso: proposiciones elementales.

Sentado esto, introduciremos ahora otro ejemplo de la realidad cotidiana; a lo largo del artículo iremos haciendo referencia a uno u otro ejemplo para ver cómo se comporta el uno o el otro ante la prueba de la verdad… de la tabla de verdad, queremos decir.

Imaginemos a un político cualquiera de un país cualquiera que, en su programa electoral, hace la siguiente afirmación: “Si gano la elección, construiré un hospital“. Seguramente esta frase (o alguna otra equivalente) os sonará de algo, igual habéis escuchado cosas similares a alguien en la tele o en un mitin o donde sea…

Podríamos representar esta promesa electoral finamente como Político gana la elección $\Longrightarrow$ Hospital Construido. Analicemos qué pasa con esa frase.

Si, en el momento de leer el programa electoral, miramos el sitio donde se supone que se construiría el dichoso hospital, vemos que no hay nada allí. Es un barrizal lleno de excrementos de perro. No hay hospital que valga, luego podemos concluir que Hospital Construido=0, o sea, la proposición “Hay un hospital construido en tal zona” es falsa. De momento, es falsa, para ser precisos.

Como la elección aún no se ha producido, es evidente también que Político gana la elección=0; de momento la proposición “El político tal ganó la elección” es falsa también, no puede ser cierta entre otras cosas porque todavía no se ha producido la elección.

Pero… daros cuenta que no es eso lo que queremos conocer, en realidad. La frase que queremos saber si es cierta o falsa no es ninguna de esas dos, que ya sabemos de antemano que, de momento, son falsas, sino, recordad, ”Si gano la elección, construiré un hospital“, que es la promesa que, entre otras, se supone, contiene su programa electoral. Esa frase, esa promesa concreta, en esa elección concreta… ¿Es verdadera o es falsa?

Fijaos bien que, en el fondo, lo que de verdad es importante aquí, lo que estamos decidiendo, no es si la frase dichosa es verdadera o falsa, sino que en realidad estamos determinando si el que la dice es un tipo que dice la verdad o que miente al respecto.

Si el tipo en cuestión dice la verdad entonces es un tipo honrado que cumple lo que promete, por lo que entonces seguro que su promesa electoral es verdadera también; si gana la elección, tendremos hospital, fijo. En cambio, si el tipo es un falsario, un mentiroso, si nos ha engañado, en definitiva, entonces, por mucho que salga elegido, no tendremos hospital nos pongamos como nos pongamos: la frase en sí, su promesa, esa promesa, es falsa de toda falsedad.

Lo malo es que no podremos demostrárselo hasta dentro de algún añito.

Y para acabarlo de complicar… también puede resultar que no salga elegido.

Ojo, que no estoy prejuzgando nada. No estoy diciendo que “todos los políticos mienten siempre“, ni tampoco que “todos los políticos dicen siempre la verdad“. Ése no es el caso, y de hecho estaréis de acuerdo en que con toda seguridad ambas frases universales, aplicadas a la totalidad de la clase política, son falsas.

Me estoy refiriendo al caso particular de un político concreto que hace una promesa concreta en un lugar concreto y para una elección concreta (es decir, en un momento temporal concreto). Y tenemos que decidir si ese político miente o no al prometer la promesa que analizamos (que construirá un hospital si gana la elección), ni siquiera en saber si todas sus promesas son verdaderas o falsas… Ésa sería otra historia, pues habría que analizar una por una su certidumbre o falsedad: “si gano la elección: bajaré el paro; subiré los subsidios y los sueldos; eliminaré los impuestos; incrementaré el número de colegios, traeré a Lady Gaga a las fiestas del pueblo, etc, etc”).

Aquí y ahora, en este nuestro ejemplo, intentaremos exclusivamente saber qué va a pasar con nuestro hospital…

Bien, dejemos por un rato a nuestro político y su promesa y sigamos con la exposición.

La implicación lógica en sí, por tanto, no es más que una frase que contiene un par de proposiciones elementales. Sólo eso, nada más. En cálculo proposicional, la determinación de tal cosa (la certeza o falsedad de una proposición lógica) se hacía construyendo la tabla de verdad… ¿recordáis?

Podemos, efectivamente, construir con facilidad esa tabla de verdad de la implicación lógica teniendo en cuenta, como siempre, qué ocurre en los diferentes posibles estados de verdad de las dos variables involucradas p y q, ¿no? En nuestro ejemplo primigenio, el de “Si estornudo, cierro los ojos“: “estornudo“, que es p, es el antecedente; y “cierro los ojos“, que es q, es el consecuente.

Construir esa tabla de verdad es fácil. Total, son sólo cuatro casos de nada…

Vamos allá:

p	q	$p \Longrightarrow q$
V	V	V
V	F	F
F	V	¿?
F	F	¿?

Vaya, ya estamos en la mata…^[4]

Veámoslo línea a línea. Los dos primeros casos son fáciles: siempre que p (“estornudo”) es Verdadero, podemos discernir claramente si la propia implicación es Verdadera o Falsa en función del valor de q (“cierro los ojos”). Así, en la primera línea, si cuando estornudo efectivamente cierro los ojos, podemos concluir que la implicación lógica es cierta. Y en la segunda línea, si cuando estornudo no cierro los ojos, podemos decidir que la implicación en sí es decididamente falsa. Hasta aquí de acuerdo.

Pero… ¿Qué pasa si no estornudo? ¿Cómo resolvemos las dos últimas líneas? ¿Qué podemos decir sobre el valor de verdad de la propia implicación lógica, “si p entonces q“, si el antecedente p es falso?

Buena pregunta, pardiez.

¿Qué hacemos en ese caso?

Intentemos representar esta situación recurriendo al álgebra de Conjuntos, de la forma que vimos en el capítulo correspondiente de la serie, a ver si así se nos ocurre algo.

En el Conjunto Universal de situaciones aplicable,^[5] podemos establecer dos posibles conjuntos: el de aquellas situaciones en las que estornudo, y el de aquellas situaciones en las que cierro los ojos. Estos dos conjuntos de situaciones pueden, en principio, ser independientes uno del otro, por lo que podemos representarlos de forma genérica, por ejemplo representando en color amarillo las situaciones en que “cierro los ojos” y en color azul las situaciones en que “estornudo” (y en verde,^[6] aquellas en que simultáneamente estornudo y cierro los ojos). En gris quedan las situaciones en que ni una cosa ni la otra.

El dibujo podría ser algo similar al siguiente:

Si estornudo, Cierro los Ojos. Situación genérica.

En esta situación genérica puede haber casos en que “estornudo” y “cierro los ojos” sin relación alguna entre ambos conjuntos; todas las situaciones de estornudos y parpadeos son posibles. Puede que estornude y yo no cierre los ojos (la zona azul), o que cierre los ojos sin estornudar (la zona amarilla), o que estornude y realmente cierre los ojos (la zona verde), o que incluso ni estornude ni cierre los ojos (la zona gris).

Ahora bien, para que la proposición de marras, “Si estornudo, cierro los ojos”, sea verdadera, lo que estamos diciendo en realidad es que el conjunto de situaciones en que estornudo deben ser también situaciones en las que cierro los ojos, puesto que no debe haber ninguna situación en que al estornudar no cierre yo los ojos.

Si hubiera alguna situación en que, estornudando, no cerrara yo los ojos (representada por la zona azul del dibujo de arriba), entonces la implicación, la frase “Si estornudo, cierro los ojos”, sería falsa. Bastaría un único contraejemplo, una única vez que me ocurriera tal cosa, para falsar la implicación. Para que sea verdadera, pues, el rectángulo azul no debería existir, debería ser el conjunto vacío…

Resumiendo, para que eso ocurra, para que la implicación sea verdadera, es necesario que el conjunto de situaciones en que estornudo esté contenido en el conjunto de situaciones en que cierro los ojos, o, como decíamos ayer, $ESTORNUDO \leq CIERROLOSOJOS$ .

Por consiguiente, para que la implicación en sí sea válida, o mejor, verdadera, el dibujo de los conjuntos tiene que ser el siguiente:

Si Estornudo, Cierro los Ojos. Resultado de la implicación.

Lo que implica (je, je, otra vez la implicación en el lenguaje natural) que, además de las situaciones en que estornudo y simultáneamente cierro los ojos (la zona verde), pueden existir también situaciones en que, no estornudando, cierro los ojos de todos modos (la zona amarilla), o bien puede haber situaciones en que no cierro los ojos de ninguna manera (la zona gris clarita), donde, desde luego, tampoco estoy estornudando. Ambas situaciones (“no estornudo y cierro los ojos”,^[7] y “no estornudo y no cierro lo ojos”^[8] ) son perfectamente compatibles con la veracidad de la frasecita dichosa: “Si estornudo, cierro los ojos”.

Relee ahora el último párrafo. ¿Te das cuentas de que lo que hemos descrito en él, en roman paladino, son las dos últimas líneas de nuestra tabla de verdad? Ninguna de ellas nos hace sospechar que la frase original, la implicación lógica $Estornudo \Longrightarrow CierrolosOjos$ sea falsa, en definitiva.

O sea, que no es falsa.

Luego es verdadera.

El valor de la implicación lógica en estos dos últimos casos es “V“. Es cierta.

Cuando la proposición antecedente, p, es falsa, la implicación lógica es verdadera. Si no estoy estornudando, no hay forma de sacar como conclusión que “Si estornudo cierro los ojos” sea una proposición falsa, tanto si efectivamente los cierro como si no.

He aquí un individuo estornudando...

Por curiosidad… al parecer esto es cierto para todos, no sólo para mí.

