El Cedazo

Seguimos con la serie de modelos atómicos. En la anterior entrada hablamos sobre la energía potencial y dedujimos la expresión de la energía potencial que tiene una partícula con carga debido a la fuerza ejercida por otra partícula. En esta entrada vamos a hablar de un concepto que puede ser algo abstracto, pero muy importante en física: hablamos del momento angular. Bien, ¿qué es el momento angular? Recordemos que hace ya algún tiempo hablamos de momento lineal.

Si recordáis, el momento lineal era una medida de la dificultad que había para llevar un objeto al reposo. Vimos que éste era proporcional a la velocidad (cuanta más velocidad tenga el objeto más difícil será llevarlo hasta el reposo, además, si por ejemplo la velocidad fuera cero, el momento lineal sería también cero, pues la partícula ya está en reposo) y también proporcional a la masa del objeto, pues cuanta más masa tenga el objeto, más difícil será llevarlo al reposo. También vimos que esta magnitud es muy importante para la física porque se mantiene constante (bajo la condición que no actúen fuerzas externas), y en física las magnitudes constantes resultan muy útiles.

Pues en esta entrada vamos a estudiar el hermano del momento lineal, el Momento Angular. El momento lineal habla sobre objetos que se mueven por el espacio, pero imaginemos un objeto que esté quieto, pero que da vueltas sobre sí mismo, por ejemplo una peonza. ¿Cuál es su momento lineal? Si la peonza no se mueve por el espacio su velocidad es cero, por lo que su momento lineal también va a ser cero, lo hemos dicho justo en el párrafo anterior. En este caso es interesante definir el momento angular, así como definíamos el momento lineal como la dificultad para llevar el objeto al reposo, podemos definir el momento angular de la misma forma, pero con la diferencia que el momento lineal hace referencia a que el objeto no cambie de posición, mientras que el momento angular hace referencia a que el objeto no esté rotando. Así pues; el Momento Angular es la dificultad que opone un objeto rotando a ser llevado al reposo.

Por cierto, al momento angular también se lo conoce como momento cinético, y de la misma forma que al momento lineal lo podíamos llamar cantidad de movimiento o ímpetu, el momento angular a veces se lo llama cantidad de movimiento angular o ímpetu angular.

Así como el momento lineal dependía de la masa y la velocidad, el momento angular tiene unas dependencias similares, aunque un poquito más complicadas. No voy a entrar en mucho detalle, pero al igual que el momento lineal dependía de la velocidad lineal, el momento angular depende de la velocidad con la que gire el objeto, es decir, la velocidad angular. En cierto sentido la velocidad angular es un análogo a la velocidad para objetos en rotación, de la misma forma se puede considerar el momento angular análogo al momento lineal, pero para objetos en rotación. Así que no es de extrañar si os digo que el momento angular depende además de la velocidad angular de otra magnitud, análoga a la masa, pero para objetos en rotación. Esta magnitud se llama momento de inercia y es algo complicado de explicar, además tampoco me interesa introducirlo por ahora, solo diré que es una magnitud que depende de la masa del objeto y de su geometría.

En resumen: el momento angular depende de una magnitud análoga a la masa para rotaciones y de una magnitud análoga a la velocidad para rotaciones.

Creo que éste es un buen momento para pararnos a pensar en el ejemplo típico que da todo el mundo cuando habla de momento angular: seguro que al leer esto lo primero que habéis pensado es en una patinadora dando vueltas sobre sí misma, seguro que os han puesto como ejemplo que si la patinadora extiende los brazos gira más lenta, mientras que con los brazos muy cerca del cuerpo gira a gran velocidad. Este efecto es debido a que la patinadora está cambiando su geometría y, como he dicho, esto cambia el momento de inercia.^[1] De hecho, al extender sus brazos aumenta su momento de inercia y al acercarlos al cuerpo disminuye el momento. ¿Pero qué tiene esto que ver con que vaya más rápida o más lenta? Pues el momento angular es una magnitud que, al igual que el momento lineal, se conserva en el tiempo, por lo que si aumentamos el momento de inercia (la patinadora extiende sus brazos) la velocidad angular tiene que disminuir. Por el contrario, si disminuimos el momento de inercia (la patinadora acerca sus brazos al cuerpo) la velocidad angular tiene que aumentar.

