En el artículo anterior de esta serie sobre Lógica de aplicación para la informática que hoy finaliza (¡por fin!), se definió el Cálculo de Predicados como una generalización del Cálculo Proposicional que vimos algunos capítulos atrás… Como sabéis los aguerridos seguidores de la serie, para confeccionarla estoy usando extensivamente los apuntes de la asignatura de “Metodología” de aquel año académico 1973-74, en Segundo de Informática, asignatura impartida por el desgraciadamente desaparecido profesor D. José Cuena Bartolomé.

Estamos llegando al final de la asignatura. Estamos ya con los calores de mayo y los sudores fríos que a todos nos dan los inminentes exámenes finales. D. José dedicó estas últimísimas clases a acabar de perfilar el Cálculo de Predicados y a hacer ejercicios para preparar los dichosos finales. Pero descuidad, yo no voy a examinaros de nada… allá cada cual con lo que haya aprendido (o desaprendido, quién sabe) siguiendo esta serie tan amarillenta como los añejos apuntes en que se basa… serie que, por cierto, hoy llega a su fin… por fin.

Hace un par de artículos vimos cómo era, desde el punto de vista del cálculo proposicional, el proceso de deducción.

Recordemos que, teniendo una serie de premisas que se suponen ciertas, se puede deducir una nueva proposición… Suponiendo las premisas , esto lo representábamos de la forma: , es decir, la conjunción de todas las premisas implicando la conclusión tiene que ser cierta. Esto era, ni más ni menos, el modus ponens, si os acordáis. Y nos indica que, si todas y cada una de las premisas son ciertas, y sólo en ese caso, entonces la conclusión lo es también.

Vamos a generalizar este proceso, utilizando los cuantificadores universal (Para Todo: ) y existencial (Existe: ), para definir el proceso de inferencia lógica. Para ello, primero definiremos las diferentes formas de deducción que emanan de los cuantificadores. Tienen todas ellas nombres bastante intimidatorios, pero… son no sólo sencillas, sino evidentes; más aún, como decía mi abuela, son de cajón de madera de pino… Ved cómo es así:

Especificación Universal

Esto quiere decir que si para todo x se cumple A(x), evidentemente el predicado A se cumplirá también para todos los elementos y. Así, si tenemos la aserción siguiente: a todo español le gustan los toros (es decir, para todo hombre perteneciente a los españoles, “le gustan los toros” es cierto), podemos convertirla simplemente en “a los españoles les gustan los toros“. En lenguaje corriente tendríamos dificultades en distinguir una forma de decir las cosas de la otra… porque son equivalentes, eso es.

Y, evidentemente, la frase es un ejemplo. Porque, en realidad, no a todos los españoles les gustan los toros, yo mismo entre ellos: la premisa inicial es falsa, así que, por muy bien hecho que esté el razonamiento, que lo está, su conclusión no es válida, puesto que el predicado inicial no lo es.

Recordad siempre: un razonamiento puede ser correcto o incorrecto, no verdadero o falso. Verdaderas o falsas son las frases, las aserciones, los predicados que se usan en el razonamiento, pero nunca el razonamiento en sí.

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También es cierta la contraria de la Especificación Universal, llamada:

Generalización Universal

Si siempre se cumple A(x), entonces también se cumple que para todo y se cumple A(y). Si el predicado A es “Los turcos tienen bigote“, es bastante sencillo ver que “para todo x perteneciente a los hombres turcos, x tiene bigote“. Incluso, nuevamente, en el lenguaje corriente ambas formas de hablar (“los (hombres) turcos tienen bigote” y “todo (hombre) turco tiene bigote“) son equivalentes, por no decir indistinguibles. En Lógica formal, lo son también, puesto que se infieren una de la otra, y viceversa.^[1]

En el ejemplo paradigmático de la filosofía clásica, de “los hombres son mortales“, proposición normalmente dada por verdadera, puesto que no se ha observado ningún contraejemplo hasta el momento, según esta generalización universal se convertiría en “Todo hombre es mortal” (para todo x perteneciente a “Los Hombres“, x es mortal), llegando así a convertirse en Ley Universal.

Sigamos.

