El Tamiz

Ignora lo accesorio, atesora lo esencial

Alienígenas matemáticos - La baldosa del Palacio de Nholeghoveck (I)

Sí, lo siento: este artículo es una entrega de la serie sobre los Alienígenas matemáticos, el conjunto de artículos más absurdo, inútil y pedante que pueda imaginarse. Si tienes la suerte de no conocer esta serie, lo mejor es que sigas así y dediques tu tiempo a algo más útil: lee un libro, ve a dar un paseo o mira a la pared mientras meditas sobre su textura pero no sigas leyendo esto. Dicho de la manera más simple y llana, la lectura de cualquiera de estos artículos es ortogonal a cualquier uso práctico del tiempo que requiere. Avisado estás.

¿Ya se han ido los cuerdos? Bien, pues entremos en materia.

Hace bastante tiempo conocimos a los maravillosos cthulhucitos, la especie de criaturas de gentil carácter y sorprendentes propiedades que, una vez esclavizados por Terdlanbomitnbeo, le habían proporcionado pingües beneficios. Si no leíste aquel artículo, por cierto, es conveniente que lo hagas antes de seguir con éste, ya que ambos están relacionados y es posible que asimiles mejor el de hoy si comprendiste el anterior.

Como recordarás, en aquella entrada, aparte de conocer a los monísimos y tentaculados cthulhucitos, describimos una línea “rara”: no llegaba a ser un fractal, pero sí rompía con la intuición y se comportaba de un modo bastante extraño y poco euclídeo. Hoy conoceremos otra historia relacionada con estos pequeños seres y su malévolo amo, pero esta vez sí, construiremos nuestro primer fractal haciendo cálculos juntos. De paso, seremos testigos del colapso de un gobierno interestelar. ¿Hace?

Para que construyas tú el fractal, y no te limites a leer sobre ellos, en algunos momentos de la historia te pediré que hagas algunos cálculos tú mismo y luego sigas leyendo para comprobar el resultado; cuando eso suceda, simplemente diré cariñosamente “¡Calcula, sub-criatura!”, y luego dejaré un pequeño espacio para que puedas parar la lectura y coger un lápiz y un papel. Sigue leyendo cuando tengas el resultado en cuestión, si es que tu minúsculo cerebro humano puede llegar a él.

La baldosa del Palacio de Nholeghoveck

El Sátrapa de Aquila era feliz: había conquistado un subsector entero en pocas décadas y, tras una hábil negociación –y el pago de cuantiosos tributos– había logrado mantener una cierta independencia del Imperio de los Alienígenas Matemáticos. Todo parecía salirle bien, y el Sátrapa se consideraba muy afortunado. Poco imaginaba que una combinación de vanidad (suya) e incompetencia (de su secretario) lo lanzaría a los brazos del terrible Imperio y que a su Satrapía sólo le quedaban unos meses de vida.

El desastre empezó cuando el Sátrapa decidió conmemorar sus conquistas construyendo un palacio deslumbrante en la capital, Nholeghoveck, un lugar gélido e inhóspito al que el verano no llegaba jamás. El Palacio de Nholeghoveck sería el más maravilloso de todo el sector: en él se emplearían los materiales más caros, los diseños más innovadores y exquisitos, y cualquiera que visitara Nholeghoveck no olvidaría jamás ese edificio singular en honor al poderoso y clarividente Sátrapa de Aquila.

El descomunal proyecto estaba dirigido por la mano derecha del megalómano Sátrapa, su secretario: un Lémur de Magallanes llamado Onaep, una criatura de una meticulosidad casi obsesiva y un gran cuidado con la contabilidad. Onaep no se confundía haciendo cuentas jamás, y prácticamente nunca olvidaba ningún detalle - prácticamente.

El proyecto del Palacio avanzaba a buen ritmo, pero quedaba algo por decidir: el suelo del Gran Salón. Poco tiempo antes, en una región externa de la Galaxia, se había descubierto un material nuevo, el ytterrerrio, del que había tan sólo una pequeña cantidad en toda la Galaxia. Era, por lo tanto, una sustancia carísima; además de su escasez, el ytterrerrio tenía colores indescriptibles con reflejos maravillosos en el especto visible por varias especies galácticas – cada especie lo veía de un color diferente, pero para todos era de gran belleza.

Pero claro, el precio era inasequible casi para cualquiera. Aunque Onaep había pensado inicialmente cubrir el suelo del Gran Salón con baldosas de ytterrerrio, cada metro cuadrado de baldosa costaba un billón de Ŧ, y el Gran Salón era enorme. De modo que el Lémur decidió utilizar un material más asequible para cubrir casi todo el Gran Salón, y poner una única baldosa de ytterrerrio en el centro, de modo que llamase la atención de los visitantes con su bello color y su diseño. Pero tenía que ser, claro está, una baldosa de diseño innovador: un cuadrado o un círculo hubieran sido un desprecio a tan maravilloso material.

Así que Onaep contactó con la mejor empresa de construcción de la Galaxia por aquellos tiempos: la del afamado Terdlanbomitnbeo, cuyos cthulhucitos eran capaces de realizar los trabajos más refinados a escalas submicroscópicas, desafiando la geometría euclídea como si tal cosa. Terdlanbomitnbeo no era barato en absoluto, por supuesto, pero el Lémur decidió que el mejor material bien merecía la mejor empresa de construcción. Así que propuso el trabajo al Alienígena Matemático, y éste se puso a trabajar en el diseño de la baldosa de ytterrerrio.

Un par de semanas más tarde, Terdlanbomitnbeo mostró al secretario del Sátrapa su diseño de baldosa.

“Nholeghoveck es famoso por estar cubierto de nieve todo el año”, explicó Terdlanbomitnbeo al Lémur con voz áspera, “de modo que he pensado en hacer que la baldosa central de ytterrerrio tenga forma de copo de nieve.” El monstruo apenas cabía en el despacho de Onaep, y sus tentáculos rozaban las paredes, dejando rastros de babas.

El pequeño Lémur, que no llegaba al otro ni a la altura de la tercera ventosa del tentáculo más pequeño, asintió dubitativo. “Pero… tiene que ser algo especial, no puede ser cualquier copo de nieve ordinario… y no puede ser demasiado grande por el coste del ytterrerrio, que es prohibitivo…“

“No se preocupe”, continuó Terdlanbomitnbeo con lo que él pretendía que fuera una sonrisa tranquilizadora, ante la que el Lémur reculó un par de pasos, topando la espalda contra la pared del despacho. “Es un diseño revolucionario, sólo posible en la práctica gracias a mis cthulhucitos.”

La criatura mostró una pantalla a Onaep en la que se veía un triángulo equilátero. “Aquí puede ver la base del diseño, un simple triángulo equilátero de un metro de lado. Sí, sí… puede parecer poco impresionante, pero espere.” Varios de sus ojos se fijaron en la pantalla, mientras otros observaban al Lémur y un par de ellos miraban al teclado. Sus tentáculos pulsaron un par de teclas con un sonido húmedo.

“Sobre cada lado, ponemos otro pequeño triángulo equilátero de modo que la base del nuevo triángulo es un tercio del lado inicial. Cada uno de los lados de los nuevos triángulos soporta la base de un nuevo triángulo equilátero cuyo lado es un tercio del anterior, y así hasta el infinito. ¡Hasta el infinito! Será una estructura de infinito detalle, infinita delicadeza, infinito interés…“

”…¿infinito coste en ytterrerrio?”, preguntó el Lémur, cuyo terror a gastar demasiado dinero le dio fuerzas para interrumpir. “¿Esos infinitos triángulos no suponen que la baldosa tenga una gran superficie y, con ella, tengamos que desembolsar una enorme cantidad de dinero en ytterrerrio?”

Baldosa de Koch

Los primeros cuatro pasos de la baldosa (Wikipedia/CC 3.0 Attribution-Sharealike License).