Hasta ahora he hablado del momento angular referido siempre para las rotaciones de un objeto sobre sí mismo, pero de hecho no tiene que ser necesariamente así. En general se define el momento angular que tiene un objeto sobre un punto cualquiera. Primero, ¿qué es una rotación sobre un punto?^[2] Pues se puede entender la rotación sobre un punto como el movimiento de un cuerpo que no altera la distancia a ese punto, el ejemplo mas claro sería un objeto moviéndose en un movimiento circular, en este caso se considera una rotación sobre el centro de la circunferencia descrita. También es una rotación el caso de un péndulo, pues la trayectoria que sigue un péndulo no es más que un arco de circunferencia. Pues en estos casos también se puede definir el momento angular, y se define de la misma forma. Aunque puede ser más difícil de visualizar, la única diferencia entre este caso y el anterior es el momento de inercia que tendrá el cuerpo.

Un ejemplo para estos casos es el de un planeta orbitando una estrella, por ejemplo la Tierra orbitando alrededor del Sol. La Tierra tiene momento angular, pero tiene dos momentos angulares, que se llaman comúnmente momento angular orbital, debido a que la Tierra da vueltas alrededor del Sol, y momento angular de rotación o de espín, debido a la rotación de la Tierra sobre sí misma.

Pero existe un problema. Seguro que sabéis que, aunque la Tierra gira en una órbita muy parecida a una circunferencia, en realidad no es del todo así, en realidad sigue una órbita elíptica, pero parece lógico que si podemos definir el momento angular para rotaciones, una elipse, que es casi una rotación, también debe tener definido un momento angular, ¿no? Pues sí, de hecho, no sólo una elipse, vamos finalmente a definir el momento angular de forma más abstracta, veremos que incluso un objeto moviéndose en línea recta tiene momento angular.

En realidad, cualquier objeto siguiendo la trayectoria que queramos tiene asociado un momento de inercia (aunque éste puede cambiar con el tiempo), por lo que cualquier objeto que tenga una velocidad angular tiene definido un momento angular (bueno, si un objeto no tiene velocidad angular, también tiene momento angular, pero es cero.)

Lo importante es que el momento angular, en general, depende de donde miremos el objeto. Dicho de forma rápida, un objeto tiene momento angular si tienes que mover la cabeza para seguir su movimiento. O, de forma equivalente, si señalamos el objeto con el dedo^[3] el objeto tendrá momento angular si tenemos que mover el brazo para seguir el movimiento. Dicho de forma más formal (aunque tampoco demasiado) un objeto NO tendrá momento angular si éste sigue una trayectoria recta Y el objeto ha pasado o pasará por donde estas tú. En general, para objetos puntuales el momento angular dependerá

1. De la distancia a la que estén de ti (ya hemos aclarado que el momento angular depende de dónde lo miremos).
2. De la velocidad que tenga el objeto (podemos hablar de velocidad angular o de velocidad lineal, al fin y al cabo están relacionadas).
3. De la masa del objeto.

Fijaos que para objetos puntuales podemos olvidarnos del momento de inercia, ya que toda la información que nos da éste la podemos conocer a partir de la masa y la posición del objeto.

Es posible que ahora muchos os preguntéis ¿Donde ha quedado la definición original que nos diste del momento angular? ¿Cómo es posible que un objeto que no está rotando sea “difícil de frenar”? ¿Como es posible que la dificultad para frenar un objeto depende del punto?

Todas esas dudas son dudas muy válidas. La definición que he dado al inicio era una manera fácil para empezar a hablar de momento angular, pero ya hemos dicho que el momento angular no sólo sirve para objetos que estén rotando. En la definición podemos cambiar el “objeto rotando” por “objeto con velocidad angular”, pues la velocidad angular no es exclusiva de objetos rotando. En los ejemplos que he mencionado antes sobre qué tiene y qué no tiene momento angular se puede decir lo mismo para la velocidad angular (así, si señalas un objeto y tienes que mover el brazo para seguir su movimiento, entonces tiene velocidad angular).

