Si no habéis leído el anterior capítulo id a leerlo, pues muchas de las cosas que hablé ahí son importantes para este artículo y no voy a repetir todas las cosas. Ahí discutimos la existencia de un vector, al que llamamos vector posición, que nos definía precisamente la posición de un objeto; y también hablamos sobre dos formas de escribir vectores, las coordenadas cartesianas y las polares. Un resumen muy general y rápido de las coordenadas cartesianas:

Un vector en dos dimensiones puede especificarse con dos números, especificando la distancia en dos direcciones perpendiculares. Por ejemplo, la distancia hacia el Este y la distancia hacia el Norte (que llamaremos, respectivamente x e y, siguiendo la nomenclatura típica).

Entonces cualquier punto se puede especificar con los números x e y. A estos dos números los llamaremos coordenadas cartesianas, y a partir de aquí ya podemos dejar de hablar de Este y Norte pues eran simplemente nombres para que todos pudiéramos entendernos. Vamos a renombrar la dirección Este por lo que llamaremos el Eje x y el Norte por el Eje y.

Además, podemos definir dos vectores unitarios (es decir, de módulo 1), x e y, considerando una persona moviéndose con y o x constante. El vector unitario x lo definimos como ese que señala la dirección donde la coordenada x aumenta en 1 unidad, permaneciendo la coordenada y constante. Y lo mismo para definir el vector unitario y. Imaginad ahora que fijamos un valor de y y dibujamos todos los puntos que obtenemos al ir cambiando x. Lo que observaríamos seria una recta horizontal, a una distancia y del origen. Por ejemplo, fijando y=1, debemos movernos una unidad hacia arriba, pero como no hemos fijado la posición x, podemos movernos hacia la izquierda o derecha, sin restricciones, generando la recta a la que antes me refería. Si en lugar de fijar y fijamos x, observaríamos una recta vertical. Si hacemos esto para muchos valores de x e y, obtenemos la siguiente imagen

En la imagen anterior pueden verse dos puntos (rojo y azul) sobre el plano cartesiano, además de las líneas que comentaba antes para los valores de x entre 0 y 8 (verticales) e y entre -1 y 6 (horizontales). Fijaos que las líneas correspondientes a x=0 e y=0 son precisamente los que definimos, respectivamente, como Eje y y Eje x. Esto nos permite saber rápidamente que el punto rojo está en las coordenadas (x=5, y=3) sin tener que calcular la distancia ni nada, pues está justo en la intersección de esas dos rectas.

En coordenadas cartesianas el vector posición r puede escribirse como

Ya que, como hemos dicho, el vector posición consiste en un vector que se mueve x unidades en la dirección x e y unidades en la dirección y.

Lo bueno de las coordenadas cartesianas es que, aunque otra persona se encuentre en un punto distinto al tuyo, todos estáis de acuerdo de hacia donde van los vectores unitarios x e y (es decir, x e y no dependen del punto en cuestión, esto puede apreciarse en la imagen anterior), por lo tanto, si un objeto se está moviendo desde una posición r₁ a una posición r₂ podemos definir la velocidad de ese objeto como

Donde usaré la notación de Newton y denotaré la derivada temporal con un punto sobre la cantidad a derivar. Del mismo modo podemos volver a derivar para obtener la aceleración del objeto

Si ahora queremos, por ejemplo, calcular la energía cinética del objeto, no tenemos más que calcularla con la ecuación que ya conocemos

Y así podemos ir calculando todo lo demás.

Vamos ahora a ver qué diferencias aparecen al considerar las coordenadas polares:

En el artículo anterior vimos que las coordenadas polares consisten en describir el vector r con la distancia al origen y el ángulo que forma con el eje x.

Si repetimos lo mismo que hemos hecho para coordenadas cartesianas y fijamos un valor de r, dibujando todos los puntos que obtenemos al variar θ ¿qué figura obtenemos? ¡Pues los puntos que están a una misma distancia del origen forman una circunferencia de radio r y centrada en el origen! Si en cambio fijamos θ y movemos r obtenemos rectas que salen del origen y forman un ángulo θ respecto al eje x. Dibujemos estas figuras para varios valores de r y θ:

De nuevo, definimos los vectores unitarios r y θ como dos vectores de módulo 1 y con la dirección y sentido en que aumenta r o θ, manteniendo el otro valor constante. Pero observemos ahora una gran diferencia con las coordenadas cartesianas: para dos observadores, uno en el punto rojo y el otro en el punto azul, los vectores x e y son exactamente los mismos, ¡pero los vectores r y θ no! Esta diferencia es fundamental y, como podréis imaginar, en general sólo complica aún más las cosas, pero si estamos viendo esto es porque hay veces en los que esta aparente complicación permite simplificar las cosas. Por ejemplo, el vector posición se escribe mucho más fácilmente con estas coordenadas

Pues precisamente esta es la definición del vector unitario r.^[1] En dos dimensiones, cuando encontramos dos vectores con los que podemos generar cualquier vector (es decir, que cualquier vector se puede escribir como suma de esos dos vectores) decimos que estos vectores forman una base. Por ejemplo, los vectores unitarios que hemos viso, x e y son una base y los vectores unitarios r y θ también. La primera es una base de coordenadas cartesianas, mientras que la segunda es una base de coordenadas polares. Existe otra base muy usada en coordenadas polares, con los vectores e_r y e_θ siguientes:

La base de r y θ es útil porque ambos vectores son ortogonales y tienen modulo 1, a eso se le llama base ortonormal; e_r y e_θ no es una base ortonormal, pero tiene otras propiedades interesantes (que no vamos a ver aquí).

Como hemos dicho que x e y forman una base, cualquier vector del plano se puede escribir como combinación de los vectores x e y. Entonces los vectores r y θ no pueden ser una excepción a eso. Con un poco de trigonometría es fácil ver que podemos relacionar las dos bases con

Vemos que evidentemente los vectores r y θ dependen de la coordenada θ.

Esta dependencia hace que, si una persona se mueve por el espacio, los vectores r y θ irán cambiando; para ver cómo cambian podemos simplemente calcular su derivada, pues es lo que nos indica cómo cambian las cosas.^[2] Lo primero que podemos notar es que ni r ni θ dependen de la coordenada r, así que si nos movemos siguiendo la coordenada r ambos vectores permanecen iguales. Pero si nos movemos modificando el valor de θ observamos que los vectores cambian de la siguiente forma:

En un artículo anterior hablé sobre la regla del producto de derivadas. Para continuar necesito comentar una última regla muy útil para derivar, la conocida como regla de la cadena. Suponed que tenemos una función f que depende de dos variables, por ejemplo r y θ. Suponed además que tenemos un objeto moviéndose por el espacio y, por tanto, las coordenadas r y θ van cambiando con el tiempo ¿cómo podemos calcular el cambio que sufre f?

Dado que f es una función que depende de las variables r y θ, podemos derivar respecto a esas variables para conocer cómo de “sensible” es nuestra función a los cambios de esas variables. Pero eso no es suficiente, no sólo debemos conocer lo sensible que es la función a los cambios de r y θ, debemos tener en cuenta cuánto cambian r y θ por el hecho de que el objeto se mueve. Pues por mucho que cambie f al cambiar r, si r cambia muy poco f cambiará muy poco, mientras que si f cambia poco al cambiar θ, si θ cambia mucho el cambio de f puede hacerse muy grande.

Si juntamos estos dos efectos podemos calcular el cambio de f de la siguiente forma

Donde he usado el símbolo de derivada parcial: simplemente, como f depende de dos variables, r y θ, la derivada parcial respecto de r nos dice que derivemos f respecto de r como siempre hemos hecho considerando que θ es un numero constante. Nuestro colega jlese ya habló de ella en este artículo, así que no voy a hablar más sobre esto.

Como veis, trabajar con coordenadas polares lleva un poco más de trabajo, pero una vez hemos hecho todo esto podemos llegar a resultados muy útiles. Recordando cómo se escribe el vector posición y usando todas las técnicas de derivar que conocemos podemos calcular los vectores velocidad y aceleración.

Y con esto podemos calcular la energía cinética de un objeto en movimiento

Ha sido un largo camino hasta llegar hasta aquí, pero al fin podemos ver por qué son útiles las coordenadas polares ¿Recordáis el anterior artículo donde hablamos de lo que eran las fuerzas centrales? Ahí dijimos que eran fuerzas que cumplían que:

1. Su dirección siempre era radial, es decir, la misma dirección (y sentido) que el vector posición.
2. Su módulo sólo depende de la distancia al origen, es decir, la coordenada r.

En resumen, una fuerza central en coordenadas polares se puede escribir como

Aplicando la segunda ley de Newton (que vimos en el artículo sobre la conservación del momento), podemos escribir (con la ecuación para la aceleración que ya hemos visto)

Multiplicando la segunda ecuación por r obtenemos un resultado muy interesante

En la última expresión he usado la regla del producto de derivadas que vimos el otro día,^[3] el resultado que obtenemos es muy interesante, pues hemos visto que la derivada de una cantidad respecto al tiempo es cero, es decir, que esta cantidad no cambia con el tiempo (recordad que las derivadas nos indican cómo cambian las cosas). Entonces, la cantidad entre paréntesis debe ser constante… ¿alguien tiene idea de qué significado físico puede tener eso?

¡Pues resulta que ese producto es justamente el momento angular! Recordad que el módulo del producto vectorial de dos vectores se podía escribir como

O escribiéndolo de otra forma

Recordad que L es simplemente una constante, por lo que hemos encontrado una relación entre la derivada temporal de θ y r, es decir, no son magnitudes independientes: si conocemos una podemos conocer la otra. En un artículo anterior definí la energía potencial debido a una fuerza como

Usando la elección arbitraria de que la energía potencial valga cero cuando r se va a infinito. Lo importante de esta ecuación es simplemente que podemos definir la energía potencial; para cada función f esta energía será diferente. No nos interesa calcularla por ahora, solamente saber que existe y se puede calcular. Juntemos ahora todo lo que hemos visto para escribir la fórmula de la conservación de la energía

Fijaos que no hay dependencia de θ, hemos encontrado que la energía depende únicamente de la coordenada r y su derivada. Además fijaos en cómo se escribe la conservación de la energía para un problema unidimensional:

Comparando ambas expresiones podemos definir una función que llamamos el potencial efectivo como

Entonces ¡hemos simplificado un problema de varias dimensiones a un problema equivalente en una sola dimensión! Este potencial efectivo es el que dibujamos en las gráficas del anterior artículo. No voy a extenderme mucho más pues ya le he dedicado dos artículos.

Hasta aquí este artículo. En el siguiente vamos a ver en detalle el caso de una fuerza central proporcional a r^-2 ¡Y con eso ya nos acercamos a los conocimientos necesarios para entender el modelo de Rutherford! Hasta pronto.

1. Puede parecer que el vector posición depende solamente de la coordenada r, es un error común, recordad que r depende del ángulo θ.
2. La velocidad, por ejemplo, nos dice cómo cambia la posición con el tiempo, etc…
3. Pero en lugar de expresar el producto de una derivada como cosas más sencillas he hecho justo lo contrario.

En primer lugar vamos a hablar sobre cómo podemos localizar un objeto en el espacio; para simplificar al máximo las cosas, voy a suponer solamente espacios bidimensionales (es decir, sólo existe adelante, atrás, izquierda y derecha, pero no arriba y abajo). Pues bien, resulta que lo que nos sirve para localizar objetos es algo que ya presentamos en el artículo sobre colisiones ¡un vector!

Ya hablamos en ese artículo que un vector es algo que nos indica, además de un valor, una dirección, sentido y punto de aplicación. Entonces deberíamos ver casi de inmediato que esto nos sirve para localizar objetos en el espacio. Vamos a hacer una prueba: supongamos que queremos describir la posición de un objeto; primero de todo necesitamos un punto de aplicación, es decir, la posición del objeto no será la misma para mí que para otra persona. Un ejemplo:

Suponed que el objeto está a 5m de mí hacia el Norte y tengo un amigo que está a 10m de mí hacia el Sur. Entonces yo no puedo decirle a mi amigo que el objeto está 5m hacia el Norte y quedarme tan tranquilo, pues si él camina 5m hacia el Norte no lo va a encontrar. Debo especificar que “el objeto está 5m hacia el Norte, partiendo desde donde yo estoy”. Necesitamos saber el punto de aplicación. Otra forma que tenemos de describirle la posición del objeto sería decirle que está 15m al Norte de donde está él. Ahora sí, fijaos que hemos cambiado el punto de aplicación, y ha “cambiado la posición” del objeto, ha pasado de estar 5m al Norte a estar a 15m.^[1]

Bien, pues en efecto necesitamos conocer el punto de aplicación, pero esto evidentemente no basta. Necesitamos además una dirección. El concepto de dirección es bastante confuso para muchos, y suele confundirse con el “sentido”, ya que muchas veces ambas informaciones se dicen juntas. Si releéis el ejemplo anterior habréis notado que, para dar la localización del objeto, no me ha bastado con decir solamente el punto de aplicación, he necesitado especificar “5m al Norte”. Pues bien, ese “al Norte” nos indica la dirección, pero no sólo la dirección, sino también el sentido. Más concretamente, la dirección sería la dirección Norte-Sur:  nos indica la línea recta en la que encontraremos el objeto, mientras que es el sentido el que nos indica si, dentro de la dirección “Norte-Sur”, debemos ir hacia el Norte o hacia el Sur. Luego pongo un ejemplo que siempre me ha gustado para entender la diferencia entre dirección y sentido.

Pero, finalmente, necesitamos otra cosa para localizar el objeto, la distancia, no me vale decir el objeto está al Norte, debo decir 5m al norte. Espero haberos convencido de que para localizar un objeto se necesita un vector. Intentad hacer un ejercicio mentalmente, imaginaros un objeto situado en una posición arbitraria y convenceos de que existe un vector que describe su posición.

Para los que estéis aún confusos por lo de dirección y sentido, os voy a hacer una analogía que siempre me ha gustado acerca de los vectores. Imaginad que queréis ir a algún sitio y tenéis que coger el metro… pues bien, resulta que el metro es análogo a un vector. Primero de todo debéis saber en qué estación vais a subir. Seguidamente vais a tener qué elegir qué línea de metro debéis coger, pues no llegaréis al mismo sitio si cogéis un metro de la línea L1 que de la línea L3. Pero seguro que sabéis que tampoco es suficiente escoger la línea: es muy probable que a alguno os ha pasado que habéis ido a coger un metro, habéis subido en la parada correcta y habéis cogido el tren de la línea correcta, pero en lugar de llegar donde queríais el tren se va para atrás, ¡os habéis equivocado de sentido! Finalmente, si cogéis bien el sentido debéis calcular cuántas estaciones deben pasar hasta llegar a vuestro destino. Pues bien, esto es exactamente un vector; el punto de aplicación es la estación de subida, la dirección es la línea de metro que debéis coger, el sentido es el tren que debes coger (el que va hacia la izquierda o el que va hacia la derecha), y finalmente el módulo del vector es el número de estaciones que debéis dejar pasar antes de bajaros.

Bien, espero que haya quedado claro qué es un vector y por qué nos sirve para localizar objetos. Vamos a hablar de distintas formas de expresar este vector que, por cierto, lo llamaremos vector posición. Estas distintas formas se llaman las coordenadas. Primero voy a introducir las coordenadas más fáciles, conocidas como coordenadas cartesianas. Pedro ya habló de ellas en bastante detalle, así que os recomiendo leer también su artículo.

Las coordenadas cartesianas consisten en utilizar los puntos cardinales para describir la posición, justo lo que yo he usado en mi ejemplo anterior. En general, podemos describir la posición de cualquier objeto con dos números (en dos dimensiones), basta con decir “el objeto está 5m al Este y 3m al Norte” o “10m al Este y 5m al Sur”. Aunque lo más usual es utilizar solamente dos puntos cardinales, por ejemplo Este y Norte,^[2] y entonces diríamos “10m al Este y -5m al Norte”. Si además mantenemos siempre el mismo orden (siempre decimos primero la coordenada Este y luego la Norte) podemos incluso obviar estos dos y decir que el objeto está a (10m, -5m). Estos dos números (10m, -5m) son las coordenadas del objeto en la base cartesiana (Este, Norte).

