El Cedazo

Seguimos con la serie de modelos atómicos, serie que habíamos empezado con unos artículos introductorios para poder asentar unas bases antes de hablar de los modelos atómicos. Espero que las tengáis fresquitas porque hoy vamos a sudar… sobre todo los que os atrevéis con las ecuaciones (aunque el esfuerzo siempre vale la pena). En el último artículo hablamos sobre el modelo atómico de Thomson, un modelo sin demasiadas cosas que contarnos, la verdad… Hoy vamos a ver cuáles son los dos fallos más importantes de este modelo: el primero deberá esperar unos años hasta ser resuelto, mientras que el segundo (puesto de manifiesto por un experimento del que seguro que todos habéis oído hablar), lo soluciona el modelo que sucede a éste. Empecemos

Acabamos el artículo anterior con una de las consecuencias del modelo atómico de Thomson: los átomos pueden radiar ondas electromagnéticas cuando los electrones están “excitados” (el electrón suele estar en lo que se llama nivel fundamental, que es cuando éste tiene la mínima energía posible; si el electrón tiene más energía se dice que está excitado, entonces el electrón estará moviéndose alrededor de la posición de equilibrio) o al contrario, un átomo puede absorber radiación haciendo que el electrón gane energía. Esta consecuencia, aunque importante porque predice la emisión y absorción de luz observada en los espectros atómicos, es también uno de los motivos por los que este modelo debe ser descartado. Recordemos que habíamos llegado a una consecuencia muy importante: la frecuencia de la radiación solamente depende de la carga y el tamaño del átomo en cuestión, es decir, que un mismo átomo solo puede absorber/emitir una frecuencia concreta; de hecho, ya vimos que el átomo de hidrógeno sólo debería radiar ondas electromagnéticas de longitud de onda 119 nm. Y aunque este valor se acerca a una de las líneas del hidrógeno observadas en su espectro real (la línea Lyα, es decir la primera línea de la serie de Lyman, que tiene una longitud de onda de 121,6 nm) este resultado no explica las otras líneas observadas en dicho espectro.

Pero, bueno, Thomson era perfectamente consciente de este fallo antes de proponer su modelo. La verdadera razón para descartar el modelo de Thomson fueron unos experimentos realizados en 1909 (cinco años después de que Thomson propusiera su modelo). Estos experimentos llevados a cabo por un equipo de investigadores (aunque estos experimentos suele decirse que los hizo Rutherford, en realidad él sólo los supervisaba y dirigía; los que lo hicieron, propiamente hablando, fueron otros físicos). Seguro que todos habéis oído hablar del experimento de la lámina de oro (y si no lo conocéis hablé brevemente sobre él en este artículo). Básicamente se trata de un emisor de partículas α, luego estas partículas son colimadas mediante diafragmas (es decir, se hace que todas las partículas vayan paralelas), después se hace incidir el rayo colimado sobre una lámina (se usó oro porque interesaba que la lámina fuera lo más fina posible, y el oro es el metal más maleable conocido). Finalmente, una película registraba la desviación que sufrían las partículas α. La desviación de las partículas α nos permite deducir características de la estructura interna de los átomos.

Debido a que la lámina es muy fina la mayoría de partículas atravesarán la lámina, pero debido a la fuerza de Coulomb (las partículas α tienen carga positiva y el átomo del oro, de los dos tipos) en su recorrido por el interior de la lámina se desviarán de la trayectoria recta. Evidentemente la desviación de las partículas dependerá de la trayectoria que sigan en el interior de la lámina, lo que hace que, aunque al principio todas las partículas tengan la misma dirección, no todas saldrán formando el mismo ángulo, algunas se desviarán más que otras.

Como la lámina de oro es homogénea no existe ninguna dirección privilegiada, es decir, no hay nada que nos haga pensar que las partículas se desviarán hacia la derecha, o hacia arriba, ni en ninguna dirección en concreto. Por esto no nos interesará saber hacia dónde se desvían las partículas, sino cuánto se desvían (en otras palabras, el ángulo que forma la trayectoria de la partícula al atravesar la lámina con la dirección que tendría si no se hubiera desviado).

Según el modelo atómico de Thomson la carga positiva está distribuida homogéneamente por todo el átomo por lo que las partículas solo sufrirán desviación apreciable si pasan por un extremo del átomo (entonces toda la carga positiva hará fuerza hacia la misma dirección)^[1] o si pasa muy cerca de un electrón. Al hacer el experimento se encontró que en general las partículas se desviaban entre 1^o y 2^o.

Ahora la pregunta es, ¿son estos números compatibles con lo que dice el átomo de Thomson?

