Un amigo me preguntó hace tiempo por el funcionamiento del GPS. ¿Cómo es posible que un cacharro sepa dónde estás? La respuesta habitual es “se lo dicen los satélites”… y bueno, más o menos es cierto, pero podemos profundizar un poco más. Así que, recopilando la información que le conté, escribimos un artículo de El Cedazo y así lo aprende alguien más.

Aunque dedicaremos una líneas al software de navegación, no vamos a centrarnos en describir cómo manejarlo, sino en los aspectos matemáticos de este invento maravilloso.

Sistema de Posicionamiento Global

GPS son las siglas de Global Positioning System (Sistema de posicionamiento global), inventado, desplegado y operado por el Departamento de Defensa de EEUU (DoD, por las siglas en inglés de Department of Defense). El objetivo de dicho sistema al inicio era fundamentalmente militar, utilizado para que las fuerzas armadas, los misiles, los barcos, etcétera pudieran saber dónde estaban. Cualquiera que haya jugado a algún juego de estrategia en el ordenador da por sentado que las unidades están donde dice el mapa, y que con un simple click se puede ordenar a una unidad moverse desde el punto A al punto B, y que llegará al punto B sin error… pues el GPS intentó que eso fuera un poco más verdad también en la vida real. Por ejemplo:

• Saber dónde está cada unidad. Lo primero para poder decidir qué conviene que haga una unidad es saber dónde está (bueno, lo segundo; lo primero es saber si sigue viva, pero eso ya nos lo decía la radio).
• Programar el destino de los misiles. Si el misil en cuestión lleva un GPS y le programas el punto en el que debe impactar… lo lanzas y te desentiendes de él. Se cuenta que con el GPS actual se puede llegar a conseguir precisión suficiente para meter el misil por la ventana del objetivo.
• Programar el movimiento de otros dispositivos robotizados, como aviones espía, robot desactivadores de minas…

Lo que ocurre es que afortunadamente no estamos en guerra continuamente, y rápidamente se vio el potencial de su uso civil. Por ejemplo:

• Saber dónde están los barcos. En alta mar, con nada más que agua alrededor, no hay puntos de referencia con los que guiarse. Si sales de Oporto con dirección a Nueva York y te equivocas en unos pocos segundos de arco, puedes acabar a muchos kilómetros de tu destino. El hombre ha ido mejorando la forma de guiarse en el mar: la brújula, la astronomía, el reloj… pero hoy en día el GPS es obviamente el rey. Probablemente alguno de los propietarios de yates de recreo que se compraron el barco porque podían habrá olvidado lo que aprendió sobre cómo se navega con brújula y estrellas y sería incapaz de volver a puerto si su GPS se quedara sin pilas (y yo tampoco, por supuesto; y no, no tengo yate, si te lo estabas preguntando).
• Saber dónde están los aviones. Aunque desde el cielo es más fácil tener referencias (si estás viendo la Torre Eiffel al norte de ti, ya sabes que no estás sobrevolando Albacete), la velocidad a la que se mueven los aviones hace que sea necesaria mucha más precisión. Y, por supuesto, siempre puedes estar volando por encima de las nubes, o tan alto que no distingas las referencias del suelo o en medio del océano.
• Hacer medidas topográficas, para realizar obras, mapas…
• Experimentos científicos, ecológicos…
• Saber dónde está tu coche (o camión, o autobús) y que un programa muy listo te diga cómo llegar a tu destino por las carreteras y calles.
• Saber dónde estás tú (o mejor dicho, tu teléfono) y aprovecharlo para mil funciones: publicidad contextual, geotagging de fotografías, localización de personas…^[1]

Y más importante aún: los civiles estaban dispuestos a pagar por ello.

Antes de pasar al siguiente epígrafe, un par de cotilleos más. A menudo también se llama NAVSTAR al sistema de GPS, por las siglas de NAVigation SysTem and Ranging (de difícil traducción; sería algo como sistema de navegación y alcance), de modo que si en algún sitio leéis esas siglas, sabed que es lo mismo. Los rusos desplegaron un sistema similar, llamado GLONASS, que tuvo poca repercusión en Occidente, y que además está pasando por un mal momento; los europeos intentan desplegar un sistema parecido, aunque más orientado al uso civil que al militar, llamado Galileo, para evitar depender del sistema americano (o del ruso, ya puestos), pero lleva varios años acumulando retrasos. Incluso hay planes para hacerlos trabajar coordinadamente y cacharros que reciben a la vez varios de estos sistemas para mejorar su medida… aunque hoy por hoy, GPS es el rey.

