Veo que habéis disfrutado de lo lindo con el desafío del palo deslizante. Lo que me ha gustado de él es que, con un planteamiento muy simple, aparecen todo tipo de cosas interesantes que hacen aprender física. De hecho, antes de empezar a hablar sobre él, una aclaración para que quienes no han obtenido el resultado correcto no se frustren más de lo razonable.

Estos problemas se llaman desafíos por algo: es muy probable que no obtengas la solución buena. Pero, como a veces digo en el planteamiento, el objetivo no es que la obtengas, sino que es triple:

• Que te diviertas como un mico peleándote con él. Uno de los participantes de éste lo ha comparado a un sudoku, y en cierto modo cumple la misma función.

• Que pensar sobre algo diferente, con un papel y un lápiz (o un ordenador, o lo que sea) haga que, en palabras de Poirot, trabajen tus pequeñas células grises. Eso siempre es bueno.

• Que aprendas física de otros lectores a partir de un problema concreto, en vez de con teoría general.

De modo que, si tu respuesta ha sido que la velocidad terminal del palo es $\sqrt{gL}$, lanza una maldición o dos, pero recuerda que has seguido cumpliendo todos los objetivos del desafío – o los cumplirás todos si aprendes leyendo las soluciones finalistas y la ganadora.

Me ha costado elegir la respuesta ganadora, por cierto, ya que las seis finalistas tienen sus puntos encantadores y no es fácil elegir una (a veces las más rigurosas lo explican peor, por ejemplo, porque suponen que el lector sabe demasiado).

Vamos con ello.

Era posible resolver el desafío utilizando la dinámica (es decir, el estudio de las fuerzas que sufre el palo a lo largo del tiempo) o la conservación de la energía mecánica (ya que todas las fuerzas son conservativas), o por supuesto con una combinación de ambas.

La mayor parte de vosotros habéis atacado el problema mediante la conservación de la energía. Sin embargo, aunque algunos habéis tenido en cuenta todas las energías involucradas, muchos habéis considerado sólo dos: la energía potencial gravitatoria del palo –que va disminuyendo según su centro de masa desciende– y la energía cinética de traslación del centro de masas del palo –que va aumentando según desciende–.

Sin embargo, el palo es un sólido rígido que, además del movimiento de traslación del centro de masa, puede rotar sobre su eje. De hecho, según desciende por la pared, va a empezar a girar sobre su eje en sentido antihorario. Esto significa que es perfectamente razonable considerar el problema desde el punto de vista energético, pero además de la energía cinética de traslación hay que considerar la de rotación, que se lleva parte de la energía potencial gravitatoria inicial. Luego veremos algún finalista que ha hecho esto correctamente.

También había un obstáculo en el que era fácil caer al estudiar las fuerzas. Mientras el palo desciende, sufre tres fuerzas: su propio peso (hacia abajo), y las fuerzas normales que ejercen la pared (hacia la derecha) y el suelo (hacia arriba). Aquí tenéis las tres, cortesía de Daniel García, uno de los finalistas (como siempre, al final dejaré todas las soluciones finalistas y comentaré cada una para que podáis disfrutarlas):

Si uno se pone a hacer ecuaciones con las fuerzas y el principio fundamental de la dinámica, debe tener en cuenta que es posible que alguna de las dos fuerzas que Dani marca como R y N –la de la pared y el suelo respectivamente– pueda hacerse nula. Si esto pasara con el suelo, significaría que el palo se levanta de él; si pasara con la pared, que el palo se separa de ella.

El error relativamente común al usar fuerzas es suponer que los dos extremos del palo están “pegados” a la pared y el suelo respectivamente. No hay ninguna “pegazón”, y esa restricción artificial al movimiento del palo no existe. De hecho, como habéis demostrado varios, el palo se separa de la pared durante la caída. No darse cuenta de esto significa llegar a un resultado erróneo.

