El Cedazo

Tras la amable (y, sin duda alguna, interesantísima) irrupción en la serie de J para contarnos cómo es y cómo se usa la Reducción de Karnaugh, os recuerdo que en mi artículo anterior en esta serie dedicada a la Lógica trasteamos con la definición de la Forma Normal Disyuntiva en un Álgebra de Boole. Dije que sería importante para lo que vendría más adelante; hoy comenzaremos a ver cuál es esa importancia.

Como sabéis los seguidores habituales de la serie, uso para confeccionarla los apuntes de Lógica de mi Segundo de Carrera, allá por 1973-74, impartidos por D. José Cuena, Pepe para casi todo el mundo.

Sigamos esos apuntes.

Nueva semana, nueva clase. Don José Cuena aparece con cinco minutos de retraso (¡Pardiez, es humano!) y comienza su clase, definiendo qué es un interruptor… un interruptor eléctrico. Bueno, no es que nos describiera físicamente dicho artilugio infernal (materiales, tamaños, tolerancias, etc), no, sino… para qué sirve.

Un interruptor es, definido de este modo, un artefacto eléctrico que sirve para dejar pasar la corriente en un circuito o para cortarla, según que esté en estado Cerrado o Abierto, respectivamente. Lo que mayormente conocemos como “la llave de la luz”, vaya.

Y un interruptor puede estar en dos posiciones, mediante el accionamiento del mecanismo, que lo pone bien en estado “A” (y la corriente se corta), bien en estado “C” (y la corriente sigue su curso).

O sea, mismamente una llave de la luz, sin ir más lejos.

Entonces, tras esta ingenua definición, comenzó Don José a modelizar cómo son los circuitos eléctricos, esos diabólicos engendros compuestos de cables e interruptores…

Veamos qué es lo que pasa. Qué es lo que pasó, en realidad.

En primer lugar, un determinado interruptor puede ser modelizado por una variable, digamos “x” por ser originales, que sólo puede adoptar dos valores, que denotaremos como x y x’, ya que el interruptor puede estar en uno u otro de los estados, pero no al mismo tiempo: Abierto(A)/Cerrado(C).

Por convención asignamos el valor 1 al estado Cerrado (pasa la corriente) y el valor 0 al estado Abierto (no pasa la corriente), aunque nada nos impediría hacerlo al revés. Asimismo, ambos estados son complementarios entre sí: lo contrario a Abierto es Cerrado, y viceversa.

Representando esto en una tabla, queda algo tan soso como:

x	x’
A	C
C	A

 

 

 

 

 

En cuanto a cómo podemos conectar cables e interruptores, es decir, qué operaciones podemos realizar con ellos, hay dos maneras, y sólo dos:

En serie: Dos interruptores x e y están conectados en serie si están conectados uno a continuación del otro sobre la misma línea. La corriente sólo pasa a través del circuito si ambos interruptores están simultáneamente cerrados.

En paralelo: Dos interruptores x e y están conectados en paralelo si están conectados cada uno en un ramal de la línea, volviendo a unirse ambos inmediatamente después. La corriente pasa si cualquiera de los interruptores (o los dos) están cerrados.

El esquema de ambos casos es el siguiente:

Entonces, el esquema de funcionamiento puede establecerse mediante las siguientes tablas, recordando siempre que 0 significa Abierto y 1 significa Cerrado:^[1]

Serie   (·)	x	y	x·y		Paralelo  (+)	x	y	x+y
	1	1	1			1	1	1
	1	0	0			1	0	1
	0	1	0			0	1	1
	0	0	0			0	0	0

 

Es evidente por su comportamiento que podemos llamar “·” a la operación “conectar en serie” y “+” a la operación “conectar en paralelo”. A partir de este momento usaré esta notación: cuando ponga “+” significa “conectar en paralelo“, y cuando diga “·”, significa “conectar en serie“.

Ahora lo que corresponde es comprobar qué es el Conjunto (S,+,·) siendo S un conjunto de variables (interruptores) que admiten sólo dos valores (Abierto = 0 y Cerrado = 1, porque para algo son interruptores y sólo pueden estar en una de esas dos posiciones), y las operaciones “+,·”, las conexiones en paralelo y en serie, respectivamente.

Mmmm… ¿Formará acaso este Conjunto (S,+,·) una hermosa Álgebra de Boole? Para ello debería cumplir los cuatro axiomas de Huntington que vimos en el primer artículo de la serie, pero si lo fuera… no tendríamos que calcular nada más: todos los axiomas y hallazgos que hicimos para un Álgebra de Boole cualquiera servirían automáticamente para el cálculo de circuitos… Veamos, pues, qué pasa:

¿Serán, quizá, conmutativas las operaciones + y · ?

