El Cedazo

En el artículo anterior de esta anticuada (pero intensa) serie sobre Lógica de aplicación para la informática, para confeccionar la cual estoy usando los apuntes de la asignatura de “Metodología” de mi lejanísimo Segundo de Carrera, de Informática, del año académico 1973-74, impartida por el desgraciadamente fallecido profesor D. José Cuena Bartolomé, llegamos a definir el proceso de deducción lógica dentro del cálculo proposicional. Habíamos visto cómo usar la implicación lógica, el modus ponens y alguna cosilla más.

Como veréis, en esta serie no aparecen ni los silogismos ni, prácticamente, el “modus tollens”^[1] ni todas esas cosas tan de buen ver en la Lógica filosófica tradicional, por no decir medieval, o escolástica, o aristotélica, o sanagustiniana, vaya Vd. a saber.

Pero es que en aquella asignatura de tan misterioso nombre, “Metodología”, de un par de horas semanales nada más, nos quedamos siempre “en el chasis”, en los fundamentos que nos permiten definir, con sólo pensar un poco, todos los demás modos de “modus”, etc. Todo está gobernado por el álgebra de Boole. Ah, si los afanosos silogistas medievales hubieran conocido el álgebra de Boole, las cosas hubieran sido mucho más sencillas… pero aún faltaban algunos siglos para que George Boole, que nació en 1815, definiera su famosa álgebra.

Y el método de exposición que siguió Pepe Cuena, como ya dije, era desde lo particular a lo general, definiendo bien los ladrillitos y luego construyendo con ellos cada vez edificios más y más altos y complejos…^[2] Pues ya nos estamos aproximando a “lo general”…

Estamos ya a mediados, casi finales de abril, el curso se está acabando. Las clases finalizaban por entonces a mediados de mayo, para realizar los últimos parciales y dedicar casi todo junio a los finales, y luego septiembre a los exámenes de recuperación.^[3] El curso se está acabando… y la serie con él. El último tema del curso, y el que cierra el círculo, tendrá que ver con el Cálculo de predicados. Cedamos un día más la palabra a Don José…

Cálculo de predicados, sí, pero… ¿qué es un predicado?

Pues un predicado es alguna cosa que se dice de algo, una cierta información que se da acerca de un término (en gramática o lingüística, diríamos del sujeto).

Supongamos la frase “Juan es fontanero”. Aquí el término es “Juan”, mientras que el predicado es “es fontanero”, que nos informa de que Juan tiene ciertas habilidades que le permiten, entre otras muchas cosas, arreglar un grifo que gotea.^[4] En este caso se trata de un predicado “monádico”, puesto que se refiere a un solo término (Juan) y se representa por P(x), siendo la variable x cada término a los que se refiere el predicado, aquellos términos para los que el predicado P(x) es cierto. En este caso P sería “ser fontanero” y x se referiría a todos aquellos humanos para los que “ser fontanero” sería cierto, entre ellos Juan, claro está. Podríamos decir algo como “Ser fontanero(x)”, por ejemplo.

Ahora bien, los predicados que usamos en la vida corriente no son todos monádicos, ni mucho menos, sino que muchos se refieren a dos términos a los que ponen en relación, como en “Luis es amigo de Juan”, que expresaríamos P(x,y) (P sería aquí “ser amigo”, y x e y, dos personas que cumplen esa relación de amistad, como en “Ser amigo(Luis, Juan)”), o también tres términos, como en “Zaragoza está entre Madrid y Barcelona”, que denotaríamos P(x,y,z), o cuatro… y así sucesivamente. Serían predicados diádicos, triádicos, etc, respectivamente.

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Vamos al lío.

Si tenemos un cierto Conjunto Universal (los españoles, los hispanoparlantes, la Humanidad en pleno, las plantas de mi jardín… lo que sea), podemos definir un cierto predicado que sea cierto para todos y cada uno de los componentes de dicho Conjunto Universal (como en “Todos los hombres son mortales”), o bien que sea cierto solamente para algunos de ellos (como en “Algunos hombres son fontaneros”), o, por fin, que no sea cierto para ninguno (por ejemplo, “Ninguna planta de mi jardín sabe hablar”).

