El Tamiz

Ignora lo accesorio, atesora lo esencial

Alienígenas Matemáticos - La baldosa del Palacio de Nholeghoveck (II)

Hoy continuamos con la historia de Terdlanbomitnbeo, sus cthulhucitos, el Palacio de Nholeghoveck y la baldosa de ytterrerrio. Si todo esto te suena a chino, ¡no leas el artículo anterior! Simplemente cierra el navegador y dedica tu tiempo a algo útil.

¿Ya se han ido? Bien, nos habíamos quedado en…

“No, mi estimado amigo”, respondió Terdlanbomitnbeo con una voz aterciopelada y viscosa, mientras fijaba casi todos sus ojos en el pequeño mamífero. “No hay ningún error”.

“No… no comprendo”, balbuceó Onaep.

“Pues debería ser bien simple, para alguien con capacidades matemáticas tan… admirables como las suyas”, susurró el monstruo. “Cada metro de oro es muy barato, sólo una milésima de Ŧ, pero ¿cuántos metros de oro hacen falta para bordear la baldosa?”

El silencio se adueñó de la sala, interrumpido únicamente por el goteo rítmico de las babas de Terdlanbomitnbeo sobre el suelo.

“Pues… pues…“

“Vamos, no es tan difícil. Hagámoslo paso a paso”, continuó el enorme Alienígena Matemático. “El borde en el paso 0, es decir, en el triángulo original de lado 1 metro, es de 3 metros”.

El pequeño Lémur asintió, algo tembloroso.

“¿Qué hay del paso 1, en el que añadimos los tres triángulos a los lados, cada uno con un tercio del lado inicial?”

¡Calcula sub-criatura!

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Onaep, bastante nervioso, pensó durante unos momentos. “Bien, cada segmento del borde tiene 1/3 metros, y hay 12 segmentos, de modo que el borde de la baldosa sería ahora de 12/3 = 4 metros.”

El Alienígena asintió, complacido, mientras sus tentáculos eran recorridos por un leve temblor de placer. “Efectivamente, sub-criatura. Pero ¿qué hay del siguiente paso, el paso 2? ¿Cuál es la longitud del borde de la baldosa entonces?”

¡Calcula, sub-criatura!

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“Bueno, eso tampoco es tan difícil”, respondió Onaep, algo más animado. “Cada segmento del borde mide la tercera parte que antes, es decir, 1/9 metros. Y hay… veamos…“, y el Lémur se puso a contar con el dedo, segmento a segmento, todos los tramos del borde de la baldosa, ante la mirada impaciente y despectiva de Terdlanbomitnbeo. “Hay 48 segmentos, luego la longitud del borde es ahora 48/9, unos 5,33 metros.”

“Impresionante”, sonrió el malévolo Terdlanbomitnbeo con un sarcasmo corrosivo. “Creo que no tendrá usted un problema en decirme cuál será la longitud en el paso… bueno, en el paso genérico n”.

“No puede ser muy difícil, no… sólo tengo que ver cómo varía la longitud en cada paso, y… hmm…

¡Calcula, sub-criatura!

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“En cada paso hay cuatro veces más tramos que en el anterior”, razonó el Lémur. “Pero cada tramo mide la tercera parte que en el anterior paso. De manera que la longitud en cada paso es 4/3 que en el paso anterior. Como la longitud en el paso cero era 3 metros, ¡la longitud en el paso n será 3·(4/3)n!”

Splosh, splosh, splosh… Varios tentáculos de Terdlanbomitnbeo aplaudieron viscosamente ante el resultado del Lémur. “Excelente”, anunció con voz gorgoteante. “Pero entonces, tras infinitos pasos, la longitud total es…“

La carita de Onaep palideció mientras sus ojos se abrían desorbitados. Mientras, el cuerpo entero de Terdlanbomitnbeo se estremecía con oleadas de placer obsceno ante el sufrimiento de la pequeña criatura.

“Sí, sí, incluso usted lo comprende ahora…“, anunció el monstruo, abandonando ya cualquier resquicio de cortesía. “¡4/3 es mayor que 1! Por lo tanto, al hacer n infinito, la longitud del borde de la baldosa se hace… infinita, por supuesto. Independientemente del precio del metro de oro, me temo que nos debe usted una cantidad… considerable.”

El Lémur tragó saliva.

“Pe, pe, pero… ¿no hay alguna otra manera de arreglar esto?”, balbuceó con una vocecilla apenas audible.

“Por supuesto que la hay”, respondió Terdlanbomitnbeo mientras su sonrisa se abría hasta que los extremos casi se tocaban en su nuca, mostrando filas y filas de dientes amarillentos y rezumantes de babas. El olor a amoníaco se hizo insoportable, y los ojitos del pequeño Lémur se llenaron de lágrimas, en parte al menos, a causa del amoníaco.

Y es que Onaep nunca cometía errores de cálculo, y prácticamente nunca olvidaba ningún detalle. Prácticamente.

En cualquier caso, así fue como todas las propiedades del Sátrapa de Aquila fueron a parar al malvado Terdlanbomitnbeo (que las vendió rápidamente al Imperio, por supuesto); y el secretario Onaep –a petición del propio Sátrapa– fue a parar al tercer estómago del monstruo. Poco imaginaban los habitantes de Nholeghoveck lo que les esperaba entonces, pero eso es otra historia, y tendrá que esperar a otra ocasión.