“¡En absoluto!”, respondió el cefalópodo soltando babas por todas partes. “Ésa es la elegancia de nuestro diseño… observe los cálculos con cuidado”, y el Lémur asintió, ya que era un excelente contable y podía revisar cálculos para encontrar errores con gran facilidad. Nunca se le había escapado un error de cálculo, y prácticamente nunca olvidaba ningún detalle (prácticamente).

“El primer triángulo tiene un metro de lado, con lo que es trivial calcular su superficie… y no es importante ahora mismo, de modo que digamos que tiene una superficie S”, afirmó Terdlanbomitnbeo. Onaep asintió mientras calculaba en su cabecita cuánto ytterrerrio haría falta (por si tienes curiosidad y lo calculas, dado que el lado mide un metro, la superficie es $\frac{\sqrt{3}}{4}$ m2):

“Ahora debemos añadir un pequeño triángulo sobre cada uno de los tres lados, cuya base sea un tercio de la anterior:”

“De modo que la cantidad adicional de ytterrerrio que hace falta es la superficie de esos tres pequeños triángulos de lado 1/3 del anterior, es decir, dado que el grande tiene superficie S…“, y Terdlanbomitnbeo hizo una pausa maliciosa para dejar que Onaep, cuyos ojos brillaban con interés, realizase el cálculo y contestase él mismo.

¡Calcula, sub-criatura!

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“Ah, es sencillísimo”, respondió el secretario con cierta soberbia, ante la sonrisa malévola de Terdlanbomitnbeo. “En el triángulo grande caben nueve triángulos pequeños, con lo que la superficie de cada uno es un noveno de la del original, es decir, S/9. Y, dado que hay tres de ellos, la superficie adicional de ytterrerrio es S/3 metros cuadrados, sólo un tercio de la superficie del primer triángulo. El área total es S + S/3.”

“Efectivamente”, asintió Terdlanbomitnbeo complacido: ya tenía al secretario comiendo de su mano, y no pudo evitar empezar a salivar profusamente. “En el siguiente paso añadimos un triángulo de un tercio del tamaño de los anteriores sobre cada lado del borde, es decir, doce triangulitos de 1/9 m de lado. El área adicional es muy pequeña, sólo…“, y el Alienígena simplemente sonrió, esperando, mientras el dibujo de la estructura brillaba en la pantalla.

¡Calcula, sub-criatura!

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“Una vez más, el área de cada nuevo triángulo es un noveno de la del anterior”, razonó Onaep muy ufano. “Cada triangulito tiene una superficie S/81, la novena parte de la novena parte del triángulo original. Pero hay doce triangulitos, con lo que la superficie de todos ellos es 12S/81, es decir, 4S/27. La superficie total hasta ahora es S + S/3 + 4S/27 metros cuadrados”. El minúsculo ser estaba muy satisfecho de sí mismo.

“Dada su inteligenca, xuglu… quiero decir, señor secretario”, sonrió Terdlanbomitnbeo, “estoy seguro de que puede decirme qué sucede en el siguiente paso que realizarán mis cthulhucitos.” Sin poder evitarlo, el color de la piel del monstruo empezó ya a cambiar a un tono azul de anticipación del placer.

¡Calcula, sub-criatura!

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“Indudablemente”, contestó el Lémur de Magallanes. “Ahora añadirán un pequeño triangulito sobre cada lado del borde. Cada triangulito tendrá una superficie S/729, y hay 48 de ellos, 4 veces más que en el anterior paso. La superficie de todos juntos es 48S/729, es decir, 16S/243. Pero creo que veo dónde quiere llegar usted…“

La piel de su interlocutor cambiaba ya de color rítmicamente como la de una sepia en celo. Esto debería haber alertado a Onaep, pero su soberbia hizo que ni se diera cuenta de ello, y el Lémur continuó hablando como si tal cosa.

“A partir de ahora, cada vez habrá triangulitos con la novena parte de superficie que los anteriores, y habrá 4 veces más que en el paso anterior: si llamamos al triángulo original paso 0, en el paso 1 teníamos 3 con superficie S/9. En el paso 2 tuvimos 3·4 con superficie S/92. Luego tuvimos, en el paso 3, 3·42 con superficie S/93… por lo tanto, en el paso n tendremos una superficie total…“

¡Calcula, sub-criatura!

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“En el paso n habrá 3·4(n-1) triangulitos, cada uno de ellos con superficie S/9n, con lo que sumaremos a la superficie del paso anterior la superficie adicional S·3·4(n-1)/9n. Ah, se trata de una serie convergente… ¡podemos calcular la superficie final tras infinitos pasos!”

“Efectivamente”, respondió Terdlanbomitnbeo. “Cuando lo haga, comprobará que se trata de un valor absolutamente aceptable, y una cantidad de ytterrerrio que el Sátrapa puede permitirse, incluso considerando su precio.”

¡Calcula, sub-criatura! En este caso, te hará falta realizar la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica, con lo que tal vez me agradezcas este enlace si el colegio te queda lejos ya.

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“Bien, la superficie total es $S + \sum_{n=1}^\infty3S\cdot \frac{4^{(n-1)}}{9^n}$, continuó Onaep.“Puedo sacar factor común 3S, con lo que tengo $S + 3S\sum_{n=1}^\infty\frac{4^{(n-1)}}{9^n}$”.

“¡Ah, pero $\sum_{n=1}^\infty\frac{4^{(n-1)}}{9^n}$ no es más que una suma infinita, la de una progresión geométrica. El primer término de la progresión geométrica es 1/9, y la razón es 4/9, de modo que esa suma no es más que el primer término dividido por uno menos la razón, es decir, $\frac{a_1}{1-r}$. En este caso, esa suma es $\frac{1/9}{1-4/9}$, es decir, 1/5.”

“¡Y eso significa que tengo la superficie total! Será $S + 3S\cdot\frac{1}{5}$, es decir, 8S/5.”

“Sus habilidades matemáticas son auténticamente admirables, señor secretario”, lo aduló Terdlanbomitnbeo, quien el día anterior había demostrado, para pasar el rato, que el conjunto de todos los hiper-hiperboloides homólogos a un hiper-toroide de quince dimensiones no tenían necesariamente por qué constituir un grupo ahneziano.

El Lémur sonrió complacido, ignorante del profundo desprecio que se escondía tras la mirada vidriosa de Terdlanbomitnbeo.

“Como usted decía, es una superficie asumible. El área del primer triángulo era $\frac{\sqrt{3}}{4}$ m2, menos de un metro cuadrado, con lo que 8S/5 no es demasiado. Veamos, es… ah, unos 0,69 m2. Nos costará unos 690 000 Ŧ, una fortuna, pero podemos asumirlo.”

“Tenga en cuenta el prestigio de tener una baldosa de complejidad infinita, utilizando menos de un metro cuadrado de ytterrerrio”, apuntó Terdlanbomitnbeo. “El número de turistas dispuestos a pagar un buen precio por ver el Gran Salón pronto compensará esta inversión.”

“El contrato es suyo”, le dijo el Lémur, muy satisfecho. “Puede poner a sus cthulhucitos a trabajar cuando desee, y pasarnos la factura cuando esté instalada la baldosa”.

“Muy bien”, respondió el baboso Alienígena Matemático, y empezó a arrastrarse hacia la salida, dejando tras de sí un reguero de babas nauseabundas y malolientes.

“Ah, por cierto”, añadió antes de salir. “¿Quiere que le pongamos algún borde a la baldosa, una línea dorada o algo así para resaltarla frente al resto del suelo?”

“No sé… ya nos hemos gastado una fortuna en la baldosa…“

“No se preocupe, podemos utilizar un material barato, como el oro. No hace falta emplear más ytterrerrio, y cada metro de hilo de oro cuesta una milésima de Ŧ.”, lo tranquilizó Terdlanbomitnbeo.

“Ah, en ese caso, ¡desde luego!”, contestó el otro, aliviado. El oro era, efectivamente, una sustancia baratísima debido a la transmutación industrial.