Creo que os habéis dado cuenta de que ésta es la definición formal de un concepto que estaba apareciendo de rondón en artículos anteriores de la serie, sobre todo en el de la implicación lógica y en el anterior, el del proceso deductivo. Me refiero a la distinción entre los predicados Universales, que aplican a todos los elementos que componen un cierto Conjunto Universal, y los Particulares, que sólo aplican a algunos elementos de dicho Conjunto Universal y no a otros.

Todo lo que hemos visto hasta ahora, la escurridiza implicación y el proceso deductivo, se aplican a cualquier proposición, sea del tipo que sea. Tanto nos da que las proposiciones sean ciertas en todo el universo o sólo en el rellano de mi escalera: el método para tratarlas es idéntico.

Es ahora, mediante el Cálculo de Predicados, donde se introduce el concepto Universal/Particular y donde se hacen distinciones evidentes según que un predicado sea de un tipo o de otro. Ladrillito a ladrillito, la casa cada vez es más alta y resistente…

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Bueno, pues para la definición formal de estos predicados, que se refieren a todo un conjunto o a sólo una parte, necesitamos algo más, algo que nos ayude a cuantificar cuántos elementos están afectados. Este algo más son los cuantificadores (), que junto con la negación () permiten expresar todos estos tipos de predicados.

Estos cuantificadores se definen de la forma siguiente:

Todos los hombres son mortales: (siendo H: “Los Hombres”, y P: “ser mortal”, y se lee: “Para todo x perteneciente a Los Hombres, x es mortal”).

Algunos hombres son fontaneros: (siendo H: “Los Hombres”, y P: “ser fontanero”, y se lee: “Existe algún x perteneciente a Los Hombres, donde x es fontanero”).

Ninguna planta de mi jardín sabe hablar: (siendo J: “Las Plantas de mi Jardín”, y P: “saber hablar”, y se lee: “Para todo x perteneciente a Las Plantas de mi Jardín, x no sabe hablar”).^[5]

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Como veis, hasta aquí no es muy complicado… Veamos ahora cuáles son las propiedades de los dos cuantificadores, el universal (Para todo) y el existencial (Existe), y cómo podemos representarlos en nuestra vieja conocida forma, como variables booleanas extraídas directamente del Cálculo Proposicional. No nos acobardemos: veréis que, en realidad es todo muy sencillo e intuitivo…

implica que , es decir, todos y cada uno de los que forman el conjunto universal estudiado cumplen que

En nuestro ejemplo de “todos los hombres son mortales”, esto quiere decir que Juan es mortal, Luis es mortal… etc, hasta El Tato es mortal: todos los individuos comprendidos en el conjunto de “Los Hombres” son mortales, por lo que “mortal(x)=1, para cualquier x”. Y esto lo podemos formular de forma sencilla como proposiciones, como vimos en el artículo correspondiente:

 o, en álgebra de Boole:

,

Tranquilidad en la Sala… Esta formulita de nada no hace ni más ni menos que decir lo siguiente: si todo x perteneciente a X cumple P(x) implica que si tomamos por separado todos y cada uno de los “x” que integran el conjunto X, y miramos qué le pasa a P(x), entonces resulta que la proposición P(x) es cierta, o sea, 1, para todos los x. Si no fuera así, no sería “Para todo…”.

Por tanto, la conjunción (·) de todos los P(x) individuales es 1 también (puesto que 1·1·1…·1=1, evidentemente).

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Por otra parte, implica que habrá algún , al menos 1, en que ocurrirá que . Por ejemplo, como Juan es fontanero, (siendo P “ser fontanero”, en este caso). En notación proposicional, esto quedaría:

  o, en álgebra de Boole:

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Ahora, lo que decimos con Existe un x perteneciente a X que cumple P(x) es, ni más ni menos, que al menos uno de todos los x que pertenecen al conjunto X debe cumplir que P(x)=1. Por tanto, la disyunción (la suma lógica, el +) de todos los P(x) tendrá como resultado 1, dado que hay uno, al menos un P(x), ése que “existe“, cuyo valor es 1. Entonces, por mucho que todos los demás P(x) valgan 0 (sean falsos), ese único valor verdadero (ese único Juan que sí que es un fontanero de rompe y rasga) hará verdadera la suma lógica.

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¿Y qué pasa con la negación de un cuantificador? Veamos:

 , debido a la aplicación de la siempre tan útil Ley de De Morgan, y por tanto:

Es natural y lógico. Decir que “No todo x cumple P(x)” es lo mismo que decir que “Existe un x tal que no se cumple P(x)“, o lo que es lo mismo, “Existe un x para el que no se cumple P(x)“, y por fin, “Existe un x tal que P(x)=0“.