Este sistema es muy bueno, por ejemplo, para ir por una ciudad, pues puedes indicar la posición de un edificio diciendo “vaya 3 calles hacia delante, gire a la derecha y ande 2 calles más”. Pero existe otra forma de especificar la posición de un objeto, sobre todo cuando podemos movernos en cualquier dirección sin obstáculos: las coordenadas polares. De nuevo para esto podemos utilizar los puntos cardinales, pero no sólo dos como hacíamos antes, sino todos ellos. E, N, O, S, además de todos los intermedios como NO, SE, NNO, etc… Simplemente debemos decir la dirección y sentido del objeto y la distancia a la que se encuentra, “el objeto está a 10m hacia ESE”.^[3] Esto es complicado, porque si queremos mucha precisión nos vamos a encontrar con direcciones del estilo “ONONO”.^[4]

Por esto los matemáticos prefieren escoger un único punto (por ejemplo, el Este) y contar el ángulo que forma la dirección que quieres con el Este. Así de nuevo podemos decir simplemente “El objeto está 10m a 60° Este”, que de nuevo, si dejamos claro que siempre elegimos el Este y mantenemos el orden podemos escribir simplemente como (10m, 60°). Es importante comentar que el ángulo se mide generalmente en sentido antihorario; así, si quiero decir “5m Norte” voy a decir “5m a 90° Este”, mientras que “5m Sur” voy a decir “5m a 270° Este” o “5m a -90° Este”. Eso sí, ahora el numero que decimos para indicar la distancia debe ser positivo, pues no tiene sentido decir que algo está a una distancia negativa de ti. Seria incorrecto decir “-5m a 90° Este”.

Bueno, llevamos ya un buen rato hablando sobre cómo localizar objetos en el espacio, espero que haya quedado suficientemente claro, así que os dejo un dibujo que ilustra cómo las dos coordenadas describen la posición de un mismo objeto.

Vamos ahora a hablar de fuerzas centrales. ¿Qué es una fuerza central? Pues una fuerza central es una fuerza que tiene dirección radial. Esto quiere decir que en un punto P la fuerza debe tener la misma dirección que el vector posición.^[5] Además, la fuerza es central si sólo depende de la distancia a la que está el punto P, es decir, no nos importa exactamente su posición sino solamente su distancia.^[6]

¿Por qué son estas fuerzas importantes? Pues bien, mucha gente os dirá que lo son porque las fuerzas principales de la naturaleza (gravedad y electricidad) son fuerzas centrales, pero esto es mentira. Tanto la gravedad que viene descrita por la Ley de Newton ((Ignoremos completamente la relatividad general.)) como la electricidad que viene descrita por la Ley de Coulomb no son fuerzas centrales, pues ni la Ley de Newton ni la de Coulomb describen fuerzas centrales. Veremos esto en el caso de Coulomb más adelante. Lo que sí es cierto es que en ciertas situaciones se pueden hacer aproximaciones para que las fuerzas sean centrales e incluso, en algunos casos, se pueden hacer algunos ajustes para hacerlo sin aproximaciones. Pero, en general, no es así. De hecho, si habéis oído hablar del problema de los tres cuerpos, es precisamente porque esas fuerzas no son centrales: el problema de tres cuerpos para fuerzas centrales sí se puede resolver y sin demasiada complicación.

La verdadera importancia de las fuerzas centrales es que simplifican muchos problemas. Se puede demostrar que toda fuerza central es conservativa (hablamos de fuerzas conservativas en este artículo) lo que, recordad, quiere decir que la energía se conserva. Además, aunque al haber una fuerza el momento lineal no se conserva, en una fuerza central el torque^[7] es cero, lo que quiere decir que el momento angular sí que se conserva. Lo cual implica que los movimientos de las partículas sometidas a esa fuerza están restringidos en un plano (si hay más de una partícula, cada partícula se mueve en un plano distinto, pero cada una de ellas no se sale nunca de su plano).

Pero ahí no acaba todo, si nos limitamos a estudiar la distancia a la que se encuentra un objeto sometido a fuerzas centrales, ¡podemos limitar nuestro estudio a una sola dimensión! Ya que, recordad, lo único que nos interesa para conocer la fuerza es la distancia a la que se encuentra la partícula. Y se puede calcular usando lo que se llaman los diagramas de potencial efectivo. Esto es, sabemos que toda fuerza conservativa tiene asociado una energía potencial. Pues en el caso de fuerzas centrales, podemos reducir la fuerza real tridimensional a una fuerza “efectiva” unidimensional. Y el estudio del movimiento en tres dimensiones se puede hacer parcialmente como un objeto que se mueve en una dimensión bajo esta fuerza “efectiva”. A esta fuerza efectiva le corresponde una energía potencial efectiva. Y por muy complicada que sea esta fuerza, se pueden hacer análisis cualitativos simplemente con ese potencial. Vamos a ver aquí unos ejemplos.

Vamos a empezar con el ejemplo más importante. Si podemos aproximar las fuerzas gravitatorias y eléctricas a fuerzas centrales, éstas son fuerzas inversamente proporcionales a la distancia, esto es, si la distancia aumenta la fuerza disminuye. Pero además son inversamente proporcionales a la distancia ¡al cuadrado! Esto es, si doblamos la distancia, la fuerza no se hace la mitad, se hace cuatro veces más pequeña. Vamos a ver cómo son los diagramas de potencial para fuerzas inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia.

Aquí podéis ver tres potenciales correspondientes a fuerzas proporcionales a r^-2. En la gráfica negra se trata de una fuerza repulsiva (por ejemplo, dos partículas de misma carga), las gráficas azul y roja son en cambio energías potenciales debidas a fuerzas atractivas (como la gravedad). El caso azul es el potencial efectivo que tendrá una partícula con cierto momento angular, mientras que el caso rojo es para partículas sin momento angular: cuanto menos momento angular tenga, más se parecerá la línea azul a la roja. ¿Qué información podemos obtener de estas gráficas? Para entender las gráficas debéis recordar que la energía total de la partícula es su energía potencial (lo que se muestra en las gráficas) más la energía cinética, la energía cinética nos da información sobre la velocidad de la partícula y nunca puede ser negativa. Además, la energía se mantiene constante, así que podemos representar la energía en las gráficas como una línea horizontal. Entonces la partícula solamente podrá moverse por las regiones en que su energía sea mayor que la energía potencial. Vamos a ver cuatro ejemplos:

De nuevo las mismas gráficas, pero he superpuesto en amarillo y discontinuo el valor de la energía de cuatro partículas. Vamos a empezar estudiando la gráfica negra que, recordad, corresponde a una fuerza repulsiva. En este caso sólo sería posible la energía E₁, pues todas las demás están siempre por debajo. Además, ¿qué podemos decir de una partícula que tenga energía E₁? Pues esa partícula siempre tiene que estar más lejos que 0,8. Hay dos posibilidades para su movimiento; que esté alejándose o que esté acercándose. Si estuviera alejándose, fijaos que la energía es constante, mientras que la energía potencial va disminuyendo, esto quiere decir que la partícula se iría alejando cada vez más rápido (pues al disminuir la energía potencial debe aumentar la energía cinética, lo que sólo es posible aumentando su velocidad). Por otra parte, si estuviera acercándose, la energía potencial va aumentando, así que la partícula iría frenándose, hasta llegar a una distancia de 0,8, ahí su energía es exactamente igual a la energía potencial, lo que quiere decir que su energía cinética debe ser cero, por lo que la velocidad es cero.^[8] Después de esto, la partícula cambia su sentido y se aleja cada vez más rápido. ¡Hemos descrito el movimiento de la partícula sin hacer ningún calculo!

Vayamos a la segunda fuerza, la gráfica roja, y recordemos que esto describe una partícula sin momento angular moviéndose bajo una fuerza atractiva: en este caso todas las energías son posibles. Una partícula con energía E₁ puede estar acercándose o alejándose. Si se aleja, como la energía potencial va aumentando, se alejará cada vez más despacio, pero nunca dejará de alejarse. Por el contrario, si se acerca, cada vez irá más deprisa, hasta llegar a una distancia de 0, con velocidad infinita^[9] para pasar de largo e irse alejando cada vez más lentamente. Vamos a ver ahora qué les pasa a las partículas con energía E₂, E₃ y E₄, en concreto vamos a hablar de E₄, las demás son equivalentes. Supongamos ahora que la partícula se aleja, al igual que la partícula con energía E₁ su velocidad irá disminuyendo, pero a diferencia de ésta, llega un momento en que su energía es igual a la energía potencial, por lo que la partícula tiene velocidad cero; esto pasa a una distancia de 0,33. Entonces la partícula cambia su sentido y pasa de alejarse a acercarse, con velocidad cada vez más rápida hasta llegar a distancia 0 con velocidad infinita y volver a alejarse cada vez más lentamente. Y así estará la partícula durante toda la eternidad, haciendo movimientos armónicos alrededor de un punto.

La tercera gráfica es la más interesante: se trata de la misma fuerza que el caso anterior, pero ahora nuestras partículas tienen cierto momento angular. La partícula con energía E₁ se acercaría cada vez con más velocidad hasta una distancia de 0,25, donde hay un mínimo de potencial, a partir de este momento seguirá acercándose, pero ahora irá frenando, hasta llegar a una distancia de 0,1 en que su velocidad será cero, dará la vuelta y se irá (cada vez más rápido hasta 0,25 y luego frenando para toda la eternidad). Aunque no os lo parezca, acabamos de describir un asteroide que ha entrado en el sistema solar, ha pasado cerca del Sol y se va para no volver. Si la partícula tiene energía E₂, su movimiento también es interesante, empieza acercándose, su velocidad aumenta hasta llegar a una distancia de 0,25 donde empieza a frenar. A una distancia de 0,15 su velocidad es cero y vuelve para atrás, cada vez más rápido hasta llegar a 0,25 que empieza a frenar. A una distancia de 0,85 vuelve a pararse y otra vez vuelve a empezar su movimiento. Lo que estamos describiendo aquí es un planeta (o un objeto) dando vueltas alrededor del Sol en una órbita elíptica, por ejemplo, vosotros mismos.

Finalmente, una partícula con energía E₃, en este caso la partícula sólo puede estar a una distancia de 0,25, pues no tiene energía suficiente para acercarse o alejarse. Por eso tiene velocidad cero, pero recordemos que, aunque su velocidad en este sistema unidimensional sea cero, no quiere decir que la velocidad tridimensional sea cero, esta partícula puede tener velocidad angular,^[10] pero no puede alejarse ni acercarse al Sol. Lo que tenemos, pues, es un planeta con una órbita perfectamente circular. El caso de energía E₄ simplemente no es posible bajo este potencial.

Voy a dejar el artículo por aquí, como ya es suficientemente largo voy a separar la segunda parte con ecuaciones en otro artículo. Aún así, en el siguiente artículo (sin ecuaciones) vamos a profundizar más en las distintas órbitas que hemos visto.

Os dejo que vosotros mismos continuéis maravillándoos con esto que acabamos de ver: os dejo como entretenimiento que describáis qué pasa para un agujero negro cuyo potencial eficaz es éste (rojo para una partícula sin momento angular, azul para una partícula con momento angular), sin tener ni idea de relatividad general ni nada.

¡Hasta la próxima!

1. Es importante tener en cuenta que NO estoy hablando que el objeto se haya movido, pero, como he dicho, la posición de un objeto depende del punto de aplicación.
2. La elección de estos dos es completamente arbitraria, podemos escoger los dos que queramos siempre que tengan distinta dirección.
3. Es decir, entre Este y Sureste
4. Algo entre Norte y Oeste.
5. No necesariamente el mismo sentido.
6. Bueno, nos importa su posición para determinar la dirección de la fuerza, pero eso se puede ignorar muchas veces, como veremos a continuación.
7. El análogo a la fuerza para rotaciones.
8. Éste es buen momento para recordar que estamos en una única dimensión, así que velocidad cero quiere decir que la partícula ni se acerca ni se aleja, pero puede tener velocidad angular en nuestro mundo de tres dimensiones.
9. A efectos prácticos habría ahí algún objeto que crea la fuerza, por ejemplo una estrella y chocaría con ella antes de llegar a distancia 0.
10. De hecho la tiene, pues recordemos que tiene momento angular.

Si recordáis, el momento lineal era una medida de la dificultad que había para llevar un objeto al reposo. Vimos que éste era proporcional a la velocidad (cuanta más velocidad tenga el objeto más difícil será llevarlo hasta el reposo, además, si por ejemplo la velocidad fuera cero, el momento lineal sería también cero, pues la partícula ya está en reposo) y también proporcional a la masa del objeto, pues cuanta más masa tenga el objeto, más difícil será llevarlo al reposo. También vimos que esta magnitud es muy importante para la física porque se mantiene constante (bajo la condición que no actúen fuerzas externas), y en física las magnitudes constantes resultan muy útiles.

Pues en esta entrada vamos a estudiar el hermano del momento lineal, el Momento Angular. El momento lineal habla sobre objetos que se mueven por el espacio, pero imaginemos un objeto que esté quieto, pero que da vueltas sobre sí mismo, por ejemplo una peonza. ¿Cuál es su momento lineal? Si la peonza no se mueve por el espacio su velocidad es cero, por lo que su momento lineal también va a ser cero, lo hemos dicho justo en el párrafo anterior. En este caso es interesante definir el momento angular, así como definíamos el momento lineal como la dificultad para llevar el objeto al reposo, podemos definir el momento angular de la misma forma, pero con la diferencia que el momento lineal hace referencia a que el objeto no cambie de posición, mientras que el momento angular hace referencia a que el objeto no esté rotando. Así pues; el Momento Angular es la dificultad que opone un objeto rotando a ser llevado al reposo.

Por cierto, al momento angular también se lo conoce como momento cinético, y de la misma forma que al momento lineal lo podíamos llamar cantidad de movimiento o ímpetu, el momento angular a veces se lo llama cantidad de movimiento angular o ímpetu angular.

Así como el momento lineal dependía de la masa y la velocidad, el momento angular tiene unas dependencias similares, aunque un poquito más complicadas. No voy a entrar en mucho detalle, pero al igual que el momento lineal dependía de la velocidad lineal, el momento angular depende de la velocidad con la que gire el objeto, es decir, la velocidad angular. En cierto sentido la velocidad angular es un análogo a la velocidad para objetos en rotación, de la misma forma se puede considerar el momento angular análogo al momento lineal, pero para objetos en rotación. Así que no es de extrañar si os digo que el momento angular depende además de la velocidad angular de otra magnitud, análoga a la masa, pero para objetos en rotación. Esta magnitud se llama momento de inercia y es algo complicado de explicar, además tampoco me interesa introducirlo por ahora, solo diré que es una magnitud que depende de la masa del objeto y de su geometría.

En resumen: el momento angular depende de una magnitud análoga a la masa para rotaciones y de una magnitud análoga a la velocidad para rotaciones.

Creo que éste es un buen momento para pararnos a pensar en el ejemplo típico que da todo el mundo cuando habla de momento angular: seguro que al leer esto lo primero que habéis pensado es en una patinadora dando vueltas sobre sí misma, seguro que os han puesto como ejemplo que si la patinadora extiende los brazos gira más lenta, mientras que con los brazos muy cerca del cuerpo gira a gran velocidad. Este efecto es debido a que la patinadora está cambiando su geometría y, como he dicho, esto cambia el momento de inercia.^[1] De hecho, al extender sus brazos aumenta su momento de inercia y al acercarlos al cuerpo disminuye el momento. ¿Pero qué tiene esto que ver con que vaya más rápida o más lenta? Pues el momento angular es una magnitud que, al igual que el momento lineal, se conserva en el tiempo, por lo que si aumentamos el momento de inercia (la patinadora extiende sus brazos) la velocidad angular tiene que disminuir. Por el contrario, si disminuimos el momento de inercia (la patinadora acerca sus brazos al cuerpo) la velocidad angular tiene que aumentar.