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Especificación Existencial

Aquí representa un cierto elemento que cumple el predicado A. Alguno debe de haber, claro, pues si no, no sería cierta la especificación “Existe un x tal que A(x)”. Si decimos que “existe algún inglés que sabe hablar correctamente el español“, por ejemplo, es evidente que para un cierto valor de x perteneciente a “los ingleses”, digamos un tal John Smith que estudió en los Salesianos de La Almunia de Doña Godina, se cumplirá que ese caballero inglés en concreto habla español correctamente. Si no hay disponible ningún John Smith hispanoparlante, entonces la propia premisa de especificación existencial sería falsa, puesto que NO existiría ningún inglés que hable español como es debido…

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Nuevamente, su contraria:

Generalización Existencial

Si hay un cierto elemento que cumple A, entonces existe al menos un x tal que A(x) se cumple, que será precisamente ese elemento , al menos. Efectivamente, si conocemos a un tal Mike Taylor que estudió en los Escolapios de Puente del Arzobispo y habla en español por los codos, entonces podemos afirmar sin titubear que “existe al menos un inglés que habla español correctamente“. El tal Mike Taylor, al menos.

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No creo que haya que explicar más estas formulitas: son bastante evidentes, casi infantiles, perogrullescas… ¡y potentes!.

Armados con ellas y con lo que ya sabemos de cálculo de predicados y proposicional, somos capaces de resolver inferencias lógicas como el que lava… en la Edad Media nos hubiéramos podido ganar bien la vida como resolvedores (¡o inventores!) de silogismos… eso si antes no nos habían quemado en la hoguera, por brujos.

Veamos algunos ejemplos. Ahí va el primero de ellos:

1. – Ningún ser humano es cuadrúpedo.

2. – Todos los pigmeos son humanos

Conclusión: Ningún pigmeo es cuadrúpedo^[2]

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Veamos cómo llegamos, lógicamente, a la conclusión de que nuestros queridos aborígenes africanos de baja estatura no se desplazan normalmente sobre cuatro patas.^[3]

Primero, definamos las proposiciones individuales:

H(x): x es un ser humano

C(x): x es un cuadrúpedo

P(x): x es pigmeo

Una vez hecho esto, definimos ahora los predicados 1 y 2 en términos de cálculo lógico:

Se ve claro, ¿no? Pues por si acaso no se ve…

La primera: Para todo x, si x es un hombre, entonces x no es un cuadrúpedo.

La segunda: Para todo x, si x es un pigmeo, entonces x es un hombre.

¿Está claro? Operemos un poco con cada uno de los dos predicados originales, aplicando la Especificación Universal:

Ya sabemos, pues, que los “humanos no son cuadrúpedos“, y que “los pigmeos son humanos“. Con este par de especificaciones nos hemos librado (de momento) de los cuantificadores, con lo que nos han quedado dos proposiciones de lo más normalitas. Por lo tanto, podemos aplicar sin más las reglas del cálculo proposicional que conocemos.

Tomamos ahora ambas conclusiones y:

Claro: Si A implica B y B implica C, entonces, por la propiedad transitiva, A implica C.  O sea: “Los pigmeos no son cuadrúpedos“.^[4] Ya casi está. Ahora sólo queda generalizar:

O sea, que todo Pigmeo no es cuadrúpedo. Es decir: Para todo x, si x es Pigmeo, entonces x no es cuadrúpedo. Como se quería demostrar. ¡Menudo descubrimiento!, por cierto.

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En el mundo de los silogismos, siempre que mi escuálida memoria no me falle, éste de los pigmeos es del tipo “Celarent“, es decir: Universal Negativo + Universal Positivo dan como conclusión otro Universal Negativo.  En este caso, Premisa-Universal Negativo: “Ningún humano es cuadrúpedo“; Premisa-Universal Positivo: “Todos los pigmeos son humanos“; Conclusión (Universal Negativo): “Ningún pigmeo es cuadrúpedo“. Así se las gastaban los monjes medievales… Había decenas y decenas de tipos de silogismos, que se sabían de memoria.

Y, en cambio, nosotros, en aquella “Metodología” de Segundo de Informática, nunca jamás citamos siquiera el nombre “Silogismo“, cuando no hacíamos más que resolver uno tras otro.

Al final del artículo dedicaré algunos párrafos a describir, muy por encima, cómo eran los silogismos y cómo se usaban, por si alguno de vosotros tiene curiosidad.

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Pongamos un último ejemplo. De hecho yo tengo cinco de ellos en mis descoloridos apuntes del siglo pasado, pero no voy a torturaros con más… si es caso, dejaré uno último para que quien quiera divertirse un rato, pueda hacerlo… pero a solas. Veamos este último ejemplo:

1 – Todos los números racionales son números reales

2 – Algún número racional es entero.