Llegados a este punto siento deciros que no hay forma fácil de explicar esto sin usar ecuaciones, por lo que debéis creerme. Usando la conservación de la energía y del momento lineal que presenté en el primer artículo es posible dar un resultado aproximado de la desviación máxima que puede sufrir una partícula α. Al atravesar una lámina de 1 μm es de unos 1,3 ^o, lo que nos puede empezar a parecer extraño. Aun así, debido a las aproximaciones tomadas en este cálculo, la diferencia no es suficiente como para descartar el modelo de Thomson, necesitamos algo más, alguna diferencia apreciable para estar seguros que no se debe a un problema de aproximación.

Rutherford se dio cuenta de una cosa muy importante. El ángulo que he dicho de 1^o-2^o es una especie de media, pero en ese experimento se vio que aproximadamente un 0,01% de las partículas salían con un ángulo de desviación superior a 90^o. Aquí es donde el modelo atómico de Thomson no puede explicar los resultados del experimento. Además, haciendo el experimento con diferentes láminas de diferente espesor se vio que la predicción que ofrecía el modelo atómico de Thomson sobre cómo variaba la desviación en función del espesor tampoco se cumplía, ya que, según el modelo de Thomson, el número de partículas α que se dispersaban en grandes ángulos debía ser proporcional a la raíz del espesor (esto es; si el espesor aumenta 4 veces, el número de partículas dispersadas en ángulos grandes debía doblarse). Por el contrario, se encontró que este número era proporcional al espesor (sin raíz cuadrada).

Hasta aquí el modelo de Thomson. El siguiente modelo a presentar es justamente el que propuso Rutherford después de estos experimentos. Pero antes vamos a ver algunas ecuaciones que nos ayuden a entender este experimento (en este artículo debo advertir que esta segunda parte puede ser matemáticamente compleja):

Fallos del modelo (con ecuaciones)

Bien, no voy a repetir aquí todo el experimento, de hecho, la mayor parte del artículo no necesita de ninguna ecuación, así que empecemos directamente por intentar calcular cuál es el ángulo máximo que puede desviarse una partícula α al chocar con un electrón.

Antes de nada, ya os quiero avisar, esta parte está llenita de aproximaciones y algunas veces tendréis que creerme sin que os pueda explicar el porqué de algunas cosas, hay algunos cálculos algo pesados y largos pero que quiero incluir en el artículo (aunque haga que algunos lectores a lo mejor se pierdan), algunos de estos cálculos los presentaré en forma de ejercicio para que os paréis a pensarlos vosotros antes de que los haga yo. Intentaré que se pueda ir siguiendo, aun así algunas veces lo mejor es que se tenga papel y boli y que se vayan haciendo todos los pasos en casa, ya que en algunos casos puede que me salte algunos que considero que no son importantes. Así que empecemos ya desde el principio aproximando.

Primero de todo, vamos a suponer que el electrón está libre e inicialmente en reposo. Estas aproximaciones las podemos hacer porque las partículas α tienen energías muy grandes (comparadas con la energía de ligadura del electrón). Además, supondremos que el choque entre las dos partículas es un choque elástico (los choques entre partículas suelen ser siempre elásticos o se pueden aproximar muy bien).

Primero de todo, vamos a hacer un dibujo de la situación: al principio tenemos una partícula α (en verde) que va hacia el electrón en reposo (en rojo), y después del choque las dos partículas se moverán formando un cierto ángulo con el eje x.

Apliquemos ahora las leyes de conservación. Recordad que en una colisión elástica la energía cinética interna se conserva, pero como la energía cinética de una partícula es la suma de la energía cinética interna más la energía cinética del centro de masas i, en nuestro caso, la energía cinética del centro de masas es la misma, por lo que podemos aplicar simplemente que la energía cinética interna se conserva:

Donde hemos tenido en cuenta que la energía cinética inicial del electrón es 0 por ser su velocidad nula. Además, sabemos que se conserva la cantidad de movimiento (como en cualquier colisión). Doy por supuesto que a partir del dibujo sois capaces de encontrar las componentes de los vectores:

Ejercicio: Demostrar que estas tres ecuaciones se pueden combinar para dar como resultado esta ecuación

Solución: Echando una ojeada a la ecuación que debemos encontrar notamos que no depende de γ, por lo que debemos encontrar una manera de eliminar γ de las dos ecuaciones de la cantidad de movimiento. Lo primero que debe veniros a la cabeza es intentar usar la igualdad:

Para esto necesitamos tener el seno y el coseno elevados al cuadrado:

Ahora simplemente sumamos las dos ecuaciones

De hecho, esta ecuación la podríamos haber sacado del dibujo si hubiésemos pensado en el teorema de coseno. Pero bueno, vemos que ahora tenemos dos ecuaciones y nos hemos deshecho de γ, además vemos que hemos aislado p_e², por lo que podemos sustituirlo en la ecuación de las energías y solo nos queda modificar un poco la forma.

