• Cada qubit está en una mezcla de encendido, |1>, y apagado, |0>. La mezcla en general es a|0>+b|1>, donde a y b son números (en general complejos, pero vamos a intentar usar siempre números reales) tales que .
• Al medir un qubit la probabilidad de que sea un 0 es y la de que sea un 1, .
• Hay tres puertas lógicas de un qubit importantes: X, Z y H. La puerta X transforma |0> en |1> y viceversa; la puerta H transforma |0> en |+> (que es simplemente una mezcla a partes iguales de |0> y |1>, ) y viceversa, y |1> en |-> (que de nuevo es una mezcla a partes iguales de |0> y |1>, pero con la fase opuesta, ) y viceversa; por último la puerta Z transforma |+> en |-> y viceversa.
• Cualquier puerta lógica tiene que tener el mismo número de qubits de entrada que de salida.

Si pensamos en esta última afirmación un momento, podemos ver que que el número de qubits en un circuito tiene que ser constante durante todo él: si al principio tenemos un cierto número de qubits, a la salida tendremos que tener el mismo número también, y en todo momento durante el cálculo también tendremos el mismo número de qubits. Por tanto ese número de qubits va a ser una constante durante todo el circuito: esto es una diferencia muy importante con los circuitos clásicos, en los que en cada momento puedes tener un número muy diferente. Esto quiere decir que todos los circuitos cuánticos se van a poder representar como una serie de líneas horizontales, cada una de ellas un qubit, con la entrada a la izquierda y la salida a la derecha, y las puertas lógicas entre ambos extremos. Por ejemplo:

Ejemplo de circuito cuántico.

Cada una de las líneas horizontales es un qubit, y cada rectángulo una puerta lógica de uno o más qubits – por supuesto, inventadas. Cualquier circuito cuántico puede representarse de esta manera, con las puertas aplicandose sucesivamente de izquierda a derecha. Esto quiere decir que aplicamos la puerta 1 al primer qubit, la puerta 2 al sexto, la puerta 3 (puerta de dos qubits) al segundo y tercero, la 4 (puerta de tres qubits) a los cuarto, quinto y sexto, y así sucesivamente. De momento todas las puertas que hemos visto son de un solo qubit, pero ya veremos más adelante ejemplos de puertas de dos o más qubits.

Ahora vamos a ver cómo podemos describir matemáticamente estos circuitos de más de un qubit, de la misma forma en que un sólo qubit se puede representar como a|0>+b|1>. El problema de base es que no todos los estados de un circuito se pueden escribir como qubits separados. Algunos estados están entrelazados (y si no sabes muy bien qué significa eso, léete el artículo de Pedro sobre el tema), y esto nos obliga a tener que describir el sistema como un todo. La demostración sería un poco compleja para este nivel, así que tendré que decirlo como dogma de fe: cuando tenemos más de un qubit, en lugar de tener dos estados (|0> y |1>) tenemos tantos estados como combinaciones – binarias – posibles de bits existan. ¿Qué quiero decir con esto? Pues que tenemos un estado por cada combinación posible de ceros y unos con tantas cifras como bits tengamos. Se ve mejor con un ejemplo. Con un (qu)bit sólo tenemos dos posibles combinaciones de una cifra: 0 y 1. Por lo tanto tenemos dos estados de un qubit, |0> y |1>. Cuando nos vamos a dos qubits tenemos cuatro posibles combinaciones de dos cifras: 00, 01, 10 y 01. Por lo tanto, tendríamos cuatro estados: |00>, |01>, |10> y |11>. Cada estado significa, respectivamente:

• |00>: El primer qubit está en estado |0>, y el segundo qubit en estado |0>
• |01>: El primer qubit está en estado |0>, y el segundo qubit en estado |1>
• |10>: El primer qubit está en estado |1>, y el segundo qubit en estado |0>
• |11>: El primer qubit está en estado |1>, y el segundo qubit en estado |1>

Y un sistema de dos qubits podrá tener una mezcla cualquiera de estos cuatro estados. Si tenemos más qubits, tendremos más estados.^[1] Por ejemplo, con 3 qubits tenemos ocho estados: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110 y 111, que son todas las posibles combinaciones binarias de 3 cifras. Con 4 qubits, tenemos ya dieciséis estados: 0000, 0001, 0010, 0011, 0100, 0101, 0110, 0111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110 y 1111. En todos los casos, claro, el sistema de qubits podrá ser una mezcla cualquiera de todos estos estados. El número de estados crece muy rápidamente con el número de qubits, y ésta es la principal ventaja de la computación cuántica sobre la clásica: con muy pocos qubits podemos representar mucha información, ¡y trabajar con toda ella simultáneamente! Por ejemplo, imagina un ordenador con “solamente” 200 qubits. ¿Cuántos estados tendría? Pues la respuesta, por sorprendente que pueda parecer, es un número tan grande como el número de átomos del universo: es del orden de 10 elevado a la 60ª potencia, un 1 seguido de 60 ceros. Si intentáramos escribir todos los estados símplemente no tendríamos átomos en el universo para hacerlo.^[2] Supongo que eso puede dar una idea del potencial de la computación cuántica. Por desgracia, ese mismo potencial nos va a obligar a centrarnos en nuestro estudio en circuitos con muy pocos qubits, porque si no, nos será imposible seguir la pista de todos los estados – ¡con seis qubits ya tendríamos 64 estados! Pero tranquilidad: pocas veces necesitaremos circuitos tan grandes, y si llegamos a usarlos será cuando ya entendamos qué hacen sin necesidad de mirar todos los estados uno a uno.