Bien, pacientísimo lector: si has seguido las dos partes del artículo hasta ahora, has construido tú mismo un fractal; a diferencia de la línea que hicimos cuando presentamos a los cthulhucitos, esta vez es un fractal con todas las de la ley: el denominado copo de nieve de Koch. Antes de seguir hablando de él, un par de imágenes para disfrutar de su belleza:

Copo de nieve de Koch

Los primeros siete pasos en la construcción del copo de nieve de Koch (dominio público).

Aunque creo que si has llegado hasta aquí comprendes “hasta dónde llega” la complejidad del copo (es decir, hasta el infinito), tal vez esta animación, en la que se simula hacer “zoom” sobre uno de los lados hasta el infinito, te ayude a asimilarlo. A Onaep le hubiera sido muy útil.

Copo de nieve de Koch

Simulación de un “zoom” en un lado del copo de nieve (dominio público).

Esta figura fue uno de los primeros fractales propuestos. Lo hizo el matemático sueco Helge von Koch en un artículo titulado “Sobre una curva continua sin tangentes construible a partir de geometría elemental” y publicado en 1904. Lo que me parece maravilloso sobre su copo de nieve es precisamente lo sencillo de su definición y lo simple de su construcción, cuando lo que se obtiene es una curva fractal.

Pero mucho más ilustrativo que mis palabras, y más impresionante que la animación anterior, es este vídeo:

¿Qué quiere decir que esta figura es un fractal, mientras que nuestra curva de los cthulhucitos del artículo de hacer tiempo no lo fue? La clave de la cuestión es la dimensión de la curva. Todos entendemos el concepto “normal y corriente” de dimensión, denominada dimensión topológica: la de una línea es 1, la de una superficie es 2, la de un volumen es 3.

Sin embargo, ese concepto de geometría euclidiana no es muy útil cuando se tienen curvas como el borde de nuestra baldosa: aunque la baldosa tiene una superficie finita, su borde es infinito. Además, aunque el borde es continuo (es decir, no hay huecos, sino que es un borde que delimita completamente la baldosa), en ningún punto es una curva “suave”.

Más técnicamente –esto te ayudará especialmente si sabes algo de cálculo infinitesimal–, el borde de la baldosa es continuo en todas partes, pero no es derivable en ninguna parte. Es imposible dibujar una tangente al borde, porque todo el borde es “pico”. Esto le pasaba también a nuestra curva de la paradoja de los cthulhucitos, por cierto.

Dicho con otras palabras: ¿en qué puntos del borde de la baldosa no hay una “esquina”? ¡En ninguno! Da igual qué punto elijas, si haces el proceso infinitas veces, en ese punto va a haber una esquina. Es como si la curva estuviera quebrada en todas partes, y de hecho por eso tiene una longitud infinita sin ocupar un espacio infinito en el suelo. Digo esto para poner de manifiesto que no es una curva “normal” para la que la dimensión topológica de toda la vida sea muy útil: es una curva “rara”.

Piensa que, en el caso de una curva normal, nos basta un número para indicar dónde estamos. Por ejemplo, el borde del triángulo inicial de la historia tiene una longitud de 3. Si tomamos como origen un punto cualquiera del triángulo, podemos determinar dónde nos encontramos sobre cualquier punto del borde con un número – 1, 2, 2.24, lo que fuese.

Incluso en el caso de curvas más raras que las de ese triángulo inicial, como nuestra curva de los cthulhucitos en “escalera” entre dos ciudades, podemos hacer lo mismo: con un número sabríamos a qué distancia estamos de cualquiera de las dos ciudades, puesto que la línea que definimos, aunque estaba quebrada en todas partes, tenía una longitud finita. Y ésa es la diferencia fundamental entre ambas: nuestra curva de la paradoja de los cthulhucitos era continua en todas partes, tenía esquinas en todos los puntos –no era derivable en ninguno–, pero al tener longitud finita, era al menos asequible en cuanto a su dimensión.

Pero ¿qué hay del borde de la baldosa? ¿Podemos saber en qué punto estamos con un número? ¡No! Tiene una longitud infinita, con lo que no vale dar un número para saber dónde estamos… su dimensión topológica es 1, pero no se comporta como una curva de dimensión 1. Es “rara” en un sentido en el que ni siquiera nuestra línea anterior de los cthulhucitos lo era.

Es común, para describir este “grado de rareza” definir una dimensión fractal. La manera más común de hacerlo es la siguiente, que voy a describir primero para algo que no sea fractal, de modo que veas cómo funciona en un caso más asequible a mentes que no son de Alienígenas Matemáticos, y luego pasamos a fractales.

Si tenemos una figura en dos dimensiones normal y corriente, como un cuadrado, podemos partir el cuadrado en trozos similares a él, por ejemplo, así:

Hemos construido una figura autosimilar, es decir, cada cuadrado pequeño es idéntico al grande pero más pequeño. Podemos ahora calcular dos cosas diferentes:

  • ¿Cuál es el lado de cada cuadradito comparado con el del cuadrado anterior?

  • ¿Cuántos cuadraditos autosimilares hay en relación con el anterior?

La respuesta a la primera pregunta es que cada cuadradito tiene 1/2 del lado del cuadrado anterior, es decir, es 2 veces más pequeño. Si volviéramos a dividir cada cuadradito en otros del mismo modo, tendríamos que cada uno tiene un lado 1/2 del lado del cuadrado del que partimos antes.

