Trigonometría, los enigmáticos triángulos rectángulos I: El Teorema de Pitágoras

Tras la presentación de esta pequeña serie, hoy hablaremos del Teorema de Pitágoras.

Este teorema, bien conocido por todos, es de los más célebres de la historia de la Matemática. ¿Quién no ha recitado alguna vez eso de: “En un triángulo rectángulo, la suma de los catetos cuadrados es igual a la hipotenusa cuadrada”, o cualquiera de las otras formas de nombrarlo?

Claro que la definición formal seria algo así:

En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Fuente: Geometría Divertida; con licencia Creative Commons

Vamos, que este teorema sólo funciona con triángulos rectángulos, que, recordemos, son aquellos que tienen un ángulo recto.^[1] Recordemos también que, en un triángulo rectángulo se llaman “catetos” a los dos lados adyacentes al ángulo recto, e “hipotenusa” al lado opuesto.

Y… ¿sobre los demás triángulos? ¿Tienen alguna relación de este estilo?

La respuesta es que… más o menos, pero primero, interpretemos algebraicamente el teorema “de toda la vida”:^[2]

$a^2 +b^2=h^2$

Donde, a y b, son los catetos y h es la hipotenusa. Y con los demás, ¿cómo quedaría? Pues para los acutángulos^[3] sería:

$a^2 +b^2>h^2$

Es decir, que la suma de los catetos cuadrados es mayor que la hipotenusa cuadrada.

Y con los obtusángulos^[4], se tiene que:

$a^2+b^2<h^2$

Es decir, que la suma de los catetos cuadrados es menor que la hipotenusa cuadrada.

Y ahora diréis, avispados lectores, “¿Y esto qué tiene que ver con lo que nos estabas contando en la introducción de los seno-sé-qué y co-no-se-cuantos?”. Bien, pues están relacionados por la “circunferencia goniométrica”, de la cual hablaremos más adelante.

La temida raíz cuadrada de 2

Quizás se dé el caso de que, querido lector, no sepas por qué la raíz cuadrada de dos es tan temida si, total, sólo es un número, ¿no?

Empecemos desde el principio, ¿qué es una raíz cuadrada? Bien, podemos definir una raíz cuadrada como un proceso^[5] que nos dice qué número elevado al cuadrado nos da el número de partida.

Simplificado al lenguaje de los números, éste último seria:

$a^2 =b\Leftrightarrow{\sqrt{b}=a}$

Recordemos que esa flecha bi-direccional significa que si es verdad una de las igualdades, la otra lo es también, y que si una es falsa, la otra ídem.

También podemos decir que si elevamos al cuadrado una raíz cuadrada, volveremos donde empezamos,^[6] algebraicamente:

$\sqrt{a^2}=a$

Y, ¿cuál es la $\sqrt{2}$ ? Pues tenemos que:

$\sqrt{2}\approx 1,4142...$

¿Qué significan los puntos suspensivos? Bueno, estos significan que tiene infinitos decimales sin que se halle ninguna repetición o periodo en ellos. Es lo que se llama un número irracional.

Y ahora, atento lector, ¿por qué es tan temible ese inocente número? Buena pregunta, sin duda.

Toda su historia se remonta a la Antigua Grecia, en la escuela pitagórica. Una de las muchas doctrinas de la escuela decía que todo podía ser reducido a números, y que todos los números se pueden representar como fracciones.

Claro, todos los pitagóricos vivían muy felices y tranquilos, hasta que llegó Hipaso de Metaponto, que, trasteando con el Teorema de Pitágoras, descubrió que no podía encontrar ninguna fracción para representar $\sqrt{2}$ ,^[7] y, al comunicárselo al mundo, rompiendo así la férrea ley del silencio de la escuela, según cuentan las leyendas lo arrojaron por la borda de su navío mientras hacía un viaje.^[8]

Pero no todo son números irracionales. Las ternas pitagóricas.