Ahora lo de “llevar al reposo” vuelve a tener sentido, pues si el objeto tiene velocidad angular, llevarlo al reposo significa modificar esta velocidad hasta que sea cero. Eso sí, la palabra reposo seguramente no es la mejor, recordad que estamos hablando de velocidad angular, por lo que reposo aquí significa velocidad angular cero, pero no necesariamente velocidad lineal cero.

Aun así nos queda el problema de que el momento lineal dependa de la posición… ¿Como puede ser que en función de dónde estés sea más fácil o más difícil frenar un objeto? Pues bien, eso en realidad es más intuitivo de lo que parece una vez se piensa detenidamente. Seguro que todos habéis notado que, si intentáis mover un objeto ligado a una barra, cuanto más larga sea la barra más difícil es mover ese objeto. Si no, un experimento fácil que podéis hacer es atar un objeto a un palo (que esté horizontal) e intentar levantarlo, veréis que es mucho más difícil que levantar el objeto con vuestras manos. Pues lo mismo pasa aquí, cuanto más lejos está el objeto más difícil resulta de frenar, por lo tanto ¡más momento angular tiene! Justo lo que esperábamos.

Finalmente, y ya para acabar, hemos dicho antes que el momento angular, al igual que el momento lineal, se conserva. Pues bien, recordad que el momento lineal se conservaba siempre que no actuasen fuerzas externas sobre el objeto. Como habéis visto, hay muchas similitudes entre movimientos rectilíneos y rotaciones: el momento angular es equivalente al momento lineal, el momento de inercia es equivalente a la masa y la velocidad angular es equivalente a la velocidad lineal. Pues no debería pareceros raro que os diga que el momento angular es una magnitud que se mantendrá constante (igual que el momento lineal) siempre que no haya “fuerzas” externas. Evidentemente lo que hace que el momento angular no se conserve no son las fuerzas es sí, sino su equivalente para las rotaciones. Esa magnitud suele llamarse momento o torque.^[4]

Ahora sí, creo que este artículo ya va siendo suficientemente largo, así que me voy despidiendo de vosotros (excepto los que os quedéis para leer la segunda parte), en el próximo artículo, si todo va bien hablaré de las distintas órbitas que pueden tener los planetas, ¡hasta la próxima!

Momento Angular (con ecuaciones)

Bien, pues ahora, para los más valientes que no temen a las ecuaciones, vamos a poner ecuaciones a todo lo dicho anteriormente. Recordemos que definíamos el momento lineal de una partícula como

Pues como he dicho en el artículo, definimos el momento de inercia (I) como el análogo rotatorio de la masa, y la velocidad angular (ω) como el análogo rotatorio de la velocidad lineal, por lo que el momento angular (L) lo definimos como

No voy a desarrollar esta ecuación mucho más porque no nos interesa, pero simplemente debéis saber que tanto I como ω lo podéis calcular en cualquier circunstancia, sea el movimiento circular, lineal, o como sea. Eso sí, ambas magnitudes dependerán de donde las observemos.

Lo que sí voy a hacer es daros una expresión para I y para ω cuando tenemos una partícula puntual, ya que es el único caso que estudiaremos en esta serie. Primero de todo, el momento de inercia.

Si la partícula es puntual el momento de inercia se simplifica mucho, pues no debemos preocuparnos de la geometría. En este caso el momento de inercia viene dado simplemente por la ecuación

Donde m es la masa de la partícula y r es la distancia a la que está (ya hemos dicho que depende de donde observemos la partícula), además el momento de inercia puede ir cambiando con el tiempo, pues la partícula puede acercarse o alejarse de nosotros. Aunque esto es válido para una partícula puntual que no tiene por qué estar rotando, algo similar ocurrirá con objetos no puntuales que roten sobre sí mismos, lo que nos permite entender el porqué cuando la patinadora extiende sus brazos (r aumenta) aumenta su momento de inercia, mientras que cuando cierra los brazos (r disminuye) disminuye su momento de inercia.

