El Tamiz

Antes simplista que incomprensible

Los Discorsi de Galileo - Primer día (VII)

Hoy recuperamos, tras siete largos años, la traducción comentada de la deliciosa obra de Galileo Galilei Discorsi e dimostrazioni matematiche, intorno a due nuove scienze (Discursos y demostraciones matemáticas en torno a dos nuevas ciencias), el libro en el que fundó la cinemática y el estudio de la resistencia de materiales. Como veréis si ya conocíais la serie, he puesto colores a los participantes en los Discorsi, para que sea más fácil diferenciar quién dice qué. He hecho lo mismo con todas las entregas anteriores, además de corregir y aclarar cosas que habéis apuntado en los comentarios. También he creado página propia para la serie, que no la tenía.

En este primer día en el que somos testigos, a través de la pluma del divino italiano, del diálogo entre Sagredo, Salviati y Simplicio, nuestros amigos han hablado ya sobre el vacío, teoría de números, la cohesión de los materiales y muchas cosas más. Hayas seguido esta serie desde el principio o no, te recomiendo –ya que hace tanto tiempo que se publicó la última entrega– que la leas desde la presentación de la serie.

Como siempre, dejo la última parte de la conversación para seguir el hilo más fácilmente:

Salviati – También la exquisita transparencia del agua apoya esta idea; porque el cristal más transparente, al ser roto y triturado y reducido a polvo, pierde su transparencia, y cuanto más fino el triturado, mayor la pérdida. Pero en el caso del agua, cuanto mayor es la división, mayor es la transparencia. El oro y la plata, al ser pulverizados usando ácidos hasta una finura mayor que la que es posible con la lima más fina, permanecen siendo polvos, y no se convierten en fluidos hasta que las partículas más pequeñas, indivisibles, del fuego o de los rayos solares los disuelven, según creo, en sus constituyentes últimos, indivisibles e infinitamente pequeños.

Lo importante de este fragmento es el final, porque Galileo va a hacer un cambio de tercio. Ha hablado de la tensión, del vacío, del infinito, y ahora va a conectar el concepto de infinito con la naturaleza de la luz.

Sagredo – Este fenómeno luminoso que mencionas lo he notado muchas veces con sorpresa. Por ejemplo, he sido testigo de la fusión instantánea del plomo utilizando un espejo cóncavo de tan solo tres manos de diámetro. Por lo tanto creo que si el espejo fuera muy grande, muy bien pulido y de forma parabólica, podría fundir de igual manera cualquier otro metal, ya que aquel espejo pequeño, que no estaba bien pulimentado y tenía forma esférica, era capaz de derretir plomo tan enérgicamente y quemar cualquier sustancia combustible. Efectos como este me hacen creer las maravillas conseguidas por los espejos de Arquímedes.

La leyenda dice que Arquímedes, cuando la flota romana liderada por Marco Claudio Marcelo atacó Siracusa en 212 a.C., utilizó uno o varios espejos de bronce pulido para quemar las naves romanas. Digo leyenda porque no está nada claro que realmente sucediera, y experimentos modernos que han intentado reproducir la hazaña han fracasado.

El espejo de Arquímedes
Los cañones de Arquímedes, de William Swayne (1870).

Lo que sí es cierto es que tenemos multitud de relatos sobre espejos y conjuntos de espejos parabólicos que enfocaban la luz solar hasta alcanzar altas temperaturas, y todo esto era conocido perfectamente en el siglo XVII. Pero mi impresión es que todo esto no es más que un divertimento para llegar a lo que, para Galileo, es el objetivo de este segmento de discusión.

Salviati – Hablando de los efectos producidos por los espejos de Arquímedes, fueron sus libros (que ya había leído y estudiado con absoluto asombro) los que me convencieron de la plausibilidad de todos los milagros descritos por autores diversos. Y si me quedaba alguna duda, el libro que el Padre Buenaventura Cavalieri ha publicado recientemente sobre el asunto del espejo ardiente, y que he leído con admiración, las eliminaría todas.

Cavalieri era un clérigo italiano, conocido sobre todo como matemático. Pero cuando Galileo escribía los Discorsi, el mundo científico italiano estaba maravillado (y por eso Galileo habla de él) con el primer libro de Cavalieri, publicado en 1632: Lo Specchio Ustorio, overo, Trattato delle settioni coniche (El espejo ardiente, o Tratado de las secciones cónicas).