La respuesta a la segunda pregunta es que hay 4 cuadraditos más que antes (había uno, ahora hay cuatro). Si dividiéramos cada cuadradito del mismo modo, tendríamos 16 cuadraditos en vez de 4.

De hecho, podríamos hacer este proceso infinitas veces: siempre obtendríamos cuatro veces más cuadraditos de lado la mitad que en el paso anterior. Al cabo de n pasos, tendríamos 4n cuadraditos de lado 2n veces menor. La dimensión fractal de una figura autosimilar suele definirse comparando estos dos valores: el número de piezas autosimilares que surgen y el tamaño de cada pieza, del siguiente modo:

$d = \frac{\log{N}}{log{D}}$

Donde N es el número de piezas que habrá en el paso n, y D es la disminución de tamaño del lado de cada pieza comparada con la original.

En el caso del cuadrado, su dimensión topológica de toda la vida es 2. Pero ¿cuál es su dimensión fractal? En el paso n hay 4n cuadraditos de lado 2n veces menor que el inicial, con lo que N = 4n y D = 2n:

$d = \frac{\log{4^n}}{\log{2^n}} = \frac{\log 4}{\log 2} = 2$

Su dimensión fractal es 2, la misma que la topológica… porque el cuadrado no es un fractal, es una figura normal y corriente. De hecho, un fractal es precisamente eso: es una figura cuya dimensión fractal no coincide con su dimensión topológica. Y el nombre se debe al hecho de que se trata siempre de una dimensión que no es entera.

Básicamente, lo que hemos hecho aquí es relacionar el espacio que ocupa algo con el grado de zoom que aplicamos. En una línea “normal” de dimensión 1, por ejemplo, si aumentas el zoom al doble, ves el doble de línea, si aumentas 10 veces, ves 10 veces más línea: la dimensión es 1, que es la misma que la dimensión topológica de toda la vida.

En un plano como el cuadrado de la figura de arriba, cuando haces zoom al doble, ves cuatro veces más superficie, si aumentas el tamaño 10 veces ves 100 veces más superficie, etc. La dimensión es 2, es decir, una vez más, la dimensión topológica. Tanto la línea como la superficie –como un cubo, si lo hiciéramos con él– “ocupan lo que deben”.

Pero veamos qué sucede con el borde de nuestra baldosa. Hemos visto ya que el lado de los triangulitos es siempre la tercera parte que en el anterior, de modo que en el paso n el lado de cada triangulito era 3n veces menor que el triángulo original. Por lo tanto, para nuestra baldosa –es decir, para el copo de nieve de Koch–, D = 3n.

Por otro lado, en cada paso había 4 veces más triangulitos que en el anterior, luego en el paso n habrá 4n triangulitos. Así que para nuestra baldosa N = 4n. ¿Cuál es su dimensión fractal entonces?

$d = \frac{\log{4^n}}{\log{3^n}} = \frac{n\log 4}{n\log 3} = 1,261859…$

La dimensión topológica del borde de la baldosa, dado que es una línea, es 1, pero su dimensión fractal es 1,26, luego el borde de nuestra baldosa es un fractal: no es una línea normal, pero tampoco es, como el cuadrado, una superficie. Es como si fuera una línea que ocupa más de lo que debería ocupar una línea, luego su dimensión está entre 1 y 2.

Puedes mirarlo así: si el borde de la baldosa fuera una línea de dimensión 1, al aumentar el tamaño al doble veríamos el doble de figuras autosimilares. Sin embargo, a lo largo del artículo anterior fuimos aumentando el “zoom” tres veces en cada paso, pero en vez de aparecer tres veces más figuras idénticas, como hubiera sucedido en una curva normal, veíamos cuatro veces más.

No es una superficie, pues no había nueve veces más, pero no es una línea al uso, pues no hay tres veces más. Por tanto, no tiene dimensión 1 como una línea, pero tampoco tiene dimensión 2 como una superficie. Ocupa más que una línea, pero no ocupa tanto como una superficie.

Sí, sí, ya lo sé: es muy raro, y no he llegado siquiera a rozar con los dedos la complejidad que tiene. Pero este artículo pretende ser una simple introducción, de modo que, si quieres aprender más sobre fractales, te recomiendo que leas textos más elevados; seguro que algún lector tiene sugerencias al respecto. Eso sí, nunca olvides esto aunque aprendas mucho sobre fractales de gente que sabe infinitamente más que yo: construiste tu primer fractal aquí, y fue una baldosa.

Por mi parte, simplemente te recomiendo que, si vas a encargar baldosas, dejes bien clara una cosa con la empresa a quien contrates: “Disculpe, pero la dimensión fractal del borde de las baldosas que va a ponerme coincide con su dimensión topológica, ¿verdad?” Si le dices eso, nada puede ir mal.

Para saber más (esp/ing):

Alienígenas matemáticos, Matemáticas

43 comentarios

De: Juanjo Luna
2011-11-23 19:57:26

Muy buena explicación, pero veo un problema. Los átomos de oro no son infinitesimales, habrá una cantidad máxima finita de oro en un volumen de oro...


De: euqirne
2011-11-23 19:59:11

EL relato entero es una grandiosa forma de entender los fractales. Al nivel de este enorme blog. Gracias.

En el planteamiento del relato mucha gente puso objeciones físicas, como el limite objetivo de los átomos de oro: la recta del fractal no podría ser menor de la distancia entre dos átomos de oro, momento en el que la linea dejaría de ser infinita.