Hasta ahora he hablado del momento angular referido siempre para las rotaciones de un objeto sobre sí mismo, pero de hecho no tiene que ser necesariamente así. En general se define el momento angular que tiene un objeto sobre un punto cualquiera. Primero, ¿qué es una rotación sobre un punto?^[2] Pues se puede entender la rotación sobre un punto como el movimiento de un cuerpo que no altera la distancia a ese punto, el ejemplo mas claro sería un objeto moviéndose en un movimiento circular, en este caso se considera una rotación sobre el centro de la circunferencia descrita. También es una rotación el caso de un péndulo, pues la trayectoria que sigue un péndulo no es más que un arco de circunferencia. Pues en estos casos también se puede definir el momento angular, y se define de la misma forma. Aunque puede ser más difícil de visualizar, la única diferencia entre este caso y el anterior es el momento de inercia que tendrá el cuerpo.

Un ejemplo para estos casos es el de un planeta orbitando una estrella, por ejemplo la Tierra orbitando alrededor del Sol. La Tierra tiene momento angular, pero tiene dos momentos angulares, que se llaman comúnmente momento angular orbital, debido a que la Tierra da vueltas alrededor del Sol, y momento angular de rotación o de espín, debido a la rotación de la Tierra sobre sí misma.

Pero existe un problema. Seguro que sabéis que, aunque la Tierra gira en una órbita muy parecida a una circunferencia, en realidad no es del todo así, en realidad sigue una órbita elíptica, pero parece lógico que si podemos definir el momento angular para rotaciones, una elipse, que es casi una rotación, también debe tener definido un momento angular, ¿no? Pues sí, de hecho, no sólo una elipse, vamos finalmente a definir el momento angular de forma más abstracta, veremos que incluso un objeto moviéndose en línea recta tiene momento angular.

En realidad, cualquier objeto siguiendo la trayectoria que queramos tiene asociado un momento de inercia (aunque éste puede cambiar con el tiempo), por lo que cualquier objeto que tenga una velocidad angular tiene definido un momento angular (bueno, si un objeto no tiene velocidad angular, también tiene momento angular, pero es cero.)

Lo importante es que el momento angular, en general, depende de donde miremos el objeto. Dicho de forma rápida, un objeto tiene momento angular si tienes que mover la cabeza para seguir su movimiento. O, de forma equivalente, si señalamos el objeto con el dedo^[3] el objeto tendrá momento angular si tenemos que mover el brazo para seguir el movimiento. Dicho de forma más formal (aunque tampoco demasiado) un objeto NO tendrá momento angular si éste sigue una trayectoria recta Y el objeto ha pasado o pasará por donde estas tú. En general, para objetos puntuales el momento angular dependerá

1. De la distancia a la que estén de ti (ya hemos aclarado que el momento angular depende de dónde lo miremos).
2. De la velocidad que tenga el objeto (podemos hablar de velocidad angular o de velocidad lineal, al fin y al cabo están relacionadas).
3. De la masa del objeto.

Fijaos que para objetos puntuales podemos olvidarnos del momento de inercia, ya que toda la información que nos da éste la podemos conocer a partir de la masa y la posición del objeto.

Es posible que ahora muchos os preguntéis ¿Donde ha quedado la definición original que nos diste del momento angular? ¿Cómo es posible que un objeto que no está rotando sea “difícil de frenar”? ¿Como es posible que la dificultad para frenar un objeto depende del punto?

Todas esas dudas son dudas muy válidas. La definición que he dado al inicio era una manera fácil para empezar a hablar de momento angular, pero ya hemos dicho que el momento angular no sólo sirve para objetos que estén rotando. En la definición podemos cambiar el “objeto rotando” por “objeto con velocidad angular”, pues la velocidad angular no es exclusiva de objetos rotando. En los ejemplos que he mencionado antes sobre qué tiene y qué no tiene momento angular se puede decir lo mismo para la velocidad angular (así, si señalas un objeto y tienes que mover el brazo para seguir su movimiento, entonces tiene velocidad angular).

Ahora lo de “llevar al reposo” vuelve a tener sentido, pues si el objeto tiene velocidad angular, llevarlo al reposo significa modificar esta velocidad hasta que sea cero. Eso sí, la palabra reposo seguramente no es la mejor, recordad que estamos hablando de velocidad angular, por lo que reposo aquí significa velocidad angular cero, pero no necesariamente velocidad lineal cero.

Aun así nos queda el problema de que el momento lineal dependa de la posición… ¿Como puede ser que en función de dónde estés sea más fácil o más difícil frenar un objeto? Pues bien, eso en realidad es más intuitivo de lo que parece una vez se piensa detenidamente. Seguro que todos habéis notado que, si intentáis mover un objeto ligado a una barra, cuanto más larga sea la barra más difícil es mover ese objeto. Si no, un experimento fácil que podéis hacer es atar un objeto a un palo (que esté horizontal) e intentar levantarlo, veréis que es mucho más difícil que levantar el objeto con vuestras manos. Pues lo mismo pasa aquí, cuanto más lejos está el objeto más difícil resulta de frenar, por lo tanto ¡más momento angular tiene! Justo lo que esperábamos.

Finalmente, y ya para acabar, hemos dicho antes que el momento angular, al igual que el momento lineal, se conserva. Pues bien, recordad que el momento lineal se conservaba siempre que no actuasen fuerzas externas sobre el objeto. Como habéis visto, hay muchas similitudes entre movimientos rectilíneos y rotaciones: el momento angular es equivalente al momento lineal, el momento de inercia es equivalente a la masa y la velocidad angular es equivalente a la velocidad lineal. Pues no debería pareceros raro que os diga que el momento angular es una magnitud que se mantendrá constante (igual que el momento lineal) siempre que no haya “fuerzas” externas. Evidentemente lo que hace que el momento angular no se conserve no son las fuerzas es sí, sino su equivalente para las rotaciones. Esa magnitud suele llamarse momento o torque.^[4]

Ahora sí, creo que este artículo ya va siendo suficientemente largo, así que me voy despidiendo de vosotros (excepto los que os quedéis para leer la segunda parte), en el próximo artículo, si todo va bien hablaré de las distintas órbitas que pueden tener los planetas, ¡hasta la próxima!

Momento Angular (con ecuaciones)

Bien, pues ahora, para los más valientes que no temen a las ecuaciones, vamos a poner ecuaciones a todo lo dicho anteriormente. Recordemos que definíamos el momento lineal de una partícula como

Pues como he dicho en el artículo, definimos el momento de inercia (I) como el análogo rotatorio de la masa, y la velocidad angular (ω) como el análogo rotatorio de la velocidad lineal, por lo que el momento angular (L) lo definimos como

No voy a desarrollar esta ecuación mucho más porque no nos interesa, pero simplemente debéis saber que tanto I como ω lo podéis calcular en cualquier circunstancia, sea el movimiento circular, lineal, o como sea. Eso sí, ambas magnitudes dependerán de donde las observemos.

Lo que sí voy a hacer es daros una expresión para I y para ω cuando tenemos una partícula puntual, ya que es el único caso que estudiaremos en esta serie. Primero de todo, el momento de inercia.

Si la partícula es puntual el momento de inercia se simplifica mucho, pues no debemos preocuparnos de la geometría. En este caso el momento de inercia viene dado simplemente por la ecuación

Donde m es la masa de la partícula y r es la distancia a la que está (ya hemos dicho que depende de donde observemos la partícula), además el momento de inercia puede ir cambiando con el tiempo, pues la partícula puede acercarse o alejarse de nosotros. Aunque esto es válido para una partícula puntual que no tiene por qué estar rotando, algo similar ocurrirá con objetos no puntuales que roten sobre sí mismos, lo que nos permite entender el porqué cuando la patinadora extiende sus brazos (r aumenta) aumenta su momento de inercia, mientras que cuando cierra los brazos (r disminuye) disminuye su momento de inercia.

La velocidad angular es algo más complicada, ya que necesitamos el producto vectorial para calcularla, hablé del producto escalar en esta entrada, pero creo que hasta ahora nunca he hablado del producto vectorial. Bien, cuando hablamos de vectores existen dos formas de multiplicarlos: el producto escalar, cuyo resultado da un número, y el producto vectorial, cuyo resultado da un vector. Bien, para definir correctamente el producto vectorial tengo que definir el vector resultante, y para definir un vector tengo que especificar su módulo, su dirección y su sentido. Primero de todo, el módulo:

El producto vectorial de dos vectores da un vector cuyo modulo es igual al área del paralelogramo que forman los dos vectores.

Matemáticamente esto se puede calcular como

Que es la formula para calcular el área de un paralelogramo. Y donde la cruz simboliza el producto vectorial (y las dos barras, el módulo). Una consecuencia directa de esta ecuación es que el producto vectorial de dos vectores con la misma dirección es 0, ya que el ángulo entre ellos será 0 o π (180°), y en ambos casos el seno vale 0. Por esta razón el producto vectorial de un vector por si mismo da 0 (ya que evidentemente el vector tiene la misma dirección que él mismo).

Segundo, la dirección: el producto vectorial de dos vectores da un vector cuya dirección es perpendicular a los dos vectores. Y finalmente el sentido: el sentido viene dado por la regla de la mano derecha, que dice que si pones el dedo índice de la mano derecha apuntando en el sentido del primer vector y el dedo corazón apuntando en el sentido del segundo vector, el pulgar apuntará en la dirección del vector resultante.

Bien, pues dicho esto la velocidad angular para una partícula puntual respecto a un punto se calcula como

De nuevo, esto depende del punto en que estemos mirando, ya que el vector posición r depende del punto. Juntando estas dos ecuaciones, el momento angular para una partícula puntual queda

Finalmente, y solamente por completitud, vamos a escribir la conservación del momento angular. De nuevo fijémonos en cómo escribimos la conservación del momento lineal que vimos en este artículo:

Recordad, la derivada nos indica como cambia una magnitud respecto de otra. En este caso, nos indica cómo cambia el momento lineal en función del tiempo. Si la fuerza es cero, entonces la derivada es cero, lo que es lo mismo que decir que el momento lineal no cambia con el tiempo. Pues bien, vamos a ver cómo cambia el momento angular con el tiempo:

De primeras os parecerá muy largo y complicado, pero simplemente he usado una propiedad de las derivadas llamada la regla del producto, y el hecho que el producto vectorial de un vector por sí mismo da 0. Además de cosas que ya sabemos, como que el momento es masa por velocidad o que la derivada del momento es la fuerza. La regla del producto puede verse fácilmente con el siguiente ejemplo:

Supongamos un rectángulo de lados a y b (en azul). El área viene dada por el producto ab, si incrementamos ambos lados un cierto valor, ¿cómo cambiará el área? La variación vendrá dada por los rectángulos amarillo, naranja y verde, cuyas áreas podemos calcular fácilmente. Aún así fijaos que si la variación de a y b es muy pequeña el área de los rectángulos naranja y amarillo será bastante pequeña, pero el área verde será muuuucho más pequeña (podéis probar a poner números para ver que efectivamente así es). Eso hace que cuando miremos sólo variaciones pequeñas podemos ignorar el área verde y obtenemos justamente la regla del producto para derivadas (cambiando la variación Δ por una derivada).

Lo que nos dice esta última ecuación es que el momento angular se conservará si la magnitud que he denotado como τ (que es el momento o torque) es cero. Notad que esto pasará siempre que la fuerza sea cero, en cuyo caso se conservará tanto el momento lineal como el angular, o cuando exista una fuerza pero ésta sea paralela a la posición. Y esto es todo lo que quería contar sobre el momento angular.

Ahora sí que me despido de esta entrada, como he dicho antes, en el siguiente artículo vamos a hablar de órbitas de planetas. ¡Hasta la próxima!

1. El análogo a la masa para movimientos angulares, recordad.
2. Algunos prefieren usar la palabra rotación para lo explicado antes y usan la palabra revolución para el concepto que explicaré ahora.
3. Aseguraos de que el objeto es inanimado, que, si no, es de mala educación.
4. Sí, ya sé que casi todas las magnitudes que he definido en este artículo se llaman momentos… Pero qué queréis que haga…

Recordemos una definición que di en su momento sobre la energía potencial:

Primero definí lo que es una fuerza conservativa. Recordemos; una fuerza es conservativa si podemos llevar un objeto desde un punto A a un punto B realizando el mismo trabajo lo llevemos por donde lo llevemos. Teníamos esta imagen:

Es decir, el trabajo realizado por una fuerza conservativa para llevar un objeto desde el punto 1 al punto 2 es el mismo tanto por el camino S1 como por el camino S2. Bien, una vez identificamos que una fuerza es conservativa podemos definir una energía potencial “asociada” a esa fuerza; de hecho no podemos definir la energía potencial como tal, sino su variación. La energía potencial es la energía que tiene un cuerpo por el simple hecho de estar sometido a una fuerza conservativa. Como en general las fuerzas suelen afectar a los objetos en cualquier punto del espacio, podemos decir por lo tanto que un objeto, solamente por estar en un punto del espacio tiene una energía potencial.

Vamos a profundizar algo más en esta idea. Nuestra situación es la siguiente: tenemos una partícula que sufre una fuerza, y es importante darse cuenta de que no nos importa qué ni cómo se crea esta fuerza, puede ser otra partícula (como la fuerza electrostática que veremos después) o puede ser un dios griego jugando a las canicas con nuestra partícula. La cuestión es, en fin, que nuestra partícula va a estar sometida a una fuerza; la clave está en que esta fuerza puede depender del punto en donde esté la partícula, pero en cada punto habrá definida una fuerza concreta que nosotros conocemos.^[1] Por ese motivo, una vez conocemos la fuerza que actúa en todos los puntos, y como la energía potencial la definimos como la energía que tiene una partícula por estar sometida a una fuerza, podemos decir que si sabemos en qué punto está la partícula podremos saber qué fuerza actuará sobre ella y, por lo tanto, su energía potencial. Resultado: si conocemos la posición de una partícula conocemos su energía potencial y podemos pensar como que esa energía es debida a que la partícula está en esa posición concreta. Es importante también ser conscientes de que si la fuerza cambia por alguna razón ya no tiene sentido esto, ya que la energía que le correspondía a un punto P antes no será la misma que después. También es importante saber que, en muchos casos, la fuerza depende de la partícula que consideremos, así que, de nuevo, sólo nos sirve para un sola partícula, si queremos saber la energía que tendría otra partícula no podemos usar los valores que hemos calculado antes.

En resumen, podemos considerar que la energía es debida a la posición siempre que no cambiemos la fuerza ni la partícula. Por lo tanto, una partícula situada en el punto 1 de la imagen tendrá una cierta energía potencial, mientras que la partícula situada en el punto 2 tendrá otra energía potencial diferente.^[2] ¿Qué relación hay entre el valor de la energía en 1 y en 2? Pues la variación de energía entre estos dos puntos (esto es, la energía en el punto 2 menos la energía en el punto 1) es precisamente el trabajo necesario para ir del punto 1 al punto 2… multiplicado por -1.

Lo que he dicho en este párrafo es lo mismo que dije en el artículo correspondiente hace ya más de un año,^[3] sólo que lo he extendido un poco; por algo este artículo es una ampliación de aquel.