Onaep informó al Sátrapa de todo el trato al día siguiente, y el Sátrapa se mostró muy complacido: la baldosa sería, sin lugar a dudas, una atracción en todo el sector, y daría mucho que hablar. El soberbio gobernante ya veía hordas de gente haciendo cola ante su Palacio, deseosos de echar un vistazo a tan maravilloso suelo, con su nombre en los labios constantemente.

Una semana después, la baldosa estaba instalada, y Onaep recibió la factura de Terdlanbomitnbeo. Al verla en la pantalla, el pequeño Lémur abrió tanto los ojos que casi se le salen de las órbitas:

Al día siguiente, tras una llamada supratelefónica, Terdlanbomitnbeo acudió al despacho de Onaep desprendiendo un olor terrorífico a satisfacción sádica, con leves notas amónicas.

“¡Tiene que haber un error!”, exclamó el Lémur al verlo, su vocecilla estridente y temblorosa por el pánico. “¡En la factura!”, añadió innecesariamente ante la sonrisa llena de dientes del otro.

“No, mi estimado amigo”, respondió Terdlanbomitnbeo con una voz aterciopelada y viscosa, mientras fijaba casi todos sus ojos en el pequeño mamífero. “No hay ningún error”.

Pero, antes de seguir con el resto de la historia la semana que viene, tal vez puedas demostrar, si tu intelecto es superior al del secretario Onaep, que, efectivamente, no hay ningún error. De modo que…

¡Calcula, sub-criatura!

Alienígenas matemáticos, Matemáticas

56 comentarios

De: Fehdman
2011-11-16 21:34:09

¿Se permite ir comentando el resultado, antes del resto de la historia?


De: Pedro
2011-11-16 21:43:02

Fehdman, yo creo que es mejor que no, para que la gente no tenga la tentación de ver la solución si alguien la pone aquí - de hecho, habiendo entendido esta primera parte, debería ser posible demostrar la factura sin problemas. Pero no lo tengo completamente claro, así que se aceptan argumentos en contra :)


De: Daniel
2011-11-16 22:22:46

Creo que es la primera vez que resuelvo un problema vuestro, qué orgullo el mío, ya estoy deseando que llegue el día de la solución xDD


De: David
2011-11-17 02:53:20

En serio, Pedro, nunca has pensado en hacer un libro de microrelatos o algo asi tipo El curioso incidente del perro a medianoche en donde las sub-criaturas vayan aprendiendo y amando las matematicas, la cienia o lo que sea mientras se parten de risa por el camino ? es que te digo, yo nunca he conseguido resolver nada, soy un vago y tal, pero es que es grandioso como relatas y no hay blog que espere con mas ansiedad o con el que aprenda tanto como con el tuyo.

Eres genial, solo eso, sigue así.


De: Fernando
2011-11-17 09:27:02

Yo creo que la factura está mal.
No se puede tener oro infinitamente pequeño, un átomo de oro es pequeño, pero no infinitamente.


De: Morti
2011-11-17 10:12:45

Fernando, el juego consiste en enfocar el problema desde un punto de vista estrictamente matemático.


De: Alienígenas matemáticos – La baldosa del Palacio de Nholeghoveck (I)
2011-11-17 10:15:19

[...] "CRITEO-300x250", 300, 250); 1 meneos Alienígenas matemáticos – La baldosa del Palacio de Nholeghoveck (I) eltamiz.com/2011/11/16/alienigenas-matematicos-la-baldosa...  por ProfessorTuring hace [...]


De: Alburton
2011-11-17 12:57:07

Fernando,creo que subestimas a nuestros entrañables chtulhcitos,capaces de hacer unos atomos tan pequeños y monos..


De: Alfonso
2011-11-17 19:28:01

Yo creo que el problema está mal. Sí es cierto que el perímetro de la figura es infinito, pero decir que como el perímetro es infinito, el oro necesario es el perímetro multiplicado por un espesor es falso, porque en los dobleces, parte del oro se superpone sobre sí mismo y se cuenta varias veces.

Realmente si queremos un espesor x para una figura de área 8S/5 tendremos un área de oro como 8S'/5 - 8S/5 siendo S' la figura un poco mas grande para tener el espesor x.

En fin, que no vale eso de coger el perímetro y multiplicar por el espesor.

Saludos.


De: Dani
2011-11-18 03:37:47

Alfonso, olvidas que estás hablando de alienígenas matemáticos y que ¡su tecnología está fuera de nuestra comprensión! Yo no me la jugaría a acabar siendo su postre con semejantes nimiedades...espesor dices..¡ja!

Muy bueno el artículo, por cierto, aunque me ha surgido alguna dudilla acerca de los nombres de los alienígenas. Imagino que Terdlanbomitnbeo es Benoit Mandelbrot, pero ¿Onaep podría ser Peano? En cuanto a Nholeghoveck, ytterrerrio y Sátrapa ni idea, del último ni siquiera sé si es un juego también o una palabra !

¿Me dejo alguno?


De: futurama
2011-11-18 08:43:23

Para los que quieren una respuesta que respete la física de los materiales se puede calcular que superficie que longitud y que superficie de oro tienen que poner. Según wiki el oro tiene un radio atómico de 174 pm (10 a la -12 m), por lo que el triángulo máximo es de 288 pm de lado. Por favor, hay algún químico que me corrija? Y el radio medio 135 pm para saber la superficie mínima?


De: Alfonso
2011-11-18 10:19:05

Dani:

No, no. Yo me puedo llegar a creer que corten el átomo para hacer infinitos dobleces para seguir la superficie manteniendo las propiedades físicas y químicas del oro, pero no me creo que puedan superponer las moléculas de oro en el mismo espacio.

Además hay que recordar que todo punto donde haya oro que no pertenezca a las superficies interior y exterior contiene infinitos dobleces sobre sí misma. Así que por ahí no trago.

Es como todo. Yo me puedo llegar a creer que la estrella de la muerte contenga un láser capaz de destruir un planeta entero, pero no me trago que el disparo suene a través del espacio.

Saludos.


De: Macluskey
2011-11-18 10:23:36

Je, esta discusión me recuerda lo que contaba Richard Feynman de cuando estaba en (creo recordar) Princeton:

Se arrimaba a una discusión de matemáticos, que estaban discutiendo lo que pasaba cuando las cosas se volvían infinitamente pequeñas... y él zanjaba de golpe la discusión, diciendo: "Bueno, serán infinitamente pequeñas... hasta que tenga la longitud de Planck. Una vez con esa longitud, ya no es posible seguir dividiendo lo que sea, así que... ¡Problema resuelto!", y se iba muy dignamente, dejando a los pobres matemáticos con ganas de estrangularle.

Y, por cierto, "sátrapa" era el gobernador de una "satrapía", una provincia del Imperio Persa (y posteriormente, del de Alejandro). Así que, es este contexto, sátrapa quiere decir "gobernador", y no es un acrónimo de ningún matemático ni de nadie... bueno, ¡o sí!, que el Gran Jefe es de un retorcido...

Saludos


De: Daniel López
2011-11-18 10:27:13

Deberías hacer un juego de rol estilo "Paranoias", con los Alienígenas Matemáticos... Me permito sugerirte el nombre: "Xuglurz y Mazmorras" XDD


De: Oscar
2011-11-18 12:15:52

Pienso que la factura esta mal, por que no se puede cubrir un area finita con infinito material (creo), sin que se superponga

Dicho de otro modo, el camarote de los hermanos Marx es finito, ¿Podrias meter a infinita gente?yo creo que no

A no ser que empieces a alterar la realidad a tu antojo diciendo por ejemplo que pueden hacer atomos de oro infinitamente pequeños y que tengan la misma masa independientemente de su volumen, para que el precio sea infinito...