Conclusión: Algunos números reales son enteros

De Perogrullo, sí, pero hay que demostrarlo, que, si no, nuestros amigos matemáticos se enfadan mucho. Veamos primero los predicados involucrados:

Q(x): x es racional.

R(x): x es real.

E(x): x es entero.

Las premisas son las siguientes:

Traducción: Para todo número x que es racional entonces x es real.

 Traducción: Existe al menos un número x tal que es simultáneamente racional y entero.

y la conclusión propuesta es:

Traducción: Existe al menos un número x tal que es  simultáneamente real y entero.

Evidente, ¿no? Espero que sí. Venga, vamos a operar otro poco. Por una parte, mediante especificación universal:

Por otra parte, y ahora mediante especificación existencial:

Al ser éste último un predicado conjugado,^[5] para ser cierto deben ser ciertos a la vez y ; podemos, pues, tomarlos independientemente, y eso es justo lo que vamos a hacer, uniéndolos por partes con el otro enunciado.

(Esto es un modus ponens de lo más normalito)

(La otra parte de la conjunción)

, y por generalización existencial:

, que era la conclusión buscada.

O sea, efectivamente algunos racionales son, sorpresivamente, también enteros.

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El último ejemplo que prometí, para aquellos masoquistas que quieran ejercitarse… Demostrar si la siguiente inferencia lógica es correcta:

1 – Algunos franceses son amigos de todos los monegascos.

2 – Ningún francés es amigo de los aficionados al cricket.

Conclusión: Ningún monegasco es aficionado al cricket.

No es difícil, ni mucho menos. Ya podéis lidiar con silogismos sin despeinaros, tengan una premisa, dos, tres o las que hagan falta… ya no hace falta cantar, como yo canté en mi lejanísimo Bachillerato, aquello de “Barbara, Celarent, Darii, Ferio… du-duá, du-duá…“.^[6]

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Mmmm. He citado bastantes veces a lo largo de la serie eso de “los silogismos“, y acabo de explicar que conociendo lo que hoy he terminado de exponer sobre Lógica y sobre inferencias lógicas, no hace falta conocer nada acerca de silogismos, y que se podía olvidar uno de lo del “Bárbara, Celarent”… Podría parecer que estoy menospreciándolos, pero no, en absoluto. Los silogismos fueron la piedra angular sobre la que se basó toda la ciencia medieval e incluso la de los Siglos XVI, XVII y XVIII. Muchos grandes pensadores, algunos conocidos pero la mayoría anónimos, aportaron a lo largo de los siglos su grano de arena al corpus de los silogismos…

Yo los estudié, no mucho, pero sí lo suficiente, en mi aún más lejana Filosofía de Quinto de Bachillerato (tenía yo quince años por entonces), y la verdad es que me acuerdo más bien poco.

… Pero parece que en nuestros tiempos ya no se explican. Nada. Es lógico: sabiendo álgebra de Boole, cálculo proposicional y de predicados, todo lo demás sale solo, así que, aunque sólo sea por lo importantes que fueron en su día, voy a dedicarles algunos párrafos para explicar, sin grandes detalles, qué eran y cómo se usaban…

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SILOGISMOS, o cómo se razonaba en la Edad Media.

Fue Aristóteles, nada menos, quien definió por primera vez el término silogismos (que en griego clásico quiere decir “razonamiento”), aunque luego fueron los escolásticos los que afinaron su definición, los estudiaron a conciencia y explicaron cómo usarlos.

Para definir un silogismo se precisan tres proposiciones: Una, denominada “Mayor“, otra, “Menor” y otra, por fin, llamada “Conclusión“, que, como podéis imaginar, es la que se deduce de las otras dos proposiciones, las premisas. Estas proposiciones deben tener en total tres términos, denominados mayor, menor y medio, y además resulta que… bueno, la cosa se empieza a complicar. Mejor ver un ejemplo clásico:

Proposición Mayor: “Todos los hombres son mortales“

Proposición Menor: ”Sócrates es un hombre“

Conclusión: “Sócrates es mortal“

Ya veis que se trata de un modus ponens de lo más sencillito, de una inferencia muy evidente, según acabamos de observar. Sabiendo cálculo proposicional y de predicados esto está chupado. Sólo hay un pequeño problema: ¡¡No estaban inventados!! En el Siglo XII toda noción de cálculo, y no digamos de álgebra, estaba en pañales; ni siquiera se había importado de los indios, pasando por los árabes, el sistema de notación numérico actual, con su cero incluido.

¿Cómo se las apañaron, pues, Tomás de Aquino, Guillermo de Ockham y demás escolásticos para lidiar con cualesquiera razonamientos…?^[7]  De Memoria.  Se los aprendían de memoria.