Bien, ahora centrémonos en una fuerza concreta, la fuerza electrostática, la que se rige por la ley de Coulomb, que, aunque no lo voy a justificar, resulta que es una fuerza conservativa.^[4] Por lo tanto, debe existir una energía potencial electrostática, pero hay cierta característica de la energía potencial que aún no he resuelto. He explicado que cada punto del espacio tiene asociada un valor de la energía potencial y he explicado cómo se puede calcular la diferencia entre dos puntos, pero esto sigue sin resolver la cuestión inicial: ¿Cuánto vale la energía potencial en cada punto y cómo la calculamos? Porque si yo calculo que la diferencia de energía potencial entre los puntos 1 y 2 es de 100J, esto no nos dice si las energías absolutas son 0 y 100J o si son 500 y 600J, etc.

Pues afortunadamente no nos importa para nada el valor exacto. Lo único que podemos medir en un laboratorio son las variaciones de esta energía, y una partícula se comportará exactamente igual tenga 100J que 200J que 10⁶J. Recordemos que, aunque intentemos describir el universo con números y ecuaciones matemáticas, estos números solo significan algo en nuestras cabezas. Así que los físicos suelen hacer un truco, a saber: busquemos un punto arbitrario del espacio que nos guste lo suficiente, y a ese punto le daremos de forma totalmente arbitraria un valor de 0J. A partir de aquí solo tenemos que calcular el trabajo realizado por la fuerza para llevar una partícula desde este punto a cualquier otro y tendremos el valor exacto de la energía potencial. Cómo elegir este punto es otra cuestión, quiero dejar claro que es una elección arbitraria, pero resulta que suele haber un punto concreto (o un conjunto de ellos) para los que el hecho de establecerlos como origen simplifica mucho las matemáticas resultantes. Para el caso de la energía electrostática se suele establecer el origen de potencial en un punto situado al infinito.

Energía potencial (con ecuaciones)

Ya vimos en el primer artículo de la serie (y lo acabamos de repetir en la primera parte del artículo) que la variación de la energía potencial es menos el trabajo hecho para ir de un punto a otro, por lo que si llevamos un objeto desde un punto A a un punto B, tenemos:

La última igualdad sale de la definición formal de trabajo mecánico, que para fuerza constante se corresponde con la conocida ecuación W=F·Δx. Para el caso de la fuerza electrostática entre dos cargas q1 y q2 tendremos

Aquí hay un par de cosas que debo aclarar. Primero de todo, lo que teníamos antes era el producto escalar de la fuerza por un diferencial de longitud, (que simplemente puedes considerar como una longitud muy pequeña),^[5]  pero en el producto escalar sólo afectan las componentes que tienen la misma dirección, por lo que, como la fuerza tiene dirección radial (r) el diferencial de longitud se convierte en dr; si no recordáis, hablamos de esto en el artículo sobre la ley de Gauss. Aún así os dejo un pequeño dibujo que puede ayudar a visualizar lo dicho.

La segunda cosa que quiero aclarar es el valor de la integral de 1/r². No es mi intención enseñaros a integrar en este artículo, así que podéis buscar el valor en muchas tablas (o en Internet mismo, por ejemplo aquí) y veréis que efectivamente es -1/r, que es justo lo que he hecho yo al solucionarla.

Hay una tercera cosa que quiero dejar clara. Recordemos que en la fuerza de Coulomb lo que aparece en el denominador (así como el vector que define la dirección de la fuerza) es la distancia entre la partícula que crea la fuerza y la partícula que la sufre. En este artículo no he escrito r_1,2 sino que lo he abreviado a r. Pero lo importante es que los r_A y r_B que aparecen al final son las distancias de los puntos A y B a la partícula que esta creando la fuerza.

Finalmente, quiero recordar y poner cierto énfasis en que estamos calculando la diferencia entre la energía potencial que tendría una partícula en el punto A y la energía que tendría la misma partícula en el punto B. Si releéis la parte sin ecuaciones veréis que el concepto de energía potencial es algo propio de la partícula y solamente depende de la fuerza que sufra y no de cuál sea la causa de esta fuerza.

Ahora la pregunta es, si elegimos el punto A como el origen de potencial (U_A=0), ¿cuál es el valor de r_A que simplifica al máximo la ecuación? Pues para un valor de r_A infinito obtendremos:^[6]

Ya para terminar el artículo voy a tratar un caso más particular. Si tenemos una partícula con carga 2e y otra con carga Ze, donde e es la carga de un protón con una distancia d entre ellas, ¿cuál es la energía potencial que tiene una de las dos partículas? Si elegimos el origen de potencial al infinito (como haremos de ahora en adelante siempre, a no ser que se especifique lo contrario), podemos usar simplemente la ecuación anterior, esto es

Recordad esta expresión, porque la usaremos más adelante en la serie (éste es en realidad el motivo por el que escribo este artículo).

Antes de terminar dejadme dedicar un último párrafo a la expresión que he puesto y a aclarar algunas cosas. La energía potencial que hay ¿es la energía que tiene la partícula de carga 2e, es la que tiene la partícula de carga Ze o es la energía que tiene una respeto a la otra? Quiero remarcar que la tercera opción NO ES CORRECTA: cuando he definido energía potencial siempre he hablado de una única partícula. Entonces ¿es la energía de la primera partícula o la segunda? Pues la respuesta es que las dos son correctas. Si consideramos que la partícula de carga Ze crea la fuerza y la partícula de carga 2e sufre la fuerza, entonces estamos calculando la energía de la partícula con carga 2e, si al contrario la partícula de carga 2e crea la fuerza y es la partícula de carga Ze la que sufre la fuerza, entonces estamos calculando la energía potencial de la partícula con carga Ze. Debido a que la fuerza que crean una y otra partícula son la misma, y la distancia, evidentemente, también. La energía potencial es exactamente la misma.

Creo que este artículo lo podemos ir dejando por aquí. En el próximo seguiremos con conceptos previos haciendo una segunda ampliación al artículo de conservación de la energía y el momento lineal, pues hablaremos de la tercera magnitud que nos falta. En general suelen haber tres magnitudes importantes que se conservan bajo ciertas condiciones; hemos visto ya la energía y el momento lineal, nos falta hablar sobre el momento angular. Hasta el próximo artículo.

1. Esto se llama un campo vectorial y hablamos de él de forma muy fugaz en este artículo al hablar de campo eléctrico.
2. Nada impide que la energías puedan ser iguales, pero, en general, serán distintas.
3. Pido perdón por la tardanza de la segunda parte de la serie.
4. Para los que sabéis algo del tema, tiene que ver con que su rotacional es cero.
5. Recordemos que hablé de la integral en este artículo y simplemente es una suma de términos muy muy pequeños.
6. Esto es, la diferencia ente la energía potencial cuando la partícula está en B y la energía cuando la partícula esté infinitamente lejos de “la fuente de la fuerza”

Hace tiempo leíste en un blog unos artículos de un profesor de física chiflado (o eso creías por entonces) que afirmaba que una raza de alienígenas súper-inteligentes se dedicaba como pasatiempo a raptar seres humanos, obligándoles a participar en juegos matemáticos y en los que, en el mejor de los casos, te premiaban con dejarte vivir. Tu creías que el pobre padecía delirios o que simplemente tenía una forma muy extraña y perturbadora de enseñar matemáticas a la gente.

De pronto esa cosa que acababa de entrar empieza a hablar:

– Hola, xuglurz, veo que ya has despertado. Mi nombre es Drebhliditav, y soy el encargado que tiene que cocinaaa… digooo, que tengo que explicarte por qué estás aquí. Como puedes ver, aquí delante tienes un aparato primitivo que usáis los humanos para medir eso que llamáis “peso”.

Evidentemente a tu derecha hay una balanza bastante rara. El alienígena saca nueve bolas idénticas de un sitio que prefieres no saber qué es, te las da y sigue hablando:

– Estas nueve bolas son exactamente idénticas en tamaño, en color y en todo lo que tú puedes observar. Tan sólo se diferencian en una cosa: una de ellas es un asqueroso caramelo de menta que te proporcionará la libertad, mientras que las otras ocho son caramelos deliciosos de cianuro, todo un manjar que desgraciadamente son letales para ti – dice, mientras empieza a salivar salpicando las paredes de ácido sulfúrico y varias cosas más que estás seguro de que ni siquiera existen en la Tierra –. Tu objetivo es fácil, xuglurz, debes comerte un caramelo. Si es el de menta puedes estar seguro de que no vamos a comerte, mientras que si por suerte comes algún caramelo de cianuro nos alegrarás bastante la cena de hoy. Pero antes de escoger un caramelo al azar te permitiremos hacer dos pesadas con la balanza, lo cual te será de gran ayuda, ya que por suerte para ti los caramelos de menta son más pesados que los de cianuro. Así que… ¿qué caramelo te quieres comer? -

Debes tomar una decisión rápida, así que empiezas a pensar, ¿existe alguna forma de, haciendo como máximo dos pesadas, encontrar el caramelo de menta?

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Desgraciadamente para el alienígena has sido bien entrenado por el profesor chiflado ese, por lo que no tienes demasiados problemas en encontrar una solución que te permite salvar la vida.

Coges las nueve bolas y las divides en tres grupos de tres, colocas dos de estos grupos, uno en cada plato de la balanza; si ésta marca que un plato pesa más que el otro sabrás que el caramelo de menta está en el grupo que pesa más, mientras que si los dos platos pesan lo mismo sabrás que el caramelo de menta está en el grupo de tres que no has pesado. En cualquier caso, ahora tienes seis caramelos de cianuro identificados y dudas entre tres caramelos, pero puedes volver a hacer lo mismo que antes, coges dos caramelos de los tres y los pesas en la balanza, si uno pesa más que el otro éste será el de menta, si pesan igual el caramelo de menta será el que no has pesado.

Sigues ese razonamiento y te comes el caramelo. Lamentablemente eso no sabe a menta, el dolor de cabeza se intensifica y caes cual saco de patatas al suelo.

Vuelves a abrir los ojos, estás confuso, el caramelo que te habías comido no era de menta (por lo menos no era que lo que los humanos entendemos por menta…) pero tampoco podía ser cianuro, ya que estabas vivo, o al menos eso crees. Al levantar la vista ves que Drebhliditav sigue en la habitación, al parecer tu olfato está ya tan deteriorado que ni siquiera te molesta ya su olor. De nuevo el alienígena te dice, con lo que parece ser una sonrisa burlona:

– No creerías que salvar tu vida sería tan fácil ¿no? Ésa era solo una prueba para separar la comida de la basura… Ya sabes que cuanto más listos son los xuglurz mejor gusto tienen… Ahora sí que vamos a hacer el experimento y esta vez sí, si aciertas te prometemos que te dejaremos libre.

Aunque confías poco en la palabra de un alienígena, no puedes hacer nada más que lo que te dice.

-Esta vez la prueba será más difícil – dice mientras saca no nueve, sino doce bolas exactamente idénticas -. De nuevo aquí tienes doce bolas idénticas en todo… excepto en su composición, las bolas pueden ser de cianuro o de menta, igual que antes, pero tienes suerte. Ahora no tiene por qué haber solamente una de menta, hay dos posibilidades: o bien hay once bolas de cianuro y una de menta, o bien hay once bolas de menta y una de cianuro. Como antes, tienes que escoger un caramelo y comértelo, puedes hacer varias pesadas antes de comértelo, pero te avisamos de que si excedes un número máximo de pesadas serás comido aquí mismo.

Este problema sin duda es mucho más difícil que el anterior, así que empiezas a pensar cómo puedes solucionarlo, Drebhliditav ha dicho que tienes un máximo de pesadas, pero no te ha dicho cuántas son… por lo que, ¿existe alguna forma de encontrar el caramelo de menta? Y si existe, ¿cuál es el número mínimo de pesadas que puedes hacer para encontrarlo?

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La primera respuesta es muy fácil, evidentemente existen formas de encontrar el caramelo de menta, pero la segunda es bastante más difícil. Mi primera respuesta fue 4 (y de hecho encontré varias maneras de hacerlo). Desgraciadamente no es un resultado correcto. La respuesta es 3,;si habías pensado “3″, enhorabuena, si no, ahora que sabes la respuesta, vuelve a pensar, ¿qué pesadas debes hacer para encontrar el caramelo de menta?

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Bien, si has llegado hasta aquí supongo que ya has encontrado la solución correcta (si no, te recomiendo que pienses más, yo tardé algunas horas antes de dar con esta respuesta).

Primero coges las doce bolas e, igual que antes, las divides en tres grupos, esta vez de cuatro bolas. Pones dos grupos en la balanza, hay dos opciones, o bien los dos platos pesan igual o bien uno de los dos pesa más (como en este caso la información que tenemos de las bolas que pesamos es simétrica tanto nos da cuál de los dos grupos pese lo mismo).

Si la balanza está equilibrada quiere decir que las ocho bolas pesan lo mismo (esta vez lamentablemente no sabemos si son ocho caramelos de cianuro u ocho caramelos de menta), Ahora procedes de la siguiente manera:

Coges tres de las bolas que aún no has pesado (las bolas que aún no han sido pesadas las marcaré en blanco) y una bola que ya has pesado (que marcaré en negro). Puede parecer que tienes la misma información de una bola blanca que una de negra, pero no es así, efectivamente en ambos casos hay un 50% de que sean caramelos de menta y un 50% de que sean cianuro, pero sabes que independientemente de eso, hay once bolas iguales y solo una distinta, por lo que sabes que todas las bolas negras son del mismo tipo. Ahora hay tres opciones:

1-      La balanza esta equilibrada

2-      Las dos bolas blancas pesan más

3-      Las dos bolas blancas pesan menos

En el primero de los casos podremos marcar esas tres bolas blancas de color negro (seguiremos sin saber nada de ellas), pero ahora tenemos 8+3=11 bolas negras, por lo tanto, la bola distinta será la bola blanca que nos queda (la que no hemos pesado aún) y solo necesitaremos pesarla con cualquier otra bola, si la bola blanca pesa más, significa que es el caramelo de menta, si pesa menos, pues es cianuro.

Si en la segunda pesada las dos bolas blancas pesan más, entonces sabremos que una de esas tres bolas será la especial, o bien una de las dos bolas que pesan más es el caramelo de menta o bien la que pesa menos es el caramelo de cianuro.

Simplemente pesamos las dos bolas que creemos pueden ser de menta, si pesan lo mismo la bola especial es la que no hemos pesado y es cianuro (por lo tanto, todas las otras son de menta). Si una de las dos bolas pesa más que la otra, ésa será el caramelo de menta.

El tercer caso es simétrico, si las dos bolas blancas pesan menos, entonces o bien una de esas es cianuro o bien la otra es el caramelo de menta. Pesamos las dos de cianuro y entonces sabremos cual es el caramelo de menta.

Está claro que, si en la primera pesada la balanza esta equilibrada, no tendremos ningún problema. Pero ¿qué pasa si no está equilibrada? Primero, sabremos que la bola “especial” está en uno de los dos grupos de cuatro, por lo tanto, las cuatro bolas que no hemos pesado serán negras (es decir, no sabemos qué son, pero sabemos que no son especiales), luego de las ocho bolas que tenemos en la balanza, o bien una de las cuatro que pesan más es el caramelo de menta (las marcaremos como verdes) o bien una de las cuatro que pesa menos es el caramelo de cianuro (las marcaremos como amarillas). Entonces hacemos la pesada siguiente:

Aquí volvemos a tener dos posibilidades (dada la simetría evidente). Si la balanza está equilibrada la bola especial es una de las dos amarillas que no hemos pesado, y solo tenemos que pesar esas dos para ver cuál pesa menos y, por lo tanto, es el cianuro.

Si, en cambio, la balanza no está equilibrada, las bolas verdes que suban no pueden ser caramelos de menta (pues pesarían más) y la bola amarilla que baja no puede ser cianuro.((Dejadme que aclare la frase un poco, cuando digo esta bola no puede ser un caramelo de menta o cianuro, me refiero a que no puede ser el único caramelo de menta o cianuro, es decir que esta bola pertenece al grupo “negro” por lo tanto, si resulta que hay once caramelos de menta, pues seran de menta…)) De modo que reducimos el problema a dos bolas verdes y una amarilla, y nos queda una pesada, pero esto es exactamente lo que hemos hecho antes.

