Tras la breve (bueno, vale, no tan breve) introducción a la serie, hoy empezaré a destripar cómo es la Lógica por el principio, siguiendo los apuntes de la asignatura de Segundo de Carrera que impartió D. José Cuena allá por 1973… Y empezaré, como es lógico, por sus bases más fundamentales. Por el Álgebra de Boole.

Primer día de clase. Octubre de 1973. A la hora en punto aparece el profesor de la asignatura^[1] y se presenta: “Soy José Cuena, y aunque el nombre de la asignatura es Metodología, yo voy a enseñarles a Vds. Lógica”. Pues vale, ningún problema. Total, un par de horas antes se había presentado el profesor de la asignatura “Informática Básica II”, y nos dijo algo similar: “Como no tengo ni idea de qué hay que dar en esta asignatura, yo les contaré de arriba abajo las tripas del ordenador que yo conozco, que a la sazón es el UNIVAC 1100”… Estábamos en 1973, se trataba de una Carrera nueva, los profesores, que también eran nuevos, eran todos, sin excepción, profesionales que trabajaban en las incipientes empresas informáticas (o que usaban ordenadores, que eran casi igual de pocas) de la época (IBM, Bull, NCR, UNIVAC, Iberia, RENFE, etc), y los temarios de las asignaturas se iban construyendo sobre la marcha. Menuda diferencia con lo que pasa ahora, donde prácticamente ni uno solo de los profesores de las facultades de informática españolas ha trabajado jamás en la empresa privada…^[2]

George Boole, creador del álgebra que lleva su nombre.

El caso es que D. José (en realidad Pepe para todo el mundo), tras presentarse, comenzó inmediatamente a explicar al Álgebra de Boole ^[3]. Rápidamente todos sacamos, aplicadamente, nuestros cuadernos/folios/papeles de tomar apuntes y comenzamos a copiar concienzudamente lo que nos iba explicando.

¿He dicho alguna vez que, en 1973, no había ni un solo libro que pudiéramos usar para estudiar una asignatura de informática? Pues lo digo. Seguramente sí existían libros sobre ciertas disciplinas… ¡en inglés! O sea, como si fuese chino: el “idioma moderno” que estudió mi generación en el Colegio o en el Instituto era français, bien sûr . ¿Y el inglés? Non, pas d’anglais. El poco inglés que yo sabía lo aprendí en una Academia, en cursos de verano, obligado por mi madre (a quien nunca se lo agradeceré lo suficiente, pues mis preferencias iban más por holgazanear, jugar al fútbol e ir a la piscina). Los demás, ni eso. Así que los apuntes tomados de las explicaciones de los profesores y sus gráficos y fórmulas escritos en la pizarra^[4] eran oro molido, casi el único medio de poder seguir y aprobar la asignatura.

Cedamos, pues, la palabra a Don José:

El Álgebra de Boole

Se trata de un sistema [S,+,·] compuesto de un conjunto (S), y dos operaciones definidas sobre él (+,·), en el que se verifican unas ciertas propiedades. Las operaciones deben ser cerradas, es decir, aplicadas a dos elementos pertenecientes a S, su resultado es otro elemento perteneciente a S.

Las propiedades del conjunto se definen exclusivamente mediante unos ciertos axiomas de entrada; una vez definidos estos axiomas, todos los teoremas resultantes serán demostrados a partir de ellos. Un axioma, como sabéis, es un postulado que no precisa demostración, que no puede ser puesto en duda, y sobre el cual se edificarán todos los teoremas y demostraciones subsiguientes.

Los axiomas del álgebra de Boole fueron postulados por Edward Vermyle Huntington en 1904, y son los siguientes:^[5]

Axiomas de Huntington (1904)

Axioma 1: Ambas operaciones son conmutativas (Ley conmutativa).

Axioma 2: Ambas operaciones tienen un elemento neutro.

Axioma 3: Ambas operaciones son distributivas respecto de la otra operación (Ley distributiva).

Axioma 4: Para cada elemento existe su complementario.

Todo elemento a perteneciente a S tiene un complementario a’, también perteneciente a S, tal que:

Y yastá.^[6]

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Esto es todo lo que necesitamos para definir un álgebra de Boole (y para que los informáticos podamos ganarnos la vida: nunca estaremos lo bastante agradecidos a Mr. Boole y a Mr. Huntington).

Si nos fijamos bien y pasamos por alto ciertos detalles… mmmm… espinosos, vemos que el conjunto de propiedades definidas por los axiomas se dividen en dos subconjuntos simétricos, pues el lado izquierdo es idéntico al lado derecho tras una simple transformación, cambiando + por · y viceversa, y cambiando 0 por 1 y viceversa. Entonces, usando exclusivamente estos axiomas, comenzaremos a demostrar una serie de teoremas que nos harán la vida más fácil en el futuro. En cada transformación que hagamos en las fórmulas identificaremos debido a qué axioma concreto podemos hacer esa transformación, marcando el número de Axioma (A1, A2, A3 o A4) y de qué lado (Izquierdo o Derecho). Comencemos. ¡Y no perdamos el aliento por el camino!