Primero, codificaron los diferentes predicados según su tipo, de la forma siguiente:

Universal afirmativo: Letra A. (Traducido: Para todo x, ocurre P(x) )

Universal negativo: Letra E. (Traducido: Para todo x, ocurre No P(x) )

Particular afirmativo: Letra I.  (Traducido: Existe un x, en que ocurre P(x) )

Particular negativo: Letra O. (Traducido: Existe un x, en que ocurre No P(x) )

Luego, siglo tras siglo, en base a sesudos razonamientos llegaron a determinar qué tipos de razonamientos eran válidos y cuáles no. Razonamientos en los que no podían reducir fórmulas según el álgebra de Boole o las Leyes de De Morgan, porque tanto a George Boole como a Augustus De Morgan les faltaban quinientos años o más para nacer, o sea, todo a puro pelo. Los dividieron y categorizaron una y otra vez: en hipotéticos y disyuntivos, condicionales, chiripitifláuticos, etc, dando lugar a diferentes figuras, modos, sistemas…

Luego, a cada figura le asignaron una o varias  consonantes iniciales que indicaban de qué figura era el silogismo. No me preguntéis más detalles sobre esto de las figuras y tal, que no llego más que hasta aquí.

Teniendo tres predicados y cuatro tipos de predicado posibles (A,E,I,O), encontraron que había 64 posibles modos de ordenarlos, a base de escribir todos uno a uno y contarlos. No creo que supieran que las variaciones con repetición de cuatro tipos tomados de tres en tres era “4 elevado a 3“… ni siquiera sabían qué rayos era una “variación con repetición“, pero sí sabían que en total había 64 modos posibles, del A-A-A al O-O-O.

También se dieron cuenta de que no todos los modos posibles eran silogismos correctos. Por ejemplo, si las dos premisas son negativas, no se puede inferir conclusión alguna, como en “Ninguna planta de mi jardín sabe hablar”; “Mi perro Toby no es una planta”… No es posible sacar ninguna conclusión sobre si Toby sabe o no sabe hablar en base a estas dos premisas iniciales.

De los 64 modos posibles, tras siglos de estudio, encontraron que sólo 19 eran correctos. ¿Cómo hacer para recordarlos, en aquellos tiempos en que la matemática simplemente no existía? Fácil: escribieron esos 19 modos válidos que encontraron, de forma exhaustiva, buscando palabras mnemotécnicas que les ayudaran a recordarlas. De ahí lo de “Barbara, Celarent, Darii, Ferio…”. Y se las aprendieron de memoria.

Así, Barbara señala un razonamiento en el que todas las proposiciones son universales afirmativas (A-A-A: bArbArA, para que se vea más claro), por ejemplo: “Todos los hombres son mortales”; “Todos los pigmeos son hombres”; Conclusión: “Todos los pigmeos son mortales”.

En nuestro africano ejemplo anterior, el de los pigmeos: “Ningún hombre es cuadrúpedo”, ”Todos los pigmeos son hombres”; Conclusión: “Ningún pigmeo es cuadrúpedo”, es un silogismo de modo Celarent (EAE: cElArEnt). Sus proposiciones son: Universal Negativo (E)-Universal Afirmativo (A)-Universal Negativo (E).

En el  de “Todos los hombres son mortales”; “Sócrates es un hombre”; Conclusión: “Sócrates es mortal”, las proposiciones son: Universal Afirmativo (A), Particular Afirmativo (I), Particular Afirmativo (I)… es un Darii (dArII, para que se vea más claro).   Y así, con todo.

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¿Cómo usaban esto los filósofos medievales? Bien, estaban ellos elucubrando sobre la flamigerez de los bordosíes, sin ir más lejos, y se planteaban el siguiente razonamiento:

Premisa Mayor: “Nadie que ferrulice a un churrimano es un flamígero descendente“;

Premisa Menor: “Tengo un bordosí emperifollado que ferruliza a un churrimano“

¿Qué conclusión puedo yo sacar de estas dos premisas? Como no sé álgebra de Boole… lo llevo crudo. Pero, claro, en su lugar, tengo mi lista de silogismos…

A ver… la primera premisa es una Universal Negativa: Una E. La segunda es un Particular Afirmativo: una I. Luego tengo que buscar en la lista de silogismos válidos y aceptados por los Padres de la Iglesia (no vaya a cometer herejía y acabe en el potro de tortura) a ver si hay alguno con ese comienzo “E-I“, aunque lo normal es que no me haga falta, porque me los sepa de memoria… Pues sí, hay uno: Festino. La tercera sílaba de Festino^[8]  lleva una O. Eso quiere decir que la conclusión es de tipo O: particular negativo. Y como Festino empieza por F, es de no sé qué figura (según la Wikipedia, de la segunda figura, signifique lo que signifique eso y tenga las consecuencias que tenga).

