Hoy publicamos por fin la solución y los finalistas y ganador del desafío de la pendiente infinita que planteamos hace unas tres semanas. La primera pregunta del desafío era relativamente sencilla: ¿cuál es la expresión del ángulo $\theta$ que forma la dirección de movimiento del objeto con la dirección “cuesta abajo”?

La relativa sencillez se debía, sobre todo, al hecho de que aunque no conocemos esa expresión sí sabemos su valor inicial y su valor al cabo de un tiempo muy largo. Inicialmente se nos indicaba que la dirección era perpendicular a la “cuesta abajo”, luego $\theta(0) = 90 ^{\circ}$, y el ángulo tiende, según pasa el tiempo, a hacerse más y más pequeño, hasta que en el límite de un tiempo infinito alcanza el valor $\theta(\infty) = 0 ^{\circ}$. De modo que, tras obtener una expresión del ángulo en función del tiempo, era posible al menos –aunque no asegurase que la respuesta fuese correcta– comprobar que sus valores para un tiempo nulo y un tiempo muy grande fuesen los correctos.

Muchos de vosotros habéis respondido correctamente a esta pregunta, que era el requisito para recibir la segunda. Sin embargo, algunos habéis explicado el proceso estupendamente bien. Una explicación clarísima es la de uno de los finalistas, José Manuel:

Antes de nada, realizamos un esquema de la situación y hallamos la expresión del ángulo θ. En mi caso he llamado V_X a la velocidad en el sentido de la pendiente y V^Y a su perpendicular en el plano. Recordemos que el objeto tiene una velocidad inicial V₀ precisamente en la dirección Y.

$tan \theta = \frac{V_Y}{V_X} \Rightarrow \theta = atan \frac{V_Y}{V_X}$

En el caso ideal en el que no hay rozamiento, ni con la superficie ni con el aire, ambas velocidades pueden analizarse de manera totalmente independiente. ¿Por qué? Echemos un vistazo a las fuerzas que entran en juego:

Como vemos, las únicas fuerzas sobre el cuerpo son la de la gravedad F_G (descompuesta en las componentes X y Z) y la fuerza normal N, que es la que ejerce el plano sobre el cuerpo e impide que éste lo atraviese. Sin rozamiento, no existe ninguna fuerza en el eje Y. La normal y la componente de la fuerza de la gravedad se anulan en Z, de modo que la única fuerza resultante es la componente del peso en X. Es algo similar a lo que ocurre cuando se estudia un tiro parabólico: se considera la composición de dos movimientos, uno con velocidad constante y otro perpendicular, uniformemente acelerado.

Hallamos, por tanto, la fuerza resultante en X. Basta con conocer la expresión de la fuerza de la gravedad y hallar su proyección. Siendo m la masa del objeto y g la aceleración de la gravedad:

$F_G = mg \Rightarrow F_X = mg \sin \alpha$

Aplicamos la Segunda Ley de Newton:

$F_x = a_X m \Rightarrow a_x = \frac{F_X}{m}$

Ahora, dado que sólo existe una fuerza constante en esa dirección, estamos ante un movimiento uniformemente acelerado. Como además la velocidad inicial en esta dirección es nula:

$V_X = a_X t$

De manera que:

$V_X = g (\sin \alpha) t$

Como puede verse, la velocidad en X es independiente de la masa. Supongo que Galileo asentiría satisfecho.

La velocidad en el eje Y la conocemos desde el principio. Si, como hemos dicho, no hay fuerzas aplicadas en este eje, el cuerpo se seguirá moviendo en esta dirección con su velocidad inicial (Primera Ley de Newton).

$V_Y = V_0$

Por tanto ya tenemos ambas velocidades. θ queda:

$\theta = atan \frac{V_0}{g(\sin \alpha) t}$

Si quieres leer la solución de José Manuel con calma y con el formato original, que es mejor que el que yo muestro aquí, puedes descargarla aquí: Solución JM.