Hemos visto qué estados tiene un sistema de varios qubits, pero esto todavía no es como lo que vimos con sistemas de un qubit. Allí no sólo teníamos los estados |0> y |1>, sino que además teníamos dos números, a y b, que nos decían “cuánto” de cada estado teníamos, y nos daba la probabilidad de obtener uno u otro al medir. Cuando tenemos más de un qubit ocurre algo similar, pero ahora en lugar de dos números tenemos tantos números como estados haya. Al igual que en un qubit, cada estado lleva asociado un número, al igual que en un qubit los estados son números complejos – aunque, repito, intentaremos usar solamente reales -, y al igual que en un qubit la suma de los cuadrados de sus módulos (si usamos números reales, simplemente la suma de sus cuadrados) es uno. La diferencia es que ahora, en lugar de tener dos números, tenemos cuatro, ocho, dieciséis… o dos elevado a doscientos. Pero pongamos ejemplos de estados con dos qubits – se puede hacer análogamente para cualquier número de qubits. El estado general sería a|00>+b|01>+c|10>+d|11>, pero lo veremos mejor viendo ejemplos:

• |00>+|01>+|10>+|11>: Cada estado lleva asociado un número, en este caso todos son iguales a , y la suma de sus cuadrados es , por lo que es un estado válido.
• |00>+|01>-|10>-|11>: Este estado es similar al anterior, pero cambian algunos de los signos; no obstante, al elevar al cuadrado todos se volverán positivos, por lo que también sumarán lo mismo, es decir, 1, y el estado también será válido. Esto es un resultado general: al cambiar el signo de un estado válido^[3] sigue siendo un estado válido.
• |00>: Este es un estado válido, aunque a primera vista no lo parezca: a – el número que multiplica a |00> – vale 1, pero, como solemos hacer en matemáticas, no escribimos el 1. Por otro lado, b, c y d – los números que acompañan a los otros estados – valen los tres 0, y de nuevo, como solemos hacer en matemáticas, no los escribimos ni a ellos ni a lo que multiplican. El estado escrito “al 100%” sería 1|00>+0|01>+0|10>+0|11>, pero resulta mucho más cómodo escribirlo como anteriormente; además, los estados |01>, |10> y |11> también son estados válidos, y lo mismo ocurre con más qubits.
• 0.6|01>+0.8|11>:  Igual que en el anterior, aquí hay dos estados que no hemos escrito por estar multiplicados por cero; el estado completo sería 0|00>+0.6|01>+0|10>+0.8|11>. Lo interesante de este estado es que el segundo qubit siempre es un 1 (en los estados que no están multiplicados por 0): esto hace que no se comporte como un qubit sino más bien como un bit normal, su estado está definido y es 1. Por tanto el estado de dos qubits en realidad se comporta como un estado de un qubit, el primero, más un estado de un bit clásico.

Igual que había infinitos estados posibles de un qubit, lo mismo ocurre con más de un qubit: hay infinitas combinaciones posibles de números tales que sus cuadrados sumen 1. Ahora bien, una diferencia importante con los sistemas de un qubit es a la hora de medir. Antes podíamos medir el qubit y nada más; ahora podemos medir uno, medir otro, medir dos, medir tres, medir todos. Y no todo va a ser igual de sencillo. Medir todos es muy simple: si medimos todos, después de la medida el estado será uno definido, por ejemplo el |00> que vimos un poco más arriba. Y la probabilidad de que aparezca esto será justamente el cuadrado del número que le acompañe. Un ejemplo lo dejará más claro. En el primer estado que vimos, |00>+|01>+|10>+|11>, la probabilidad de obtener cero en los dos qubits es un cuarto (un medio al cuadrado es un cuarto). La probabilidad de obtener cero en el primero y uno en el segundo también es un cuarto, lo mismo de obtener uno en el primero y cero en el segundo y lo mismo de obtener uno en ambos. Es decir, tenemos las mismas probabilidades de obtener cada una de las cuatro parejas de bits; es como si tiráramos un dado de cuatro caras y según el resultado eligiéramos uno de los estados. Igual que ocurría después de medir el qubit en un sistema de uno sólo, el estado después de la medición está definido: si obtuvimos 00 al medir, el estado será |00> después. Esto funciona igual que los sistemas de un qubit, solamente que tenemos más posibilidades. En cambio, si medimos menos qubits – en particular lo más útil, que es medir uno sólo -((Medir más de un qubit puede verse como medir uno primero, otro después… hasta medirlos todos.)) el método es más complicado.^[4] Lo más importante es que después de medir el estado resultante será como el último que vimos en la lista anterior, con uno de los qubits siendo siempre 0 o siempre 1. Un estado así es uno que acabamos de medir.

Ahora que ya sabemos cómo representar y medir un estado de más de un qubit, llegamos a algo que mencionamos antes y aún no hemos tratado: el entrelazamiento. La forma de definir el entrelazamiento con precisión se escapa del alcance de esta serie.^[5] Por tanto, vamos a dar una definición operacional, que además puede ser más interesante que la matemática. Lo haré para dos qubits, pero el concepto es el mismo para más de dos. Si tenemos dos qubits entrelazados, el hecho de medir uno cambiará las propiedades del otro. ¿Qué propiedades? Los dos números que definían el qubit, a y b. Ahora podrás decir, “pero si en un sistema de más de un qubit hemos dicho que ya no hay dos números, ¡hay muchos más!”. Y tendrías toda la razón, pero recuerda una cosa: imaginemos que tenemos un sistema de dos qubits; si medimos uno de los dos qubits, éste queda en un estado definido, es decir, o cero-del-todo o uno-del-todo. Y por tanto, mientras no le hagamos nada más, deja de parecer un qubit y parece más un bit normal. Pero como ya dijimos, esto significa que ¡parece que tenemos un sistema de un sólo qubit! ¡Con sólo dos números!