Claro, puede que $\sqrt{2}$ sea irracional, pero el Teorema de Pitágoras tiene una cara mucho más amable, que son las ternas pitagóricas.

¿Qué es una terna pitagórica? Bien, una terna pitagórica son 3 números^[9] que cumplen el Teorema de Pitágoras y, además, son enteros. Algebraicamente:

$x^2+y^2=z^2$ es una terna pitagórica si y sólo si $x,y,z\in{N}$

Donde $\in{N}$ significa “es un elemento de los números naturales”.

Algunos ejemplos de ternas pitagóricas son 3,4 y 5, 6,8 y 10… Quizás os preguntaréis cuantas ternas pitagóricas hay… aunque el más avispado ya lo haya cazado, pues resulta que hay infinitas.

La razón es muy simple, ya que, si encontramos una terna pitagórica x, y y z, significa que también son ternas pitagóricas nx, ny y nz, para cualquier n entero.

Estas ternas simplifican mucho las cosas. Es más, babilonios y egipcios ya las usaban, pues tenían rudimentarios conocimientos de este teorema mucho antes de ser enunciado por Pitágoras, concretamente la terna de 5, 4 y 3, usando una cuerda cerrada con 12 nudos a igual distancia entre sí, que convertían en un triángulo rectángulo con 5, 4 y 3 segmentos en cada lado para poder medir ángulos rectos.

También cabría mencionar mínimamente el Teorema de Fermat-Wiles. Este teorema dice que las ternas pitagóricas sólo existen cuando elevamos al cuadrado esos números, no a un exponente mayor. Formalmente el teorema se enuncia tal que así:

Existen 4 números enteros tales que se cumple que: $x^n+y^n=z^n$ Si y sólo si $n \leq 2$

O puramente algebraicamente: $\exists{ x,y,z,n\in{N}}\Longrightarrow{x^n+y^n=z^n}\Leftrightarrow{n\leq2}$ , Donde $\exists{x,y,z}$ es existen 3 números x, y y z, $p\Longrightarrow{q}$ es un conector (tales que), y lo demás ya ha sido explicado.

Una demostración para cada gusto

El Teorema de Pitágoras tiene un sinfín de demostraciones, a cuál más elegante, así que me voy a tomar la libertad de escoger dos de ellas para el deleite de los lectores:

Demostración de Leonardo Da Vinci

¿Cómo no iba a tener nuestro polifacético florentino una demostración de tan bello teorema?

Demostración de nuestro florentino favorito. Imagen original de Francisco Javier Blanco González, Wikimedia Commons

Por supuesto que la tiene, y a mi personalmente, a pesar de no ser una de sus más brillantes obras, me parece bastante ingeniosa.^[10]

La explicación del dibujo viene a ser:

Partiendo del triángulo rectángulo ABC, con los cuadrados de catetos e hipotenusa, Leonardo añade los triángulos ECF y HIJ, iguales al dado, resultando dos polígonos, cuyas superficies, usando un poco de su magia, demuestra iguales:

Polígono ADEFGB: la línea DG lo divide en dos mitades idénticas, ADGB y DEFG.
Polígono ACBHIJ: la línea CI determina CBHI y CIJA.

Ahora comparemos los polígonos destacados en gris, ADGB y CIJA:

Enseguida se percata uno que tienen tres lados iguales: AD=AC, AB=AJ, BG=BC=IJ
De igual forma, es fácil comprobar la igualdad entre los ángulos de los siguientes vértices:
- A de ADGB y A de CIJA
- B de ADGB y J de CIJA

Y así se demuestra que ambos son iguales. Y se procede igual con los polígonos ADGB y CBHI.

Después, fijémonos que un giro de centro A, en el sentido de las agujas del reloj, transforma CIJA en ADGB. Mientras que un giro de centro B, en sentido contrario, transforma CBHI en ADGB.