A los humanos (a no ser que tengamos alguna enfermedad rara o algún superpoder) nos resulta imposible estornudar sin cerrar los ojos. Dicen los expertos que el estornudo es un acto reflejo que implica el movimiento concertado e irrefrenable de centenares de músculos de todo el cuerpo, entre ellos, los de los párpados… Desde luego, al menos, siempre que nosotros lo hemos intentando hemos sido incapaces de mantener los ojos abiertos al estornudar. Ni una vez.

Por lo tanto, aunque hasta ahora nuestra estereotipada frase “Si estornudo, entonces cierro los ojos” se refería exclusivamente a mi caso particular, puesto que es una frase en primera persona, como parece que se trata de un caso general podemos reescribirla de modo que afecte a la totalidad del género humano: “Si un hombre estornuda, cierra los ojos“. Acabamos de convertir una observación particular que afecta a un individuo concreto (yo) en una Ley, una observación universal que afecta a la totalidad de la humanidad.

Más adelante veremos cómo afecta esta generalización a la determinación del valor de verdad de la implicación lógica, es decir, qué diferencias conlleva que la implicación lógica se refiera a un caso particular o a uno universal… Cada cosa a su tiempo.

Cambiando de ejemplo, en el de la promesa electoral, que, recordad, es otra proposición particular, puesto que se refiere a la promesa concreta de un político concreto, si el político que la hizo ganó efectivamente la elección y construyó el hospital, es claro que su promesa era cierta y no nos engañó. Ahora bien, si ganó la elección pero durante su mandato no se construyó el hospital,^[9] entonces el tipo nos mintió: su promesa era falsa.

Pero si no ganó la elección puede que el hospital se construyera al fin (porque el candidato que salió elegido de todos modos lo construyó), o puede que no se construyera… en ambos casos no podemos asegurar que la promesa electoral fuera falsa, puesto que al no cumplirse el antecedente (no ganó la elección), no tuvo los medios para cumplir el consecuente (construir el hospital).

Y si la promesa no es falsa, es que es verdadera. No hay vuelta de hoja.

En español decimos que “le otorgamos el beneficio de la duda“. Recordad siempre que, al juzgar la certeza o falsedad de una implicación lógica, en realidad estamos normalmente juzgando “por elevación” la condición de honrado o de mentiroso de la persona que la hace. Por esta razón es tan habitual escuchar promesas electorales del estilo de “Si gano la elección, haré… lo que hay que hacer“. Ole con ole y ole. Eso sí que es concreción…

Tras toda esta diatriba, resulta que la tabla de verdad de la implicación lógica es la siguiente:

p	q	$p \Longrightarrow q$
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

Por tanto podemos definir la fórmula matemática de la implicación lógica, simplemente creando la Forma Normal Disyuntiva a partir de su tabla de verdad, es decir:

$p \Longrightarrow q = pq+p'q+p'q'$

Simplificando,

$p \Longrightarrow q= pq+p'(q+q') =$

$pq+p' =$

$pq+p'(1+q) =$

$pq+p'+p'q =$

$p'+q(p+p') =$

$p'+q$ .

Ergo $p \Longrightarrow q = p'+q$ , o, en la notación propia del cálculo proposicional, $p \Longrightarrow q = \neg p \vee q$ .

Es decir, el antecedente implicando el consecuente es igual a la unión de la negación del antecedente con el consecuente. O sea, una implicación es cierta bien cuando el consecuente (q) es cierto, bien cuando el antecedente (p) es falso, o ambas cosas. Y no hay más. Es la base. Las implicaciones lógicas son fundamentales para el cálculo proposicional, el cálculo de predicados y el desarrollo mismo de la ciencia…

Con estos mimbres, es fácil averiguar cómo es la doble implicación, en la que ocurre simultáneamente que $p \Longrightarrow q$ y $q \Longrightarrow p$ , o, formalmente $p \Longrightarrow q \wedge q \Longrightarrow p$ . Esto se suele representar como $p \Longleftrightarrow q$ , así con doble flecha.^[10]

Sabiendo cómo se representa la implicación $p \Longrightarrow q$ , podemos fácilmente encontrar la tabla de verdad de la doble implicación, escribiendo la tabla de verdad de cada implicación y la de su conjunción ( $\wedge$ ):

p	q	$p \Longrightarrow q$	$q \Longrightarrow p$	$p \Longleftrightarrow q$
V	V	V	V	V
V	F	F	V	F
F	V	V	F	F
F	F	V	V	V

En Forma Normal Disyuntiva, será, pues, $p \Longleftrightarrow q= pq+p'q'$ .

De todos modos, no hacía falta escribir la tabla de verdad para llegar a esa conclusión. Conociendo que $p \Longrightarrow q$ es $p'+q$ , como hemos visto hace un poquito, y que por tanto $q \Longrightarrow p$ será $q'+p$ … determinar cómo es $p \Longleftrightarrow q$ es tan sencillo como reducir $(p'+q)(q'+p)$ (que, por cierto, es el resultado de escribir la misma tabla en Forma Normal Conjuntiva, en vez de Disyuntiva), y listo. Hacedlo, si os place, para que comprobéis que no me he equivocado. Que espero que no…

Ahora que ya sabemos cómo es la tabla de verdad (y la fórmula, claro) de la implicación lógica, incluso la de la doble implicación, nos será muy sencillo saber cómo discernir si una frase condicional (o sea, una implicación) es cierta o no. Basta con fijarse si simultáneamente el antecedente p es cierto y el consecuente q falso. O sea, que se cumple $pq'=1$ . Si esto ocurre, hemos encontrado un contraejemplo, y la implicación es falsa. Pero si no hemos encontrado un contraejemplo, en todos los otros casos, es cierta. Por raro que nos suene. Cierta como que el hierro tiene 26 electrones…

Vamos con algunos ejemplos cotidianos…

“Si llueve, me mojaré“. Frase que decimos muchos cuando vemos que se acerca un nublado. ¿Es cierta o es falsa?

Mmmm… pues… depende. Puede que llueva, me pille a descubierto y efectivamente me empape: es cierta. Y puede que no llueva, y entonces es cierta también. Ojo, si no llueve, es cierta independientemente de que me moje (porque me moje una vecina que está regando los tiestos, por ejemplo) o no. Claro que también puede ocurrir que al final llueva, pero yo tenga la suerte de que me pille debajo de una marquesina y pueda resguardarme: entonces es falsa. Sólo entonces es falsa.

¿Cuándo sabremos, pues, si la frase es cierta o falsa? Cuando detectemos un contraejemplo: llovió y no me mojé. Entonces sabremos que la frase es falsa. Pero mientras tanto… ¡Es verdadera, pase lo que pase! No he mentido.

Otro:

“Si eres hombre, eres mortal“. Frase paradigmática de la filosofía clásica. ¿Es cierta o es falsa? Estaremos de acuerdo en que las pruebas nos indican que debe ser cierta: hasta ahora no se ha encontrado ningún contraejemplo, no se ha encontrado a ningún hombre inmortal, salvo en novelas de ciencia ficción, como en “Tú, el inmortal”, de Roger Zelazny, y me han dicho que los ejemplos literarios no sirven… Así que, en ausencia de contraejemplo, la daremos por cierta siempre y en toda ocasión. Y como se refiere a todos los hombres, sin excepción, la elevamos a la categoría de Ley Universal.

Otro:

“Si todo el mundo fuese mío, todo lo daría por yacer con la Reina de Inglaterra“. Frase del Siglo XIII extraída de Carmina Burana, a la que puso música inmortal Carl Orff, que con variantes diversas hemos oído o dicho muchas veces a lo largo de nuestra vida.^[11] ¿Cierta o Falsa?

Pues en tanto no nos hagamos ricos-riquísimos, no se cumple el antecedente, así que, entretanto, la frase es verdadera. Sólo se demostrará como falsa si alguna vez todo el mundo es nuestro y nos pensamos mejor eso de darlo todo por yacer con la Reina de Inglaterra.^[12]

Y otro más:

“Si soy un hombre, tengo ocho patas“. Frase que quizá os suene rara, pero cosas parecidas decimos también en nuestras doctas conversaciones de cada día: “Si mi abuela tuviera ruedas, sería un camión”, o “Si eso es verdad, yo soy el Papa de Roma”… En fin: ¿Verdadera o falsa?

Vaya, ésta es realmente fácil: siendo hombres como somos, basta con mirarse de cintura para abajo (y saber contar) para darse cuenta de que al menos hay un humano que no tiene ocho patas… hemos encontrado al menos un contraejemplo: la frase es falsa, por tanto.

Unos pocos párrafos antes nos preguntábamos cuál sería la diferencia entre una implicación particular (que afecta a una única situación, individuo, etc) y una universal (que afecta a todo el “Conjunto Universal” aplicable: la humanidad, los españoles, las ardillas del parque, lo que sea), de cara a la determinación de su certidumbre o falsedad.

Es decir: ¿Afecta en algo para determinar si una implicación es cierta o falsa el que ésta se refiera a un particular o a un universal, por ejemplo que se aplique sólo a mi estornudo concreto o al estornudo de todo ser humano, incluso al estornudo de todo bicho viviente?

Pensadlo un momento…

Efectivamente. En nada en absoluto. Su tabla de verdad es exactamente la misma, y el método de comprobación, el mismo: en cuanto encontremos un contraejemplo (cuando, cumpliéndose el antecedente p, no se cumple el consecuente q, o sea cuando $pq'=1$ ), podemos determinar que la implicación es falsa. Se trate de una tontería mía del estilo de “Si voy al cine, como palomitas“, que ya ves tú qué importancia puede tener, o de una Ley Universal del estilo de “Si estamos en este Universo, no hay nada que pueda ir más rápido que la luz“. Da igual.