De: Oscar
2011-11-18 12:22:05

Ahora que lo pienso si es posible que valga eso la factura, si meten tanta masa en tan poco volumen crean un agujero negro que por mas oro que intenten poner, se lo traga el agugero y hace falta siempre mas oro

Por si acaso me cuidaria de no pisar semejante baldosa


De: Sergio Costas
2011-11-18 14:08:20

Terdlanbomitnbeo comete un error, me temo: como ya apuntaron, aunque la longitud es infinita, el grosor tiene que ser un infinitésimo, lo que significa que el producto de ambos (o sea, la suma infinita de infinitésimos), que nos da la cantidad de oro utilizada en el borde, bien puede ser, perfectamente, una cantidad finita. De hecho, el volumen ocupado por ese borde de oro es finito, lo que demuestra que la cantidad utilizada también lo es.

Si yo fuese el baboso alienígena, le cobraría no por cantidad de oro utilizado, sino por metro de oro pegado, que al ser un trabajo manual, llevará un tiempo infinito :)


De: Pedro
2011-11-18 14:29:59

"Xuglurz y Mazmorras (TM), el juego en el que el objetivo no es sobrevivir, sino morir de la manera menos humillante posible" ;P

Respecto a los adorables comentarios xuglurz sobre el espesor del oro y los límites físicos, esperemos que Terdlanbomitnbeo no los vea o que, si los ve, le produzcan ternura :)


De: Dani
2011-11-18 17:42:23

Ahora que lo pienso, menuda estafa la factura. ¡Nunca terminarán de pagarlo!

En cuanto a lo de sátrapa, no sé si es un juego o no, sé que la palabra existe, ahora, todo depende de lo retorcido de los alienígenas.


De: Argus
2011-11-19 22:22:48

Grandioso. Fenomenal. Me siento privilegiado por conocer este blog.

Un detalle: En el cálculo del área en el paso 4, tenemos 4 veces 12, es decir, 48. El área de los triángulos aňadidos será de 48S/729. (En el texto se indica 36 en lugar de 48).

Por si no ha quedado claro, los alienígenas doblan el hilo de oro sin superponerlo ni perder longitud gracias a la Rebanadora Lijadora de Quarks con aspirador de virutas elementales y tardan en ponerlo de cuatro a cinco minutos con la soldadora selladora de Hilbert. El que piense que la factura está mal, que vaya eligiendo la salsa :-)


De: Pedro
2011-11-19 23:01:23

Gracias, Argus, corregido :)


De: alb.
2011-11-21 20:09:47

Onaep, trato de no dejarse llevar por el pánico para poder pensar fríamente.
Obviamente debia haber un error, si la baldosa contiene una cantidad de oro infinita. El coste de fabricación también tendrá que ser infinito.

Terdlanbomitnbeo tendría que invertir infinito Ŧ para luego conseguir, infinito Ŧ. La rentabilidad de la inversión es cero, y el riesgo es altisimo ya que es seguro que no conseguirá cobrar esta factura.

Terdlanbomitnbeo era un magnifico empresario, y nunca se metería en un negocio tan ruinoso. Así que necesariamente esa factura debía ser un engaño. Aunque afirmase lo contrario, Terdlanbomitnbeo no había destinado una cantidad infinita de oro en la fabricación de la misma.

Su vida, dependía de encontrar donde estaba la trampa.
La factura se basaba en que el perimetro de la baldosa tiene una longitud infinita, por lo que ponerle un borde dorado requiere una cantidad infinita de oro y por lo tanto unos costes infinitos.

Pero existe otra forma de fabricar la baldosa dorada con unos costes mas asequibles.
El lugar de fabricar una baldosa de ytterrerrio y ponerle un borde de oro. Los cthulhucitos fabricaron dos baldosas exactamente iguales una ytterrerio otra de oro. Las dos contienen una cantidad finita de material y por lo tanto su coste es finito.

Para formar la baldosa de ytterrerrio con borde dorado, los cthulhucitos tomaran la baldosa de oro y le harán un hueco donde poder encajar la baldosa de ytterrerrio. Para fabricar el hueco los cthulhucitos, primero hacen un agujero triangular, luego tres agujeros triangulares mas pequeños, luego 36 mas pequeños, etc etc. Después de infinitos pasos consiguen vaciar completamente la baldosa de oro. Dejando solo su delicado e intrincado borde, que tiene un expesor infinitamente pequeño. Ya solo queda encajar la baldosa de ytterrerio dentro de la baldosa hueca de oro.
Aunque la longitud fuera infinita, como el espesor era cero, la baldosa final no contenía oro.

Onaep se dio cuenta de la trampa, Terdlanbomitnbeo pretendía cobrarle una cantidad de oro que no habían utilizado.

Respiro profundamente para tranquilizarse, y le dijo.
"La baldosa no cumple las especificaciones que habíamos acordado. El borde dorado debía resaltar la baldosa y como comprenderás un borde con un espesor infinitesimal, no resalta nada."

Terdlanbomitnbeo, se rio... y saco la baldosa "¿Que decías de Infinitesimal?,"
Onaep, se quedo mudo... el borde era claramente visible.
"Pero examinala con mas detenimiento" Se regodeo Terdlanbomitnbeo " observa el excelente trabajo que hemos realizado a traves del microscopio" Aun observando la baldosa con infinitos aumentos, se veía que estaba completamente bordeada por oro.

"Como bien sabes, la longitud del borde es infinita y el espesor del borde es finito(o gruesito si lo prefiere), por lo que la cantidad total de oro utilizado es infinito. ¿Como piensa pagar la factura?".

Onaep, volvió a tragar saliva... evidentemente la baldosa no podia contener una cantidad infinita de oro. Si no su gravedad la habría hecho colapsar creando un agujero negro.... ¿Pero como habia conseguido fabricar esa baldosa?

La solución es muy sencilla. Basta con partir de una baldosa de oro que sea ligeramente mayor, y encajar en ella la baldosa de ytterrenio

De esta manera obtenemos un borde dorado con un espesor finito, una longitud infinita y un volumen final finito.

El truco, es que el espesor de las lineas se va reduciendo a medida que se reduce la superficie de los triángulos. Por lo que el volumen de oro utilizado converge a un valor finito.

Por una vez, la trampa de Terdlanbomitnbeo no funcionó.... y se quedo sin cena.


De: Brigo
2011-11-22 02:32:29

alb. Buen trabajo: :-)


De: Macluskey
2011-11-22 11:48:13

Vale: Yo con los infinitos me lío. Mucho. Por eso mi opinión no cuenta mucho.

Pero evidentemente en la factura hay algo mal. No puede haber infinito oro o, como bien dice alb, no sería una baldosa, sino un agujero negro. Luego hay algo mal.

Razono:

Si la baldosa está instalada en el centro del salón del palacio, es porque ocupa un lugar finito. Está toda ella rodeada de otras baldosas de materiales mucho más terrenales y baratos (diamante, zafiro, granito berroqueño... ¡qué sé yo!). O sea, se puede medir, tanto en superficie como en espesor. Y, lo más importante, se puede pesar. Porque esa baldosa, que está instalada y se puede pisar, ver, tocar y oler, no pesa infinito, ¿no?

En este universo el oro se compra al peso. Un kilo de oro, una pastizara; diez kilos de oro, diez pastizaras, y así. Supongo que en el universo de Aquila también se comprará al peso, ¿no?

O sea, que el sistema para saber cuánto oro hay de verdad en la baldosa es sencillo:

Uno: se pesa la baldosa (que, nos pongamos como nos pongamos, no pesa "infinito", puesto que tiene unas medidas finitas, y muy finitas, además). Pesa 50 tiburcios (el tiburcio, como todos sabréis ya, es la unidad de peso de los aquilianos).

Dos: Se pesa el Yttterrerrio ése (Terdlanbomitnbeo ha debido hacerlo ya, puesto que sabe que cuesta 692820,32 machacantes). En cualquier caso, bastaría multiplicar su superficie (esos poco más que 0,69 m2) por su peso específico, que supongo que se conocerá bien... menudo alienígena matemático sería Terdlanbomitnbeo si no conociese ese dato tan trivial). Digamos que son 48 tiburcios.