Así se demuestra que ADEFGB y ACBHIJ tienen áreas iguales, y restando los triángulos que añadimos antes, que, recordemos, eran iguales en cuanto a tamaño se refiere, lo que nos queda no es más que las áreas de los cuadrados sobre los catetos por un lado, y el área del cuadrado sobre la hipotenusa por otro. Elegante, ¿eh?

Demostración de Garfield

Imagen ilustrativa de la demostración de James A. Garfield, que, efectivamente, no es el gato. Fuente: Wikimedia Commons, bajo licencia Wikimedia Commons

La demostración del ex-presidente estadounidense es tal que así, haciendo una demostración muy elegante y, a mi parecer, más sencilla que la de nuestro genial florentino:

Se construye un trapecio de bases a y b y altura a+b .
A partir del rectángulo inscrito de catetos c, dividimos el trapecio en 3 triángulos rectángulos, 2 iguales, de catetos a y b y un tercero isósceles de catetos c
De ahí tenemos entonces que: $A_{trapecio}=\frac{a+b}{2}(a+b)$ , y a su vez, otra figura (igual en forma) compuesta de 3 triángulos tal que: $S=2\frac{ab}{2}+\frac{c^2}{2}$
Igualando ambas ecuaciones tenemos que: $(ab)+\frac{c^2}{2}=\frac{1}{2}(a+b)^2$
Desarrollando el cuadrado del binomio de la segunda parte y pasando el un medio: $2ab+c^2=a^2+2ab+b^2$
Restamos 2ab de ambos miembros: $c^2=a^2+b^2$

Demostrando así el Teorema de Pitágoras.

Esta última es, de las demostraciones que conozco, la que más me gusta, ya que está menos basada en la geometría, que me resulta algo engorrosa, y más en el álgebra.

Y hasta aquí este articulo sobre este sencillo a la par que maravilloso teorema. En el próximo artículo ya empezaremos a lidiar con las funciones trigonométricas. Empezaremos por el seno( $sin\theta$ ) y el coseno( $cos\theta$ ).

90º sexagesimales, 100º centesimales o $\frac{\pi }{2}$ radianes [↩]
Como observaréis, voy a algebraizarlo todo, para acostumbrar a los poco doctos en ello, no sin antes explicar lo que pondré en las fórmulas. [↩]
con sus 3 ángulos menores que un recto [↩]
con un ángulo mayor que un recto [↩]
El proceso lo podéis encontrar en la wikipedia [↩]
Vamos, que son operaciones inversas, como la suma y la resta [↩]
podéis encontrar 3 elegantes demostraciones en la wikipedia y muchas más en Internet [↩]
Eso cuentan las leyendas. Lo que sí que se puede decir es que erigieron una tumba con su nombre antes de muerto, para demostrar que para ellos estaba, de hecho, muerto [↩]
¿A que no lo habías imaginado? [↩]
Y parecida a la de Euclides [↩]

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{ 7 } Comentarios

Sergio B | 12/09/2011 at 01:51 | Permalink

Muy bien explicado e interesante el asunto, me ha gustado lo de los babilonios, ¿para que una escuadra cuando se puede tener una cuerda con 12 nudos? A mi también me gusta mas la demostración de Green, Leonardo se complica mucho la vida. Por cierto, en los comentarios comentas el angulo recto, creía que con grados no se debía añadir sexagesimales y por cierto, ¿alguien usa los centesimales?
Fran García | 14/09/2011 at 12:46 | Permalink

A mi me llamó la atención algo que leí por un blog hace poco, era una especie de teorema de Pitágoras “ampliado”. Resulta que el “pentágono” de la hipotenusa (un pentágono construido sobre la hipotenusa) es igual a la suma de los “pentágonos” de los catetos, y tambien hexágonos, heptágonos,… y en general para cualquier polígono de n lados. Y ni siquiera tienen que ser polígonos regulares, puede ser cualquier polígono cerrado, con tal de que los 3 polígonos sean semejantes.