Lo Specchio Ustorio
Diagramas de Lo Specchio Ustorio, de Cavalieri (1632).

El libro empieza hablando sobre la supuesta hazaña de Arquímedes y sus espejos pero fue mucho más allá: exploró las curvas cónicas y aprovechó el comportamiento de la luz al reflejarse en espejos hiperbólicos, parabólicos y esféricos para estudiar esas curvas matemáticas. En el libro se plantea también la posibilidad de que la luz viaje a velocidad finita y no se propague instantáneamente, y es ahí (tal vez tras leer el libro) donde Galileo quiere llegar.

Sagredo – Yo también he visto ese tratado y lo he leído con placer y sorpresa; y, dado que conozco al autor, confirmó la opinión que ya tenía sobre él, que está destinado a ser uno de los matemáticos más importantes de nuestra era [efectivamente, así sería]. Pero ahora, respecto al sorprendente efecto de los rayos solares fundiendo metales, ¿debemos creer que una acción tan violenta está desprovista de movimiento, o que está asociada a un movimiento rapidísimo?

Salviati – Observamos que otras combustiones y cambios están acompañados de movimientos muy rápidos. Fíjate en la acción del rayo y de la pólvora que se usa en minas y petardos. Fíjate también en cómo la llama del carbón, a pesar de estar mezclada con vapores pesados e impuros, aumenta su capacidad de fundir metales cuando se anima mediante un fuelle. Por lo tanto no veo cómo la acción de la luz, por pura que sea, puede estar desprovista de movimiento, y además del más furioso.

Sagredo – ¿Pero de qué tipo y magnitud debemos considerar esta velocidad de la luz? ¿Es instantánea o requiere, como otros movimientos, tiempo? ¿No podríamos determinarlo mediante experimentos?

Aquí es cuando llegamos, por fin, a la cuestión profunda e interesantísima que quiere plantearnos Galileo: ¿se propaga la luz a una velocidad infinita? Si eres un viejo del lugar ya has leído el artículo tripartito que dedicamos a esto en Hablando de… al hacerlo sobre la naturaleza de la luz. Allí mencioné el experimento planteado por Galileo para determinar esto, y ahora vas a leer la fuente primaria, el texto del propio italiano describiendo ese experimento. Se me ponen los pelos de punta.

Simplicio – La experiencia cotidiana muestra que la propagación de la luz es instantánea; ya que, cuando vemos una pieza de artillería disparar a una gran distancia, el fogonazo alcanza nuestros ojos sin que transcurra tiempo alguno, mientras que el sonido alcanza nuestros oídos después de un intervalo notable.

Como siempre, el pobre Simplicio plantea el argumento que Galileo considera estúpido, y nos protege contra él ofreciendo a Simplicio como ejemplo para quitárnoslo de la cabeza: una cosa es que sea evidente que el sonido tarda tiempo en alcanzar nuestros oídos, primero porque su velocidad no es muy rápida de manera absoluta, y segundo porque hay otro fenómeno que es mucho más rápido –pero no necesariamente infinitamente rápido– para poder compararlo. Pero Galileo lo dice mucho más elegantemente que yo:

Sagredo – Bueno, Simplicio, lo único que puedo deducir de este fenómeno cotidiano es que el sonido viaja, hasta alcanzar nuestro oído, más despacio que la luz. No me indica si el movimiento de la luz es instantáneo o si, aunque sea extremadamente rápido, requiere algo de tiempo. Una observación de este tipo no nos dice nada más que una que afirme que “tan pronto como el Sol aparece en el horizonte su luz llega a nuestros ojos”. ¿Pero quién puede asegurarme que esos rayos no habían alcanzado este límite antes de llegar a nuestra visión?

Salviati – La falta de conclusión clara de esta y otras observaciones similares me llevó una vez a diseñar un método mediante el cual podría determinarse con precisión si la iluminación (es decir, la propagación de la luz) es realmente instantánea. El hecho de que la velocidad del sonido sea tan grande como es nos asegura que el movimiento de la luz no puede dejar de ser enormemente rápido. El experimento que diseñé consistía en lo siguiente:

Antes de leer la maravillosa idea de Galileo, permite que haga énfasis en lo dificilísimo que quiere conseguir. ¿Cómo medir la velocidad de un fenómeno que es más veloz que cualquier otro conocido? A diferencia del sonido que decíamos antes, aquí no hay referencia alguna de otro fenómeno más rápido. Por eso me asombra el genio experimental del italiano, al concebir un experimento de una sencillez sorprendente y –salvo por la mala fortuna de que la velocidad de la luz es muchísimo mayor de lo que podría haber medido– que, en teoría, debería haber funcionado.