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Como vemos esto es una ecuación de segundo grado, por lo que sabemos que su solución será:

Aquí perdonad porque me he saltado algunos pasos, pero son simplificaciones (no hay trucos matemáticos ni nada raro, solo simplificar la ecuación) así que si le dedicas unos minutos seguro que entiendes lo que he hecho. Aunque cualquier duda que haya siempre estaré encantado de resolverla en los comentarios.

Ejercicio: Demostrar, usando la ecuación anterior que el máximo ángulo de desviación posible en un choque entre una partícula α y un electrón es del orden de 10^-4 rad.

Solución: Efectivamente, sean cuales sean los valores de p_α,f y p_α,i podemos asegurar que son valores reales, esto es, lo que tenemos dentro la raíz debe ser positivo:

Y teniendo en cuenta que m_α≈7344m_e , obtenemos que β<1,362·10^-4 rad. #

Como he dicho antes, las únicas formas de desviar una partícula α son, o bien con una colisión con un electrón, o debido a la repulsión de la carga positiva. Ésta será máxima cuando la partícula α pase por la superficie del átomo, de forma que la fuerza de repulsión será de

Donde he usado que la carga de una partícula α es 2e y la carga de un átomo es Ze (el número de protones por la carga de cada protón). Supongamos que esta fuerza solo actúa mientras la partícula recorre el diámetro del átomo:

Entonces, la segunda ley de Newton nos dice que

ya que el tiempo que tarda la partícula en moverse una distancia igual al diámetro es el mismo diámetro (2r_A) dividido por su velocidad.

Ahora podemos ver en la figura que se cumple que

y de nuevo sustituyendo valores vemos que θ=3,258·10^-4 rad.

Ahora vienen los datos que desgraciadamente no puedo justificaros, básicamente porque no he sido capaz de encontrar de donde salen exactamente:

Hasta ahora hemos calculado el ángulo máximo que puede desviarse una partícula α al atravesar un solo átomo, pero en una lámina hay miles de átomos, por lo que la desviación total es la suma de todas las desviaciones producidas por cada átomo sobre la partícula. Al aplicar la teoría estadística clásica al modelo atómico de Thomson resulta que el ángulo máximo que se desviará una partícula α cuando atraviese N átomos debe ser:

Lo que si el espesor de la lámina es de 1 μm (tomando el diámetro de un átomo de oro como 4 Å, la partícula atraviesa unos 2500 átomos) nos da un ángulo de 1,3 ^o.

De hecho, como dije antes, al jugar con espesores distintos notaron que el ángulo no era proporcional a N^1/2 sino a N.

Pero como he dicho, la experiencia que puso de manifiesto que el modelo de Thomson no funcionaba fue el hecho que se observaron partículas con ángulos de más de 90^o. Resulta que la teoría estadística predice que, según el modelo de Thomson el número de partículas α dispersadas entre un ángulo β y un ángulo β+dβ es

Donde I₀ es el número de partículas α incidentes (eso es, las totales). Si queremos calcular el porcentaje de partículas α que se desviarán un ángulo superior a 90^o debemos calcular:

Haciendo un cambio de variable:

En nuestro caso, en una lámina de 1 μm ya he dicho antes que se encontró una β_mc de 1 ^o. Por lo que la probabilidad de encontrar una partícula α entre 90 ^o y 180 ^o es de nada menos que e^-8100%≈10^-3518%, evidentemente es un número absolutamente ridículo, recordemos que alrededor del 0,01=10^-2% se detectaron con ángulos superiores a 90 ^o.

Bueno, espero que el artículo no se haya hecho pesado. La verdad, por ahora ha sido con muchísima diferencia el artículo más difícil de escribir de la serie, ya sea por la complejidad que tiene tanto de entender qué es lo que se está haciendo como la complejidad matemática (aparte del hecho que varias cosas mencionadas aquí no las he estudiado nunca y por internet he encontrado poca información y mucha es contradictoria e incoherente…). Espero también que el artículo haya sido accesible a todo el mundo (cada uno en su nivel, claro). Y preparaos porque con el modelo atómico de Rutherford viene lo bueno.

1. Si la partícula pasa por uno de los diámetros, la mitad de la carga hará una fuerza hacia un lado y la otra mitad hacia el otro lado. [↩]