Llevamos ya nueve artículos en la serie, y hemos introducido un montón de conceptos. Hemos presentado muchos juegos teóricos y los hemos asimilado a varios casos reales interesantes, como disputas comerciales, guerras, apuestas, videojuegos…

Probablemente, al empezar la serie habrás pensado incluso que apenas contábamos nada, pero poco a poco hemos ido introduciendo más y más conceptos… ¡y aún estamos con lo básico!

Hoy vamos a introducir un juego nuevo. No estoy seguro de cuál es su nombre, ni si lo tiene, así que lo voy a llamar juego de confianza, que es como lo llama la Wikipedia (aunque no es exactamente el mismo que yo conocía, este es una generalización del de la Wikipedia). El nombre es un poco ambiguo, porque en muchos otros juegos hay que decidir si confiar o no en el oponente, pero bueno.

Es parecido en cierto modo al juego del ciempiés, que ya hemos visto, pero lo vamos a contar en un artículo propio porque tiene una sutil diferencia que cambia radicalmente la estrategia, y nos va a servir para introducir un concepto nuevo y asociarlo en el próximo artículo a un caso real; estuve a punto de incluirlo en el artículo del ciempiés, y de hecho algunos lo pidieron luego en los comentarios, pero me pareció que estaba quedando muy largo y que podríamos beneficiarnos de los conceptos introducidos entre medias. Si no tienes fresco el artículo del ciempiés, échale un vistazo, porque lo necesitaremos.

Tenemos dos jugadores, Ana y Alberto, que empiezan con 100€ cada uno. Juegan secuencialmente, primero Ana y luego Alberto, luego Ana otra vez, Alberto, Ana, Alberto,…

En cada turno, al que le toque debe decidir cuánto de su dinero le da al otro (incluso puede decidir darle 0€). La gracia del juego está en que en esa transacción la cantidad de dinero transferido se duplica por el camino.

Así, si por ejemplo Ana le da a Alberto en el primer turno 30€, al empezar el segundo turno, Ana tendrá 70€ y Alberto 160€. Luego Alberto pasa a Ana 100€, de modo que acaban Ana=270€, Alberto=60€.

Y así sucesivamente hasta el infinito.

¿Cuál es la mejor estrategia? La mejor estrategia es darle al otro siempre todo tu dinero.

En el primer turno, Ana le da 100€ a Alberto (y se convierten en 200€). En el segundo, Alberto le da los 300€ (100 que ya tenía y 200 que acaba de recibir) a Ana (y se convierten en 600€). En el tercero, Ana le da los 600€ a Alberto (y se convierten en 1200€). Y así sucesivamente hasta el infinito.

Intuitivamente es fácil ver que esa es la mejor estrategia, pero esta vez, al ser infinito, no podemos encontrarla por inducción. Usaremos de momento la intuición y ya lo formalizaremos más adelante. Vamos a intentar dar unas pinceladas sobre esa intuición, para que al menos tengáis vosotros también esa idea.

Vamos, pues,  a explicar la intuición por inducción… pero es una inducción un poco especial, porque no acaba nunca. A ver si consigo explicarme.

Vamos a llevarlo a los extremos, para convertirlo en un problema de todo o nada: en el primer turno, Ana puede darle a Alberto los 100€ o no darle nada. ¿Cómo sabemos cuál es la mejor decisión? Depende de lo que elija Alberto en el turno 2. Si Alberto elije pasar de vuelta los 300€, entonces lo mejor para Ana es entregar todos los 100€. Pero si Alberto elije pasar de vuelta 0€, entonces lo mejor para Ana es no entregar nada. ¿Y cómo sabemos cuál es la mejor elección para Alberto (suponemos que es racional y esa es la que tomará)? Pues depende de lo que elija Ana en el turno 3. Y así sucesivamente.

Así pues, tenemos dos caminos posibles: o ninguno de los dos pasa nunca nada, o ambos jugadores pasan siempre todo. En el primero de los casos (ninguno pasa nunca nada), ambos jugadores se quedan con 100€ cada uno. En el segundo de los casos (ambos pasan siempre todo), la cantidad crece indefinidamente hasta el infinito.

Estamos aplicando una estrategia de esperanza máxima (esperanza en el sentido matemático: media).

Ojo: el juego debe ser infinito. Si el juego no es infinito, entonces estaríamos prácticamente ante el juego del ciempiés, y la mejor estrategia ya no es pasar todo el montón.

Juego finito o infinito

Como ejemplo de juego finito tenemos el del ciempiés.

Como ejemplo de juego infinito tenemos este juego de confianza.

Como ejemplo de juego potencialmente infinito tenemos el de la subasta del dólar: si los jugadores siguen pujando, el juego no acaba nunca. Recordemos incluso que entre sus normas pusimos algo como “consideraré acabado el juego cuando a mí me de la gana”. Muchos autores ni siquiera se plantean que este tipo de juego exista, y en realidad casi siempre se pueden simplificar a un problema equivalente de los otros dos (finito o infinito), dependiendo de lo que queramos estudiar. Pero ahí dejo el párrafo, por si acaso.