Triangulación

El corazón del sistema de GPS son 24 satélites que están en órbita alrededor de la Tierra, en órbitas conocidas.^[2] Todos los satélites están trasmitiendo hacia Tierra continuamente la hora… y ya está. De esa forma tan sencilla, funciona todo. Bueno… en realidad es un poco más complicado, y los asuntos de ingeniería que lo acompañan distan de ser triviales, pero ni conozco lo suficiente de ello ni es el objetivo de este artículo.

Para verlo vamos a empezar con un problema simplificado, reduciéndolo a dos dimensiones. Para localizar a una persona en ese mundo tan extraño necesitaríamos dos coordenadas. Podemos representarlo en coordenadas cartesianas, de modo que necesitaremos x e y, o podemos representarlo en coordenadas polares, de modo que necesitaremos la distancia al centro R y el ángulo a respecto a una posición de referencia.

Podríamos pensar que la Tierra es muy grande y las montañas muy pequeñas en comparación, de modo que no necesitamos saber R, porque R es el radio de la Tierra. Aunque es verdad que las montañas son pequeñas respecto al radio de la Tierra, para el uso que queremos darle, no es despreciable. Así que eso no debe distraernos: para conocer nuestra posición, debemos conocer dos parámetros.

En realidad, no vamos a mostrar fórmulas, así que nos dará igual si usamos coordenadas cartesianas o polares, pero sí que debemos tener claro ese punto: la posición se define con dos parámetros.

De modo que supongámonos que desde donde estamos vemos dos satélites:

Si vemos dos satélites y sabemos a qué distancia nos encontramos de ellos, solo necesitamos resolver el sistema de ecuaciones para averiguar cuál es nuestra posición. Por si acaso alguien quiere jugar un poco con las matemáticas de esto, cada ecuación es el teorema del coseno aplicado al triángulo que forman: la línea que une el centro de la Tierra y el satélite; la que une el centro de la Tierra conmigo; y la línea que va del satélite a mí. Es por esto que este sistema se llama “de triangulación”. Si no te apetece pensar en ello, simplemente recuerda que en el colegio veíamos que si tenemos 2 ecuaciones y 2 incógnitas, sabemos resolver el sistema de ecuaciones.

Si lo vemos mejor de forma gráfica, simplemente tenemos que trazar la circunferencia de radio d1 centrada en el primer satélite, la de radio d2 centrada en el segundo satélite, et voilá, donde se crucen, ¡ahí estamos nosotros!

Uhm… vaya… se cruzan en dos sitios. Sí, no pasa nada. Lo que ocurre es que las ecuaciones que decíamos antes son cuadráticas respecto a R, y recordaremos del colegio que las ecuaciones cuadráticas admitían 2 soluciones. De forma gráfica, vemos que una de las soluciones nos sitúa aún más arriba que los satélites, lo cual, teniendo en cuenta que los satélites están en órbita, es imposible. De forma analítica simplemente tendremos dos valores de R como solución; descartamos el mayor de los dos y listo.

El problema es que hemos hecho algunas suposiciones, que hay que ver si eran correctas.

La primera suposición es que sabemos calcular la distancia. ¿Sabemos? Sí, sabemos, porque hemos dicho que los satélites están continuamente transmitiendo la hora. Cuando yo recibo la señal del satélite 1, miro mi propio reloj, resto, y ya sé cuánto ha tardado esa señal en llegar desde el satélite hasta mí. Como sé que esa señal viaja a la velocidad de la luz, multiplico y ya conozco la distancia d1.

La segunda suposición que hemos hecho implícitamente es que sabemos dónde están los satélites. Es decir, para dibujar esas circunferencias tengo que pinchar el compás exactamente en el lugar donde está el satélite. Pues bien, eso tampoco es problema. Conocemos las leyes de la gravitación de Newton, así que saber dónde están los satélites en un momento dado es posible, mirando un almanaque.^[3]

Pero existe una tercera suposición: el tiempo. Estamos suponiendo que todos los relojes, tanto los de los satélites como el mío, están muy bien sincronizados. Pero mucho-mucho. No olvidemos que estamos midiendo señales que viajan a la velocidad de la luz: un desincronismo de unas pocas milésimas de segundo supone un montón de error (kilómetros de error). Así que lo de poner en hora el aparato con la señal horaria de Radio Nacional de España no sirve.