Si escribimos la tabla anterior como tabla de doble entrada, poniendo cada variable x,y una en abscisas y otra en ordenadas, tenemos:

	y				y
x	+	0	1	x	·	0	1
	0	0	1		0	0	0
	1	1	1		1	0	1

 

 

 

 

 

 

 

Si nos fijamos bien, ambas tablas son simétricas respecto a la diagonal “ángulo superior izquierdo – ángulo inferior derecho”; podemos deducir, por tanto, que ambas son conmutativas, pues. Además, el sentido común nos dice que si tenemos dos interruptores a y b conectados en serie, es indiferente que esté físicamente antes el a o el b… el resultado es el mismo, pues sólo pasa la corriente si ambos están cerrados, y lo mismo, o mejor dicho, lo contrario, si están en paralelo.

Por tanto, cumplen con el axioma 1 del álgebra de Boole.

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¿Existirán, quizás, elementos neutros para ambas operaciones + y ·? Estos elementos neutros serán 0, para la suma (conexión en paralelo) y 1, para la multiplicación (conexión en serie).

Dado un interruptor cualquiera, si le conectamos un interruptor Abierto (0) en paralelo (operación “+”), el resultado del circuito, si circula o no corriente por él, depende exclusivamente del estado (Abierto-0 o Cerrado-1) del interruptor original.

A su vez, dado un interruptor cualquiera, si le conectamos un interruptor Cerrado (1) en serie (operación “·”), el resultado del circuito, si circula o no corriente por él, depende exclusivamente del estado (Abierto-0 o Cerrado-1) del interruptor original (de hecho este último caso es equivalente a alargar el cable conectando un nuevo trozo al trozo original).

Una imagen que vale más que mil palabras:

En términos algebraicos, pues: x+0 = 0+x = x, por un lado, y x·1 = 1·x = x, por el otro.

Por tanto, existe un elemento neutro de cada operación, y se cumple también el Axioma 2 del álgebra de Boole. No va mal la cosa. Prosigamos.

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¿Serán, por ventura, distributivas las operaciones + y · respecto de la otra?

Si nos acordamos,^[2] la propiedad distributiva de un álgebra de Boole obligaba a que se cumplieran las siguientes ecuaciones:

x·(y+z) = xy+xz, por un lado, y por el otro x+(yz) = (x+y)(x+z).

Para ver si, por ventura, se cumplen estas propiedades distributivas, construimos una tabla de valores, con la que comprobaremos si el circuito resultante tiene o no corriente al final.

Primero, para la distributiva de la multiplicación respecto de la suma:^[3]

x	y	z	y+z	x·(y+z)	xy	xz	xy+xz
1	1	1	1	1	1	1	1
1	1	0	1	1	1	0	1
1	0	1	1	1	0	1	1
1	0	0	0	0	0	0	0
0	1	1	1	0	0	0	0
0	1	0	1	0	0	0	0
0	0	1	1	0	0	0	0
0	0	0	0	0	0	0	0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Esta tabla la hemos construido, paso a paso, fijándonos siempre en si la corriente circula o no en cada uno de los 8 casos representados por la combinación de las tres primeras columnas.

El esquema de construcción es el siguiente:

La quinta columna, x·(y+z), muestra el resultado del circuito mostrado en el primer dibujo; mientras que la última columna, xy+xz, muestra el comportamiento del representado en el segundo dibujo. Ambos circuitos son perfectamente equivalentes, pues con cada posible posición de todos los interruptores, siempre que la corriente circula en el primer circuito, circula también en el segundo circuito, luego, como son equivalentes, cumplen esta propiedad.

Sólo queda comprobar la propiedad distributiva equivalente, es decir, si la propiedad distributiva de la suma respecto de la multiplicación se cumple también, y lo haremos de la misma forma, construyendo la correspondiente tabla de valores:

x	y	z	yz	x+(yz)	x+y	x+z	(x+y)(x+z)
1	1	1	1	1	1	1	1
1	1	0	0	1	1	1	1
1	0	1	0	1	1	1	1
1	0	0	0	1	1	1	1
0	1	1	1	1	1	1	1
0	1	0	0	0	1	0	0
0	0	1	0	0	0	1	0
0	0	0	0	0	0	0	0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Esta tabla la hemos construido también paso a paso, fijándonos siempre en si la corriente circula o no en cada caso.

El esquema de construcción es el siguiente:

La quinta columna, x+(yz), muestra el resultado del circuito del primer dibujo, cuándo circula la corriente y cuándo no, mientras que la última columna, (x+y)(x+z), muestra el comportamiento del circuito del segundo dibujo. Idénticas.