Si voy al cine dispuesto a comprar palomitas de maíz,^[13] pero la máquina está estropeada y no puedo comprarlas (ni comerlas), o bien ese día no tengo hambre y paso de comer palomitas, en cualquier caso mi “palomitera“ afirmación es falsa. Y si alguien detecta en este Universo un neutrino díscolo que va más rápido que la luz, uno solo,^[14] entonces la Relatividad Especial es falsa, se ponga Einstein como se ponga… Total, Einstein fue quien se “cargó” la Gravitación Universal de Newton, así que…

Por fin un último ejemplo, que nos servirá, además, de nexo con el siguiente capítulo. Extraído directamente de los ínclitos Les Luthiers, lo que garantiza su plena vigencia…

Una madre desesperada le dice a su hijito: “Mirá nene… Si no tomás la sopa, viene el Hombre de la Bolsa“.^[15] Una implicación como una casa, como veis: $Nocomersopa \Longrightarrow VenirHombredelaBolsa$ .

Tras lo que ya sabemos, que es mucho, ¿qué podemos decir de tan amenazante implicación?

Si el nene se achanta y se toma la sopa, entonces podemos concluir que la implicación era cierta; si el Hombre de la Bolsa no viene, pues nada, normal, pero incluso aunque el Hombre de la Bolsa le diera por ir de todos modos, la implicación en sí sería cierta, es decir, si el nene sí se comió la sopa mamá dijo la verdad.

Pero ¿qué pasa si el nene no se toma la sopa de ninguna manera…? Pues puede que efectivamente el Hombre de la Bolsa vaya y haga lo que quiera que hagan los Hombres de la Bolsa: nuevamente, mamá dijo la verdad, no mintió, la implicación era cierta. Lo que luego le pase al nene en su estrecho diálogo con el Hombre de la Bolsa es otra historia…

Claro está, también puede pasar que el dichoso Hombre de la Bolsa no vaya. ¡Catástrofe! ¡La mamá mintió! La implicación lógica base de la amenaza sopera no era cierta, ergo quien la dijo mintió: Mamá.

Eso es lo que se llama deducir… A formalizar la deducción lógica estará dedicado el siguiente artículo de la serie, así que por ahora, mejor lo dejamos así. Únicamente comentar que, tras la deducción, que ya veremos cómo se hace, cómo se formaliza, el nene aprende… ¡Vaya si aprende! La próxima vez tampoco tomará la sopa, aunque le amenacen con ponerle la discografía completa de David Bisbal… ¡Dos veces! ¡Esto es lo que se llama “Educación“!

… Pero es que aún hay un caso peor… Sí, mucho peor.

Como se preguntan Les Luthiers, ¿qué pasaría si El Hombre de la Bolsa tampoco quiere tomar la sopa? ¿Eh? Esto sí que sería como para convertirse en adorador del Gran Spaghetti Volador… Así que cuidadín con amenazar: igual luego no podemos cumplir la amenaza y quedamos como unos embusteros, además de como Cagancho en Almagro.^[16]

Y para acabar con este kilométrico artículo, unas breves frases para desmontar de una vez por todas una de las falacias más habituales hablando de implicaciones lógicas: El que una implicación entre dos frases sea cierta no quiere decir que sea cierta la implicación entre la negación de esas mismas frases. Me explico:

Supongamos como cierta la implicación que todos los padres decimos a nuestros hijos en alguna ocasión: “Si comes, crecerás“.^[17] Podemos suponer a priori que es mayormente verdadera: para crecer es preciso comer. Ahora bien, de la presumible certeza de esta frase no se puede extraer de ninguna manera que “Si NO comes, NO crecerás“. En absoluto.

Representemos todo esto en nuestras conocidas, las ecuaciones booleanas amigas. Siendo p: “Comer” y q: “Crecer“, podemos representar:

“Si comes, crecerás” como $p \Longrightarrow q$ , y

“Si NO comes, NO crecerás” como $p' \Longrightarrow q'$ .

O, lo que es lo mismo,

“Si comes, crecerás“: $p'+q$ , y

“Si NO comes, NO crecerás“: $p+q'$ .

Para que la segunda frase sea cierta (suponiendo cierta la primera) debe tener su misma Forma Normal Disyuntiva, o lo que es lo mismo, su misma tabla de verdad. ¿De acuerdo en esto?

La FND de la primera frase (“Si comes, crecerás“) es: $pq+p'q+p'q'$ , y

La FND de la segunda frase (“Si NO comes, NO crecerás“) es: $pq+pq'+p'q'$ .

No son iguales. El segundo término es diferente en ambos casos: $p'q$ en el primero y $pq'$ en el segundo. ¿Qué quiere esto decir? Traduzcamos al español:

Los términos “Comes y Creces” ( $pq$ ) y “No comes y No Creces” ( $p'q'$ ) forman parte de la FND de las dos implicaciones, pero en la primera de ellas está el término “No Comes y Creces” ( $p'q$ )^[18] mientras que en la segunda el término que está es “Comes y No Creces” ( $pq'$ ).^[19] Dejamos para el que lo desee construir la tabla de verdad de ambas frases, para que constate visualmente, además de algebraicamente, que no es lo mismo una frase que otra.

Algunos pueden pensar, no obstante, que la diferencia es sutil, que no es para tanto, que en definitiva es prácticamente lo mismo… pues no lo es. Y, desde luego, en un razonamiento científico no se puede de ningún modo caer en esta falacia.

Ah! ¿Hay algunos de entre vosotros, sufridos lectores, que aún no veis claro por qué este tipo de frases son una falacia? Vale, volvamos un momento a la frase que nos ha introducido en los intríngulis de las implicaciones lógicas, a saber: “Si estornudo, cierro los ojos“. Os acordáis, ¿no?

Bien. Pues aplicar esta falacia aquí implica que, asumiendo como verdadera la implicación original, aceptamos igualmente como cierta la siguiente perla: “Si NO estornudo, NO cierro los ojos“. Es decir, el conjunto de situaciones en que “No Estornudo” está contenido en el conjunto de situaciones en que “No Cierro los Ojos“, o $ESTORNUDO' \leq CIERROLOSOJOS'$ . ¿Es eso cierto?

Para empezar, según las propiedades de la relación de orden parcial $\leq$ que vimos en el segundo artículo de la serie, $ESTORNUDO' \leq CIERROLOSOJOS'$ implica también que $CIERROLOSOJOS \leq ESTORNUDO$ . ¿Recordáis?

¿Qué significa esto? Veamos: el dibujo sería algo como el siguiente:

Lo que pasa cuando “Si NO estornudo, NO cierro los ojos”. Una falacia como una casa.

Supongo que ya os dais cuenta de que algo hay que no funciona… Porque ésta es también la representación en diagramas de Venn de la implicación “Si cierro los ojos, estornudo“…. y no era esto lo que nosotros queríamos decir, que era: “Si NO estornudo, NO cierro los ojos”.

Ja! Una y otra son exactamente la misma frase, tienen la misma fórmula, la misma tabla de verdad. Es lo mismo. Son idénticas.

Así que, para probar definitivamente si la frase es cierta o no, como hemos dicho unas doce veces ya, basta con encontrar un contraejemplo, es decir, una única situación en que No Estornudando, de todos modos Cierro los Ojos. No es muy difícil encontrar una situación tal: basta con echarse una siestecita…

Luego, suponiendo como verdadero que “Si estornudo, Cierro los ojos”, entonces “Si NO estornudo, NO cierro los ojos” (o “Si cierro los ojos, estornudo”, que ya hemos visto que es lo mismo) es una falsedad como un piano de cola.

¿Se ve claro ahora?

En un ejemplo tan tonto, tan evidente como éste, parece obvio que una y otra frase no son la misma cosa, pero pensad en cosas más serias, como cuando un candidato a alcalde asegura que “si me elegís, habrá una carretera entre Villarriba y Villabajo“. Lo que sibilinamente él quiere que entendáis es que “si no me elegís, no habrá tal carretera“… pero eso no es la misma cosa. En absoluto. Puede, por ejemplo, que los otros candidatos también tengan pensado hacer la carretera. De nuevo, estos ejemplos son fáciles, pero a menudo esta falacia se esconde detrás de dobles negaciones y enrevesadas frases con muchas más condiciones, y no es tan sencillo darse cuenta de ella.

Avisados quedáis.

Es todo por hoy. Ha salido un artículo bastante intenso, me parece. En realidad, podríamos seguir y seguir… las discusiones sobre implicaciones lógicas son eternas, pero en algún momento hay que cortar… De todos modos, ahí están los comentarios para debatir lo que gustéis.

El próximo día continuaré profundizando en el fascinante cálculo proposicional, en concreto sobre el proceso deductivo, siempre de la mano de Don José Cuena, a ver dónde acabamos. Además de en el psiquiátrico, quiero decir.

Disfrutad de la vida, mientras podáis.