Pones en marcha tu plan, y te comes de nuevo un caramelo, pero… de nuevo no tiene sabor a menta, solo tienes tiempo de mirar cabreado al alienígena antes de caer de nuevo al suelo sumido en la oscuridad.

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Abres los ojos – ¿Dónde estoy? – te preguntas. Te duele la cabeza y estas mareado, miras a tu alrededor, te encuentras en una especie de habitación. Una habitación que te resulta familiar. Empiezas a recordar, ayer saliste con tus amigos de fiesta para celebrar el ascenso de un amigo tuyo en el trabajo, recuerdas que fuisteis a un bar y pedisteis unas cervezas seguidas de bastantes rondas de bebidas alcohólicas varias. De repente ves entrar una cara conocida, y empiezas a ordenar tus ideas, te das cuenta que te encuentras tumbado en el sofá del piso de una amiga tuya, te mira y sonríe.

– Te pasaste un poco con la bebida ayer ¿no? –  Sonríes y asientes con la cabeza. – No sabes qué pesadilla más rara he tenido – le dices sin dejar de sonreír, contento de ver que todo ha pasado y, evidentemente, sin sospechar que tu experiencia no ha tenido nada de pesadilla y que Drebhliditav es ni más ni menos que el capitán de Rotnacgroeg, la nave que estaba a punto de empezar la conquista de la Tierra, cabreado porque se ha quedado sin cena.

Espero que os haya gustado el relato. La verdad es que escribir no es precisamente mi fuerte, pero he hecho lo que he podido. Para los que no hayan entendido nada de lo que acaba de pasar les recomiendo que lean esta serie (aunque Pedro os recomienda todo lo contrario). Sin duda este artículo no está a la altura de ninguno de esos, pero, la verdad, cuando me propusieron este ejercicio en clase de Álgebra pensé que estaría bien compartirlo aquí y ésta es la mejor idea que he tenido…

Como la segunda prueba es algo complicada, y una imagen vale más que mil palabras, dejadme que os ponga un dibujo (cutre, como todos) de los caminos posibles a seguir:

En este dibujo he marcado las bolas con los colores que ya he usado en el artículo, y además he marcado en verde-azul los caramelos que ya sabemos al 100% que son de menta. Aún así he seguido con más dibujos por una simple razón: el problema original^[1] trata de doce bolas en las que sabes que sólo una pesa más/menos y tienes que decir cual es y si pesa más o menos. Evidentemente, a nosotros sólo nos interesa encontrar las bolas que pesan más, por esta misma razón, aunque creo que no, es posible que el problema planteado aquí pueda resolverse con dos movimientos.

En fin, espero que os haya gustado, o por lo menos entretenido este artículo que, si es posible, servirá para que sepáis que sigo vivo y que los modelos atómicos llegarán… al fin y al cabo, si la Humanidad pudo esperar 1904 años a que Thomson propusiera su modelo, vosotros igual podéis esperar unos meses.

1. Sí, aunque te parezca una barbaridad no iba sobre alienígenas ni nada de eso… Qué aburridos son los matemáticos ¿no?

Acabamos el artículo anterior con una de las consecuencias del modelo atómico de Thomson: los átomos pueden radiar ondas electromagnéticas cuando los electrones están “excitados” (el electrón suele estar en lo que se llama nivel fundamental, que es cuando éste tiene la mínima energía posible; si el electrón tiene más energía se dice que está excitado, entonces el electrón estará moviéndose alrededor de la posición de equilibrio) o al contrario, un átomo puede absorber radiación haciendo que el electrón gane energía. Esta consecuencia, aunque importante porque predice la emisión y absorción de luz observada en los espectros atómicos, es también uno de los motivos por los que este modelo debe ser descartado. Recordemos que habíamos llegado a una consecuencia muy importante: la frecuencia de la radiación solamente depende de la carga y el tamaño del átomo en cuestión, es decir, que un mismo átomo solo puede absorber/emitir una frecuencia concreta; de hecho, ya vimos que el átomo de hidrógeno sólo debería radiar ondas electromagnéticas de longitud de onda 119 nm. Y aunque este valor se acerca a una de las líneas del hidrógeno observadas en su espectro real (la línea Lyα, es decir la primera línea de la serie de Lyman, que tiene una longitud de onda de 121,6 nm) este resultado no explica las otras líneas observadas en dicho espectro.

Imagen sacada de aquí 

Pero, bueno, Thomson era perfectamente consciente de este fallo antes de proponer su modelo. La verdadera razón para descartar el modelo de Thomson fueron unos experimentos realizados en 1909 (cinco años después de que Thomson propusiera su modelo). Estos experimentos llevados a cabo por un equipo de investigadores (aunque estos experimentos suele decirse que los hizo Rutherford, en realidad él sólo los supervisaba y dirigía; los que lo hicieron, propiamente hablando, fueron otros físicos). Seguro que todos habéis oído hablar del experimento de la lámina de oro (y si no lo conocéis hablé brevemente sobre él en este artículo). Básicamente se trata de un emisor de partículas α, luego estas partículas son colimadas mediante diafragmas (es decir, se hace que todas las partículas vayan paralelas), después se hace incidir el rayo colimado sobre una lámina (se usó oro porque interesaba que la lámina fuera lo más fina posible, y el oro es el metal más maleable conocido). Finalmente, una película registraba la desviación que sufrían las partículas α. La desviación de las partículas α nos permite deducir características de la estructura interna de los átomos.

Debido a que la lámina es muy fina la mayoría de partículas atravesarán la lámina, pero debido a la fuerza de Coulomb (las partículas α tienen carga positiva y el átomo del oro, de los dos tipos) en su recorrido por el interior de la lámina se desviarán de la trayectoria recta. Evidentemente la desviación de las partículas dependerá de la trayectoria que sigan en el interior de la lámina, lo que hace que, aunque al principio todas las partículas tengan la misma dirección, no todas saldrán formando el mismo ángulo, algunas se desviarán más que otras.

Como la lámina de oro es homogénea no existe ninguna dirección privilegiada, es decir, no hay nada que nos haga pensar que las partículas se desviarán hacia la derecha, o hacia arriba, ni en ninguna dirección en concreto. Por esto no nos interesará saber hacia dónde se desvían las partículas, sino cuánto se desvían (en otras palabras, el ángulo que forma la trayectoria de la partícula al atravesar la lámina con la dirección que tendría si no se hubiera desviado).

Según el modelo atómico de Thomson la carga positiva está distribuida homogéneamente por todo el átomo por lo que las partículas solo sufrirán desviación apreciable si pasan por un extremo del átomo (entonces toda la carga positiva hará fuerza hacia la misma dirección)^[1] o si pasa muy cerca de un electrón. Al hacer el experimento se encontró que en general las partículas se desviaban entre 1^o y 2^o.

Ahora la pregunta es, ¿son estos números compatibles con lo que dice el átomo de Thomson?

Llegados a este punto siento deciros que no hay forma fácil de explicar esto sin usar ecuaciones, por lo que debéis creerme. Usando la conservación de la energía y del momento lineal que presenté en el primer artículo es posible dar un resultado aproximado de la desviación máxima que puede sufrir una partícula α. Al atravesar una lámina de 1 μm es de unos 1,3 ^o, lo que nos puede empezar a parecer extraño. Aun así, debido a las aproximaciones tomadas en este cálculo, la diferencia no es suficiente como para descartar el modelo de Thomson, necesitamos algo más, alguna diferencia apreciable para estar seguros que no se debe a un problema de aproximación.

Rutherford se dio cuenta de una cosa muy importante. El ángulo que he dicho de 1^o-2^o es una especie de media, pero en ese experimento se vio que aproximadamente un 0,01% de las partículas salían con un ángulo de desviación superior a 90^o. Aquí es donde el modelo atómico de Thomson no puede explicar los resultados del experimento. Además, haciendo el experimento con diferentes láminas de diferente espesor se vio que la predicción que ofrecía el modelo atómico de Thomson sobre cómo variaba la desviación en función del espesor tampoco se cumplía, ya que, según el modelo de Thomson, el número de partículas α que se dispersaban en grandes ángulos debía ser proporcional a la raíz del espesor (esto es; si el espesor aumenta 4 veces, el número de partículas dispersadas en ángulos grandes debía doblarse). Por el contrario, se encontró que este número era proporcional al espesor (sin raíz cuadrada).

Hasta aquí el modelo de Thomson. El siguiente modelo a presentar es justamente el que propuso Rutherford después de estos experimentos. Pero antes vamos a ver algunas ecuaciones que nos ayuden a entender este experimento (en este artículo debo advertir que esta segunda parte puede ser matemáticamente compleja):

Fallos del modelo (con ecuaciones)

Bien, no voy a repetir aquí todo el experimento, de hecho, la mayor parte del artículo no necesita de ninguna ecuación, así que empecemos directamente por intentar calcular cuál es el ángulo máximo que puede desviarse una partícula α al chocar con un electrón.

Antes de nada, ya os quiero avisar, esta parte está llenita de aproximaciones y algunas veces tendréis que creerme sin que os pueda explicar el porqué de algunas cosas, hay algunos cálculos algo pesados y largos pero que quiero incluir en el artículo (aunque haga que algunos lectores a lo mejor se pierdan), algunos de estos cálculos los presentaré en forma de ejercicio para que os paréis a pensarlos vosotros antes de que los haga yo. Intentaré que se pueda ir siguiendo, aun así algunas veces lo mejor es que se tenga papel y boli y que se vayan haciendo todos los pasos en casa, ya que en algunos casos puede que me salte algunos que considero que no son importantes. Así que empecemos ya desde el principio aproximando.

Primero de todo, vamos a suponer que el electrón está libre e inicialmente en reposo. Estas aproximaciones las podemos hacer porque las partículas α tienen energías muy grandes (comparadas con la energía de ligadura del electrón). Además, supondremos que el choque entre las dos partículas es un choque elástico (los choques entre partículas suelen ser siempre elásticos o se pueden aproximar muy bien).

Primero de todo, vamos a hacer un dibujo de la situación: al principio tenemos una partícula α (en verde) que va hacia el electrón en reposo (en rojo), y después del choque las dos partículas se moverán formando un cierto ángulo con el eje x.

Apliquemos ahora las leyes de conservación. Recordad que en una colisión elástica la energía cinética interna se conserva, pero como la energía cinética de una partícula es la suma de la energía cinética interna más la energía cinética del centro de masas i, en nuestro caso, la energía cinética del centro de masas es la misma, por lo que podemos aplicar simplemente que la energía cinética interna se conserva:

Donde hemos tenido en cuenta que la energía cinética inicial del electrón es 0 por ser su velocidad nula. Además, sabemos que se conserva la cantidad de movimiento (como en cualquier colisión). Doy por supuesto que a partir del dibujo sois capaces de encontrar las componentes de los vectores:

Ejercicio: Demostrar que estas tres ecuaciones se pueden combinar para dar como resultado esta ecuación

Solución: Echando una ojeada a la ecuación que debemos encontrar notamos que no depende de γ, por lo que debemos encontrar una manera de eliminar γ de las dos ecuaciones de la cantidad de movimiento. Lo primero que debe veniros a la cabeza es intentar usar la igualdad:

Para esto necesitamos tener el seno y el coseno elevados al cuadrado:

Ahora simplemente sumamos las dos ecuaciones

De hecho, esta ecuación la podríamos haber sacado del dibujo si hubiésemos pensado en el teorema de coseno. Pero bueno, vemos que ahora tenemos dos ecuaciones y nos hemos deshecho de γ, además vemos que hemos aislado p_e², por lo que podemos sustituirlo en la ecuación de las energías y solo nos queda modificar un poco la forma.

#

Como vemos esto es una ecuación de segundo grado, por lo que sabemos que su solución será:

Aquí perdonad porque me he saltado algunos pasos, pero son simplificaciones (no hay trucos matemáticos ni nada raro, solo simplificar la ecuación) así que si le dedicas unos minutos seguro que entiendes lo que he hecho. Aunque cualquier duda que haya siempre estaré encantado de resolverla en los comentarios.

Ejercicio: Demostrar, usando la ecuación anterior que el máximo ángulo de desviación posible en un choque entre una partícula α y un electrón es del orden de 10^-4 rad.

Solución: Efectivamente, sean cuales sean los valores de p_α,f y p_α,i podemos asegurar que son valores reales, esto es, lo que tenemos dentro la raíz debe ser positivo:

Y teniendo en cuenta que m_α≈7344m_e , obtenemos que β<1,362·10^-4 rad. #

Como he dicho antes, las únicas formas de desviar una partícula α son, o bien con una colisión con un electrón, o debido a la repulsión de la carga positiva. Ésta será máxima cuando la partícula α pase por la superficie del átomo, de forma que la fuerza de repulsión será de

Donde he usado que la carga de una partícula α es 2e y la carga de un átomo es Ze (el número de protones por la carga de cada protón). Supongamos que esta fuerza solo actúa mientras la partícula recorre el diámetro del átomo:

By Kurzon – Own work, CC BY-SA 4.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=34697665

Entonces, la segunda ley de Newton nos dice que

ya que el tiempo que tarda la partícula en moverse una distancia igual al diámetro es el mismo diámetro (2r_A) dividido por su velocidad.

Ahora podemos ver en la figura que se cumple que

y de nuevo sustituyendo valores vemos que θ=3,258·10^-4 rad.

Ahora vienen los datos que desgraciadamente no puedo justificaros, básicamente porque no he sido capaz de encontrar de donde salen exactamente:

Hasta ahora hemos calculado el ángulo máximo que puede desviarse una partícula α al atravesar un solo átomo, pero en una lámina hay miles de átomos, por lo que la desviación total es la suma de todas las desviaciones producidas por cada átomo sobre la partícula. Al aplicar la teoría estadística clásica al modelo atómico de Thomson resulta que el ángulo máximo que se desviará una partícula α cuando atraviese N átomos debe ser:

Lo que si el espesor de la lámina es de 1 μm (tomando el diámetro de un átomo de oro como 4 Å, la partícula atraviesa unos 2500 átomos) nos da un ángulo de 1,3 ^o.

De hecho, como dije antes, al jugar con espesores distintos notaron que el ángulo no era proporcional a N^1/2 sino a N.

Pero como he dicho, la experiencia que puso de manifiesto que el modelo de Thomson no funcionaba fue el hecho que se observaron partículas con ángulos de más de 90^o. Resulta que la teoría estadística predice que, según el modelo de Thomson el número de partículas α dispersadas entre un ángulo β y un ángulo β+dβ es

Donde I₀ es el número de partículas α incidentes (eso es, las totales). Si queremos calcular el porcentaje de partículas α que se desviarán un ángulo superior a 90^o debemos calcular:

Haciendo un cambio de variable:

En nuestro caso, en una lámina de 1 μm ya he dicho antes que se encontró una β_mc de 1 ^o. Por lo que la probabilidad de encontrar una partícula α entre 90 ^o y 180 ^o es de nada menos que e^-8100%≈10^-3518%, evidentemente es un número absolutamente ridículo, recordemos que alrededor del 0,01=10^-2% se detectaron con ángulos superiores a 90 ^o.

Bueno, espero que el artículo no se haya hecho pesado. La verdad, por ahora ha sido con muchísima diferencia el artículo más difícil de escribir de la serie, ya sea por la complejidad que tiene tanto de entender qué es lo que se está haciendo como la complejidad matemática (aparte del hecho que varias cosas mencionadas aquí no las he estudiado nunca y por internet he encontrado poca información y mucha es contradictoria e incoherente…). Espero también que el artículo haya sido accesible a todo el mundo (cada uno en su nivel, claro). Y preparaos porque con el modelo atómico de Rutherford viene lo bueno.