Teoremas básicos

Teorema 1: Idempotencia.  a+a = a; a·a = a

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Teorema 2:  a+1 = 1; a·0 = 0

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Teorema 3: Ley de absorción.  a+(a·b) = a; a·(a+b) = a

Para demostrar este teorema usaremos el recién demostrado Teorema 2; de aquí en adelante, al usar un teorema ya demostrado lo marcaremos como Tx en vez de Ax, indicando si se usa su parte izquierda o derecha.

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Teorema 4: (Propiedad asociativa). a+(b+c) = (a+b)+c; a·(b·c) = (a·b)·c

Para demostrar este teorema es preciso demostrar antes dos lemas independientes.

Lema 1:

Lema 2:

Bien: teniendo convenientemente demostrados ambos lemas, ahora aplicamos a cada lado respectivamente las operaciones “+” y “·” (que, ojo, no tenemos por qué saber que se llaman “suma ” o “multiplicación”) miembro a miembro, el primer miembro de ambos lemas por un lado, y el segundo, por el otro. Ambas ecuaciones serán iguales, pues aplican la misma operación “+” o “·” a los dos lados de la igualdad.

Para que quede claro: si tenemos dos igualdades (los dos lemas) que son, por ejemplo, a=b y c=d, evidentemente es cierto que a·c=b·d, y lo mismo con el +. Eso es lo que haremos.

Nota de Macluskey en 2011: Sinceramente, nunca pensé que costara tanto definir algo tan obvio como la propiedad asociativa… para que veáis lo que cuesta establecer las bases formales de cualquier disciplina…

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Teorema 5: Para cada elemento a de S existe un complementario a’ y sólo uno.

Atención: Este teorema no es lo mismo que el axioma A4. Allí decíamos que existe la noción de complementario, es decir, que cada elemento de S tiene complementario, al menos uno, mientras que este teorema 5 afirma que el complementario es uno y sólo uno, ni más ni menos que uno.

Supongamos que existieran dos complementarios de a, por ejemplo x e y. Se cumplirían entonces las siguientes 4 ecuaciones:

Teorema 6: El complementario del complementario de un elemento a de S es igual al propio a. Es decir: (a’)’=a

Sabemos por el Axioma 4 que: a’+a=1 y también que a’·a=0.

Suponiendo que (a’)’=x, ocurrirá que: a’+x=1, y a’·x=0, dado que ese x es el complementario de a’. Igualando los unos y los ceros de ambas ecuaciones (de éstas y de las de arriba) tenemos que: a’+a = a’+x, y que a’·a = a’·x; el único valor que cumple ambas ecuaciones es x=a, luego a es el complementario del complementario de a.^[7]

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Teorema 7: Los dos términos neutros de las operaciones +,· son complementarios entre sí, es decir: 0’=1 y 1’=0

Según el Axioma 2: a+a’=1 y a·a’=0.

Suponiendo a=0, queda 0+a’=1; luego a’=1; por tanto 0’=1

Suponiendo a=1, queda 1.a’=0; luego a’=0; por tanto 1’=0

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Teorema 8: (Leyes de De Morgan). (a+b)’ = a’·b’ ; (a·b)’ = a’+b’

Los informáticos usamos muy a menudo las leyes de De Morgan para simplificar una fórmula lógica. O, al menos, las usábamos. He aquí su demostración.

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En este punto, Don José miró satisfecho la pizarra llenita de fórmulas,^[8] miró el reloj y nos dijo: “Hasta la semana que viene. Buenos días.”, y se fue, dejándonos hechos un auténtico lío, mirando incrédulos las tres páginas escasas de apuntes donde, aunque nosotros no lo sabíamos, acababa de plantar los mejores cimientos sobre los que construir nuestra vida profesional.

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No entendíamos casi nada, claro, porque no podíamos evitar ver el signo “+” como una suma, y el signo “·” como un producto… y aquel amasijo de fórmulas no tenía el menor sentido. Lo de que a+0=a lo veíamos claro, y lo de que a·1=a, también, igual que lo de a+(b+c) = (a+b)+c y eso, pero…

¿Pero cómo que 1+a=1? ¿Qué es eso de que a+a=a? ¿No será 2a, como toda la vida…? ¿Y cómo es que de pronto existe la propiedad distributiva de la suma respecto de la multiplicación (o sea, que a+(b·c)=(a+b)·(a+c))? ¡Y como axioma, nada menos! El caso es que nadie interrumpió a Don José ese día. Nos limitamos a tomar apuntes como si nos los hubiera dictado un extraterrestre… y a un extraterrestre no se le discute cuando te cuenta su conocimiento superior.^[9]