El “entonces” se representa con la flecha, obviamente. [↩]
Ya es curioso que para definir una implicación lógica estemos usando precisamente una implicación lógica… forman parte natural del lenguaje y todo el mundo las entiende sin más complicaciones. [↩]
Incluso de otras implicaciones, si os lo estabais preguntando: al final del artículo espero que ya no os asuste tal cosa. [↩]
Expresión muy española para: “Ya nos hemos metido en el lío”. [↩]
No sé bien cómo definir este “Conjunto Universal de situaciones”: Los milisegundos que estoy vivo, quizas… [↩]
Que es el color que le sale al pintor al mezclar amarillo con azul. [↩]
Por ejemplo, porque estoy durmiendo… esperamos que la lectura de tan apasionante artículo no te haya llevado a esta situación. [↩]
Probablemente tú estás ahora mismo así, ¿verdad? [↩]
¿A qué me suena a mí esto? [↩]
En términos matemáticos, se dice que algo (p) ocurre si y sólo si ocurre esto otro (q). Y viceversa. [↩]
“Si fuera rico haría esto o lo otro”, “Si pudiera, iría a tal sitio”, “Si lo hubiera sabido, no habría hecho tal cosa”, et altera… [↩]
Sin comentarios. [↩]
Así se llaman en España; en inglés se denominan “pop-corn“, y en HispanoAmérica me consta que se llaman de múltiples maneras… que no conozco. [↩]
Y de verdad va más rápido que la luz, claro. [↩]
En España decimos “El Hombre del Saco“, y este personaje popular está basado en hechos reales: parece que a fines del Siglo XIX hubo un asesino, un tal Francisco Ortega, El Moruno, que secuestraba a sus víctimas, las metía en un saco de arpillera, las desangraba, descuartizaba y qué sé yo, y luego echaba los pedazos en otro saco para esconderlos por el campo… La realidad supera a la ficción. [↩]
Recomiendo encarecidamente que, cuando terminéis con este escrito, os leáis el artículo de JdJ en su blog Historias de España sobre Cagancho en Almagro… JdJ es simplemente sublime, pero en el artículo de Cagancho en Almagro literalmente se salió. [↩]
Con todas sus variantes: “Si comes te pondrás fuerte”, “Si comes mucho serás más alto que tu primo”, etc, etc. [↩]
Es decir, puede que crezcas aunque no comas. [↩]
Es decir, que puede que, aunque te atiborres de comida, no crezcas ni un milímetro. [↩]

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Publicado por Macluskey el Martes, febrero 7, 2012, a las 09:00, y clasificado en J, Lógica, Macluskey. Sigue los comentarios de esta entrada con su RSS de comentarios. Puedes escribir un comentario o trackback desde tu blog.

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Macluskey es un informático de los tiempos heroicos, pero no ha dejado de trabajar en Informática y disfrutar con ella hasta la fecha. Y lo que el cuerpo aguante. Y además, le gusta la música...

{ 32 } Comentarios

Ammonio | 09/02/2012 at 12:31 | Permalink

+”Ojo, que no estoy prejuzgando nada. No estoy diciendo que “todos los políticos mienten siempre“, ni tampoco que “todos los políticos dicen siempre la verdad“. Ése no es el caso, y de hecho estaréis de acuerdo en que con toda seguridad ambas frases universales, aplicadas a la totalidad de la clase política, son falsas.”:

Los ejemplos que ponéis no son implicaciones lógicas sino condicinales lógicos. Confundir ambas es influencia de manuales de lógica de infuencia francesa, aunque podemos esta confusión en manuales como el de Benson Mates (si no los confundía él, los confundía su traductor).

El condicional (llamado en la antigüedad implicación material) es siempre un enunciado empírico y por tanto su verdad la conocemos a posteriori tal y como explicais en el artítulo. Lo normal es que sea un enunciado consistente (que en ocasiones resulte verdadero y en ocasiones resulte falso tal y como exponéis en su tabla de verdad).

La implicación (llamada en la antigüedad implicación formal) resulta siempre verdadero. Su verdad no es empírica, sino a priori. Es un enunciado tautológico (por contra, el otro era consistente), su verdad es necesaria en todos los casos posibles (todos los resultados de su tabla de verdad son necesariamete verdaderos y no puede ser que ninguno sea falso). Sólo cuando nos encontremos con un condicional tautológico podemos decir que estamos ante una implicación.

No toda condición lógica es una implicación, ni toda tautología es implicación, pero sí que toda impicación es un condicional lógico.

+”Y si la promesa no es falsa, es que es verdadera”: Es cierto siempre y cuando estemos en una lógica bivalente. En una lógica polivalente, el principio de tercero excluido no es un enunciado válido del sistema.
Juan Carlos | 09/02/2012 at 03:39 | Permalink

Gran artículo, ya casi había olvidado todo esta lógica.

Por cierto, acá en Ecuador, al “pop-corn” le decimos “canguil”

Saludos.
Macluskey | 09/02/2012 at 09:23 | Permalink

@Ammonio: Gracias por tu docto comentario.

No sé qué decir al respecto. Sólo que me resulta raro eso de que “La implicación (llamada en la antigüedad implicación formal) resulta siempre verdadero”. O sea, una tautología.

Según mi modestísimo entender, si algo, lo que sea, es una tautología no hay nada que rascar, no hay implicación ni gaitas, ni tiene mucho uso en lógica (al menos en lógica informática). Es verdadero siempre, y a correr.

Pero desde luego que no puedo refutar en absoluto tus argumentos. A mí es que me sacan del álgebra de Boole y no soy nadie…

@Juan Carlos: Gracias por tu comentario: me alegra que te guste.
Ammonio | 10/02/2012 at 02:18 | Permalink

Estoy de acuerdo contigo, en la vida cotidiana no tiene mucho sentido la distinción entre condicional e implicación. De hecho en la práctica los lógicos tratan a las implicaciones como si fueran un condicional más pues sus posiles valores son verdaderos en los mismos casos que el condicional, y resultaría falso (recuerdo que este caso es hipotético porque nunca se da en una implicación) en el mismo caso que el condicional.

La distinción es útil sólo es útil a nivel teórico. A nivel teórico la implicación supone un enunciado de lógica modal (es necesario que el condicional expresado sea siempre verdadero); el condicional lógico puede resultar en todos los casos falso, consistente o incluso verdadero según sea el caso que se nos presente pues no hay necesidad alguna).

De lo que estoy seguro es de que has usado implicaciones en tus programas informáticos. Observa este enuniado: -Si ((si p entonces q) y p) entonces q. Este enunciado, tiene una estructura tal que es necesariamente verdadero en todos sus casos. Haz su tabla de verdad y comprobarás que es así. Estoy seguro de que lo has usado (dentro de una cláusula if), y el tratarlo como una simple condición lógica no ha supuesto el menor problema. (Para los seguidores de la serie, este enunciado lo conoceréis como la regla de trasnformación modus ponendo ponens)

Sin embargo este otro: -Si ((si p entonces q) y p) entonces r. no es una implicación, es un simple condicional lógico que, en este condicional concreto, en algunos de sus casos resulta verdadero y en otros falso (tabla de verdad por delante y se ve). Es mucho más empleado que el anterior, pero menos transcendental.
Ammonio | 10/02/2012 at 02:19 | Permalink

(Continúa) Del mismo que hay distinción entre el condicional y la implicación, existe la distinción teórica entre el bicondicional y la coimplicación. No todo bicondicional es una coimplicación, pero las ya explicadas leyes De Morgan sí que lo son. Son necesariamente verdaderas en todos los casos de su tabla de verdad. En forma de enunciado serían: -Si (si p entoces q) entonces (no p ó q).

Las tautologías (y por tanto las implicaciones lógicas) suponen casos límite del mundo real, y nos nos dicen gran cosa sobre éste, pero tan inútiles no son. Seguro que has usado varias en tu vida profesional, tu álgebra de Boole está llena de ellas, aunque las trates (en estos casos) como simples condicionales y bicondicionales.
Ammonio | 10/02/2012 at 02:20 | Permalink

(Continúa) Pero a lo que iba: Me imagino que las cláusulas IF (Ejemplo: if (a ó b) entonces return z) que usas en programación no las llamas implicaciones, sino condicionales. Al igual que en programación hablas de condicional en lugar de implicación, en lógica se debe hacer lo mismo. Y ante la duda, la más tetuda o la más general: hablar siempre de condicionales para no meter la pata.

P.D: Me está encantando la serie porque nunca había visto la lógica desde un punto de vista informático, mucho más entretenida que desde un punto de vista formal. Estoy ansioso por ver las aplicaciones prácticas de la FND y de cosas semejantes.
Ammonio | 10/02/2012 at 02:27 | Permalink

Qué fallo, la ley De Morgan debería formularse así: -Si, y sólo si (si p entoces q) entonces (no p ó q).
Macluskey | 10/02/2012 at 09:06 | Permalink

¡Qué nivel, amigo Ammonio! No creo que pueda estar a la altura.

Veamos (y trataré de no liarme).
- Sobre el modus ponens hablaré en el próximo capítulo, dedicado a la deducción. De momento sólo hablamos de implicación (o de condicional, si lo deseas). Yo creo que en realidad el problema que enuncias es puramente de nomenclatura, pero no tengo conocimientos suficientes como para asegurarlo.
- Después de la deducción hablaré del cálculo de predicados y por fin de la inferencia. Estoy siguiendo una aproximación bottom-up, en lugar de top-down, y sé que esta forma de ver las cosas rechina a muchísima gente, que empieza por la inferencia, sigue por la deducción, etc. Este tema nos hizo mantener muchísimas discusiones previas a la publicación de la serie con Pedro y J: a ellos les faltaban cosas y no veían nada claro sobre todo este artículo, y luego al leer los siguientes, decían: ¡Caramba, aquí está lo que me faltaba! Es posible, sólo posible, que te ocurra lo mismo, amigo Ammonio.
Te emplazo a los siguientes capítulos para que puedas juzgar.
- En programación es una aberración programar un if con una tautología (o con una contradicción, tanto da). Es más, es uno de los errores más comunes y peligrosos de los programas.
Una sentencia del tipo IF (a=b) OR (a not = b) then hacer-tal-cosa es una estupidez, pues siempre, siempre el programa evaluará la condición como verdadera y hará-tal-cosa: lo correcto es directamente eliminar el IF. En programación sólo tiene sentido poner IF’s que a veces sean verdaderos y a veces falsos, en otro caso, lo que hay que hacer es eliminar el IF.