Tres: Se resta el peso del Yttterrerrio (digamos que son 48 tiburcios, por decir algo) del peso total de la baldosa (los 50 tiburcios).

Conclusión: El oro utilizado tendrá la longitud que le dé la real gana, infinita o como sea, pero pesa lo que pesa: dos tiburcios. Y a x machacantes el tiburcio de oro, su coste será de 2x machacantes.

En una palabra, que esta vez hemos pillado a Terdlanbomitnbeo, y será él el que forme el plato principal de nuestra cena, por ladrón. Y por despreciar a Planck y su longitud, hombre ya.

...

O... ¿No? Glups :=(


De: Argus
2011-11-22 11:52:27

Alb, un planteamiento impecable. Buenísimo. La trampa de Terdlanbomitnbeo está clara. Es obvio que él sabe que con una superficie finita de otro se puede emular un borde de longitud infinita.

Sin embargo, Terdlanbomitnbeo pactó el precio del oro en metros y la oferta fue aceptada. El oro se vende en metros. Punto. El comprador aceptó el contrato a la ligera y eso se paga. Las matemáticas pueden explicar muchas cosas, pero retocar un contrato todavía no. Los seres semi-inteligentes somos así y los inteligentes del todo ya ni te cuento.

Eso de ofrecer el metro de hilo de oro a una milésima de Ŧ cuando el comprador ya se iba por la puerta es de una inteligencia infinita. Eso es lo que se está pagando en realidad. Olvidémonos de cómo conseguimos realizar el borde y ciñámonos al contrato como la gente de fiar. Bienvenidos al matemarketing, diría Terdlanbomitnbeo :-)

Por cierto, ¿qué forma tiene el borde macroscópicamente? Aunque sea sólo de forma aparente, ¿a qué se parece? ¿Algo como un hexágono con los lados convexos?


De: Antonio E.
2011-11-22 14:22:14

Estoy de acuerdo con Argus. Sois unos Xuglurz. Ni longitudes de Planck ni agujeros negros. Recordad de la anterior entrada que los chtulucitos no tienen problemas (éticos o de otro tipo) en quebrantar las leyes inmutables de la física si es preciso.
El oro se repercute por metro de hilo y la baldosa tiene un perímetro infinito. Lo que significa la bancarrota para la Satrapía de Aquila. Eso no lo salva ni el mítico Yojar Onairam con todos sus recortes.

PD: la forma de la baldosa será la de un copo de Koch http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/fd/Von_Koch_curve.gif


De: Macluskey
2011-11-22 16:59:47

A ver, señores, antes de que las fauces del Gran Alienígena se cierren sobre mi correoso cuello...

¿Estamos o no estamos de acuerdo en que el oro que se ha usado en rebordear la baldosa NO pesa infinito (kilos o tiburcios o lo que sea)?

Supongo que estaréis de acuerdo en que no pesa infinitos kilos. Si así fuera, no podría estar tan pichi en medio del salón del Sátrapa aquiliano.

Si no estáis de acuerdo con esta inocente afirmación mía, pues entonces lo que sigue no tiene sentido alguno, pero... supongamos por un microsegundo que sí lo estáis... Veamos qué pasa entonces a la vista de la deducción lógica.

Como el peso específico del oro es de 19 y pico (hablo de memoria, igual es otra cosa, pero igual da), entonces conociendo su peso (y sí podemos conocer su peso, como dije en mi comentario anterior), entonces podemos determinar su volumen, n'est ce pas? Un volumen finito: x litros, o metros cúbicos o lo que sea.

Por simplificar, supongamos que el recubrimiento es un poliedro larguíiiiisimo y de base pequeñíiiiisima (digamos un rectángulo) que tiene un volumen total de x litros.

Su base rectangular (o como sea), por pequeña que sea, aunque sea de tan sólo un átomo de oro (menos es imposible, o no sería oro), debe tener de superficie algún valor mayor que cero, dado que, a simple vista, se puede observar que, rodeando la baldosa, algo de oro hay, por poco que sea. Es decir, indefectiblemente S>0. ¿De acuerdo hasta aquí?

Bien. El volumen de un poliedro se calcula V=Sxh, siendo S la superficie de la base y h, la altura (hasta yo me acuerdo de eso). Altura que se supone que tiene una longitud infinita.

O sea, que S (finito) x h (infinito)=x litros (finito)

Me lo expliquen, que yo no lo entiendo.

Me contaron en la escuela, hace centurias, que cualquier cosa mayor que cero multiplicada por infinito da infinito.

O sea:

Premisa Uno: la longitud del hilo es infinita (o eso dice Terdlanbomitnbeo).

Premisa Dos: Si la longitud del hilo de oro (la base de nuestro poliedro ideal) es infinito, como la superficie de la base es mayor que cero, entonces el volumen del poliedro es infinito.

Conclusión: El volumen es infinito y, por lo tanto, su peso es tambiñen infinito.

Esto que he enunciado ahí arriba es un modus ponens como una casa. El que tenga curiosidad y paciencia, lo podrá leer en unas semanas en El Cedazo. ;)

Pero... el peso del oro no es infinito.

Luego una de las premisas, o las dos son falsas.

O, UNO: la longitud del hilo no es infinita,

O, DOS: toda nuestra matemática y toda nuestra geometría y toda nuestra lógica están mal.

O AMBAS.

.

Mmmm. Lo siento por Terdlanbomitnbeo, pero me temo que esta vez va a acabar estofado y cantando lo de "Olim Lacum colueram...".

Bueno, ahora en serio, ejem: ¿En qué me he equivocado?


De: Argus
2011-11-22 17:34:13

Macluskey, si partimos del oro real, un solo átomo de oro tapa infinitos triángulos formados a partir del paso n, para un n suficientemente grande. Rodear un fractal con átomos de oro es como hacerse un collar con los planetas del sistema solar. Y me quedo corto.

Entonces debemos partir de que el oro que se va a utilizar no está formado por átomos, sino que es un continuo. Esto no desafía ningún principio físico: los alienígenas se lo encuentran hecho.

Ahora bien, la baldosa tiene la distancia entre dos vértices contiguos tendiendo a cero. Por tanto, si queremos que el hilo de oro tenga un espesor despreciable frente a la longitud entre vértice y vértice (o sea, lo que se entiende por ponerle borde a algo), el espesor resultante del hilo tiende igualmente a cero. Un hilo infinitamente largo de espesor cero no pesa infinito.

Espero haber aclarado tus dudas... :-)


De: chamaeleo
2011-11-22 17:58:16

Glups! Yo no subestimaría a unos bichos que, sólo para pasar el rato, resuelven problemas irresolubles utilizando modelos matemáticos de hipergeometrías de 15 dimensiones, que lo consideran poco menos que un pasatiempo infantil.

Macluskey, respecto al problema del perímetro, hay que verlo desde el punto de vista matemático. Podemos hablar de un perímetro de longitud infinita, pero que encierra una superficie finita. En este caso, se trata de una especie de línea quebrada que cierra un perímetro, y por definición, la anchura de esa línea es 0.

Si esa línea tuviera una anchura, por pequeñísima que fuera, ya dejaría de ser una línea quebrada y por tanto el perímetro dejaría de ser infinito. Esto es así porque una línea con una anchura mayor de 0 no puede seguir las infinitas aristas de una línea quebrada. Cada milímetro de filo se saldría infinitos milímetros de aristas quebradas. Si fuerzas el filo a seguir el perímetro, en 1 milímetro de filo (o micra, o picómetro, o todo lo pequeño que queráis) habría infinitas aristas superpuestas.