Otro finalista, Mmonchi, lo explica así (énfasis de Mmonchi y míos):

Pero -y aquí está la clave del problema- no hay nada que pueda provocar una fuerza de la pared contra la barra hacia la izquierda. Si la pared hubiera sido un poste vertical y la barra hubiera tenido una argolla articulada en su extremo superior, dicha argolla habría impedido que la barra se separara del poste generando una fuerza hacia la izquierda que habría frenado su velocidad horizontal […]

No: a partir del momento en el que se alcanza el valor máximo de Vx, el momento en que la aceleración horizontal se anula, cuando deja de haber reacción entre la pared y la barra. De ahí en adelante la barra se separará de la pared, pues sabemos que lo que la uniría es una fuerza que no existe. Y al separarse de la pared ya no hay fuerzas horizontales por lo que tampoco hay aceleraciones horizontales: la velocidad horizontal del centro de masas no variará más.

Quienes habéis seguido este modo de hacer las cosas habéis hecho lo siguiente: encontrar la expresión que da la fuerza ejercida por la pared en el descenso del palo y comprobar en qué momento esa fuerza se hace cero, ya que va disminuyendo con el tiempo. En el momento en el que la fuerza normal que hace la pared es cero, como dice Mmonchi ninguna fuerza horizontal actuará sobre el palo y su velocidad horizontal será constante por mucho que se bambolee contra el suelo.

Así lo ha hecho Daniel García. En un momento de su desarrollo, que luego muestro completo, Dani simplemente iguala R a 0 para obtener la condición que se cumple en el momento de separación a partir del cual la velocidad horizontal del centro de masa es constante.

Pero también era posible encontrar el “momento de separación” de otra manera: obteniendo la expresión que da la velocidad horizontal del centro de masas del palo según desciende. Al mirar esa expresión, que habéis obtenido muchos de vosotros, era posible ver que la velocidad horizontal del palo aumenta y luego disminuye.

Pero ¿cómo es posible que disminuya la velocidad horizontal del palo? ¿Quién o qué puede tirar de él hacia la izquierda? ¡Nadie! La pared puede empujarlo hacia la derecha, pero nada más. Luego el momento de separación debe necesariamente ser aquél en el que la velocidad horizontal de esa expresión es máxima.

De modo que, para resumir, era necesario darse cuenta de que no es posible frenar el palo horizontalmente durante el descenso, y de que existe una rotación sobre el centro de masas que es preciso tener en cuenta. Vamos con los finalistas y el ganador, para que podáis disfrutar de sus razonamientos.

El primero de ellos es Hotze, que debe de haber sufrido lo suyo intentando resolver el entuerto (y lo ha conseguido correctamente). El pobre Hotze tuvo que recurrir al análisis numérico porque se encontró con ecuaciones diferenciales infernales –no usó el modo más simple de resolver el problema–.

No incluyo su solución para que los que no habéis resuelto el desafío correctamente aprendáis de él, sino porque me ha hecho soltar un par de risas al leerla. En un momento dado Hotze llega a una ecuación diferencial que introduce en un programa de análisis numérico e interpreta la solución así:

La solución de Hotze es complicadísima porque nunca utiliza energías, con lo que todo se hace más difícil. Al final tiene que dar un salto de fe en el que no sabe bien por qué pasa algo (él lo llama un deus ex machina en su solución), de modo que tiene la solución correcta pero no sabe exactamente por qué. Podéis leer la solución de Hotze aquí, pero no intentéis aprender sobre el problema con ella, simplemente disfrutad de la lectura: solución de Hotze.

Otro finalista cuya solución probablemente no os ayude a comprender el problema, pero que tengo que compartir, es la de Gregorio. Gregorio utiliza física que es utilísima para problemas como éste, pero que mucha gente no conoce, con lo que su solución no es didáctica para el común de los mortales pero sí muy concisa: la mecánica lagrangiana. Podéis leer la solución de Gregorio aquí: solución de Gregorio, si sabéis lo que es una ecuación lagrangiana. Si no, no merece la pena.