Pero supongamos que ésta es una objeción salvable, puesto que no dominamos la física cuántica como los alienígenas matemáticos, que son capaces de manipular las cuerdas dimensionales de forma que la materia acaba siendo ilimitadamente pequeña.

Pero, y aquí una pregunta al autor de la entrada: ¿el tiempo de construcción de un fractal es infinito?


De: Sergio B
2011-11-23 20:18:08

Jo mira que escribir mi comentario en el anterior mientras se publicaba este, debi de haber esperado.


De: Pedro
2011-11-23 20:25:12

euqirne,

En el planteamiento del relato mucha gente puso objeciones físicas, como el limite objetivo de los átomos de oro: la recta del fractal no podría ser menor de la distancia entre dos átomos de oro, momento en el que la linea dejaría de ser infinita.

Sí, los humanos son así y esto pasa a menudo. ¡Pero son tan monos!

Pero supongamos que ésta es una objeción salvable, puesto que no dominamos la física cuántica como los alienígenas matemáticos, que son capaces de manipular las cuerdas dimensionales de forma que la materia acaba siendo ilimitadamente pequeña.

Es muy poco suponer, xuglurz. Al menos, espero que cuando llegue el día y se nos revelen, tu humildad te proporcione una muerte rápida y misericorde.

Pero, y aquí una pregunta al autor de la entrada: ¿el tiempo de construcción de un fractal es infinito?

Hombre, depende. En este caso, desde luego que no. Es bien sencillo: cada cthulhucito hace un trozo del fractal y luego fabrica dos, tres, cuatro cthulhucitos o los que hagan falta dependiendo del fractal. Cada uno de ellos hace el siguiente paso y a continuación produce los cthulhucitos adicionales correspondientes que hacen el siguiente paso en un tiempo más corto, al ser más pequeño que el anterior. El tiempo acaba siendo finito como suma convergente, aunque el número final de cthulhucitos es infinito cuando terminan la figura, por supuesto (algo que, por otro lado, no es un problema, ¡son tan adorables!).


De: euqirne
2011-11-23 21:09:55

mis limitaciones humanas son un fastidio, lo sé, pero ¿como puede ser el tiempo finito para crear una linea infinita?
Esto es como la paradoja de la toruga y aquiles, lo sé; y entiendo perfectamente que pueda caber una linea infinita como el fractal en un área finita, de suma convergente...

Pero si un cthulhucito tarda un tiempo finito t en crear una recta, o en producir otros cthulhucitos... ¿como es posible que el tiempo sea finito?


De: Pedro
2011-11-23 21:16:32

@euqirne,

Pero si un cthulhucito tarda un tiempo finito t en crear una recta, o en producir otros cthulhucitos… ¿como es posible que el tiempo sea finito?

No me apetece entrar en muchos detalles ahora mismo, pero seguro que alguien te puede decir cómo hacerlo para que en este caso particular el tiempo sea finito; cada cthulhucito puede producir un número finito de cthulhucitos a voluntad, y en un tiempo nulo. Eso sí, hace falta darles las instrucciones exactas de cuándo producir otros y cuántos producir a cada paso antes de empezar a trabajar, porque no son demasiado listos (aunque sí absolutamente entrañables).


De: Jefe Ryback
2011-11-23 23:56:20

Pero da igual que pudiese haber infinitos chtulucitos construyendo el borde Pedro, éste seguiría siendo infinito mismamente. Se podría comparar el ritmo de crecimiento de ambas funciones (el alargamiento del borde fractal y la replicación chtuluniana) para saber si llegarían a converger o no (es decir, si los chtulucitos "darían abasto" a construir). Pero el punto de convergencia sería igualmente en el innfinito, de existir. O vamos, así lo entiendo yo.

Además, eso plantea muchas otras questiones, como el hecho de que pueda existir infinita materia (más en concreto, infinito oro, que a su vez es una parte muy pequeña de toda la materia). Que además dicha cantidad de materia esté concentrada en un punto tan pequeño (el tamaño de la baldosa); lo cual debería llevar a crear un agujero negro debido a la densidad de materia acumulada.

Lo cual a su vez, paradójicamente, haría que desde fuera del agujero negro, la construcción en tiempo infinito se volviese a la vez infinitamente lenta (por el efecto de dilatación temporal en el agujero negro).

Con lo que llego a la conclusión que el Sátrapa puede denunciar a Terdlanbomitnbeo por apropiación indebida, al fin y al cabo, éste quiso cobrar el trabajo infinitamente antes de que estuviese terminado. XD

Sé de sobras que tu intención con estos temas es la de adentrarnos de forma amena (y delirante) en los ignotos y truculentos entresijos de la matemática; pero tienes que reconocer que por mucha imaginación que le pongamos acerca de la capacidad técnica de unos tentáculos hambrientos y adoradores de Nurgle, no existe lugar en donde la matemática teórica se estrelle más contra la realidad práctica (por mucho espíritu científico-crítico que le pongamos) que cuando el concepto de infinito se aplica a "infinitamente pequeño".

PD: De hecho recuerdo haver visto una entrevista a Stephen Hawkins, en un programa sobre fractales, en el cual le preguntaban sobre esa aparente contradicción entre matemática y mundo real.

Saludos!


De: Josell
2011-11-24 05:10:26

Excelente historia y muy graciosa.