Gracias mil por tan interesantes comentarios.

Saludos
Macluskey | 10/02/2012 at 09:53 | Permalink

Ah!, por cierto: Las Leyes de De Morgan son una igualdad matemática, nada más, un teorema debidamente demostrado a partir de los axiomas del álgebra.

(ab)’ = a’+b’ y (a+b)’ = a’b’. Una cosa es igual a la otra, siempre y en todo momento. Y eso permite que, ante una función booleana en que te encuentres una de esas estructuras, la puedas cambiar por la equivalente para simplificar o para hacer lo que haya que hacer en cada caso sin necesidad de tener que demostrar nada, pues ya fue demostrado previamente.

No veo qué ventaja añade expresarla como tú propones. Habría que hacer lo mismo para cualquier otro teorema, como el de idempotencia, o la propiedad asociativa, o el de Pitágoras, o el de Tales o…

Seguro que así queda más formal, sin duda, pero a la hora de su aplicación práctica, no veo que aporte gran cosa… seguro que es por culpa de mis limitados conocimientos, claro.

Otra vez saludos.
Ammonio | 10/02/2012 at 12:55 | Permalink

En la vida práctica es un problema de nomenclatura, sí, pero por lo mismo que no se llaman implicaciones a las cláusulas if, sino condicionales, deberíamos llamar condicionales lógicos a lo que llamas implicaciones.

Vamos a ver si captas por fin la diferencia: En las condiciones lógicas unimos enuciados mediante un operador condicional: -Si fumo, entonces me entrará cáncer Dicha proposición no es verdadera ni falsa, como bien explicaste en su momento, como cualquier condicional tiene múltiples valores de verdad y cabe el caso de que se dé la condición, pero no el consequiente (diciend que es falsa en ese caso, pero en general con todos sus valores en conjunto no es ni falsa ni verdadera)

En las implicaciones no unimos enunciados, sino nombres de enunciados (y junto a los nombres, sus tablas de verdad) mediante un operador condicional: -”fumar” implica que “me va a entrar cáncer” Como puedes ver, esta implicación es del todo falsa pues es posible que fume y no desarrolle un cáncer. Es posible que si no fumo pueda entrarme, pero es imposible que si fumo no me salga. Como te dije, para que una implicación resulte verdadera, es necesario que todos sus valores de verdad resulten verdaderos.

¿Ves la diferencia y porqué conviene que ante la duda optemos por nombrarlo por el término más general y menos resticivo: el condicional logico? Si nos ponemos un poco puristas confundir un condicional con una implicación tiene sus efectos, no siendo así si la confusión es a la inversa.
Ammonio | 10/02/2012 at 12:55 | Permalink

Esa igualdad matemática que propones (equivalencia la llamo yo) puede ser tratada como un bicondicional lógico, pero su tabla de verdad supone que es algo más que un simple bicondicional, supone que estamos ante una coimplicación lógica, pues necesariamente es verdadera en todos sus casos, y por tanto es intercambiable.

Ya que has mencionado la inferencia lógica (espero que hablemos el mismo idioma y que tengamos el mismo referente para esta palabra), una inferencia lógica es una regla de transformación que escrita en un único enunciado resulta ser una implicación o, según sea el caso una coimplicación (lo cual supone un pequeño plus respecto a los condicionales y a los bicondicional lógicos).

Disculpa el lío que me hice, al escribir la ley De Morgan, se me fue la pinza y puse el ejemplo de ley de tansformación del condicional al disyuntor que es una coimplicación (al igual que las leyes De Morgan que también lo son). Un fallo imperdonable.

Espero haberme hecho entender
Ammonio | 10/02/2012 at 05:12 | Permalink

“Simplista antes que incomprensible”, vayamos al lenguaje ordinario.

Cojamos dos subordinadas condicionales: 1.- Si fumas, entonces te entrará cáncer. 2.- Si una célula respira, entonces se produce una reacción de oxidación. Si entendemos que el funtor u operador lógico de ambas es el condicional lógico, no surge ningún problema.

Ahora bien, transformemos el condicional lógico por la implicación lógica. Podemos hacerlo de varias maneras.

A) Antecedente y consecuente pasan a ser subordinadas sustantivas con función de sujeto y complemente directo (las nombramos, por tanto): 1′.- “Fumar” implica “que te entrará cáncer” (o si se prefiere “que fumes” implica “que te entrará cáncer”) 2′.- “Que una célula respire” implica “que se produce una reacción de oxidación”

B) o bien aseveramos los condicionales originales nombrándolos como sujeto: 1”.- Es cierto que “Si fumas, entonces te entrará cáncer”. 2”.- Es cierto que “Si una célula respira, entonces se produce una reacción de oxidación”.

C) lo convertimos a un enunciado de la lógica modal también nombrándolos: 1”’.- Es necesario que “Si fumas, entonces te entrará cáncer”. 2”’.- Es necesario que “Si una célula respira, entonces se produce una reacción de oxidación”.

Cuando nos olvidamos del condicional y lo tratamos como implicación la cosa cambia. Cuando alguien nos dice que 1′, ó 1”, o 1”’ nos salta una alarma interior que nos dice que ese alguien nos está engañando porque no hay relación de causalidad necesaria entre el antecedente y el consecuente. Decimos que esta implicación resulta falsa, algo que no decíamos cuando la expresábamos en modo condicional.

Sin embargo, las trasformaciones del segundo condicional no hacen saltar la alarma de que alguien nos intenta engañar. Esto es así porque el segundo condicional estaba regido por una gran dosis de necesidad. Por este motivo podemos expresarlo como implicación sin problemas. ¿Es cierto que si respira, oxida? sí, siempre. ¿Es cierto que puede haber oxidación sin respiración? sí, es cierto. Pero a diferencia del otro ejemplo (puede darse el caso de fumar y no padecer cáncer), ¿puede darse el caso de que pueda haber respiración sin oxidación? No, nunca se dará tal caso.

Condicional e implicación tienen la misma tabla de verdad, sí. Incluso comparten el mismo símbolo: la flecha. Pero la implicación supone otro nivel de juego del que carecen los simples condicionales lógicos: el de los juicios apodícticos (=necesarios) de la lógica modal.
Ammonio | 10/02/2012 at 06:19 | Permalink

Respondiendo a tu pregunta sobre los teoremas: Sí, son implicaciones (siempre y cuando no estemos ante una lógica axiomática recursiva ¡claro!).

Pero no has debido entender la cuestión. No surge ningún problema al tratar una implicación como un condicional lógico cualquera. Las discrepancias surgen cuando tratamos cualquier condicional lógico (y por tanto hipotético) como implicación (y por tanto apodictico).

Haciendo una analogía con los teoremas: Todo teorema lógico es una fórmula bien escrita, pero no toda fórmula bien escrita es un teorema lógico. Si decirmos que cualquier fórmula bien escrita es un teorema de un sistema lógico, enseguida se nos volverá a encender la bombilla de antes para decir que nos la están intentando dar con queso otra vez.
Macluskey | 11/02/2012 at 09:48 | Permalink

Abrumado…. estoy abrumado, amigo Ammonio.

Después de leer varias veces tus comentarios, estoy cada vez más convencido de que lo que tú llamas “condicional” yo lo llamo “implicación”, y a lo que tú llamas “implicación” yo lo llamo “deducción”. Lo llamaré en el siguiente capítulo, más bien.

“Si fumo desarrollaré un cáncer” para mí es una implicación. Dentro de dos artículos, cuando lleguemos al cálculo de predicados, veremos que es un particular que se refiere a mi caso concreto y que puede ser cierto o no: habrá que esperar unos años para decidir si en mi caso lo es o no. Ahora bien, si lo elevamos a Universal: “Todo el que fuma desarrola un cáncer”, entonces es claramente falsa, dado que yo conozco al menos una persona que fumó y no tuvo cáncer en su vida.

No sé, sigo creyendo que estamos en niveles diferentes. No he hablado aún de ningún “modus” (en el próximo lo haré), y yo creo que eso complica todo, pues estás (quizá) dando por sentado que sí los estoy teniendo en cuenta. Y no, aún no.

Intentaré explicarme sobre las socorridas Leyes de De Morgan:

Las Leyes de De Morgan, bajo mi humilde punto de vista, para expresarse correctamente-chachi-piruli deberían definirse como:

“Si estamos en un sistema que cumple el álgebra de Boole, entonces [(ab)' = a'+b'] y [(a+b)' = a'b']“.

Para que podamos de verdad aplicar las Leyes de De Morgan a una fórmula matemática necesitamos no sólo saber que [(ab)' = a'+b'] y [(a+b)' = a'b'], sino… ¡Estar en un sistema que cumple el álgebra de Boole!”. Porque si estamos en un álgebra numérica normal, o en trigonometría o en ingeniería industrial, que no cumplen el álgebra de Boole, entonces son inaplicables, son falsas: aunque en sí mismas las Leyes de De Morgan son correctísimas, falla la premisa principal: no es un álgebra de Boole.

Entonces, para poder aplicarlas, hace falta una segunda premisa:

1- “Si estamos en un sistema que cumple el álgebra de Boole, entonces [(ab)' = a'+b'] y [(a+b)' = a'b']“.

2- “Estamos en un álgebra de Boole“

Consecuencia: [(ab)' = a'+b'] y [(a+b)' = a'b']

Ahí tienes tu modus ponens. Evidentemente yo he usado (y seguiré usando) las Leyes de Morgan o la idempotencia o lo que sea sin detenerme en decir cada vez que “Estamos en un álgebra de Boole”. A lo largo de la serie lo he dejado claro: hay que dar por sentado en todo esto que estamos en un álgebra de Boole, y además lo he demostrado para cada sistema que he citado: los circuitos eléctricos, los conjuntos y las proposiciones.