Por ejemplo, imaginemos el estado que vimos antes, |00>+|01>+|10>+|11>. No lo voy a demostrar, pero la probabilidad de medir el primer qubit y obtener un cero es un medio (y, análogamente, la de obtener uno es también un medio). ¿En qué se convierte el sistema después de medir y obtener un cero? Pues con un poco de matemáticas^[6] vemos que se convierte en |00>+|01>, que, como dijimos antes, es lo mismo que decir que el primer qubit es ahora un bit cero y el segundo un qubit |0>+|1>. Pero ¿qué habría pasado si al medir hubiéramos obtenido un uno? Pues que se habría convertido en |10>+|11>, que es lo mismo que decir que el primer qubit es ahora un bit uno y el segundo un qubit |0>+|1>. Si te has perdido con tantas raíces cuadradas no te preocupes: lo único importante es que el resultado es el mismo en ambos casos. Es decir, no hay entrelazamiento.

En cambio veamos ahora el estado 0.36|00>+0.48|01>+0.64|10>+0.48|11>. Si medimos el primer qubit y da 0 (ni nos preocupamos de calcular las probabilidades, no nos interesa), el estado queda, tras las mismas matemáticas que antes, como 0.6|00>+0.8|01>, que es equivalente a que el primero sea un bit cero y el segundo un qubit 0.6|0>+0.8|1>. Pero si lo medimos y da un 1 el estado queda como 0.8|10>+0.6|11>, que es equivalente a que el primero sea un bit 1 y el segundo un qubit 0.8|0>+0.6|1>. ¡El estado es diferente! Esto es algo muy poco intuitivo, y de las cosas más raras que tiene la mecánica cuántica. Los dos qubits podrían estar en extremos opuestos de la galaxia, pero al medir uno de ellos cambian las probabilidades de que el otro dé cero o uno. A Einstein esto le parecía que indicaba que la mecánica cuántica era incorrecta, pero esta es una de las cosas en que Alberto se equivocó: muchos experimentos han comprobado que, de hecho, esto ocurre. Y a nosotros nos viene de perlas, porque nos permitirá hacer muchas cosas en computación cuántica que de ninguna manera podríamos hacer en clásica. Por ejemplo, dentro de un par de entradas veremos cómo podemos utilizar esto para teletransportar información.

El teletransporte que vamos a ver por desgracia no es como el de Star Trek; sólamente teletransportaremos información, pero veremos que es muy misterioso. Y lo más interesante es que no es ciencia ficción, sino ciencia que venimos haciendo habitualmente desde hace bastantes años. Crédito: Wikipedia CC.

Antes de terminar quiero poner un último ejemplo de estado entrelazado. Es un tipo muy especial y que a veces nos será muy útil; los químicos los conocen como estados triplete y singlete, los físicos como estados de Bell, y en computación cuántica  se suele usar el nombre estados de Bell o estados completamente entrelazados, por razones que veremos rápidamente. En lugar de una definición se va a ver más claro con un ejemplo; el estado de Bell más simple sería |00>+|11>. Es decir, que tiene “medio” estado cero-cero y “medio” estado uno-uno. ¿Qué ocurre si intentamos medir uno cualquiera de los qubits? Si medimos el primero y obtenemos un cero, el estado se convierte en |00>. Si en cambio obtenemos un 1, se convierte en |11>. Si medimos el segundo y obtenemos un cero, el estado se convierte en |00>. Si en cambio obtenemos un 1, se convierte en |11>. Fijaos bien: ¡Al medir cualquiera de los dos, medimos el otro instantáneamente! Cuando medimos uno cualquiera de los qubits, pasamos a tener un estado que parece un estado de dos bits, en lugar de uno de dos qubits. En este caso los bits son iguales, pero otros estados de Bell (|01>+|10>, por ejemplo) hacen que sean diferentes. Estos estados están completamente entrelazados en el sentido de que midiendo uno conoces totalmente el otro. Serán muy útiles entre otras razones porque son muy sencillos de fabricar y de utilizar.

Y aquí terminamos con los circuitos de varios qubits. En la próxima entrada, algún día, las puertas lógicas de varios qubits; y tras eso podremos empezar con verdaderos circutos cuánticos.

1. Dos elevado al número de qubits, desde |00…00> hasta |11…11>
2. Esto nos pone un límite también al intentar simular un ordenador cuántico en un ordenador clásico. Si intentamos simularlo, que se puede, necesitamos “un par de bytes” por cada estado. Si simulamos pocos qubits esto no da muchos problemas; al ordenador no le cuesta trabajar con varios miles o incluso millones de bytes. Pero cuando el número de qubits crece, el número de estados crece mucho más rápidamente, lo que rápidamente agota hasta las mejores memorias de ordenador. Piensa que añadir un qubit más, ¡supone duplicar el número de estados!
3. O, más generalmente, al multiplicar por un número complejo con módulo 1.
4. Hay que agrupar los estados que tienen ese qubit como 0 y sumar los cuadrados de los módulos de los números que multiplican cada estado: eso es la probabilidad de obtener un 0 en ese qubit; para obtener 1, se hace de manera análoga con los que tienen el qubit como 1.
5. Dos o más qubits están entrelazados si no podemos escribir el estado como “producto” de qubits separados, en el caso de dos qubits (a|0>¹+b|1>¹)(c|0>²+d|1>²)=(a·c|00>+a·d|01>+b·c|10>+b·d|11>) (los superíndices denotan aquí a qué qubit nos referimos). Si no se puede escribir de esta manera, hay entrelazamiento entre los qubits.
6. Normalizar.