¿Qué podemos hacer? Uhm… podemos suponer que los satélites al menos sí están sincronizados entre sí. ¿Es descabellado? No, no lo es. Primero, porque los satélites llevan unos relojes atómicos superexactos; y segundo porque existen mecanismos para que los satélites se sincronicen entre sí, y ya se ocuparán los ingenieros del DoD de hacerlo.

Aún nos queda la incógnita de nuestro propio reloj. Si no sabemos qué hora es realmente, difícilmente vamos a poder hacer la resta con la hora que nos está enviando el satélite para calcular el retardo… Vaya… no solo las dos coordenadas espaciales son incógnitas del sistema de ecuaciones, sino que el tiempo también lo es. Tenemos un sistema de 2 ecuaciones con 3 incógnitas… si tuviéramos una ecuación más… ¡Un momento! ¿Quién dice que no podamos tenerla? Estamos diciendo que el sistema de GPS lo componen 24 satélites. Difícil será que solo estemos recibiendo la señal de 2 de ellos. Si cogemos la señal de un tercer satélite, ahora ya tenemos un sistema de 3 ecuaciones y 3 incógnitas: R, a y t.

Lo único que nos queda por hacer es convertir ese dibujo bidimensional en la Tierra tridimensional, pero visto el truco anterior, la solución es trivial: necesitamos un satélite más. Si vemos 4 satélites, tenemos 4 ecuaciones. Como tenemos 4 incógnitas (latitud, longitud, altura y tiempo), podemos resolver el sistema.

Colateralmente, acabamos de describir cómo el sistema de GPS nos sirve no solo para averiguar dónde estamos con precisión de metros, sino también qué hora es, con precisión de nanosegundos. Para procedimientos que necesiten una sincronización buena y barata, usar un GPS es una alternativa muy útil, incluso aunque la posición sea conocida o irrelevante. Pensad en operaciones bancarias que deban ir con marca de tiempo, experimentos científicos…

Corrección de error

Desafortunadamente, las cosas no son tan sencillas. Por nombrar algunas, tenemos al menos las siguientes fuentes de error:

• Los relojes de los satélites pueden no estar perfectamente sincronizados.
• Las órbitas de los satélites pueden no ser perfectamente conocidas (a pesar de que existen métodos, como por ejemplo el AGPS, para tener el almanaque actualizado).
• La transmisión de la señal desde el satélite hasta el receptor no es en el vacío. Las distintas capas de la atmósfera, así como los efectos meteorológicos pueden distorsionarla o frenarla.
• La señal puede venirnos rebotada de edificios o montañas, de modo que no estamos midiendo la línea recta que nos une al satélite.

Si solo estuviéramos recibiendo la señal de 4 satélites, no podríamos hacer mucho más (aunque algo sí, ya lo veremos en los siguientes epígrafes), pero como estamos recibiendo muchos más (ver el dibujo más arriba), en realidad tenemos un sistema con 4 incógnitas y entre 6 y 10 ecuaciones. Los matemáticos saben cómo enfrentarse a eso, utilizando el exceso de ecuaciones para lograr mayor exactitud en el resultado. Es como si, cuando tenemos 6 ó 7 valores de algo, tomamos la media y decimos que el resultado bueno-fetén es la media. Pues esto es algo parecido en esencia, aunque un poco más complicado en los cálculos.

Así que en realidad, con 4 satélites podríamos saber dónde estamos y qué hora es, y todos los que veamos por encima de 4 nos ayudarán a reducir el error. Bien.

GPS civil y GPS diferencial

Como decíamos, el GPS es un sistema fundamentalmente militar, de modo que a los militares responsables les da un poco de miedo que los enemigos de EEUU puedan utilizar el GPS en su contra. Si tú eres un enemigo de EEUU y quieres usar la tecnología de GPS solo necesitas irte a cualquier tienda del ramo, comprar un centenar de receptores de GPS y tus tropas ya pueden disfrutar de las ventajas del GPS, igual que las americanas.