Por tanto, podemos asegurar que en los circuitos se cumplen ambas propiedades distributivas, es decir, cumplen el axioma 3 del álgebra de Boole. Bien, bien, vamos bien… Sigamos con el axioma que nos queda.

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¿Existirá, por una afortunada coincidencia, un elemento complementario para cada elemento de S, es decir, para cada conmutador?

Ésta sí que es fácil, pues refleja la característica más característica (valga la redundancia) de un interruptor: que puede estar abierto o cerrado… y nada más: no puede estar casi abierto y medio cerrado a la vez, al menos si no tenemos en consideración efectos cuánticos y demás… y en esta serie no hay cuántica que valga: para eso ya está la prodigiosa serie de Pedro en El Tamiz.

Y dado que un interruptor puede estar Abierto (0) o Cerrado (1), estados que, si al interruptor lo llamamos x, denominaremos x’ y x, respectivamente, por convención (es decir, un interruptor puede estar en estado x, cerrado, o x’, abierto), entonces cumplen que x+x’=1 y que x·x’=0.

Los siguientes dibujos representan ambas situaciones, donde se puede comprobar fácilmente el cumplimiento de ambas suposiciones.

En el primero, en serie, sea cual fuera el valor de x, Abierto o Cerrado, su complementario x’ tiene el valor contrario. Por tanto uno de los dos está siempre abierto… y como consecuencia no hay corriente en el final del circuito. Lo contrario pasa si están conectados en paralelo; uno de los dos estará necesariamente Cerrado, lo que garantiza que al final del circuito habrá siempre corriente.

Por lo tanto, los circuitos cumplen también el Axioma 4 del álgebra de Boole. Como éste postulado era el último que quedaba, eso quiere decir que los circuitos cumplen todos los axiomas del álgebra de Boole. ¡Prueba conseguida!

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¿…Y entonces?

Pues que vamos a poder representar circuitos con funciones booleanas. Ni más, ni menos. Así que lo primero que haremos es denominar Álgebra de Circuitos a las operaciones que podemos hacer con circuitos, añadiendo o quitando interruptores… Y el álgebra de Circuitos es un álgebra de Boole, una vulgar y nada especial álgebra de Boole, un álgebra de Boole monda y lironda. Como consecuencia, todas las transformaciones, teoremas y cositas varias (como la Forma Normal Disyuntiva, mismamente, lo mismo que las Leyes de De Morgan y todo eso) que hemos encontrado y demostrado para el álgebra de Boole son inmediata y directamente aplicables al diseño de circuitos.

¡Casi nada! Ya habéis aprobado el primer curso de Electricista. Hala.^[4] Algunos electricistas me he topado yo a lo largo de mi vida que si tuvieran algún conocimiento de álgebra de Boole hubieran hecho mucho mejor su trabajo, porque ¡tengo cada chapuza de conexiones de cables en mi casa…! Por ejemplo, la luz del pasillo está simultáneamente conectada a dos diferenciales diferentes, (!!) o también, cuando se va una zona determinada, la de la cocina, porque salta el diferencial al enchufar la plancha, la lavadora y el horno a la vez, entonces el salón, que no tiene nada que ver en teoría, se queda a media luz… Misterios de las conexiones escondidas en tubos, cajas y empalmes. Escondidas, sí, pero mal hechas.

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Volviendo a lo nuestro, Don José Cuena estuvo varios días dando vueltas a la teoría de Circuitos; viendo el método de Karnaugh, por ejemplo, para simplificar circuitos,^[5] método de reducción de funciones booleanas del que J nos ilustró su funcionamiento en el artículo anterior de la serie, y que Don José utilizó extensivamente para simplificar circuitos eléctricos, y después de eso, sobre Diseño de Circuitos.

No voy a entrar en detalle en esta parte, sin duda muy interesante,^[6] pero que se escapa del alcance de esta serie. No quiero entrar en conflicto con ningún sindicato de electricistas.

Sólo voy a poner un único ejemplo de cómo diseñar un circuito que probablemente sea de los más útiles en nuestras mansiones: cómo poner un foco, lámpara o simple bombilla desnuda regulada por dos conmutadores. Un conmutador es parecido a un interruptor,^[7] pero con dos salidas en vez de una; por lo tanto lo que hace en realidad es enviar (conmutar) la corriente por uno u otro camino, en vez de simplemente interrumpir o no la corriente. Su diagrama es el siguiente:

Fijaos que en realidad el conmutador no interrumpe nada,^[8] tan sólo deriva (conmuta) la corriente eléctrica por uno u otro cable, según que su mecanismo esté en una u otra posición. O sea, siempre tiene un lado abierto y el otro cerrado (salvo los nanosegundos en que el mecanismo en movimiento no está en contacto con ningún borne… pero vamos a obviar esto, ¿no os parece?).