Dispóngase a dos personas con una luz cada una, contenida en una linterna u otro receptáculo, de modo que sea posible cubrir o descubrir la luz con la mano. Hágase entonces que ambos se sitúen mirándose mutuamente a una distancia de unos cuantos codos, y que practiquen hasta que adquieran la suficiente práctica en cubrir y descubrir sus linternas, de modo que en el momento en el que uno de ellos ve la luz de su compañero descubra la suya. Después de unas cuantas pruebas, la respuesta será tan rápida que sin una variación sensible el descubrir de una luz se sigue inmediatamente del descubrir de la otra, de modo que tan pronto como uno de ellos descubre su luz verá la del otro.

Habiendo adquirido práctica a esta corta distancia, hágase que los dos experimentadores, equipados como antes, se separen hasta una distancia de dos o tres millas, y que realicen el mismo experimento de noche, observando cuidadosamente si la iluminación y apagado de las luces se producen de igual manera que a distancias más cortas. Si es así, podrán concluir que la propagación de la luz es realmente instantánea; pero si se requiere cierto tiempo a una distancia de tres millas que, considerando la ida de la luz de una linterna y la venida de la otra, realmente equivale a seis, entonces el retraso debería ser fácilmente observable.

Si se realiza el experimento a distancias aún mayores, podrían utilizarse telescopios, de modo que cada observador prepare uno en el lugar en el que va a realizar el experimento por la noche. Así, aunque las luces no sean grandes y por tanto sean invisibles a simple vista a tan gran distancia, podrán cubrirlas y descubrirlas ya que, con la ayuda de los telescopios –una vez calibrados y fijados– se harán claramente visibles.

Sagredo – Este experimento me parece inteligente y fiable. Pero dinos a qué conclusiones llegaste con los resultados.

Sospecho, aunque no lo sé, que Galileo realmente sí realizó los experimentos mencionados. El problema es que conseguir una distancia suficiente es muy, muy difícil, ya que requiere de una línea recta entre ambas linternas, y la propia curvatura de la Tierra –y el hecho de que el aire no es completamente transparente además– limita mucho la distancia máxima.

Conocida la velocidad real de la luz, para una distancia de tres millas, el tiempo necesario para el viaje de seis millas de la luz –tres de ida y tres de vuelta– sería de unas treinta y dos millonésimas de segundo. Absolutamente imposible de medir, y más aún teniendo en cuenta los errores (que el italiano descarta con cierta ingenuidad tras la supuesta práctica de los dos observadores) que se cometerían simplemente por el tiempo de reacción del ser humano.

Visto al revés, para que el tiempo de ida y vuelta fuese algo razonable considerada nuestra capacidad de reacción, digamos que una décima de segundo, la distancia entre ambas linternas debería haber sido gigantesca: en una décima de segundo la luz recorre 30 000 kilómetros, luego las linternas tendrían que haber estado separadas 15 000 kilómetros… ¡alrededor del 40% de la circunferencia de la Tierra! Pero Galileo nunca llegó a realizarlo a distancias demasiado grandes por los problemas prácticos del experimento.

Salviati – De hecho, he llevado a cabo el experimento únicamente a corta distancia, menos de una milla, y con eso no he sido capaz de determinar con certeza si la aparición de la luz opuesta era instantánea o no; pero si no es instantánea es extraordinariamente rápida – podría llamarla momentánea. Y por ahora la compararé al movimiento que vemos en el rayo entre nubes a ocho o diez millas de distancia de nosotros. Vemos el comienzo de esta luz –su fuente– situada en un lugar determinado entre las nubes; pero inmediatamente se expande a las nubes circundantes, lo cual parece sugerir que se requiere cierto tiempo para su propagación. Porque, si la iluminación fuera instantánea y no gradual, no deberíamos ser capaces de distinguir su origen –su fuente, por así decirlo– de las regiones exteriores.