No se me había ocurrido esa propiedad de los fracteles... Yo solo creía que eran figuras que se repetían n veces y ya, pero ya veo que deben ser infinitamente recursivos.


De: J
2011-11-24 08:44:01

Es el problema de usar parábolas y analogías para enseñar ciencia (o cualquier otra cosa): cuando la analogía deja de ser válida, pues deja de serlo. Hay que interiorizar que las analogías tienen un rango de validez, y si te sales de él, ya no sirven. Y si el lector no interioriza eso, todo le chirría.

Pedro dedica dos artículos a enseñar con una parábola lo que es un fractal, la dimensión-fractal, y por qué no encajan en la geometría euclidiana... y le dicen que eso no existe. Ni los cthulhucitos que se reproducen infinitamente, ni la lámpara de Thomson, ni el hotel de Hilbert. ¡No te jode! Cómo si no lo supiera. Cómo si a estas alturas de la película hubiera que enseñarle a Pedro la diferencia entre matemáticas y física.


De: Sergio B
2011-11-24 11:11:18

En realidad, a mi me parece que es el problema del que cree saber. Que te diga la logica y la intuicion, la materia es continua, al igual que el tiempo, y la cuestión de estirar el oro infinitamente, sin entrar en nucleos, distancias de planks y demás historias, es lo logico e intuitivo. Por entrar en cuestiones, la mayoría de cosas que vemos en nuestro nivel pueden ser difícilmente explicables desde el punto de vista de la mecánica cuántica, ¿y que? En fin, es el problema de no aprender la aplicación de la teorías, que podemos acabar peleando con el resto de pensamientos, a los alienigenas cuanticos seguro que los alienigenas matematicos se los zamparon hace eones, pobres bichos limitados por su escasa compresión de la realidad, ¿como iban a luchar contra alguien armado con la ilimitada matematica?

@Jefe Ryback, Si entendistes que infinitos triangulos pueden ocupar un espacio finito, ¿por que no te crees que construir infinitos cuadraditos pueda durar un tiempo finito? ¿Y si decimos que en hacer un triangulito se tarda un minuto por metro cuadrado de superficie? En unos 42 segundos harían la baldosa


De: Argus
2011-11-24 11:29:41

Qué bien me lo estoy pasando con esta miniserie. Y por fin he entendido lo de dimensión uno y pico, que es algo que leí una vez sobre fractales y pensé "estos matemáticos ya no saben por dónde salir". Pobre de mí.

Pero por dios, ¿Cómo se puede explicar la dimensión fractal de una forma tan clarividente en dos artículos con criaturas babosas y quedarse tan fresco!!?? ¡Qué privilegio!

Voy a decir una barbaridad: La primera sensación que tengo es que los fractales son algo así como la cuántica: Aparecen los fractales y de repente se tambalea la geometría euclidiana. Y así estamos todos, medio mosqueaos y a la defensiva, cuando menos.

Aún tengo que releer esto muchas veces y hacer mis garabatos para asentar eso de "la superficie que ocupa lo que debe". Hay más miga ahí que en la bollería del hotel de Hilbert.

Me surgen tantas nuevas dudas:

¿Un fractal es localmente cóncavo o convexo? Si te sitúas en un pico será cóncavo, si te sitúas en un valle será convexo, pero no hay forma de saber si un punto del perímetro es pico o valle (??)

Al hilo de lo que comentaba Macluskey en la entrada anterior, imaginemos dos copos de Koch, uno mayor que otro y concéntricos. Si restamos uno del otro nos queda una "corona de copo de Koch", digamos. Esta corona tiene perímetro exterior infinito, perímetro interior infinito y anchura finita, por tanto tiene superficie... ¿finita o infinita? Si calculamos la superficie como resta de superficies obtenemos una superficie finita. Si calculamos la superficie como perímetro medio x anchura obtenemos una superficie infinita. Entonces ¿cuál de los dos métodos euclídeos es el bueno para saber la superficie de la corona fractal? De nuevo noto el "aroma" de la cuántica (¿Qué explicación clásica me gusta más para entender lo que no tiene nada que ver con la clásica?)


De: Dani
2011-11-24 12:20:27

Estoy con J, continuar hablando sobre una parábola cuando ésta ha dejado de tener validez, me parece rizar el rizo, a no ser claro, que se haga sabiendo que estamos jugando y que van a aparecer contradicciones lógicas todo el rato.

Argus, muy bueno tu comentario. Yo creo que la geometría euclidiana se tambaleó mucho antes de la aparición del alter ego de Terdlanbomitnbeo. Cuando empezaron a surgir geometrías que no cumplían el quinto postulado del bueno de Eucli. En cuanto a la corona de Koch, me inclino a pensar que tiene superficie finita. Lo digo porque también había maneras de utilizar el perímetro para que te saliera infinita la superficie del copo entero, y sin embargo, era finita.


De: Argus
2011-11-24 13:25:36

Sí, Dani, yo también creo que la superficie de la corona es finita, pues está contenida en la superficie del copo mayor, que es a su vez finita. Supongo, intuitivamente, que el error de calcularlo con el perímetro y la anchura es que ese perímetro tiene infinitas "grietas" que no albergan superficie dentro.