1. La puerta NO – si a la entrada ponemos un 0, a la salida nos da un 1; si a la entrada ponemos un 1, a la salida nos da un 0.
2. La puerta SÍ – si a la entrada ponemos un 0, a la salida nos da un 0; si a la entrada ponemos un 1, a la salida nos da un 1.
3. La puerta UNO – si a la entrada ponemos un 0, a la salida nos da un 1; si a la entrada ponemos un 1, a la salida nos da un 1.
4. La puerta CERO – si a la entrada ponemos un 0, a la salida nos da un 0; si a la entrada ponemos un 1, a la salida nos da un 0.

Y ya está; no hay más posibles puertas que tengan un bit a la entrada y un bit a la salida. Y como se puede ver, las tres últimas no hacen nada interesante; sólo la puerta NO es una puerta útil. Sin embargo, en computación cuántica no hay cuatro posibles puertas de un bit… hay infinitas. Y hay unas cuantas que son útiles, no solamente una.

En primer lugar, un par de apuntes que vamos a necesitar. La computación cuántica necesita ser reversible. Es decir, para cada puerta tiene que haber otra^[1] que “deshaga” lo que hizo la primera. Por ejemplo, la puerta NO es reversible. ¿Por qué? Porque si ponemos una puerta NO detrás de otra obtenemos lo mismo que pongamos en la entrada. Es decir, si a la entrada de la primera ponemos un 0, a la salida tendremos un 1. Pero la salida de esta primera puerta es la entrada de la segunda, por lo que si en esta segunda puerta entra un 1, sale un 0, que es lo que teníamos al principio. Pero si metemos un 1 en la primera, a la salida tenemos un 0. Por lo que en la segunda entra un 0 y a la salida tenemos… un 1. Igual que al principio. Por lo tanto podemos deshacer lo que hace una puerta NO, y lo que usamos para deshacerlo es otra puerta NO. Así, una puerta NO es reversible. ¿Lioso? Mira este dibujo y igual te queda más claro:

Reversibilidad de la puerta NO. Poniendo detrás de una puerta NO otra igual, deshacemos lo que hizo la primera. Por esta razón podemos decir que la puerta NO es reversible.

Pero en cambio la puerta UNO no lo es: tanto si en la entrada tenemos un 0 como si tenemos un 1, a la salida tenemos un 1. ¿Qué puerta podría diferenciar entre los dos unos de la salida, el que aparece cuando ponemos un 0 y el que aparece cuando ponemos un 1? Los dos son exactamente iguales, no hay nada que los diferencie, así que no existe ninguna puerta que a partir de uno de ellos nos de un dé un 0 y a partir del otro nos dé un 1… ¡porque son iguales! Con la información que tenemos a la salida de la puerta no podemos averiguar qué había en la entrada; hemos perdido la información que le dimos al aplicar la puerta.^[2] Por tanto la puerta UNO no es reversible y no podrá tener un equivalente en computación cuántica.

De las puertas lógicas de un bit, la NO y la SÍ son reversibles, pero la UNO y la CERO, no. “Pero bueno, no hay problema, ¿no? Hemos dicho que esas dos no son importantes.” Pues… el problema aparece cuando vamos a puertas de más de un bit. La puerta Y, la puerta O y, en general, casi todas las puertas que se usan en electrónica, no son reversibles. Y como no son reversibles no podremos usarlas en computación cuántica, lo cual es una pena porque llevamos mucho tiempo utilizándolas y las conocemos muy bien, y sabemos usarlas muy bien. Pero la buena noticia es que hay muchas otras posibles puertas que sí lo son, y las iremos viendo.

Relacionado con lo anterior, una puerta cuántica necesita tener tantas entradas como salidas. Si lo piensas un poco verás que es una condición necesaria para cumplirse la premisa anterior. Si tuviera más entradas que salidas, perderíamos información, información que no podríamos recuperar con la segunda puerta, por lo que la puerta no sería reversible – y ya hemos dejado claro que la puerta tiene que ser reversible.^[3] Si por el contrario la puerta tuviera más salidas que entradas, aparentemente no pasaría nada; sí, estamos dejando en algunos sitios la información duplicada, pero podemos recuperarla, así que todo bien, ¿no? Pues no, porque hay un problema: la puerta con la que recuperamos la información también tiene que tener una puerta que deshaga lo que hace.

Se entiende mejor con un ejemplo: imagina que nuestra primera puerta tiene un bit de entrada y cinco de salida. Pues no pasa nada, repartimos la información entre los cinco y todo bien. Pero para recuperar la información del principio necesitamos una puerta con solamente un bit de salida (porque es lo que teníamos al principio). Entonces tiene que ser una puerta que tenga cinco bits de entrada, porque la anterior tiene cinco de salida, pero sólo uno de salida. Pero ¿no habíamos dicho que la puerta no podía tener más bits de entrada que de salida? Pues entonces esta puerta no puede existir, y si no existe esa puerta… tampoco puede existir la que tiene un bit de entrada y cinco de salida. ¿Por qué? Porque la puerta no puede existir si no existe otra que deshaga lo que hace. Entonces, si la puerta no puede tener más entradas que salidas, y no puede tener más salidas que entradas, solamente nos queda una opción: que tenga exactamente tantas entradas como salidas. Así que una puerta con una entrada solamente puede tener una salida: ni más, ni menos. Una puerta con dos entradas solamente puede tener dos salidas: ni más, ni menos. Y así sucesivamente.