1. Si la partícula pasa por uno de los diámetros, la mitad de la carga hará una fuerza hacia un lado y la otra mitad hacia el otro lado.

El modelo atómico de Thomson es muy simple. Según él los átomos son esferas de carga positiva con electrones incrustados dentro de la esfera, lo cual les confiere una carga eléctrica neutra. Este modelo habla ya del átomo formado por partes positivas y partes negativas.

Vamos a ver consecuencias de este modelo. Básicamente, la gran revolución de este modelo está en el hecho de que predice que los átomos deben radiar ondas electromagnéticas, algo que se había comprobado experimentalmente, como ya comenté vagamente en la presentación de la serie. Voy a intentar explicarlo más o menos sin ecuaciones, aunque ya os advierto que este modelo tiene poca chicha.

Modelo atómico de Thomson: “pudin de pasas” (imágenes extraídas de socratic.org y quimica4atomos.blogspot.com.es)

Para hacer simplificaciones, imaginemos el átomo de hidrógeno. Según este modelo, el átomo de hidrógeno está formado por una esfera de carga positiva y un único electrón. Aunque parece obvio que el electrón tendrá una posición estable en el centro de la esfera, es bastante fácil razonarlo con la ley de Gauss. Supongamos ahora superficies esféricas concéntricas a nuestro átomo (más pequeñas que el radio atómico). La ventaja de estas superficies es que, debido a la simetría, una vez conocido el flujo de campo eléctrico podemos calcular sin dificultad el campo eléctrico. A este tipo de superficies se les llama superficies gaussianas.

Como la esfera tiene carga positiva y ésta está repartida por toda la esfera (supondremos que la carga se reparte homogéneamente por toda ella), cualquier superficie de éstas tendrá algo de carga positiva dentro, por lo que el flujo de campo eléctrico será diferente de cero. Pero recordemos que si el flujo no es cero significa que existen líneas de campo que atraviesan esta superficie y que, por lo tanto, existe un campo eléctrico. La existencia de un campo eléctrico en esta superficie significa que un electrón que se encuentre en esta superficie (es decir, a una distancia r del centro) sufrirá una fuerza. La única superficie donde el campo eléctrico vale 0 es precisamente cuando el radio es igual a cero, es decir, cuando el electrón se encuentra en el centro de la esfera de carga positiva. Por lo tanto, cuando el electrón se encuentre dentro de la esfera experimentará una fuerza que lo empuja hacia el centro, donde el electrón se va a encontrar en una posición de equilibrio (recordemos del artículo dedicado al movimiento armónico que posición de equilibrio hace referencia a una posición donde no actúan fuerzas).

Pero no nos paremos aquí e imaginemos que desplazamos el electrón del punto de equilibrio. Hemos visto que aparece una fuerza, pero que dicha fuerza justamente intenta llevar al electrón de nuevo a la posición de equilibrio… ¿os suena? ¡Efectivamente, la fuerza eléctrica actúa aquí como una fuerza recuperadora! Además, podemos ver que cuanto más alejemos el electrón del centro más grande será la fuerza recuperadora:

Recordemos que podemos calcular el campo eléctrico a cualquier distancia del centro usando la ley de Gauss (como ya hemos hecho arriba), pero cuanto más lejos esté el electrón del centro, más grande será la superficie gaussiana y más carga positiva habrá encerrada dentro (recordemos que la carga está repartida homogéneamente por toda la esfera, no está concentrada en el centro), por lo que el flujo (y por lo tanto el campo eléctrico y la fuerza) será más grande.

Si no acabáis de entender porqué cuando el electrón está más lejos del centro entonces la fuerza es más grande, vamos a verlo más a fondo. Como he dicho, el modelo de Thomson supone que la carga positiva del núcleo esta distribuida homogéneamente en una esfera. Imaginad una esfera llena de agua, el volumen total de agua es exactamente el volumen de la esfera. Imaginad ahora que tenemos una segunda esfera, más pequeña, o lo que es lo mismo, con un radio más pequeño (fijaros que el radio de la esfera es precisamente la distancia que hay entre el centro y cualquier punto de la superficie esférica), ahora vertimos el agua de la primera esfera a esta segunda. Supongo que todos sabéis que el volumen de una esfera (y por lo tanto, el volumen máximo de agua que puede encerrar) depende del radio, y cuanto más radio, más volumen. Entonces no podremos verter toda el agua y una parte de ésta se quedará en la primera esfera. Debéis estar preguntándoos que carajo tiene que ver esto con el modelo atómico de Thomson y por qué estoy divagando… Vale, imaginad^[1] que estas esferas son precisamente las esferas definidas por las superficies gaussianas dentro del átomo y que en lugar de agua están llenas de carga eléctrica. ¿No resulta evidente ahora que, cuanto más grande sea la superficie gaussiana más carga habrá encerrada dentro? Es importante también ver que la carga es constante; en nuestra analogía, si sumamos el volumen de agua de la esfera más pequeña y el volumen que se ha quedado en la primera obtenemos exactamente el volumen de la primera esfera. Lo mismo pasa con la carga, que está repartida en una esfera de radio el radio del átomo.

También quiero decir que el hecho de que la fuerza aumente con la distancia es una aproximación suponiendo que el radio de las superficies gaussianas no supera el radio atómico, en cuyo caso la carga deja de aumentar, pero en ese caso el electrón ha escapado del átomo, por lo que no nos interesa.

Espero que ahora os haya convencido que la fuerza recuperadora es proporcional a la distancia y que algunos de vosotros ya hayáis visto por donde voy… ¡El electrón sigue un movimiento armónico simple!

Aunque antes hay otra cosa muy importante que debemos tener en cuenta. Debido a la segunda ley de Newton, al aplicar una fuerza sobre un cuerpo éste sufre una aceleración directamente proporcional. Por lo tanto, el electrón está siendo acelerado todo el rato, por lo que, si recordáis lo dicho en el anterior artículo, emitirá radiación, ya que cualquier carga acelerada emite radiación electromagnética. Así que efectivamente el modelo atómico de Thomson predice que los átomos deben radiar ondas electromagnéticas, tal y como he anunciado al inicio del artículo. Pero además, en el anterior artículo también dije que una carga que siga un movimiento circular de frecuencia ν radia ondas de la misma frecuencia. Aunque en el artículo anterior usé el ejemplo de electrones dando vueltas en círculos, podéis volver a hacer lo mismo en el caso de un electrón siguiendo un MAS^[2] y deberíais estar de acuerdo conmigo si os digo que la conclusión es la misma (de hecho, el MAS y el movimiento circular uniforme están estrechamente relacionados).

Por lo tanto, no sólo sabemos que el electrón radia ondas electromagnéticas, además sabemos que tendrán la misma frecuencia que el electrón. ¿Recordáis de qué dependía la frecuencia de un MAS? Dependía de la “rigidez” del muelle y de la masa, en este caso, del electrón. Como ahora evidentemente no hay ningún muelle no tiene sentido hablar de la rigidez, pero, como vimos, la rigidez simplemente nos indica cuan intensa es la fuerza en una elongación concreta. En nuestro caso dependerá de la carga de la esfera (estamos pensando en el caso simplificado del hidrógeno, pero los razonamientos que hemos hecho servirían para cualquier átomo con un solo electrón, como el Helio ionizado) y del radio del átomo.

Lo más importante es una conclusión que remarqué en la segunda parte del artículo dedicado al MAS. No nos interesa tanto de qué depende la frecuencia de oscilación, sino de qué no depende esta frecuencia. Hemos visto que sólo depende de la carga de la esfera (ya que la masa del electrón es una constante que no podemos variar) y del radio del átomo, pero no depende de la distancia a la que desplacemos el electrón del centro. Por lo tanto, tendremos una frecuencia de vibración bien definida que solamente dependerá de cada átomo en concreto. De hecho, para un átomo de hidrogeno^[3] la carga de la esfera es, evidentemente, la carga de un protón, que es aproximadamente 160 zC^[4] y su radio atómico es aproximadamente 1 Å^[5], por lo que tenemos que la frecuencia de vibración es de aproximadamente 2,53 PHz,^[6] lo que equivale a una longitud de onda de 119 nm.^[7]

Aunque lo hecho aquí sólo sirve estrictamente para átomos con un solo electrón, es posible demostrar que si el número de electrones aumenta podemos aproximar el movimiento de cada uno de los electrones a un movimiento armónico simple, de forma que, en buena aproximación, podemos generalizar los resultados de lo que acabamos de ver para cualquier átomo sea el número de electrones tan grande como se quiera. Eso es debido a que aunque el número de electrones sea diferente a 1, siempre existirán posiciones de equilibrio estables (seguramente no en el centro), y cualquier posición de equilibrio estable cumple que la función de la energía potencial tiene un mínimo en esa posición.^[8] Y si has estudiado el MAS con más profundidad de lo que expliqué yo, ya sabes que la función energía potencial del movimiento es una parábola, pero cualquier función con un mínimo puede aproximarse alrededor de este mínimo como una parábola. Por lo que, efectivamente, cualquier movimiento alrededor de un punto de equilibrio estable puede aproximarse como un movimiento armónico simple (evidentemente, cuanto menor sea la elongación mejor será la aproximación).

Hasta aquí el primer artículo hablando sobre el modelo atómico de Thomson. En el próximo vamos a ver los fallos del modelo (uno de ellos salta ya a la vista) para poder ver en un futuro cuales son las ventajas del modelo de Rutherford.

Modelo atómico de Thomson (con ecuaciones)

Vamos a poner algunas ecuaciones a lo dicho arriba. Como muchas veces, éste es un material bastante complementario que, si dominas el lenguaje matemático, te ayudará a entender mejor lo explicado arriba.

Vamos a suponer un átomo de hidrógeno, formado por una esfera de carga +e, con un electrón en el centro con carga -e. Supongamos que desplazamos el electrón una distancia r₀ del centro. ¿Cuánto vale E en ese punto? Vamos a aplicar la ley de Gauss, recordemos lo que nos dice:

Escojamos ahora una superficie cerrada donde podamos aplicar la ley de Gauss. Evidentemente, como queremos calcular el campo en un punto concreto, debemos buscar una superficie cerrada que incluya dicho punto. Debemos notar que el campo en ese punto es independiente de cómo lo calculemos y, por lo tanto, escojamos la superficie que escojamos debemos llegar al mismo resultado. Para simplificar vamos a escoger una superficie esférica de radio r₀ concéntrica al átomo. Esta superficie es muy útil porque cumple dos condiciones que nos facilitan mucho el cálculo:

1. El campo eléctrico es perpendicular o paralelo a la superficie en todos los puntos de ésta.
2. El campo eléctrico tiene el mismo módulo en todos los puntos en los que es perpendicular a ésta.

En la siguiente imagen se ve claramente que el campo eléctrico es perpendicular a la superficie en todos los puntos:

Imagen sacada de aquí

La segunda ventaja de usar esta superficie es evidente si recuerdas que el modulo varía con la distancia: la esfera justamente tiene la propiedad que todos los puntos están a la misma distancia del centro.

¿Qué ventajas nos proporciona la superficie esférica? Muy sencillo, primero debemos fijarnos en la definición de flujo y veremos que se simplifica un poco:

Ya que el coseno de π/2 es 1. Esto puede parecer una tontería, pero nos hemos quitado los vectores del medio, lo que simplifica muchas cosas. Justamente, como ahora lo que está dentro de la integral es el modulo del campo y la segunda propiedad de la superficie nos dice que éste es constante, podemos sacarlo fuera de la integral (antes lo que teníamos dentro era el vector campo eléctrico, que no es constante, ya que varía en dirección. Por este motivo la primera propiedad es muy importante). Veamos cómo queda la ley de Gauss ahora:

Donde hemos aplicado que la integral del diferencial de superficie sobre una superficie es precisamente esta misma superficie, que en nuestro caso es una superficie esférica de radio r₀. Las superficies que poseen estas dos propiedades nos permiten calcular siempre el campo eléctrico en ellas, y se llaman superficies gaussianas. Realmente aunque la ley de Gauss se cumple en cualquier situación, su utilidad es básicamente la de calcular campos eléctricos de forma sencilla (al menos mucho más sencillo que hacerlo mediante la ley de Coulomb). Usarla bien puede simplificar páginas de cálculos y reducirlas a pocas líneas.^[9]

Ahora solo debemos calcular la carga interior de la superficie. Usemos el concepto de densidad volumétrica de carga que definimos en el artículo sobre ley de Coulomb, pero supongamos que la densidad es constante a toda la esfera:

Entonces la carga encerrada en un volumen concreto será

Sustituido en la ecuación del campo eléctrico:

Finalmente podemos calcular la fuerza a partir de la definición de campo eléctrico

Aquí se pone claramente en evidencia que efectivamente el movimiento del electrón se trata de un movimiento armónico simple. Además, sabemos que la frecuencia de las oscilaciones viene dada por la ecuación

Finalmente, sólo debemos calcular el valor de la densidad de carga

Donde r_A es el radio atómico, juntando todas las ecuaciones obtenemos lo siguiente:

Donde sustituyendo valores aproximados resulta lo dicho en la primera parte.

Ahora sí, hasta aquí llega el primer artículo dedicado al modelo atómico de Thomson. Espero que la espera haya valido la pena.

1. Sí, debéis tener una gran imaginación, al fin y al cabo estamos intentando entender un átomo, ¿no?
2. Recordad que MAS son las siglas de “Movimiento Armónico Simple”.
3. Por si tenéis la química lejos: un átomo de hidrógeno es un protón + un electrón.
4. 160 zeptoculombios, equivalente a 160·10^-21 C.
5. 1 ångström, equivalente a 100 pm=10^-10 m.
6. 2,53 Petahertz, equivalente a 2,53·10¹⁵ Hz.
7. 119 nanómetros, equivalente a 119·10^-9 m.
8. Esto no lo hemos visto, pero tranquilos, no es importante para la serie, una simple curiosidad.
9. Ejemplos de campos fácilmente calculables por la ley de Gauss son configuraciones esféricas, un hilo infinito o una superficie plana infinita…

6. Radiación

Primero de todo, ¿qué es la radiación? La radiación consiste en la propagación de energía en forma de partículas subatómicas a través de un medio. Yo sólo voy a hablar de la radiación producida por los fotones, es decir, la radiación electromagnética. La radiación electromagnética consiste simplemente en la propagación de energía en forma de ondas electromagnéticas a través de un medio.

Aunque no voy a entrar con muchos detalles y no podré justificar todo lo que diga (porque necesitaríamos una serie entera dedicada a esto) voy a hablar un poco sobre la radiación electromagnética. Primero, solamente por el nombre muchos ya deberíais sospechar que esta radiación tiene algo que ver con la electricidad y el magnetismo. Pues tenéis toda la razón: la radiación electromagnética es precisamente una onda que se genera debido a las oscilaciones de un campo eléctrico y otro magnético. Existen leyes físicas que nos permiten afirmar que cuando hacemos variar un campo eléctrico se crea un campo magnético (no he hablado de campos magnéticos, pero simplemente es aplicar la teoría de campos al magnetismo) y, a la vez, cuando hacemos variar un campo magnético se crea un campo eléctrico. Son estas variaciones de campo eléctrico y magnético las que crean una onda. Y esto nos conduce a una consecuencia interesantísima.

Ya hemos hablado de campo eléctrico, dijimos que una partícula con cierta carga eléctrica modifica todo el universo creando un campo eléctrico. Por lo tanto, en un cierto punto existirá un campo eléctrico debido a esa partícula que, como vimos, será más intenso cuanto más cerca esté de la carga. Ahora imaginemos que la partícula no está quieta, sino que se mueve, por ejemplo dando vueltas en círculos con velocidad constante. ¿Qué es lo que observamos desde nuestro punto (naranja en la imagen)? Pues que la partícula se aleja periódicamente de nosotros y luego se acerca otra vez. Por lo que el campo eléctrico en este punto tendrá un valor máximo (cuando la partícula esté más cerca, punto rojo) luego decrecerá cuando la partícula se aleje, pasará por un valor mínimo (cuando la partícula esté al otro lado del círculo, punto verde) y volverá a aumentar cuando se acerque, volviendo al valor máximo.