Insisto: aunque todo esto es muy intuitivo, efectivamente hay que formalizarlo, como creo que estás pidiendo en cada uno tus comentarios. Pues lo haré en el próximo capítulo y en los que siguen.

Creo sinceramente que, al final de la serie, todo el edificio habrá quedado construido, con mis limitaciones debidas a mis escasos conocimientos de lógica que no sea de primer grado y, sobre todo, mi falta de memoria. En este punto de la serie tenemos construidos los cimientos, y las plantas desnudas. Todavía hay que construir las paredes y el tejado, poner los azulejos y pintar y, por fin, llenar la casa de muebles para que de verdad sea habitable.

Encantado de mantener discusiones de este nivel. Aunque me cueste seguirte, amigo Ammonio. Es claro que sabes muchíiiisimo más que este humilde servidor sobre Lógica.

Saludos
Ammonio | 11/02/2012 at 12:54 | Permalink

Me da a mí que no es un mero problema de nomenclatura. Lo digo por propia experiencia y me río porque tú respuesta ha sido la misma que la que yo tuve cuando me enfrenté al mismo problema. La vida se repite.

Formalizando un libro (cada uno se entretien con lo que puede, jeje) me topé con una auténtica implicación. Lo que hice fue añadirle el cuantificador universal tal y como has hecho tú, pero si analizas con detenimiento, la cuantificación universal no expresa lo mismo que la auténtica implicación.

Mil vueltas le di al asunto sin poder resolver en condiciones aquella formalización. Tiempo más tarde descubrí que era un enunciado modal y que como tal debía de ser formalizado.

¿Sabes qué me hubiera ahorrado infinitos dolores de cabeza? Que mis profesores en lugar de haber usado el térmimo de implicación, hubiesen usado el de condicional lógico. De hecho en los modernos manuales de lógica clásica va desapareciendo el nombre de implicación por el de condición lógico.

A ver si esta tarde encuentro la frase que quería formalizar y la analizamos un poco. Puede que de esta manera pilles la diferencia que creo que aún no ves.
Ammonio | 11/02/2012 at 05:17 | Permalink

Macluskey, ya estoy por aquí y lo prometido es deuda. La frasecita en cuestión era:

“Los medios adecuados a un fin sólo pueden ser agradables cuando el fin lo sea también” (Para los no duchos en lógica el antecedente está al final y el consecuente al principio, estamos ante una implicación inversa. También existen los condicionales lógicos inversos, pero en este caso se trata de una implicación)

Como puedes ver, en una implicación de verdad como es ésta, ni siquiera se contempla el caso de que el antecedente pueda ser verdadero y el consecuente falso. El adverbio “sólo” es muy restrictivo y hace imposible que tal caso se dé.

Cuantificar el enunciado no resuelve el problema de que sea imposible que podamos encontrar un caso en el que el antecedente sea verdadero y el consecuente falso. Volvamos a tu ejemplo cuantificado ““Todo el que fuma desarrola un cáncer”. Como bien señalas es falso, pero yo te digo que a pesar de ser falso es posible que tal caso se pueda dar. Y en tanto que es posible que se dé, no estamos ante una implicación sino ante un mero condicional lógico.

Dudo mucho que este enunciado que me trajo loco durante mucho tiempo se identifique con lo que tú llamas deducción. Éste enunciado juega en otra liga lógica distinta a la booleana. Los teoremas lógicos de los que hablábamos ayer tienen la facultad de poder jugar en ambas ligas a la vez según los interpretes como condicionales lógicos (si quieres implicaciones materiales) o como implicaciones (si quieres implicaciones estrictas o implicaciones formales).

Me veo torpe para explicarlo mejor. Echa un ojo a estos diagramas de Venn porque veo que soy muy malo explicando: http://es.wikipedia.org/wiki/Condicional_material#Diferencia_entre_ el_condicional material_y_la_implicación_lógica

Espero que te sean de más ayuda de lo que haya podido ser yo.
Macluskey | 11/02/2012 at 06:31 | Permalink

“Los medios adecuados a un fin sólo pueden ser agradables cuando el fin lo sea también”

Menuda frasecita…

O sea, si he entendido bien: “Si y sólo si el fin es agradable entonces los medios adecuados para conseguirlo son agradables“.

Si eso es lo que quiere decir la frase, entonces, dado que no se refiere a un fin y unos medios concretos, sino a la universalidad de fines y medios, podemos reescribirla como:

“Para todo fin incluido en el conjunto de todos los Fines, si y sólo si dicho fin es agradable (pertenece al subconjunto de los fines agradables, signifique “agradable” lo que signifique, que para cada uno significará una cosa diferente) entonces Todo medio perteneciente al conjunto de todos los medios que sea adecuado a la consecución de ese fin (o sea, incluido en el subconjunto de medios adecuados a ese fin) también pertenece al subconjunto de los medios agradables“.

No veo dónde está el problema (es normal, imagina que soy un miope para estas cosas).

Esto, para mí es una implicación bastante normalita (o un condicional, como tú la llamas). Su fórmula es pq + p’q’. Encontremos, pues, un único ejemplo donde encuentres un fin agradable que requiera medios no agradables (pq’) o bien un fin no agradable que requiere medios agradables (p’q) y habrás demostrado su falsedad.

Claro que… ¿qué demonios es “un fin agradable“? y… ¿”un medio agradable“? ¿Comúnmente aceptado por todo el mundo como “agradable”? Ufff. No sé.

Por ejemplo: La reforma laboral de ayer ¿es un medio agradable? Persigue (supuestamente) un fin “agradable” (crear empleo y solventar la dichosa crisis), pero ¿por medios agradables? ¿Eliminar virtualmente el despido de 45 días y dejarlo en 20 es un fin agradable? Para los empresarios, seguramente sí. Para los trabajadores, no lo creo.

Otro ejemplo: ¿Podemos catalogar como fin “agradable” que un equipo de fúrbo gane un partido? Sus seguidores quizá lo vean así; los del otro equipo… probablemente no. Y si para ganar el partido el entrenador ordena partirle la pierna a la estrella del equipo rival, eso es un medio “agradable” o no? Unos dirán que sí y otros que no.

Y otro: ¿Eliminar la hambruna del Sahel es un fin agradable? Para mí sí lo es, pero no parece que los grandes bancos de inversión y multinacionales de la cosa, que están especulando con el precio de los alimentos básicos y matando literalmente de hambre por ello a centenares de personas cada día, opinen lo mismo… Para ellos su “fin agradable” es ganar mucho dinero, aunque condenen a la hambruna a países enteros: ¿es eso un “medio agradable”?…

.

Resumiendo: ¿de verdad existen “fines agradables” para absolutamente toda la humanidad? A lo mejor sí. Pero no se me ocurre cuál.

En este ejemplo que tú pones, creo yo, no ya estamos hablando ya de cálculo proposicional, ni de Lógica formal, sino de otras cosas.

Recuerdo (lo he repetido una vez más al principio del artículo) que el cálculo proposicional actúa sobre proposiciones, que son frases a las que podemos asignar sin ningún género de duda un valor de verdad o falsedad en un momento dado. No creo yo que la calificación de “agradable” a fines y/o medios pueda ser asignada sin ningún género de duda, ni mucho menos: depende de quién sea quien lo califique.

Este caso, me parece a mí, es terreno de otras disciplinas: Ética, Ontología, Epistemología, Teología, yo qué sé. No de la Lógica, al menos de la lógica que yo conozco, que sólo sabe de ceros y de unos, de verdades y mentiras…

¡Qué delicia, poder mantener esta discusión (en el sentido inglés del término, of course!).

Saludos
Ammonio | 11/02/2012 at 08:14 | Permalink

Je, je, la frasecita es de Hume, concretamente de la tercera parte del Tratado de la naturaleza humana, en la que aborda su teoría ética empírica.

Su fórmula no es pq + p’q’ (que en la universidad nos dijeron que llamáramos coimplicación y que en los nuevos manuales aparece como bicondicional, me imagino que también es tu caso). No dice “sí y sólo sí”, dice únicamente “solo”.

Para empezar tu interpretación dice más que la frase de Hume. Para ti la relación entre el antecedente y el consecuente es de ida y vuelta, cosa que no está expresada en el texto cuya relación es unidireccional. Como es más expresiva (dice cosas que no están en la original) no nos vale. (Lo probé en su día también, lógico, aparece un sólo y te tiras a morder como te han enseñado a hacerlo)

Pero el condicional se nos queda corto, no expresa todo lo que dice la frase de Hume. Puede valernos para salir del paso (ya te dije que toda implicación puede ser tratada como un condicional) pero no abarca toda la semática de la frase.

Te voy a explicar por qué me rompía la cabeza al analizarlo ese “sólo” que estaba aislado carente de su “sí y sólo si”: -Entendía que “q” es verdadero cuando “p” es verdadero. -Pero además: “q” sólo puede ser verdadero cuando “p” es verdadero, en ningún caso más.

No había lugar a dudas, el valor de toda la expresión ha de ser idéntico al valor del antecedente y no puede ser de otra manera. La tabla de verdad que me salía era ésta: p q solución 0 0 0 0 1 0 1 0 1 (el enunciado dice que “q” está mal, que ha de valer 1) 1 0 1

El valor de “sólo si el fin es agradable entonces los medios adecuados para conseguirlo son agradables” era el mismo que el de “el fin es agradable”. Como todavía no distinguía entre condicional e implicación leía “el valor de “p implica q” es el valor que “p” “.