O sea, la conclusión sería “Este bordosí emperifollado ferrulizador no es un flamígero descendente“. O algo parecido…

Bueno, más o menos así sería el método. Además, para ayudarse en su tarea, inventaron uno de los primeros prontuarios de la historia: las cartas silogísticas. No me preguntéis cómo se usaban. No me acuerdo, si es que alguna vez lo supe.

La realidad es que, aunque soy viejo, nunca llegué a usar activamente ni las cartas silogísticas ni los propios silogismos (ya habían pasado de moda cien años antes de que yo naciera), y los tengo bastante olvidados. Espero, eso sí, que gracias a estas pocas palabras os quede, al menos, una idea de cómo funcionaba todo el asunto.

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En fin. El curso académico se acababa. Don José nos propuso dos o tres ejercicios más, luego… Vinieron los exámenes parciales (en las asignaturas que los hacían, que no eran tantas), y después los finales. Aprobé todo, incluyendo esta tan lógica asignatura de “Metodología”. Con buena nota, creo recordar. La mayoría de mis compañeros y yo estuvimos de acuerdo en que estas clases impartidas por Pepe Cuena habían sido de las más divertidas y útiles que habíamos recibido en nuestras vidas.

El verano siguiente me dediqué a cumplir mis obligaciones como ciudadano español de pro de la época: me fui la mili, el Servicio Militar Obligatorio, que terminé año y pico después, simultaneando las guardias y las imaginarias con el curso de Tercero de Informática…^[9] No me fue muy bien en ninguna de las dos actividades: del curso me quedaron unas cuantas asignaturas para el año siguiente (aunque aprobé dos o tres, que algo es algo), y en la mili comprobé que toda la estupenda Lógica que había aprendido ese curso 1973-1974 no me sirvió absolutamente de nada: no puede decirse que el Servicio Militar de aquellos años se rigiera por parámetros excesivamente lógicos. Menos mal que no estábamos en guerra con nadie, que si no…

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Aquí se acaba esta historia. Y la serie.

Seguramente os habrá aburrido mortalmente a la mayoría, a otros os habrá parecido limitada, pedante y, sobre todo, ingenua, y, por fin, a dos o tres de vosotros igual os ha servido para algo, os ha ayudado a entender un poco cómo se razona, y sobre todo cómo razonamos los informáticos… perdón, cómo razonábamos los informáticos de los tiempos del cuplé.

Hasta otra.

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¡Ah!. Se me olvidaba: Disfrutad de la vida, mientras podáis.

1. En otro caso, ¡ya me diréis para qué valdría la Lógica! [↩]
2. Qué cosas… en la clase anterior aparecían negros, por aquello de “Juan es negro”, y aquí aparecen pigmeos… que también son negros. Ya digo yo que la corrección política imperante en la actualidad no había hecho todavía su aparición en los años 70. [↩]
3. No hay más que ver la foto, pero en fin… [↩]
4. Si aún tenéis dudas, pensad en conjuntos, en relaciones de pertenencia entre los conjuntos involucrados,  y lo veréis clarísimo. [↩]
5. O sea, unido con un hermoso “Y”. [↩]
6. En mis tiempos se aprendían muchas cosas cantando, la primera de ellas la tabla de multiplicar, naturalmente: dos por una es dos; dos por doooos, cuatro; dos por treees, seis… y así hasta el infinito. Y más allá. [↩]
7. No, cualesquiera razonamientos, no. Casi todos eran para demostrar ésta o aquella faceta de la divinidad, para demostrar la infalibilidad del Papa o la venida del Espíritu Santo o la mendacidad de algún obispo casquivano… La poquísima cultura que subsistía en Occidente durante los oscuros años medievales se guardaba o practicaba en monasterios y conventos. Sin excepción. [↩]
8. No creo que pensaran en relojes suizos los monjes medievales que le pusieron el nombre. [↩]
9. Fui a la mili aunque aún era menor de edad: esos años la mayoría de edad no se alcanzaba hasta cumplir los 21 años, y yo aún no los tenía. Sí, era menor de edad para casi todo, menos para ir pegando tiros por ahí. [↩]