En los juegos finitos se define al ganador en función de las recompensas que recibe. Existen algoritmos formales para encontrar la solución óptima en estos casos (¿óptima respecto a qué? Depende. Por eso decimos “existen algoritmos” y no “existe un algoritmo”). Ya los formalizaremos un poco más adelante en la serie. Solo un poco, no vamos a ponernos a dar un montón de fórmulas.

En juegos infinitos, en cambio, es muy difícil definir un ganador (o imposible incluso). En lugar de eso se suele decir que una estrategia es ganadora, aunque en mi opinión eso no es más que retorcer el lenguaje. Bien se podía definir que “ganar un jugador” era una cosa distinta y listo, pero bueno. En cualquier caso, lo que sí es obvio es que en juegos infinitos puede ser difícil definir “ganar”, e incluso podemos encontrarnos situaciones en las que no podemos definir un ganador de ninguna forma (de un modo parecido a la paradoja de la lámpara de Thomson que ya ha tratado Pedro en El Tamiz). Aunque no existen algoritmos para dar una solución óptima, también existen formas de ayudarnos a elegir una estrategia (como por ejemplo lo que se llama Equilibrio de Nash). También los veremos más adelante en la serie.

Para muestra, un botón: nuestro juego de confianza. No podemos decir que Ana haya ganado porque tiene mucho dinero… porque no lo tiene. En el turno siguiente, se lo dará todo a Alberto. Pero tampoco podemos decir que Alberto haya ganado, porque no tiene mucho dinero… se lo dará a Ana al turno siguiente… ¿Quién ha ganado entonces? Pues los dos, la sociedad,… yo qué sé. Paradojas del infinito.

¿Cuál de los dos tipos es más interesante? Pues depende. Por ejemplo, la Wikipedia dice literalmente, en mi opinión equivocadamente, que “los juegos estudiados por los economistas y los juegos del mundo real finalizan generalmente tras un número finito de movimientos“. Digo que me parece equivocado, porque eso deja fuera del estudio de los economistas los juegos que influyen en los mercados, la inflación,… Para los biólogos, eso dejaría fuera de estudio la evolución. Para los militares, una vez ganada la batalla, ¿está ganada ya la guerra? Una vez ganada la guerra, ¿disolvemos el ejército?

El universo dura infinito,^[1] así que precisamente los juegos reales con aplicaciones más allá del ocio son infinitos. Otra cosa distinta, y eso sí es cierto, es que a menudo se tomen juegos infinitos y se simplifiquen a juegos finitos para poder estudiarlos, porque estudiar un juego infinito puede ser imposible (veremos más adelante en la serie que hay algoritmos para encontrar la mejor estrategia, y cosas así).

Pero cuidado al hacer esta simplificación, porque, como todas las simplificaciones, puede ser peligrosa. Considerar que un juego es finito cuando no lo es (o viceversa) puede cambiar la elección de estrategia, como veremos en el siguiente artículo en un ejemplo real simplificado.

Por ejemplo, una de las críticas más fuertes a la ley de la oferta y la demanda (de la que se deriva el liberalismo económico) es que no tiene en cuenta el tiempo, y que si tarda infinito en autorregularse, entonces no sirve para ningún efecto práctico. En el sentido contrario, también se critica a Keynes que las políticas fiscales y monetarias que propone pueden ser malas a largo plazo (en el infinito), a lo que él respondía: “A largo plazo, todos estaremos muertos”. Espero que Mazinger cubra el tema algún día en su serie macroeconómica.

Comercio

Este juego se puede asimilar con el comercio. Pero cuando yo te compro algo y te doy a cambio 10€, te estoy dando 10€, no 20€. ¿Y entonces por qué lo asociamos al comercio? Porque los objetos tienen valores distintos para el comprador y el vendedor. Supongamos que Ana y Alberto son respectivamente un comprador y un vendedor (de cuchillos, por ejemplo).

Ana le da a Alberto 10€, y Alberto le da a Ana un cuchillo.

La gracia es que, para Alberto ese cuchillo valía 5€ (lo ha fabricado él), pero para Ana ese cuchillo vale 10€ (o si no, no hubiera pagado 10€ por él). Así que inicialmente había 15€ en total de valor, pero al acabar la transacción hay 20€.

Esto podemos repetirlo: Alberto tiene 10€ y Mario tiene un jersey. Alberto le da 10€ a Mario, y Mario le da el jersey a Alberto.

De nuevo, la gracia está en que, para Mario, el jersey no valía 10€, sino 4€. Así, antes de la transacción, teníamos 19€ (10€ de Ana, 5€ en que valoraba Alberto su cuchillo y 4€ en que valoraba Mario su jersey), pero al acabar tenemos 30€ (10€ que tiene Mario, 10€ en que valora Ana su nuevo cuchillo y 10€ en que valora Alberto su nuevo jersey).

Y así tantas veces como queramos.

Por esto es por lo que a todo el mundo le interesa que exista comercio, que los bienes se muevan hacia quienes los necesitan desde quienes los producen. Cuando el comercio se interrumpe (o simplemente se frena), ese incremento de valor no se da. Y, además, el efecto es exponencial.

De hecho, si echamos un vistazo a los medios de comunicación veremos que a menudo se dice que los mercados sufren una crisis de confianza… casi como el nombre de nuestro juego.

1. O no, ¿quién sabe? Pero al menos dura lo suficiente como para que nos parezca infinito a todos efectos prácticos. [↩]

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