Sólo de ésta manera puedes captar formalmente todo lo que quiere expresar la frasecita de Hume sin dejarte nada por el camino, pero sin añadir nada que no estuviera en el original. Me volvía loco. Así sin más, una humilde variable se había convertido en un operador lógico por arte de magia. No era lógico, pero a la vez lo era.

La clave está en el concepto de necesidad causal que está encerrado en esa frasecita. Porque “p” es causa necesaria y suficiente de “q” no puede darse el caso de que “p” y “q” se den separados independientemente el uno del otro. Por tanto el valor de:

p q solución 1 0 1 ha de ser cambiado necesariamente por:

p q solución 1 1 1 Puedes formalizarlo como un condicional con lo que pierdes esa relación de necesidad (ya que debemos admitir que “q” se puede dar sin “p”) o bien tratarlo como implicación y jugar en la liga de la lógica modal sin desvirtuar el significado de la frase: escribimos el condicional y le añadimos un cuadradito por delante de él (tal y como hacemos con los cuantificadores) y un rombito en el caso de los condicionales lógicos (aquellos que no están regidos por la necesidad).

Menos mal que escibí estas cosas en las tapas y entretapas del libro y he podido echar mano de ellas. ¿Ves ahora que no es exactamente lo mismo una implicación material (condicional lógico) que una implicación formal?
Ammonio | 11/02/2012 at 08:57 | Permalink

Leches, se me has desvirtuado las tres tablas de verdad y ahora carecen de sentido lo que te he escrito. ¿Podésis chapucearlo para poner estas tablas en el mensaje anterior? van en el lugar en los que aparecen los 0 y los 1.

p

q

0

0

0

0

1

0

1

0

1

el enunciado dice que “q” está mal, que ha de valer necesariamente

1

1

1

p

q

1

0

1

ha de ser cambiado por:

p

q

1

1

1
Pedro | 12/02/2012 at 09:43 | Permalink

El comentario de Ammonio, con formato y tablas:

“

Je, je, la frasecita es de Hume, concretamente de la tercera parte del Tratado de la naturaleza humana, en la que aborda su teoría ética empírica.

Su fórmula no es pq + p’q’ (que en la universidad nos dijeron que llamáramos coimplicación y que en los nuevos manuales aparece como bicondicional, me imagino que también es tu caso). No dice “sí y sólo sí”, dice únicamente “solo”.

Para empezar tu interpretación dice más que la frase de Hume. Para ti la relación entre el antecedente y el consecuente es de ida y vuelta, cosa que no está expresada en el texto cuya relación es unidireccional. Como es más expresiva (dice cosas que no están en la original) no nos vale. (Lo probé en su día también, lógico, aparece un sólo y te tiras a morder como te han enseñado a hacerlo)

Pero el condicional se nos queda corto, no expresa todo lo que dice la frase de Hume. Puede valernos para salir del paso (ya te dije que toda implicación puede ser tratada como un condicional) pero no abarca toda la semántica de la frase.

Te voy a explicar por qué me rompía la cabeza al analizarlo ese “sólo” que estaba aislado carente de su “sí y sólo si”: -Entendía que “q” es verdadero cuando “p” es verdadero. -Pero además: “q” sólo puede ser verdadero cuando “p” es verdadero, en ningún caso más.

No había lugar a dudas, el valor de toda la expresión ha de ser idéntico al valor del antecedente y no puede ser de otra manera. La tabla de verdad que me salía era ésta:

p q p → q

0 0 0

0 1 0

1 0 1

1 1 1

El valor de “sólo si el fin es agradable entonces los medios adecuados para conseguirlo son agradables” era el mismo que el de “el fin es agradable”. Como todavía no distinguía entre condicional e implicación leía “el valor de “p implica q” es el valor que “p” “.

Sólo de ésta manera puedes captar formalmente todo lo que quiere expresar la frasecita de Hume sin dejarte nada por el camino, pero sin añadir nada que no estuviera en el original. Me volvía loco. Así sin más, una humilde variable se había convertido en un operador lógico por arte de magia. No era lógico, pero a la vez lo era.

La clave está en el concepto de necesidad causal que está encerrado en esa frasecita. Porque “p” es causa necesaria y suficiente de “q” no puede darse el caso de que “p” y “q” se den separados independientemente el uno del otro. Por tanto el valor de:

p q p → q

1 0 1

Ha de ser cambiado necesariamente por:

p q p → q

1 1 1

Puedes formalizarlo como un condicional con lo que pierdes esa relación de necesidad (ya que debemos admitir que “q” se puede dar sin “p”) o bien tratarlo como implicación y jugar en la liga de la lógica modal sin desvirtuar el significado de la frase: escribimos el condicional y le añadimos un cuadradito por delante de él (tal y como hacemos con los cuantificadores) y un rombito en el caso de los condicionales lógicos (aquellos que no están regidos por la necesidad).

Menos mal que escribí estas cosas en las tapas y entretapas del libro y he podido echar mano de ellas. ¿Ves ahora que no es exactamente lo mismo una implicación material (condicional lógico) que una implicación formal?

“
Macluskey | 12/02/2012 at 02:28 | Permalink

Gracias, Pedro, por la edición… Mucho mejor así, se ve perfecto.

@Ammonio: Lo siento, pero ya no entiendo nada. Si la tabla de verdad de la proposición de marras: “Los medios adecuados a un fin sólo pueden ser agradables cuando el fin lo sea también” es la que comentas, entonces es completamente equivalente a “el fin es agradable“, puesto que tiene su misma tabla de verdad (y por tanto su misma forma normal disyuntiva o conjuntiva), y cómo sean los dichosos medios nos importan un ardite.

Y si esto es así… ¿Por qué Mr. Hume mete en su frase a que si los medios patatín, los medios patatán?… Si el resultado de su frase no depende de si los medios son agradables o no, ¿a qué viene entonces liarla de esa forma?

Si esto es, pues, así, entonces la frase no es una implicación, ni un condicional, ni nada de nada: es una proposición monda y lironda. Bueno, no. Ni siquiera es una proposición: ya dije en mi comentario anterior que no hay forma de saber si un fin es “agradable” o no.

Yo me inclino más por pensar que, si no es una doble implicación (“si y sólo si”), como dices, al menos debe haber una implicación (o condicional, o como se llamen ahora), del tipo: “Si el fin es agradable entonces los medios adecuados para conseguirlo son agradables”, cuya fórmula es p’+q, y cuyo análisis no cambia en absoluto sobre lo que dije en comentarios anteriores: Muéstrese un solo caso en que el fin sea agradable, pero no lo sean los medios adecuados para tal fin (pq’), y la proposición ha sido probada como falsa. Por ejemplo, si el fin “enriquecerse” es “agradable” y para enriquecerse hay que desfalcar, robar o usar información privilegiada, que no son”agradables”, ya habríamos demostrado como falsa la frase.

Claro que esos medios (desfalcar, robar o usar información privilegiada) que para unos no son “agradables”, quizá para otros (para los que quieren enriquecerse de cualquier modo) sí lo sean…

En fin, eso es lo que tiene analizar la “Naturaleza Humana”: difícilmente nos pondremos de acuerdo en las conceptos que tienen que ver con la Moral, así, con mayúsculas: ¿Qué es bueno y qué es malo? Para unos filósofos y pensadores (y no digamos políticos) es buena una cosa, y para otros su contraria. Para unos es buena la intervención del Estado en los asuntos económicos y, para otros, nefasta. ¿Quién tiene razón? Pueeees… depende. Depende… de quién opine.

Por eso este tipo de frases no se pueden analizar desde el punto de vista del cálculo proposicional, que sólo sabe de verdades y mentiras. Para eso están otras ramas de la Filosofía en las que soy un lego.

Como sabes, ay una rama de la Lógica llamada “Fuzzy Logic” o Lógica Difusa, que lidia con frases que tienen un porcentaje de probabilidad de verdad: “Mañana lloverá, con el 80% de probabilidad” y cosas así. Pero ni siquiera esa rama de la Lógica podría analizar frases que para unos son 100% verdaderas y para otros 100% falsas…

Gracias por tus comentarios.
Ammonio | 12/02/2012 at 02:39 | Permalink

Alfredo Deaño. “Introducción a lógica formal”. Alianza editorial pág. 113

“No es infrecuente [...] la confusión de la implicación con el condicional. Se llega a decir que una expresión como (p`+q) [transformación mía pues no se poner la flecha] se puede leer, indiferentemente, ‘si p, entonces q’, o bien, ‘p implica q’.

Es falso que sea así [...] significan cosas distintas. Cuando usamos ‘si p, entonces q’ estamos usando el lenguaje -el lenguaje de la lógica de enunciados- [...] Cuando decimos ‘p implica q’ estamos usando el metalenguaje del cálculo de enunciados [...] Cuando decimos ”p’ implica ‘q” estamos diciendo que la verdad del antecedente implica la verdad del consecuente [por eso he dicho que en la tabla de verdad del mensaje anterior hay que cambiar el valor de q a 1] [...] verdad y falsedad son predicados metalingüisticos. [...] cuando un condicional es lógicamente verdadero, se puede decir que su antecedente implica su cosecuente.” Fin de la cita.

Es por esto que cuando intentaba construir la tabla de verdad de la frasecita de Hume, todo me daba valor de p (tanto q como el valor de la implicación).

Yo no leo “(p’+q)” [lo siento, no sé escribir el condicional] el la frase de Hume, yo leo “p’ implica ‘q” y como tal, una vez entendido qué es una implicación su tabla de verdad la escribo:

pqp → q

001 011 101 111

pues es evidente que en ausencia del antecedente el valor de la relación es verdadero.
Ammonio | 12/02/2012 at 05:20 | Permalink

Macluskey, no sé si te he lidado más con el ejemplo de Hume: “Los medios adecuados a un fin sólo pueden ser agradables cuando el fin lo sea también”.