La forma de generar el fractal ha sido por medio de quebrados. Por tanto, la distancia entre dos vértices será siempre un número racional. Sabemos que entre dos números racionales hay infinitos irracionales. Sin embargo, tras infinitos pasos, esas distancias racionales se convierten en irracionales. Hemos conseguido una línea hecha únicamente de vértices, por definición en posiciones racionales, pero que ocupan toda la línea de forma continua. Lo que tenemos es una línea en la que el número de racionales ha igualado al número de irracionales. ¿Qué tipo de infinito es el número de vértices de un fractal? ¿aleph0 o aleph1?


De: Angel
2011-11-24 14:05:08

@Argus: no hay que creer nada, es lo bueno de las matemáticas ;-) Pedro ha demostrado en la entrada anterior que la superficie del copo de Koch es finita y en ésta que su perímetro es infinito. No hay más que hablar ;-) Respecto a lo de los racionales "alcanzando" a los irracionales, tampoco es tan sorprendente: los números irracionales se pueden construir mediante sucesiones infinitas de números racionales (sucesiones de Cauchy), que básicamente es lo que tenemos para definir los vértices del copo de Koch. Por último, dado que cada punto del perímetro es un vértice del copo, y el perímetro es continuo, su cardinalidad es aleph1.


De: Argus
2011-11-24 15:36:05

@Angel, si señalo un punto en una recta, es cien por cien seguro que ese punto será un irracional. Pero si señalo un vértice en un fractal, es cien por cien seguro que ese vértice será un racional. No termino de ver por qué el número de vértices no es aleph0.


De: Macluskey
2011-11-24 15:55:43

Bueno, vale... Estupendo todo. Entendido. Este Pedro es un genio. Mejor: Sigue siendo un genio.

Pero a mí, viejo racional irredento con escasos conocimientos matemáticos, pero muchos sobre operaciones comerciales, me queda una duda más prosaica...

¿Qué margen comercial le quedó a Terdlanbomitnbeo tras la operación?

No, no, en realidad eso ya lo sé: infinito. Aunque, como no puede cobrar "infinito", se conforma "sólo" con todas las posesiones de la Satrapía del Aquila. O sea, que mi pregunta es, en realidad, otra:

¿Cuál es el escandallo de costes de la operación?

Suponiendo que el coste de la mano de obra (los cthulhucitos) sea cero, que para algo son propiedad de Terdlanbomitnbeo, y que los gastos de transporte, asistencia técnica y demás son despreciables, sólo queda como partida importante el coste del material. Entonces:

¿Cuánto le costó el oro que puso en la baldosa y luego le vendió al Sátrapa aquililano?

Porque, claro, en toda esta historia hay una segunda derivada: de poco le serviría al cruel Terdlanbomitnbeo cobrar "infinito" por su trabajo si su coste ha sido también "infinito".

¿Alguna respuesta para este pobre carcamal hiperracional?

Saludos


De: Argus
2011-11-24 16:16:23

Por cierto, euqirne, a continuación una forma de hacer el fractal en un minuto:

Partiendo del triángulo inicial, tomas una criatura que dibuje un triángulo en medio minuto y se clone nada más acabar en 8 criaturas idénticas. Estas 8 se agrupan en 4 parejas y harán 4 triángulos en la mitad de tiempo, ya que son parejas, o sea, en un cuarto de minuto. Se clonarán en 8 cada una, es decir, 64 en total, que agrupándose en 16 cuadrillas de 4 harán 16 triángulos en un octavo de minuto y se clonarán en 512, que se agruparán en 64 cuadrillas de 8 para hacer 64 triángulos en un dieciseisavo de minuto, etc...

Con este procedimiento conviertes una cara del triángulo original en fractal en un minuto. Sólo tienes que tomar 3 criaturas al empezar, una para cada lado, y consigues el fractal completo en un minuto :-)


De: Angel
2011-11-24 16:20:10

@Argus: en una recta el punto que escojas podrá ser racional o irracional. Independientemente de eso, tienes que tener en cuenta que la formación del copo de Koch es un proceso de límite. Si consideras solo N pasos (un numero finito), tendrías razón, pero si llevas el proceso al limite (cuando N es infinito), entonces todos los puntos del perímetro son vértices (cuando se dice que Koch demostró que esta curva es no derivable en ningún punto, lo que quiere decir en terminos simples es eso, que todos los puntos son vértices).

Perdona que no sepa explicarme mejor ;-) Las matemáticas me encantan, pero soy muy malo explicándolas...


De: Argus
2011-11-24 16:51:19

@Ángel, el malo de explicarse soy yo, pero vamos una vez más:

El triángulo original y el fractal final sólo tienen en común 3 puntos que son los 3 vértices del triángulo ¿estamos de acuerdo?

Tras el paso 2, la "estrella" y el fractal sólo comparten 12 puntos, que son los vértices de la estrella ¿seguimos de acuerdo?

Siguiendo así, vemos que todo lo que sea "lado" lo acabaremos tapando tarde o temprano con triángulos más pequeños, a costa de crear vértices que, una vez formados, permanecerán y acabarán siendo parte del fractal.

Por poner un símil, estamos matando irracionales (lados) y creando racionales inmortales (vértices). Al cabo de todo el proceso ¿quiénes serán los supervivientes?

@Macluskey, si hay algún carcamal aquí ese es Terdlanbomitnbeo. No hay más que ver el nombre que tiene. Partiendo de eso, el beneficio es infinito sólo por tener al carcamal del imperio vecino cogido por los huitos.