¡En qué océano estamos sumergiéndonos poco a poco sin darnos cuenta! Con vacíos, infinitos, indivisibles y movimientos instantáneos, ¿podremos alguna vez, incluso después de mil discusiones, alcanzar tierra firme?

Creo que aquí Galileo demuestra, incluso en el fracaso experimental, su genio. Concluye, acertadamente, que el experimento no determina que lo que llama iluminación (el proceso por el que la luz se propaga por el espacio) sea instantáneo, sino que o bien lo es, o bien es rapidísimo –que es la respuesta correcta, claro–.

Curiosamente (y tal vez no por casualidad), el método que empleó Hippolyte Fizeau en 1849, unos dos siglos después de la publicación de los Discorsi, para determinar con gran precisión la velocidad de la luz, fue casi idéntico al propuesto por Galileo, pero solventando los obstáculos que no pudo el italiano.

Experimento de Fizeau
Experimento de Fizeau (Theresa Knott/CC BY-SA 3.0).

El francés lo mejoró al hacer necesarios una sola fuente luminosa y observador utilizando un espejo al otro lado, y empleando una rueda de engranajes para tapar y mostrar la luz, eliminando el factor humano y resolviendo el problema de la precisión de un plumazo. Como suelen decir, sobre hombros de gigantes… Si quieres leer más en detalle el método de Fizeau puedes hacerlo aquí.

En el caso del relámpago, su conclusión me parece también genial, aunque equivocada. Es cierto que si somos capaces de distinguir dónde empieza y dónde termina un fenómeno –como sucede al mirar un relámpago con atención– eso significa que el fenómeno no es instantáneo. El problema es que, en época de Galileo, no conocíamos la naturaleza real de los rayos (algo de lo que hablamos en los albores de El Tamiz). Lo que se percibe como un avance del rayo no es el movimiento de la luz, sino que constituye el avance de la ionización del aire, y eso tiene una velocidad muchísimo menor que la de la luz.

Rayo entre nubes
Rayo entre nubes como los que menciona Galileo (Griffinstorm/CC CY-SA 4.0).

Sagredo – En verdad estos asuntos están más allá de nuestro alcance. Pensadlo: cuando buscamos el infinito entre los números lo encontramos en la unidad; lo que es infinitamente divisible está formado por indivisibles; el vacío está conectado inseparablemente con la plenitud; de hecho las concepciones más comunes sobre la naturaleza de estos asuntos son tan erróneas que incluso la circunferencia de un círculo resulta ser una línea recta infinita, un hecho que, si mi memoria no me falla, tú, Salviati, ibas a demostrar geométricamente. Por favor, procede a hacerlo sin más digresiones.

Llegamos a una breve pausa de recapitulación, en la que Galileo nos recuerda cómo están conectadas las ideas exploradas hasta ahora. Y, tras hablar brevemente sobre la velocidad de la luz, volvemos ahora a la geometría. Y, antes de eso, un par de comentarios.

El primero: toda esta demostración que viene es farragosa, y realmente no muy importante. Por eso, si es la primera vez que lees esto o no te apetece meterte en mucho detalle, no pasa nada si te la saltas. Pondré una línea de asteriscos al final, para que puedas evitar los detalles.

El segundo: realmente me ha costado la demostración porque no le veía mucho sentido. Entiendo que el italiano demuestra lo que quiere demostrar, ¡pero no entiendo el objetivo! Creo que tiene que ver con lo de que una línea recta es equivalente a una circunferencia de radio infinito, pero por un lado no veo que esta sea la mejor manera de demostrarlo, y por otro echo de menos que se nos diga explícitamente al terminar la demostración que era eso lo que intentaba el italiano. Por que si no era así, ¿qué pretendía? ¿Alguien tiene alguna idea?

Salviati – Estoy a vuestro servicio. Pero, en servicio de la claridad, permitid que hable primero sobre el siguiente problema: dada una línea recta dividida en dos partes desiguales en proporciones cualesquiera entre ellas, lograr obtener una circunferencia tal que dos segmentos trazados desde los extremos de la línea dada a cualquier punto de la circunferencia estarán en la misma proporción entre ellas que los dos segmentos de la línea dada, de modo que esos dos segmentos trazados del mismo extremo son homólogos. Sea AB la línea dada, dividida en dos segmentos desiguales por el punto C.

