El Cedazo

Seguimos con esta serie sobre Modelos atómicos. Después de introducir varios problemas que no tenían explicación  y hablar sobre la conservación de la energía y el momento lineal, necesitamos introducir aún más conceptos antes de poder entrar a fondo con el primer modelo atómico que afrontaremos en esta serie. Sigamos:

2. Colisiones elásticas

Aunque lo que necesito explicar para el modelo atómico de Thomson son las colisiones elásticas, antes debo hablar de qué es una colisión… Bien, aunque puede pareceros que sabéis más o menos bien qué es una colisión, debo deciros que no siempre se suele entender bien el concepto de colisión. Una definición del fenómeno podría ser la siguiente:

“Una colisión es un proceso físico donde dos partículas con momentos lineales p₁ y p₂ sufren un cambio de este momento”.

Es muy fácil poner ejemplos de colisión: El choque de dos bolas de billar, el choque de dos automóviles que circulan por la carretera… Estos son ejemplos muy lógicos de colisiones, pero hay otras colisiones que parece que la gente no suele considerar, por ejemplo, la Tierra y el Sol están colisionando todo el rato. La Tierra tiene un cierto momento que va variando según va girando alrededor del Sol, y lo mismo pasa con el Sol, aunque esa variación es despreciable.

Cuando dos partículas colisionan las fuerzas que ejercen éstas entre sí suelen ser muy fuertes, lo que hace que durante una colisión se pueda despreciar cualquier tipo de fuerza externa al sistema formado por estas dos partículas. Lo que a su vez, si recordamos el artículo anterior, implica que el momento del sistema formado por las dos partículas se conserva.

Observando la energía cinética interna del sistema formado por las dos partículas, podemos clasificar las colisiones en tres tipos:

• Colisión elástica: La energía cinética es la misma antes y después de la colisión.
• Colisión inelástica: La energía cinética no es la misma antes y después de la colisión.
• Colisión perfectamente inelástica: La energía cinética final es cero.

Pero primero de todo, ¿qué es eso de la energía cinética interna del sistema formado por las dos partículas?

Vamos a aclarar este término. Supongo que todos recordáis el concepto de energía cinética de una partícula. En el artículo anterior ya dijimos que la energía cinética de un sistema de partículas es la suma de la energía cinética de todas las partículas que lo componen. Simplemente nos está diciendo que debemos considerar el sistema que forman las dos partículas que colisionan y fijarnos en su energía cinética. Fácil, ¿no? Pero, ¿a qué se refiere con energía cinética interna?

Esto está relacionado con el concepto de centro de masas y con un problema que tiene con la energía cinética.

Primero de todo, ya sabemos que la energía cinética de un cuerpo es la energía de este cuerpo debido a su movimiento. Y también que la energía cinética depende de la velocidad (siendo ésta una medida del movimiento del cuerpo: si la velocidad es cero, el cuerpo no se mueve; si es más grande, el cuerpo se mueve). Pero todo esto tiene un problema: ¡La energía es una magnitud escalar, mientras que la velocidad es una magnitud vectorial!

Por si no estáis familiarizados con los conceptos de escalar y vector, paso a aclararlo: una magnitud escalar es aquella que sólo necesita un número para ser definida. Por ejemplo son magnitudes escalares la temperatura o la masa. Si decimos que algo está a 20^oC o que tiene una masa de 100kg estamos dando toda la información que puede proporcionarnos esta magnitud.

Por el contrario las magnitudes vectoriales no se pueden definir con un solo número, hace falta además de un número definir una dirección, un sentido y un punto de aplicación. Son ejemplos de magnitudes vectoriales la velocidad o la fuerza. Si yo te digo que voy a 3m·s^-1 [1] no te estoy dando toda la información posible, puesto que es sólo un número (que llamaremos módulo), pero no te digo en ningún momento hacia dónde voy. Es fácil ver si una magnitud es vectorial o escalar: Si puedes definir una dirección, es una magnitud vectorial.

Como acabamos de ver, la velocidad es una magnitud vectorial, pero la energía es escalar (no podemos definir ninguna dirección de energía). ¿Por qué esto es importante?

Bien, cuando haces cálculos con una magnitud vectorial, las matemáticas que probablemente conoces no funcionan: vectorialmente dos más dos no siempre son cuatro. Vamos a verlo con un ejemplo muy claro. Hemos quedado que la fuerza es una magnitud vectorial (podemos ejercer una fuerza en la dirección que queramos). Yo tomo una cuerda y hago una fuerza de, por ejemplo 20N^[2] hacia mí, y luego viene otro y hace la misma fuerza (20N) pero en sentido contrario. Vamos a hacer cálculos, 20N míos más 20N suyos… ¿¡40N!? Pero realmente la fuerza neta es cero (y lo vemos porque la cuerda no se va a mover de ahí). Como vemos, las dos formas de ver el caso no coinciden.