Vi un widget animado que lo demostraba, pero no la demostración en si. Tampoco me he parado a intentar demostrar si es verdad. ¿Alguien sabe si esto es cierto?
Sergio B | 14/09/2011 at 10:25 | Permalink

@Fran García Curiosa pregunta, cualquier superficie en general, puede describrirse segun el cuadrado de una longitud y cierto parametro. En un cuadrado es uno, en un triangulo isosceles es 0,433 y este parametro se puede sacar facilmente para cualquier triangulo con los que se forma un poligono regular cualquiera, como seria multiplicar por un factor en los 3 terminos del teorema de pitagoras, en efecto valdria para todos los casos. En general, aunque es mas dificil de deducir, existe la semejanza geometrica segun la cual todas las figuras pueden caracterizarse por una longitud, asi que estariamos en el mismo caso, asi que si los poligonos son semejantes, si que se seguira cumpliendo el teorema de pitagoras.

Lo de la semejanza geometrica, se usa bastante, cualquier figura geometrica, en la que tengas propiedades, como el numero de lados y angulos entre los lados y solo la longitud de uno de los lados, el problema esta definido y si llamas a esa longitud L, en lugar de darle un valor, pues cualquier poligono semejante dependera solo de esa L, y el area de L al cuadrado. Una forma de verlo es pensar que cualquier geometria se puede dividir en triangulos y el area de un triangulo es la mitad de la base por la altura, si pensamos que la base mide L (sino es cuestion de girar el triangulo), la altura sera el numero que sea por L, por lo que el area sera la mitad del numero que sea por L al cuadrado, por lo que queda demostrado para los triangulos y como todos los poligonos se pueden dividir en triangulos, queda demostrado para todos los poligonos.
Kratso | 17/09/2011 at 03:56 | Permalink

Bueno, bueno, despues de unas vacaciones que se han alargado demasiado, vuelvo. Bueno, Ya que la…¿duda se le puede llamar? La verdad, los ángulos centesimales los conocí por primera vez documentandome para este artículo, de modo que no creo que nadie los use… Y a no ser que se pueda sobreentender, ser debería indicar que tipo de grados son.
Argus | 23/09/2011 at 01:21 | Permalink

Bueno, ¿y cómo es la demostración de Pitágoras?
Kratso | 25/09/2011 at 01:02 | Permalink

Bueno, sin tener imagenes a mano(ya que era puramente geométrica, vendría a ser algo así: Sea el triángulo ABC, rectángulo en C, con catetos a( $\overline{BC}$ ) y b( $\overline{AC}$ ) e hipotenusa c. El segmento CH es la altura relativa a la hipotenusa, que determina los segmentos a’ y b’, siendo catetos de dos nuevos triángulos rectángulos con catetos ellos y a y b, respectivamente. Los triángulos rectángulos ABC, AHC y BHC tienen sus tres bases iguales: todos tienen dos bases en común, y los ángulos agudos son iguales bien por ser comunes, bien por tener sus lados perpendiculares. En consecuencia dichos triángulos son semejantes.

de la semejanza entre ABC y AHC tenemos que: $\frac{b}{b'}=\frac{c}{b}$ Usando el produxto de medios y extremos: $b^2=cb'$

De la semejanza de ABC y BHC $\frac{a}{a'}=\frac{c}{a}$ Ídem $a^2=ca'$

Sumando ambas igualdades tenemos que: $a^2+b^2=ca'+cb'=c(a'+b')$ Pero como hemos dicho antes a’+b’=c, por ser divisiones de la hipotenusa tenemos que: $a^2+b^2=c(a'+b')=c^2$ Quedando así demostrado. Tambien hay otra usando semejanza entre áreas, pero ahora no la encuentro entre mis apuntes
Ulises | 26/09/2011 at 01:14 | Permalink

Buen artículo