Quienes contestásteis correctamente a esta pregunta recibísteis la segunda parte, que era así:

Considera la siguiente modificación al problema: la situación es igual que antes, pero ahora hay rozamiento. El coeficiente dinámico de rozamiento con el plano inclinado es mu = tg30º (la tangente de 30º, si no se lee bien). Y la pregunta es – ¿cuál será el valor del ángulo theta al cabo de un tiempo muy, muy largo (puedes considerarlo infinito)?

Aquí es, por cierto, donde dudé entre esta pregunta y otra y al final metí la pata y os dije que teníais la respuesta mal a muchos que la teníais bien… burro que es uno. El caso es que la respuesta a la pregunta era que el ángulo tiende al mismo valor que antes, es decir, cero grados: el objeto termina moviéndose exactamente en la misma dirección que sin rozamiento, en dirección “cuesta abajo”.

Antes de incluir la respuesta de algún finalista, una nota que puede serviros a quienes respondisteis mal: la fuerza de rozamiento se dirige siempre en contra del movimiento. Algunos escribísteis la expresión de la fuerza de rozamiento en la dirección cuesta abajo y no en la perpendicular, y algunos la incluisteis en ambas pero con valor $5m$ en cada una, pero tanto una cosa como la otra está mal.

De hecho el problema con esta segunda pregunta era que, dado que la dirección de movimiento del cuerpo cambia con el tiempo, la dirección de la fuerza de rozamiento también lo hace, de modo que sus componentes X e Y sobre el plano tienen expresiones que varían en el tiempo según la velocidad del objeto gira. El módulo de la fuerza de rozamiento es constante, pero su dirección no.

Observa que en este caso no se pedía, como en la primera pregunta, la expresión de θ en función del tiempo, sino simplemente su valor en el límite de un tiempo infinito. Era posible razonar como hizo el segundo finalista, Bevender:

Si $\mu$ es tg30º, entonces la fuerza de rozamiento es $\mu$Normal= tg 30º cos 30º10 m/s^2masa=5m newtons.

Casualmente el modulo de la fuerza de rozamiento y la fuerza de caída hacia abajo son el mismo(5*masa newtons). [Nota del editor: De casualmente nada, era a propósito, como veréis en la tercera pregunta que se basaba en ésta]. Sin embargo, la dirección es distinta, al menos al principio, pues la fuerza de rozamiento es paralela al movimiento con sentido contrario.

Hallar el vector fuerza de rozamiento en mis coordenadas 2d, equivale a hallar 5*m(cos θ, sen θ), donde θ es el ángulo que forma el movimiento. ¡Incluido el efecto del rozamiento!

Yo no se hacer eso. Pero si veo claro que mientras el cuerpo se mueva en dirección “ no cuesta abajo”, la fuerza de rozamiento seguirá desgastando a la componente OY paralela a la velocidad original v0, mientras que la componente OX seguirá teniendo una aceleración positiva. F.caída +F.rozamiento = (5m-5mcosθ,-5msenθ)

Al menos mientras θ sea estrictamente mayor que cero.

Por pequeño que sea θ, si es mayor que cero, al segundo siguiente será aun menor, y el movimiento se ira volviendo cada vez mas cuesta abajo. Y ahí veo dos opciones:

O no se alcanza el cero, pero por lo dicho en el párrafo anterior el limite es cero. O se alcanza el θ=0, con lo que las fuerzas se compensan y nuestro movimiento se convierte en un movimiento de velocidad uniforme ( aceleración cero).

En cualquier caso, el objeto acabaría deslizandose “cuesta abajo” a velocidad constante ( o eso parecería a cualquiera que mirara suficiente rato).

Finalmente, a quienes respondísteis correctamente a esta pregunta os llegó la tercera:

Efectivamente, tras muy largo tiempo el objeto se mueve completamente “cuesta abajo” y el ángulo es 0. Ahora te digo algo yo (aunque me gustaría que pudieras demostrármelo, si bien no es parte del desafío): tras ese muy largo tiempo la velocidad será constante. Y la pregunta final es: ¿cuál es esa velocidad constante tras largo tiempo?