De: Dani
2011-11-22 18:10:50

Mac, estoy con Argus, el copo de Koch es una figura imposible de construir, porque siempre te queda un paso más. Pero construirla - replantearla, si nos ponemos técnicos- nos llevaría un tiempo infinito, porque siempre se podría dar el siguiente paso. El límite estaría en el espesor mínimo de un hilo de oro, que permita el giro. Lo que quiero decir, es que no tiene sentido ponernos realistas a pensar sobre una figura imposible de construir más allá del mundo de las matemáticas. Bueno, tiene sentido, siempre que sea de manera lúdica y para pensar un rato, pero nada más.

Pongo el ejemplo del .gif que ha colgado Antonio E., en la última imagen, el copo no está completo, todavía quedan infinitas iteraciones, pero la imagen no sigue porque su límite es el píxel, de la misma manera, el límite físico del oro, sería el átomo (suponiendo que nuestra tecnología lo permita). Entonces, por contestarte más directamente, partes de una premisa falsa y es la de que has construido en el mundo real una figura con un área finita, pero de perímetro infinito. Eso es imposible en el mundo real, aquí lo mejor que puedes hacer, es una buena aproximación (como el .gif de antonio). En ese caso sí tendrías todo finito (perímetro incluido).

Resumiendo, has trasladado un problema matemático a la vida real sin adaptarlo convenientemente. Y te surjen todas estas paradojas. Que yo sepa eso es competencia exclusiva de los alienígenas matemáticos, y si yo fuera ellos, no estaría demasiado contento con que un simple humano intentara usurparme mis competencias....


De: futurama
2011-11-22 19:01:54

Creo que el tema es que puede tener un perímetro infinito y tener un volumen finito, al igual que la baldosa. Lo que es seguro es que si en el contrato dice que te lo cobran por metros, date por jodido.

Obras tengas, manque las ganes.


De: Macluskey
2011-11-22 19:50:29

@Argus: Bien lo dices, amigo, bien lo dices. Cito:

"Un hilo infinitamente largo de espesor cero no pesa infinito."

Estoy de acuerdo. Sólo que un hilo de espesor cero no es nada. Si su espesor es cero, no existe. No hay oro. O sea, que le han timado al sátrapa. Lo que yo decía... ;)

@chamaleo: Cito:

"Si esa línea tuviera una anchura, por pequeñísima que fuera, ya dejaría de ser una línea quebrada y por tanto el perímetro dejaría de ser infinito. Esto es así porque una línea con una anchura mayor de 0 no puede seguir las infinitas aristas de una línea quebrada."

Completamente de acuerdo. Sólo que una línea de oro de anchura cero no es de oro. Ni de nada, Es un constructo matemático imaginario que no puede ser de oro. Al menos del oro que hay en este universo... Luego no hay oro. Ná de ná.

Pobre Terdlanbomitnbeo... "miser, tot niger et cuncta fortiter..." ¡A la cazuela!

@Dani: Cito:

"Lo que quiero decir, es que no tiene sentido ponernos realistas a pensar sobre una figura imposible de construir más allá del mundo de las matemáticas. Bueno, tiene sentido, siempre que sea de manera lúdica y para pensar un rato, pero nada más."

Pues claro. Pasamos el rato de maravilla, pero si lo que quiere es malvado Terdlanbomitnbeo es forrarse a costa del aquiliano... pues va a ser que no. O hay oro o no hay oro. Y si no hay oro, no se puede cobrar por él. Por muy larga que sea la línea de espesor cero que, según él, una vez fue de oro...

No sé si ponerle salsa barbacoa o una bearnesa... ¿cómo estará más rico un alienígena al horno? Mmmmm.

@futurama: Cito:

"Creo que el tema es que puede tener un perímetro infinito y tener un volumen finito, al igual que la baldosa. Lo que es seguro es que si en el contrato dice que te lo cobran por metros, date por jodido".

Sí, claro que sí, sólo que el contrato dice que cobra el oro por metros. Y si la línea infinita tiene espesor cero... ahí no hay oro. Ni ná de ná. No se puede cobrar por algo que no existe... Ehhh... Bueno, ejem, sí que se puede, glups, mucha gente aquí en España lo ha hecho muchas veces... pero estamos hablando de alienígenas serios, ¿no?

"Obras tengas, manque ganes." ¡¡¡¡¡Ahí l'as dao, amigo, ahí sí que l'as dao!!! ;)

Saludos a todos y gracias por vuestros intentos de culturizar a este viejo gruñón.


De: Dani
2011-11-22 21:45:25

¡ Gracias a ti Mac por tus comentarios, si yo fuera Pedro me sentiría orgulloso de que nos hayamos pasado unos días elucubrando sobre un artículo ! Además, en más de un artículo has preguntado justo lo que estaba pensando al leerlo.


De: Argus
2011-11-22 22:38:06

Tienes razón Macluskey. Ahí no hay oro ni ná, bueno, asumiendo que el perímetro lo hicieran con un hilo, claro. Estamos hablando de alienígenas serios, no? jajaja casi me caigo de la silla cuando lo he leído.

Pero si el perímetro lo hacen con el método descrito por alb en el comentario 21, es decir haciendo una baldosa de oro algo mayor e incrustando la de Ytterrerrio en ella, entonces sí hay oro, bien visible y además bordea fielmente la baldosa.

La trampa está en cobrar esto por metros. Es como vender un sello y cobrarlo por puntos. Por muy barato que sea cada punto, la factura sale infinito.


De: Xavi
2011-11-23 14:48:46

Y si miramos microscópicamente las baldosas?. Pasa lo mismo que con el espesor del hilo de oro. Llega un momento que la baldosa a colocar es menor que un átomo de Ytterrerio. La baldosa mínima que podrían aceptar como "construible" sería la formada por tres átomos de Ytterrerio, por lo que la longitud total del perímetro no sería infinita, y se podría calcular sabiendo el radio atómico de Ytterrerio.
(El coste en Ytterrerio sería aproximadamente el mismo que el de la factura, ya que la convergencia de la superficie total es meteórica.)
Así, la cantidad de hilo de oro no sería infinita, si bien su coste seguramente arruinaría a la Sapratería por completo.


De: Angel
2011-11-23 15:10:30

A mi modo de ver, el universo de los Alienígenas Matemáticos es ese mundo ideal donde existen los conceptos matemáticos puros (como defienden los matemáticos platónicos). No tiene ningún sentido, si queremos respetar el espíritu del juego que nos plantea Pedro, transponer a ese mundo las leyes de nuestro universo físico. Quizá sea más razonable para nuestra lógica, pero hace el juego mucho más aburrido ;-)

Es como estar jugando al monopoly y que uno de los jugadores, para ganar el juego, decida atracar al resto a punta de pistola. Pues sí, lo puede hacer y, en cierto modo, podrá decir que ha ganado el juego. Pero se ha salido de las reglas que los jugadores se han autoimpuesto cuando se comienza el juego y no tiene ninguna gracia ganar así. Seguramente los matemáticos protagonistas de la anécdota que cuenta Macluskey mirarían condescendientemente a Feynmann tras su intervención y seguirían a lo suyo. Ellos, simplemente, estaban jugando a otra cosa.

Así que cuando estemos en el universo de los Alienígenas Matemáticos es mejor olvidarse de nuestras "limitadas" ideas sobre átomos, moléculas, escalas de Planck, mecánica cuántica y demás conceptos "mundanos". Este es el reino del infinito y el infinitésimo, de los fractales y el polvo de Cantor, de pi y de e... y demos las gracias a Pedro por abrirnos las puertas a ese mundo maravilloso ;-)


De: Macluskey
2011-11-23 16:02:59

@Angel:

"Así que cuando estemos en el universo de los Alienígenas Matemáticos es mejor olvidarse de nuestras “limitadas” ideas sobre átomos, moléculas, escalas de Planck, mecánica cuántica y demás conceptos “mundanos”. Este es el reino del infinito y el infinitésimo, de los fractales y el polvo de Cantor, de pi y de e… y demos las gracias a Pedro por abrirnos las puertas a ese mundo maravilloso."