O sea, traduciendo al lenguaje natural, si no todo el mundo es fontanero, es porque hay alguien, al menos uno, yo mismo sin ir más lejos, que no es fontanero. Una perogrullada como una casa.

¿Veis cómo en realidad las fórmulas son muy sencillas? Imponen, con tanta x y tanto simbolito raro, pero son evidentes.

Al contrario, es fácil demostrar que . Es decir, si no existe nadie que sea fontanero es porque todo el mundo no es fontanero. Otra vez evidente, al traducirlo al lenguaje cotidiano.

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Entonces, refiriéndose al producto lógico, o sea, booleano, y no a la multiplicación “normal”, como supongo que os habréis dado cuenta, y en cuanto al cuantificador existencial:

^[6]

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Por otra parte, ¿qué pasaría si nuestro predicado no fuera monádico, sino que se refiriera a dos términos a los que pone en relación?

Pues, si tenemos la expresión , podemos operar con ella de la siguiente manera:

…

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Este tocho de fórmulas es intimidante, de acuerdo, pero en lenguaje cotidiano es una obviedad. En realidad no quiere decir ni más ni menos que lo siguiente: que todas las posibles combinaciones de P(x,y), tomemos como tomemos los x’s y lo y’s, los emparejemos como los emparejemos,  tendrán siempre como resultado 1, y por tanto,  la conjunción (con Y, con ·) de todas ellas, como todas valen 1, será 1 también.

Así, por ejemplo, si decimos que en un pueblo todo el mundo es amigo de todo el mundo, con lo que el predicado básico es Ser Amigo(x,y), que valora si x e y son amigos (y valdrá 1 si sí que son amigos, y 0 si no lo son),^[7] entonces, elijamos como elijamos las x’s y las y’s, sean quienes sean esos x e y, aunque vivan en los extremos más alejados del pueblo, son efectivamente amigos, así que para ellos el predicado Ser Amigo(x,y) es igual a 1, y por tanto la conjunción (el producto lógico) de todos ellos será 1 también. No es tan difícil, como veis.

Para  tres variables (x,y,z), cuatro, etc, procederíamos de igual manera, generalizando esta misma fórmula.

Y naturalmente, dada la simetría del álgebra de Boole, podemos de la misma forma asegurar que

No lo voy a escribir, pero cambiando el + y el · sale del tirón…

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Por otra parte, es sencillo demostrar que los cuantificadores pueden “saltar” por los signos de conjunción o disyunción a través de las funciones. Veamos (y que no os intimiden las fórmulas, que parecen muy complicadas pero no lo son en absoluto).

En primer lugar, supongamos que tenemos los dos siguientes predicados individuales:

: “Hace frío”, y

: “Todas las vacas tienen cuernos”, o, mejor expresado, “Para todo x perteneciente al conjunto de las vacas, x tiene cuernos”.

Entonces el predicado significaría “Hace frío y todas las vacas tienen cuernos”. Es evidente que “p” es aquí un predicado que no tiene nada que ver con la variable y, es independiente a ella (porque hace frío, o no, independientemente de que las vacas tengan o no cuernos).

Operemos ahora un poco con este predicado compuesto:

Es decir: , lo que quiere decir en nuestro ejemplo que “Para todo x perteneciente al conjunto de las vacas, hace frío y x tiene cuernos”. Como veréis es incluso realmente difícil expresar esta sutil distinción en español.

Ahora veamos qué le ocurre al siguiente predicado: . Operando:

. . .

Aquí, cada predicado es independiente de (tiene que ver con la variable x, que es obviamente distinta de y), así que podemos aplicar la propiedad que demostramos unas líneas más arriba. Queda que:

Entonces podemos finalmente afirmar que:

, y que el cuantificador “Para todo” puede saltar a través de la fórmula del predicado, a guisa de saltimbanqui…

 

Análogamente (esto ya no lo demuestro: es prácticamente inmediato en base a lo anterior):

y por fin:

Bello, ¿no?

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Se define entonces la Forma Normal PRENEX para representar fórmulas en Cálculo de Predicados, donde las funciones adoptan la forma siguiente:

Primero, todos los cuantificadores, en cabeza de la fórmula, aprovechando que pueden “saltar” a través de ellas.