Entonces lo que tenemos es una habitación normal y corriente en la que hay dos llaves de la luz (conmutadores en este caso), una en cada extremo de la habitación, y queremos que cualquiera de las llaves encienda/apague la luz independientemente de la posición de la otra, es decir, que si la luz está encendida, al accionar cualquier conmutador, se apague, y viceversa, si está apagada, que se encienda cuando accionemos cualquiera de los dos. Lo mismito que casi todos tenemos en el salón o el dormitorio, vaya.

Lo primero de todo es modelizar el comportamiento de nuestro sistema, teniendo en cuenta que llamaremos a los dos conmutadores x e y, para variar. Y para ello crearemos la tabla de estados, en la que modelizaremos nuestro sistema de dos conmutadores. Mediante la Forma Normal Disyuntiva, claro.

La tabla resultante es la siguiente:

x	y	¿Hay luz?
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	1

 

El primer valor (un 1) lo ponemos arbitrariamente, pues en principio igual nos da que en este caso haya luz o no en la habitación.^[9] Lo importante es que, fijado este caso inicial, con una única pulsación sobre cualquier conmutador, la luz se apague, y una vez apagada, con una única pulsación sobre cualquier conmutador, la luz se encienda. Eso quiere decir que, desde el estado inicial (1,1), una única variación en cualquiera de los dos (0,1) ó (1,0), debe apagar la luz; mientras que a partir de cualquiera de estos dos estados, un único cambio en cualquier variable, o sea, una pulsación en cualquier conmutador, encienda la luz. Esos dos estados son el (1,1) original o el (0,0). ¿Se ve claro? Espero que sí.

Pues ahora podemos darnos cuenta de una pequeña sutileza: si sumamos (ojo: esta vez, y sin que sirva de precedente, utilizaremos una suma numérica normal, no booleana) los valores 0 ó 1 de cada fila, si la suma da un valor cero o par ( (1,1) suma 2, y (0,0) suma 0), el sistema debe estar encendido; mientras que si el resultado de la suma es impar ( (0,1), (1,0), que ambos suman 1), el sistema debe estar apagado. Interesante, ¿no?

Bien, ahora escribamos la función booleana que describe el sistema a partir de la tabla de funcionamiento, con lo que ya sabéis que se obtiene la Forma Normal Disyuntiva de dicha función booleana. La función “Bombilla encendida” se representa por la función f(x,y)=xy+x’y’. Es decir, ambos conmutadores tienen que estar o bien ambos “hacia arriba” o ambos “hacia abajo” para que la corriente transite por la bombilla y podamos leer algún buen libro… ¿Cómo se implementa esta función xy+x’y’ con los conmutadores? Fácil; mediante su conexión de la forma siguiente:

Si alguna vez abrís un conmutador que dé corriente a un circuito conmutado y le miráis las tripas, veréis siempre esos dos cables (que en España se suelen poner de color marrón, aunque tanto da) que van de uno a otro conmutador… he aquí la causa.

Y sabiendo esto, ahora podemos diseñar circuitos donde no haya dos conmutadores para encender/apagar un sistema, sino que haya tres, cuatro… Se crea la tabla de valores de todos los estados posibles de todos los conmutadores ( posibilidades), y se marca cuáles de ellos deben dar como resultado de la función “Apagado” (0) ó “Encendido” (1). Para no equivocarse al asignar valores, se puede uno ayudar por el truco de sumar todos los valores (con una suma numérica normal) y asegurarse que todos los valores impares tengan el mismo valor final (0 ó 1, igual da), y los valores pares o cero, el contrario. Este truco garantiza que desde cualquier posición, el cambio de una única variable (o sea, el accionamiento de un conmutador cualquiera) cambia el resultado de la suma en 1, en más o en menos, y eso cambia la paridad del resultado final, y por tanto, el valor Encendido/Apagado de nuestra bombilla.

Así que, si os viene en gana y queréis practicar, podéis diseñar cómo sería el circuito para tener tres conmutadores que gobiernen el encendido de una bombilla: uno en la entrada de la habitación, otro al lado de la cama y el tercero al lado de la mesita. No deberíais tener ningún problema en llegar a la función. Pero quizá sí lo tengáis al diseñar el circuito… necesitaréis de un nuevo mecanismo que llamaremos conmutador/cruzador, o conmutador de cruce, cuyo diagrama es el siguiente:

Actualización (24/11/2011): El párrafo siguiente contenía un error. Clamoroso, por cierto. Lo he corregido para que quede correcto. Además, he actualizado el diagrama para hacerlo más completo y comprensible. Siento las molestias. Macluskey.