... ¡Amén! :)

.

Pero... conste que cualquier cosa mayor que cero multiplicada por infinito, da infinito. Por muy "mundo ideal donde existen los conceptos matemáticos puros" que sea, o mejor, precisamente por eso.

No estoy hablando de física, sino de matemáticas. Podemos tener una línea infinita que encierra un área finita. Vale. Pero esa línea tiene que ser eso: una línea imaginaria, un constructo matemático de espesor=0, un "fistro de la pradera que si se cae de una mesa, se mata" (Sancho Rof dixit).

Y si el espesor de algo es 0... ese "algo" no existe. Esto no es nada físico: es matemáticas, Ángel. De ésas de las que yo me olvidé hace milenios...

Yo puedo aceptar que los alienígenas construyen líneas de oro tan pequeñas como quieran. Vale. Cosas más raras se han visto. Pero "tan pequeña como queramos" no es cero. Una cosa "tan pequeña como queramos" pero mayor que cero (requisito indispensable para que exista) multiplicado por infinito sigue dando infinito. Esto no lo digo yo: lo dice mi libro de Matemáticas de Segundo de Bachiller...

Yo también me lo paso como un enano con estos acertijos cuya lectura es ortogonal a cualquier uso práctico del tiempo que requiere. Pero como no puedo evitar ser un jodío anciano cascarrabias y puntilloso, me gusta discutir hasta aclarar los conceptos entre todos.

En definitiva, mi tesis en este caso es que:


  • Terdlanbomitnbeo se ha pasado de listo. Vale que dijo que cobraría el oro por metros... y ahí está su error: dijo que cobraría el oro. O sea, que lo primero que tiene que demostrar es que ahí hay oro. Si no hay oro, no hay nada que cobrar.


  • Onaep, que es listo como el hambre, aún siendo un simple lémur, detectará rápidamente el error, y acusará a Terdlanbomitnbeo de falsificación documental y emisión de factura incorrecta con resultado de deglución inmediata (de él, por parte de Terdlanbomitnbeo), no porque no haya infinitos metros de "algo", sino porque ese "algo" no es oro. Y además, con agravantes; dolo, nocturnidad, alevosía y minusvaloración de la capacidad intelectual de su cliente.


  • Total: Onaep se va a poner morado de Terdlanbomitnbeo al horno a las finas hierbas con salsa barbacoa y ensalada al vinagre de Módena... ¡Si se deja!! ;)


Jo, cómo me divierten estas discusiones tan tan bizantinas...

Saludos a todos


De: Angel
2011-11-23 16:51:34

Bueno, veamos si puedo rebatirte:

Primero, que algo tenga espesor cero matemáticamente sólo significa eso, que tiene espesor cero, no que no exista: los puntos, las rectas y las superficies tienen espesor cero, pero existen en el mundo matemático.

¿Cómo conciliamos entonces nuestra idea intuitiva de "oro" como material que tiene cierto coste a la idea que manejan los Alienígenas Matemáticos en su Universo? Supongamos que "oro" no es más que una manera de llamar a una función que asigna, entre otras cosas, un coste determinado a una longitud, es decir, una densidad lineal medida en Ŧ/m.

Terdlanbomitnbeo puede demostrar que la frontera de la baldosa existe, aunque su "espesor" sea cero (hay sin embargo superficies finitas que no tienen frontera), que es infinita y que la función "oro" es aplicable a esa frontera. Por lo tanto el precio a pagar por la baldosa es infinito y la factura es correcta.


De: Miguel
2011-11-23 19:04:14

Macluskey por favor puedes decirme cual es el error de las dos baldosas, es el argumento de alb. comentario 21 , ya me produce angustia , la verdad no es posible hacer ni una sola baldosa pues menos el borde. o si se hace la baldosa también se puede hacer el borde. o la baldosa si pero el borde no.


De: Macluskey
2011-11-23 19:22:06

@Angel: "Supongamos que “oro” no es más que una manera de llamar a una función que asigna, entre otras cosas, un coste determinado a una longitud, es decir, una densidad lineal medida en Ŧ/m"...

Ah, bueno, entonces sí.

O sea, lo que Terdlanbomitnbeo ha puesto en el borde la baldosa no es oro, sino una función matemática asimilada al coste del oro...

Vale, no puedo rebatir este argumento. Es definitivo. Superlativo.

Únicamente supongo que Onaep esté de acuerdo en que l oque compró era "una función matemática" en lugar de oro... ¡por su propio bien! :)

Saludos


De: Angel
2011-11-23 19:38:27

@Mac:

Pensemos que el pobre Pedro tiene que hacer muchos esfuerzos y simplificaciones para traducir a nuestro lenguaje cotidiano los sutilísimos conceptos que emplean los Alienígenas Matemáticos ;-) Puedes pensarlo de otro modo: en su Universo es posible crear materiales de espesor cero y longitud no nula (sus "átomos" pueden estirase tanto como queramos -cumpliendo la definición epsilon-delta de límite-)...

Je, discusiones bizantinas decías... lo de los angeles en la cabeza de un alfiler es un juego de niños al lado de esto :-)


De: Macluskey
2011-11-23 19:40:05

@Miguel: La cosa es sencilla (en este universo, claro): la baldosa de Ytterrerrio o como se llame está circunscrita en un cuadrado de un metro, y su superficie es de 0,69 y pico m2. Esa baldosa tendrá un espesor digamos de diez cm, pero da igual, en realidad (con tal de que no sea infinito, claro).

Supongamos que se construye una baldosa idéntica de oro, pero circunscrita en un cuadrado de un metro y un centímetro, por ejemplo, que tendrá una superficie de, digamos, 0,72 m2 o lo que sea. A esa baldosa se le hace un hueco idéntico a la baldosa del material caro (circunscrito en un cuadrado de un metro), y luego se encaja allí.

¿Hasta aquí de acuerdo?

¿Cuánto oro (en volumen) tiene ese reborde de oro? Fácil: La diferencia de las superficies (0,72-0,69 m2) multiplicado por el espesor de la baldosa (0,1 m), o sea: 0,03x0,1 m3= 0,003 m3 = 3 litros de oro = 59 kilos de oro.

Un volumen finito. Que cuesta una pasta. Pero finito.

Entonces: Si la longitud del borde de esa figura es infinita...

pero su volumen es finito...

Aquí pasa algo raro. Porque algo finito (3 litros) dividido por algo infinito da... cero; luego esto es lo que pasa:


  • O la línea del reborde no es infinita.


  • O el volumen de oro necesario para llenar el hueco es infinito.


  • Pero no ambas cosas a la vez (es un "O lógico exclusivo").


Si hemos demostrado antes que el volumen de oro usado para el reborde es de tres litros (por procedimientos puramente matemáticos y geométricos: base por altura y todo eso)...

...Saca las conclusiones tú mismo, Miguel.

Je, je, claro que si lo que realmente ha puesto Terdlanbomitnbeo en el borde la baldosa no es oro, sino "una función matemática asimilada al coste del oro"… entonces no tengo nada que decir. ;)

Saludos


De: Sergio B
2011-11-23 20:10:01

Infinitesimal, que es algo mayor que 0, por infinito, no es necesariamente infinito. Si por ejemplo el espesor fuera tal que fuera 2 dividido entre el perimetro total de la baldosa, la cantidad de oro utilizada, seria 2 por la profundidad de la baldosa. 3,4,5 la relacion que nos apetezca poner y con una cantidad finita de oro tendremos un borde de longitud infinita, asi que a Onaep se lo van a comer sin excusa, pero puede elegir el espesor del borde que quiera.