Después, todas las expresiones, ligadas exclusivamente por conjunciones, , o disyunciones, , y donde la negación, las que haya, están aplicadas exclusivamente a las proposiciones simples, no a expresiones.

Esta última parte es sencilla de ver, pues ya vimos cómo se podía convertir cualquier expresión booleana a una suma de productos, para llegar a expresar toda función booleana en su Forma Normal Disyuntiva (o Conjuntiva, tanto da)… y dado que los cuantificadores pueden “saltar” a través de la expresión (siempre que se refieran a las propias variables sobre las que saltan, o bien sean independientes de ellas), no es muy difícil llegar a escribir cualquier predicado, por compleja que sea su expresión, en Forma Norma PRENEX. Con ello se consigue tener una forma de expresión que permite comparar diferentes expresiones con predicados, para ver si son iguales o, si no lo son, en qué se diferencian (algo similar a lo que se obtenía mediante la Forma Normal Disyuntiva, si os acordáis).

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Un ejemplo. Se pide escribir en Forma Normal PRENEX la siguiente expresión:

Veamos…

 en primer lugar, una simplificación de la implicación “”  …

  ahora un cambio de cuantificador negado: No existe ningún x tal que R(x) es lo mismo que Para Todo x se cumple que No R(x). R(x) aquí hace referencia a la expresión compleja que hay dentro del paréntesis…

 la negación entra dentro del paréntesis, y en el camino cambia el por el , según la Ley de De Morgan…

  otro nuevo cambio de cuantificador negado: No todo y cumple Q(y) es lo mismo que Existe un y tal que No se cumple Q(y)…

 ahora el cuantificador existencial salta, a modo de saltimbanqui, a través del paréntesis…

,  et voilà!, la expresión resultante ya está en Forma Normal PRENEX.

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Vaya. Ha salido un artículo relativamente cortito para mis costumbres. Pero otra vez intenso. Creo.

Se está terminando el mes de abril… de 1974. Sólo quedan un par de clases, como mucho,^[8] antes de los exámenes finales, así que usamos esas dos clases finales para terminar con algún detalle y hacer ejercicios para ejercitarnos antes de dichos exámenes… pero aún da para otro artículo más, que, esta vez sí, será el último de esta serie sobre Eso que llamamos Lógica que rememora las clases que Don José Cuena impartió a los alumnos de Segundo de Informática aquel calentito año de 1974… Hasta entonces.

Disfrutad de la vida, mientras podáis.

1. Ni mucho menos el “modus ponendo tollens”, el “modus tollendo ponens” ni ningún otro tipo de inferencia clásica… sabiendo álgebra de Boole y cálculo proposicional, no hacen falta. [↩]
2. Es lo que los consultores llamarían un método “bottom-up”, o de abajo arriba, en contraposición al método “top-down”, de arriba abajo, o desde lo general a lo particular. [↩]
3. Ahora, con eso de “Bolonia”, el calendario universitario tradicional ha cambiado tanto que ya no sé cómo funciona. [↩]
4. Atentos al dato: Lo que yo tengo anotado en mis apuntes, el ejemplo que usó Pepe Cuena en 1974, no era “Juan es fontanero”, no, sino que era… “Juan es negro”. En aquella época, decir de alguien que “era negro” no tenía ninguna acepción extraña: su piel era de color negro o de algún tono más o menos chocolate, y punto. Si ahora se me ocurre poner en el texto principal, “Juan es negro”, así por las buenas, sirviéndome además para casi todos los ejemplos y diatribas posteriores, seguro que me cae la del pulpo. Ay, ¡cómo ha cambiado la sociedad española en cuarenta años! ¡Y qué mal llevo yo lo de la “corrección política”, eso de “personas de color”, “ciudadanos y ciudadanas”, “miembros y miembras” y demás sandeces, memeces y estupideces por el estilo. [↩]
5. Al menos, no saben hablar en español… [↩]
6. No tendré que repetir aquí que se trata de una suma lógica, y no aritmética… ¿verdad? [↩]
7. Y no, no vale “0,5″ si son conocidos pero no se llevan muy bien y tal… sólo 0 y 1. [↩]
8. Y eso si no hacemos huelga por alguna importante razón; a mediados de los setenta del siglo pasado ésa era una situación bastante común… los únicos que podían hacer huelga sin terminar en el trullo éramos los estudiantes, aunque ciertamente la autoridad de entonces lo llamaba más bien “hacer pellas”. [↩]