Otro ejemplo bastante más abstracto pero muy importante para lo que viene: si tenemos un sistema de dos partículas con la misma masa y una partícula se mueve hacia la izquierda con una velocidad de 20m·s^-1, mientras que la otra se mueve a la misma velocidad pero hacia la derecha, ¿cuál será la velocidad del centro de masas? Cero. Puede ser que esto lo veas muy obvio o que no veas ni de lejos por qué es cero. Vamos a analizar la situación: si las dos partículas tienen la misma masa y velocidades iguales pero opuestas, sus momentos lineales serán iguales pero opuestos (el momento lineal es una magnitud vectorial). Por lo tanto, el momento lineal del sistema será cero (recordemos que el momento del sistema es la suma de momentos), luego el momento del centro de masas es cero, lo que implica que la velocidad de este será 0.

Pero fijémonos ahora, sin cambiar de sistema, en su energía cinética… Las dos partículas tienen velocidad y por lo tanto energía cinética. Supongamos que las masas son de 5g, por ejemplo, y que las dos bolas tienen una energía cinética de 1J^[3], por lo que la energía cinética del sistema es 2J.^[4] Pero la energía cinética del centro de masas es 0 (su velocidad es 0). Aquí vemos el gran problema, pues habíamos dicho que el centro de masas se comporta igual a como se comporta el sistema, pero en nuestro caso la energía del sistema no se corresponde con la energía del centro de masas. Ahora bien, como el usar el centro de masas es muy cómodo en los cálculos, nos interesa encontrar una manera de relacionar la energía del centro de masas y la del sistema.

Vamos a fijarnos en otro ejemplo, la misma situación pero con dos partículas, una de 3g y otra de 4g, que se mueven a 24m·s^-1 y 58m·s^-1  respectivamente y, al igual que antes, en sentidos opuestos. De nuevo, como la velocidad es vectorial, el centro de masas no se mueve a 82m·s^-1 como podría parecer, sino que lo hace a 23m·s^-1 y se mueve en el mismo sentido que la segunda partícula. La energía cinética del sistema es de aproximadamente 8J, mientras que la del centro de masas (cm) es de aproximadamente 2J. De nuevo observamos que ambas no coinciden.

Pero vamos a ver qué pasa si calculamos la energía cinética del sistema restando la velocidad del centro de masas a la de las partículas. Entonces éstas se mueven a 47m·s^-1 y 35m·s^-1, ambas en sentido contrario, siendo la energía cinética del sistema ahora de aproximadamente 6J.

La diferencia entre la velocidad de una partícula y la del centro de masas es lo que se llama velocidad relativa al centro de masas (la velocidad que vería alguien que se moviera a la velocidad y en la misma dirección y sentido del centro de masas). Y, como hemos podido ver en el ejemplo anterior, se cumple que la energía cinética de un sistema es igual a la energía cinética del centro de masas más la energía cinética usando las velocidades relativas al centro de masas. Pues esta energía cinética (la relativa al centro de masas) es la que se llama energía cinética interna del sistema y la que nos permite clasificar las colisiones.

Hasta ahora hemos visto qué es una colisión y una clasificación de éstas. Pero lo más importante de todo esto es recordar estas dos cosas:

• En una colisión, el momento lineal del sistema se conserva.
• Si la colisión es elástica, la energía cinética interna se conserva.

Colisiones elásticas (con ecuaciones)

Bien, para los que no os asuste el uso de ecuaciones vamos a ampliar lo que acabo de explicar usando algunas ecuaciones que nos ayuden a entender el fenómeno.

El concepto de colisión es puramente cualitativo, así que no puedo aportar nada más a lo explicado más arriba. Pero vamos a entender bien la clasificación de las colisiones:

Como hemos dicho la energía cinética de un sistema de partículas es la suma de la energía cinética de todas las partículas, por lo tanto:

La velocidad de cada partícula puede escribirse como la velocidad del centro de masas más la velocidad relativa de cada partícula respecto al centro de masas

Por lo que podemos escribir la energía cinética como:

En la formulación anterior es importante darse cuenta de que la suma de todos los momentos relativos al centro de masas es igual a 0. Es fácil verlo de esta manera:

Como podemos ver, la energía cinética del sistema es la energía cinética debida al movimiento de centro de masas más la energía cinética debida al movimiento de las partículas respecto al centro de masas (energía cinética interna).

Como hemos dicho más arriba, podemos suponer que durante una colisión no existe ninguna fuerza externa, por lo tanto la velocidad del centro de masas se mantiene constante y, si se trata de una colisión elástica, la energía cinética del sistema se mantiene constante. Este hecho, junto con la conservación del momento lineal en colisiones, son muy útiles, ya que permiten estudiar una colisión usando sólo los estados inicial y final de las partículas.

También suele ser muy útil encontrar una relación entre la energía cinética y el momento:

Existe un coeficiente, llamado coeficiente de restitución (e), que es muy útil para la clasificación de las colisiones

Para las colisiones elásticas, e=1; en las perfectamente inelásticas, e=0; y por fin, para las inelásticas, 1>e>0.

Aquí termino este artículo. En el siguiente vamos a salir un poco de la mecánica y entraremos en la física de las oscilaciones, hablaremos del movimiento armónico.

Hasta la próxima.

1. Metros por segundo. [↩]
2. N = newton. [↩]
3. J = julio. [↩]
4. Como la energía es una magnitud escalar se suman, como nos han enseñado toda la vida. [↩]