No atiendo a la materia del enunciado de Hume (me da lo mismo que trate de ética, que de biología) sólo atiendo a su forma y estructura desde la lógica. Porque tú estás atendiendo a su materia, te das cuenta de que no estás ante una verdadera implicación y por eso lo tratas como un condicional lógico, pero en cuanto haces esto, no estás respetando la forma del enunciado.

En algo tienes razón, y hay que dártela, si atendemos a la materia del enunciado de Hume, hay que reconocer que se trata de una implicación que es falsa. Que por tanto es un mero condicional lógico y no verdadera implicación.

Lo que está claro es que esa expresión (su forma, no su materia) prohibe que se dé el caso de que el antecedente sea verdadero y el consecuente falso. Su estructura de implicación prohibe lo que en un condicional está permitido (que el antecedente sea verdadero y el consecuente falso).

La diferencia entre la implicación lógica y la condición lógica es que la primera no permite que la conclusión sea falsa (como es el caso de la frase de Hume siempre y cuando sólo atendamos a su forma) y la segunda sí que permite que la conclusión sea falsa. Son relaciones semejantes pero no iguales.

El ejemplo de la frase de Hume me sirvió para darme cuenta de que hay un tipo de relación entre enunciados distinto del mero condicional.

Gracias, Pedro, por poner las las tablas correctamente.

Gracias, Macluskey, por tu atención. Si tienes alguna vez la oportunidad de tener entre tus manos el libro de Deaño que antes he citado, ve a la página 143. Ahí comienza una ficticia conversación entre dos lógicos en el que uno demuestra al otro que no toda condición lógica es implicación.

P.D: esa tabla de verdad que no entiendes es incorrecta y por eso te parece absurda. Entonces no conocía realmente lo que es una implicación y hacía lo que podía. La tabla de verdad de una implicación ha de resultar necesariamente siempre y en todos los casos verdadera. Hoy, atendiendo exclusivamente a la forma del enunciado de Hume, la hubiera escrito con todos 1.

Concluyo: Si no estamos ante una verdadera implicación estamos ante un condicional lógico. Sólo cuando estamos ante un condicional lógico que resulte tautológico, podemos hablar de verdadera implicación. Repito, gracias por tu atención.
Ammonio | 12/02/2012 at 05:36 | Permalink

Perdona, un poquito más:

Me autocito: “Porque tú estás atendiendo a su materia, te das cuenta de que no estás ante una verdadera implicación”. Por este motivo los antiguos llamaban al condicional ‘implicación material’

Sigo autocitándome: “sólo atiendo a su forma y estructura desde la lógica”. Por este motivo los antiguos llamaban a lo que yo llamo implicación ‘implicación formal’.

De verdad, gracias por vuestra atención.
Ammonio | 12/02/2012 at 10:24 | Permalink

Macluskey o J, creo que el link a la wikipedia que queríais poner no es el que de verdad queríais poner. En él no aparece la tabla de verdad de la “escurridiza implicación lógica”.

Igual os interese más éste: http://es.wikipedia.org/wiki/Condicional_material en el que sí aparece la tabla de verdad.
Macluskey | 13/02/2012 at 09:01 | Permalink

@Ammonio:

“Concluyo: Si no estamos ante una verdadera implicación estamos ante un condicional lógico. Sólo cuando estamos ante un condicional lógico que resulte tautológico, podemos hablar de verdadera implicación.”

Pues si una implicación es siempre siempre una tautología… estamos hablando de cosas distintas y, como suponía desde el principio, estamos ante un problema de nomenclatura.

En la Carrera de Informática, por lo que sé, siguen enseñando lo que tú llamas como “condicional” con el nombre de “implicación”. Y desde luego en mis tiempos así era. Para mí, y para los informáticos que yo conozco, una implicación lógica tiene como fórmula p’+q. ¡Qué le vamos a hacer!

Entre tú y yo, amigo Ammonio, es que los informáticos somos taaaan raros…

Lo importante, amigo Ammonio, no es tanto el nombre que tengan las cosas, sino entender para qué sirven, y yo creo sinceramente que entre mis humildes esfuerzos y tus acertados comentarios, los lectores habrán aprendido algo.

¡¡Eso espero!!, al menos.

En los artículos que quedan creo que quedarán más claros algunos de los puntos que comentas.

Un saludo
Ammonio | 13/02/2012 at 10:22 | Permalink

Lo mismo espero yo. Un saludo
mnb | 15/02/2012 at 10:30 | Permalink

En el capítulo tercero del curso del MIT, “Mathematics for Computer Science”, también utiliza el término “implies” para el condicional material o implicación material

http://ocw.mit.edu/courses/electrical-engineering-and-computer-science/6-042j-mathematics-for-computer-science-spring-2010/readings/

Como dice Macluskey “cosas de la informática”.

De todas formas las traducciones de textos universitarios son un auténtico “kaos”
Ammonio | 16/02/2012 at 05:58 | Permalink

[mnb] tienes razón, usan el término implicación.

El caso es que hay proposiciones que atentan contra el sentido común a pesar de ser lógicamente correctas. Por ejemplo esta: “Que el elemento químico arcilla esté situado en el lugar de los metales implica que es maleable”.

Es cierto porque la arcilla es maleable, no porque sea un elemento químico de unas características determinadas. Esta disociación entre la lógica y el lenguaje común (cito de Tarski. Introducción a la lógica. 1941) “ha terminado en un clamor en favor de la reforma de la lógica con el objeto de llegar a un acercamiento entre la lógica y el lenguaje ordinario en lo concerniente al uso de la implicación”.
Macluskey | 16/02/2012 at 08:04 | Permalink

@mnb: Desde luego, es que los informáticos somos muy raros, ¡hasta los del MIT! Gracias por el enlace, muy interesante.

@Ammonio: “Que el elemento químico arcilla esté situado en el lugar de los metales implica que es maleable”. Permite que reformule la frase de forma más… lógica, je, je.

“Si el elemento químico arcilla está comprendido en el lugar de los metales, entonces es maleable“. O sea:

“Arcilla comprendida entre los metales” ==> “Maleable” (es decir: p==> q)

Según su tabla de verdad, la implicación (perdón, el condicional material… ufff) sólo sería incorrecta si, siendo la arcilla un metal, no fuera maleable. Como no es el caso (la realidad es que la arcilla NO es un metal y SÍ es maleable, o sea, p’q) entonces la implicación es verdadera (con razón digo yo que la puñetera implicación es tan escurridiza…).

No es que sea lógicamente correcta ni incorrecta… es verdadera y yastá. Lo que es correcto o incorrecto es un razonamiento, una deducción. Una proposición no: una proposición cualquiera (y esta frase, por muchos “Implies” que tenga, es una vulgar proposición) es verdadera o falsa, nada más. Y nada menos.

El problema es que alguien nos quiera hacer creer que esa frase es una Ley Universal, pero, claro, para ello haría falta otra premisa más: “La arcilla es un metal“, que, vía modus ponens, da origen a una tautología. Y claro, como esa afirmación es falsa, pues no es una Ley Universal, sino una tomadura de pelo.

Me estoy adelantando a capítulos que vienen a continuación, y no debería: todo esto y más saldrá en los episodios restantes… Espero no defraudaros. Me estáis poniendo el listón muuuuuy alto…

PD: Si leéis el capítulo anterior, el del Cálculo Proposicional, al final del mismo decía yo que podía pasar exactamente lo que ocurre con Ammonio: que nos fuera complicado entendernos por los distintos niveles de abstracción que caben en estos temas… Profeta que es uno, je, je…
Ammonio | 17/02/2012 at 01:03 | Permalink

“El problema es que alguien nos quiera hacer creer que esa frase es una Ley Universal”

Aquí está la clave de la cuestión que ha hecho correr ríos de tinta, y no sólo a los pies de tu artículo (je je). Para evitar este problema que señalas se reserva el término implicación (formal) a casos muy concretos y reservados.

La implicación material ya es escurridiza de por sí. Pero la implicación formal lo es mucho más porque la gente tiene asociada la palabra implicación una idea de “causa necesaria y suficiente” de no te menees que no haya correlación en el lenguje formalizado.

Si con el “sí… entonces” cuesta un Potosí explicar que la implicación material sea cierta cuando el antecedente sea falso, con el “implica” cuesta lo mismo, con el agravante de que digan que no sólo es falso cuando el antecedente es verdadero y el consecuente falso, además dirán que es imposible que tal caso se dé (entrando ya en el campo de la lógica modal)

La mitad de los lógicos enfrentados con la otra mitad por leer “implica” en lugar de “si… entonces” desde la época de Diodoro y Filón.

¿Sabes qué es lo más cachondo, Macluskey? que cuando nos enfrentamos a expresiones formalizadas estas discusiones bizantinas (porque hay que reconocer qe son bizantinas) se disuelven como azucarillo en el café. Las ambiguedades desaparecen: gran invento el de la lógica formal.
Freddy | 23/04/2013 at 02:30 | Permalink

Lamento comentar tanto tiempo después de la publicación del artículo. En el texto se lee “Cierta como que el hierro tiene 26 electrones…”. Más correcto sería decir “el hierro tiene 26 protones” o “el hierro neutro tiene 26 electrones”, pues el hierro puede estar ionizado (y por ejemplo, tener menos electrones), y la afirmación sería falsa.

Quizá haya una sutileza en la afirmación que a mi se me ha escapado, que yo soy muy brutote.

El Cedazo

Eso que llamamos Lógica (VI) La escurridiza Implicación Lógica.

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Macluskey ( )

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