De: Angel
2011-11-24 17:15:02

@Argus: en el límite (cuando hayas hecho el proceso infinitas veces) los lados irracionales dejaran de existir y serán también vértices.Esos "últimos" vértices serán irracionales. Uno puede acercarse tanto como quiera a un irracional mediante saltos entre racionales.


De: Sergio B
2011-11-24 17:42:42

@Mac como el tiempo de hacer la baldosa, o la superficie, la cantidad de oro necesario para hacer el borde puede ser un numero finito. Ahora que pienso, si solo quisiese un triangulito, el del primer paso, el triangulo equilatero de tres lados de un metro y te pidiese que me cobrases un borde de oro para el triangulo y tuvieras que cobrarmelo en metros, ¿cuantos metros cobrarias?


De: Macluskey
2011-11-24 19:13:22

@Sergio B: No, no, lo siento. No pico.

Yo el oro lo cobro por kilos, por si acaso. O mejor, por onzas, a unos 1.800$ la onza.

Así se evitan sustos... :)


De: Argus
2011-11-24 19:48:16

No sé si es una errata o estoy yo confundido: En el cálculo de la dimensión fractal para un cuadrado no entiendo algunos pasos: Los cuadrados resultantes para el paso n serían 4^n, y la disminución del lado de cada uno 2^n. Por tanto la dimensión fractal sería log(4^n)/log(2^n) = log4/log2 = 2.


De: alb.
2011-11-24 20:45:10

Los fractales no existen en el mundo físico. Solo solo una elucubración fruto de nuestro cerebro.
Tampoco existen las rectas, los círculos, los puntos, ni el numero 8... todas estas cosas solo existen en nuestra mente.


De: Antonio E.
2011-11-24 20:46:58

Muy chtulu, digo, chulo, el cuento. :) Y al fin atisbo a comprender algo del concepto de dimensión fractal.¡Muchas gracias!

Si he entendido bien ¿La dimensión fractal de un cubo es tres porque cada vez saldrían ocho cubitos de la mitad de lado?

PD: Para las críticas... Grrr ¡Lo hizo un mago! XD


De: Pedro
2011-11-24 21:57:29

@Mac,

¿Alguna respuesta para este pobre carcamal hiperracional?

¡Por supuesto! Es algo bien conocido en los anales galácticos.

El coste inicial para Terdlanbomitnbeo es inifinito. Sin embargo, como bien sabes, es posible cobrar infinito y gastar infinito y sin embargo obtener un beneficio neto, que puede ser pequeño o grande dependiendo de ambos infinitos. En este caso, por cierto, el beneficio neto de Terdlanbomitnbeo fue considerable pero no infinito (aunque entregar la Satrapía de Aquila al Imperio le supuso algunos favores posteriores que no pueden desdeñarse, pero eso es otra historia).

El problema, claro, es que aunque el beneficio al final sea positivo, hace falta una inversión inicial infinita, lo cual es difícil de conseguir. El Alienígena Matemático consiguió la inversión, naturalmente, aunque no con un interés normal sino... bueno, pero eso también es otra historia :)


De: Macluskey
2011-11-24 22:38:07

pero eso también es otra historia

Grrrrrr!!! ¡Mira que me fastidie que me ataquen con mis mismas armas...! :D

Y esa "otra historia"... ¿para cuando? mmmm... ¿antes o después del próximo de Pegana? ;) ;)


De: J
2011-11-24 23:14:10

Además, puede que el proveedor de Terdlanbomitnbeo no sea tan listo como él. A lo mejor el proveedor cobra por kilos, aunque Terdlanbomitnbeo lo venda por metros.


De: Argus
2011-11-25 12:08:22

No termino de comprender cómo calcular la dimensión fractal de una línea.

La de un cuadrado está clara porque vamos comparando el lado y la superficie de las sucesivas divisiones. La de un cubo, supongo, será similar comparando el lado y el volumen de las sucesivas divisiones (haciendo unas pruebas me da 3. Bien.), pero si estamos tratando una línea, ¿qué debemos comparar exactamente al hacer las divisiones? ¿Por qué incluimos la superficie de los triángulos si estamos analizando la dimensión de la línea?


De: Daniel López
2011-11-25 14:25:53

Aunque la inversión de Tedanbonitobeodo fuera infinita, al embargar el palacio digo yo que también se quedaría con la famosa baldosa, con lo cual solamente tuvo que despegar el oro de los bordes y devolverlo al proveedor, con la típica excusa: "es que este oro no me sirve porque busco un isótopo más ligero, pero que no se desintegre, ¿eh?, si me lo consigue antes de la semana que viene, avíseme..."
Peor le habría ido si en vez de con el Sátrapa de Áquila hubiera tenido que vérselas con una administración autonómica o ayuntamiento de por aquí, iba a cobrar en chapas de coca-cola...


De: Antonio E.
2011-11-25 15:38:19

@Argus: un segmento tiene dimensión 1 porque si divides un segmento en dos partes iguales, cada uno mide la mitad del anterior: 2/2=1.

http://platea.pntic.mec.es/mzapata/tutor_ma/fractal/dim_frac.htm


De: Argus
2011-11-25 18:19:21

Gracias Antonio E. Me ha costado pero ya lo he visto. Entonces confirmo la errata del texto: La dimensión fractal para el cuadrado debe ser log(4^n)/log(2^n)

En un capítulo anterior de esta serie (la paradoja de los chtulucitos) veíamos cómo dividiendo un cuadrado en otros cuadrados y avanzando a lo largo de sus lados desde un vértice hasta el vértice opuesto diagonalmente, la distancia es siempre igual (en un cuadrado lado 1 la distancia es 2 y si dividimos en 4 cuadrados de lado 1/2 y avanzamos a lo largo de sus lados, la distancia entre vértices diagonalmente opuestos del cuadrado original continúa siendo 2.