Para evitar eso los militares estadounidenses introducen una distorsión arbitraria en la señal de GPS, y la van cambiando de vez en cuando. Así, quienes conocen cuál es esa distorsión artificial de ese momento pueden corregirla, y no les afecta. Quienes no la conocen, reciben una señal distorsionada (se suele decir que reciben pseudo-ruido), por lo que su precisión disminuye. Este mecanismo se conoce como Disponibilidad Selectiva (en inglés, SA, Selective Availability).

La “intensidad” de esa distorsión parece ser configurable, de modo que dependiendo de si los EEUU están en guerra o no, la ponen más alta o más baja. En tiempo de paz, parece que la “distorsión por defecto” es tal que reduce la precisión del sistema al orden de decenas de metros (recordemos que quienes conocen la distorsión, siguen obteniendo la precisión máxima).

¿Cuál es el truco para defenderse de eso? El GPS diferencial. Si nos fijamos, todo el mecanismo de reducción de la precisión se basa en que los no-amigos no conocen cuál es esa distorsión artificial. Si la conocieran, obtendrían también la precisión máxima.

Así que lo que se hace es poner en tierra una estación cuya posición es conocida, y que recibe y decodifica la posición GPS basándose en la señal distorsionada. Pero, amigo, es que la posición de esa estación en tierra es conocida, de modo que es capaz de deducir cuál es la distorsión que se está introduciendo en la señal. Ya solo tiene que transmitírsela a sus “clientes”, por ejemplo a través de Internet o de una radio FM o incluso por otros satélite, y ya pueden disfrutar de las ventajas de la señal de GPS no-distorsionada. Es lo que se conoce como GPS Diferencial o DGPS.

Debido a que estos mecanismos hacían inútil la distorsión, el DoD la eliminó a principios de siglo, aunque obviamente podría volver a ponerla. Esto no convierte en absolutamente inútil el DGPS, porque aún puede servir para corregir otras fuentes de errores (órbitas, atmósfera…), llegándose a alcanzar precisiones de unos pocos centímetros.

No sé cuál es el límite de este DGPS, pero alguno debe de haber, porque se sigue diciendo que cuando los EEUU entran en guerra en algún sitio “apagan” el GPS en esa zona. Pero eso ya se me escapa. Si alguien tiene más información, que la comparta y la añadimos aquí.

Mapas y software

Así que ya “solo” queda utilizar esa información.

En nuestra vida cotidiana, el uso más habitual es el de asistente de conducción. Sabemos dónde estamos, le decimos a dónde queremos ir y nos calcula la mejor ruta, además de ir avisándonos por el camino de los giros que tenemos que hacer, los puntos de radar…

Ni que decir tiene que para este uso, el disponer de una cartografía buena y actualizada es primordial. Hoy, con servicios gratuitos como Google Maps o Sigpac o muchos otros nos parece que es trivial, pero no hace demasiado tiempo que esos mapas tan detallados simplemente no existían. Y cuando existían, no eran para uso civil. Y cuando eran para uso civil, eran carísimos.

Por otro lado, ya que tenemos ese software potencialmente tan listo, podemos aprovecharlo para hacer alguna cosilla más.

Por ejemplo, es muy habitual que nuestro reloj sea muy bueno. No tan bueno como los relojes atómicos de los satélites, pero vaya, razonablemente bueno. Así que, una vez sincronizado, podemos suponer que no se desincroniza demasiado deprisa, y por lo tanto el tiempo ya no es una incógnita. Podemos aprovechar ese satélite de más, esa ecuación de más que ahora nos sobra, para refinar aún más la posición.

Pero aún hay más: si estamos usando un asistente a la conducción… es porque vamos conduciendo. Podemos suponer que vamos por una carretera, y no campo a través; que no vamos a más de 140km/h (bueno… digamos 300km/h, que alguno hay); que no nos movemos bruscamente hacia arriba o hacia abajo, solo hacia los lados; y podemos utilizar toda esa información para refinar aún más la medida.

Al final el resultado es que el Tomtom (uy, perdón, se me escapó una marca) sabe dónde estamos con precisión de 1m.

1. Si se os ocurre algún servicio nuevo, nos lo contáis, a ver si nos forramos. [↩]
2. Creo que teóricamente hay alguno más de reserva, pero parece que por recortes presupuestarios esto cada vez es menos cierto. [↩]
3. Pedro nos hace notar que, aunque parezca increíble, los efectos relativistas no son despreciables del todo, así que no solo vale con Newton: hay que tener en cuenta también a Einstein. [↩]