Una forma de hacernos nuestro perimetro, es observar, que cada vez que sacamos triangulitos, sacamos un tercio mas del perimetro inicial, asi que si empezamos con un perimetros de 3 metros, primero pasara a 34/3, luego a 3(4/3)^2 y asi hasta 3*(4/3)^n , por lo que si empezamos con cierto espesor, cada nuevo espesor, sera el espesor anterior por 3/4, que no es cero, y algo por 3/4 nunca sera 0. Para desgracia de Onaep, ese perimetro tiende a infinito. Si los cthulhucitos se dedican a estirar el hilo de oro a cada paso que hacen y se dedican a ir apuntando los metros que mide el oro, la cosa terminara en la factura que es.


De: Angel
2011-11-23 20:22:54

@Mac, piensa en el problema original: la baldosa tiene un área finita pero su frontera es infinita (como demostrará Pedro en la próxima entrada de la serie, supongo). La factura que presenta Terdlanbomitnbeo solo tiene sentido si lo que se le añade a la baldosa es un borde de "oro" infinitamente estrecho, es decir, unidimensional. Si lo que añade es otro área (siguiendo por ejemplo el método que describes tú) que rodea a la baldosa original, obviamente su superficie será también finita y Onaep respirará aliviado.

La moraleja de esta historia es, a mi entender, que con figuras geométricas de este estilo más te vale dejar bien claro que solo vas a pagar por superficie, no por la longitud del perímetro (a no ser que tu presupuesto sea infinito, entonces no hay problema) ;-)


De: Ramontxu
2012-04-03 19:22:47

Pedro, pues por más que lo miro, pese a la corrección que te ha hecho Argus en el comentario 19... a mí en el cuarto paso me salen 36 triangulitos...

12 triangulitos celestes del tercer paso * 2 = 24
6 que quedan "entre medias de ellos" * 2 = 12

36...

Por cierto, un saludo. Magnífico blog, lo descubrí hace un tiempo y ya me leí muuchas entradas :D

Y esta serie y la del Sistema Solar son mis favoritas :)


De: Ramontxu
2012-04-03 19:54:22

Ahhh no vale! olvidara las uniones entre los triangulitos (del paso 3), eso hacen 12 nuevos triángulos a mayores!

Aclarado :PP


De: Rantamplan
2012-04-13 17:04:37

SI fuera yo, cogería yle diria que estoy deacuerdo con la factura pero que previamente para asegurarme de que no me ha estafado voy a comprobar que la calidad del oro se corresponde con la contratada, así que vamos a mirar la pureza del mismo por el método de arquimedes.

Comprobamos que el volumen del oro es "x" y que de acuerdo con la factura debería haber "infinto" oro de 24 kilates.

El volumen por lo tanto no concuerda y quiere decir que el material no es de la calidad contratada. me niego a pagar la factura y le demando a consumidores por venderme un material claramente adulterado (aparentemente a "Mejor" pero no es lo contratado).

acto seguido contrato a un abogado de la raza de los fructulinemenos que son al derecho interestelar lo que los chulucitos a la geometría euclidiana, estos pueden extender hasta el infinito un proceso legal de contenido finito.

Problema resuelto...

a mi con alienigenas matemáticos... ¡¡pff!!


De: Venger
2013-09-29 11:36

Muy chula también esta entrada. Te propongo que escribas una con la famosa anécdota de los granos de mostaza y el tablero de ajedrez, que seguro conoces. Será divertida

De: Suso
2013-10-22 14:34

Hola Pedro, no encuentro la parte II de esta historia, igual es demasiado evidente y merezco ser devorado. Probado desde el Internet Explorer y el Firefox, por si tiene algo que ver el navegador. Si que la he encontrado buscando en Google.

De: Bevender
2013-12-19 04:29

¿Cuantos metros hay en un metro cuadrado?

Por los comentarios parece que la gente supone que el borde es una finísima filigrana, tanto mas fina cuan mas intrincados los triángulos. Pero me parece que tanto torcer y retorcer acaba dando lugar a superficie, como hace notar Alb.

En cualquier caso, que la cantidad de oro en gramos es finita es obvio a la par que irrelevante. Obvio, porque cabe en una esfera de oro macizo de radio 5 m ( y menos, mucho menos). Irrelevante, pq Tormblaideo n no vende semejante obra de arte al peso. ¿?

Y dicho esto voy a seguir el enlace de abajo, para leer la factura detallada.

De: Roger Balsach
2014-11-16 13:01

Hola Pedro, releyendo este artículo he encontrado algunas cosas que, aunque a lo mejor ya es algo tarde, iría bien modificar.

La primera es una tontería, pero es que Terdlanbomitnbeo intenta hacer una de las suyas y en una ocasión intenta engañara Onaep y venderle Ytterrio (ese material común y vulgar) en lugar de Ytterrerrio.

"De modo que la cantidad adicional de ytterrio que hace falta es la superficie de esos tres pequeños triángulos de lado 1/3 del anterior, es decir, dado que el grande tiene superficie S…"

La otra no es ninguna errata, sólo que los exponentes se han caído y para alguien que lea el artículo por primera vez le puede causar una confusión leer esto:

“En el paso n habrá 3·4(n-1) triangulitos, cada uno de ellos con superficie S/9n, con lo que sumaremos a la superficie del paso anterior la superficie adicional S·3·4(n-1)/9n. Ah, se trata de una serie convergente… ¡podemos calcular la superficie final tras infinitos pasos!”

Y luego esto de aquí: “Bien, la superficie total es $S + \sum{n=1}^\infty3S\cdot \frac{4^{(n-1)}}{9^n}$”, continuó Onaep. “Puedo sacar factor común 3S, con lo que tengo $S + 3S\sum{n=1}^\infty\frac{4^{(n-1)}}{9^n}$”.

“¡Ah, pero $\sum{n=1}^\infty\frac{4^{(n-1)}}{9^n}noesmásqueunasumainfinita,ladeunaprogresióngeométrica.Elprimertérminodelaprogresióngeométricaes1/9,ylarazónes4/9,demodoqueesasumanoesmásqueelprimertérminodivididoporunomenoslarazón,esdecir,\frac{a1}{1-r}.Enestecaso,esasumaes\frac{1/9}{1-4/9}$, es decir, 1/5.”

No se si es cosa de mi ordenador, el caso es que estoy leyendo desde la web, y nunca antes había visto las fórmulas mal, así que lo mejor sería que lo revisaras a ver si por casualidad algo estuviera mal.

Roger ;)

De: Pedro
2014-11-16 15:01

Gracias, Roger, creo que lo he corregido todo :)

De: Pedro
2014-11-23 10:52

Gracias, Roger, corregidas... y seguro que hay más, porque absolutamente todos los superíndices en el texto (no en fórmulas de LaTeX) se fueron a la porra en la migración.

De:
2014-11-25 17:50

Seguramente es una tontería, y además este no será el lugar adecuado para exponerla, pero no encuentro otro sitio. Resulta que anoche, pensando en los cuadrados y la paradoja esa de que hay igual número que cuadrados perfectos que de números naturales, no sé cómo me di cuenta de que el cuadrado de un número "n" es igual a la suma de los primeros n impares. ¡ Andanda me dije ! Por ejemplo el cuadrado de 9 es igual a la suma de los nueve primeros impares: (1+3+5+7+9+11+13+15+17) Desde entonces no paro de buscar alguna relación, no sé. Mi consulta es que si esto significa algo o es una perogrullada. Os leo con frecuencia. Soy un ignorante entisiasta. Saludos.

De: rody
2014-11-25 18:24

Bueno, pero a los de Terdlanbomitnbeo les faltó pasar el costo de la mano de obra. A 0.01 $ por la construcción de cada triángulo les podrían regalar el oro.

Calculen sub-criaturas

De: Argus
2014-11-26 11:51

@Anonimo: en tu ejemplo de 1+3+5+7+..+17, si sumas el primero y el último te da 18. Si sumas el segundo y el penúltimo te da también 18. Si sigues así ves que la suma es siempre 18, es decir 2n, porque estás sumando (2n-1)+1, (2n-3)+3, etc. Esta suma tiene n/2 sumandos que valen 2n cada uno, es decir, (n/2) por 2n, lo que da n cuadrado.

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