Puerta “1a5″: Parece que podríamos tener una puerta con más salidas que entradas… pero entonces necesitaríamos tener una puerta con más entradas que salidas, que ya vimos que no puede existir. Y eso hace que tampoco pueda existir una con más salidas que entradas.

Vistos estos tecnicismos, empecemos ahora con las puertas de un qubit. Recuerda que en lugar de bits tenemos que volver a usar qubits, que tienen una mezcla de 1 y 0: un qubit era a|0>+b|1>, lo que quería decir, resumiendo la entrada anterior, que hay una probabilidad (es decir, el cuadrado del módulo de a) de que valga 0, y una probabilidad (es decir, el cuadrado del módulo de b) de que valga 1.

• La puerta I (identidad) – Nos deja en la salida lo mismo que en la entrada: si ponemos en la entrada el qubit a|0>+b|1>, nos pone en la salida el qubit a|0>+b|1> (es decir, el mismo, sin cambiarlo). Esta puerta es la equivalente a la puerta SÍ en computación clásica, y es incluso menos útil que allí. Solamente se usa para hacer demostraciones matemáticas, pero la pongo aquí por si resulta útil en el futuro.
• La puerta X (bit flip) – Es la equivalente a la puerta NO. Si el qubit de entrada es |0>, el de salida es |1>, y viceversa. Si el qubit que entra es el qubit general a|0>+b|1>, el de salida será a|1>+b|0>, o escrito de la forma más usual, b|0>+a|1>.^[4] El nombre alternativo de esta puerta, bit flip, se debe a que “cambia” (flip) los bits, es decir, donde había un 0 pone un 1 y donde había un 1 pone un 0, exactamente como hacía la puerta NO en computación clásica. La puerta intercambia las probabilidades de tener un 1 y de tener un 0; si al principio teníamos un 90% de probabilidades de tener un 0, y un 10% de tener un 1, ahora tendremos un 90% de probabilidades de tener un 1 y un 10% de probabilidades de tener un 0.
• La puerta Z   (phase flip) –^[5] Si el qubit que entra es un |0> no hace nada, pero si el que entra es un |1> le cambia el signo, y en la salida tenemos un -|1>. En general, si entra un qubit a|0>+b|1>, sale un qubit a|0>-b|1>. Esta puerta no tiene un equivalente clásico. De hecho, lo más parecido a un equivalente clásico sería la puerta SÍ, igual que la identidad. El nombre en inglés de esta puerta, phase flip, se debe a que cambia la “fase” (para los físicos: la fase relativa de cada estado; para los no físicos: el signo) del qubit. Esta puerta no cambia las probabilidades de que al medir el qubit hallemos un 0 o un 1: el valor a lo deja sin cambiar, por lo que la probabilidad de medir un 0 sigue siendo la misma, ; el valor b lo cambia por su opuesto… pero el cuadrado de su módulo sigue siendo el mismo, por lo que la probabilidad sigue siendo . Es como si no cambiara nada, parece inútil la puerta, entonces… pero es que la fase (el signo) se puede utilizar en los cálculos.
• La puerta H  (puerta de Hadamard) – Convierte el qubit |0> en el qubit |+> (que, recuerdo de la entrada anterior, es solamente una forma fácil de llamar al qubit |0>+|1>) y el qubit  |1> en el qubit |-> (que igual que el |+> es una forma fácil de llamar a otro qubit, en este caso el |0>-|1>, es decir, igual que el |+> pero con el signo cambiado). Esta puerta es MUY importante, probablemente la más importante de las que veremos hoy. Y eso que a primera vista lo que hace es una tontería, pero tiene muchísimas aplicaciones en muchos circuitos; casi no hay ningún algoritmo cuántico que no la use. La transformación del qubit general es complicada a primera vista, pero que no es más que combinar lo anterior: el qubit a|0>+b|1> se convierte en |0>+|1>, pero lo bueno es que este qubit escrito usando |+> y |-> se vuelve mucho más simple: a|+>+b|->, como se podía esperar de la definición del principio.

Estas son las puertas más importantes de un qubit, y además las que sólo necesitan números reales para definirse. Hay una relación muy bonita además entre las puertas X, Z y H y los qubits |0>, |1>, |+> y |->:

La casi mágica relación entre X, Z y H.

Una puerta X convierte un qubit |0> en un qubit |1> y viceversa, como ya vimos; también vimos que la H convierte el |0> en |+> y el |1> en |->.  Pero si pensamos un poco en cómo funcionan las puertas Z y H veremos que Z convierte |+> en |-> (y viceversa), y que H funciona también en sentido inverso, convirtiendo |+> en |0> y |-> en |1>. Esto nos va a dar mucho juego a la hora de diseñar algoritmos.

Una cosa que a lo mejor habéis notado es que todas estas puertas son sus propias inversas (se “deshacen” a sí mismas). Aplicar dos veces X nos deja como estábamos al principio, lo mismo con Z y lo mismo con H. Esto podría haceros pensar que esto ocurre así siempre, pero no; la mayoría de las puertas no tienen esa propiedad.