Pero lo más importante es que el campo eléctrico varía y por lo tanto, al existir leyes físicas que así nos lo dicen, como he dicho, se creará un campo magnético. De nuevo, hay leyes físicas que nos permiten saber cómo será este campo magnético y ¡da la casualidad que también será variable! Y como también he dicho antes, un campo magnético variable produce un campo eléctrico (que de nuevo resulta ser variable). Por lo que este campo magnético variable creará un campo eléctrico variable que creará un campo magnético variable que…

En definitiva, ¡la carga eléctrica está creando ondas electromagnéticas!^[1] Gracias a las mismas leyes que antes podemos afirmar que esto pasará siempre que una carga eléctrica sea acelerada.^[2]

Pero nuestro ejemplo nos permite observar una cosa muy interesante también. Ante todo, el campo eléctrico en el punto P sigue un “movimiento” periódico (aunque llamarlo movimiento es algo desafortunado en este caso, ya que no hay nada que se mueva). Pero, además, el período del campo eléctrico resulta ser el mismo que el período del movimiento circular de la partícula.^[3] Por lo tanto, la frecuencia es también la misma (ya que, recordemos, la frecuencia es simplemente la inversa del período). Por lo que una partícula cargada que se mueva en un movimiento circular no sólo emitirá radiación electromagnética, sino que esta radiación tendrá la misma frecuencia que el movimiento de la partícula.

Vamos a introducir algunos conceptos de los fenómenos ondulatorios:

Hemos visto lo que son las oscilaciones (movimientos periódicos que pasan por un punto de equilibrio estable), pero ¿qué son las ondas? Una onda podemos considerarla como una oscilación, pero que se propaga por el espacio.^[4] Cuando hablamos de oscilaciones ya vimos dos conceptos:

Período (T): Lo definimos como el tiempo que tardaba una partícula en hacer una oscilación completa.

Frecuencia lineal (ƒ o ν): Lo definimos como el número de oscilaciones que hacia una partícula en 1 segundo.

Hay una tercera magnitud relacionada con estas dos que no vimos (bueno, los que os atrevisteis con las ecuaciones sí, aunque no la definí ni le puse nombre):

Frecuencia angular (ω): Es el número de radianes que hace una partícula en 1 segundo.^[5]

Como en este artículo no va a haber una parte dedicada a las ecuaciones, dejadme que ponga aquí algunas  muy simples para relacionar estas tres magnitudes:

Estas tres magnitudes hacen referencia al tiempo, pero se pueden definir tres magnitudes análogas que hacen referencia al espacio:

Longitud de onda (λ): Es la distancia que recorre la onda cada vez que hace una oscilación completa.^[6]

Número de onda ():^[7] Es el número de oscilaciones que hace la onda cuando avanza 1 metro.

Número de onda circular o angular (k): Es el número de radianes que hace la onda cuando avanza 1 metro.

De nuevo estas tres magnitudes están relacionadas con la siguiente ecuación:

Como he dicho antes, una onda es una oscilación que se propaga por el espacio, por lo tanto podemos definir la velocidad de una onda como el espacio que recorre entre el tiempo que tarda en recorrerlo. Y como, por definición, cuando ha pasado una oscilación la onda ha recorrido l metros y han pasado T segundos, podemos calcular la velocidad de una onda con cualquiera de estas ecuaciones (simplemente uso las igualdades que hemos puesto antes):

Donde he marcado en negrita las dos, con diferencia, más usadas.

Pues hasta aquí este artículo, con el que cerramos la primera parte de la serie. En el siguiente artículo ya voy a presentaros el modelo atómico de Thomson. Aún no sé muy bien como lo estructuraré, pero me imagino que serán dos partes (probablemente dos artículos, aunque no descarto dividirlo) en las que presentaré el modelo de Thomson, con sus ventajas, y luego una segunda parte explicando todas las cosas que el modelo no puede explicar (o al menos todas las cosas que el siguiente modelo, el de Rutherford, sí puede explicar).

Aunque he dicho que no voy a hacer una segunda parte dedicada a las ecuaciones de este artículo, ya que son bastante complicadas, sí os diré cuáles son estas ecuaciones por si alguien desea buscar más información.

Supongo que todos vosotros ya sospecháis cuales son estas ecuaciones…

En primer lugar, la ecuación que nos dice que al variar el campo eléctrico (E) se crea un campo magnético (B) y además nos define cómo es este campo es la ley de Ampère generalizada, también conocida como ley de Ampère-Maxwell, que puede escribirse de dos formas:

Por otra parte, la otra ecuación importante de este artículo es la ley que nos dice que un campo magnético variable produce un campo eléctrico y que además nos indica cómo es este campo eléctrico: la ley de Faraday-Lenz que se escribe como:

Finalmente, al combinar las dos ecuaciones anteriores se obtiene una tercera ecuación que pone de manifiesto lo dicho en la primera parte del artículo, y es la existencia de ondas electromagnéticas. Efectivamente, con algunos cálculos más o menos complicados obtenemos:

Que son ecuaciones que describen ondas.

Ahora si vamos a dejar el artículo aquí, espero que, al menos esta primera parte, os haya gustado.

1. El hecho de que se cree una onda electromagnética en lugar de una simple oscilación en todo el espacio se debe a que las perturbaciones de los campos eléctricos/magnéticos se transmiten por el vacío a una velocidad finita, pero no voy a profundizar más.
2. Si la carga se mueve, pero no acelera, tendremos una variación del campo eléctrico, por lo que se creará un campo magnético, pero éste será constante.
3. Fijaos que, ignorando que las perturbaciones tardan un tiempo en llegar al punto P, el campo eléctrico es máximo cuando la carga está en el punto rojo, decrece, y vuelve a ser máximo cuando la carga vuelve a pasar por el punto rojo
4. De hecho, aquí está la clave para entender lo que he dicho antes: si las perturbaciones de E y B (campos eléctrico y magnético) fueran instantáneas, no habría nada que se propagara por el espacio y tendríamos una oscilación.
5. Un radián se define como 1/2π oscilaciones.
6. Debo remarcar lo de distancia que recorre la onda, no he dicho una partícula, ya que las ondas no transportan materia, sólo energía.
7. Aunque en general se suele usar la letra k, cosa que a veces provoca muchos dolores de cabeza.

Pedro dedicó un artículo a hablar de lo mismo: http://eltamiz.com/2011/08/29/las-ecuaciones-de-maxwell-ley-de-gauss-para-el-campo-electrico/

Os recomiendo que antes o después de leer este artículo os paséis por ahí porque sus explicaciones son inmensamente mejores que las mías.

5. Ley de Gauss

La ley de Gauss es una de las cuatro leyes de Maxwell, así que seguro que todos habéis oído hablar de ella en mayor o menor medida. Además, para cargas estáticas, la ley de Gauss y la ley de Coulomb dicen exactamente lo mismo (de hecho, daré una pequeña demostración en la segunda parte a partir de la ley de Coulomb), pero la ley de Gauss es más general, ya que se puede aplicar a cualquier carga, se esté moviendo o no.

Antes de hablar de la ley de Gauss, es necesario introducir un concepto más de la Teoría Clásica de Campos: El flujo del campo. Voy a hablar en concreto sobre el flujo eléctrico, ya que es lo que nos interesa, pero puede aplicarse a cualquier campo. Espero que recordéis el concepto de líneas de campo que introducimos en el artículo anterior, ya que para el concepto de flujo es imprescindible.

Bien, ¿qué es el flujo eléctrico? El flujo eléctrico es el número de líneas de campo que cruzan una superficie. Como dijimos en el artículo anterior, la densidad de líneas está relacionada con la intensidad del campo eléctrico, por lo que es lógico pensar que, si suponemos una superficie constante, cuando mayor sea el campo eléctrico en los puntos de esa superficie, más líneas de campo pasaran a través de ella. Por lo que el flujo eléctrico debe ser proporcional al campo eléctrico. Evidentemente,también es lógico pensar que cuanto más grande sea la superficie, más grande será el flujo, ya que más líneas pasaran a través de ella.

Introduzcamos otro concepto, hablaremos de una superficie cerrada siempre que la superficie divida el espacio en dos trozos, un trozo interior a la superficie y un trozo exterior a la superficie. Es decir, una superficie que encierre un cierto volumen será una superficie cerrada. Por ejemplo, la superficie de una esfera, o de un cubo, una pirámide etc… son superficies cerradas; en cambio una superficie cuadrada o redonda no lo son. Por supuesto, ninguna superficie en dos dimensiones puede ser una superficie cerrada.

Además, establezcamos un convenio, diremos que el flujo eléctrico es positivo si sale de una superficie cerrada, y diremos que el flujo eléctrico es negativo si entra a una superficie cerrada. Si en una superficie cerrada entran X líneas y salen Y líneas el flujo es el mismo que si solo salieran Y-X líneas de campo (si la resta es negativa significa que entran más líneas de las que salen). Pero recordemos que las líneas de campo nacen en las cargas positivas y mueren en las negativas, por lo que, si en una superficie cerrada no hay ninguna carga,^[1] todas las líneas que entren deben salir por algún sitio, por lo que si una superficie no encierra ninguna carga, el flujo que atraviesa la superficie es necesariamente 0.^[2] A lo mejor estas imagenes os ayudan a visualizar lo que acabo de decir:

De la misma forma, si el flujo en una superficie cerrada es positivo, significa que salen más líneas de las que entran, por lo tanto, dentro de esta superficie están naciendo líneas de campo, lo que quiere decir que hay una carga positiva. De la misma forma, si el flujo en una superficie cerrada es negativo, significa que hay una carga negativa.

Pues bien, esto es lo que dice la ley de Gauss. Concretamente:

El flujo que atraviesa una superficie cerrada es proporcional a la carga neta encerrada dentro.

Quiero hacer un pequeño comentario: hemos visto que si dentro de una superficie cerrada no hay ninguna carga, entonces el flujo que atraviesa la superficie^[3] es 0, y también que, si el flujo que atraviesa una superficie es positivo/negativo, entonces dentro de esa superficie hay una carga positiva/negativa.

Ahora bien, ¿son ciertas las afirmaciones recíprocas? Es decir, ¿podemos afirmar que, si el flujo que atraviesa una superficie es 0, entonces no hay ninguna carga dentro la superficie? ¿O que, si dentro de una superficie hay una carga positiva/negativa, entonces el flujo que atraviesa esa superficie será positivo/negativo? La respuesta es NO, y todo se debe a lo mismo: la Ley habla de carga neta.

Vamos a ver porque no es cierta la primera afirmación; ¿qué quiere decir que el flujo que atraviesa una superficie es 0? Pues como lo hemos definido antes, simplemente nos dice que entran las mismas líneas que salen, pero ¿deben ser las mismas líneas? No, es posible que entre el mismo número de líneas que salen, pero que dentro de la superficie mueran algunas líneas y se creen otras, evidentemente para que entren y salgan el mismo número de líneas, dentro de la superficie deben crearse el mismo número de líneas que se mueren, por lo que, aunque no podemos afirmar que no haya cargas en el interior, sí que podemos afirmar que la carga neta (la suma de todas las cargas) será exactamente cero, habrá la misma carga positiva que negativa. Si se ha entendido esto es evidente porque la otra afirmación es también falsa.

¿Por qué, si dentro de una superficie hay una carga positiva/negativa, el flujo que atraviesa la superficie no será necesariamente positivo/negativo? Fácil porque, aunque dentro de la superficie haya una carga positiva no podemos descartar que pueda haber otras cargas negativas, y si la carga neta es negativa el flujo será negativo, aunque haya cargas positivas dentro.

Espero que haya quedado clara esta ley, que, como podéis ver es bastante intuitiva.

Ley de Gauss (con ecuaciones)

Empecemos, como arriba, hablando del flujo eléctrico. Hemos dicho que el flujo eléctrico es el número de líneas de campo que atraviesan una superficie, y hemos deducido que debe ser proporcional al campo eléctrico y a la superficie. Entonces tenemos que el flujo (Φ) se puede calcular así:

Donde Φ es el flujo eléctrico, E es el campo eléctrico y A es la superficie.

Bien, resulta que esta ecuación no es del todo cierta. Para simplificar las cosas vamos a suponer que estamos en una región donde el campo eléctrico E es constante en todos los puntos. Fijémonos en el siguiente dibujo:

Imagen obtenida de aquí

Como vemos el flujo que atraviesa las superficies A₁ y A₂ es el mismo (en ambos casos atraviesan 4 líneas de campo). Pero evidentemente A₁ y A₂ son diferentes. Para esto vamos a definir un vector, perpendicular a la superficie, al que llamaremos vector superficie, e impondremos que el módulo de dicho vector sea proporcional al valor de la superficie. Si imaginamos los vectores superficie de A₁ y A₂ vemos que forman un ángulo θ, que es el ángulo que está dibujado, ya que A₂ es el vector n que aparece en el dibujo y A₁ es paralelo a E. El dibujo ya nos marca la relación entre A₁ y A₂. Con lo que sabemos podemos definir lo siguiente:

Enfoquemos ahora las cosas de otra manera. El ángulo θ no es el ángulo entre los dos vectores superficie, sino que es el ángulo entre un vector superficie y el vector E. Por lo tanto, como el ángulo entre A₁ y E es 0 podemos afirmar que:

Donde hemos aplicado que el producto del módulo de dos vectores por el coseno del ángulo entre los dos vectores es, por definición, el producto escalar de los dos vectores. Ésta es la definición correcta de flujo eléctrico; vemos que si la superficie es perpendicular al campo eléctrico, θ es 0 y el flujo es el producto de los módulos. Lo bueno de un producto escalar es que, si no nos gusta trabajar con vectores, podemos usar los siguientes trucos:

Donde E_n y A_n son, respectivamente, el campo eléctrico perpendicular a la superficie y la superficie perpendicular al campo eléctrico. Bien, pero todo esto lo hemos hecho suponiendo que el campo era constante en cualquier punto del espacio… Algo que no suele ocurrir, ya que el campo creado por una carga varía con la distancia al cuadrado. Pues entonces hagamos un truco muy utilizado en física. Sabemos lo que ocurre si el campo es constante… pues busquemos una superficie muy pequeña. ¿Es ahora el campo prácticamente constante para toda la superficie? ¿No? Pues busca una aún más pequeña y así hasta que la variación del campo sea tan pequeña que podamos considerarlo constante en toda la superficie (aunque puede que tengamos que buscar superficies infinitamente pequeñas). Si hacemos esto podemos afirmar que, para una superficie infinitamente pequeña, que llamamos dA, el flujo (infinitamente pequeño también) será:

Pero claro… Nos interesa poder trabajar con cualquier superficie, ya sea infinitesimal (es decir, infinitamente pequeña) o no, y además nos interesa poder trabajar con superficies en las que el campo eléctrico no es constante, ¿cómo lo hacemos? Pues bien, simplemente debemos dividir la superficie en infinitas superficies infinitesimales, calcular el flujo de estas superficies y sumar todos los flujos. Esto es lo mismo que ya hicimos en el anterior artículo, y se escribe así:

Y ahora sí, esta es la definición general de flujo eléctrico (si sabéis integrar podréis comprobar que suponiendo E constante sale la definición anterior).

NOTA: El flujo tal y como lo hemos definido no tiene signo. Matemáticamente, con la definición que hemos dado, el flujo tiene un valor concreto, pero puede ser positivo o negativo. Esto es debido a que hemos definido el vector superficie como el vector perpendicular a ésta, pero existen dos vectores, de signos opuestos perpendiculares a cualquier superficie. Algunas veces, para evitar esto, se impone que el vector debe tener un sentido concreto, pero esto no nos hace falta.