Repitiendo el proceso hasta el infinito tenemos una línea tan próxima a la diagonal como queramos pero que sigue midiendo 2, mientras que la diagonal mide raiz(2). Esta línea quasi diagonal tiene dimensión fractal 1, pero en el infinito estará formada igualmente por vértices únicamente.

Entonces las propiedades raras del fractal no es por estar formado únicamente por vértices, sino por haber añadido longitud en cada iteración.


De: Pedro
2011-11-25 18:47:43

Gracias, Argus, tienes toda la razón: corregido :)


De: Pedro
2011-11-25 18:55:06

Emocionante, Ángel:

Por último, dado que cada punto del perímetro es un vértice del copo, y el perímetro es continuo, su cardinalidad es aleph1.

Sabes que escribes para el público adecuado cuando, al leer los comentarios, te encuentras con que has aprendido algo que te deja los ojos como platos. Momento de encendido de bombilla total, gracias :)


De: Argus
2011-11-25 20:06:08

Si ideáramos una sucesión que generara longitud 10 veces mayor a partir de segmentos un tercio más pequeños obtendríamos una dimensión fractal de la línea superior a 2. ¿Es esto posible de alguna manera?


De: Antonio E.
2011-11-26 01:16:24

@Argus:. Si tiene dimensión 1 es una línea, si tiene dimensión 2 es una superficie, Si tiene dimensión 3 es un cuerpo (3D). Si tiene dimensión fractal entre 2 y 3, será una superficie que ocupa más puntos que un plano, pero menos que todo el espacio.

http://francisthemulenews.wordpress.com/2009/01/20/la-dimension-fractal-el-papel-arrugado-y-los-poros-de-una-esponja/


De: Argus
2011-11-28 12:13:58

Estoy de acuerdo, Antonio, y gracias por los links que son interesantísimos todos. Adonde quería llegar es que si obtenemos una dimensión fractal mayor que 2 sin superponer las líneas algo falla. Las líneas sin superponer estarían en todo momento incluidas en el plano y sin embargo generando una dimensión fractal mayor que 2.

Con toda seguridad todo esto estará más que demostrado. Yo sólo quería comentar hasta qué punto la dimensión fractal es "real", es decir, hasta qué punto la dimensión fractal no incurre en ninguna contradicción lógica.


De: Igna
2011-11-28 21:29:01

A ver, yo veo una solución muy fácil en este caso para nuestro amigo Onaep ya devorado: Las cosas por delante.
"Tú me das la baldosa hecha y cuando la tenga, te la pago".
Si se las arregla para conseguir infinito oro, que me coma, que se lo ha ganado.

Por otro lado, felicidades otra vez por un interesantísimo artículo. Siempre me habían fascinado los fractales y eso que no entendía en absoluto nada de lo que significaban (era pura superficialidad estética), ahora que entiendo ínfimamente lo que son, me parecen aun más impresionantes.

Por otro lado, adoro las entradas de alienígenas matemáticos... (lo sé... me estoy planteando visitar a un psicólogo al respecto).


De: Konamiman
2011-12-01 10:43:54

¿¿Superficie finita pero perímetro infinito??

Están locos estos fractales...


De: Argus
2011-12-20 18:25:46

Y si en lugar de ir añadiendo triángulos fuésemos añadiendo semicircunferencias, el fractal sería igualmente no-derivable en todo punto, ¿cierto?

...pero hay algo que me dice que sí tendría puntos derivables, como por ejemplo los puntos medios de todas las semicircunferencias (algo así como si el vértice de los triángulos fuese redondeado).


De: Censor
2012-04-17 00:21:30

Supongo que alguien lo habrá dicho ya, pero soy muy vago como para leerme todos los comentarios de la entrega: el coste del oro también es infinito. ¿O no?


De: Yedai
2012-11-09 21:11:04

Hay una diferencia, y es que en el caso del copo su progenie se expande fuera de su perímetro, mientras que en el caso del cuadrado son intrauterinos. Así, el equivalente al cuadrado sería el triángulo de Sierpinski, con un factor de la mitad de lado por generación- Pero no entiendo porque dicen que éste es fractal si en cada camada aparecen otros 4.


De: Roger Balsach
2014-11-23 10:29

Pedro, excelente artículo aunque la verdad me gustaría algún artículo más explicando este tema (en hablando de... por ejemplo).

Como muchas veces los subíndices hacen de las suyas...

¡la longitud en el paso n será 3·(4/3)n!”

Al cabo de n pasos, tendríamos 4n cuadraditos de lado 2n veces menor.

En el paso n hay 4n cuadraditos de lado 2n veces menor que el inicial, con lo que N = 4n y D = 2n:

de modo que en el paso n el lado de cada triangulito era 3n veces menor que el triángulo original. Por lo tanto, para nuestra baldosa –es decir, para el copo de nieve de Koch–, D = 3n.

luego en el paso n habrá 4n triangulitos. Así que para nuestra baldosa N = 4n.

Gracias por este excelente blog :D Roger ;)

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