Hay otras puertas de un qubit, pero son mucho menos utilizadas y, además, en general necesitan números complejos y he dicho que voy a intentar no utilizarlos. Principalmente son cuatro; se usan en algunos algoritmos pero no veremos muchas de ellas durante la serie. No obstante, las dejo aquí para quien quiera más información:

• La puerta Y – Ésta ni tiene nombre propio siquiera, pero complementa a las puertas I, X y Z. Si a la entrada ponemos el qubit a|0>+b|1>, a la salida nos da b|0>-a|1>, por lo que funciona como una combinación de las puertas X y Z.^[6]
• La puerta S (phase gate, no confundir con phase flip) – Cambia a|0>+b|1> por a|0>+b i |1>. Si se aplica dos veces seguidas la puerta S se obtiene una puerta Z, como se puede comprobar fácilmente.
• La puerta T  (puerta π/8, “pi octavos”) – Cambia a|0>+b|1> por a|0>+b|1>. Si se aplica dos veces se obtiene una puerta S.
• La puerta R (phase shift, no confundir con phase flip ni phase gate^[7] ) – Cambia a|0>+b|1> por a|0>+b|1>, donde θ es un ángulo cualquiera que se le da externamente. Puede simular tanto la puerta Z, como la S, como la T y es muy importante en la llamada Transformada de Fourier Cuántica (QFT, por sus siglas en inglés).
• La puerta general (escrita normalmente como U): No es ninguna puerta en particular, es solamente una notación para llamar a cualquier puerta de un qubit, sea de las que hemos visto o no. Resulta útil en algunos circuitos en los que hay una parte que no especificamos, porque según el uso que le demos será de una manera o de otra; en esos casos utilizamos esta puerta.

Y hasta aquí las puertas lógicas de un qubit. Sé que el artículo ha resultado un poco farragoso, pero con que te quedes con el hecho de que las puertas siempre tienen que tener el mismo número de entradas que de salidas, y con el funcionamiento de la relación entre X, Z y H y |0>, |1>, |+> y |->, tienes ya todo lo que necesitas para continuar. En la próxima entrega, qué ocurre cuando tenemos más de un qubit.

1. que podría ser la misma
2. En efecto, en computación cuántica no podemos perder información… usando puertas; hay otro método para perder información, que ya veremos
3. Si la puerta tiene n entradas y m salidas, estamos mapeando de valores a ; si m<n, tiene que haber varios valores de la entrada que se mapeen en el mismo valor de salida, porque lo que destruimos la información que diferencia uno del otro
4. Siempre intentamos mantener ordenados los qubits, nos evitará perdernos cuando estemos en circuitos con más de un qubit.
5. Si has dado algún curso de cuántica tal vez te hayas dado cuenta de que las puertas tienen los nombres de las matrices de Pauli y te estés esperando ya la puerta Y – y no te equivocas, hay una relación entre ambas cosas: cada puerta de un qubit puede describirse como una matriz unitaria de 2×2, y las matrices de Pauli más la matriz identidad forman una base para estas matrices.
6. En realidad esto sólo es así cuando trabajamos con un único qubit. Cuando hay más, lo que daría en la salida sería b i|0>-a i|1>; cuando hay solo un qubit puede quitarse el i porque es lo que se llama una “fase global”, pero cuando hay más, esa fase sí es importante.
7. Sí, a veces somos así de poco originales con los nombres.

Un bit es un dígito en el sistema binario, y es el elemento básico de los circuitos eléctricos digitales y, por tanto, de los ordenadores. No voy a recordar lo que es el sistema binario porque ya se ha explicado; baste con recordar que cualquier número lo podemos traducir a binario, 13 en decimal es 1101 en binario, y cada uno de los unos o ceros que forman el número es un bit. Eso en la parte púramente matemática; en electrónica representamos cada bit como un voltaje alto o bajo, o como una bombilla encendida, , que sería un 1, o una bombilla apagada, , que sería un cero.

Hasta aquí la parte clásica; para introducir ahora el concepto de qubit tenemos que tener en cuenta, si recuerdas la serie Cuántica sin Fórmulas, que al llegar al nivel cuántico las cosas no suelen estar encendidas ni apagadas “de verdad”, sino que están en un estado que es una especie de mezcla de ambas cosas. Eso es un qubit: no tenemos la bombilla encendida ni apagada, sino que está “en otro estado” que no es ni encendido, ni apagado. Recuerda, esto es muy importante, porque no significa que la bombilla esté encendida a medias, ni rota, ni nada similar: está a la vez encendida y apagada.

¿Cómo vamos a representar esto? Vamos a usar la llamada notación bra-ket, que Pedro ya nos introdujo en el link que enlacé antes: ¡repásatelo! Vamos a tener dos posibles kets, que son autoestados de la bombilla: el ket |>, que representa una bombilla encendida, y el ket |>, que representa una bombilla apagada. Pues bien, el estado general de nuestro qubit va a ser lo que se llama una superposición de los dos estados, a·|>+b·|>, donde a y b son números complejos.

Varios apuntes aquí: el primero, recuerda que esto no significa que esté medio encendida ni nada similar, sino que está a la vez encendida y apagada, en un cierto sentido. El segundo, voy a intentar evitar usar números complejos porque sé que son mucho más liosos; casi siempre podré conseguirlo y usar números reales, aunque cuando veamos algunas puertas será necesario meternos un momento en ellos. Si te parecen muy difíciles los números complejos sáltate ese momentito y ya está. El tercero, a y b no son números independientes (muy remarcado porque es muy importante). Existe una cosa que se llama normalización, que es básica para poder calcular probabilidades y demás, y nos obliga a que ambos números sigan una relación, |a|²+|b|²=1, que significa que el cuadrado del módulo de a más el cuadrado del módulo de b tienen que sumar 1. Si, como hemos dicho, nos restringimos a números reales, se puede escribir esto más fácilmente: a²+b²=1. De aquí podemos ver que tanto a como b tienen que ser números que estén entre -1 y 1, y que cuanto más lejos del cero esté uno, más cerca del cero estará el otro.