Hemos hablado de flujo eléctrico en general para cualquier superficie, pero para la ley de Gauss nos interesan sólo superficies cerradas, así que vamos a introducir un par de cosas que se usan solamente para superficies cerradas:

Primero de todo, como he dicho, una superficie cualquiera puede tener dos vectores asociados. Para una superficie cerrada impondremos que el vector debe salir de la superficie, por lo que ahora sí que tiene sentido hablar del signo del flujo eléctrico. Elegir este vector implica la convención que he dicho antes, y es que el flujo es positivo si sale de la superficie y negativo si entra. Además, para no especificar si una superficie es cerrada o no, cuando hablemos de flujo en una superficie cerrada escribiremos lo siguiente:

Ahora, para deducir la ley de Gauss vamos a introducir el concepto de ángulo sólido.

Seguro que todos vosotros sabéis qué es un ángulo plano (llamado así porque es un ángulo “en dos dimensiones”); el ángulo plano, por definición, es la longitud de un arco de circunferencia dividida por el radio de dicha circunferencia:

Con la definición se puede ver claro que el ángulo de una circunferencia entera es 2π radianes, donde el radián es la unidad de ángulo plano definida como el ángulo de un arco de circunferencia de longitud igual al radio de la circunferencia.

Pues bien, el ángulo sólido es una especie de ángulo en tres dimensiones, que se define como el área de un casquete esférico^[4] dividido por el radio de la esfera al cuadrado.

El ángulo sólido, al igual que el plano, es adimensional (longitud al cuadrado entre longitud al cuadrado) y la unidad es el estereorradián, que es el ángulo sólido de un casquete esférico de área r². Sabiendo que la superficie de una esfera es 4πr² no es difícil ver que el ángulo sólido de una esfera es 4π estereorradianes.

Ahora bien, sabemos calcular el ángulo plano de una circunferencia y el ángulo sólido de una esfera, pero ¿cómo calculamos el ángulo de otros objetos?

¿Qué es lo que hacemos para calcular el ángulo plano de un objeto? Pues proyectamos el objeto sobre una circunferencia y calculamos el ángulo del arco proyectado. Para calcular el ángulo sólido de una superficie cualquiera la proyectamos sobre una esfera y calculamos el ángulo del casquete proyectado. Como explicar esto es algo complicado, os pongo una imagen que espero que os lo aclare:

Imagen sacada de aquí

El ángulo sólido subtendido por una superficie en un punto O es:

Donde θ es el ángulo que forma el vector superficie con el vector que une la superficie con el punto O.

Si habéis entendido el concepto de ángulo sólido y de superficie cerrada, deberías ver que, independientemente de la superficie, el ángulo sólido subtendido por una superficie cerrada en un punto O interior a la superficie es 4π estereorradianes.

A partir de aquí, supongamos una carga puntual encerrada en una superficie. El flujo eléctrico lo calculamos usando:

El campo eléctrico lo podemos calcular con la ley de Coulomb, que nos dice que

Por lo tanto, el flujo queda

Recordemos que definimos la constante ε₀ como 1/4πK

Y ésta es exactamente la ley de Gauss. Recordemos que cualitativamente hemos deducido que lo que nos decía la ley de Gauss era que el flujo eléctrico que atravesaba una superficie era proporcional a la carga encerrada. Pues vemos que efectivamente la ley de Gauss nos dice que

Hemos deducido esto para una carga puntual, pero puede demostrarse que este resultado es general y no depende de si la carga encerrada es puntual o no. Esta ley es muy útil para calcular campos eléctricos de cuerpos muy simétricos. Pero el artículo ya es suficientemente denso, así que lo dejaremos aquí.

El siguiente artículo es el último de los conceptos previos al átomo de Thomson, además es muy corto, y en él hablaremos de conceptos básicos de radiación.

Hasta la próxima.

1. Nos referimos al volumen encerrado por la superficie, por esto necesitamos que sea cerrada.
2. IMPORTANTE: No he dicho que no haya líneas de campo que atraviesen la superficie, he dicho que las líneas que entran, salen.
3. A partir de ahora no especificaré superficie cerrada, doy por entendido que la Ley de Gauss solo se aplica a este tipo de superficies.
4. Un casquete esférico no es más que una parte de una superficie esférica.

Antes de leer este artículo puede que vaya bien repasar el siguiente: http://eltamiz.com/2009/10/20/electricidad-i-ley-de-coulomb/

4. Ley de Coulomb

Empecemos por lo más básico de todo: ¿qué dice la ley de Coulomb?

La ley de Coulomb puede enunciarse de la siguiente manera:

La fuerza ejercida por una carga eléctrica puntual sobre otra está dirigida a lo largo de la línea que las une. Es repulsiva si las cargas tienen el mismo signo y atractiva si las cargas tienen signos opuestos. La fuerza varía inversamente con el cuadrado de la distancia que separa las cargas y es proporcional al producto de las mismas.

La fuerza que describe la ley de Coulomb es la llamada Fuerza Eléctrica y es inevitable notar que tiene similitudes con la fuerza gravitatoria, pues las dos fuerzas son centrales (es decir, la fuerza que ejerce una partícula sobre otra está dirigida a lo largo de la línea que las une), las dos fuerzas varían inversamente con el cuadrado de la distancia que separa las partículas y son proporcionales al producto de cierta magnitud (la carga eléctrica en la fuerza eléctrica, la masa gravitatoria en la fuerza gravitatoria).

Vamos a introducir también un principio físico que puede que muchos ya conozcáis, el principio de superposición. ¿Qué nos dice este principio? La fuerza ejercida por n cargas sobre una carga Q es la suma vectorial de todas las fuerzas individuales (es decir la fuerza que ejerce la carga Q₁ sobre Q, más la fuerza que ejerce Q₂, Q₃… etc.). Este principio sorprendió algunos físicos de la época, lo que, junto al concepto de acción a distancia, provocó bastantes problemas conceptuales.

El concepto de acción a distancia ha ocasionado muchos dolores de cabeza a los físicos desde siempre, ya que es un concepto bastante anti intuitivo… Pensadlo: solamente por el hecho de que existe una carga provoca una fuerza sobre otra carga… aunque las dos nunca hayan estado en contacto. Aunque entre las dos pueda haber un muro de hormigón, o el vacío, la fuerza es la misma… No cambia, aunque entre las dos cargas haya otra carga o cien cargas, la fuerza de nuevo es la misma…

Para intentar explicar todos estos fenómenos se propuso la Teoría de Campos Clásica (TCC). Según esta teoría, una carga, por el simple hecho de existir, modifica todo el universo creando lo que llamamos un campo eléctrico. Este campo que llena todo el espacio es el que ejerce la fuerza sobre otras cargas.

A partir de esta teoría aparecen muchos conceptos que son muy interesantes, por ejemplo, el concepto de Intensidad del campo en un punto (o simplemente, el campo en un punto), definida como la fuerza que ejercería el campo en un punto P si hubiese una carga de +1C (1 culombio, la unidad de carga). Así la fuerza que crea una carga Q sobre otra carga q₀ es el campo eléctrico que genera Q multiplicado por la carga q₀. Además, podemos generalizar el principio de superposición de fuerzas y decir que el campo eléctrico generado por n cargas en un mismo punto P es la suma vectorial (ya que la intensidad del campo eléctrico es una magnitud vectorial por definición) de los campos creados por cada carga en el punto P.

Otro concepto interesante es el de líneas de campo.^[1] Éstas son unas líneas imaginarias que nos indican la dirección y el sentido del campo eléctrico en cualquier punto.

Imagenes sacadas de aquí y aquí

Como consecuencia de que la fuerza sea repulsiva entre cargas del mismo signo y atractiva entre cargas de signos opuestos, las líneas de campo “nacen” en las cargas positivas y “mueren” en las cargas negativas. Como el campo eléctrico existe en todos los puntos, dibujar todas las líneas de campo no es una buena idea… por esto las líneas se dibujan simétricamente saliendo o entrando de las cargas, y de tal manera que la densidad de líneas nos indique la intensidad del campo eléctrico en una cierta región y de forma que el número de líneas que entra/sale de una carga sea proporcional a la misma. También es interesante darse cuenta de que cuando la distancia es muy grande, si se dibujan bien las líneas, éstas están igualmente esparcidas y son radiales con respecto a la carga que produce el campo. Además, dos líneas de campo no pueden cortarse en ningún punto, ya que la fuerza que ejerce el campo eléctrico no puede tener dos direcciones distintas.

No vamos a ampliar mucho, porque los conceptos básicos y necesarios de la ley de Coulomb son estos, y seguiremos con conceptos de la teoría de campos en el siguiente artículo.

Si has llegado hasta aquí, en este artículo recomiendo que leas la segunda parte, ya que las ecuaciones que aparecen a continuación no son muy complicadas y ayudan a entender todos los conceptos.

Ley de Coulomb (con ecuaciones)

Esta segunda parte será bastante corta, ya que simplemente es poner ecuaciones a lo dicho en la primera, y no creo que añada nada nuevo…

Bien, primero de todo, ya hemos visto que dice la ley de Coulomb en la primera parte, vamos a traducirla a lenguaje matemático:

“La fuerza varía inversamente con el cuadrado de la distancia que separa las cargas y es proporcional al producto de las mismas.”

Donde K es una constante llamada constante de Coulomb; las dos líneas representan el valor absoluto, es decir que no nos importa si las cargas son negativas o positivas, sólo su valor numérico^[2] y ε₀ es la permitividad eléctrica del vacío, que vale 8,85·10^-12C²N^-1m^-2, y por consiguiente K=8,99·10⁹Nm²C^-2.^[3] Con esta ecuación podemos calcular el módulo de la fuerza de Coulomb.

Como la fuerza eléctrica es una fuerza central tenemos que:

Donde F_1,2 es la fuerza que ejerce la carga 1 sobre la carga 2 y r_1,2 es el vector que apunta desde la carga 1 a la carga 2 (como siempre, la negrita indica vector y sin negrita indica módulo del vector), además, a partir de ahora, un vector con un acento circunflejo será una abreviatura de dividir un vector por su módulo. A esto se le llama vector unitario, ya que es un vector que tiene la misma dirección y el mismo sentido que el original, pero tiene módulo 1. Fijémonos que el vector unitario es muy útil, ya que no afecta al módulo de la fuerza (fijémonos que es la misma expresión que antes), pero nos indica su dirección, que como hemos dicho es la línea que une las dos cargas. Finalmente, nos interesa que la fuerza sea repulsiva cuando las cargas sean del mismo signo y atractiva cuando sean de signos distintos.

Notamos que si q₁ i q₂ son ambas positivas o negativas la fuerza que ejerce 1 sobre 2 tendrá el sentido del vector r_1,2 y por tanto será repulsiva, mientras que, si una es positiva y la otra negativa la fuerza tiene sentido contrario a r_1,2 y la por tanto es atractiva.

IMPORTANTE: Quiero hablar de una cosa antes de seguir con el artículo, algo que es muy importante: ¿Qué significan realmente los signos?

A todos, de pequeños, nos enseñan en clase de matemáticas, primero de todo, qué son los números, nos enseñan el número 1, el 2, 3, 4… luego nos enseñan el 0, nos enseñan a sumar y restar números. Cuando ya controlamos todo esto nos enseñan que aparte de todo esto existen más números, que llamamos números negativos, y que son el número -1, -2, -3… Hasta aquí todo bien. Pero ¿qué son realmente los números negativos en matemáticas? No son más que números que cumplen cierta condición. Cada número (a) nos interesa que tenga lo que llamamos “opuesto”, es decir, un número (a’) que cumpla que a+a’=0. Este opuesto en lugar de a’ se escribe por convención -a, y lo que nos indica este número no es más que el hecho que la suma de a con este número es 0. A partir de aquí aparecen los números positivos y negativos, fantástico. Y ¿qué tiene que ver esto con la ley de Coulomb?, os preguntaréis… Pues nada, y esto es lo que quiero que entendáis. Los números negativos no tienen nada que ver con este artículo. Si habéis leído el artículo de Pedro os fijaréis que no habla de cargas positivas y negativas, sino que habla de cargas verdes y rojas. Bien, pues yo hablo de cargas positivas y negativas porque así es como se llaman las cargas por convención. Pero una carga positiva no tiene nada que ver con un número positivo, y una carga negativa no tiene nada que ver con un número negativo. Simplemente, por convención, se otorga un número positivo al valor de una carga positiva y un número negativo al valor de una carga negativa, igual como Pedro, si sigue algún día con la serie de electricidad, supongo que otorgará un número positivo al valor de una carga verde y un número negativo al valor de una carga roja. Todo esto nos sirve porque las matemáticas son una herramienta muy útil para calcular el valor de la fuerza de Coulomb. Pero no la única, pues podríamos calcular el valor de la fuerza de Coulomb de otra forma en que no fuera necesario el uso de números positivos ni negativos. La fuerza de Coulomb la podemos calcular simplemente calculando el módulo de la fuerza y luego, por convenio, decimos que si las cargas son del mismo tipo, la fuerza es repulsiva y si son de tipos distintos es atractiva. Pero como por convención^[4] un vector que va en el mismo sentido que otro se dice que va en sentido positivo y si va en sentido contrario se dice que va en sentido negativo, podemos decir que dos cargas del mismo signo producen una fuerza positiva y dos cargas de signos contrarios producen una fuerza negativa. Así que, matemáticamente, podemos tratar las cargas positivas y negativas como números positivos y negativos, llegando al mismo resultado, pero, repito, que podamos hacer esto para simplificar las cosas, no significa que una carga positiva sea lo mismo que un número positivo. Espero que quede más o menos claro lo que he querido decir.

Después de este largo paréntesis, sigamos:

En la primera parte del artículo hemos visto también el principio de superposición de fuerzas, que enunciado matemáticamente viene a ser algo así:

Ésta es la expresión para calcular la fuerza que ejercen n cargas puntuales. Si lo que queremos es calcular la fuerza que ejerce un cuerpo debemos suponer que está formado por infinitas cargas infinitamente pequeñas, llamadas dq, y hacer la suma de todas ellas matemáticamente se escribe:

Donde esta especie de “S” es la integral (es decir, la suma de infinitas cosas infinitamente pequeñas) y el subíndice de cuerpo nos dice simplemente cuales son los elementos a los que aplicamos la integral.

Bien, ahora solo nos queda definir la intensidad del campo eléctrico, E. (como ya he dicho arriba muchas veces se llama simplemente campo eléctrico a la intensidad de éste).

El campo eléctrico creado por una carga i en un punto P, puede calcularse a partir de la ley de Coulomb

Y de nuevo se puede formular el teorema de superposición como:

Vemos que esto es consecuencia del principio de superposición de fuerzas, solo hemos dividido entre Q todos los miembros de la igualdad.

Finalmente voy a introducir tres conceptos que son de muchísima ayuda para hacer cálculos con distribuciones continuas de carga, las densidades de carga; Las densidades de carga son análogos a las densidades  de masa que todos conocéis (por lo menos la densidad volumétrica de masa seguro que sí) básicamente nos dicen en una región muy pequeña del espacio cuanta carga hay por unidad de longitud, superfície o volumen. Se obtienen dividiendo una carga muy pequeña (dq) por una longitud, superfície o volumen muy pequeños (dl, dS, dV).

Y hasta aquí la ley de Coulomb; en el próximo artículo hablaremos sobre algunos conceptos más del campo eléctrico e introduciremos la ley de Gauss (a veces llamado teorema de Gauss).

Hasta la próxima.

1. Concepto muy importante porque entenderlo es clave para el siguiente artículo.
2. El módulo de un vector recordemos que es siempre un número positivo.
3. En realidad la fuerza depende de otra cosa más, el medio en el que se encuentran las cargas, pero vamos a suponer que todo pasa en el vacío.
4. Estaréis hartos de que repita “por convención” todo el rato, pero es que quiero dejar claro que todo esto no es más que una convención.