La velocidad angular es algo más complicada, ya que necesitamos el producto vectorial para calcularla, hablé del producto escalar en esta entrada, pero creo que hasta ahora nunca he hablado del producto vectorial. Bien, cuando hablamos de vectores existen dos formas de multiplicarlos: el producto escalar, cuyo resultado da un número, y el producto vectorial, cuyo resultado da un vector. Bien, para definir correctamente el producto vectorial tengo que definir el vector resultante, y para definir un vector tengo que especificar su módulo, su dirección y su sentido. Primero de todo, el módulo:

El producto vectorial de dos vectores da un vector cuyo modulo es igual al área del paralelogramo que forman los dos vectores.

Matemáticamente esto se puede calcular como

Que es la formula para calcular el área de un paralelogramo. Y donde la cruz simboliza el producto vectorial (y las dos barras, el módulo). Una consecuencia directa de esta ecuación es que el producto vectorial de dos vectores con la misma dirección es 0, ya que el ángulo entre ellos será 0 o π (180°), y en ambos casos el seno vale 0. Por esta razón el producto vectorial de un vector por si mismo da 0 (ya que evidentemente el vector tiene la misma dirección que él mismo).

Segundo, la dirección: el producto vectorial de dos vectores da un vector cuya dirección es perpendicular a los dos vectores. Y finalmente el sentido: el sentido viene dado por la regla de la mano derecha, que dice que si pones el dedo índice de la mano derecha apuntando en el sentido del primer vector y el dedo corazón apuntando en el sentido del segundo vector, el pulgar apuntará en la dirección del vector resultante.

Bien, pues dicho esto la velocidad angular para una partícula puntual respecto a un punto se calcula como

De nuevo, esto depende del punto en que estemos mirando, ya que el vector posición r depende del punto. Juntando estas dos ecuaciones, el momento angular para una partícula puntual queda

Finalmente, y solamente por completitud, vamos a escribir la conservación del momento angular. De nuevo fijémonos en cómo escribimos la conservación del momento lineal que vimos en este artículo:

Recordad, la derivada nos indica como cambia una magnitud respecto de otra. En este caso, nos indica cómo cambia el momento lineal en función del tiempo. Si la fuerza es cero, entonces la derivada es cero, lo que es lo mismo que decir que el momento lineal no cambia con el tiempo. Pues bien, vamos a ver cómo cambia el momento angular con el tiempo:

De primeras os parecerá muy largo y complicado, pero simplemente he usado una propiedad de las derivadas llamada la regla del producto, y el hecho que el producto vectorial de un vector por sí mismo da 0. Además de cosas que ya sabemos, como que el momento es masa por velocidad o que la derivada del momento es la fuerza. La regla del producto puede verse fácilmente con el siguiente ejemplo:

Supongamos un rectángulo de lados a y b (en azul). El área viene dada por el producto ab, si incrementamos ambos lados un cierto valor, ¿cómo cambiará el área? La variación vendrá dada por los rectángulos amarillo, naranja y verde, cuyas áreas podemos calcular fácilmente. Aún así fijaos que si la variación de a y b es muy pequeña el área de los rectángulos naranja y amarillo será bastante pequeña, pero el área verde será muuuucho más pequeña (podéis probar a poner números para ver que efectivamente así es). Eso hace que cuando miremos sólo variaciones pequeñas podemos ignorar el área verde y obtenemos justamente la regla del producto para derivadas (cambiando la variación Δ por una derivada).

Lo que nos dice esta última ecuación es que el momento angular se conservará si la magnitud que he denotado como τ (que es el momento o torque) es cero. Notad que esto pasará siempre que la fuerza sea cero, en cuyo caso se conservará tanto el momento lineal como el angular, o cuando exista una fuerza pero ésta sea paralela a la posición. Y esto es todo lo que quería contar sobre el momento angular.

Ahora sí que me despido de esta entrada, como he dicho antes, en el siguiente artículo vamos a hablar de órbitas de planetas. ¡Hasta la próxima!

1. El análogo a la masa para movimientos angulares, recordad. [↩]
2. Algunos prefieren usar la palabra rotación para lo explicado antes y usan la palabra revolución para el concepto que explicaré ahora. [↩]
3. Aseguraos de que el objeto es inanimado, que, si no, es de mala educación. [↩]
4. Sí, ya sé que casi todas las magnitudes que he definido en este artículo se llaman momentos… Pero qué queréis que haga… [↩]