Las siguientes soluciones sí pueden ayudar a cualquiera aprender sobre el problema. Mi favorita es la última, ya veréis por qué, pero creo que es posible que, dependiendo de la persona, una solución u otra produzca el “encendido de bombilla”, con lo que probad con varias a ver cuál os hace click. Ojo, porque para aprender cualquier cosa que merezca la pena hace falta esfuerzo.

Vicente López, con una de sus deliciosas soluciones manuscritas, utiliza la conservación de la energía y la dinámica para llegar a la solución. Entre otras cosas –no es el único, por supuesto–, Vicente se da cuenta de que el centro de masas del palo realiza un arco de circunferencia según desciende:

En el dibujo se muestra el arco hasta el suelo, pero como veréis al leer su solución, en un momento dado Vicente se da cuenta de que no se trazará completo, sino sólo hasta el momento en el que la velocidad horizontal del centro de masa alcanza su valor máximo. Es una solución muy placentera de leer: solución de Vicente.

Daniel García también emplea una combinación de fuerzas-energías para llegar a la solución. En su caso, Dani obtiene el valor de separación igualando la fuerza ejercida por la pared a cero, y además calcula así el ángulo en el que se produce la separación:

Podéis leer la solución completa de Daniel aquí: solución de Daniel García.

La última de las finalistas es la solución de Mmonchi. La solución de Mmonchi no es la más rigurosa, ni la más bonita y elegante, pero tiene algo que la diferencia de todas las demás: muestra las tres versiones de su solución, de la menos certera a la correcta. Así, su primera solución es la que ignora la rotación del palo y obtiene $\sqrt{gL}$ como valor terminal. Dado que eso es exactamente lo que habéis hecho la mayoría de vosotros, seguir el razonamiento de Mmonchi desde ahí ayuda mucho a entender el problema, porque se pone en tus zapatos y camina contigo.

Lo mismo más adelante: en su segunda versión obtiene la expresión de la velocidad horizontal del palo en su descenso, y resulta que nunca es constante (por no haber tenido en cuenta el momento de separación entre pared y palo). El hecho de que era constante era tan crucial para resolver el problema que lo dejé bien claro en el enunciado, y tanto Vicente como Mmonchi mencionan en sus soluciones que esa aclaración fue lo que les hizo replantearse la cuestión.

En fin, que podéis leer la solución de Mmonchi aquí: solución de Mmonchi. Como veréis, el muy sinvergüenza intentó sonsacarme información en comentarios, y espero no haberle ayudado con la respuesta que di, en la que intenté no decir nada que no estuviera ya en el enunciado. Creo que la próxima vez deberías ser menos pícaro.

Finalmente, la solución ganadora, que es la de Daniel González. Daniel sigue el problema de principio a fin explicándolo todo de un modo muy riguroso pero –en mi opinión– muy claro para quien no sabe las cosas; su solución, como casi todas las más simples, es una mezcla de dinámica y conservación de la energía.

Daniel demuestra con absoluto rigor que la normal ejercida por el suelo nunca es nula –algo que casi nadie ha hecho–, que por el contrario la normal ejercida por la pared sí lo es, y que eso significa que el valor máximo de la velocidad horizontal del centro de masas del palo señala el punto de desprendimiento. Puedo aseguraros que leerla es una delicia absoluta. Aquí tenéis uno de sus momentos gloriosos:

Podéis leer la solución completa de Daniel aquí (recomiendo hacerlo con un lápiz y un papel para terminar de asimilarlo todo): solución de Daniel González.

Como dije al plantear el desafío, éste tenía premio: un juego de mesa cortesía de Homo Ludicus. En cuanto publique esto envío un correo a Daniel y otro a Pol para que encontremos un juego que Daniel no tenga y Pol considere que le puede gustar.

Enhorabuena no sólo a Daniel, ni a los finalistas, que han hecho un trabajo estupendo, sino a todos los que habéis participado. Correctas o incorrectas, vuestras soluciones siempre me hacen disfrutar como un niño, y espero que vosotros también hayáis disfrutado luchando hasta morir contra el maldito palo.

Hasta el próximo desafío, y que descansen vuestras pequeñas células grises, que falta les hace.