Yo me fui a mi casa. Repasé los apuntes. Tres veces (ya digo, hasta aquí son sólo tres páginas escasas). Nada. Lo mismo que algunos de vosotros, queridos lectores. Al día siguiente, en lugar de ir a la sacrosanta cafetería en los descansos entre clases, nos quedamos unos pocos recalcitrantes para descifrar aquello… Y al día siguiente… Y de pronto a alguien (creo que fue a mí, que siempre he sido muy listo… ejem, pero no estoy seguro) se le ocurrió proponer: “Oye, ¿y si cambiamos el + por la Unión de Conjuntos y el · por la Intersección…? ¿Qué pasaría?”…

Pues lo que pasó es que de pronto, instantáneamente, se nos hizo la luz a todos. Evidentemente, naturalmente, ciertamente… todo tenía sentido entonces.

Tengo que decir aquí que habíamos estudiado eso de los “Conjuntos” en el Bachillerato, como una cosa nueva que se había incorporado recientemente al currículum y que no se sabía muy bien para qué servía.^[10] El caso es que todos conocíamos el rollo ése de los conjuntos, las uniones y las intersecciones y tal, y entonces todo nos cuadró. Ahora sí que tenía sentido que algo “Unión” el conjunto universal diera siempre el conjunto universal. Etc, etc. En aquel momento nos acordamos de los ancestros de Don José Cuena, por no habernos puesto en la pista y facilitarnos la vida… Pero haciéndolo de esta forma nos hizo deducir,^[11] pensar, razonar y buscar analogías hasta comprender todo el asunto. No sólo nos enseñó lógica: nos enseñó a pensar. ¡Menudo era Don José!

Y uno se ha tirado toda su vida deduciendo, pensando, analizando, criticando… no sé si me ha servido de mucho, pero qué le vamos a hacer, no voy a cambiar a estas alturas.

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Sé que ha sido un artículo denso. Muy denso. Todo lleno de formulitas, de acuerdo.^[12] Pero en él están las bases de toda la Lógica y de mucho más. No es necesario que lo aprendáis de memoria, creo yo, sino más bien tenerlo de referencia para cuando haga falta. Si el artículo es, en definitiva, un rollo soberano, es mi culpa. Pero si ha resultado un buen artículo, quizá fuera de lo común, no es mérito mío, pues me he limitado a copiar mis viejos apuntes y ponerlos en un formato inteligible, para lo cual he tenido, eso sí, que luchar a brazo partido con el HTML, el WordPress y con no sé con qué más… ¡Y eso sí que ha tenido mérito!

El próximo día seguiremos escuchando, vía el Túnel del Tiempo, a Pepe Cuena enseñándonos a seguir pensando.

Disfrutad de la vida, mientras podáis.

1. Primer mal síntoma: ¿A la hora en punto? ¿El primer día? ¿Dónde se ha visto eso?? [↩]
2. Sé que esta frase es injusta para algunos profesores, desgraciadamente pocos, que son la excepción que confirma la regla. Mis disculpas para ellos: es lo que tiene generalizar, que en ocasiones hace confundir churras con merinas… Ya llegaremos a la generalización existencial unos cuantos artículos más adelante, ya… [↩]
3. Segundo y definitivo mal síntoma: ¿Empezar a explicar en serio la asignatura EL PRIMER DÍA?? Pero… ¿dónde se ha visto eso alguna vez?? [↩]
4. Sí, en la pizarra… de pizarra negra, donde se escribía con tiza, de yeso, y cada vez que se borraba la pizarra con el borrador al efecto, se montaba una polvareda blanca que no veas… [↩]
5. Huntington revisó los principios axiomáticos del Álgebra de Boole en 1933, pero a mí me contaron los de 1904, y esos son los que van aquí. [↩]
6. Si habéis detectado algo raro… eso no es nada. Esperad y ved. [↩]
7. Uff, qué trabalenguas… [↩]
8. Sí. Pizarra. Hecha de pizarra, de esas verdes oscuras, donde se pintaba con tizas de yeso, y se borraba con un adminículo de nombre “borrador” que más que limpiar repartía el yeso por toda la pizarra y de paso por toda la clase en forma de vaporización de polvo de yeso de tiza… ¡Cómo nos divertíamos! [↩]
9. ¡¡Y menos en la época de Franco!! [↩]
10. Sí, sí, era así, ya sé que suena a cosa tercermundista, pero es que en la España en la época eso era lo que había… [↩]
11. Ya hablaremos largo y tendido de la Deducción Lógica, ya… pero será dentro de unos cuantos capítulos. [↩]
12. Aunque tampoco es para tanto, de veras. Total, sólo hay sumas y multiplicaciones… digooo… ‘+’ y ‘·’. [↩]

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