Hasta aquí las matemáticas. ¿Qué quiere decir esto? Pues quiere decir que un qubit no vamos a saber si es un 1 o un 0 mientras no lo miremos. Y no sólo es que no lo sepamos, es que hasta entonces sólo hay una probabilidad de que sea 1 y una probabilidad de que sea 0, pero el qubit no es ni cero ni uno. Pero al mirarlo tendremos que ver necesariamente un 1 o un 0, con una cierta probabilidad. ¿Y qué probabilidad? Pues precisamente a² de que sea 0, es decir, de que la bombilla esté apagada, y b² de que sea 1, es decir, de que la bombilla esté encendida.

Un ejemplo (y permitidme que cambie los nombres a los kets: ahora al ket |> le llamaré |1> y al ket |> le llamaré |0>, pero podéis seguir pensando en bombillas al verlos, si así os resulta más fácil). Supongamos que nuestro qubit está en el estado 0.8·|0>+0.6·|1>. Primero vamos a comprobar que cumple la relación que pusimos arriba: (0.8)²+(0.6)²=0.64+0.36=1, por lo que sí, la cumple. Esto nos quiere decir que es un estado válido, un qubit puede estar en este estado. ¿Qué probabilidades hay de que al mirar el qubit sea 1, y qué probabilidades hay de que sea 0? Pues la probabilidad de que sea 0 es simplemente (0.8)², es decir, 0.64, es decir, un 64%. Y la probabilidad de que sea 1 es (0.6)², es decir, 0.36, es decir, un 36%. ¡Anda, las probabilidades suman 1! ¡Qué casualidad! Pues no, no lo es, para eso precisamente era la normalización. Al normalizar, las probabilidades salen así de fácil.

Una cosa fastidiosa y a la vez totalmente necesaria para la CC es que cuando miramos ese qubit, y tenemos unas probabilidades de ver un 0 o de ver un 1, no solamente vemos el qubit: lo cambiamos. Y lo cambiamos a un nuevo estado perfectamente definido y perfectamente no cuántico. Si miramos y vemos un 0, ahora el estado será |0>. Si miramos y vemos un 1, ahora el estado será 1. Y se nos “borrará” toda la información extra (el a y el b, el 0.8 y el 0.6) que teníamos antes. Esa información desaparece totalmente, y no hay manera de recuperarla. Cuando nosotros queramos medir el qubit, entonces eso estará bien, porque es lo que queríamos (y veremos que todos los algoritmos cuánticos miden qubits al final). Pero si por el contrario “medimos sin querer” en mitad de un cálculo… perderemos la información y el cálculo saldrá mal. Hay muchas formas de “medir sin querer”, y las comentaré cuando lleguemos a cómo se construye un qubit en la realidad – probablemente, cerca del final de la serie.

Ahora los más avispados estaréis preguntándoos: ¿cómo sabemos el estado del qubit, ese 0.8·|0>+0.6·|1>, si no lo hemos mirado? Pues es muy simple: en general, no lo sabemos. Pero la Naturaleza, de una forma que no entendemos completamente, sí lo sabrá, y eso a nosotros nos basta. Nosotros simplemente comenzaremos con un estado |0> o |1>, que sabemos ponerlos con mucha facilidad (¡mirando!) y aplicaremos puertas lógicas cuánticas que cambiarán el estado. En principio podemos ir calculando qué cambios hace exactamente, pero la gracia de la computación cuántica es que no lo necesitaremos: la Naturaleza lo hará por nosotros y nos facilitará mucho el trabajo.

Y hasta aquí lo que es un qubit. Cuando hay más de un qubit las cosas cambian, pero antes de meternos en eso, en la próxima entrada veremos las puertas lógicas de un qubit.

Después de la maravillosa serie de Pedro sobre Cuántica sin Fórmulas, y la no menos maravillosa de J sobre Computador Mágico, que mientras escribo esto todavía sigue publicándose, se me ocurrió que podría escribir aquí sobre un tema que me encanta y del que, aunque no soy un experto, soy capaz de hablar hasta que las paredes se aburran – que las pobres no pueden huir, como el resto de mis oyentes -, un tema, digo, que sería el hijo de las dos series que nombré al principio de esta enorme frase: la computación cuántica (CC para abreviar).

Seguro que muchos habéis oido hablar de ordenadores cuánticos, de qubits, de criptografía cuántica e incluso, si sois muy friquis, del algoritmo de Shor; pero es posible que penséis que son cosas muy abstractas y difíciles de entender. Y en realidad estáis equivocados; la CC es bastante simple (al menos, si conoces los conceptos de la cuántica, ¡lee Cuántica sin Fórmulas, hombre ya!), siempre y cuando no te metas en berenjenales de los que no sepas salir. Yo voy a comenzar por lo básico, intentando no repetirme en lo que Pedro y J nos han desasnado ya, aunque a veces será necesario; por ejemplo, el teletransporte cuántico es de los algoritmos más básicos de la CC, y aunque Pedro ya lo explicó volveré a ello, porque usando puertas cuánticas se le da un enfoque muy diferente.

¿Y qué voy a contar en la serie? Pues pretendo contar por qué y para qué necesitamos ordenadores cuánticos si los que tenemos funcionan tan bien; qué es un qubit y, más importante, qué son muchos qubits; qué puertas lógicas cuánticas hay y cómo funcionan (al menos, algunas); qué algoritmos se han creado y qué podríamos hacer con ellos; y de qué formas estamos intentando crear ordenadores cuánticos. Porque no, todavía no existen ordenadores cuánticos grandes, por mucho que de vez en cuando alguna empresa con algo de picaresca diga que le ha vendido a la NASA o a Google un ordenador cuántico. Si tengo ganas también intentaré explicar qué son en realidad esas máquinas que esa empresa vende como ordenadores cuánticos. Algo de cuántica tienen, pero no adelantemos acontecimientos.