Esta pregunta era mucho más puñetera que la anterior, porque de intentar obtener una expresión de la velocidad en función del tiempo se obtenía un monstruaco aterrador. Ante ese horror había dos opciones: una era utilizar el análisis numérico (un programa de ordenador hecho en casa, una hoja de cálculo, etc.), y la otra era darse cuenta de algo muy curioso e importante y actuar en consecuencia.

Los dos finalistas cuyas soluciones he mostrado, Bevender y José Manuel, utilizaron aproximaciones numéricas, y ambos obtuvieron la respuesta correcta de ese modo: la velocidad a la que tiende el objeto es la mitad de la velocidad con la que empezó.

Pero hay una demostración analítica elegantísima, que es la que ha obtenido el equipo ganador, formado por Mmonchi y su hija. Como un Max Planck cualquiera, Mmonchi obtuvo numéricamente la misma solución que los finalistas, e imagino que como ellos se sorprendió de la aparente casualidad de que la velocidad final fuera la mitad de la inicial. Pero, como pensaba Planck, hay pocas casualidades en Física.

De modo que Mmonchi volvió a mirar el problema y encontró la demostración elegante que os dejo aquí. La explicación de la solución no es suya, por cierto, sino de su hija, cuyo nombre no me atrevo a poner aquí porque se me ha olvidado pedirle permiso a él. Suerte, por cierto, para su examen –su padre malévolo utilizó el desafío como entrenamiento para ese examen, demostrando así la dureza de su corazón–.

La negrita de énfasis es mía porque esa frase es la que debería hacer “encendido de bombilla” en quienes casi llegasteis a esto:

En la segunda parte tenemos un cuerpo que recibe dos fuerzas paralelas a la superficie del plano. La primera fuerza es correspondiente a la gravedad que actúa en la dirección cuesta abajo. Esta es igual a: m·a·sen30º=5m. La segunda fuerza es correspondiente al rozamiento que actúa en dirección contraria al movimiento (V(t)), que forma un ángulo θ(t) con la pendiente. Vale tg30º·N·cos30º=10m·sen30º, que es igual a 5m.

La fuerza “cuesta abajo” (Fca) es igual a la fuerza en dirección a la velocidad (Fv), por lo cual la aceleración del cuerpo se puede dividir en dos aceleraciones de igual valor. Una en la misma dirección de Vca, y otra en dirección contraria a V.

La velocidad Vca(t) después de un intervalo Δt será igual a Vca(t+Δt)=Vca(t)+aΔt, y la de V(t) será igual a V(t+Δt)=V(t)-aΔt. Estas dos aceleraciones son iguales, por lo cual aΔt=Vca(t+Δt)-Vca(t)=V(t)-V(t+Δt). De ahí llegamos a V(t)+Vca(t)=V(t+Δt)+Vca(t+Δt), que significa que la suma de V y Vca es constante.

Como en el instante inicial V(0)=V0, y Vca(0)=0 también, tenemos que V+Vca=V0.

Sabemos por trigonometría que Vca=Vcosθ. De ahí llegamos a que V+Vca=V+Vcosθ=V(1+cosθ)=V0, y de ahí que V=V0/(1+cosθ).

Queremos saber a qué valor tiende el ángulo θ. Para ello tomo como origen de coordenadas un punto que se desplaza cuesta abajo manteniéndose a la altura del cuerpo. El cuerpo se desplaza por ese eje X con una velocidad inicial (V0), y se va frenando en su movimiento, ya que hay rozamiento. Como no hay nada que haga aumentar su velocidad y va frenando, la velocidad tiende a 0. Después de un tiempo suficientemente grande la velocidad en el eje X será poco apreciable frente a la velocidad cuesta abajo, por lo que el ángulo que formará la velocidad total con la dirección cuesta abajo tenderá a 0.

Por tanto, tras un tiempo muy largo la velocidad será V=V0/(1+cos0)=V0/2.

Podéis leer la explicación completa, que incluye la respuesta a la primera pregunta, aquí.

Espero que os hayáis divertido como bellacos luchando con este desafío, y que recordéis que lo importante no es llegar a la solución correcta sino darle a las células grises. Enhorabuena a los finalistas y los ganadores, ¡y hasta el próximo desafío!