Como las figuras de Galileo a veces acaban siendo un poco liosas, permite que vaya resaltando de lo que habla en cada paso:

Discorsi día 1 VII 1

El problema consiste entonces en describir una circunferencia tal que dos segtmentos trazados desde los extremos A y B de esa línea hasta cualquier punto de la circunferencia estén en la misma proporción entre ellos que la existente entre AC y BC, de modo que segmentos trazados desde los mismos extremos sean homólogos. Se traza una circunferencia con centro en C y radio el segmento más corto de los dos originales, en este caso CB. Desde A se traza el segmento AD que es tangente a esa nueva circunferencia en el punto D, y se prolonga indefinidamente. Se marca el radio CD, que es perpendicular a AE.

Discorsi día 1 VII 2

En B se traza una línea perpendicular a AB; esta perpendicular cortará a la recta AE en algún punto, ya que el ángulo en A es agudo. Llamemos a este punto de intersección E, y desde él se traza una perpendicular a AE, que cortará a la prolongación de AB en el punto F.

Discorsi día 1 VII 3

Ahora bien, los segmentos FE y FC son iguales. Porque si unimos E y C tenemos dos triángulos, DEC y BEC, en los que los lados DE y EC de un triángulo son iguales que dos lados del otro, BE y EC, ya que DE y EB son tangentes a la circunferencia DB mientras que las bases DC y CB son tambén iguales; por tanto los ángulos DEC y BEC son iguales. Pero dado que el ángulo BCE se diferencia del ángulo recto por el ángulo CEB, y el ángulo CEF también se diferencia del ángulo recto por el ángulo CED, y como estas diferencias son iguales, se deduce que el ángulo FCE es igual que CEF. Por lo tanto los lados FE y FC son iguales. Si trazamos una circunferencia con centro en F y radio FE pasará inevitablemente por el punto C; llamemos CEG a esta circunferencia.

Esto suena como un galimatías, pero creo que gráficamente se ve bastante bien: DEC y BEC tienen dos ángulos y dos lados iguales, luego son triángulos iguales. Cuando Galileo habla del ángulo CEB usa el convenio de poner en medio el vértice, luego CEB es el ángulo entre EC y EB. Lo que dice por tanto es que BCE y CEB son ángulos complementarios –porque el tercer ángulo del triángulo es recto–, y CEF y CED son también complementarios ya que ED y EF son perpendiculares. Y como los ángulos DEC y BEC son iguales, FCE y CEF también lo son.

Discorsi día 1 VII 4

Esta circunferencia es la pedida, ya que si trazamos segmentos desde los extremos A y B a cualquier punto de ella, estarán en la misma proporción que los segmentos AC y BC que se unen en el punto C. Esto es evidente en el caso de las líneas AE y BE que se cortan en el punto E, ya que el ángulo E del triángulo AEB tiene como bisectriz CE, y por tanto AC es a CB como AE es a BE. DEl mismo modo puede demostrarse de los segmentos AG y BC que se cortan en el punto G. Porque, dado que los triángulos AFE y EFB son semejantes, AF es a FE como EF es a FB, o AF es a FC como CF es a FB, de donde AC es a CF como CB es a BF, o AC es a FB como CB es a BF. Y por tanto AB/BG, CB/BF, AG/GB, CF/FB, AE/EB y AC/BC son todos cocientes iguales. Como queríamos demostrar.

Dicho en otras palabras: empezamos con el segmento AB, roto en dos trozos, AC y BC. En este caso del diagrama de Galileo, AC es mayor que BC. Pongamos (aunque da igual) que AC mide 1,3 veces lo que BC. Esto significa que AC/BC = 1,3.

Si ahora elegimos un punto cualquiera de la circunferencia obtenida mediante este sistema, por ejemplo el punto E (ya que ha sido el primero en ser obtenido por Salviati, quiero decir Galileo), y unimos A y B con ese punto, tendremos dos segmentos nuevos: AE y BE. Los dos primeros eran de extremo a punto de división C, y los dos segundos son de extremo a punto de la circunferencia.