El chip no-cuántico de D-Wave; se ha vendido como un ordenador cuántico pero no lo es en realidad. No del todo, al menos. Crédito: Wikipedia/CC.

Y sin más, empiezo con el primer punto: ¿para qué vamos a complicarnos la vida con ordenadores cuánticos si puedo meterme a las redes sociales y jugar a los Sims en mi ordenador clásico? Pues lo primero, porque los científicos y los ingenieros somos así: nos encanta complicarnos la vida. Lo segundo, porque después de empezar a complicarnos la vida con esto, nos dimos cuenta de que los ordenadores cuánticos pueden ser útiles para hacer algunas cosas mucho más rápido de lo que podríamos hacerlo en un ordenador clásico. Y marco esto último porque es lo principal de esta entrega. Algunas tareas, como buscar un número de teléfono en particular en una guía telefónica que no esté ordenada por dicho número, o factorizar un número compuesto muy grande son muy difíciles en un ordenador clásico – y con muy difícil me refiero a muy lento, O(N) y O(2^N) para los entendidos -, pero muy simples en un ordenador cuántico – O(√N) y O((log N)³). Y estos problemas que parecen inútiles sirven para crear bases de datos más rápidas y útiles, para romper los algoritmos de criptografía más avanzados que hay hoy en día, y para muchas más cosas.^[1]

El algoritmo de Grover. No te preocupes si de momento no lo entiendes – ya habrá una entrada sobre él, y antes veremos muchas de las partes que lo componen. Pero fíjate en los nombres: la H es una puerta de Hadamard, la un oráculo cuántico, la parte marcada arriba, un operador de difusión… ¿no parecen nombres de una novela de fantasía épica? Crédito: Wikipedia/CC.

Por cierto que, en contra de lo que muchas veces se dice en las noticias y demás, un ordenador cuántico no es más rápido que un ordenador clásico. “Espera, espera, un momento… ¿no has dicho en el párrafo anterior que sí que es más rápido?”. No, yo no he dicho que sea más rápido, he dicho que podemos hacer algunas cosas mucho más rápido. ¿Y no es lo mismo? Pues no: la “velocidad” del ordenador depende de la frecuencia del reloj interno, es decir, del número de “cálculos” por segundo que puede hacer ese ordenador. Y un ordenador cuántico podría hacer los mismos cálculos por segundo que uno clásico. La cuestión es que hay cosas (y esto es lo que significa que pueda hacer algo en O(√N) en lugar de O(N)) que un ordenador cuántico puede hacer utilizando muchos menos cálculos que un ordenador clásico. Por ejemplo, si intentamos buscar a qué nombre corresponde un teléfono en particular de una guía de teléfonos con un millón de abonados,^[2] con los mejores algoritmos clásicos tendríamos que hacer – de media – medio millón de pasos: ir mirando uno por uno hasta encontrarlo. Esto es O(N). En cambio, con computación cuántica podemos usar el algoritmo de Grover, que es O(√N); esto significa que necesitará aproximadamente mil (la raíz cuadrada de un millón) pasos para encontrarlo. Y si en vez de un millón de teléfonos tenemos diez mil millones, el algoritmo clásico necesitaría cinco mil millones de pasos, pero el cuántico ¡solamente cien mil! Esto es como comparar la población de la Tierra entera con la de una pequeña ciudad. Aunque el ordenador clásico fuera más rápido que el cuántico, al necesitar el cuántico muchos menos pasos para hallar la respuesta tardará mucho menos tiempo en terminar de calcular.

La idea de la computación cuántica es dejar de trabajar en binario y usar, en lugar de unos y ceros, estados cuánticos. Es decir, ya no tenemos un bit que es o o 1, sino que ahora será algo como 0.8|0>+0.6|1> (y si no recuerdas qué significa esto, corre a mirar en la serie de Pedro). Esto nos lleva a tener que tratar con todo lo que sabemos sobre cuántica: principio de indeterminación, probabilidades, superposiciones… y siendo inteligentes podemos encontrar formas de aprovecharnos de la situación. ¿Qué formas en particular? Bien,  para eso tendremos que esperar a que hayamos visto lo que es un qubit y lo que son muchos qubits.

De momento, resumiendo: un ordenador cuántico nos permite (permitirá) hacer algunos cálculos más rápido que un ordenador clásico, y para hacer esto aprovecha las propiedades cuánticas de los qubits, que es lo que veremos en la próxima entrega.

¡Ah!, y por cierto; yo soy físico y sólo he estudiado un par de asignaturas sobre el tema, así que no soy un experto mundialmente reconocido. Si te parece que lo que explico es muy poco profundo, que me salto pasos y razonamientos y que hago simplificaciones que harían llorar a un cthulhucito, es porque eso es lo que pretendo. No hacer llorar a los cthulhucitos, sino explicar todo, como dice el lema de El Tamiz, de forma antes simplista que incomprensible. Si quieres hacer un curso serio sobre CC al final veremos referencias a material en el que profundizar, pero aquí no verás esto.

Y dicho esto, me despido hasta el primer capítulo.

1. En Teoría de la Complejidad Computacional, con O(N) se define, dicho mal y pronto, cómo crece el el número de pasos computacionales necesarios para resolver un cierto problema de tamaño N. Un problema que requiera, por ejemplo,  O(N^2) pasos, es decir, donde los pasos necesarios crecen con el cuadrado del tamaño original del problema, será siempre más lento que uno que requiere O(2N), es decir, que crezca con el doble del tamaño, etc.
2. Guía que no está ordenada por número de teléfono, sino, por ejemplo, por nombre.