En una de sus posiciones, el conmutador-cruzador permite el paso directo de corriente, de a a c y de b a d, representado por las líneas continuas. En la otra, permite el paso cruzado de corriente de a a d y de b a c, representado por las líneas discontinuas. Para que no queden dudas, al lado tenéis un diagrama de cruzador obtenido del folleto técnico de una conocida marca comercial.

Es decir, este circuito deja siempre pasar la corriente que pudiera venir por cualquiera de las dos entradas, sólo cambia el modo de paso de la misma, dependiendo de su posición. Está diseñado para su uso conjunto con conmutadores “normales”, pues él sólo no se ve muy bien para qué puede valer… Ya sólo os queda diseñar el circuito.

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Para terminar, uno de los problemas que nos puso Don José en el examen sobre circuitos, una o dos semanas antes de las navidades del 73… No es muy difícil, pero sí muy divertido. No voy a dar la solución para no chafaros el disfrute de hacerlo y aprender un poco más sobre circuitos eléctricos. Dice así:

“Pedro, J y Mac, como no tienen otra cosa que hacer, están jugando a cara o cruz con una moneda cada uno y un dispositivo eléctrico con tres botones, cada uno de ellos asociado a cada uno de los jugadores, que denominaremos p, j y m. Cada jugador lanza su moneda y pulsa el botón correspondiente si sale cara y no lo pulsa si sale cruz.

“Gana el juego el jugador que tenga un valor en su moneda distinto al de los otros dos. Por ejemplo, si Pedro tiene cara y J y Mac tienen cruz, gana Pedro. O si J tiene cruz y Pedro y Mac tienen cara, gana J. Si los tres valores son iguales, no gana nadie.

“Se pide diseñar un circuito con un origen (una toma única de corriente) y cuatro bombillas que se iluminan: la bombilla 1, si gana Pedro; la bombilla 2, si gana J; la bombilla 3, en el altamente improbable caso de que gane Mac; y, por fin, la bombilla 4 si no gana nadie.”

Que sepáis que aquél que logre resolverlo (no es tan difícil) no va a poder patentarlo… ¡Ya lo hice yo! Incluso me sirvió para aprobar el primer parcial de la asignatura.

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Hasta aquí lo que voy a contar sobre circuitos eléctricos. En la red podéis encontrar mucho más y mejor que esta breve introducción. Pero no contado de esta manera, me temo.

Hasta la próxima, donde, una vez sentadas las bases, empezaré a hablar (Pepe Cuena empezará a hablar, mejor dicho), de una vez, de algo parecido a la Lógica. Entre tanto…

Disfrutad de la vida, mientras podáis.

1. Sí, evidentemente, ¡estamos usando la Forma Normal Disyuntiva! que vimos en el artículo anterior. [↩]
2. Y si no nos acordamos… ¡mal vamos! [↩]
3. ¡La FND, de nuevo!, que tendrá 8 filas, es decir, , dado que son tres variables: x,y,z. [↩]
4. Ahora sólo os queda aprender todas esas tonterías de la Ley de Ohm, los voltajes y los amperios y cuándo no conviene tocar con los deditos un cable pelado, pero eso, leyendo la Serie de Electricidad de Pedro en El Tamiz, es pan comido. O no. [↩]
5. Simplificar circuitos es útil cuando te dan un circuito embarullado, como los de mi casa sin ir más lejos, y tienes que buscar el circuito equivalente que haga lo mismo… Ojo, lo mismo, no lo correcto, que eso es otra cosa. [↩]
6. A mí me ha servido en muchas ocasiones ante el dilema de cómo conectar algún cacharro en casa. [↩]
7. De hecho, por fuera un conmutador es igualito que un interruptor. [↩]
8. Aunque bien se podría usar como mero interruptor, simplemente no conectando nada a una de las dos salidas; de hecho, la mayoría (aunque no todos) de los interruptores que se venden hoy en día son en realidad conmutadores en los que se deja una pata al aire… los ahorros en el proceso de fabricación, al tener que fabricar un solo cacharro en vez de dos, compensan de sobra el sobrecoste de tener más circuitería interna. [↩]
9. Salvo que seáis unos frikis como yo y os empeñéis en que cuando todos los interruptores o conmutadores de la casa están hacia abajo, esté toda la casa apagada… Eso permitiría dejar todas las luces apagadas incluso cuando no hubiera electricidad. En fin, cosas mías. [↩]