Discorsi día 1 VII 4

Bien, pues lo que hace especial a esta circunferencia es que está garantizado no solo que AE será mayor que BE, sino que AE será exactamente 1,3 veces BE: AC/BC = AE/BE, la misma proporción de 1,3 de la que partimos hace un par de párrafos. Pero, como nuestro farragoso italiano va a demostrar ahora, esto no es cierto solo para E, sino para cualquier otro punto de la circunferencia:

Tómese ahora cualquier otro punto de la circunferencia, por ejemplo H, donde se cortan AH y BH. De igual manera tendremos que AC/CB = AH/HB. Si prolongamos HB hasta que corta la circunferencia en I y unimos IF, y dado que ya sabemos que AB/BG = CB/BF, se deduce que el rectángulo ABF [No entiendo a qué se refiere: ¿un rectángulo denotado por tres puntos? ¿alguien me ayuda?] igual que el rectángulo CBG y a IBH [otros rectángulos más marcados por tres puntos que no entiendo]. Por tanto, AB/BH es igual que IB/BF. Pero los ángulos en B son iguales, y por tanto AH es a HB como EF es a FB y AE es a EB.

Finalmente, Galileo quiere demostrar que no solo cualquier punto de la circunferencia cumple esta regla de las proporciones, sino que cualquier punto fuera de ella no la cumple:

Además, debo añadir que es imposible que existan segmentos que mantengan esta misma proporción y sean trazados desde los extremos A y B hasta cualquier punto que esté en el interior o el exterior de la circunferencia CEG. Supongamos que esto fuese posible. Sean AL y BL dos segmentos tales, que se cortan en el punto L fuera de la circunferencia. Si prolongamos LB hasta cortar a la circunferencia en M y unimos MF, si AL/BL = AC/BC = MF/FB, entonces tendremos dos triángulos ALB y MFB que tienen los lados que rodean a los dos ángulos proporcionales, los ángulos del vértice B iguales, y los dos ángulos restantes, FMB y LAB, agudos (ya que el ángulo recto en M tiene como base el diámetro CG y no solo una parte BF, y el otro ángulo en A es agudo porque el segmento AL, el homólogo de AC, es mayor que BL, el homólogo de BC). De esto se deduce que los triángulos ABL y MBF son semejantes, y por lo tanto AB/BL = MB/BF, lo cual hace el rectángulo ABF igual que MBL. Pero hemos demostrado que el rectángulo ABF es igual que CBG, luego puede deducirse que el rectángulo MBL es igual que CBG, lo cual es imposible. En consecuencia la intersección no puede estar en la región exterior a la circunferencia, y de igual manera podemos demostrar que no puede estar en el interior. Por lo tanto, todos estos puntos deben estar justo en la circunferencia.


Pero es tiempo ahora de retroceder y responder a la petición de Simplicio, mostrándole que no solamente es posible reducir una línea a un número infinito de puntos, sino que es tan fácil hacerlo como dividirla en sus partes finitas. Haré esto bajo la siguiente condición, que estoy seguro, Simplicio, no me negarás: que no me exijas separar unos puntos de otros y mostrártelos uno por uno en este papel. Bastará con que tú, sin separar los cuatro o seis segmentos de una línea unos de otros, me mostrases las divisiones marcadas, o como mucho que las dobles ángulos que las hagan formar un cuadrado o un hexágono: porque, de ese modo, estoy seguro de que considerarías la división definitivamente alcanzada.

Creo que otra demostración geométrica haría que tus neuronas y las mías sufrieran un daño que no pueden permitirse, de manera que con la división de la línea continua en un número infinito de puntos seguiremos en la siguiente entrega de la serie. ¡Hasta entonces!

Ciencia, Discorsi, Literatura

3 comentarios

De: Cavaliery
2023-01-24 17:56

Deliciosa entrega, la releeré (que palabrita, eh?) mas tarde para mejor comprensión.

Por cierto, el primer link está incorrecto. (el correcto es http://www.eltamiz.com/discorsi/)

De: Jreguart
2023-01-25 08:25

Hola Pedro, me encantan estos galimatías geométricos ¿A dónde nos va a llevar Galileo/Salviati? Habrá que esperar a la siguiente. Desde el estado del conocimiento en el siglo XXI las conclusiones de los razonamientos de Galileo a veces parecen tontas por evidentes (para nosotros)... pero que sutil era el jodío italiano.

De: Pedro
2023-01-25 11:24

Gracias, Cavaliery, ¡corregido!

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